C u r s o : Matemática Material N° 28 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 22 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo b en base a , positiva y distinta de 1 , es el número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número. loga b = m OBSERVACIONES:
am = b , b
log5 125 = 3 expresado en forma exponencial exponencial es A)
1 3
5 = 125
C)
53 = 125
D)
1 125 5
E)
2.
35 = 125
B)
= 3 125-3 = 1 5
33 = 27 expresado en forma logarítmica logarítmica es A)
log3 27 = 3
B)
log27 3 = 3
C)
log 1 27 = 3 3
D)
log 1 3 = 27 3
E)
log3 ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = 27 ⎣3 ⎦
a
0
La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. log10 a = log a.
EJEMPLOS
1.
0, 1
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO
loga 1 = 0
loga a = 1
EJEMPLOS
1.
2.
3.
log (3 · 3-1) = A) B) C) D) E)
-1 0 1 9-1 -9
logm
m2 + m = m+1
A) B) C) D) E)
2m m+1 m 1 0
log3 ⎡⎢ 1 ⎤⎥ = ⎣9⎦
A) B) C) D) E)
1 3 -1 3 2 -2 3
9
2
loga am = m
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean
b > 0,
c > 0,
1 ≠ a > 0
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
loga (b · c) = loga b + loga c
LOGARITMO DE UN CUOCIENTE
loga b = loga b – loga c c
EJEMPLOS
1.
log3 5 + log3 7 = A) B) C) D) E)
2.
Si log2 m – log2 n = 5, el cuociente m es igual a n A) B) C) D) E)
3.
log3 5 · log3 7 (5 · 7)3 335 log3 12 log3 35
10 25 32 64 128
log 3 + log 4 – log 2 escrito como el logaritmo de un número es A) B) C) D) E)
log 5 log 6 log 10 log 3 2 log 3 8 3
LOGARITMO DE UNA POTENCIA
loga bn = n loga b
LOGARITMO DE UNA RAÍZ
loga n b = 1 loga b, con n n
EJEMPLOS
1.
log2 1 = 8 A) B) C) D) E)
2.
log4 A) B) C) D) E)
3.
-
3 2 0 -2 -3 4
4 =
1 4 1 4 16 otro valor
1 log 3 2 = 5
A) B)
log32-5 -5 log32-1 1
C)
log 3 2 5
D)
-log3 5 2
E)
log3 5 -2
4
0
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
f(x) = loga x, con a lR +, a
Una función f definida por
1 y x
0
se denomina
función logarítmica. y
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
i)
f(x) = log2 x x f(x)
1 8 -3
1 4 -2
f(x) = log2 x
2 1 2 -1
1 0
2 1
4 2
8 -1 -2 -3
3
1 2 3 4
x
y ii)
f(x) = log 1 x
3 2
2
x f(x)
1 8 3
1 4 2
1 2 1
1
2
4
8
0
-1
-2
-3
1 2 3 4 -2
x
f(x) = log 1 x 2
En los gráficos se puede observar que: • • • •
La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0). Si a > 1, entonces f(x) = loga x es creciente. Si 0 < a < 1, entonces f(x) = loga x es decreciente. La curva no intersecta al eje y.
EJEMPLO
1.
Respecto a la función f(x) = log2 (x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Si x = -1, f(x) = 1 Si x = 0, f(x) = 0 Si f(x) = 2, x = 3
Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III 5
EJERCICIOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log 8? I) II) III) A) B) C) D) E)
2.
-2 -1 1 2 no está definido en los números reales
En la expresión log3 x = 1, el valor de x es A) B) C) D) E)
4.
Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
log2 (-2) = A) B) C) D) E)
3.
log 4 + log 2 3 log 2 2 log 4 – log 2
1 3 -1 3 -1 3 -3
Si log(x – 1) = 3, entonces x vale A) B) C) D) E)
4 29 31 999 1.001
6
5.
¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 24? A) B) C) D) E)
6.
Si logx 1 = 2, el valor de x es 16 A) B) C) D) E)
7.
1 32 - 1 32 1 4 1 4 162
En la expresión log9 3 = x, el valor de x es A) B) C) D) E)
8.
log 12 · log 2 log 20 + log 4 2log 12 log 2 · log 3 · log 4 log 8 + log 3
2 -2 1 2 1 2 1 3
Si a = 3(log12 4 + log12 3), entonces a es A) B) C) D) E)
21 12 3 log12(73) log12(43 + 33)
7
9.
log( 5 )3 = A)
10.
B)
log(3 · 5 ) 3 log 5 2
C)
log 5
D) E)
log 3 5 5 · log 3
6
log216 − log3 log6 36 7 2 7 6 17 6 11 2 1 2
A) B) C) D) E)
11.
1 27 =
log1 (16 ⋅
3
4) =
4
A) B) C) D) E)
7 3 -7 3 1 3 -1 3 2 3
8
12. log m – log n + log p = A) B)
log m – log(n + p) log(m – n) + log p log ⎛⎜ m ⎞⎟ + p ⎝n⎠ log(m · p) – n log ⎛⎜ mp ⎞⎟ ⎝ n ⎠
C) D) E)
13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I)
log 1 · log 5 = log 5 1 II) log < 0 10 III) log 6 · log 10 = log 6 A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
14. Si logx 49 = 2, entonces x es A) B) C) D) E)
-7 7 -7 y 7 492 249
15. ¿Cuál de las siguientes figuras representa al gráfico de la función f(x) = log3 x + 1? A) y
B)
1
y
C)
y
1 1 3
1 2 3
x
-1
D)
1 1 3
3
1
x E)
y
2
y
1
- 13
1 2 3
x 9
1 2 3
x
x
16. Dada la función f(x) = log2(x – 1), su representación gráfica es A)
y
y
B)
x
C)
1
y
D)
-2
18.
x
2
E)
2
y = log x y = log x + 1 y = log x + 2 y = log (x + 1) y = log (x + 2)
x
y
x
17. El gráfico de la figura 1 representa la función A) B) C) D) E)
y
x
y fig. 1
1 1
x
Si f(x) = log(x – 4)(16 – x), entonces f(7) = A) B) C) D) E)
2 3 39 93 27
19. Respecto a la función f(x) = log5(2x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
f(12) = 2 Intersecta al eje x en (1,0). f es creciente.
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 10
20. Si y = 5x con x > 0, entonces log5 x – log5 y = A) B) C) D) E)
-1 1 0 5 1 5
21. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
log (ab) = log a · log b log (a + b) = log a + log b log a = log a – log b logb
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Ninguna de ellas
22. Si 4 log a = 1, entonces log a =
A) B) C) D) E)
1 16 1 8 1 4 1 2 2
23. Si log 700 = 2,84, entonces log 70 es A) B) C) D) E)
28,4 3,84 1,84 0,284 284 11
24. Si log5 3 = 7 , entonces log5 75 es igual a 10 A) B) C) D) E)
27 10 57 10 35 2 7 2 7 5
25. Si log a + log b = c – log b, entonces a =
A) B) C) D) E)
10c 2b 2 · b · 10c 10c b2 b2 · 10c 2 · 10c b
b d 26. Se puede determinar el valor numérico de la expresión log a ⋅ log c si: b⋅d
(1) (2)
a = 1 y b . d ≠ 0 b = 100 y d = 1.000
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
12
27. Se puede determinar el valor de log a – log b si se sabe que: (1) (2)
a – b = 10 a = 10b
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
28. El gráfico de la función f(x) = logb x es decreciente si:
29.
(1) (2)
b>0 b<1
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
log a 3 = log c si: logb 2
(1) (2)
a = 1.000 ; b = 100 y c = 10 a = 10b y b = 10c
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
30. Se puede determinar el valor de log 20 si: (1) . (2)
log 3 = 0,4… log 2 = 0,3…
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
13
RESPUESTAS
Págs.
Ejemplos
1
2
1
C
A
2
B
D
D
3
E
C
B
4
E
A
D
5
E
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
3
E E D E E C D C B A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
B E D B A C B A D A
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
E B C A C A B B A B
DOMA28
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