BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan dan memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, sains, ekonomi ekonomi,, dan teknik teknik,, serta serta dapat dapat memecah memecahkan kan berbaga berbagaii masala masalah h yang yang tidak tidak dapat dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkul kalkulus us integr integral al yang yang saling saling berhubu berhubungan ngan melalu melaluii teorem teoremaa dasar dasar kalkul kalkulus. us. Pelaja Pelajaran ran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalk kalkul ulus us inte integra grall tela telah h muncu muncul, l, teta tetapi pi tidak tidak dikem dikemba bangk ngkan an denga dengan n baik baik dan dan sist sistem emat atis is.. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moska Mesir !c. "#$$ SM% di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung.&rchimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikaan 'ndia, &ryabha &ryabhata, ta, menggun menggunaka akan n konsep konsep kecil kecil tak terhin terhingga gga pada pada tahun tahun ()) dan mengeks mengekspre presik sikan an masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. 1.2 Rumusan Masalah
Masalah masalah yang penulis rumuskan dalam makalah ini adalah sebagai berikut* ". +agaimana penerapan integral dalam bidang kesehatan . &pa penerapan integral dalam megukur keluaran kardiak jantung . &pa penerapan integral dalam metode penyembuhan luka (. & pa penerapan integral dalam pengobatan kanker/tumor
1
1.3 Tujuan Makalah
Sejalan dengan latar belakang dan rumusan masalah diatas, makalah ini disusun dengan tujuan sebagai berikut. ". Mengetahui penerapan integral dalam bidang kesehatan. . Memenuhi tugas akhir mata kuliah Kalkulus Peubah +anyak.
2
BAB II PEMBAHAAN 2.1 A!l"kas" Integral #"$"#ang %esehatan
Penerapan matematika semakin banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan misalnya pada bidang kesehatan yang mempelajari tentang keluaran kardiak jantung yang dibahas berikut ini. Selain itu, integral juga dapat diterapkan dalam proses penyembuhan luka pada mahluk hidup dan juga berguna dalam proses pengobatan kanker/tumor. 2.1.1 A!l"kas" Integral !a#a %eluaran %ar#"ak &antung
0ambar dibaah ini menunjukkan sistem kardiovaskular manusia.
1arah kembali dari tubuh melalui pembuluh darah balik !vena%, memasuki serambi kanan jantung, dan dipompa ke paru-paru melalui arteri pulmonari untuk oksigenasi. 1arah kemudian mengalir kembali ke serambi kiri melalui vena pulmonari dan kemudian keluar ke seluruh tubuh melalui aorta. 2aju aliran darah ke aorta atau volume darah yang dipompa jantung per satuan aktu disebut dengan keluaran kardiak atau curah jantung !0uyton*"))$*"3(%.
3
Keluaran kardiak jantung dapat diukur dengan menggunakan metode pengenceran zat arna. 4at arna digunakan untuk mengukur keluaran kardiak. 4at arna yang disuntikkan ke dalam serambi kanan mengalir melalui jantung ke aorta. &lat pemeriksa yang dimasukkan kedalam aorta berfungsi untuk mengukur konsentrasi zat arna yang meninggalkan jantung pasa saat yang tersebar merata sepanjang selang aktu 5$, 67 hingga seluruh zat arna dikeluarkan. Misalkan c!t% adalah konsentrasi zat arna pada saat t. 8ika kita bagi 5$, 67 atas selang bagian dengan panjang 9t yang sama, maka jumlah zat arna yang mengalir melalui titik ukur selama selang bagian dari t : t i-" ke t : ti kurang lebih sama dengan !konsentrasi%!volume% : c!t"%!; 9t%
dengan ; menyatakan laju aliran yang sedang kita coba tentukan. 8adi, jumlah total zat arna kurang lebih sama dengan t c
t
¿
c
n
¿ ∑ = i
"
% ; 9t : ;
1
¿
n
¿ ∑ = i
"
% 9t
1
dan dengan mengambil n < =, kita peroleh baha jumlah zat arna adalah T
&:;
∫ c ( t ) dt 0
8adi keluaran kardiak adalah sebagai berikut* F =
A T
∫ c ( t ) dt 0
1imana jumlah zat arna & diketahui dan integral dapat dihampiri dari pembacaan konsentrasi.
'(nt(h s(al )
4
Metode pengenceran zat arna digunakan untuk mengukur keluaran kardiak dengan ) mg zat 1
arna. Konsentrasi zat arna, dalam mg/2, dmodelkan oleh c!t% :
6
t!"(-t%, $ > t > " ,
dengan t diukur dalam detik. ?itung keluaran kardiak.
Pen*elesa"an )
*
D"ketahu"
1
c!t% :
t!"(-t%
6
$ > t > " & : 3 mg
*
D"tan*a
+erapa keluaran kardiaknya !;%
*
D"ja+a$
12
∫ ¿ 16 t (14 −t ) dt 0
12
1
:
∫ t (14 −t ) dt
6
0
12
1
:
∫ (14 t −t ² ) dt
6
0
¿ ¿ : 1 ¿
2
14 t
@
1
tA%
7
3
2
6
1
:
6
5
1
( ) − ( 12) ³ 7 3
7 12 ²
5
1
:
!".$$# B (%
6
1
:
!(%
6
: C
8adi, keluaran kardiak berdasarkan rumus ,sebagai berikut * A 9
12
;:
∫ c ( t ) dt
:
72
0
: $,"D 2/s : C,D 2/menit.
2.1.2 A!l"kas" Integral !a#a Pen*em$uhan Luka
'(nt(h s(al )
Sebuah luka pada kulit mamalia gajah mengalami proses penyembuhan sedemikian rupa sehingga t hari sejak hari Selasa lebar luas lukanya berkurang dengan kecepatan
−10 (t + 8 )
-
cm tiap hari. 8ika pada hari Kamis lebar luka itu D cm. +erapakah lebar luka pada kulit mamalia gajah tersebut saat hari Selasa dan berapakah lebar yang diharapkan pada hari Sabtu jika luka itu menyembuh secara kontinu pada kecepatan yang sama
Pen*elesa"an )
D"ketahu"
*
t$ : hari Selasa dA
v :
dt
:
−10 ( t + 8 )
-
& : 3 cm
6
*
D"tan*a
a. +erapa lebar luka pada hari pertama !Selasa% mamalia gajah tersebut terluka !&$% b. +erapa lebar yang diharapkan pada hari Sabtu !&(%
*
D"ja+a$
&mbil & cm sebagai lebar luka sejak hari Selasa. Maka, dA
−10 (t + 8 )
:
dt
A =−10
∫(t +8 )
-
-
dt
Karena !tE#% : dt kita dapatkan *
(t + 8 )−1 & : @"$ . EF −1 10
&:
t + 8
E FGGGGGGGG…(1)
Karena pada hari Kamis lebar luka adalah D cm, maka kita ketahui baha &: D bila t : . 1engan mensubstitusikan nilai-nilai ini dalam !"% , kita peroleh* 10
D:
2
+ 8 E F
D:"EF F: ( Hleh karena itu dari dari persamaan (1), kita dapat baha * 10
&:
t + 8
E (…………………………(2)
Sehingga * a% Pada hari Selasa, t : $. &mbil &$ sebagai nilai dari & bila t : $ dengan menggunakan persamaan (2), A
10 $ :
0
+ 8 E (
7
10
&$ :
E (
8
A $
: D,D cm
8adi, lebar luka pada hari Selasa sebesar
D,D cm
b% Pada hari Sabtu, t : (. &mbil &( sebagai nilai & bila t : ( dengan menggunakan persamaan (2), 10
A (
:
4
+ 8 E (
10
A (
:
(
: (,# cm
A
12
E (
8adi, lebar luka pada hari Sabtu sebesar
(,# cm
2.1.3 A!l"kas" Integral #alam Peng($atan %anker,Tum(r
Semakin banyaknya orang yang mengutamakan kepraktisan mengakibatkan semakin maraknya penyakit tumor dan kanker berkembang. Intuk kanker sendiri, penyebab utamanya adalah zat karsinogenik yang biasanya terbentuk oleh makanan yang bersentuhan dengan api secara langsung, banyak dijumpai pada makanan yang dibakar. +erkembangnya teknologi kedokteran menjadikan pengobatan kanker yang tadinya menggunakan kemoterapi, beralih ke pengobatan dengan high energy inonizing radiation yang relatif lebih cepat, lebih efektif dan lebih nyaman , salah satunya sinar-J, karena tidak mungkin tubuh manusia di bongkar pasang. Matematika berperan dalam menghitung volume kanker. dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus !bisa integral cakram, cincin, lipat , bahkan lipat %, karena umumnya sel kanker tidak mungkin bebentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah sekali dihitung volumenya. Pasca itu dokter spesialis onkologi radiasi akan menghitung persamaan intensitas laser yang digunakan. Salah hitung bisa bahaya, misal kasus pada kanker payudara, kalau salah beberapa mm saja, atau intensitasnya kelebihan sedikit ada peluang kena jantung, kalau intensitas kurang, sel kanker mungkin bisa jadi keba l. +iasanya para dokter spesialis onkologi radiasi itu bekerjasama sama dengan ahli dosimetri membicarakan rencana pengobatan terhadap penyakit tumor !tidak hanya tumor, hanya yang sering dibahas memang tumor, kadang-kadang kanker juga%. 1osimetri adalah ilmu yg 8
mempelajari berbagai besaran dan satuan dosis radiasi. Setelah rapat antara dokter spesialis dan ahli dosimetri, akan ditentukan dosis radiasi yang akan ditembakkan ke tubuh pasien. 6ugas dari ahli dosimetri adalah menentukan dosisL radiasi yang tepat untuk terapi bagi para pasien. &hli dosimetri harus cerdas menentukan dosis yang tepat untuk penembakan sinar radioaktif, salahsalah perhitungan dapat mengakibatkan kerusakan organ tubuh bagi si penderita tumor, salahsalah hitung akan sangat berbahaya.. Kalkulus berperan pada saat penentuan lokasi koordinat penembakan laser. Pada kalkulus integral di bahas volume benda putar dengan metode cakram, cincin 1an lain-lain !dengan ini kita dapat mengukur volume tumor, kalau pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil%. &plikasi kalkulus selanjutnya adalah mengukur fungsi pergerakan kulit tumor setiap aktu, tujuannya agar setelah tumor hilang, laser tidak ditembakkan lagi !takut merusak organ%. Sekedar catatan,
ada juga sumber lain yang
menganggap tumor adalah sistem fluida, jadi hukum-hukum fluida juga penting untuk ilmu dosimetri.
BAB III %EIMPULAN DAN ARAN 3.1 %es"m!ulan
9
". Penerapan integral dalam menghitung keluaran kardiak jantung !volume darah yang dipompa ke jantung persatuan aktu% dengan metode pengenceran zat arna adalah pada T
perhitungan jumlah zat arna !& : ;
∫ c ( t ) dt 0
%, sehingga formula untuk menghitung
keluaran kardiak jantung adalah*
F =
A T
∫ c ( t ) dt 0
. Penerapan integral pada penyembuhan luka pada mahluk hidup adalah pada perhitungan luas luka selama tahap penyembuhan, sehingga dengan demikian diketahui dosis obat yang tepat selama tahap penyembuhan. . Penerapan integral pada penyembuhan kanker/tumor adalah pada pengukuran volume kanker/tumor dan koordinat-koordinatnya dengan menggunakan integral !bisa integral cakram, cincin, lipat dua, bahkan lipat tiga% karena bentuk sel kanker/tumor tidak mungkin berbentuk prisma, tabung, kerucut atau limas yang mudah dihitung volumenya. 3.2 aran
Penguasaan integral berfungsi untuk membentuk kompetensi program keahlian. Melalui pemaparan penerapan integral diatas, penulis menyarankan kepada pembaca untuk dapat menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan yang lebih tinggi. 'ntegral memiliki peran penting di bebagai bidang ilmu pengetahuan. 1iantaranya bidang ekonomi, kesehatan, komputer, ilmu alam, dan sebagainya. Karena keterbatasan sumber, yang bisa penulis paparkan dalam makalah ini hanya uraian sederhana mengenai penerapan integral dalam bidang kesehatan. Hleh karena itu, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mencari tahu lebih banyak lagi penerapan integral di bidang lainnya dari berbagai sumber.
10
DA-TAR PUTA%A Fahyani,&stuti .$$ . Konsep Penerapan Kalkulus . +andung * 'nstitut 6eknologi +andung http*//.radiologisciences.com/dosimetri.html !diakses tanggal C Maret $"D% http*//.scribd.com/doc/($$3#DD/;isiologi-Sistem-Kardiovaskuler !diakses Maret $"D
tanggal
D
http*//.ikipedia.org.com/&plikasi kalkulus didalam bidang kedokteran !diakses tanggal D Maret $"D%
11
