Guía Práctica para resolver Limites y no morir en el intento
__________________________________________________________________ La teoría de limites es la base de la verdadera metafísica del Cálculo Diferencial
lm lm lm lm l m lm lm lm lm lm lm lm lm lm
Para empezar a resolver límites debemos entender su notación, sin profundizar en su definición precisa de límite ( ), es decir:
Lo anterior se lee:
el límite de , cuando tiende a , es igual a
Debemos también recordar las leyes de los límites. l ímites. Supóngase que es una constante, un entero positivo y que los limites:
existen. Entonces: . . . . .
. .
lm lm l m lm
Básicamente con lo anterior ya podemos empezar a calcular algunos límites, pero antes aclaremos algo importante respecto a la sustitución directa.
Si es un polinomio o una función racional y esta en el dominio de , entonces:
lm
NO todos los límites se pueden evaluar por sustitución directa
Calcule el sgte límite
lm
SOL: Por sustitución directa
l m lm lm
Si consideramos la función:
Notamos de inmediato que no está definida en Es decir su dominio es:
.
Por lo tanto debemos concluir que la sustitución directa en este caso no es posible. 2
Así que debemos trabajar la función, para ello debemos pensar bien como hacer este paso, ya que hay muchas maneras de manipular una función algebraicamente, pero debemos diferenciar entre manipular algebraicamente bien la función sin llegar a buen puerto o hacerlo de manera eficiente y eficaz, para así calcular bien el límite que es nuestro objetivo principal. Notamos que hay una diferencia de cubos en el numerador y una diferencia de cuadrados en el denominador, ya sabemos de cursos anteriores que ambos en su factorización comparten un factor común que podría anularse en el cociente y así el denominador ya no seria 0. NO OLVIDAR
lm lm lm l m l m lm lm lm
Así
Calcule el sgte límite
HINT: Realice la sustitución
SOL: 3
lm lm l m l m lm
Para estos casos debemos hacer caso de la ayuda que se nos da, para ello debemos notar lo siguiente:
Entonces, debemos modificar el límite del enunciado en función de la variable
Hasta aquí debemos preguntarnos si es factible hacer sustitución directa, entonces solo debemos definir nuestra función y analizar su dominio, es decir: Sea
su dominio es:
pero
entonces:
así que no hay problema en sustituir directamente.
4
m m l l lm lm A continuación un límite, donde solo hay que hacer una operatoria algebraica y uso de la ley 7, que es una ley que suele en ciertos ejercicios intimidar a los que se inician en el cálculo de límites.
lm lm lm l m l m
Calcule el sgte límite
SOL:
Muy Fácil Dominando las leyes de los límites, no debiéramos tener dificultad con problemas de este estilo. Bueno, continuemos adquiriendo técnicas para resolver límites.
Resolvamos un problema clásico donde hay que calcular el límite de un cociente de polinomios.
5
Calcule el sgte límite
lm
SOL: De inmediato notamos que por sustitución directa no es posible, ya que la función:
No existe en
, pues
pero ya sabemos que tanto numerador
y denominador comparten un factor en común, ambos son divisibles por al tener ambos como raíz a . Para factorizar estos polinomios, usamos división sintetica o Regla de Ruffini. Debido a esto es que seleccione este límite, Ruffini suele olvidarse con facilidad si no se resuelven problemas donde hay que factorizar polinomios de muchos términos con grados mayores a 3. Nuestro primer polinomio a factorizar es:
Explicación Tabla:
Casilla1 Casilla 2
Casilla 3 Casilla 4
6
Casilla 5 Casilla 6
-
Primero se agregan los coeficiente de los términos del polinomio : primera fila en rojo, el numero 1 verde indica que es la raíz por la cual es divisible . Bajamos el primer coeficiente, que corresponde al factor del término de mayor grado en en este caso el numero 2. Las casillas bajo los otros coeficientes se completan siguiendo el sgte orden: La Casilla 1 es el resultado de multiplicar el coeficiente que se bajo y la raíz, en este caso 1, así se obtiene como resultado 2, la Casilla 2 se completa al sumar mas el numero obtenido en la Casilla 1, es decir:
-
Luego, la Casilla 3 se completa multiplicando el resultado de la Casilla 2 y la raíz, es decir: Así la Casilla 4 será:
Y así hasta completar la casilla 5 y 6. Así, se cumple que:
Hacemos lo mismo para el polinomio:
1 1
0 1 1
Así se cumple que:
3 1 4
1 4 5
Entonces el límite nos queda como:
7
5 0
1
lm lm lm lm
Claramente está listo para evaluarse, el denominador ya no se anula y por lo tanto ya no se indefine la función.
Complicado? No, si sabemos aplicar la
Otro aspecto que hay que considerar cuando se calculan funciones racionales, es cuando el límite tiende al infinito, el siguiente es un resumen acerca de la técnica, muy útil para guiarse en la respuesta.
lm Calcule el sgte límite
lm
SOL:
Usando el resumen anterior:
Así
8
lm l m
Ahora veremos un límite donde el arte de hacer nos puede ayudar a evitar cálculos tediosos y terribles, que en una solemne pueden ser desastrosos en el objetivo de ser eficiente y eficaz, ya que ahí el tiempo juega un papel importante. El cambio de variable se aprende luego de resolver una gran cantidad de límites. Calcule el sgte límite
lm
SOL: Por el momento nuestros recursos algebraicos son limitados, aumentaran a medida que ejercitemos por ello no hay que desanimarse, lo anterior lo digo porque al analizar este límite ya sabemos que la sustitución directa no resuelve nada y que lo más probable es que se piense en algo para racionalizar el denominador, el problemas es que no es tan fácil dicha racionalización, bueno si eres ya experto calculando limites sabrás que hay que multiplicar y dividir la función dada por algo que produzca una diferencia de cubos y ese algo es:
Si no es así, no te preocupes una . Así que nuestro objetivo es tratar de obtener algo amigable que podamos operar tranquilamente, entonces usando el cambio de variable: 9
l m lm lm lm l m
De modo que si entonces Así el límite nos queda como:
.
Ahora si!!, este de seguro lo sabemos trabajar o no?
Nos simplifico el problema?, evidentemente, ahora debemos preguntarnos lo sgte, ¿Solo hay que usar C.V? claramente NOOO!!, es una herramienta útil, pero si no se nos ocurre un C.V adecuado, debemos usar la racionalización, de hecho, lo que recomiendo es que hay que dominar todas las técnicas/métodos, por lo que a continuación lo hare usando ese . ¡¡Atentos!!
“algo” que mencone al prncpo lm lm Recuerda que:
Si vemos el denominador de la función como dividir entre
conviene multiplicar y para producir, al
multiplicarse por
, la diferencia de cubos:
Así
10
lm lm lm
¿Se soluciono nuestro problema? No, lamentablemente aun queda trabajar más el límite ya que el cociente
produce una
indeterminación, pero su racionalización es muy sencilla.
A continuación!! 2 maneras de resolver un límite Calcule el sgte límite
lm
SOL 1:
lm lm lm lm lm lm 11
SOL 2:
Solo con el objetivo de demostrar y convencer que el CV solo es una manera diferente de abordar un límite y que trata de simplificar los cálculos. Sea
lm lm l m lm lm
Para resolver el siguiente problema debemos recordar el siguiente Teorema:
lm lm lm
Sea
tal que
una función tal que
y
una función
. Entonces
El costo en millones de dólares para el gobierno de aprehender un cierta droga ilegal a su entrada por las fronteras, viene dado por:
(a) Calcular el costo de aprehender el 25% (b) Hallar el límite de cuando
12
de
SOL:
lm lm
(a) Debemos calcular , notamos que el porcentaje a evaluar se encuentra dentro del intervalo que define el enunciado como dominio de la función, es decir, Así que es posible realizar sustitución directa:
Por lo tanto, el costo de aprehender un 25% tiene un costo de 176 millones de dólares para el gobierno. (b)
Otros límites que nos interesa calcular son los que involucran funciones trigonométricas, y que para poder resolver gran cantidad de ellos, necesitamos recordar las :
co e n coco en enccooen enceon ceon en coen co
Algunos valores relevantes para seno y coseno:
La también es relevante en el cálculo de límites trigonométricos que involucran las funciones seno y coseno.
n n
13
coco
lm en ndwch o la Regla de L’Hôptal
Y el siguiente limite:
Cuando adquiera más destrezas podrá demostrar este límite usando el Teorema del Sa Quizás mas adelante, y mas experto podrá calcular sin problema el límite del Profesor Vladimir Arnold usando Polinomios de Taylor, ese sería un desafió Interesante, por el momento sigamos calculando mas y mas limites. Calcule el sgte límite
lm eenn
SOL: Se trata de una forma indeterminada, ya que:
lm eenn eenn e n l m lm eenn lm en
El objetivo aquí es tratar de lograr el límite trigonométrico mencionado arriba:
Calcule el sgte límite
co lm 14
SOL: Se trata de una forma indeterminada, ya que:
lm co co en en co co co co co co e n lm co l m co l m co en en lm co en lm en lm co e n co
La idea es provocar, de alguna manera, la aparición de la función Si recurrimos a la identidad:
Entonces:
Calcule el sgte límite
lm co
SOL: Se trata de una forma indeterminada, ya que:
co co lm
El procedimiento es similar al anterior:
15
.
co co co e n lm co lm co lm co e n e n lm co lm co lm co co lm lm
Los dos últimos limites calculados, es recomendable recordarlos ya que suelen aparecer en varios otros límites de funciones trigonométricas:
Aumentemos un poco la dificultad. Calcule el sgte límite
en lm
SOL: Se trata de una forma indeterminada, ya que:
en en lm en en lm lm
Lo mejor es hacer un cambio de variable, sea:
16
en enco en coco en co co lm l m lm
Usando la identidad, del seno de la suma de dos ángulos:
Así, el límite nos queda:
Calcule el sgte límite
lm tan
SOL:
e n lm tan tan co e n e n c o en c o co co co en en
Lo anterior nos obliga a realizar el siguiente cambio de variable:
17
lm tan lm tan e n e n c o o en c tan co co coen en c eon c o e n lm tan lm en lm co co
Primero desarrollemos la tangente:
Así
Hasta aquí ya debiéramos calcular sin problema gran variedad de límites, pero como suele pasar en la universidad el profesor siempre intentara desafiarlo con algún límite que es probable que no haya resuelto alguno similar anteriormente, así que, a continuación se resuelven algunos límites
del tpo “deafante”
18
lm
Calcule el sgte límite
SOL: Reordenamos la expresión:
lm lm lm lm l m
Racionalicemos cada binomio:
Así
19
lm lm
lm lm lm lm
Calcule el sgte límite
lm
SOL:
Usamos división sintetica o Regla de Ruffini, considerando al polinomio que tiene como raíz a . 1 1 Así
0 1 1
0 1 1
Otra forma de factorizar
0 1 1
0 1 1
es recurriendo a la expresión:
20
1 0
1
lm lm lm
Tomando
y
.
_
_
lm lm
Una función es continua en un numero si: . está definido, es decir, existe en dominio de . . .
Lo anterior (punto 3) nos obliga a definir los límites laterales.
lm l m Para entender estas definiciones, resolvamos el sgte ejercicio. Estudie la continuidad de
en todo
.
e n 21
SOL:
De inmediato notamos que tiene discontinuidad cuando:
La grafica se ve como:
en e n e n e n lm lm lm lm lm lm en en
Veamos como se comporta en
Asi, en que:
la función presenta una discontinuidad del tipo evitable, ya
Veamos como se comporta en
Este punto es delicado ya que como se puede observar en su grafica tiende hacia dos valores distintos, cuando sucede esto aplicamos limites 22
lm lm en lm en lm lm lm en lm en lm lm lm
laterales:
Así, en que:
la función presenta una discontinuidad del tipo esencial, ya
Por lo tanto:
- es continua en - presenta una discontinuidad del tipo evitable en - presenta una discontinuidad del tipo esencial en Determine los valores de
y en:
Para que sea continua en todo
.
SOL: Cuando buscamos valores de constantes en las funciones por rama nuestro trabajo simplemente consiste en calcular los límites laterales. Punto
lm l m lm l m :
23
lm lm lm lm
Como se debe cumplir que ambos límites laterales sean iguales, con ello formamos la ecuación:
Punto
:
Como se debe cumplir que ambos límites laterales sean iguales, con ello formamos la ecuación:
Con lo anterior formamos el sistema:
Aplicando la regla de Cramer:
por lo tanto
A continuación explico la , para resolver sistemas de 2 ecuaciones, como el obtenido, este método es el que recomiendo.
Dado el sistema de ecuaciones:
Entonces e se obtienen calculando:
24
Dada la función:
(a) Determine (b) Demuestre
lm lm
(c) ¿Es continua la función en
?
SOL: (a)
lm lm lm lm l m
(b)
Por lo tanto
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Ahora reolvamo un problema “deafante” en co lm lm lm lm
(c) La demostración en (b) nos permite concluir que no es continua en
Dada la función:
Determine las constantes y para que
sea continua en todo
.
SOL:
La función es continua en los intervalos
Los puntos problemáticos o de discontinuidad son: Punto : Para asegurar continuidad en
y
.
y
.
se deberá cumplir lo siguiente:
Así
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e n lm lm e n lm lm lm c o co lm lm lm lm lm
Entonces, solo falta que se cumpla:
Punto : Para asegurar continuidad en
Así
se deberá cumplir lo siguiente:
Entonces, solo falta que se cumpla:
Juntando lo obtenido en ambos puntos, podemos concluir que las constantes pueden ser:
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