M4 - Logaritmos - Ejercicios y ProblemasDescripción completa
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Materias Básicas
Guía de Geometría y Trigonometría
Primer Departamental
EJERCICIOS RESUELTOS ECUACIONES LOGARÌTMICAS
Son ecuaciones ecuaciones logarítmicas logarítmicas aquellas aquellas en las que aparece aparece la incógnita incógnita o incógnitas incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo:
1.-log(x+6) = log(2x-1). Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7. Hemos resuelto la primera ecuación logarítmica. Muy sencilla en este caso, pero que nos proporciona el método para resolverlas todas. Enseguida lo veremos. También aplicando las leyes de los logaritmos donde log
a b
log a log b
log(x+6) = log(2x-1). log (x+6)-log (x+6)-log (2x-1) (2x-1) = 0 Como tenemos tenemos una diferencia diferencia de logaritmos, logaritmos, procedem procedemos os como lo indica la ley de los logaritmos mencionada, log
( x 6) (2 x 1)
Observamos que la base del logaritmo es 10, ya que no aparece ningún subíndice, por lo tanto se da por hecho que es de base 10. Convirtiendo
0
b x Tenemos: 10 0
N
x 6 2 x 1
log N x b
?1
x 6 2 x 1
simplificando 2 x 1 x 6;
2 x x 6 1; x
7
2.- log(x+6) = 1 + log(x-3) log( x 6) log( x 3) 1 log 101
x
( x 6) ( x 3)
x 6
1
?
x 3 36 ? x 4 9
10
x 6 x 3
; 10( x 3) x 6; 10 x 30 x 6; 10 x x 6 30; 9 x 36
Profesor Rodrigo Camacho Chávez
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3.- log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x) 2
log 2 2 log(5 x ) log(11 x ) 10
0.301029995
22 2 x 2 3
?
2
(11 x )
25 10 x x 2
3 x 2
(5 x ) 2
10 x
?
3 x 2
?
0.301029995 log
(5 x ) 2
2
2
(11 x )
?
10 x
(11 x 2 )
?
2(11 x 2 ) (5 x) 2
22 25 2 x 2 x 2
?
(5 x ) 2
10 x
30
Tenemos una ecuación de segundo grado la cual resolvemos con: x Con a
6.- 3 x 4 = 21 3 x x Observemos que tenemos una ecuación exponencial de la forma b
N
Donde b=3; x x 4 ; N= 21 3 x Aplicando logaritmos de ambos lados tenemos: log 3 x 4 Como log A n
log 21 3 x
n log A ley de los logaritmos, entonces:
( x 4) log 3 (1 3 ) log 2
?
x log 3 4 log 3 log 2 3 log 2
x log 3 3 x log 2 log 2 4 log 3 x(log 3 3 log 2) 0.3010 1.9084 x
1.6075
log 3 3 log 2
1.6075
0.4471 0.9030
1.6075
1.3802
1.1646
Comprobación: con x = -1.1646
3 x 4 = 21 3 x 3
(1.1646 4
3 2.8353
Sustituyendo
)2
(1 3(1.1646))
2 4.4938
22.53 | 22.53
7.- Sistemas de ecuaciones 2
2 x 3 y
x 2 y
6
32
( 1)
( 2 )
Observemos que la ecuación (1) es de tipo exponencial b x Y que se puede convertir en logarítmica así: log 2 Aplicando log A n
2 x 3 y
N
log 32
n log A en el primer miembro de la ecuación tenemos:
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(2 x 3 y ) log 2 log 32 2 x 3 y
log 32
?
log 2
2 x 3 y
Despejando “y” tenemos
3 y
2 x 5
y
?
3 y
2 x 5 3
5
5 2 x
multiplica ndo por (1)
?
(1)
Despejando “y” de la segunda ecuación x 2 y 2 x 5 3
6
?
y
6 x
6 x 2
(2) , por el método de igualación, tenemos:
2(2 x 5) 3(6 x)
?
2 4 x 3 x 18 10
4 x 10 18 3 x
?
7 x 28
?
x 4 calculando la var iable " y" y
2 x 5
?
3 Comprobaci ón 2
2 x 3 y
32
y
?
2(4) 5 3 2 2(4)
3(1)
?
y
32
?
85 3 25
?
y
1
32
32 { 32
x 2 y
6
?
4 2(1) 6
?
42 6
6{6
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RESOLUCIÓN GRÁFICA Ahora veamos gráficamente la solución de la ecuación. Como en todas las ecuaciones con una incógnita, se pueden utilizar dos métodos: · Conseguir que quede igualada a 0, representando en el programa la ecuación (que es una función): y =....primer miembro... . Los valores de x de los puntos de corte con el eje X serán las soluciones.
· Representar las funciones correspondientes a los dos miembros de la ecuación y los valores de x de los puntos de corte serán las soluciones. En nuestro caso, utilizando el primer método, resulta: representamos y = log(x+6) - log(2x-1).
log(x+6) - log(2x-1) = 0,
luego
"El valor de "x" del punto de corte de la gráfica obtenida con el eje X es la solución de la ecuación". Enseguida observarás que es x = 7. Pero además en la escena observarás también una recta que corta al eje X en al mismo punto ( con x = 7). Se trata de la que representa a la ecuación: x + 6 = 2x - 1 , o sea: y = x+6 - (2x-1) , lo que confirma lo correcto del método. Este método gráfico nos servirá para resolver cualquier ecuación logarítmica.
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Ejercicio 2.- Escribe en las ventanas correspondientes de la escena siguiente las ecuaciones, de manera adecuada, para resolver la siguiente ecuación logarítmica, usando los logaritmos como número.
log(x2+2x) = log(3) (Deberás encontrar dos soluciones).
