BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apab apabil ila a kita kita telu telusu suri ri ter ternyat nyata a meru merupa paka kan n masa masala lah h mate matema mati tika ka.. Deng Dengan an mengu mengubah bahnya nya kedal kedalam am bahas bahasa a atau atau persa persamaa maan n matema matematik tika a maka maka perso persoala alan n tersebut tersebut lebih lebih mudah mudah diselesa diselesaikan ikan.. Tetapi terkadan terkadang g suatu suatu persoala persoalan n sering sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulit kesulitan an untuk untuk mencari mencari hubungan hubungan antara antara variabel variabel-var -variabe iabelnya. lnya. Bahkan Bahkan dinegara dinegara maju maju sering sering ditemu ditemuka kan n model model ekono ekonomi mi yang yang harus harus memeca memecahk hkan an suatu suatu sis sistem tem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan. Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh ampuh untuk untuk memecahka memecahkan n persoala persoalan n tersebut. tersebut. Dengan Dengan mengguna menggunakan kan matriks matriks memuda memudahk hkan an kita kita untuk untuk membua membuatt anali analisasa-ana analis lisa a yang yang mencak mencakup up hubun hubungan gan variabelvariabel-vari variabel abel dari suatu suatu persoala persoalan. n. ada ada a!alnya a!alnya matrik matrik ditemuka ditemukan n dalam dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari "nggris yang bernama #rthur $ayley %1&'1-1&()* yang mana studi yang dilakukan dilakukan untuk meneliti persamaa persamaan n linier linier dan trans+ormas trans+ormasii linear, linear, a!al dari semua ini matrik dianggap dianggap sebagai sebagai sebuah sebuah permaina permainan n karena karena matrik matrik dapat dapat diaplik diaplikasik asikan, an, sedangka sedangkan n pada tahun 1(') matrik digunakan digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.
1.' umusan Masalah Berdas Berdasar arkan kan uraian uraian di atas atas kami kami berikut 1.
'.
menemu menemuka kan n permas permasala alahan han sebagai sebagai
#pa pengertian atau denisi matriks serta bagaimana pengertian determinan dan invers matriks/ Bagaimana operasi penyelesaian matriks dan permasalahan permasalahan pada matriks/
1.0 Tujuan Tujuan embahasan Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut 1.
Menjelaskan Menjelaskan tentang tentang pengertian dan denisi matriks, dan pengertian determinan dan invers matriks
'.
Menjelaskan Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks dan penyelesaian masalah pada matriks.
BAB II PEMBAHASAN
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut menurut baris dan kolom kolom dan dibatasi oleh oleh kurung kurung biasa atau kurung kurung siku. siku. ebuah ebuah matrik matriks s terdir terdirii dari dari baris baris dan kolom kolom.. Baris Baris suatu suatu matrik matriks s adalah adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matrik adalah susunan bilangan-bilangan bilangan-bilangan yang tegak %vertikal* dalam matrik.
Notasi Matriks $ara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huru+ besar, #, B, $ dan sebagainya.ada umumnya a ij akan menyatakan entri matriks # yang berada pada baris i dan kolom j. kolom j. 2adi jika # adalah matriks matriks m 3 n , maka maka a11 a1'
4 a1n
a'1 a''
4 a'n
am1
am'
4 amn
2ka matriks #, maka entrinya entrinya aij , matriks B entrinya b ij , dan $ 5 c ij , dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di sebut vektor. 2ika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 3 n disebut 6ektor baris, dan matriks n 3 1 disebut vektor kolom. $ontoh enyelesaian enyelesaian persamaan linier 71 71
8 −
7' 5
0
7' 5
1
6ektor baris 6ektor kolom
5 %' 5
1* '
'.
Menjelaskan Menjelaskan tentang jenis-jenis operasi matriks dan penyelesaian masalah pada matriks.
BAB II PEMBAHASAN
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut menurut baris dan kolom kolom dan dibatasi oleh oleh kurung kurung biasa atau kurung kurung siku. siku. ebuah ebuah matrik matriks s terdir terdirii dari dari baris baris dan kolom kolom.. Baris Baris suatu suatu matrik matriks s adalah adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matrik adalah susunan bilangan-bilangan bilangan-bilangan yang tegak %vertikal* dalam matrik.
Notasi Matriks $ara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huru+ besar, #, B, $ dan sebagainya.ada umumnya a ij akan menyatakan entri matriks # yang berada pada baris i dan kolom j. kolom j. 2adi jika # adalah matriks matriks m 3 n , maka maka a11 a1'
4 a1n
a'1 a''
4 a'n
am1
am'
4 amn
2ka matriks #, maka entrinya entrinya aij , matriks B entrinya b ij , dan $ 5 c ij , dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di sebut vektor. 2ika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 3 n disebut 6ektor baris, dan matriks n 3 1 disebut vektor kolom. $ontoh enyelesaian enyelesaian persamaan linier 71 71
8 −
7' 5
0
7' 5
1
6ektor baris 6ektor kolom
5 %' 5
1* '
1 Biasanya persamaan-persamaan dalam matriks digunakan vektor kolom % n 3 1*, maka notasi baku vektor kolom adalah huru+ kecil 31 3
=
3' 30
Diberikan suatu matriks # berordo m3 n, vektor baris ke-" dari # dinyatakan oleh a %1, * dan vektor kolom ke j dinyatakan oleh a % , j*. Bila # suatu matriks m 3 n , vektor baris # diberikan oleh a % 1, * 5 %a i1, ai', . . . ain * i 5 1, ', 0, . . . , n , vektor kolom a % , j * adalah sama dengan a1j a'j amj sehingga matriks # dinyatakan oleh vektor baris 9 kolom # 5 % a1, a', . . . ., a n * atau
a % 1, . . . * a % ', . . . * a % m, . . . *
#gar dua matriks menjadi sama, maka kedua matriks harus mempunyai ordo yang sama dan entri-entri yang seletak sama. Denisi Dua matriks # dan B berordo masing-masing berordo m 3 n dikatakan sama, jika aij 5 bij bij untuk setiap setiap " dan j.
Penjumlahan Matriks
Dua
matriks dengan ordo yang sama dapat dijumlahkan dengan
menjumlahkan entri-entri yang seletak. Denisi 2ika # 5 aij dan B 5 bij kedua-duanya adalah matriks m 3 n . maka jumlah # 8 B aadalah aij 8 bij untuk setiap pasang % i, j *. $ontoh 1. 0
'
1
:
)
;
8
'
'
'
1
'
0
5
)
:
0
)
<
(
Perkalian Matriks Lebih umum perkalian matriks # dan B jika banyaknya kolom dari # sama dengan banyaknya baris dari B. Denisi 2ika a 5 aij adalah matriks m 3 n dan B 5 bij matriks n 3 r, maka hasil kali #B 5 $ 5cij adalah matriks m 3 n yang entrinya di denisikan oleh
$ij 5 a % i , * b ij 5 $ontoh 1. Buktikan bah!a #B ≠ B# 0 B5 1
-' '
:
-0
#5 :
-'
1
1
;
75
1
1
'
'
'. Buktikan bah!a 7= ≠ =7 = 5
1
1 >
>
0
0. Berat badan Bob adalah 1<& pound. Dia ingin mengurangi berat badan melalui diet dan latihan sik. esudah mencari keterangan dari tabel 1, dia membuat jad!al latihan sik pada tabel '. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan sik setiap hari jika dia mengikuti rencana ini. Tabel.1. ?alori yang terbakar tiap jam #ktitas latihan
Berat badan dalam pound
152
11
2alan kaki 5 ' mil9jam
1!"
'10
'')
Lari ),) mil9jam
;)1
;&&
<;:
epeda ),) mil9jam
0>:
0'1
0);
:'>
::1
:('
Tenis secukupnya
':(
Tabel.'. 2umlah jam9hari untuk setiap aktitas jad!al latihan 2ad!al Latihan
enin
2alan
Lari
1
>
elasa
>
abu
>,:
?amis
>
2umat
>,:
epeda 1
>
>
>
>,)
>
> >,)
Tenis
>,) >
' >
' >
:. ebuah perusahaan menghasilkan 0 buah produk Biaya produksi dibagi ke dalam 0 kategori, dan setiap kategori diberikan taksiran untuk biaya produksi barang dari
masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah masing-masing produk yang akan dihasilkan setiap kuartal.Taksiran tersebut disajikan dalam tabel 1 dan tabel '. erusahaan ingin menyajikan pada rapat pemegang saham %tabel menunjukkan biaya total setiap kuartal dari masing-masing pada 0 buah kategori yaitu bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya overhead* Tabel.1. Biaya produksi per barang % @ * roduk
Bia#a
A
Bahan mentah
B >,1
Tenaga kerja Biaya overhead
$ >,0
>,1)
>,0
>,:
>,')
>,1
>,'
>,1)
Tabel.'. 2umlah yang dihasilkan per kuartal roduk
anas
Musim Augur
Dingin
emi
#
:>>>
:)>>
:)>>
:>>>
B
'>>>
':>>
':>>
''>>
$
)&>>
;'>>
;>>>
;>>>
#. %&ANSP'SE MA%&I(S 2ika # adalah suatu matriks m 3 n, maka transpose dari # dinotasikan sebagai # T. =aitu suatu matriks n 3 m yang dihasilkan dari saling menukarkan antara baris dan kolom matriks #. Dalam hal ini kolom pertama dari matriks # T adalah baris pertama dari matriks #, kolom kedua matriks # T adalah baris kedua matriks # dan seterusnya. $ontoh ' #5
0
1 )
' :
# T
5
1
)
0
:
;
;
#da 0 macam jenis matriks transpose 1. Matriks simetris '. Matriks miring %ske!* 0. Matriks miring simetris %ske! symetris * yarat utama pada ketiga jenis matriks ini adalah bujur sangkar %ordo sama*. 1.
Matriks imetris Matriks elemen aij pada baris ke-" dan kolom ke-j sama dengan elemen aji pada baris ke j dan kolom ke i.ubungan antara elemen tersebut berarti bah!a transpose dari sebuah matriks adalah sama dengan matriks asal, maka matriks simetris adalah #
5 # T jika # adalah matriks simetri
$ontoh 1
'
0
1
#5
'
:
)
0
)
;
# T
5
'
0
'
:
)
0
)
;
'. Matriks ke! %miring * Matriks yang antara elemen-elemen yang tidak terletak pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negati+. #rtinya aij 5 - aji dan elemen diaginal utamanya boleh terdiri atas sembarang bilangan asalakan tidak nol semuanya %aii
≠
>*
$ontoh
1
'
0
-'
)
-)
-0
)
0. Matriks ke! imetris 2ika semua elemen diagonalnya adalah nol semuanya dan transpose dari matriks ini sama dengan matriks asala dengan tanda negati+. Matriks ske! simetris mempunyai syarat # #ij
5 - # T 5 -a ji dan a ii 5 >
$ontoh
#
5
>
'
0
-'
>
-)
-0
)
>
-# T 5
>
-'
-0
'
>
)
0
-)
>
oal transpos matriks
1. Misalkan # 5 nbspC dan B5 2ika # menyatakan matriks tranpos dari #, maka persamaan # 5 B dipenuhi bila 3 5..... embahasan
#5
maka # 5
# 5 B, maka
5
Diperoleh 3 8 y 5 1 dan 3 5 -'y dengan demikian , 38y 51 E5F %-'y* 8 y 5 1 E5F -y 5 1 E5F y5 -1 Gntuk y 5-1 , maka 3 5 -' %-1* 5'
oal transpos matriks
Tentukan | A | dan | B | [Penyelesaian] Determinan matriks A dan B adalah,
yarat dua Matriks aling "nvers Diketahui A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB = BA = I , maka B adalah invers dari A ditulis B
B. In*ers Matriks Invers matriks
persegi atau bujur sangkar baik yang berordo 22, !! , maupun
ordo nn akan menjadi topik pembahasan kali ini" #ebelum mempelajari invers matriks, terlebih dahulu akan dibahas tentang determinan matriks"
Determinan $atriks %rdo 22
&ika
suatu matriks persegi yang berordo 22, maka determinan matriks A ditulis |A|
atau det A adalah'
$ontoh mencari determinan matriks ordo '3' Diketahui matriks(matriks diba)ah ini'
Tentukan | A | dan | B | [Penyelesaian] Determinan matriks A dan B adalah,
yarat dua Matriks aling "nvers Diketahui A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga AB = BA = I , maka B adalah invers dari A ditulis B =
dan A adalah invers dari B ditulis A =
*ontoh dua matriks saling invers' Diketahui matriks(matriks diba)ah ini,
Tunjukkan bah)a AB = BA = I
" $aka,
[Penyelesaian] +asil kali matriks AB adalah,
+asil kali matriks BA adalah,
Matriks ingular dan Matriks Hon ingular Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, dan matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak nol Contoh matriks singular Diketahui matriks diba)ah ini,
Buktikan bah)a A adalah matriks singular [Penyelesaian] Determinan matriks A adalah,
Rumus invers matriks 2x2
&ika
, maka
adalah,
Dari rumus invers matriks diatas dapat disimpulkan bah)a' a"#uatu matriks persegi atau bujur sangkar tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut singular" b" #uatu matriks persegi atau bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut non singular" Invers Matriks 3x3
*ara menentukan invers matriks selain ordo 22 dapat menggunakan adjoint matriks" &adi sebelum mempelajari -ara men-ari invers matriks ordo !!, terlebih dahulu harus dipelajari tentang minor, kofaktor, dan adjoint "
1.Minor &ika pada matriks A ordo !! elemen baris ke( i dan kolom ke( j dihilangkan maka akan didapat matriks yang baru dengan ordo 22, determinan matriks baru dengan ordo 22 itulah yang disebut minor ditulis dengan simbol
" Agar lebih jelas perhatikan -ontoh diba)ah ini,
&ika diketahui matriks A ordo !! ,
$aka minor(minor dari matriks A adalah ,
, hilangkan baris ke(1 dan kolom ke(1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemen(elemen di dalam kotak merah diba)ah ini
#ehingga mminor dari
adalah '
, hilangkan baris ke(1 dan kolom ke(2 matriks A diatas maka '
, hilangkan baris ke(3 dan kolom ke(2 matriks A diatas maka'
&adi, minor dari matriks A adalah'
'.?o+aktor Kofaktor dituliskan dengan simbol adalah '
&ika diketahui matriks A,
diba-a ko.aktor baris ke( i dan kolom ke( j dan rumus nya
Dari rumus ko.aktor diatas maka ko.aktor(ko.aktor dari matriks A diatas adalah'
&adi, ko.aktor dari matriks A adalah,
Agar lebih jelas perhatikan -ontoh diba)ah ini *ontoh / Diketahui matriks A yaitu,
Tentukan minor dan ko.aktor dari matriks A [Penyelesaian] a"$inor(minor
dari
matriks
A
adalah,
$inor(minor dari matriks A lainnya adalah ,
&adi, matriks minornya adalah'
b"0o.aktor(ko.aktor matriks A adalah'
&adi, matriks ko.aktornya adalah'
$. A+joint
Adjoint suatu matriks diperoleh dari transpose matriks kofaktorna! Pemahaman anda tentang adjoint, minor, determinan dan ko.aktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks ordo !! Rumus invers matriks ordo 3x3
Rumus invers matriks ordo 3x3 adalah:
*ontoh Tentukan invers matriks A diba)ah ini,
[Penyelesaian] Dari -ontoh / ko.aktor matriks A adalah '
$aka
Adjoint
matriks
A
adalah
Dan determinan matriks # adalah
transpose
ko.aktor
matriks
A,
yaitu
'
&adi invers matriks A adalah'
#eperti itulah -ontoh -ara menentukan
invers matriks
baik baik invers matriks ordo 22,
maupun ordo !!"
D, Determinan Matriks or+o -.1ntuk menentukan determinan matriks ordo !! menggunakan metode sarrus! Perhatikan -ontoh diba)ah ini, &ika matriks B diketahui seperti diba)ah ini,
$aka determinan matriks B dapat ditentukan dengan metode sarrus yaitu'
*ontoh soal '
Tentukan determinan matriks diba)ah ini,
[Penyelesaian] Dengan menggunakan metode sarrus, maka determinan matriks B adalah
BAB III PENU%UP 0.1 ?esimpulan ada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. #gar mudah di+ahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.
#dapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks. 0.' aran Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang paling tidak disukai oleh anak-anak. ?enyataan di lapangan membuktikan cukupbanyak sis!a yang tidak suka bahkan membenci mata pelajaran matematika. Dalam benak mereka matematika merupakan mata pelajaran yang sangat sulit untuk dimengerti bahkan membosankan. al ini menjadi dilema bagi para pendidik dan para ahli, karena matematika merupakansalah satu pengetahuan untuk sains dan teknologi yang sangat perlu bagi kelanjutan pembangunan. #palagi dalam memasuki abad ke -'1 yangditandai dengan kemajuan dalam perkembangan "TI?, pengetahuan siapdan kepia!aian berpikir logis yang dikembangakan dalam pelajaranmatematika sangat diperlukan. Dalam menghadapi era globalisasi yang diiringi dengan perkembangan "TI? yang sangat pesat, maka peningkatan kualitas-kualitas sumber daya manusia mempunyai posisi yang strategis bagi keberhsilan dan kelanjutan pembangunan nasional. Jleh sebab itu, upaya tersebut mutlak harus mendapat perhatian yangsungguh-sungguh dan harus dirancang secara sistematis dan seksama berdasarkan pemikiran yang matang. Kadah yang tepat bagi upaya peningkatan kualitas sumberdaya manussia adalah pendidikan. #da beberapa indikator dalam peningkatan mutu pendidikan antara lain melalui peningkatan kinerja guru dan peningkatan mutupelajaran yang melibatkan MB, akem, serta peran serta masyarakat %M*.Dalam kaitannya dengan akem, guru dituntut untuk menciptakan situasi pembelajaran yang kondusi+, yaitu pembelajaran yang akti+, kreati+, e+ekti+, danmenyenangkan. ituasi pakem tersebut harus diupayakan untuk semua mata pelajaran. Dengan begitu, diharapkan peningkatan mutu pendidikn pendidikan dapat tercapaisecara optimal. Auru sebagai +aktor penentu dan paling berpengaruh dalam hal menanamkan konsep terhadap sis!a. enguasaan guru terhadap materi pelajaran, kemampuan guru dalam memilih dan menggunakan metode pembelajaran serta kemampuan guru dalam menetapkan media pembelajaran sangat menentukan terhadap keberhasilan proses pembelajaran, di samping adanya potensi dan kemauan sis!a sendiri.Terilhami oleh suatu ungkapan ’ saya mendengar lalu saya lupa, saya melihat lalu saya ingat, saya berbuat lalu saya mengerti , maka penulis berasumsi bah!a pemakaian media pembelajaran menjadikan anak bisa melihat dan berbuat tidak hanya mendengar. Jleh karena itu, dalam
tulisan ini penulis memperkenalkansebuah media pembelajaran yang berupa alat peraga perkalian model matrik. Dengan alat peraga perkalian sis!a bisa bermain dengan angka-angka untuk dicari hasilkalinya. Di sisi lain, dengan karya tulis ini penulis ingin meningkatkan minat belajar anak terhadap matematika serta menghilangkan asumsi anak bah!a pelajaran matematika membosankan. ?ata pengantar
#ssalamualaikumKr. Kb. egala puji bagi #llah yang telah memberikan kami kemudahan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluasi lmu tentang NMatriksN, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber.Makalah ini di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang dating dari diri penyusun maupun yang dating dari luar.Hamun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari #llah KT akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. enyusun mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dan mendukung pembuatan makalah ini.Dan kami juga memohon maa+ jika makalah ini masih banyak kekurangan atau jauh dari kesempurnaan karna pengetahuan kami yang masih terbatas.Maka dari itu kami mohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca.emoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang lebih luas kepada pembaca.Terimakasih Tasikmalaya, 1) eptember '>1)
enyusun
Da+tar isi ?ata engantar Da+tar "s i B#B " IHD#GLG#H #. Latar Belakang B.
umusan Masalah
$. Tujuan masalah B#B "" IMB###H #. engertian Matriks B.
2enis-2enis Matriks
1.
Berdasarkan Banyak Baris dan ?olomnya
'.
Berdasarkan Ilemen-Ilemen enyusunnya
$. Transpose dan ?esamaan Matriks 1.
Transpose uatu Matriks
'.
Trace Matriks
0.
?esamaan Dua Matriks
D. Jperasi #ljabar pada Matriks 1.
enjumlahan Matriks
'.
engurangan Matrkiks
:.
erkalian Matriks
).
"nvers dan Determinan Matriks
B#B """ "MGL#H D#H ##H #. impulan B.
aran
Da+tar pustaka
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan. Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. ada a!alnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari "nggris yang bernama #rthur $ayley %1&'1-1&()* yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan trans+ormasi linear, a!al dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1(') matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.
B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas kami merumuskan masalah sebagai berikut 1.
#pa denisi dari matriks/
'.
#pa saja jenis-jenis matriks/
0.
#pa itu transpose matriks dan kesaamaan matriks/
:.
Bagaimana operasi aljabar pada matriks/
).
#pa itu invers matriks dan determinan matriks/
C. Tujuan masalah Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut 1.
Memenuhi tugas mata kuliah aljabar linear.
'.
ebagai re+erensi untuk menambah !a!asan dan pengetahuan mengenai matriks.
0.
ebagai sarana belajar mempelajari matriks bagi teman-teman M# ataupun mahasis!a.
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Matriks Matriks adalah sususnan dari bilangan-bilangan yang dibatasi tanda kurung yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang menyusun baris ataupun kolom dari suatumatriks disebut elemn-elemen dari matriks. enamaan suatu matriks biasa menggunakan huru+ kapital, perhatikan ilustrasi berikut
?eterangan adalah elemen pada baris ke 1 dan olom ke '
disebut elemen penyusun baris
disebut elemenpenyusun kolom ke'
adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j dengan
dan
uatu matriks # yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo m3n dan diberi ntasi
.
$ontoh 1.
Diketahui matriks enyelesaian
. Tentukan ordo dan elemen penyusun baris keduaO
Matriks # memiliki baris ' dan kolom ', sehingga ordo matriks tersebut adalah '3'. Ilemen penyusun baris kedua adalah -',-(
B. Jenis-Jenis Matriks 1. Berdasarkan Banyak Baris dan Kolomnya a.
Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 baris saja. $ontoh
b.
Matriks ?olom
Matriks kolom adlah matriks yang hanya memiliki1 kolom, seperti
c.
Matriks Bujur ankar Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.
$ontohnya
2. Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya a.
Matriks Diagonal Matriks persegi yang semua elemenya adalah nol,kecuali elemen pada dagonalnya tidak bernilai > dinamakan matriks diagonal. $ontoh
b.
Matriks "dentitas Matriks identitas terdiri dari ' jenis, yaitu matriks identitas terhadap penjumlahan dan matriks identitas terhadap perkalian.
-
Matriks J disebut matriks identits terhadap penjumlahan jika untuk sebarang matriks B, berlaku
. Dan hanya itu dipenuhi apabila matriks J
adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya bernilai >. Gntuk selanjutnya matriks identitas terhadap penjumlahan dinamakan matriks nol. -
Matriks " disebut matriks identitas terhadap perkalian jika untuk sebarang matriks # berlaku
c.
. contoh matriks identitas adalah
Matriks egitiga #tas dan Ba!ah Matriks segitiga adalah matriks yang semua elemen diba!ah atau diatas diagonalnya bernilai >. 2ika elemen bernilai > diba!ah diagonal dinamakan matriks segitiga ba!ah sedangkan jika elemen bernilai > berada diatas diagonal dinamakan matriks segitiga ata. $ontohnya sebagai berikut
matriks segitiga ba!ah berordo 030
matriks segitiga atas berordo 030
C. Transpose dan Kesamaan Matriks 1. Transpose Suatu Matriks Misalkan # adalah suatu matriks berordo m3n . dari matriks # ini kita dapat membentuk suatu matriks baru yang diperoleh dengan cara a.
Mengubah baris ke- matriks # menjadi kolom ke-j matriks baru dan
b.
Mengubah kolom ke-j matriks # menjadi baris ke- mstriks baru Matriks baru yang dihasilka ini disebut matriks transpose dari matriks # yang dilambangkan dengan
. Dari perubahan diatas, ordo dari
Berdasarkan uraian diatas, apabila
maka transpose matriks dari
matriks # adalah
2. Trace Matriks 2umlah dari elemen peyusun diagonal.
3. Kesamaan Dua Matriks Misalnya
adalah dua matriks yang berordo sama. Matriks #
dikatakan sama dengan matirks B jia elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks bernilai sama. $ontoh C
2ika matriks
2a!ab
dan
serta
maka tentukan nilai 38y O
.
ehingga nilai 35: dan y50. 2adi diperoleh nilai 38y adalah :80 5<
D. perasi Alja!ar pada Matriks 1. Penjumlaan Matriks 2ika matriks
merupakan dua buah matriks yang berordo m3n,
maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan #8B adalah suatu matriks baru
yang juga sama berordo m3n dengan
2. Pen!uran!an Matrkiks 2ika matriks
merupakan dua buah matriks yang berordo m3n,
maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan #-B adalah suatu matriks baru
yang juga sama berordo m3n dengan
i+at operasi penjumlahan dan pengurangan ,matriks adalah 2ika matriks
adalah matriks-matriks
yang berordo sama, maka dalam penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku a. b. c.
i+at komutati+, artinya #8B 5 B8# ia+at asosiati+,artinya %#8B*8$ 5 #8%B8$* Mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan yaitu J sehingga untuk setiap matriks # berlaku #8J 5 J8# d. Mempunyai invers terhadap penjumlahan, yaitu #8%-#* 5 %-#*8# 5 J
". Perkalian Matriks a.
erkalian kalar dengan uatu Matriks
2ika k adalah suatu bilangan skalar dan #5%a ij * maka matriks k#5%ka ij * yaitu suatu matriks k# yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks # dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya P$Q5kP#Q5P#Qk dan %c ij * 5 %kaij *
$ontoh . Tentukan nilai dari 'BO enyelesaian .
ada perkalian skalar berlaku hukum distributi+ dimana
.
/,
Perkalian matriks +en0an matriks Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.
#m 3 n . Bp 3 R 5 $m 3 R
n5p
Beberapa ukum erkalian Matriks
ukum Distributi+, #S%B8$* 5 #B 8 #$ ukum #ssosiati+, #S%BS$* 5 %#SB*S$ Tidak ?omutati+, #SB ≠ BS# 2ika #SB 5 >, maka beberapa kemungkinan %i* #5> dan B5> %ii* #5> atau B5> %iii* #≠> dan B≠> Bila #SB 5 #S$, belum tentu B 5 $
#. $n%ers dan Determinan Matriks 2ika matriks # 5
, determinan dari matriks # dinotasikan det # atau
"nvers matriks # dinyatakan dengan notasi
2ika ad bc 5 >,
maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular. 2ika ad bc
>, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular.
$ontoh Diketahui # 5
, Tentukan determinan dan invers matriks #.
Det # 5 ad bc 5 '.0 ).1 5;) 5 1 #-1
5
#-1
5
5
BAB III SIMPULAN DAN SA&AN A. "impulan Matriks adalah sususnan dari bilangan-bilangan yang dibatasi tanda kurung yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang menyusun baris ataupun kolom dari suatumatriks disebut elemn-elemen dari matriks. 2enis-jenis matriks dibagi menjadi ' kelompok yaitu berdasarkan banyak baris dan kolom penyusunnya serta berdasarkan banyak elemen penyusunnya. Disamping itu ada transpose dan trace matriks serta kesamaan suatu matriks. Jperasi aljabar pada matriks ada penjumlahan, pengurangan, perkalian, invers dan determinan.
B. "aran 1.
'.
Dikarenakan makalah ini belum sempurna maka penulis meminta saran dari rekanrekan dan bapak dosen agar makalah ini lebih sempurna. Bagi pembaca semoga materi ini berman+aat bagi kita sekalian.
