Lista de Exercícios 3 – 3 – Inferência Inferência Estatística. Prof.ª Angélica Maria. 1 – O O que é Inferência Estatística e qual seu objetivo? 2 – O O que são Parâmetros? E Estatísticas? Apresente três exemplos de cada. 3 – Explique Explique o que é Distribuição Amostral de uma Estatística. 4 – De uma população Normal com variância 9, retira-se uma amostra de 25 observações obtendo-se soma
total da amostra igual a 152, ou seja,
25
X
i
152 .
i 1
a) Sabendo que se deseja estimar a média populacional , apresente o estimador pontual deste parâmetro. b) Com estas informações apresente a distribuição amostral da estatística 9 R: a) X 6,08 , b) X ~ N , 25
X
.
5 – Admite-se que as alturas dos estudantes de uma universidade são normalmente distribuídas com média 172,72 cm e desvio padrão 7,62 cm. Considere que uma amostra de 25 estudantes é selecionada aleatoriamente. Responda: a) Qual a variável aleatória do problema em questão e qual sua distribuição de probabilidade? b) Qual a distribuição amostral das alturas médias X ? c) Qual a probabilidade de que a altura média da amostra se encontre entre 169,67 cm e 173,48 cm? R:
a)
X alturas dos estudantes ,
X ~ N 172,72,7,622 ,
b)
7,62 2 , X ~ N 172,72, 25
c)
P (169,67 X 173,48) 0,67 . 6 – A A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distri buição Normal, com média e desvio padrão 10 gramas. a) Em quanto deve ser regulado o peso médio para que apenas 10% dos pacotes tenham menos que 500 gramas? b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg? R: a) 512,8 , b) 0,0052. 7 – A A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição da variável aleatória usuários, for suposta Normal com média 170 kg e variância 100 kg 2, responda: a) Qual a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite? b) E seis passageiros? R: a) 1, b) 1.
X :
pesos dos
O diâmetro médio populacional de parafusos produzidos por uma fabrica é 0,85 cm com um desvio padrão 8 – O de 0,01. Qual a distribuição de probabilidade do diâmetro médio amostral dos parafusos? Qual é a probabilidade de selecionar uma amostra de 100 parafusos que tenham diâmetro médio maior que 0,851 cm? R: 0,1586.
9 – Suponha que uma pessoa sabe que o tempo que ela gasta para ir de sua casa para o trabalho segue uma distribuição Normal com variância de 9 minutos 2. Durante uma amostra de 22 dias ela anotou o tempo gasto para ir ao trabalho e encontrou uma média de 28,5 minutos. a) Quais as informações amostrais e quais as informações populacionais podem ser retiradas do problema apresentado? b) Qual o parâmetro de interesse deste problema? E qual seu estimador pontual? c) Qual a variável aleatória de interesse do problema e qual sua distribuição de probabilidade? d) Qual a distribuição amostral da estatística X ? 10 – Considere o problema: “Para estimar a quantidade média de fósforo no sangue de indivíduos sadios, tomou-se uma amostra de 25 pessoas e obteve-se uma média de 3,4 mg/cc. Considere que a quantidade de fósforo tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 0,5 mg/cc”. Com base nestas informações, responda corretamente as questões seguintes: a) Quais as informações amostrais e quais as informações populacionais que podem ser retiradas do problema apresentado? b) Qual o parâmetro de interesse deste problema? E qual seu estimador pontual? c) Qual a variável aleatória de interesse do problema e qual sua distribuição de probabilidade? d) Qual a distribuição amostral da estatística X ? 11 – As resistências de dois diferentes tipos de alumínio seguem distribuição Normal com médias 87 e 74, e desvios-padrão de 1 e 1,5, respectivamente. Considere que duas amostras de tamanhos 10 e 12, respectivamente, foram retiradas independentemente de cada tipo de alumínio. Apresente a distribuição amostral das médias de cada um dos tipos de alumínio. Qual a distribuição amostral da diferença de médias? Qual a probabilidade de que a diferença das médias amostrais dos dois tipos de alumínio esteja entre 12 e 14? Represente graficamente esta probabilidade. R: 0,9371 12 – A força eletromotriz de um tipo de bateria A segue distribuição Normal com média 45,1 e variância 0,0016, enquanto que a força eletromotriz de um tipo de bateria B segue também distribuição Normal com média 44,3 e desvio-padrão 0,06. Se duas amostras aleatórias de tamanhos 15 e 20, respectivamente, forem retiradas de cada tipo de bateria, apresente: a) A distribuição amostral das forças médias de cada tipo de bateria; b) A distribuição amostral da diferença das forças médias dos dois tipos de bateria; c) P (0,76 X 1 X 2 0,8) . Represente graficamente esta probabilidade. d) P ( X 1 X 2 0,82) . Represente graficamente esta probabilidade. R: c) 0,49, d) 0,1190 13 – Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se que ocorrem 45 coroas. Se o parâmetro de interesse é a proporção populacional de caras, qual o estimador pontual deste parâmetro? Suponha que a verdadeira proporção de caras seja conhecida, com valor 0,6, qual a distribuição amostral de seu estimador? Utilizando esta informação calcule a probabilidade de que a proporção de caras na amostra esteja entre 0,45 e 0,62. R: p 0,55 , P (0,45 p 0,62) 0,65 ˆ
ˆ
14 – Um artigo no Jornal médico “Lancet” de 2 de março de 1984 discute os efeitos dos anticoncepcionais orais sobre a razão dos sexos nos recém nascidos. Num estudo realizado na Hungria, registraram-se os sexos das crianças nascidas de 170 mães que tinham tomado a pílula durante pelo menos 2 anos antes da gravidez. O número de crianças do sexo masculino foi de 58. a) Sabendo que o parâmetro de interesse é p = proporção de crianças do sexo feminino na população, apresente um estimador pontual para este parâmetro. b) Suponha que a proporção populacional de meninas seja igual a proporção de meninos. Qual a distribuição amostral do estimador de p = proporção de crianças do sexo feminino na população?
c) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de meninas seja maior ou igual a 0,7? R: a) p 0,6588 , c) P ( p 0,7) 0 ˆ
ˆ
15 – A duração em horas de trabalho de 5 tratores foi de 9420, 8200, 9810, 9290 e 7030 horas. Sabe-se que a duração dos tratores dessa marca é Normal com desvio padrão de 55 horas. Ao nível de 3% de significância, teste a hipótese: H 0 : 8700 H 1 : 8700 R: Z 0 2,0327 , não rejeita
H 0 .
16 – Considere que uma indústria compra de certo fabricante, pinos cuja resistência média à ruptura é especificada em 60 kgf (valor nominal da especificação). Em um determinado dia, a indústria recebeu um grande lote de pinos e a equipe técnica da indústria deseja verificar se o lote atende as especificações. Suponha que a equipe técnica da indústria tenha decidido retirar uma amostra aleatória de tamanho n=16, do lote recebido, cuja resistência média encontrada foi 65, e que a resistência dos pinos segue distribuição Normal com variância 25. Teste ao nível de 1% de significância se o lote atende as especificações. R: Z 0
4 , rejeita H 0 .
17 – O peso médio de litros de leite de embalagens enchidas em uma linha de produção está sendo estudado. O padrão prevê um conteúdo médio de 1000 ml por embalagem. Sabe-se que a variável tem distribuição Normal com desvio padrão de 10 ml. Teste ao nível de 5% de significância se o peso médio populacional satisfaz o padrão, considerando que numa amostra de 4 unidades o peso médio obtido foi de 1150 ml. R: Z 0
30 , rejeita H 0 .
18 – Um químico deseja testar a dureza de certo material, composto de chumbo, usando o critério de ponto de fusão. Repete o experimento 4 vezes e obtém 322ºC, 328ºC, 326ºC, 320ºC. Entretanto, o químico não possui o ponto de fusão do chumbo, mas quando verifica esse índice, a dis tribuição é Normal com variância 4. Teste ao nível de 10% de significância, as hipóteses: H 0 : 325 H 1 : 325
R: Z 0 1 , não rejeita
H 0 .
19 – Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se que ocorrem 40 caras. Baseado nesse resultado, podemos afirmar, ao nível de 5%, que a moeda é honesta? R: Z 0 2 , rejeita H 0 , a moeda não é honesta. 20 – Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz na cura de uma alergia, em determinado período. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. A afirmação do fabricante é verdadeira, ao nível de 1% de significância? R: Não é verdadeira ( Z 0 7,07 ). 21 – Dadas duas amostras aleatórias de tamanhos 10 e 12, respectivamente, extraídas de duas populações normais independentes, as quais forneceram: S 1 5,0 X 1 20
X 2 24 Teste ao nível de 5% a hipótese de igualdade de médias. R: t 0 2,179 , rejeita-se H 0 .
S 2
3,6
22 – Os dados seguintes se referem à quantidade, em mg, recuperada de bromo adicionado a amostras de vegetais, medida mediante um método de cromatografia gás liquido. A quantidade de bromo potássio adicionada a cada vegetal foi a mesma. Tomate 777 790 759 790 770 758 764 Pepino 782 773 778 765 789 797 782 Supondo população normal, verifique se as taxas médias de recuperação de bromo nos vegetais diferem significativamente, ao nível de 5% e 2% R:
t 0 1,28 , não rejeita-se H 0 .
23 – Para estudar o nível de colesterol em uma população de esportistas, coletamos uma amostra de 10 jovens atletas, obtendo os seguintes valores: 180 196 185 165 190 195 180 176 165 195 a) Se o interesse é estimar o nível médio populacional de colesterol, qual seria um estimador para esta quantidade? b) Qual seria um estimador para a variância destes níveis de colesterol na população? R: a) X 182,7 , b) S 2 136,01 24 – Foram sorteadas 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados foram: 1, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 0, 0 e 2. Obtenha estimativas para a média e o desvio-padrão. R: a) X 1,4 , b) S 1,1832 25 – Para se estudar a variabilidade em um teste de Inglês (notas de 0 a 5), foram sorteados 16 alunos de uma escola e suas notas anotadas: 0, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 3, 2 e 3. Estime o parâmetro de interesse deste problema. R: S 2 1,5833 ou S 1,2583 . 26 – Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso. a) A companhia de transporte afirma que, em média, o intervalo entre sucessivos ônibus é de 15 minutos. Uma associação de usuários de transportes coletivos acha que a pontualidade é muito importante e pretende testar essa afirmação. b) Os amortecedores de automóveis que circulam em cidades duram em média 30 mil km, segunda a informação de algumas oficinas especializadas. Um proprietário de automóvel deseja testar essa afirmação. c) Um veterinário conseguiu ganho médio diário de 3 litros de leite por vaca com uma nova composição de ração. Um pecuarista deseja testar esta informação. H 0 : 15 H 0 : 30 H 0 : 3 R: a) , b) , c) H 1 : 15 H 1 : 30 H 1 : 3 27 – Um relatório de uma companhia afirma que 40% de toda a água obtida, através de poços artesianos no Nordeste, é salobra. Há muitas controvérsias sobre essa informação. Para dirimir as dúvidas, 400 poços foram sorteados e observou-se, em 120 deles, água salobra. Qual se ria a conclusão, ao nível de 3% de significância? R: Z 0
4,08 , rejeita-se H 0 .
28 – Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 12. Estamos testando se sua média é igual ou é diferente de 20 e coletamos uma amostra de 100 valores dessa variável, obtendo uma média amostral de 17,4. a) Formule as hipóteses. b) Obtenha a região crítica e dê a conclusão do teste para os seguintes níveis de significância: 1%, 2%, 5% e 10%.
R: Z 0
2,16 , não se rejeita H 0 para os níveis de 1% e 2%. Rejeita-se H 0 para os níveis de
5% e 10%.
29 – Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas na cidade de São Paulo. Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável na cidade é de 0,8 salários mínimos. a) Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou diferente. Formule as hipóteses adequadas. b) Para um nível de 3% de significância, construa a região crítica. c) Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mínimos, qual seria a conclusão? R: Z 0
8,83 , rejeita H
0
.
30 – O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15 km/litro, segundo informações da montadora. Uma revista especializada verificou o consumo em 25 desses veículos, escolhidos ao acaso, e constatou um consumo médio de 14,3 km/litro. Admita que o consumo siga distribuição Normal com variância igual a 9 (km/litro)2. Teste, ao nível de si gnificância de 6%, a afirmação da montadora. R: Z 0
1,16 , não se rejeita H 0 .
31 – A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é de 1615 horas. Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão populacional igual a 120 horas. Utilizando 5% de significância, desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou diferente de 1600 horas. Qual é a conclusão? R: Z 0
1,25 , não se rejeita H 0 .
32 – Um criador de animais afirma que 10% de um rebanho têm verminose. Para verificar esta afirmação, um veterinário avaliou 100 cabeças de rebanho, dos quais 8 estavam com verminose. Teste a afirmação do criador ao nível de 8% de significância. R: Z 0
0,6667 , não se rejeita H 0 .
33 – Com o auxílio da tabela t-student calcule (se necessário, aproxime): a) P 3,365 t (5) 3,365
b) P 1,397 t (8) 1,397 c) P 1,345 t (14) 2,145 d) O valor de a tal que P t (9) a 0,01 e) O valor de b tal que P t (16) b 0,05 f) O valor de c tal que P c t (11) c 0,50 R: a) 0,98, b) 0,80, c) 0,875, d) 2,821, e) -1,746, f) 0,697. 34 – Uma amostra com 10 observações de uma variável aleatória Normal forneceu média de 5,5 e variância amostral 4. Deseja-se testar, ao nível de significância de 5%, se a média na população é igual a 6. Qual é a conclusão? R:
t 0 0,79 , não se rejeita H 0 .
35 – Admitindo que a pressão sanguínea arterial em homens siga o modelo Normal, 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressão medida com os seguintes resultados: 84, 81, 77, 95,69, 80 e 79. Teste que a média é igual a 82. Use 2% . R:
t 0 0,43 , não se rejeita H 0 .
36 – O tempo de permanência de engenheiros recém-formados no 1º emprego, em anos, foi estudado considerando um modero Normal com média e variância desconhecidas. Por analogia com outras categorias profissionais, deseja-se testar se a média é de 2 anos. Para uma amostra de 15 engenheiros, a média obtida foi de 2,7 anos e o desvio padrão amostral 1,4 anos. Ao nível de 1% de significância, qual a conclusão do teste? R:
t 0 1,93 , não se rejeita H 0 .
37 – Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual 0,09 cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de 100 peças é coletada. Formule o problema como um teste de hipóteses. a) Qual seria a região crítica se 2% . b) Se para essa amostra x 1,94 , qual sua decisão em (b)? R: Z 0
2 , não se rejeita H 0 .
38 – Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos anuncia que seu remédio contra dor de cabeça leva em média 14 min para aliviar a dor. Um médico sustenta que o tempo é diferente deste e seleciona aleatoriamente 40 pacientes. Pede a eles que tomem tais pílulas quando tiverem dor de cabeça, anotando o tempo (em minutos) até o alivio da dor. Após coletar todas as respostas, ele verifica que o tempo médio de alivio para esses pacientes foi de 19 min. Supondo que o tempo para alivio da dor é uma variável aleatória com desvio de 5 min, os resultados confirmam a afirmação feit a pelo laboratório, ao nível de 5% de significância? R: Z 0
6,32 , rejeita-se H 0 .
39 – Suponha que se deseje estimar a proporção p de indivíduos com certa moléstia em uma dada região. Selecionou-se uma amostra aleatória de 100 pessoas e constatou-se que 25 eram portadoras da moléstia. a) Calcule a estimativa pontual da proporção p. b) Um pesquisador acredita que a proporção de doentes é igual a 20%. Teste essa hipótese ao nível 5% . Formule as hipóteses nula e alternativa. R: a) p 0,25 , b) Z 0 ˆ
1,25 , não se rejeita H 0 .
40 – Testes exaustivos realizados pela indústria Cookbem indicam que seu forno de microondas tem probabilidade 0,1 de apresentar a 1ª falha antes de 900 horas de uso. Um novo método de produção está sendo implantado e os engenheiros garantem que a probabilidade acima indicada seja diferente. Com vistas de verificar essa afirmação, escolheu-se aleatoriamente 100 aparelhos para realizar testes acelerados e os resultados indicaram que 8 deles tiveram sua 1ª falha antes de 900 horas. Verifique se os engenheiros têm razão, ao nível de 6% de significância. R: Z 0
0,6667 , não se rejeita H 0 .
41 – Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos, apresentou uma frequência cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio-padrão de 8,67 batidas/min. Um manual de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo com um modelo Normal e usando um nível de significância igual a 4%, você diria que os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual? R:
t 0 1,20 , os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual (não se rejeita H 0 ).
42 – A resistência à ruptura em cabos de aço é considerada uma variável Normal com média e variância dependendo de outros fatores. Uma amostra de 12 cabos produzidos por uma empresa são levados a teste para indicar se eles podem ser usados na construção de uma ponte. Cada cabo para ser usado precisa ter carga média de ruptura de 2500 kg. Indique a conclusão que se pode tirar, usando um nível de 1% de significância, se os seguintes resultados forem observados na amostra: 2518, 2492, 2450, 2535, 2547, 2486, 2455, 2499, 2522, 2505, 2469 e 2440.
R:
t 0 0,68 , não se rejeita H 0 .
43 – O crescimento de-bebês, durante o primeiro mês de vida, pode ser modelado pela distribuição Normal. Admita que, em média, um crescimento de 5 centímetros ou mais seja considerado satisfatório. Deseja-se verificar crescimento se o de bebês de famílias em um bairro da periferia de são Paulo acompanha o padrão esperado. Para tanto, 10 recém-nascidos na região foram sorteados e sua altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em centímetros: 5,03; 5,02;4,95;4,96; 5,01; 4,97; 4,90; 4,91; 4,90 e 4,93. a) Que hipóteses estão sendo testadas? b) Qual é o estimador a ser utilizado para testar as hipóteses em (a)? c) Qual seria a região crítica e a conclusão ao nível de 5% de significância? R:
t 0 2,70 , rejeita-se H 0 .
44 – Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(2,2), determine a probabilidade de a média amostral: a) Ser inferior a 1. b) Ser superior a 2,5. c) Estar entre 0 e 2. R: a) 0,0125, b) 0,1314, c) 0,5 45 – O intervalo [35,21;35,99] com confiança de 95% foi construído a partir de uma amostra de tamanho 100, para a média de uma população Normal com desvio padrão igual a 2. a) Qual o valor encontrado para a média dessa amostra? b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com uma confiança de 90%, qual seria o novo intervalo de confiança? 46 – Desejamos coletar uma amostra de uma variável aleatória X com distribuição Normal de média desconhecida e variância 30. Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade 0,92, a média amostral não difira da média da população por mais de 3 unidades? R: 11. 47 – Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao candidato. a) Utilizando a informação da amostra piloto, determine o tamanho da amostra para que, com 0,8 de probabilidade, o erro cometido na estimação seja de máximo 0,05. b) Se na amostra final, com o tamanho obtido em (a), observou-se que 51% dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para p, com confiança de 95%. R: a) n 158 , b) [0,43; 0,59] 48 – Utilizando a tabela da distribuição Qui-quadrado determine (aproxime se necessário):
a) P 2 14,70 7 b) P 2 39 23 c) P 2 9 12
d) O valor de a tal que P 2 a 0,05 13 e) O valor de b tal que P 2 b 0,01 4
R: a) 0,04, b) 0,02, c) 0,30, d) 22,36, e) 13,28.
49 – Em um experimento para verificar a relação entre crises de asma e incidência de gripe, 150 crianças foram escolhidas, ao acaso, dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Saúde do bairro. Os dados re ferentes a uma semana são apresentados na tabela abaixo. Asma| Gripe Sim Não Sim 27 34 Não 42 47 Você acha que as ocorrências de asma e gripe são independentes? Use 5% de significância. R: o2 0,125 , não se rejeita
H 0 .
50 – A tabela abaixo contém os resultados obtidos por estudantes do ensino médio, em um exame com questões nas disciplinas de física e matemática. Deseja-se testar se existe dependência entre as notas dessas duas disciplinas que, para efeito de apresentação na tabela e análise de comportamento, foram classificadas nas categorias alta, média e baixa.
Teste a hipótese de que as notas de física e matemática são independentes ao nível de 5% de significância. R: o2 145,78 , rejeita-se
H 0 .
51 – Uma empresa avaliadora de imóveis está estudando as regiões central e oeste da cidade de São Paulo. O objetivo principal é verificar se o preço médio, praticado para imóveis comerciais de um dado tamanho, é o mesmo nas duas áreas. De levantamentos anteriores, a empresa sabe que a área oeste apresenta uma heterogeneidade de preços imobiliários (em UPC - unidade padrão de construção) maior do que a região central, sendo os desvios padrões iguais a 0,82 UPC para a região oeste e 0,71 UPC para a região central. Para verificar se os preços médios são iguais ou não, duas amostras, uma de tamanho 20 e outra de tamanho 18 foram retiradas aleatoriamente de cada região. Os dados são os seguintes:
Teste as hipóteses de interesse, considerando 10% de significância. 52 – Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas. Deseja-se comparar o tempo médio obtido pelos dois métodos, para isto foram coletadas duas amostras independentes, que apresentaram os resultados:
Supondo que os tempos obtidos pelas duas turmas seguem distribuição Normal, verifique se os tempos médios populacionais são iguais ao nível de 1% de significância. R: t 0 4,83 , rejeita-se H 0 .
53 – Três diferentes bancos possuem agências de mesmo porte em uma avenida movimentada de Salvador, BA. Para testar se essas agências têm movimento médio equivalente, foi escolhida uma semana típica de trabalho e o desempenho, nesses dias, foi registrado. Os dados obtidos, em milhares de reais, estão apresentados na tabela a seguir:
Qual seria sua conclusão, ao nível de 5% de significância? R: F 0 0,591, não se rejeita H 0 . 54 – A fim de verificar o efeito de quatro tipos de propaganda de uma determinada marca de goma de mascar, crianças foram atribuídas aleatoriamente a cada uma de 4 salas que mostravam desenhos animados, com intervalos regulares em que as correspondentes propagandas eram inseridas. Após a sessão, as crianças foram entrevistadas por psicólogos, que atribuíram um índice de assimilação a cada criança. Quanto maior esse índice, maior seria a lembrança do produto. Os dados são apresentados a seguir.
Teste a hipótese de igualdade das médias entre os tipos de propagandas, ao nível de 5% de significância. R: F 0 35,93 , rejeita-se H 0 . 55 – Para verificar se existe relação entre a renda familiar e o número de filhos, foi coletada uma amostra de 8 famílias em uma cidade. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir:
Que conclusões podem ser tiradas, baseando-se em um diagrama de dispersão e no coeficiente de correlação? Calcule a reta de mínimos quadrados e interprete os parâmetros. R: a) 0,86 , b) y 3,17 0,09 x . ˆ
56 – Uma indústria submete seus novos operários a um teste de aptidão (X) e três meses depois mede a produtividade destes operários (Y), os resultados estão na tabela a seguir:
Faça o gráfico de dispersão e calcule o coeficiente de correlação. Ajuste a reta de regressão e trace-a no gráfico de dispersão. R: a) 0,63 , b) y 9,0027 1,28 x ˆ
57 – Um estudo pretende avaliar o efeito da obesidade na pressão sanguínea. Para tanto, foram avaliados os pesos para 6 indivíduos e construída a variável X representando a razão entre os pesos real e ideal. Estudos indicam que um modelo de regressão linear simples é adequado para essa situação. Os dados obtidos foram:
Ajuste a reta de regressão para estes dados. R: y 133,5 18,85 x ˆ
58 – A quantidade de chuva é um fator importante na produtividade agrícola. Para medir esse efeito, foram anotadas, para 8 regiões diferentes produtoras de soja, o índice pluviométrico e a produção do último ano.
Faça um gráfico de dispersão e calcule o coeficiente de correlação. Comente o resultado. Ajuste a reta de regressão. R: a) 0,72 , b) y 1,5527 0,2743 x ˆ
59 – Suponha uma população X com distribuição de Poisson com parâmetro amostra aleatória de tamanho 10, foi retirada desta população, encontre:
. Considerando que uma
a) A função de verossimilhança do parâmetro dada a amostra observada. b) O estimador de máxima verossimilhança de . 60 – Suponha que X seja uma v.a. com distribuição Normal com media e variância 1. Obtenha o estimador
de máxima verossimilhança de , para uma amostra aleatória de tamanho n. 61 – Considere uma amostra aleatória de tamanho 10 retirada de uma população X com distribuição de Poisson com parâmetro , com valores dados a seguir: 5 0 3 2 1 2 1 1 2 1 Calcule os valores da função de log-verossimilhança do parâmetro dada esta amostra observada, para os
seguintes valores de : 1, 2, 4, 6 e 8. Apresente o gráfico desta função. Para qual valor de , esta função atinge seu valor máximo? 62 – Considere a amostra aleatória de tamanho 10 de uma população Normal com media e variância 4, com valores dados por: 12 15 9 10 17 12 11 18 15 13
a) Encontre a função de log-verossimilhança do parâmetro dada a amostra observada. b) Encontre o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro . c) Calcule os valores da função de log-verossimilhança para 11, 12, 13, 14 e 15 . Represente graficamente esta função.
