TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi
NamaMahasiswa : Suriani NIM
: 1406100!
Ko"e Kelas
: 141#MA11$#M6
Dosen
: NeniMarlina%ur&aS'%"
UNI()RSITA UNI()RS ITAS S %UT)RA *ATAM *ATAM $014
KATA KATA %)NGAN %) NGANTAR TAR Puji Puji syuk syukur ur keha kehadi dira ratt tuha tuhan n yang yang maha maha esa esa atas atas segala segala berk berkat at serta serta anugerahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan baik dan dalam bentuk yang sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai sebagai salah salah satu satu acuan acuan petunj petunjuk uk maupu maupun n pedoma pedoman n bagi bagi pembac pembacaa mengen mengenai ai pengetahuan dasar mengenai matriks. Pada pokok pembahasan,disajikan materi mengenai matriks dan jenis serta hal-hal yang behubungan dengan matriks. Dalam makalah ini,saya tidak lupa menyajikan contoh aplikasi matriks dalam bisnis dan manajemen dan dapat anda lihat pada bab pembahasan. Hara Harapa pan n
say saya
semo semoga ga maka makala lah h
ini ini
mena menamb mbah ah peng penget etah ahua uan n
dan dan
pengalaman bagi pembaca, walaupun saya akui masih banyak terdapat kekurangan dalam penyajian makalah ini. Akhir kata saya sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini. Saya sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk pembuatan makalah berikutnya, terima kasih.
Batam, !ktober "#$
Suriani
KATA KATA %)NGAN %) NGANTAR TAR Puji Puji syuk syukur ur keha kehadi dira ratt tuha tuhan n yang yang maha maha esa esa atas atas segala segala berk berkat at serta serta anugerahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dengan baik dan dalam bentuk yang sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai sebagai salah salah satu satu acuan acuan petunj petunjuk uk maupu maupun n pedoma pedoman n bagi bagi pembac pembacaa mengen mengenai ai pengetahuan dasar mengenai matriks. Pada pokok pembahasan,disajikan materi mengenai matriks dan jenis serta hal-hal yang behubungan dengan matriks. Dalam makalah ini,saya tidak lupa menyajikan contoh aplikasi matriks dalam bisnis dan manajemen dan dapat anda lihat pada bab pembahasan. Hara Harapa pan n
say saya
semo semoga ga maka makala lah h
ini ini
mena menamb mbah ah peng penget etah ahua uan n
dan dan
pengalaman bagi pembaca, walaupun saya akui masih banyak terdapat kekurangan dalam penyajian makalah ini. Akhir kata saya sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini. Saya sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk pembuatan makalah berikutnya, terima kasih.
Batam, !ktober "#$
Suriani
DA+TAR ISI
KATA KATA %)NGANTAR'''' %)NGANTAR''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''ii DA+TAR DA+TAR ISI'''''''''''''''''''''''''''''''''' ISI''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''ii ''''''''''''''''''''''''''ii
*A* I
%)NDA,U-UAN 1.
*A* II 2.
1 -atar *elakan.'''''''''''''''''''''''''''' *elakan.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''1 ''''''''''''''''''''''''''''''''1 %)M*A,ASAN 1 Matriks'''''''''''''''''''''''''' Matriks''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''$ '''''''''''''''''''''''$
2.2
2.1.1
De%inisi matriks........................................... matriks.................................................................. ................................ .........
2.1.2
&enis-jenis matriks.............................................. matriks...................................................................... ........................
Trans/ose Tr ans/ose matriks''''''''''''''''''''''''''''''' matriks'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''! ''''''''''''''''''''''''! 2.2.1
2.3
si%at transpose matriks................................................................'
/erasi matriks''''''''''''''''''''''''''''''' matriks'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''' 2.3.1
De%inisi operasi matriks..............................................................(
2.3.2 penjumlahan
2.4
dan pengurangan.............................................. pengurangan.............................................. .....(
2.3.3
Perkalian scalar matriks.............................................................#"
2.3.4
Perkalian matriks.............................................. matriks..................................................................... ..........................#" ...#"
2.3.5
Perkalian langsung.................................... langsung.....................................................................## .................................##
2.3.6
Pangkat suatu matriks................................................................#
2.3.7
operasi baris elementer.......................... elementer................................................. .....................................#) ..............#)
Dekom/osisi matriks''''''''''''''''''''''''''''''' matriks'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''1 ''''''''''''''''''''1 2.4.1
De%inisi dekomposisi matriks.................... matr iks........................................... .................................#) ..........#)
2.4.2
*etode crout................. c rout........................................ ............................................................. ...................................... #)
2.4.3
*etode doolitle.......................................................................... doolitle.......................................................................... #$
2.4.4
*etode cholesky........... cholesk y.................................. ............................................................. ...................................... #$
2.4.5
*etode eliminasi gauss.......................................... gauss..............................................................#+ ....................#+
2.4.6
*inor dan o%aktor matriks......................................................#
$.$. *atriks adjoint......................................... adjoint...........................................................................# ..................................#
2.5
2.6.
2.7.
Determinan matriks''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''1! 2.5.1
De%inisi determinan matriks.......................................................#'
2.5.2
*etode sarrus.............................................................................#'
2.5.3
*etode minor dan *etode ko%aktor..........................................#'
2.5.4
*etode /H0!.............................................................................#(
2.5.5
*etode eliminasi gauss.............................................................."
2.5.6
Si%at determinan matriks............................................................#
In2ers matriks'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''$$ 2.6.1
De%inisi in1ers matriks...............................................................
2.6.2
*etode substitusi....................................................................
2.6.3
Si%at-si%at in1ers matriks.........................................................
/en3elesaian s3stem /ersamaan linear "en.an meto"e ramer ''
$ $'!' A/likasi "alam &isnis "an mana5emen'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''$4
*A* III %)NUTU% 3.1.
esimpulan.........................................................................................$
3.2.
Saran....................................................................................................$
DA+TAR %USTAKA''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''i2
*A* I %)NDA,U-UAN
*atriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan bilangan real atau kompleks. Seperti diketahui bahwa himpunan bilangan real merupakan %ield terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Salah satu contoh matriks yang entri-entrinya merupakan %ield adalah matriks yang dapat didiagonalisasi. *atriks yang dapat didiagonalisasi banyak diterapkan dalam berbagai ilmu khususnya dalam matematika sendiri. Beberapa
re%erensi
menjelaskan
tentang
matriks
yang
dapat
didiagonalisasi, pertama diberikan matriks A yang berukuran n 2 n, maka dicari matriks taksingular P yang mendiagonalkan A, sedemikian hingga diperoleh suatu matriks diagonal D 3 P-&AP. *atriks taksingular P, diperoleh dengan cara mencari nilai eigen dari matriks A, kemudian ditentukan 1ektor eigen yang bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen yang diperoleh tadi. 4iap-tiap 1ektor eigen yang diperoleh tadi membentuk kolom-kolom matriks taksingular P. emudian dilakukan pendiagonalan, yaitu dengan mencari 1ektor eigen yang bebas linear satu sarna lain, dan seterusnya. Pembahasan mendasar mengenai matriks terutarna yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi ini, telah jelas dikemukakan dan disajikan dalam sejumlah buku re%erensi yang biasanya digunakan oleh para mahasiswa sebagai salah satu buku perkuliahan umum. 4etapi dilain pihak, akan muncul suatu masalah bagaimana jika ada sebuah contoh yang lain untuk matriks yang dapat didiagonalisasi sehingga ada suatu matriks bujur sangkar A #.
*A* II %)M*A,ASAN 2.1
MATRIKS 2.1.1
Deinisi matriks
*atriks
adalah
kumpulan
bilangan-bilangan
yang
dalam
dan
baris-baris
diatur kolom-
kolom berbentuk persegi panjang serta termuat diantara sepasang tanda kurung. *atriks dapat dinyatakan sebagai 5 Am 2 n 3 6aij6 m 2 n Dima na 5 aij 3 eleme n atau unsur e matri ks 0 3 #,,), 7 m, indek s baris & 3 #,,),.. n, indeks kolom *atriks dinyatakan dalam huru% besar A,B,P, atau huru% yang lain. unsur matriks 5 & u m l a h
b
ukur
a
an
r
matri
i
ks 3
s
m2 n
3
9lem en-
*
elem en
&
diago
u
nal 3
m
a##,
l
a,
a
7
h
amn
k
*atriks dapat dide%inisikan juga sebagai kumpulan beberapa 1ector
o
kolom atau 1ector baris.
l o m
3
2.1.2
7enis#5enis matriks *er"asarkan susunan elemen matriks •
Matriks kua"rat8&u5ur san.kar
*atriks bujur sangkar
8 !
:s;uare matri2< adalah matriks
r
dimana jumlah baris :*< sama
d
dengan jumlah kolom :8< atau
o
*38 /ontoh 5 *atriks A 3 [
a
] Bujur sangkar berorde
t a u
•
Matriks Nol
*atriks nol : null matri2< adalah matriks
dimana semua elemenn ya mempun yai nilai nol :"<. /ontoh 5 *atriks B3[
]
•
Matriks "ia.onal
*atriks diagonal :diagonal matri2< adalah matriks dimana semua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol :"< dan minimal ada # elemen pada diagonal utamanya bukan nol. /ontoh 5 *atriks A)>) 3 [ •
Matriks kesatuan8i"entitas
*atriks ini ditulis dengan l. jenis matriks bujur sangkar yang semua elemen diagonalnya sama dengan #. /ontoh 5 *atriks l 3 [ •
]
Matriks salar
*atriks scalar :scalar matri2< adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan # atau nol. /ontoh 5 A 3 [ •
]
Matiks tri"ia.onal
*atriks tridoagonal :tridiagonal matri2< adalah diagonal dimana elemen sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan nol :"<. /ontoh 5 A 3 [ •
Matriks se.iti.a &awah
*atriks segitiga bawah :lower triangular matri2, = < adalah matriks diagonal dimana elemen disebelah kiri :bawah< diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol. /ontoh 5 = 3 [ •
]
Matriks se.iti.a atas
*atriks segitiga atas :upper triangular matri2,?< adalah matriks diagonal dimana elemen disebelah kanan :atas < diagonal utamanya ada yang bernilai tidak sama dengan nol. /ontoh 5 ? 3 [ •
]
Matriks simetris
*atriks simetris :symmetric matri2< adalah matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya ber%ungsi sebagai cermin atau @
re%leksi : A 3 A < /ontoh 5 A)>) 3 [ •
Matriks mirin.
*atriks miring : skew matri2< adalah matriks bujur sangkar dimana elemen diagonal ke a ij dengan aij atau :aij 3 aij< untuk semua 0 dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semua nya bernilai nol. /ontoh 5 * 3 [ •
]
Matriks mirin. simetris
*atriks miring simetris :skew-symmetric matri2< adalah matriks bujur sangkar dimana elemen ke a ij sama dengan aij atau :aij 3 aij < untuk semua 0 dan j dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.
] berlaku
/ontoh 5 * 3 [
3 *
*er"asarkan siat o/erasi matriks •
Matriks sin.ular
*atriks
singular
:singular
determinannya bernilai nol.
matri2<
adalah
matriks
yang
/ontoh 5 A 3 [ •
]
Matriks non sin.ular
*atriks non singulars :non singular matri2< adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol. /ontoh 5 A 3 [ •
]
Matriks hermit
*atriks hermit :hermit matri2< adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugatenya sama dengan matriks itu sendiri atau 4
* 3 /onjugate kompleks matriks *. /ontoh 5 *
3 [
] ,
̅ ̅ [ •
̅ 3 [
]
] 3*
Matriks hermit mirin.
*atriks hermit miring : skew hwrmit matri2< adalah matriks bujur sangkar yang transpose conjugatenya sama dengan negati1e r
matriks itu sendiri atau * 3 * /ontoh 5
[
*3
3[
•
]
],*3 [
,*
] 3 *
Matriks uniter
/ontoh 5 *3[
], * 3 [ 4
** 3 [ •
][
Matriks uniter
],dan *4 3 [ ] 3 [
] 3[
] ]
*atriks uniter : uniter matri2< adalah bujur sangkar yang transposenya sama dengan in1ers conjugatenya atau * 3 ̅ 4
4
3 ** •
4
4
Atau ̅ ̅ ̅ ̅
3 #
ortho.onal
*atriks orthogonal : orthogonal matri2< adalah matriks bujur 4
sangkar yang transpose nya sama dengan in1ers nya atau * 3 *
#
4
A4A? * * 3 # /ontoh 5 *3*
√
√
* √
4
Dan * 3
√
4
* *3*
√
√ •
√+
√
+
√
√
*
√
√
√
√
√
+
3 [
+
] 3#
√
Matriks normal
*atriks normal : normal matri2< adalah bujur sangkar yang 4 4 mempunyai si%at 5 * ̅ 3 ̅
/ontoh 5
], * 3 [
*3[ ̅4 3
]
[ 4
* ̅ 3 * * 3 [ 4
]
] [ ]
3[
] ]3[
]
[ 3 [ •
] 3 ̅
Matriks in2olunter
*atriks in1olunter :in1olunter matri2< adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan matriks
identitas atau * 3 # /ontoh 5
√
√ +
√
√
*3*
* 3*#* 3 *
√
√
√ √+
[
* √
√
√
+
3
] 3#
√
Matriks i"em/otent
•
*atriks idempotent :idempotent matri2< adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks itu sendiri akan menghasilkan
matriks asal atau * 3 *. /ontoh 5 ]
*3[
* 3[
][
] 3[
]3*
Matriks nil/otent
•
*atriks nilpotent :nilpotent matri2< adalah matri2 bujur sangkar )
n
dimana berlaku A 3 " Atau A 3 ", bila n 3 #,,),.. /ontoh 5 *atriks nilpotent daro ordo ) 2 ) A3[
)
A 3 A.A.A 3 [ 2.2
][
][
] 3"
Trans/ose matriks
&ika * adalah matriks ukuran m 2 n maka transpose dari A dinyatakan 4
#,
@.
oleh A , A atau A Dide%inisikan menjadi matriks n 2 m yang merupakan hasil dari pertukaran baris dan kolom dari matriks A. Am2n :Aij<, Dimana 5 Bij 3 Aij /ontoh 5
4entukan transpose dari matriks berikut 5 A3[
], B 3 [
]
Solusi 5 4
A 3[
2.2.1
4
] B 3[
]
Siat#siat matriks trans/ose
4ranspose dari transpose suatu matriks adalah jumlah atau selisih matriks masing-masing transpose. Dan ini dapat ditulis dengan,
[
]@ 3 A
4ranspose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah atau selisih matriks masing-masing transpose. Dan ini dapat ditulis dengan,
[
]@ 3 A@ B@
4ranspose dari suatu hasil kali matriks adalah perkalian dari transpose-transpose dalam urutan yang terbalik. Hal ini dapat ditulis dengan,
[
2.3
]@ 3 B@ A@ atau [
]@ 3 /,B,A,.
/erasi matriks 2.3.1
Deinisi o/erasi matriks
!perasi matriks adalah operasi aljabar terhadap dua atau lebih matriks yang meliputi 5 2.3.2
%en5umlahan "an /en.uran.an
¨ah matriks A dan B apabila ditulis A B adalah sebuah matriks baru yaitu matriks /. /ontoh 5
Diketahui bahwa matriks A# 3 [
] dan B 3
/erasi /en5umlahan
*atriks A# B# 3 [
] 3[ ]
*atriks A B 3
[ •
, B# 3 [
]
[ •
]
], A 3 [
] [
] 3 [
]
/erasi /en.uran.an
*atriks A# B# 3 A# :B#<
*atriks A# C B# 3 [
]
*atriks A B 3 [ 2.3.3
] 3 [
]
%erkalian salar matriks
Apabila ʎ adalah suatu bilangan dan a 3 aij. *aka perkalian ʎ dengan matriks A dapat ditulis 5 A 3 ʎ :aij < : aij < Dengan kata lain, matriks ʎA diperoleh dari perkalian semua elemen matriks A dengan ʎ /ontoh 5 Diketahui bahwa matriks B 3 [ 4entukanlah ʎ B tersebut &awab 5 ʎB
3[
ʎB
3[
]
]
] dan ʎ 3 #
2.3.4
%erkalian matriks
Perkalian matriks tidak komutati% maksudnya bila matriks A dalam AB
BA -#
Sistem persamaan linear A2 3 d adalah non singular, maka A bisa l
-#
dicari dan penyelesaian system akan menjadi > 3 A d Apabila matriks A 3 :aij< berorde :p2;< dan matriks B :b ij< berorde :;2r<, maka perkalian matriks A dan B dapat ditulis sebagai matriks baru,yaitu matriks / 3 A > B. /ontoh 5 Diketahui bahwa matriks A 3 [
[
] dan matriks B 3
] tentukanlah matriks / 3 matriks A > *atriks B.
&awab 5 A :2)<>b:)2)< 3 /:>)< 3[
]>[
]
3[
3[ •
] ]
Siat /erkalian matriks
&ika A adalah matriks ukuran m2n. *atriks B dan / mempunyai
ukuran
yang
memungkinkan
penjumlahan dn perkalian. *aka, A :B/ < 3 A :B/< A : B/ < 3 AB A/ :B/< A 3 :BA /< r :AB< 3 :rA< B 0mA 3 A3 A0n 2.3.5
%erkalian lan.sun.
untuk
operasi
Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar jika A dan B matriks sama ukuran *28 : m 3 n < maka pembagian matriks A dan B sebagai berikut 5 /m2n 3 Dmn
3
-#
-#
A Dan B masing-masing adalah in1ers matriks A dan B -#
3#
-#
3#
A.A B.B
/ontoh 5 &ika A 3 [
] dan B 3 [
] tentukanlah / 3
Solusi 5 [
/ 3
]
3
[
][ ]
[ 3 [
] ][
3 [
2.3.6
⁄
⁄
]
[
]
%an.kat suatu matriks
&ika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan p dan ; bilangan bulat positi%, maka pangkat dari matriks A sebagai berikut 5 P
;
A A p ;
:A <
3 :A <
P;
p;
3A
/ontoh 5 &ika diketahui matriks berikut A 3 [ 4entukan dan buktikan 5 A
)
#
A A3 A
>
:A < 3 A &awab 5
)
3A
3A
$
)
A 3 [
]
][
]
[
]
[ A
]
[
]
3
[ ] [ ]
]
A
3 [
]
A 3
[ [
&adi A A 3 A A
]
[
]
[
]
3
[ ] [ A
]
3
[ ] [ A $
3
[
]
][
][
]
[
] 2.3.7
:
/erasi &aris elementer
$ < 5
!perasi
b
baris
elementer :!B9< dalah menukar suatu
baris
matriks
: b a r u
dengan baris matriks yang
< 3
lainnya atau mengalikan suatu
b
baris
:
dengan bilangan
k
l
:scalar<
a
dimana k "
m a
kemudian
<
hasilnya ditambahkan kebaris lainnya pada matriks.
$
2
/ontoh 5
[ → ]
→ [
[ ]
]
→
b 3 b $b)
b )
B
[
] B )
3
$b ) 3
B
3
: baris b baru <
2.4
Dekom/osisi matriks 2.4.1
Deinisi "ekom/osisi matriks
Dekomposisi matriks
adalah
trans%ormasi atau modi%ikasi dari
suatu
matriks menjadi matriks segitiga bawah :=< dan atau segitiga :?<.
matriks atas
Meto"e rout
2.4.2
*etode crout adalah mengkombinasi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas :?< bernilai # dan elemen lainnya bernilai bebas. /ontoh 5 Dekomposisi matriks A berikut menjadi matriks segitiga bawah :=< dan segitiga atas :?<.
]
A 3 [ Solusi 5
[
]
]
[
]
[
2.4.3
Meto"e Doolittle
*etode ini mengkombinasi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga bawah :=< bernilai # dan elemen lainnya bernilai bebas. /ontoh 5 Dekombinasi matriks unsur A berikut menjadi matriks segitiga bawah :=< dan segitiga atas :?< A 3 [
]
Solusi 5 ] [
[
2.4.4
] 3 [
]
Meto"e holesk3
*etode ini mengkomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks sigitiga atas :?< dan matriks segitiga bawah :=< adalah sama. /ontoh 5
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah :=< dan segitiga atas :?<.
]
A 3 [ Solusi 5
[
] [
2.4.5
]
] 3 [
Meto"e eliminasi .auss Matriks se.iti.a &awah
9liminasi gauss mengubah suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah : = <. /ontoh 5 Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah :=< *
+
]
[
→
Solusi 5
*
+
*
+
+→
*
→
→
&adi , = 3 *
*
+
+
Matriks se.iti.a atas
9liminasi gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atas :?< menggunakan operasi baris elementer :!B9<.
A 3 [
] →
] 3
[ /ontoh 5 4entukan determinan matriks A berikut ini 5 A 3 [
]
→
]
[
Solusi 5 *
+
→
*
*
+
→
+
→
]
[
*
+
*
+
→
&adi, det A I 11 X I 22 X I 33 X I 44 3 ) > > # > # 3
2.4.6
Minor "an koaktor matriks
A 3
[
Dimana % 3 indeks baris dan % # 3 indeks kolom *inor :*< dari A *ij 3 |( )|, dimana baris 0 dan j dihilangkan. /ontoh 5 4entukan minor dan ko%aktor dari matriks berikut 5 A 3[
]
3 ?
?
Solusi 5 *inor dan ko%aktor dari matriks A *## 3 | 3 #+ C #' 3 -) ## 3 *# 3 | 3 #" C # 3 - # 3 (
2.4.7
)3
Matriks a"5oint
*atriks adjoint adalah adalah matriks ko%aktor dari suatu matriks :misalkan matriks A< , *aka transpose dari matriks ko%aktor disebut matriks adjoint An2n . dalam mencari matriks adjoint, maka kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk semua elemen. 4idak seperti dalam mencari determinan dimana hanya satu baris atau kolom saja yang diekspansi. *isal ada matriks bujur sangkar berorde ), maka akan ada ( elemen yang harus dicari ko%aktornya. /ontoh 5 Akan dicari matriks adjoint dari A3 [
]
*aka ko%aktornya /A 3[ /##3
[ ]3
/#3 /#)3
]
[
]3
[
]3
/#3 /3
[ [
/)3
[
] ] ]
/)#3
[
/)3
[
/))3 [
]3 3
] ]3
4
*aka /A3
2.5
an Adj A3 /A 3
Determinan matriks 2.5.1
Deinisi "eterminan matriks
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari
semua permutasi n elemen matriks bujur sangkar.
Determinan matriks hanya dide%inisikan pada matriks bujur sangkar :matriks kuadrat<. 8otasi determinan matriks A 5
[
| |
]
Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar yaitu 5 2.5.2
Meto"e sarrus
Perhitungan determinan matriks dengan metode sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2 dan )2). Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari )2) tidak bias dihitung menggunakan metode sarrus. /ontoh 5 4entukan deteminan dari matriks A 3 [
]
Solusi 5 Det :A< 3 |
2.5.3
|
[
] 3 2 $ C # 2 :-)< 3 ' C :-)< 3 )
Meto"e minor "an meto"e koaktor
Perhitungan determinan matriks dengan metode minor dan ko%aktor diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan ko%aktor pada salah satu baris atau kolom matriks. Penentuan determinan berbasis baris matriks *enghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks. /ontoh 5 4entukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan ko%aktor pada baris # A 3 [ Solusi 5
]
Det A 3 :#<.:-#<
##
#)
*# :"<.:-#<
Det A 3 :#<.:-#< |
*#)
|
|
|
||
3 :#<.:#<.:"-< :-+<:-#<:"-"<:-$-"< 3 - " " 3
2.5.4
Meto"e 9,I
Perhitungan matriks dengan metode /H0! dapat di terapkan pada semua matriks bujur sangkar. Asalkan elemen pada A## tidak sama dengan nol :a ##
<.
*etode
/H0! menghitung determinan
matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua : 2 < menggunakan elemen matriks baris ke-# sebagai titik tolaknya. /ontoh 5 A 3 [
]
Solusi 5
| Det A 3
|
|
| |
|
|
|
| 3| |
|
Det A 3 " C 3 -
2.5.5
Meto"e eliminasi .auss Determinan matriks se.iti.a &awah
9liminasi gauss merubah suatu matriks menjadi segitiga bawah :=< melalui operasi baris elementer :!B9<. /ontoh 5
Hitung determinan matriks matriks berikut 5 A 3 *
Solusi 5
+
*
+
[]
→
*
→
*
→ +
+
&adi det A 3 0## > 0 > 0)) > 0$$ 3 ) > > # > # 3
Determinan matriks se.iti.a atas
9liminasi gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atas :?< menggunakan operasi baris elementer :!B9<. /ontoh 5 4entukan determinan matriks berikut 5
] A 3 [
]
→ [
Solusi 5
[ → +
]
*
⁄
→
*
*
→
+
+
&adi, det A 3 ? ## > ? > ?)) > ?$$ 3 # > :-< > > 3 -'
2.5.6
Siat "eterminan matriks
ada beberapa determinan matriks yaitu 5 4
jika A
4ranspose dari matriks A maka det :A< 3 det 4<
:A
/ontoh 5 4entukan determinan matriks A dan transposenya
A 3 [
]
Solusi 5 Det A 3 |
| 3 -" C # 3 $#
4
Det A 3 |
| 3 -$#
jika elemen satu baris :kolom< matriks A 3 " maka det :A< 3 " /ontoh 5 Determinan matriks yang mempunyai elemen pada salah satu atau lebih baris adalah nol A 3 |
|
Solusi 5 Det A 3 |
2.6
|
In2ers matriks 2.6.1
Deinisi in2ers matriks
&ika A adalah matriks ukuran n2n dan jika ada matriks B ukuran n2n sedemikian rupa sehingga 5
[
]
Dimana 0 adalah matriks identitas ukuran n2n. *aka matriks A disebut non singular atau in1ertibel dan matriks A merupakan in1ers dari B atau B merupakan in1ers dari A. 2.6.2
Meto"e su&stitusi
0n1ers matriks diperoleh dari penyelesaian persamaan matriks AA #
2.6.3
yang kemudian diturunkan mrnjadi beberapa persamaan linear.
Siat#siat matriks in2ers
&ika A dan B non singular atau in1ertibel, maka 5 -#
-#
-#
:A.B< 3 B . A
-
A matriks bujur sangkar maka 5 n
A 3 :A.A.A,7A<
n %aktor
"
A 3# -#
-# n
A 3 :A < 3 {
} n %aktor
-# -#
:A < 3 A -#
-#
-#
-#
:P-A< 3 P .A 3 # E PA Am.An 3 A n m
:A < 3 A
mn
nm
/ontoh 5 A 3 [ -#
A.A 3 # *isalkan -#
A 3[
[
2.7
] [
[
]
]
]
[
[
]
]
/en3elesaian sistem /ersamaan linear "en.an meto"e ramer
Persamaan linear yaitu A> 3 B dapat disajikan dalam bentuk matriks yaitu 5
*
+
2(
) 3(
)
*etode :aturan< cramer memberikan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear melaliu penggunaan determinan. Fumusnya 5 ># 3 |
2.8
|
a/likasi "alam &isnis "an mana5emen
/ontoh 5 Buatlah persamaan berikut ini dalam bentuk matriks
3 #+
Solusi 5 Bentuk matriks
[
]
[
]
[
]
*A* III %)NUTU%
3.1
Kesim/ulan
*atriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris-baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat diantara sepasang tanda kurung. &enis-jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan si%at dari operasi matriks.operasi pada matriks dapat dilakukan dengan cara penjumlahan,pengurangan dan perkalian langsung. Dekomposisi matriks adalah trans%ormasi atau modi%ikasi dari suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah :=< dan atau matriks segitiga atas :?<.
3.2
Saran
Demikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya,kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau re%erensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman sudi memberikan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan dan penulisan makalah di kesempatan-kesempatan berikutnya.Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.
