Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar.
Macam-macam Irisan Kerucut: 1. 2. 3. 4.
Parabola Elips Hiperbola Lingkaran
Irisan kerucut (yang berbentuk parabola, elips, hiperbola) adalah
2. Persamaan Parabola Berpusat Di (0,0)
tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik
1)
2)
tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.
Irisan kerucut juga dapat disebut 2
Himpunan titik-titik (x,y) yang 2
memenuhi persamaan Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
A. PARABOLA 1. Definisi Parabola:
y2 = 4px
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian hingga
y2 = - 4px
jarak P dari suatu titik tertentu = jaraknya dari suatu garis tertentu. 3)
Titik tertentu : focus
4)
Garis tertentu : direktriks. Garis yang tegak lurus pada direktriks dan melalui fokus : sumbu parabola. Perpotongan antara sumbu dan para-bola : puncak parabola.
X2 = 4py
1
X2 = -4py
Matematika15.wordpress.com
Contoh 1:
3. Persamaan Parabola Berpusat Di (a,b) 1)
2)
Contoh 2:
(y-b)2 = 4p(x-a)
3)
4)
(x-a)2 = 4p (y-b)
2
(y-b)2 = -4p(x-a)
(x-a)2 = - 4p (y-b)
Matematika15.wordpress.com 4. Garis Singgung Pada Parabola a. Kedudukan Garis Terhadap Parabola Kedudukan garis terhadap parabola ada 3 kemungkinan, yaitu: -
Parabola berpuncak di (a,b):
Gambar (a) → Garis tidak memotong parabola Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di parabola
2) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) di luar parabola
Gambar (c) → Garis memotong 2 titik di parabola
Definisi: Jika dari sebuah titik P(x1,y1) di luar parabola ditarik dua buah
Cara menentukan hubungan garis dengan parabola:
garis singgung, maka garis penghubung p antara kedua titik
Misal:
singgunya disebut garis polar p terhadap parabola dan P disebut titik
Garis g: y = mx + n ……. (1) 2
Parbola: y = 4px
polar garis p
..…… (2)
-
Parabola berpuncak di (0,0):
-
Parabola berpuncak di (a,b):
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru
2
2
Missal P.K Baru : ax + bx + c = 0 → D = b – 4.a.c dapat dinyatakan: 1. D < 0 → Garis tidak memotong parabola 2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di parabola 3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di parabola Contoh 3:
Contoh 4: 2
Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = 4x dari titik P(-1,0) Jawab: b. Persamaan Garis Singgung Parabola 1) Menentukan P.G.S di titik P(x1,y1) pada parabola -
Parabola berpuncak di (0,0):
3
Matematika15.wordpress.com
3) Menentukan P.G.S parabola dengan gradien tertentu (m)
2. Persamaan Elips
-
Parabola berpuncak di (0,0):
a. Berpusat di O(0,0)
-
Parabola berpuncak di (a,b):
Contoh 5:
B. ELIPS 1. Definisi Elips Elips adalah himpunan semua titik dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api (F1 dan F2). Jumlah jarak tetap = 2a (a>0) dan jarak F1 dan F2 adalah 𝐹1 𝐹2 = 2c. b. Berpusat di M(p,q)
4
Matematika15.wordpress.com Contoh 7:
Contoh 6:
e. sketsa grafiknya adalah sebagai berikut.
3. Bentuk Umum Elips
4. Persamaan Garis Singgung Elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum: 2
a. Hubungan Garis dan Elips
2
Ax + By +Cx + Dy + E = 0
Kedudukan garis terhadap Elips ada 3 kemungkinan, yaitu:
Dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A≠0, B≠0, Tanda A dan B sama, yang diperoleh dari persamaan elips: (x−p)2 a2 2 2
+
(y−q)2 b2 2 2
2
2
2
2
= 1, sehingga A = b , B = a , C = -2b p, D = -2a q dan E = 2 2
b p + a q – a b , dengan a > b
5
Matematika15.wordpress.com Gambar (a) → Garis memotong 2 titik di elips Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di elips Gambar (c) → Garis tidak memotong elips Cara menentukan hubungan garis dengan elips: Misal: Garis: y = ax + b ……. (1) 2
2
Elips: Ax + By + Cx + Dy + E = 0 ..……
c. Menentukan P.G.S pada elips di suatu titik di luar Elips
(2)
Contoh 10:
Subtitusi (1) ke (2) → P.K baru Misal P.K Baru : ax + bx + c = 0 → D = b – 4.a.c dapat dinyatakan:
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
1. D < 0 → Garis tidak memotong Elips
titik P(2,7). Tentukan pula titik singgungnya.
2. D = 0 → Garis memotong 1 titik di Elips
Jawab:
2
2
3. D > 0 → Garis memotong 2 titik di Elips
Titik P(2,7) terletak di luar elips
Contoh 8: karena
22 100
+
72 25
x2 100
+
y2 25
x2 100
+
y2 25
= 1 melalui
= 1,
– 1 = 2 – 1 = 1 > 0.
Persamaan garis polar di titik P(2,7) adalah:
b. Menentukan P.G.S pada Elips di suatu Titik pada Elips
4. Menentukan P.G.S pada elips dengan gradien tertentu Contoh 9: Tentukan pers. Garis singgung di titik (-4,6) pada elips
(x+4)2 36
+
(y−2)2 16
=
1 Jawab: Titik (-4,6) terletak pada elips (6−2)2 16
(x+4)2 36
+
(y−2)2 16
= 1, karena
(−4+4)2 36
+
=1
6
Matematika15.wordpress.com Contoh 11: 2
2
Tentukan pers. garis singgung elips 3x + 4y – 30x – 8y + 4 = 0 yang sejajar garis x – 2y + 3 = 0. Jawab:
2. Persamaan Hiperbola Berpusat di O(0,0)
C. HIPERBOLA 1. Pengertian hiperbola Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu sama. Kedua titik tertentu itu disebut fokus (titik api) hiperbola, selisih jarak yang sama = 2a (a>0), dan jarak kedua fokus = 2c dengan 2c > 2a.
7
Matematika15.wordpress.com 3. Persamaan Hiperbola Berpusat di (p,q)
Pusat di O(0,0)
Pusat di (p,q)
Contoh 12: Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, sumbu simetri, dan asimtot dari hiperbola yang persamaannya diberikan berikut ini: 2
2
(a) y – 2x = 8 2
2
(b) 9x – 25y – 72x – 250y – 706 = 0 Jawab:
4. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola Bentuk umum persamaan hiperbola adalah: 2
2
Ax – By + Cx + Dy + E = 0, dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A ≠ 0, B ≠ 0, dan A ≠ B
5. Asimtot Pada Hiperbola Asimtot suatu garis lengkung adalah sebuah garis lurus yang makin lama makin didekati oleh garis lengkung itu tetapi tidak pernah berpotongan.
8
Matematika15.wordpress.com
Contoh 13:
Jawab:
2) Persamaan Garis Singgung yang Bergradien m pada Hiperbola
6. Persamaan Garis Singgung Hiperbola 1) persamaan garis singgung melalui p(x1,y1)
Contoh 15:
Contoh 14: 3) Persamaan garis singgung melalui titik A(x1,y1) di luar hiperbola Penentuan persamaan garis singgung melalui titik A(x1,y1) di luar hiperbola menggunakan pertolongan formula pada bagian (A).
9
Matematika15.wordpress.com Contoh 16:
Subtitusikan (3) ke (2), diperoleh:
10
