MAKALAH MATEMATIKA 3 “Pengaplikasian Matriks Invers di Bidang Teknik Sipil”
Oleh : 1. Andra Yudhaswara M.
(10315704)
2. Nuraini Azizah
(15315206)
3. Suwardi
(16315734)
Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Gunadarma 2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wata’ala, Wata’ala, karena berkat rahmat-Nya kami bisa menyelesaikan makalah ini guna memenuhi tugas mata kuliah Matematika 3. Dalam makalah ini kami membahas “Pengaplikasian Matriks Invers pada Teknik Sipil”. Kami mengucapkan Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan demi sempurnanya makalah ini. Semoga makalah ini memberikan informasi bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.
Depok, 07 November 2016
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii BAB 1 ..................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 1.1
LATAR BELAKANG.............................................................................. 1
1.2
RUMUSAN MASALAH ......................................................................... 1
1.3
TUJUAN .................................................................................................. 2
1.4
METODE PENULISAN .......................................................................... 2
BAB 2 ..................................................................................................................... 3 PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3 2.1
MATRIKS ................................................................................................ 3
2.1.1
Definisi Matriks ................................................................................ 3
2.1.2
Jenis-jenis Matriks ............................................................................ 3
2.2
INVERS MATRIKS................................................................................. 6
2.2.1
Definisi Invers Matriks ..................................................................... 6
2.2.2
Mencari Invers Matriks ..................................................................... 6
2.2.3
Sifat-sifat Invers Matriks................................................................. 10
2.3
PENGAPLIKASIAN INVERS MATRIKS ........................................... 12
BAB 3 ................................................................................................................... 17 PENUTUP............................................................................................................. 17 3.1
KESIMPULAN ...................................................................................... 17
3.2
SARAN .................................................................................................. 17
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ iv
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1
LATAR BELAKANG
Matriks adalah matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Matriks yang sering dijumpai adalah matriks yang entri-entrinya bilangan-bilangan real atau kompleks dan seperti diketahui bahwa himpunan bilangan real merupakan field terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Penggunakan matriks dapat mempermudah dalam membuat analisaanalisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang. Dalam makalah ini akan dibahas lebih dalam tentang invers matriks dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam bidang teknik sipil.
1.2
RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan terfokus maka rumusan masalahnya adalah sebagai berikut: 1.
Pengertian Matriks dan Invers Matriks
2.
Penerapan (aplikasi) Invers Matriks
1
1.3
TUJUAN
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika 3, yang diberikan Bapak Dr. Edi Sukirman. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang diharapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
1.4
METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka. Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.
2
BAB 2 PEMBAHASAN
2.1 2.1.1
MATRIKS Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris baris dan kolom-kolom berbentuk persegi panjang serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Matriks dapat dinyatakan sebagai: Am x n = |aij| m x n dimana: aij
: elemen atau unsur matriks
I
= 1,2,3,… m, indeks baris
J
= 1,2,3,.. n, indeks kolom
Matriks dinyatakan dalam huruf besar A,B,P, atau huruf yang lain. unsur matriks: Jumlah baris = M Jumlah kolom = N Ordo atau ukuran matriks = m x n Elemen-elemen diagonal = a11, a22,… amn Matriks dapat didefinisikan juga sebagai kumpulan beberapa vector kolom atau vector baris.
2.1.2
Jenis-jenis Matriks
Berdasarkan susunan elemen dan sifat operasi matriks, matriks terbagi menjadi beberapa jenis yaitu sebagai berikut: 1.
Matriks kuadrat / bujur sangkar Matriks bujur sangkar (square matrix) adalah matriks dimana jumlah
baris (M) sama dengan jumlah kolom (N) atau M = N
3
9
2
0
Contoh : A =
Matriks A adalah matriks bujur sangkar berorde 2 3
2.
Matriks Nol Matriks nol ( null matrix) adalah matriks dimana semua elemennya
mempunyai nilai nol (0).
0
0
0
0
Contoh : B = 3.
Matriks diagonal Matriks diagonal (diagonal matrix) adalah matriks dimana semua elemen
diluar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada 1 elemen pada diagonal utamanya bukan nol.
5 Contoh : A 3x3 = 0 0 4.
0
0
2
1
3
0
Matriks kesatuan/identitas Matriks ini ditulis dengan l. jenis matriks bujur sangkar yang semua
elemen diagonalnya sama dengan 1.
1
0
0
1
Contoh : I2x2 = 5.
Matriks skalar Matriks scalar (scalar matrix) adalah matriks diagonal dimana elemen
pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan 1 atau nol.
4
0
0
4
Contoh : A = 6.
Matiks tridiagonal Matriks tridoagonal (tridiagonal matrix) adalah diagonal dimana elemen
sebelah kiri dan kanan diagonal utamanya bernilai tidak sama dengan nol (0).
5 Contoh : A = 2 1 7.
2
0
5
0
2
5
Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix, L ) adalah matriks
diagonal dimana elemen disebelah kiri (bawah) diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
4
1
0
2
1
Contoh : L = 8.
Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas (upper triangular matrix,U) adalah matriks diagonal
dimana elemen disebelah kanan (atas ) diagonal utamanya ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
1
2
0
3
Contoh : U = 9.
Matriks simetris Matriks simetris (symmetric matrix) adalah matriks bujur sangkar
dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi ( A’ = A )
4 Contoh : A 1 6 10.
6
4 T 4 A 1 6 5
1 7 4
1 7 4
6
5 4
Matriks miring Matriks miring ( skew matrix) adalah matriks bujur sangkar dimana
elemen diagonal ke aij dengan -aij atau (aij = -aij) untuk semua I dan j tetapi elemen diagonal utama tidak semua nya bernilai nol.
7 Contoh : M = - 5 - 6 11.
5
6
0
4
-4
2
Matriks miring simetris Matriks miring simetris (skew-symmetric matrix) adalah matriks bujur
sangkar dimana elemen ke a ij sama dengan -aij atau (aij = aij ) untuk semua I dan j dan semua elemen diagonal utama bernilai nol.
0 Contoh : M = - 5 - 6 12.
5 0 -4
6
berlaku MT = -M 0 4
Matriks singular Matriks singular (singular matrix) adalah matriks yang determinannya
bernilai nol.
5
2
4
2
4
Contoh : A = 13.
Matriks non singular Matriks non singulars (non singular matrix) adalah matriks yang
determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
4
5
1
2
Contoh : A =
2.2
INVERS MATRIKS
2.2.1
Definisi Invers Matriks
Jika A adalah matriks ukuran n n dan jika ada matriks B ukuran nxn sedemikian rupa sehingga : AB
BA
I
Dimana I adalah matriks identitas ukuran nxn. Maka matriks A disebut non singular atau invertibel dan matriks A merupakan invers dari B atau B merupakan invers dari A. 2.2.2
Mencari Invers Matriks
Invers matriks dapat diperoleh dengan berbagai cara, yaitu: 1.
Metode Adjoint atau Determinan Matriks A berordo
nn
, dapat dicari invers matriks A menggunakan
adjoint A. Adjoint A atau dinotasikan adj (A) adalah transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A. Kofaktor adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu (-1)i+j dimana i adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor suatu elemen baris ke- dan kolom K ij
ke- dari
(-1)i j . M ij
matriks
A
dilambangkan
dengan
(-1)i j . det(M ij ) Minor suatu matriks dilambangkan
dengan j adalah matriks bagian dari yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke- dan elemen elemen pada kolom ke- . Dengan sifat adjoint yaitu: 6
A Adj A Untuk A
A
0,
Adj A A
Adj A A
maka:
Adj A
AI
A
A
I
Menurut definisi invers matriks A -1
Adj A
A
dengan
A
AA
-1
-1
A A
I ,
menjadi:
0
Contoh:
1 Cari invers dari matrik A= 1 2
2.
5
4
2
4
5
3
Metode Operasi Baris Elementer (OBE) Jika A matriks persegi non singular, dengan operasi baris elementer (OBE) terhadap A dapat direduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga:
PA
Jika diuraikan:
I dengan
P hasil penggandaan matriks elementer (baris).
PA=I P-1 P A = P -1 I 7
I A = P-1 A = P-1 Ini menunjukkan bahwa A -1 = P. Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini pada hakekatnya adalah invers dari matriks A. Dapat disimpulkan pencarian invers dengan operasi baris elementer sebagai berikut: (A | I) ~ (I | A -1) Untuk menggunakan metode operasi baris elementer pada matriks A, dapat dilakukan operasi-operasi berikut: a. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol. b. Menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain. c. Menukarkan sembarang dua buah baris. Ketiga operasi tersebut atau hanya salah satunya saja dapat digunakan dalam operasi baris elementer. Contoh:
1 Tentukan invers matriks B = 2 1
2 5 0
3
dengan metode OBE! 8 3
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 B 21(-2) (A | I) = 2 5 3 0 1 0 0 1 - 3 - 2 1 0 B 1 0 8 0 0 1 31(-1) 0 - 2 5 - 1 0 1 1 2 3 1 0 0 B 32(2) 0 1 - 3 - 2 1 0 B 3(-1) 0 0 - 1 - 5 2 1
B12(-2)
1 2 3 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 5 - 2 - 1
1 0 9 5 - 2 0 B13(-9) 0 1 3 2 1 0 B 0 0 1 5 - 2 - 1 23(3)
- 40 Jadi A-1 = 13 5
16 -5 -2
1 0 0 - 40 16 9 -1 0 1 0 13 5 3 = (I | A ) 0 0 1 5 - 2 - 1
-3 - 1 9
8
3.
Metode Operasi Kolom Elementer (OKE) Jika A matriks persegi non singular, dengan operasi kolom elementer (OKE) terhadap A dapat direduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga: A Q
I dengan Q hasil penggandaan matriks elementer (kolom).
Jika diuraikan:
AQ=I A Q Q-1 = I Q-1 A I = Q-1 A = Q-1
Ini menunjukkan bahwa A -1 = Q. Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (kolom) ini pada hakekatnya adalah invers dari matriks A. Dapat disimpulkan pencarian invers dengan operasi kolom elementer sebagai berikut:
A I ~ I A -1
Untuk menggunakan metode operasi kolom elementer pada matriks A, dapat dilakukan operasi-operasi berikut: a.
Mengalikan suatu kolom dengan bilangan tak nol.
b.
Menambahkan kelipatan suatu kolom pada kolom lain.
c.
Menukarkan sembarang dua buah kolom.
Ketiga operasi tersebut atau hanya salah satunya saja dapat digunakan dalam operasi kolom elementer. Contoh:
2 Tentukan invers dari matriks C = 1 - 1 2 1 C 1 I 1 0 0
4 3
2 0 1 0
4
2 3 K 21(-2) 0 K 31(-2) 0 1
4 3 -2
2 dengan metode OKE! - 3 4
2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 2 2 K 12(-1) 0 0 1 1 0 0
2 0 1 3 1 0
0
0
1
0
0 1 2 2 1 0 0 1
9
2 0 0 K 13(-1) 5 1 1
2.2.3
1.
0 1 0
2 1 0
1 0 0 0 1 K 2 1(1/2) 5 2 0 1 2 1 1 2 0
1 0 0 1 K 3(-1) 2 2 1 0 0 1 0
0
1 0 0 5 2 1 2 1 2
1 0 I 0 1 -1 2 2 C 1 0 0 1 0
0
Sifat-sifat Invers Matriks
Jika suatu matriks memiliki invers maka matriks inversnya adalah tunggal (unique) Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku : AB = BA = I, dan juga AC = CA = I Tetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B
....................(*)
BAC = (BA)C = IC = C .....................(**) Dari (*) dan (**) haruslah B = C.
2.
Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri -1
Andaikan matriks C = A , berarti berlaku : AC = CA = I
(*) -1
-1
Tetapi juga berlaku C C = C C = I
(**)
Dari (*) dan (**) berarti : -1
C = A -1 -1
(A ) = A.
3.
Matriks invers bersifat nonsingular (determinanya tidak nol) -1
-1
det (A A ) = det (A) det (A ) -1
det (I) = det (A) det (A ) -1
1 = det (A) det (A ) ; karena det (A) 0 , maka :
10
1
-1
det (A ) =
det (A) -1
ini berarti bahwa det (A ) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).
4.
Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan (AB) -1=B-1A-1 -1
-1
(AB) (AB) = (AB) (AB) = I
(*)
di sisi lain : -1
-1
-1
-1
-1
-1
(AB) (B A ) = A(BB ) A = A I A = A A = I -1
-1
-1
-1
-1
-1
(B A ) (AB) = B (A A) B = B I B = B B = I
(**)
Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena -1
-1
itu dari (*) dan (**). dapatlah disimpulkan bahwa (AB) = B A
5.
-1
Jika matriks persegi A berdimensi n dan non singular, maka berlaku (A T)1
= (A-1)T T
T -1
Menurut sifat determinan : A = A 0, oleh sebab itu (A ) ada, dan haruslah: T -1
(A )
T
T
T -1
A = A (A )
=I
(*)
Di sisi lain menurut sifat transpose matriks: -1 T
-1 T
(A A ) = (A ) A T
-1 T
T
T
I = (A ) A -1 T
T
-1 T
(A ) A = I, hubungan ini berarti bahwa (A ) adalah juga invers dari T
A .
Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*), haruslah: -1 T
T -1
(A ) = (A ) .
11
2.3
PENGAPLIKASIAN INVERS MATRIKS
Terdapat beberapa cara pengaplikasian invers matriks diantaranya adalah sebagai berikut: 1.
Analisis struktur menggunakan matriks pada kekakuan global struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
4EI [ Ks ] = L 0
4EI 0 L 2EI 0 L
2EI
8EI L L 2EI 4EI L L
2EI
L 4EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }
{ Us } = [ Ks ] -1 { Ps }
dimana : Us = deformasi ujung-ujung aktif Ks = kekakuan struktur Ps = gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi) Contoh:
0
0
−
q L2
q L2
1 2 12 qL Ps 1 qL2 12 Menghitung invers matriks kekakuan global [ Ks ] -1
8EI Ks L 2EI L
Ks 1
2EI
L 4EI L
4 2 4 8.4 2.2 EI 2 1
L
4 2 4 28EI 2 L
Jadi: { Us } = [ Ks ] -1 { Ps }
12
13
14
15
2.
Memudahkan dalam membuat suatu analisis mengenai masalah ekonomi tertentu yang mengandung bermacam-macam variabel bebas.
3.
Invers matriks digunakan pada sistem software SAP 2000, software ini memanfaatkan
metode
matriks
dalam
menyelesaikan
matematis
kontruksi.
4.
Pengiriman pesan dan pembacaan pesan kriptografi menggunakan invers matriks. Proses persandian(encoding ) diawali dengan menentukan aturan konversi, matriks kunci dan perkalian kedua matriks tersebut. Hal ini dimaksudkan agar pesan tidak bisa diketahui maknanya kecuali penerima pesan(receiver ). Kualifikasi keamanan suatu pesan sandi ditentukan oleh kompleksitas aturan konversi dan pemilihan matriks kunci. Akibatnya, semakin kompleks aturan konversi dan matriks kunci akan menghasilkan pesan sandi yang lebih aman.
16
BAB 3 PENUTUP
3.1
KESIMPULAN
Matriks adalah matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Penggunakan matriks dapat mempermudah dalam membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks berukuran nxn) dan matriks tersebut non singular. Tidak semua matriks memiliki invers. Definisi invers matrik adalah jika A merupakan suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (irrevertible) dan B dinamakan invers dari A. Pada dasarnya dalam
kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan
dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata masalah matematika. Dengan kata lain, banyak sekali pengaplikasian matematika dalam kehidupan sehari-hari. Pada invers matriks pengaplikasiannya digunakan dalam analisis struktur suatu bangunan, analisis variabel-variabel ekonomi, dimanfaatkan dalam sistem SAP 2000, hingga digunakan untuk pemecahan sandi pada kriptografi.
3.2
SARAN
Matematika merupakan salah satu mata kuliah yang kurang disukai oleh sekelompok kalangan mahasiswa. Padahal matematika ini mempunyai banyak pengaplikasian yang bisa diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh sebab itu penulis memberikan saran yaitu: 1.
Pengajaran untuk mata kuliah matematika dilakukan dengan cara yang lebih menarik.
2.
Mahasiswa seharusnya lebih memperdalam matematika agar dapat mengerti dan menyukai mata kuliah ini.
3.
Mahasiswa juga harus mulai mengaplikasikan materi-materi matematika yang telah diperoleh, pada kehidupan sehari-hari. 17
DAFTAR PUSTAKA
Suwandi,
Ipin.
2014.
Makalah
http://www.c086suwandiumpar.wordpress.com.
Diakses
Matriks. pada
(07
November 2016). Wiewiet. 2014. Pengertian Matriks. http://www.wiettwiet.blogspot.com. Diakses pada (06 November 2016). Nurma. Materi Matriks. http://www.nurma.staff.gunadarma.ac.id. Diakses pada (04 November 2016). Suhariyadi,
Andi.
Bab
5
http://www.andisuharyadi.dosen.narotama.ac.id.
Matriks Diakses
Invers. pada
(04
November 2016)
iv
