10.Demostración de Los Teoremas de Thévenin y Norton

1 Demo Demost strac ración ión de los los Teore eoremas mas de Thévenin y Norton Demostrarlos de forma rigurosa se escapa al ámbito de Bachillerato, sin embargo los libros están plagados de demostraciones basadas en casos particulares que lo único que hacen es confundir y dificultar el aprendizaje de los conceptos básicos. Aquí voy a intentarlo de una forma más o menos general y no excesivamente complicada, estas demostraciones se pueden generalizar usando impedancias y admitancias en vez de resistencias.

1.1. 1.1.

Conc Concep epto to de dipol dipolo o

En primer lugar hay que definir el concepto de dipolo: un dipolo es un elemento -o conjunto de elementos- de circuito cualquiera que presenta 2 terminales :

En cualquier dipolo se puede definir V definir V = V(I) o V(I)  o I=I(V) I=I(V). Esto es un dipolo: R

Esto también: también:

1

1 Demostración de los Teoremas de Thévenin y Norton

Y por complejo que parezca, esto también:

0,2Ω

Ra

V  a

E c

1.2.

M

Teorema de Thévenin

Supongamos que tenemos un dipolo formado por un circuito activo conectado a una fuente de intensidad Ig  y queremos hallar V en función de Ig :

+

C.A.

Ig

V –

Aplicando el principio de superposición(1) podemos hallar la tensiónV como la suma de la tensión V en un dipolo en el que se han anulado todas sus fuentes (un dipolo pasivo) y la tensión V  en el dipolo activo anulando la fuente de intensidad Ig  (esto es Ig = 0, por lo que sus terminales están en circuito abierto, por lo que notamos V como Vca ):

+

C.A.

V –

+ Ig

=

C.P.

Por lo que podemos poner V = VCP + VCA

(1) Si

2

tienes dudas repasa el punto 4.1.

V –

Ig

+

C.A.

+ Vca –

1.2 Teorema de Thévenin

El dipolo pasivo se puede reemplazar por un resistencia equivalente R eq :

Req

C.P.

+ VCP –

+ VCP –

Ig =

Ig

Haciendo una malla por Kirchhoff en el sentido de las agujas del reloj(2) obtenemos VCP + Ig Req = 0 de donde despejamos VCP = −Ig Req . (I) Del dipolo activo:

+ Vca –

C.A.

Se deduce VCA = Vca . (II), que sumado a (I) nos lleva a V = Vca − Ig Req . Vamos a fijarnos en el siguiente esquema en el que hemos sustituido el dipolo activo por el más sencillo posible: una fuente de tensión Vth  y una resistencia Rth :

Rth + Vth

V –

Ig

Haciendo una malla por Kirchhoff: −Vth + Ig Rth = 0, de donde sale V = Vth − Ig Rth . Sólo nos queda identificar términos: Vth = Vca y R th = Req  de donde se obtiene la forma habitual de definir el Teorema de Thévenin: cualquier dipolo activo se puede sustituir por una fuente de tensión equivalente a la tensión en circuito abierto en serie con una resistencia equivalente a la que presentaría el dipolo con todas sus fuentes anuladas. (2) Como

se ve en el punto 3.3

3

1 Demostración de los Teoremas de Thévenin y Norton

1.3.

Teorema de Norton

Supongamos que tenemos un dipolo formado por un circuito activo conectado a una fuente de tensión E y queremos hallar V en función de Ig

I

C.A.

E

Aplicando el principio de superposición(3) podemos hallar la intensidad I como la suma de la intensidad I en un dipolo en el que se han anulado todas sus fuentes (un dipolo pasivo) y la intensidad I en el dipolo activo anulando la fuente de tensión E (esto es E = 0, por lo que sus terminales están en cortocircuito, por lo que notamos I como Icc ):

I

C.A.

Icc

I

E

=

 

C.P.

E

+

 

C.A.

Por lo que podemos poner I = ICP + ICA El dipolo pasivo se puede reemplazar por un resistencia equivalente R eq : Req

ICP

C.P.

E=

ICP

E

Haciendo una malla por Kirchhoff en el sentido de las agujas del reloj(4) obtenemos E + ICPReq = 0 de donde despejamos ICP = − REeq . (I) (3) Si

tienes dudas repasa el punto 4.1. se ve en el punto 3.3

(4) Como

4

1.3 Teorema de Norton

Del dipolo activo: Icc

C.A.

Se deduce ICA = Icc . (II), que sumado a (I) nos lleva a I = Icc − REeq . Vamos a fijarnos en el siguiente esquema en el que hemos sustituido el dipolo activo por el más sencillo posible: una fuente de intensidad IN  y una resistencia R N :

I

IN

RN

E

Hallando la intensidades usando nodos por Kirchhoff (5) obtenemos IN  = I + REN , de donde despejamos I = IN − REN . Sólo nos queda identificar términos: IN = Icc y RN  = Req   de donde se obtiene la forma habitual de definir el Teorema de Norton: cualquier dipolo activo se puede sustituir por una fuente de intensidad equivalente a la intensidad en cortocircuito en paralelo con una resistencia equivalente a la que presentaría el dipolo con todas sus fuentes anuladas.

(5) Punto

3.4.

5