Diferenciales de longitud de línea superficie y volumen Hemos aprendido como se identifica un punto en el espacio en los diferentes sistemas de coordenadas, cartesianas, cilíndricas y esféricas. En esta sección haremos uso de los resultados obtenidos y del cálculo diferencial para definir los elementos diferenciales de línea, de superficie y de volumen. Reconocemos que al determinar las coordenadas de un punto P en cualquier sistema construyendo un diferencial de volumen dV || Para el caso de coordenadas cartesianas
el elemento de volumen, se determina del volumen del paralelepípedo, lado,lado, lado, en este caso es:
el elemento diferencial de superficie depende de que lado se tome, por lo que tendremos los siguientes:
Analicemos el diferencial de línea, es fácil ver que como lo que estamos determinando es un diferencial, se realiza encontrando la magnitud del vector en tres dimensiones:
su diferencial de linea vectorial puede ser expresado por:
Para el caso de coordenadas cilíndricas
el elemento diferencial de volumen, se del paralelepípedo formado, para este caso:
el elemento diferencial de superficie depende del lado que se requiera analizar así por ejemplo tendremos:
hemos puesto subíndices, para indicar el diferencial se superficie, para mostrar la relación del área elegida, sin embargo en la práctica es común solo escribir dS y se sobre entiende, por el contexto de la operación de que elemento de superficie se trata. Para determinar el elemento diferencial de línea tendremos:
cuya magnitud es:
Nota: Recodemos que:
coordenadas esféricas
En el caso de las coordenadas esféricas, al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, se puede considerar que el elemento de volumen tomado, por considerarse diferencial, forma un paralelepípedo, razón por la cual su elemento diferencial de volumen quedara determinado como:
El caso del elemento diferencial de superficie se determina dependiendo del las superficie a analizar
el elemento diferencial de línea queda determinado por:
y su magnitud por:
Nota: Se debe considerar que:
El uso de los elementos de línea y de superficie toma un lugar especial dentro del electromagnetismo en el uso de teoremas de Gauss y el de Stokes para analizar la carga total contenida en un cuerpo o el flujo de corriente eléctrica, respectivamente, solo por mencionar dos partes donde se hará uso de estos recursos. Diferencial de una función Un elemento diferencial de una función f(x1,x2,x3,......,xn) de varia variables puede ser expresado como:
Para una función de tres dimensiones f(x,y,z) podemos determinar el diferencia como:
Relacionando este resultado con el operador nabla
tenemos:
donde
Sistemas de Coordenadas Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial. Existen varios tipos de sistemas de coordenadas utilizados para aplicaciones específicas, dentro de ellos se van a describir 3 sistemas usuales en el campo de la ingeniería, estos son: 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas 2. Sistema de Coordenadas Cilíndricas 3. Sistema de Coordenadas esféricas Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.
Coordenadas Cartesianas Son un sistema de coordenadas formado por tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas
cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada. Para describir la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas utilizaremos las siguientes nomenclaturas: P( x, y , z ) = Pxaxˆ + Pyayˆ + Pzazˆ Los factores de escala del sistema de coordenadas cartesiano son: hx = 1 hy = 1 hz = 1 La expresión de un diferencial de longitud vectorial cartesiano es: r dl = dxaxˆ + dyayˆ + dzazˆ La expresión de los elementos diferenciales de superficie cartesianos es: dydzaxˆ , dxdzayˆ , dxdyazˆ El volumen diferencial es el producto cada uno de los escalares de los diferenciales de longitud cartesianos: dV = dxdydz En la siguiente imagen se puede observar como se representa un vector de posición en coordenadas cartesianas:
Coordenadas Cilíndricas Son un sistema de coordenadas utilizado para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente utilizarlo en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por 3 variables coordenadas (ρ,φ,z) donde: ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY. Los rangos de variación de las tres coordenadas son: 0≤ρ<∞ 0 ≤ ϕ < 2π − ∞ < z< ∞ Una representación gráfica de un vector de posición en coordenadas cilíndricas se puede observar a continuación en la siguiente figura:
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base vectorial de las coordenadas cartesianas mediante las siguientes relaciones:
a ρˆ = cos ϕ axˆ + sen ϕ ayˆ aϕˆ = −sen ϕ axˆ + cos ϕ ayˆ
azˆ = azˆ
De igual manera se puede relacionar de manera inversa las bases vectoriales cilíndricas y cartesianas de acuerdo a las siguientes relaciones:
axˆ = cos ϕ aρˆ − sen ϕ aϕˆ ayˆ = senϕ aρˆ + cos ϕ aϕˆ
azˆ = azˆ Ahora para poder realizar una transformación entre un sistema de coordenadas cartesiano a cilíndrico ó viceversa se deben seguir 2 pasos los cuales se muestran a continuación: 1. Transformación de las variables coordenadas 2. Transformación de la base vectorial Para la transformación de las variables coordenadas se deben hacer los cambios entre coordenadas mediante las siguientes relaciones:
ρ = x2 + y 2 y ϕ = arctan x z=z x = ρ cos ϕ y = ρ senϕ z=z
Para la transformación de la base vectorial se deben hacer las respectivas proyecciones con las bases vectoriales del sistema de coordenadas hacia el que se quiere llegar, lo cual mediante el siguiente sistema de ecuaciones matricial se resume debido a que es muy largo el mencionado proceso: Para transformar del sistema de coordenadas cilíndrico al cartesiano:
x 2 x + y2 Ax y Ay = 2 2 Az x + y 0
−y x +y 2
2
x x + y2 2
0
0 Aρ (x, y, z) 0 Aϕ ( x, y, z) Az( x, y, z) 1
Y para transformar del sistema de coordenadas cartesiano al cilíndrico:
Aρ cos ϕ senϕ 0 Ax( ρ, ϕ,z) Aϕ = − senϕ cos ϕ 0 Ay( ρ, ϕ,z) Az 0 0 1 Az (ρ ,ϕ ,z)
La expresión de un vector de posición en coordenadas cilíndricas es la siguiente: r r = ρ a ρˆ + z azˆ
ϕ aϕˆ
Debe notarse que no aparece un término . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base. Los factores de escala del sistema de coordenadas cilíndrico son: hρ = 1 hϕ = ρ hz = 1 La expresión del diferencial de longitud cilíndrico es: r dl = d ρ a ρˆ + ρ dϕ a ϕˆ + dza zˆ
La expresión de los diferenciales de superficie cilíndricos es: r dS ρ = cte = ρ dϕ dza ρˆ r dSϕ =cte = d ρ dz aϕˆ r dS z =cte = ρ d ρ d ϕ a zˆ La expresión del diferencial de volumen cilíndrico es:
dV = ρ d ρ dϕ dz
Coordenadas Esféricas El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. Un punto en coordenadas esféricas se representa al igual que las coordenadas cartesianas y cilíndricas por 3 variables coordenadas (r, θ, φ) donde: r se le llama radio y es la distancia entre el punto y el origen del sistema de coordenadas cartesiano. θ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto. La variable φ es la misma que la del sistema de coordenadas cilíndrico de la cual ya se habló anteriormente. Los rangos de variación de las tres coordenadas son: 0≤r<∞ 0 ≤ θ≤ π 0≤ ϕ< 2π Una representación gráfica de un vector de posición en coordenadas esféricas se puede observar a continuación en la siguiente figura:
Al igual que el sistema de coordenadas cilíndrico, a partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones: arˆ = senθ cos ϕ axˆ + senθ senϕ ayˆ + cosθ azˆ aθˆ = cosθ cosϕ axˆ + cosθ senϕ ayˆ − senθ azˆ aϕˆ = −senϕ axˆ + cosϕ ayˆ
De igual manera se puede relacionar de manera inversa las bases vectoriales esféricas y cartesianas de acuerdo a las siguientes relaciones: axˆ = senθ cos ϕ arˆ + cos θ cos ϕ aθˆ − sen ϕ aϕˆ ayˆ = senθ sen ϕ arˆ + cos θ sen ϕ aθˆ + cos ϕ aϕˆ azˆ = cos θ arˆ − senθ aθˆ Para aplicar el proceso de transformación de sistema de coordenadas ya hablado anteriormente, se deben seguir los mismos pasos anteriormente descritos. Para transformar las variables coordenadas entre los sistemas de coordenadas se deben utilizar las siguientes relaciones:
r = x2 + y2 + z2
θ = arctan(
x2 + y2 ) z
y ϕ = arctan( ) x
x = rsenθ cos ϕ y = rsenθ senϕ z = r cosθ Para la transformación de la base vectorial las ecuaciones matriciales son las siguientes: Para transformar del sistema de coordenadas esférico al cartesiano: x x2 + y 2 + z 2 Ax y Ay = 2 2 2 Az x + y + z z 2 2 2 x +y +z
xz x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 yz x + y + z2 x2 + y2 2
2
− x2 + y 2 x2 + y2 + z 2
2 2 x +y Ar(x, y, z) x Aθ (x , y , z ) 2 2 x + y Aϕ (x , y , z ) 0 −y
Para transformar del sistema de coordenadas cartesiano al esférico: Ar senθ cos ϕ senθ senϕ cos θ Ax(r,θ ,ϕ ) Aθ = cos θ cos ϕ cos θ senϕ − senθ Ay(r, θ , ϕ ) Aϕ − senϕ cos ϕ 0 Az(r, θ , ϕ) La expresión de un vector de posición en coordenadas cilíndricas es la siguiente: r r = r arˆ Debe notarse también que no aparecen términos en rarˆ estas coordenadas está oculta en el vector .
aθˆ
y
aϕˆ
. La dependencia en
Los factores de escala del sistema de coordenadas esférico son: hr = 1 hθ = r hϕ = r sen θ La expresión del diferencial de longitud esférico es: r dl = dr arˆ + r d θ a θˆ + r senθ dϕ a ϕˆ La expresión de los diferenciales de superficie esféricos es: r dS r =cte = r 2 senθ dθ dϕ a rˆ r dSθ =cte = r senθ dr dϕ aθˆ r dSϕ =cte = r dr dθ a ϕˆ La expresión del diferencial de volumen esférico es: dV = r 2 sen θ dr dθ dϕ
A continuación se muestra un cuadro en el cual se resume todo lo hablado anteriormente acerca de los tres sistemas de coordenadas:
Sistema de Coordenada Variables Coordenadas Base Vectorial Factores de Escala Diferenciales de Longitud
Diferenciales de Superficie
Diferenciales de Volumen
Cartesianas
Cilíndricas
Esféricas
x, y , z
ρ ,ϕ , z
r , θ ,ϕ
axˆ , ayˆ , azˆ
a ρˆ , aϕˆ , azˆ
arˆ, aθˆ, aϕˆ
1,1,1
1, ρ ,1
1, r , rsenθ
dxaxˆ + dyayˆ + dzazˆ
d ρ a ρˆ + ρ dϕ a ϕˆ + dza zˆ
dr arˆ + r d θ a θˆ + r senθ dϕ aϕˆ
dydzaxˆ , dxdzayˆ , dxdyazˆ
ρ d ϕ dza ρˆ d ρ dz aϕˆ ρ d ρ d ϕ a zˆ
r 2 senθ dθ dϕ a rˆ r senθ dr dϕ aθˆ
ρ d ρ dϕ dz
r 2 sen θ dr dθ dϕ
dxdydz
r dr dθ a ϕˆ
