MAKALAH PEMBAHASAN TENT TENTANG ANG INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Tugas T ugas akhir karya ilmiah matematika matematika
PEMBAHASAN TENTANG INTEGRAL DALAM KEHIDUP KEHI DUPAN AN SEHARI-HARI SEHARI- HARI Disusun Oleh : HERYADIK SIMATUPANG 513131!!"
Karya Tulis Ini Disusun Sebagai Salah Satu Syarat Dalam Menempuh Ujian Akhir SEMESTER
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
#AKULTAS TEKNIK UNI$ERSITAS UNI$ERSIT AS NEGERI MEDAN MEDAN !1"
HALAMAN PENGESAHAN
NAMA NIM !R)"RAM
: HER HERADIK ADIK SIMATU!AN" : #$%&$%$''( : !ENDIDIKAN TEKNIK E*EKTR)
+UDU* : !EM,AHASAN INTE"R INTE"RA* A* DA*AM KEHIDU! KEHIDU!AN AN SEHARI-HARI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
M.tt. :
%BUATKU YANG TERPENTING ADALAH BANGGA AYAH & IBU ALMAMATER 'UGA NEGARA KU()
PERSEMBAHAN : Karya Tulis ini kupersembahkan kepa/a : $0
bapak /an Ibu ter1inta
&0
Kakak kakakku
%0
Almamater
(0
Semua pemba1a yang bu/iman
KATA PENGANTAR !uji syukur !enulis limpahkan keha/irat Allah S2T3 karena atas pert.l.ngan Nya3 penulis /apat menyelesaikan Karya Tulis Ilmiah ini tepat pa/a 4aktu yang telah /iren1anakan sebelumnya0 Tak lupa sh.la4at serta salam !enulis haturkan kepa/a Nabi
Muhamma/ SA2 beserta keluarga /an sahabat3 sem.ga selalu /apat menuntun !enulis pa/a ruang /an 4aktu yang lain0 Untuk menyelesaikan karya tulis ini a/alah suatu hal yang mustahil apabila penulis ti/ak men/apatkan bantuan /an kerjasama /ari berbagai pihak0 Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepa/a : $0
& %
,apak3 Ibu /an Kakak ter1inta yang telah memberikan /.r.ngan m.ril maupun materil3 /an sebagai semangat untuk membuka semangat baru0 ,apak Drs0Marsangkap Silit.nga3M0!/3 selaku pembimbing0 Semua pihak yang telah membantu baik se1ara langsung maupun ti/ak langsung hingga terselesaikannya karya tulis ilmiah ini0 !enulis berharap sem.ga karya tulis ini berman5aat bagi semua pihak /an bila ter/apat kekurangan /alam pembuatan lap.ran ini penulis m.h.n maa53 karena penulis menya/ari karya tulis ilmiah ini masih jauh /ari kesempurnaan0
MEDAN3$+UNI &'$(
!ENU*IS HERADIK SIMATU!AN"
DA#TAR ISI BAB 1)PENDAHULUAN)))))))))))))))))))* 1)1)LATAR BELAKANG
BAB I PENDAHULUAN
1) LATAR BELAKANG )
Kalkulus 6,ahasa *atin: calculus3 artinya 7batu ke1il73 untuk menghitung8 a/alah 1abang ilmu matematika yang men1akup limit3 turunan3 integral3 /an /eret takterhingga0 Kalkulus a/alah ilmu mengenai perubahan3 sebagaimana ge.metri a/alah ilmu mengenai bentuk /an aljabara/alah ilmu mengenai pengerjaan untuk meme1ahkan persamaan serta aplikasinya0 Kalkulus memiliki aplikasi yang luas /alam bi/ang-bi/ang sains3 ek.n.mi3 /an teknik9 serta /apat meme1ahkan berbagai masalah yang ti/ak /apat /ipe1ahkan /engan aljabar elementer0 Kalkulus memiliki /ua 1abang utama3 kalkulus /i5erensial /an kalkulus integral yang saling berhubungan melalui te.rema /asar kalkulus0 !elajaran kalkulus a/alah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi3 yang khusus mempelajari 5ungsi /an limit3 yang se1ara umum /inamakan analisis matematika0 Karena kalkulus ini mempunyai /ua 1abang utama3 tapi /isini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya0 Seperti yang kita ketahui bah4a kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi3 baik /alam kehi/upan sehari-hari3 /alam /unia pen/i/ikan ataupun /alam /unia kesehatan0
Namun /isini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral /alam /unia pen/i/ikan yaitu /alam sains yang khususnya sika yaitu arus listrik0 Sehingga saya mengambil ju/ul Aplikasi Kalkulus Integral /alam Arus *istrik /alam !ermukaan Tertutup /an Daya *istrik /alam Ruang0
Seiring pesatnya perkembangan tekn.l.gi /an kemajuan ;aman3 maka /iperlukan suatu pr./uk /engan ketelitian /an akurasi tinggi3 /an 4aktu pengerjaan yang singkat0 ,egitu juga /engan permasalahan /alam bi/ang ilmu pengetahuan sika murni maupun terapan0 Dalam suatu perhitungan /engan /ata numerik membutuhkan ketelitian /an akurasi yang 1ukup baik0 !a/a saat tekn.l.gi in5.rmasi belum maju pesat3 para praktisi /an pr.5esi.nal /i bi/ang rekayasa teknik /an sains menganalisa /engan perhitungan manual0 Simplikasi /igunakan /imana struktur yang sangat k.mpleks /ise/erhanakan menja/i struktur yang lebih se/erhana0 Hal ini /ilakukan untuk menghin/ari kesulitan /alam analisa0 ,er/asarkan uraian /i atas3 maka penulis tertarik untuk membuat Karya tulis mengenai INTE"RA* /alam bi/ang kelistrikan /alam kehi/upan sehari hari0 1)
Tu+u,n
Tujuan berikut :
/ari
penyusunan
karya tulis
ini a/alah sebagai
A/apun tujuan /ari makalah ini a/alah: $0
Sejarah integral
&0
!engertian integral
%0
pengertian arus listrik
(0
!engertian /aya listrik
#0
Hubungan integral /engan arus listrik /an /aya listrik
1))1
Tu+u,n Uu
Tujuan umum /ari karya tulis ini a/alah:
a0
Sebagai salah satu syarat kelulusan /alam menyelesaikan tugas semester matematika & pen/i/ikan teknik elektr.0
b0
Untuk mengetahui /an memahami prinsip INTE"RA* /alam /unia kelistrikan0 1))
Tu+u,n .husus
Tujuan khusus /ari karya tulis ini a/alah: a0
Untuk mengetahui lebih jauh tentang INTE"RA* /alam kelistrikan0
b0
Sebagai bahan perban/ingan antara te.ri /an praktek yang telah /ilakukan saat praktek kerja lapangan0
10
Untuk menambah pengetahuan tentang INTE"RA* khususnya /alam bi/ang kelistrikan0 1)3
B,/,s,n M,s,l,h
Untuk nenghin/ari terja/inya pelebaran masalah maka3 penulis hanya membahas INTE"RA* saja00 1)"
Me/0e Penulis,n
Met./e penulisan merupakan suatu pen/ekatan yang /igunakan untuk mengumpulkan /ata3 meng.lah /ata3 /an menganalisa /ata /engan teknik tertentu0 Pe2uus,n M,s,l,h A/apun beberapa rumusan masalah /ari makalah ini a/alah: $0
,agaimana sejarah integral<
&0
Apa pengertian integral<
%0
Apa pengertian arus listrik<
(0
Apa pengertian /aya listrik<
#0
Apakah hubungan integral /engan arus listrik /an /aya listrik<
1)5
Me/0e Penu4ul,n D,/,
Sesuai /engan sumber /ata serta maksu/ /an tujuan penyusunan tugas akhir ini maka /alam pengumpulan /ata penulis menggunakan beberapa met./e sebagai berikut :
a0 Stu/i Kepustakaan Suatu met./e pengumpulan /ata yang /ilakukan /engan 1ara menggunakan /an mempelajari buku-buku3 internet3 atau me/ia lain yang a/a hubungannya /engan masalah karya tulis ini0 1)* Sis/e,/i., Penulis,n Untuk memberikan gambaran penulisan Tugas Akhir ini3 maka penulis memberikan sistematika penulisan sebagai berikut :
,A, I
!ENDAHU*UAN
!a/a bagian pen/ahuluan ini memberikan gambaran tentang isi karya tulis se1ara keseluruhan sehingga pemba1a /apat memper.leh in5.rmasi singkat /an tertarik untuk memba1a lebih lanjut0 Di/alam bagian pen/ahuluan memaparkan tentang latar belakang masalah3 tujuan penulisan3 batasan masalah3 met./e penulisan3 /an sistematika penulisan0
,A, II TE)RI DASAR Te.ri /asar ini merupakan gambaran se1ara umum tentang pembahasan alat /an hal-hal yang berkaitan /engan k.mp.nenk.mp.nen /asar yang sesuai /engan re5erensi alat0 Te.ri /asar yang a/a pa/a bab ini yaitu arus listrik3rangkaiann listrik3teangan0
,A, III !EM,AHASAN A*AT Dalam hal ini penulis mengemukakan tentang pembahasan alat yang isinya men1akup penjelasan 1ara kerja alat se1ara keseluruhan /engan 1ara menganalisa setiap bl.k /ari alat0
,A, I= !ENUTU! Isinya merupakan kesimpulan /ari pembahasan yang merupakan ja4aban terha/ap masalah serta berisi tentang saran-saran penulis yang /i/asarkan pa/a hasil pembahasan sehingga /apat /ikembangkan /engan lebih baik0
BAB II KA'IAN TEORI
A)
Se+,2,h In/e2,l Hitung integral merupakan met./e matematika /engan latar belakang sejarah yang 1ukup unik0 ,anyak ilmu4an3 baik matematika maupun n.n-matematika3 yang berminat terha/ap perkembangan matematika hitung integral0 Sejarah perkembangan kalkulus bisa /itilik pa/a beberapa peri./e ;aman3 yaitu;aman kun.3 ;aman pertengahan3 /an ;aman m./ern0 !a/a peri./e ;aman kun.0 ,eberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah mun1ul3 tetapi ti/ak /ikembangkan /engan baik /an sistematis0 !erhitungan >.lume /an luas yangmerupakan 5ungsi utama /ari kalkulus integral bisa /itelusuri kembali pa/a!apirus M.sk4a Mesir 610 $?'' SM80 !a/a papirus tersebut3 .rang Mesir telah mampu menghitung >.lume pirami/a terpan1ung0 Ar1hime/es mengembangkanpemikiran ini lebih jauh /an men1iptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral0 !a/a ;aman pertengahan3 matematika4an In/ia3 Aryabhata3 menggunakan k.nsep ke1il tak terhingga pa/a tahun (@@ /an mengekspresikan masalah astr.n.mi /alam bentuk persamaan /i5erensial /asar0!ersamaan ini kemu/ianmengantar ,hskara II pa/a aba/ ke-$& untuk mengembangkan bentuk a4alturunan yang me4akili perubahan yang sangat ke1il tak terhingga /anmenjelaskan bentuk a4al /ari 7Te.rema R.lle70 Sekitar tahun $'''3 matematika4an Irak Ibn al-Haytham 6Alha;en8 menja/i .rang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat3 /an /enganmenggunakan in/uksi matematika3 /ia mengembangkan suatu met./e untukmenurunkan rumus umum /ari hasil pangkat integral yang sangat pentingterha/ap perkembangan kalkulus integral0 !a/a aba/ ke-$&3 se.rang !ersiaShara5 al-Din al-Tusi menemukan turunan /ari 5ungsi kubik3
sebuah hasil yangpenting /alam kalkulus /i5erensial0 !a/a aba/ ke$(3 Ma/ha>a3 bersama /enganmatematika4an-astr.n.m /ari ma;hab astr.n.mi /an matematika Kerala3 menjelaskan kasus khusus /ari /eret Tayl.r3 yang /ituliskan /alam teks uktibhasa0 !a/a ;aman m./ern3 penemuan in/epen/en terja/i pa/a a4al aba/ ke-$B /i +epang .leh matematika4an seperti Seki K.4a0 Di Er.pa3 beberapa matematika4an seperti +.hn 2allis /an Isaa1 ,arr.4 memberikan ter.b.san/alam kalkulus0 +ames "reg.ry membuktikan sebuah kasus khusus /ari te.rema/asar kalkulus pa/a tahun $CC?0 ".tt5rie/ 2ilhelm *eibni; pa/a a4alnya/itu/uh menjiplak /ari hasil kerja Sir Isaa1 Ne4t.n yang ti/ak /ipublikasikan3namun sekarang /ianggap sebagai k.ntribut.r kalkulus yang hasil kerjanya/ilakukan se1ara terpisah0 *eibni; /an Ne4t.n men/.r.ng pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan /an ke/ua .rang ilmu4an tersebut/ianggap sebagai penemu kalkulus se1ara terpisah /alam 4aktu yang hampirbersamaan0 Ne4t.n mengaplikasikan kalkulus se1ara umum ke bi/ang sika sementara *eibni; mengembangkan n.tasi-n.tasi kalkulus yang banyak /igunakan sekarang0 Ketika Ne4t.n /an *eibni; mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali3 timbul k.ntr.>ersi /i antara matematika4an tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terha/ap kerja mereka0Ne4t.n menurunkan hasil kerjanya terlebih /ahulu3 tetapi *eibni; yang pertamakali mempublikasikannya0 Ne4t.n menu/uh *eibni; men1uri pemikirannya /ari1atatan-1atatan yang ti/ak /ipublikasikan3 yang sering /ipinjamkan Ne4t.nkepa/a beberapa angg.ta /ari R.yal S.1iety0!emeriksaan se1ara terperin1imenunjukkan bah4a ke/uanya bekerja se1ara terpisah3 /engan *eibni; memulai/ari integral /an Ne4t.n /ari turunan0 Sekarang3 baik Ne4t.n /an *eibni;/iberikan penghargaan /alam mengembangkan kalkulus se1ara terpisah0 A/alah*eibni; yang memberikan nama kepa/a ilmu 1abang matematika ini sebagaikalkulus3 se/angkan Ne4t.n menamakannya 7The s1ien1e .5 ui.ns70 Sejak itu3banyak matematika4an yang memberikan k.ntribusi terha/ap pengembanganlebih lanjut /ari kalkulus0Kalkulus menja/i t.pik yang sangat umum /i SMA /anuni>ersitas ;aman m./ern0
B)
Pene2/i,n In/e2,l Integral merupakan suatu .bjek matematika yang /apat /iinterpretasikan sebagai luas 4ilayah ataupun generalisasi suatu 4ilayah0 !r.ses menemukan integral suatu 5ungsi /isebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi0 Integral /ibagi menja/i /ua3 yaitu: integral tertentu /an integral tak tentu0 N.tasi matematika
yang /igunakan untuk menyatakan integral a/alah3 seperti huru5 S yang memanjang 6S singkatan /ari "Sum" yang berarti penjumlahan80
Integral /alam kehi/upan sehari-hari sangatlah luas 1angkupannya seperti /igunakan /i bi/ang tekn.l.gi3sika3ek.n.mi3matematika3teknik /an bi/ang-bi/ang lain0 Integral /alam bi/ang tekn.l.gi /iantaranya /igunakan untuk meme1ahkan pers.alan yang berhubungan /engan >.lume3panjang kur>a3memperkirakan p.pulasi3keluaran kar/iak3usaha3gaya /an surplus k.nsumen0 Se/angkan /alam bi/ang ek.n.mi penerapan integral /iantarana a/a ( yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan /alam perilaku ek.n.mi3 men1ari 5ungsi k.nsumsi /ari 5ungsi k.nsumsi marginal3men1ari 5ungsi asal /ari 5ungsi marginalnya /an men1ari 5ungsi penerimaan t.tal /ari 5ungsi marginalnya0 Dalam bi/ang matematika /an sika penerapan integral juga /igunakan3seperti /alam matematika /igunakan untuk menentukan luas suatu bi/ang3menentukan >.lum ben/a putar /an menentukan panjang busur0 Se/angkan /alam sika integral /igunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AF3 analisis me/an magnet pa/a kumparan3 /an analisis gaya-gaya pa/a struktur pelengkung0 !enerapan integral /alam bi/ang teknik /igunakan untuk mengetahui >.lume ben/a putar /an /igunakan untuk mengetahui luas /aerah pa/a kur>a0 F.nt.h integral /alam kehi/upan sehari-hari3kita tahu ke1epatan sebuah m.t.r pa/a 4aktu tertentu3 tapi kita ingin tau p.sisi ben/a itu pa/a setiap 4aktu0 Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan pr.ses integral 6anti/i5erensial8 /an *ihat ge/ung !etr.nas /i Kuala *umpur atau ge/ung-ge/ung bertingkat /i +akarta0 Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya0 Karenanya bagian atas bangunan harus /iran1ang berbe/a /engan bagian ba4ah0 Untuk menentukan ran1angan yang tepat3 /ipakailah integral0 F.nt.h s.al yang menggunakan Integral /alam bi/ang ek.n.mi : $0 Diketahui MR suatu perusahaan a/alah $#G $'G #0 Tentukan penerimaan t.talnya 6TR83 jika 1 J ' < &
&0 TR J MR /G J $#G $'G # /G J #G #G #G 1 jika 1 J ' TR J #G #G #G &
%
&
%
&
&0 Diketahui pr./uk marginalnya &G (3 maka pr./uk t.talnya jika 1J'< ! J M! /G J &G ( J &L% G (G 1 jika 1 J ' ! J &L% G (G Analisa : Dari perhitungan tersebut /apat /iketahui bah4a 5ungsi t.tal pr./uksi a/alah ! J &L% G (G &
&
%
%
%
$0
Integral tertentu Diberikan suatu 5ungsi ƒ ber>ariabel real x /an inter>al antara a3 b pa/a garis real3 integral tertentu:
se1ara in5.rmal /i/enisikan sebagai luas 4ilayah pa/a bi/ang y yang /ibatasi .leh kur>a grak ƒ 3 sumbu-3 /an garis >ertikal x J a /an x J b0 !a/a n.tasi integral /i atas: a a/alah batas bawah /an b a/alah batas atas yang menentukan /.main pengintegralan3 ƒ a/alah integran yang akan /ie>aluasi terha/ap x pa/a inter>al a3b3 /an dx a/alah >ariabel pengintegralan0
Seiring /engan semakin banyaknya subinter>al /an semakin sempitnya lebar subinter>al yang /iambil3 luas keseluruhan batangan akan semakin men/ekati luas /aerah /i ba4ah kur>a0 Ter/apat berbagai jenis pen/enisian 5.rmal integral tertentu3 namun yang paling umumnya /igunakan a/alah /enisi integral Riemann0 Integral Rieman /i/enisikan sebagai limit /ari penjumlahan Riemann0 Misalkanlah kita hen/ak men1ari luas /aerah yang /ibatasi .leh 5ungsi ƒ pa/a inter>al tertutup a3b0 Dalam men1ari luas /aerah tersebut3 inter>al a3b /apat kita bagi menja/i banyak subinter>al yang lebarnya ti/ak perlu sama3 /an kita memilih sejumlah n-$ titik O x 3 x 3 x 30003 x P antara a /engan b sehingga memenuhi hubungan: $
&
%
n-$
Himpunan tersebut kita sebut sebagai 4,2/isi a3b3 yang membagi a3b menja/i sejumlah nsubinter>al0 *ebar subinter>al pertama x 3 x kita nyatakan sebagai Q x 3 /emikian pula lebar subinter>al ke'
$
$
i kita nyatakan sebagai Q x J x - x 0 !a/a tiap-tiap subinter>al inilah kita pilih suatu titik sembarang /an pa/a subinter>al ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t 0 Maka pa/a tiap-tiap subinter>al akan ter/apat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Q x /an tingginya bera4al /ari sumbu x sampai menyentuh titik 6t 3 ƒ 6t 88 pa/a kur>a0 Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut /engan mengalikan ƒ 6t 8 Q x /an menjumlahkan keseluruhan luas /aerah batangan tersebut3 kita akan /apatkan: i
i-$
i
i
i
i
i
i
!enjumlahan S /isebut sebagai 4en+ul,h,n Rie,nn un/u. ƒ 4,, in/e2,l 6a7b8)!erhatikan bah4a semakin ke1il subinter>al partisi yang kita ambil3 hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin men/ekati nilai luas /aerah yang kita inginkan0 Apabila kita mengambil limit /ari n.rma partisi men/ekati n.l3 maka kita akan men/apatkan luas /aerah tersebut0 p
Se1ara 1ermat3 /enisi integral tertentu sebagai limit /ari penjumlahan Riemann a/alah: Diberikan ƒ 6 x 8 sebagai 5ungsi yang ter/enisikan pa/a inter>al tertutup a3b0 Kita katakan bah4a bilangan I a/alah in/e2,l /e2/en/u ƒ /i sepanjang a3b /an bah4a I a/alah limit /ari penjumlahan Riemann apabila k.n/isi berikut /ipenuhi: Untuk setiap bilangan ' apapun ter/apat sebuah bilangan ' yang berk.resp.n/ensi /engannya se/emikian rupanya untuk setiap partisi /i sepanjang a3b /engan /an pilihan t apapun pa/a x 3 t 3 kita /apatkan i
k - $
i
Se1ara matematis /apat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinter>al yang sama3 maka lebar Q x J 6b-a8Ln3 sehingga persamaan /i atas /apat pula kita tulis sebagai:
*imit ini selalu /iambil ketika n.rma partisi men/ekati n.l /an jumlah subinter>al yang a/a men/ekati tak terhingga banyaknya0 90n/0h: Sebagai 1.nt.hnya3 apabila kita hen/ak menghitung integral tertentu 3 yakni men1ari luas /aerah A /iba4ah kur>a y J x pa/a inter>al '3b3 b'3 maka perhitungan integral tertentu sebagai limit
/ari penjumlahan Riemannnya a/alah !emilihan partisi ataupun titik t se1ara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang n.rma partisi tersebut men/ekati n.l0 Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi inter>al '3b menja/i n subinter>al yang berlebar sama Q x J 6b - '8Ln J bLn /an titik t' yang /ipilih a/alah titik akhir kiri setiap subinter>al3 partisi yang kita /apatkan a/alah: i
i
/an3 sehingga:
Seiring /engan n men/ekati tak terhingga /an n.rma partisi men/ekati '3 maka /i/apatkan:
Dalam prakteknya3 penerapan /enisi integral tertentu /alam men1ari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali /igunakan karena ti/ak praktis0 Te.rema /asar kalkulusmemberikan 1ara yang lebih praktis /alam men1ari nilai integral tertentu0 &0
Integral tak tentu Manakala integral tertentu a/alah sebuah bilangan yang besarnya /itentukan /engan mengambil limit penjumlahan Riemann3 yang /ias.siasikan /engan partisi inter>al tertutup yang n.rma partisinya men/ekati n.l3 te.rema /asar kalkulus menyatakan bah4a integral tertentu sebuah 5ungsi k.ntinu /apat /ihitung /engan mu/ah apabila kita /apat men1ari antiturunanLanti/eri>ati5 5ungsi tersebut0 Apabila Keseluruhan himpunan antiturunanLanti/eri>ati5 sebuah 5ungsi ƒ a/alah integral tak tentu ataupun primiti5 /ari ƒ terha/ap /an /ituliskan se1ara matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C a/alah anti/eri>ati5 umum ƒ /an C a/alah k.nstanta sembarang0 Misalkan ter/apat sebuah 5ungsi3 maka integral tak tentu ataupun antiturunan /ari 5ungsi tersebut a/alah:
!erhatikan bah4a integral tertentu berbe/a /engan integral tak tentu0 Integral tertentu /alam bentuk a/alah sebuah bilangan3 manakala integral tak tentu : a/alah sebuah 5ungsi yang memiliki tambahan k.nstanta sembarang C0
9)
Pene2/i,n A2us Lis/2i. Arus listrik a/alah banyaknya muatan listrik yang /isebabkan /ari pergerakan elektr.n-elektr.n3 mengalir melalui suatu titik /alam sirkuit listrik tiap satuan 4aktu0 Arus listrik /apat /iukur /alam satuan F.ul.mbL/etik atau Ampere0 F.nt.h arus listrik /alam kehi/upan sehari-hari berkisar /ari yang sangat lemah /alam satuan mikr.Ampere 68 seperti /i /alam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat $-&'' kil.Ampere 6kA8 seperti yang terja/i pa/a petir0 Dalam kebanyakan sirkuit arus searah /apat /iasumsikan resistansi terha/ap arus listrik a/alah k.nstan sehingga besar arus yang mengalir /alam sirkuit bergantung pa/a >.ltase /an resistansi sesuai /engan hukum )hm0 $
Arus listrik merupakan satu /ari tujuh satuan p.k.k /alam satuan internasi.nal0 Satuan internasi.nal untuk arus listrik a/alah Ampere 6A80 Se1ara 5.rmal satuan Ampere /i/enisikan sebagai arus k.nstan yang3 bila /ipertahankan3 akan menghasilkan gaya sebesar & $' Ne4t.nLmeter /i antara /ua penghantar lurus sejajar3 /engan luas penampang yang /apat /iabaikan3 berjarak $ meter satu sama lain /alam ruang hampa u/ara0 -B
Arus listrik a/alah perban/ingan jumlah muatan6G8 yang mengalir pa/a suatu titik /alam penghantar /engan 4aktu 6t8 yang /itempuhnya0 I J GLt I J arus listrik 6Ampere8 G J muatan yang /ipin/ahkan
6F.ul.mb8
t J 4aktu 6/etik8 $ A J $ F.ul.mbL/etik
+ika terja/i perubahan aliran muatan 6aliran muatan ti/ak k.nstan3 berubah-ubah83 maka arus listrik yang mengalir a/alah : I J /GL/t I J arus listrik 6Ampere8 /G J perubahan aliran muatan 6F.ul.mb8
/t J perubahan 4aktu 6/etik8
D)
Pene2/i,n D,, Lis/2i. Daya listrik /i/enisikan sebagai laju hantaran energi listrik /alam rangkaian listrik0 Daya listrik3 seperti /aya mekanik3 /ilambangkan .leh huru5 P. Satuan SI yang /ipakai a/alah watt 0 Arus listrik yang mengalir /alam rangkaian /engan hambatan listrik menimbulkan kerja0 !eranti mengk.n>ersi kerja ini ke /alam berbagai bentuk yang berguna3 seperti panas 6seperti pa/a pemanas listrik83 1ahaya 6seperti pa/aBOLA lampu83 energi kinetik 6m.t.r listrik83 /an suara 6l.u/speaker80 *istrik /apat /iper.leh /ari pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai0
E)
Hu;un,n In/e2,l en,n A2us ,n D,, Lis/2i. Ternyata hubungan integral /engan arus /an /aya listrik yaitu berkataian /alam rumusnya /alam permukaan yang tertutup /an /alam rangan0 Dan /isini kita akan membahasnya yaitu:
$0
Arus *istrik /alam !ermukaan Tertutup Arus yang mengalir /alam suatu permukaan tertutup /engan kerapatan arus /apat /itentukan /engan perhitungan integral tertutup :
I J arus listrik /alam permukaan tertutup 6A8 J kerapatan arus 6ALm 8 &
/ A J k.mp.nen /i5erensial permukaan0 &0
!erumusan /aya listrik /alam ruang Dalam kasus umum3 persamaan P J !I harus /iganti /engan perhitungan yang lebih rumit3 yaitu integral hasil kali >ekt.r me/an listrik /an me/an magnet /alam ruang tertentu0
0/ensi,l Lis/2i. ,n Ene2i P0/ensi,l ,n i/i;ul.,n 0leh Mu,/,n Ti/i. 0!.tensial listrik pa/a sebuah titik yang /iletakkan sejauh r /ari muatan V /apat /itentukan /ngan persamaan umum be/a p.tensial
Dengan A /an , a/alah /ua titik sebarang sperti /itunjukkan pa/a gambar berikut0 !a/a titik tertentu /i /alam ruang3 me/an listrik yang /itimbulkan .leh muatan titik a/alah E J k V rt.pi L rkua/rat3 /engan rt.pi a/alah >ekt.r satuan yang arahnya /ari muatan ke titik tinjauan0 ,esaran E W /s /apat /inyatakan /alam bentuk
Karena besar rt.pi a/alah $ maka hasil kali titik rt.piW /s J /s 1.s V3 /engan V a/alah su/ut antara rt.pi/an /s0 Selanjutnya3 /s 1.s V merupakan pr.yeksi /s pa/a 23 sehingga /s 1.s V J /r0 !erpin/ahan /ssepanjang lintasan /ari titik A ke , menghasilkan perubahan /r sebagai nilai 23 yaitu >e1t.r p.sisi titik tinjauan relati>e terha/ap muatan yang membentuk me/an tersebut0 Dengan subtitusi3 /iper.leh E < /s = >. ? @2 2
Sehingga pernyataan untuk be/a p.tensial menja/i
!ersamaan ini menunjukkan bah4a integral Eati50 ,erkaitan /engan gaya k.nser>ati5 ini /i/e5enisikan pula e,n .0nse2,/i 0 Dengan /emikian persamaan 5)1! menunjukkan bah4a me/an listrik /ari sebuah muatan titik tetap bersi5at k.nser>ati50 *ebih jauh lagi3 persamaan 5)1! menyatakan sebuah hasil penting bah4a be/a p.tensial antara /ua titik A /an , /i /alam me/an yang /ihasilkan .leh sebuah muatan titik hanya bergantung pa/a k..r/inat ra/ial r /an r 0 !emilihan titik a1uan p.tensial listrik untuk sebuah muatan titik /apat /isesuaikan3 misalnya = J ' pa/a r J X0 Dengan pilihan .
.
A
,
A
a1uan ini3 p.tensial listrik yang /ihasilkan .leh sebuah muatan titik pa/a jarak r /ari muatan tersebut a/alah
!.tensial listrik t.tal pa/a sebuah titik ! yang /ihasilkan .leh /ua atau lebih muatan /apat /iper.leh /engan menerapkan prinsip superp.sisi pa/a persamaan /i atas0 !.tensial listrik t.tal tersebut sama /engan jumlah /ari p.tensial listrik yang /ihasilkan .leh masing-masing muatan3 sehingga /apat /itulis
/engan r a/alah jarak titik ! ke muatan V 0 !ersamaan ini menunjukkan bah4a p.tensial akan bernilai n.l pa/a titik jarak tak terhingga /ari muatan0 !erlu /iingat bah4a persamaan ini merupakan penjumlahan aljabar /an bukan penjumlahan >ekt.r0 Dengan /emikian3 biasanya lebih mu/ah menghitung = /ari pa/a menghitungE0 i
i
Selanjutnya akan /ibahas energi p.tensial sebuah sistem yang ter/iri /ari /ua partikel bermuatan0 +ika = a/alah p.tensial listrik /i titik ! yang yang /itimbulkan .leh muatan V 3 maka usaha yang harus /ilakukan .leh pengaruh luar untuk memba4a muatan ke/ua V /ari jarak tak terhingga menuju ! tanpa per1epatan a/alah V = 0 Usaha ini merepresentasikan sebuah perpin/ahan energi ke /alam sistem /an energi tersebut timbul /i /alam sistem sebagai energi p.tensial U jika ke/ua partikel terpisah sejauh r 0 &
&
$
$
&
$&
Dengan /emikian energi p.tensial sistem a/alah
+ika ke/ua muatan bertan/a sama3 maka U p.siti50 Hal ini sesuai /engan kenyataan bah4a usaha p.siti5 harus /ilakukan .leh sebuah pengaruh luar terha/ap sistem untuk memba4a ke/ua muatan men/ekat satu sama lain 6karena muatan yang bertan/a sama t.lak-men.lak80 +ika ke/ua muatan berla4anan tan/a3 U negati59 ini berarti bah4a usaha negati5 /ilakukan .leh pengaruh luar mela4an gaya
tarik /i antara ke/ua muatan yang berla4anan tan/a tersebut ketika /iba4a saling men/ekati sebuah gaya harus /iberikan /alam arah yang berla4anan /engan perpin/ahan untuk men1egah terja/inya per1epatan V menuju V 0 $
&
!a/a gambar berikut3 muatan V /ihilangkan0 !a/a p.sisi a4al muatan V$3 yaitu titik !3 persamaan 5) ,n 5)13 /apat /igunakan untuk men/e5enisikan p.tensial yang /itimbulkan .leh muatan V&3 yaitu = J ULV J k V Lr 0 !ernyataan ini sesuai /engan persamaan 5)11) $
$
&
$&
+ika sistem ter/iri /ari lebih /ari /ua partikel bermuatan3 energi p.tensial t.talnya /apat /itentukan /engan menghitung U untuk setiap pasangan muatan /an menjumlahkannya se1ara aljabar0 Sebagai 1.nt.h3 tinjau gambar berikut0
Se1ara sis3 /apat /iinterpretasikan sebagai berikut : an/aikan p.sisi V tetap seperti pa/a gambar tetapi V /an V bera/a /i jarak tak terhingga0 Usaha t.tal yang harus /ilakukan .leh pengaruh luar untuk memba4a muatan V /ari jarak tak terhingga ke p.sisi /i /ekat V a/alah k V V Lr 3 yang merupakan suku pertama pa/a 4e2s,,,n 5)1"0 Dua suku terakhir menggambarkan usaha yang /iperlukan untuk memba4a V% /ari jarak tak terhingga men/ekati V /an V 0 $
&
%
&
$
$
&
$&
$
&
Hasilnya a/alah skalar3 karena ini a/alah integral permukaan /ari >ekt.r !.ynting0
BAB Ill PENUTUP !a/a bab ini penulis memaparkan beberapa kesimpulan /an saran saran yang penulis /apatkan /alam pr.ses mulai tahap stu/i literature3 .bser>asi /an pembahasan rangkaian0 A)
Kesi4ul,n Dari makalah /iatas /apat kita ambil kesimpulan bah4a kalkulus tersebut mempunyai 1abang utama yaitu kalkulus /iYerensial3 /an kalkulus integral0 Se/angkan kalkulus integral terbagi atas /ua ma1am lagi yaitu integral tertentu /an integral tak tentu0 Dan 1abang-1abang /ari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik /alam kehi/upan sehari3 /alam /unia pen/i/ikan ataupun kesehatan0 Seperti yang /ibahas /alam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi /alam /unia pen/i/ikan sains yaitu /alam bi/ang sika arus /an /aya listrik pa/a permukaan tertutup /an /alam ruang0
B)
S,2,n Sem.ga penulis /an pemba1a /apat mengetahui /an memahami aplikasi integral /alam bi/ang sika yait /alam arus /an /aya listrik pa/a permukaan tertutup /an /alam ruang0 +ika a/a kesalahan /alam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran /ari pemba1a0
DA#TAR PUSTAKA
Fekmas Fek/in0 &''#0 #$%i dan C$nt$h S$al #knik &l#kt%$0 An/i 9 .gyakarta0 Duane Hanselman Z ,ru1e *ittleel/0 &'''0 AA ahasa *$mputasi #knis0 An/i 9 .gyakarta0 Ham/hani3 M.hama/0 &''#0 an,kaian ist%ik 0 STTTE*K)M 9 ,an/ung0
