LOGARITMOS
DEFINICION DE LOGARITMO El logaritmo de un número positivo N en base b, positivo y distinto de la unidad, es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Es decir bx = N , o bien x = log b N . Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, porque elevando la base ( 3 ) al número obtenido ( 2 ) resulta 9 , que es el número del logaritmo. Esto escrito se denota de la siguiente manera: Log 3 9 = 2, es decir decir 3 2 = 9 obtener el número.)
(se eleva la base al resultado resultado para
Otro ejemplo puede ser el de log 2 8,que es un número x al que se debe elevar la base 2 para obtener 8, es decir, 2 x = 8. X=3, por lo tanto log 2 8 = 3. Las relaciones b x = N y x = log log b N son equivalen equivalentes: tes: b x =N es la forma exponencial exponencial y x= log b N es la forma logarítmica. Como consecuencia, consecuencia, a cada propiedad de la potenciación, le corresponde una propiedad de la logaritmización. I.I PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS : 1. La sum sumaa de loga logari ritmo tmoss de dos dos núme número ross es igu igual al al al loga logari ritmo tmo de la la multiplicación de los números. Es decir: Log x y + log x z = log x y · z EJEMPLO: log 2 3(5) = log 2 3 + log 2 5 2. El logaritmo logaritmo del cuociente cuociente de dos dos números positivo positivoss es igual a la diferencia diferencia de los logaritmos de ambos. O sea: Log x y – log x z = log x y: z
EJEMPLO: log 5 17: 24 = log 5 17 – log 5 24
3. Cambio de base Log x y =
log z y log z x
EJEMPLO:
log 2 15 =
log 3 15 log 3 2
4. log x x = 1 porque 5 1 = 5
EJEMPLO: log 5 5 = 1 5. Igualdad de Logaritmos. log x y = log x k
sólo si y = k
EJEMPLO: log 7 (3x+4) = log 7 (4x+3) => 3x+4 = 4x+3 => -x =-1 Luego x = 1 6.
7.
x
log x
y
=y
Logaritmo de un argumento elevado a una potencia
log x y z = z log x y 8. Logaritmo elevado a una potencia ( log x y ) z = log z x y
I.II
ECUACIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS
Se llaman ecuaciones exponenciales logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita en el exponente. EJEMPLOS:
3x = 1
ó
23x-1 = 3x+2
Se llaman ecuaciones logarítmicas, aquellas ecuaciones que presentan la incógnita como argumento de una función logarítmica. EJEMPLOS:
log x = 2
ó
log (3x-1) = log (x+2)
Para resolver ecuaciones exponenciales podemos igualar las bases y aplicar. 3X = 1 3X = 30 x=0
EJEMPLO: luego entonces
I.III COLOGARITMOS El cologaritmo de un número positivo es el logaritmo de su recíproco. Por ejemplo: colog N = log 1 = log 1- log N = -log N N
II EJERCICIOS RESUELTOS DE COMPRENSION II.I a)
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES log 3 x = 2 32 = x , x = 9
b) log4 y = - 3 2 4 –3/2 = y , y = 1 8
ya que log 1 = 0
II.II RESOLVER: a) log x 25 = 2 x2 = 25 , x = + 5 luego x = 5 es solución y x = -5 no es solución porque la base de un logaritmo no puede ser negativa. b)
log (3x2 +2x – 4 ) = 0 10 0 =3x 2 +2x – 4 x1 = - 5/3 y x2 = 1
3x 2 + 2x – 5 = 0 , finalmente
luego
II.II PROBLEMAS EXPLICATIVOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS 1. Calcular x 52x+2 = 35x-1 (2x+2) log 5 = (5x-1) log 3 2x log 5- 5x log 3 = - log 3 – 2log 5 x(2log 5 –5log 3) = - log 3 – 2log 5 x = log 3+ 2log 5 = 1,898 5log 3- 2log 5
x = 1,898
2. Calcular x log 2 (9 x-1 + 7) = 2+log 2 (3x-1 + 1) log 2 (3 2x-2 + 7) = 2+log 2 (3 x-1 + 1) log 2 (3 2x-2 +7) = log 2 4 +log 2 (3x-1 + 1) log 2 (32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1 + 1) (32x-2 +7) = 4 (3x-1 + 1) 3 2(x-1) – 4(3 x-1) + 3 = 0
u = 3 x-1
u 2 – 4u +3 = 0 (u-1) (u-3) = 0 u1 = 1 u2 = 3
1 = 3 x-1 30=3x-1 x=1
y
3 = 3 x-1 x=2
3. x2 + y 2 = 425 | log x + log y =2 | ---------------------x2 +y2 = 425 log 10 x·y = 2 / 10 x
x2 + y2 = 425 10log xy = 102
x2 + y2 = 425 xy= 100 /·2
x2 + y2 =425 2xy = 200
x2 + 2xy + y2 = 625 x + y = ±25 => y1=25 – x
x( 25- x ) = 100 25x – x2 =100
, y2 = -25 - x
x(-25- x) = 100 -25x – x 2 = 100
x2 – 25x + 100 = 0
x 2 +25x +100 = 0
x = 25± 15 x=-25 ±15 2 2 Soluciones: (20,5); (5,20); Estas soluciones no cumplen (-5,-20); (-20,-5)
4. RESOLVER LA ECUACION:
6x · 32x +2 = 20 6x · 32x = 18 , luego se aplica logaritmo log 6x + log 32x = log 18 log 6x + log 32x = log 3 + log 6 x log 6 + 2x log 3 = log 3 +log 2 + log 3 x(log 2 +log 3 + 2 log 3) = 2 log 3 +log 2 x = 2log3+log2 3log3+log2
III. GUIA DE EJERCICIOS PROPUESTOS
III.I EXPRESA EN FORMA DE LOGARITMO CADA IGUALDAD
a)
4x = 16
b)
10x = 1,48
c)
ax = bc d
d)
px = a+b a-b
e)
( 2/3)x = 27 8
III.II EXPRESA EN LA FORMA EXPONENCIAL LAS SIGUIENTES IGUALDADES.
a)
log a x = y
b)
log10 1000 = x
c)
log a a2 =2
d)
log ½ (1/8) = 3
e)
log p/q q = -1
f)
log (x-y) (x3-3x2y+3xy2-y3) =3
III.III CALCULA EL VALOR DE X EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
a)
log 4 x = 1
b)
log 9/16 x = 3/2
c)
log x 27 = 3
d)
log x 243 = 5
e)
log x ¼ = -2
III.IV
DESARROLLA
a)
log 36/25 6/5 = x
b)
log 64 x = 5/6
c)
log a ac+ log p p3 + log b b- log a c =
d) log 0,0001 = e)
log 10-4 +log 1 = 100
III.V APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS DESARROLLA
a)
log 3 a = b
b)
log (a5 b4) =
c)
log (a4-b4) =
d)
log (a2 b3)4 =
III.VI
CALCULA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS
a)
log 2 (8·32)=
b)
log 5 (25·125) =
c)
log1/5(625·125) =
d)
log 1/3(27·243) =
e)
log3(1000)log3 =
III.VII RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
a) log(x+3)+log(x-5) = 2 log(x-b)
b)
m3x+1/3 =q3/7x+1
c) log (3x-4)-log x+log 5= log (15x+2)-log(x+2)
d) 1/5 log (x+5) = log 2
e)
½ log (x+7)+1/2 log(x+5) = ½ log (x 2+10x+43)
f)
log3(log3(5x+2)) = 1
III.VIII
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS
a)
3 log2 x+5 log2 y =13 4 log2 x+7 log2 y = 18
b)
6 log7 x- 7 log7 y =-8 log 7 x-4 log7 y = -7
c) 5 log2 x-log2 y4 = -11 log2 x7 –log2 y3 = -5
d) 2 log x-log y =3 log x+log y =1
e) log(x+1)-log 2 = log y log x-log (y+1) = log 3
f)
log2(x+2y) = 1 log3(2x+y) =0
g)
log2(x+y)-log2 (x-y) = -2 3x · 3y =81
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
I.
V.
a) b) c) d) e)
log 4 16=x log 10 1,48=x log a(bc/d)=x log p(a+b/a-b)=x log 2/3 (27/8)=x
II. a)ay=x b)10x=1000 c)a2=a2 d)(1/2)3=1/8 e)(p/q)-1=q/p f)(x-y)3=(x-y)3
III. a)x=4 b)x=27/64 c)x=3 d)x=3 e)x=2
IV. a)x=1/2 b)x=32 c)x=5 d)x=-4
a)log3+loga-logb b)5loga+4logb c)log(a2+b2)+log(a+b)+log(a-b) d)8loga+12logb
VI. a)8 b)5 c)-7 d)-8 e)3
VII. a)5,1 b)log q - 1/3log m 3(log m –1/7 log q) c)x=5 d)x=27 e)x=4 f)x=5 g)x=6 h)x=2
e)x=-6
VIII. a)x=2 y=4 b)x=7 y=49 c)2,16 d) e)no tiene solución f)(0,1) g)(10,-6)