Matemática 1 - Inacap

APUNTES MATEMÁTICA I MTIN01

INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado Pregrado 2014

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ÍNDICE UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN…….. INFORMACIÓN…….. 4 UNIDAD 2: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES..………………………………… PORCENTAJE S..…………………………………... ... 79 UNIDAD 3: ÁLGEBRA…. ÁLGEBRA….……………………………………………………………………. 130 UNIDAD 4: FUNCIONES…...………………………………… FUNCIONES…...…………………………………………………………… ……………………………. …... 239

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

PRESENTACIÓN 

Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias Básicas. Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la Didáctica de la Matemática. La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del docente un mediador. El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente. Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.

UNID UNIDAD AD 1: RESO RESOLU LUCI CI N DE PROB PROBLE LEMA MASS Y AN LISI LISISS DE LA IN INFO FORM RMAC ACII N

L

a necesidad de resolver problemas problemas prácticos, científicos, filosóficos filosóficos , artísticos artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones, plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras, aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias, como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las estrategias matemáticas para su solución.

Epitafio en la tumba de Diofanto

UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su su mejilla mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.

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PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTIN01 UNIDAD 1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO

Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético-algebraica, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN    

Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información. Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. Aplica procedimientos procedimientos matemáticos para la resolución resolución del problema. problema. Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

APRENDIZAJE ESPERADO ESPERADO

Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  

Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación. Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.

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Introducción

¿Qué significa aprender matemática?

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN  

La conjetura de Fermat El teorema de Pitágoras permite asegurar que existen enteros x,

y, z , lados de un triángulo rectángulo, que cumplen 2 2 2 x  y  z

En

1640

Pierre

Fermat,

generalizó la pregunta y la respondió:

Para

todos

los

enteros n  2 no es posible encontrar

enteros x,

z ,

y,

distintos de cero, tal que

x n  y n  z n Fermat dijo haber encontrado una demostración, que no pudo mostrar por el pequeño espacio del margen del libro donde escribía. El denominado último teorema de

Fermat

permaneció

sin

demostración durante más de 350 años, hasta que en 1995, Andrew Wiles, quien dedicó

Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en algún contexto. Esta es la concepción predominante, que sin embargo recibe serios cuestionamientos, ¿cuál es el sentido de aprender matemática por la matemática, sin justificación ni contexto?, ¿es posible acumular conocimientos matemáticos, con la vaga promesa de su utilidad futura? Esta idea de las matemáticas se aleja de la esencia de la disciplina, la creación del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de resolver determinados problemas. La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto de partida en la intuición y la creación. Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos, tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático. Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemático en ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza, etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento matemático.

gran parte de su vida a este tema,

logró

completar

una

demostración. Lo realmente importante del “último teorema” no es su

demostración, sino que en su búsqueda, se aportó de manera significativa al desarrollo de la aritmética y álgebra moderna.

Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una reflexión.

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UNIDAD 1: RESOLUCI N DE PROBLEMAS Y AN LISIS DE LA INFORMACI N

Problema o ejercicio

Ejercicio

Problema


Situaciones rutinarias, idénticas o muy similares a otras que ya fueron resueltas.

Situaciones no rutinarias. No existe un camino inmediato o evidente para su solución.

Los métodos para resolverlos son conocidos.

Es necesario explorar distintas estrategias y nuevos métodos de solución. Admiten más de una estrategia de solución.

La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los “problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio. Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños? b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños? ¿Problema o ejercicio?

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Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos. Solución: a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines. También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior, por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es 1  2 3  4 5  6  7 8 9 10  55

Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio. b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma 1 2  3 

100

No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias que se pueden usar para resolver este problema.

Métodos generales y particulares

¿Cómo resolver problemas? Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es…resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho más complejo que eso. Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro cómo aplicarlo en los distintos dominios.

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Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a contenidos específicos.


Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la habilidad de resolución de problemas. Esto es: 1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si pueden ayudar a atacarlo. 2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es necesario revisar el contenido específico. Método general de Pólya

Pólya (1945) identifica cuatro etapas en la resolución de problemas: 1. Entender el problema 2. Diseñar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Examinar la solución Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve? Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas, además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN 

Entender el Problema



Reconocer datos e incógnita. Representar el problema con gráficos, diagramas o dibujos.

Diseñar un Plan Pensar en un problema similar. Simplificar el problema a casos particulares.

Ejecutar el Plan Revisar cada paso. Evaluar el plan propuesto.

Examinar la Solución Resolverlo de otra forma para comprobar la solución.

¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Las condiciones permiten determinar la incógnita? ¿El problema es similar a otro visto antes? ¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? ¿Puedo modificar algún método conocido para aplicarlo en este caso?

¿Es correcto cada uno de los pasos usados en la solución? ¿El plan permite avanzar en la solución del problema?

¿Se puede comprobar la solución? ¿Se puede obtener el resultado de otra forma? ¿Se puede emplear el método usado en otro problema?

Estrategias de resolución de problemas

El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para resolver problemas matemáticos: 1. Descomponer el problema en subproblemas. 2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal. 3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

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4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema. 5. Buscar analogías.


6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un problema aritmético representándolo geométricamente. 7. Búsqueda por ensayo y error. 8. Método algebraico. 9. Método gráfico. Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras, algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con ejemplos el funcionamiento de estas estrategias. Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños. Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños? Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la suma 1 2  3 

100

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Solución: Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.


Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular. Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo, descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

55 10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10

100 + 55 200 + 55 300 + 55 400 + 55 500 + 55 600 + 55 700 + 55 800 + 55 900 + 55 4500 + 550 = 5050

Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar números del 1 al 10?

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a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo 1  2  3  4  5  6  7 8 9 10


5 veces 11 .

5 11  55

De la misma forma 1 2  3 

 98  99 100

50 veces 101 50101  5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos. 1  2 3 

 98  99  100

100  99  98 

 3  21

101  101  101 

101  101  101

100 veces 101 Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado por 2, esto es 100 101 2

 5050

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema. Transferir el problema de un dominio a otro.

Representar el problema geométricamente como un cálculo de área. Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

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Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo


6

7

Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6  7 , como la escalera es la mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir 67 2

 21

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la cantidad de adoquines de la escalera sería 100 101 2

 5050

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido planteadas: 1. Entender el problema: ¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma ¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100 ¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1 al 100. Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.

2. Diseñar un plan: ¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de sumar no es práctica en este caso.

¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso? En la suma de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.

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3. Ejecutar el plan: ¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales


cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de áreas.

4. Examinar la solución: ¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es posible comprobar el resultado.

¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de sumas sucesivas de números naturales.

En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan. Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19 conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y autos hay?

Solución: Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de acuerdo al número de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas + 11 autos + 44 ruedas 19 conductores 60 ruedas

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Estrategia 2: Ensayo y error.


a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son 20  36  56

Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos hasta coincidir con el total de ruedas. b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla: Nº motos 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8

Nº autos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Nº ruedas 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

Estrategia 3: Método algebraico.

a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación. Nº de motos: x Nº de autos: 19  x Nº de ruedas: 2 x  4 19  x  Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior a 60 se tiene la ecuación 2 x  4 19  x   60

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Al resolver la ecuación se tiene 2 x  4 19  x   60 2 x  76  4 x  60


76  2 x  60 76  60  2 x 16  2 x 8  x

Por tanto, son 8 motos y 11 autos. b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas, plantear y resolver el sistema de ecuaciones. Nº de motos: x Nº de autos: y Nº de conductores: x  y  19 Nº de ruedas: 2 x  4 y  60 x  y  19 2 x  4 y  60

Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se tiene 2 x  2 y  38    ()  2 y  22  y  11 2 x  4 y  60  

Luego x  8 Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Método gráfico.

Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección entre las rectas es la solución.

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No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un software grafico, por ejemplo en Geogebra ( http://www.geogebra.org )


En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben ingresar las ecuaciones x  y  19 y 2 x  4 y  60 , el punto de intersección es  x, y    8,11 , por tanto hay x  8 motos y y  11motos.

Problemas Propuestos

Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada, respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta? 1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra en la siguiente figura:

¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos por lado?

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2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1  3  5 


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101 ?

Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares y el área de cuadrados :

3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el ganador. ¿Existe una estrategia que permita ganar el juego? ¿Cuál debe ser el número que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de ganar? 5. Determine los símbolos que siguen en la secuencia:

….. 6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores?


7. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?


Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos cuadrados de lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:

8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua? 9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o $30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los $27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son $29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué pasó con los $1.000 faltantes? 10. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la suma sea igual a 20:

11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

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ARITMÉTICA



Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos, como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o contar con métodos de resolución más eficientes. Números

La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de números, como los irracionales, los números negativos y los complejos, surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad como números. Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por qué ( )  ( )  ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros, así ()  ()  () porque la suma de dos deudas es también una deuda. Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se desprende al aceptar la regla de signos ( )  ( )  ( ) . Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el mundo real.

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Números Naturales

ARITMÉTICA



El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara descripción de lo fundamental de los números naturales.

ℕ

Para formar el conjunto de los números naturales se debe adicionar el 0 a los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar.

ℕ = 0,1,2,3,… }

De los números naturales se puede decir que:

- Tienen un primer elemento: el 0. - Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n tiene un sucesor n 1. El 1 actúa como un generador. - Es un conjunto que no tiene fin. Por la importancia de base que tienen los números naturales para el resto de la matemática es necesario invertir un tiempo en revisar algunos conceptos claves. Los naturales se pueden separar en pares e impares. Pares  0,2,4,6,.... Impares  1,3,5,7,....

Los pares son los múltiplos de 2 y los impares el resto, todos ellos sucesores de un par. Esto permite representar a los pares de la forma 2n y a los impares como 2n 1 . Orden: Sean a y b dos números naturales, se dice que a es menor a b , esto es a  b , si existe otro número natural c tal que ac  b

Por ejemplo, ¿por qué 2  5 ?, porque existe

3 ∈ℕ

tal que 2  3  5 .

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Divisores y Múltiplos:

ARITMÉTICA

Sean m y n dos números naturales, se dice que si existe otro número natural p tal que

m es divisible por n , n  0 ,



m  n p

También se dice que n es divisor de m o que m es múltiplo de n.

2∈ ℕ

Por ejemplo, ¿Por qué 6 es divisible por 3?, porque existe tal que 6  3  2 . Entonces se dice que 3 es divisor de 6 o que 6 es múltiplo de 3. Propiedad: Todo número tiene al menos dos divisores, el 1 y sí mismo. Números primos:

Aquellos números, distintos de 1, que tienen como divisores al 1 y a sí mismo, se denominan números primos. Primos  2,3,5,7,11,13,17,19,23,.... Descomposición en factores primos:

Todo número natural o es primo o se puede escribir como producto de números primos, lo que se conoce como “descomposición en factores primos”, que se obtiene dividendo de forma reiterada. Por ejemplo: descomponer 60 en factores primos. En la tabla vamos haciendo la división por números primos comenzando con el 2. 60 30 15 5 1

2 2 3 5

Por tanto, 60  2  2  3  5

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Problema 4: Encontrar dos números enteros positivos cuyo producto sea un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación

ARITMÉTICA



Solución: Aunque puede haber varias formas de resolver este problema, los métodos que buscan la solución por “tanteo” no resultan muy efectivos. La aplicación de un conocimiento específico, como lo es la descomposición en factores primos puede ser de más ayuda. En efecto, al descomponer se tiene que 1000000 500000 250000 125000 62500 31250 15625 3125 625 125 25 5 1

2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5

Por tanto 1000000  2  2  2  2  2  2  5  5 5  5 5 5 Podemos obtener dos números cuyo producto sea 1000000 separando y multiplicando dos grupos de factores primos. Para que no aparezcan 10 y por tanto ceros en su representación, separaremos en grupos que solo contienen 2 y otro que solo contiene 5, de esa forma 1000000  64 15625

Otras aplicaciones de la descomposición en factores primos

Obtención de divisores: Para obtener todos los divisores de un número, basta descomponerlo y hacer todas las combinaciones posibles entre factores, cada una de ellas será un divisor. Por ejemplo, encontrar todos los divisores de 60: 60 30 15 5 1

2 2 3 5

Por tanto, 60  2  2  3  5

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Los divisores serían:

ARITMÉTICA



1 2 3 5 2 2  4 23  6 2  5  10 3  5  15 2  2  3  12 2  2  5  20 2  3  5  30 2  2  3  5  60

Simplificación de fracciones: En aritmética las fracciones se pueden simplificar buscando un divisor en común para el numerador y el denominador o descomponiendo en factores primos. La ventaja de lo segundo es que ese método de simplificación es transferible a las fracciones algebraicas que se verán después. Por ejemplo, simplificar la fracción: 3528 5292

La descomposición en factores primos es 3528  2  2  2  3 3  7  7 5292  2  2  3 3  3  7  7

Luego la fracción es

3528 5292



2  2  2  3 3 7  7 2  2 3  3 3 7  7

los factores iguales se

simplifican obteniendo 3528 5292



2  2 2 3  3  7  7 2  2  3  3 3 7  7



2 3

26


Estructura algebraica de los naturales

ARITMÉTICA



Cuando trabajamos con los números naturales, en realidad involucramos más que solo el conjunto de números, le asociamos operaciones que nos permiten trabajar con ellos. En ese sentido, lo relevante es el sistema que forma el conjunto y las operaciones definidas en ese conjunto, suma y la multiplicación, lo que entendemos como el sistema numérico de los naturales, que se denota por

ℕ

ℕ ,  , ⋅ 

¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo que se puede y no se puede hacer matemáticamente. Para todo

,,  ∈ ℕ

se cumple:

Asociatividad: (a  b)  c  a  (b  c) (a  b)  c  a  (b  c )

Conmutatividad: a  b  b  a a  b  b a

Elementos neutros: Existe Existe

01 ∈∈ ℕℕ

, tal que a  0  0 , 1  0 , tal que a 1  a

Distributividad: a  (b  c)  a  b  a  c La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación. La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que muestra que es posible separar en la suma de productos.

27


Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis

ARITMÉTICA



Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo: Problema 5: Gabriel piensa un número, le suma 25, divide el resultado entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué número pensó?

Solución: Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema sería: Si al final tenía 21 Antes de multiplicar por 3 tenía 7 Antes de restarle 8 tenía 15 Antes de dividir entre 2 tenía 30 Antes de sumar 25 tenía 5. Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma habitual de proceder en aritmética. Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el problema anterior sea escrito de la siguiente forma 21: 3  7  8  15  2  30  25  5

28


ARITMÉTICA



El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para entender luego como resolver ecuaciones. Problema 6: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas. Considera los siguientes ejemplos: 0  4  4  4 4 1

44 44

Solución: Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis. Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4, dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta será entonces 4  4: 4  4 ? Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una prioridad que respetar? Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9, significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad. Prioridad de las operaciones aritméticas 1º Paréntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera. 2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se realiza en cualquier orden.

29

UNIDAD 1: RESOLUCI N DE PROBLEMAS Y AN LISIS DE LA INFORMACI N .

3º Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.

ARITMÉTICA



Por ejemplo: a) 4  4 : 4  4  4 1 4 9

b) 5  2  1  6 :  2  1   8 : 2  2  5  2  1  6 : 3  4  2  5  2  1 2   8  5 2  3  8  5 68  11  8 3

Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se requiere usar paréntesis. En efecto

 4  4 : 4  4  6 Ejercicios y Problemas Propuestos:

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 2  6 :2  3  6  2 :3 1 b) 6   2  4  4 : 2  7 c) 2  2  2  2   2  2 : 2   d) 1  2   2  1  2   2  2: 2    2 

30


2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis estrictamente necesarios:

ARITMÉTICA



a) 2  5 1  12 b) 6  2 1  4: 2  7 c) 12 :3  2  2  1 d) 16 : 4  4 16 : 4  2 12 3. Un empleado de un taller mecánico se le paga $6000 por hora si trabaja 15 horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar $135.000 durante una semana? 4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores primos. 5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro que lo llena de forma exacta? 6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro? 7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 5123456789 ? 8. ¿Cuál es la última cifra de 7587 ? Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad 9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja? 10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

31


32

Números Enteros

ARITMÉTICA



Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos obtenemos el conjunto de los números enteros:

ℤ = …,3,2,1,0,1,2,3,… }

Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que 0. En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de congelación. Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus propiedades con la interpretación gráfica.

 ∈ ℤ

Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número existe un único número tal que a   a   0

Se dice que  a  es el opuesto o inverso aditivo de a .

∈ℤ


Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3  3 y signo

ARITMÉTICA



positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3  3 y signo negativo. Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos opuestos:

Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico de los enteros tiene la siguiente estructura:

ℤ ,  , ∙ 

Asociatividad Conmutatividad Elementos neutros Distributividad Inverso aditivo

Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas conocidas, por ejemplo que a  0  0 . Además, es posible definir la resta como una suma, esto es: a  b  a   b 

Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el inverso aditivo del segundo. Por ejemplo, a) 3  5  3   5 b)  2   6   2  6

33


ARITMÉTICA



No es necesario por tanto definir una regla de signos para la resta, basta la de la suma. La regla de signos para la suma y la multiplicación se pueden justificar con las propiedades descritas anteriormente. No es necesario recurrir a metáforas como la de “los amigos y enemigos”, que además de ocultar la matemática involucrada, no es cierta, ¿quién puede asegurar que el enemigo de mi enemigo es mi amigo? Regla de la adición Para explicar esta regla conviene utilizar un modelo concreto, supongamos que los números positivos están representados por fichas azules y los negativos por fichas rojas. Por la propiedad del inverso aditivo, debe ocurrir que igual número de fichas azules y rojas se anulen entre sí, esto es a   a   0 . Veamos que pasa al sumar números enteros de igual signo: 3 2  5

+

=

 3   2   5

+

=

Para la suma de enteros de igual signo se suman los valores absolutos y se mantiene el signo. Ahora veamos lo que sucede al sumar enteros de distinto signo: 5   2 

+

 5  3

+

= =

La suma de enteros de distinto signo implica la resta de los valores absolutos, manteniendo el signo del mayor. Más allá de aprenderse esta regla de memoria basta aplicar las propiedades, descomponiendo el número para que aparezca el inverso aditivo, esto es

52 = 322 = 3 53 = 233 = 2

34


Regla de la multiplicación La regla de signos de la multiplicación es

                                

ARITMÉTICA



El producto de signos iguales es positivo y el producto de signos distintos es negativo. Aceptamos como obvia la regla         . A partir de ello justificaremos el resto, evidenciando la contradicción matemática que implicaría no aceptarlas como ciertas, utilizaremos algunos ejemplos. Supongamos que        no es    , esto es suponer que          , por tanto 2   3  6 , si aplicamos esto en la siguiente expresión tendríamos 2  3   3   2 3  2   3   6  6 12

Pero la misma expresión puede ser resuelta de esta otra forma 2  3   3   2  0  0

Esto implica que 12  0 , una contradicción evidente. Por tanto, como esto un puede ocurrir, no queda más que aceptar que            . Del mismo modo se puede negar que            y llegar a una contradicción similar, que obligaría aceptarla como cierta.

35


Orden en

ℤ

¿Por qué  6   2 ?

ARITMÉTICA



El argumento que señala que  6   2 porque  6  está a la izquierda de  2  no es suficiente, ya que se sustentan en la representación arbitraria de la recta. Tampoco es correcto justificarlo diciendo que  6  está más lejos del cero que  2  , ya que el

8 está

aún más lejos del cero y no es

menor que  2  . Todas estas interpretaciones no tienen base matemática. Para afirmar que  6   2 hay que recordar que para los naturales se decía que a  b , si existe otro número natural c tal que a  c  b . Si extendemos esta definición a los números enteros tendríamos que

Si

, ∈ ℤ

, entonces: a  b , si y solo si existe

Ahora sí, ¿Por qué  6   2 ? Porque existe

4 ∈ℤ

tal que  6   4   2 

Ejercicios y Problemas Propuestos

1. Calcule: a)  7   2 b) 9   3 c) 6   3 d)  2   5 e)  2   5 f)  2   3  5   7    8    10 g) 1  1  1  1  1 

∈ℤ

tal que a  c  b

36


h)  3   2  5  4  3  6  9

ARITMÉTICA



i) 35  5 14  60 :15   16 : 4 3  29 7 2. Un avión sube a 5800 metros sobre el nivel del mar, baja 1200 metros y luego vuelve a subir a 580 metros. Si para aterrizar debe descender 4900 metros, ¿a qué distancia del nivel del mar aterrizó? 3. Un clavadista olímpico se lanzó verticalmente desde una plataforma de 12 metros de altura. Al tocar el fondo de la piscina había recorrido 18 metros. ¿Qué profundidad tiene la piscina? 4. Un emperador nació el año - x a.C y murió el año y -23 a.C, ¿cuál es la expresión que representa la cantidad de años que vivió? Escoja una alternativa y justifique matemáticamente: a) 23- x

b) x-23

c) – x-23

d) -23+ x

5. Si el antecesor de x es – 4 y el sucesor de y es 0, ¿cuál es el sucesor de

 y  x  ? 6. Rellena las casillas en blanco con números enteros, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales: – 4

4 1 0

7. Justifica matemáticamente: a) ¿Por qué  4   1 ? b) ¿Por qué  4   9 ? c) ¿Por qué  4   1 ? d) ¿Por qué            ?

37


Números Racionales Fracciones

ARITMÉTICA



Los números naturales son abstracciones que permiten contar colecciones finitas de objetos. Pero en lo cotidiano no basta solo con contar, también se necesita medir cantidades, tales como peso, tiempo, distancia, longitud, área, volumen, etc. Cuando una cantidad no se puede medir “exactamente” con la unidad de medida utilizada (metro, minutos, kilogramos, litros, según sea el caso), se subdivide la unidad original en n partes iguales, cada una de las partes se denota por 1

n

De ese modo es común subdividir el metro en 100 partes iguales denominadas centímetros o el minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Si una cantidad dada contiene exactamente m de estas subunidades, su medida se denota con la fracción m n

Donde m es el numerador y n es el denominador. Problema 7: Encontrar la medida de la longitud de un tornillo, usando como unidad de medida la pulgada.

38


Solución:

ARITMÉTICA



Habitualmente se utilizan fracciones para expresar la medida de los tornillos. Para medir el largo se divide la pulgada en partes iguales (2, 4, 8, 16 o 32 partes). En este caso se hace una subdivisión en 8 partes, de las que el tornillo alcanza a cubrir exactamente 5, se dice por tanto que la medida del tornillo es 5/8 de pulgada. Los significados de las fracciones

Las fracciones pueden adquirir distintos significados, de acuerdo al fenómeno que estén caracterizando. Ampliar este conocimiento permite identificar el significado que se le debe asignar a las fracciones en un determinado problema y tratarlas adecuadamente. Revisaremos algunos de esos significados: 1. Fracción como parte de un todo Un “todo” se divide en partes iguales m

Numerador: partes que se están considerando

n

Denominador: partes en que dividió el “todo”

a) Parte todo continuo: El todo continuo tiene relación con objetos o situaciones de medición (área, volumen, longitud, tiempo etc. El todo acepta las subdivisiones que se deseen. Longitud

Área

1

3

3

4

Volumen

2 5

1 4

Las partes deben tener la misma medida (longitud, área, volumen, etc.)

39


b) Parte todo discreto:

ARITMÉTICA



El todo discreto está asociado a situaciones de conteo. El todo corresponde a un conjunto de elementos, de los cuales se consideran o seleccionan un subconjunto de ellos. 3 7

Fracción de círculos rojos

2. La fracción como operador En este caso la fracción actúa sobre un número o magnitud, multiplicándose con ella. Por ejemplo, Se pintan 5 8

5 8

de una pared de 32 mt 2.

de 32 es equivalente a

5 8

 32  20

Otro ejemplo, se calcula que en una reducción de personal de una empresa se despedirá a

2 7

de los empleados, de los cuales

5 8

son hombres. Si en la

empresa trabajaban 168 empleados, ¿cuántos hombres serán despedidos? Se debe calcular

5 8

de

2 7

de 168, esto es,

5 2

 168  30

8 7

3. La fracción como razón La fracción puede representar la comparación entre dos cantidades. Por ejemplo, la fracción

2 9

puede representar la razón entre artículos

defectuosos y artículos buenos.

40


4. La fracción como resultado de una división

ARITMÉTICA



Este significado está relacionado con la fracción que expresa el resultado de la división de dos números naturales o en un contexto concreto situaciones de reparto equitativo. Por ejemplo, si se quiere repartir 3 cervezas entre 5 amigos, la parte que le toca a cada uno es

3 5

.

Problema 8: El control de calidad revisa 1/4 de los artículos de una línea de producción en el primer turno y la mitad del resto en el segundo turno. Si en total se revisaron 400 artículos, ¿cuántos quedaron sin revisar?

Solución: Procedimiento 1: Uso del significado de parte todo continuo de las fracciones. Supongamos que el total de artículos de la línea de producción está representado por un rectángulo En el primer turno se revisa

1 4

En el segundo turno se revisa

1 2

del resto. El resto son tres partes, que

podemos volver a subdividir en 6 para tomar la mitad de ellas, es decir 3 de esas partes

41


Se observa que la cantidad de artículos revisados corresponde a

42

5 8

del total

ARITMÉTICA



Como los

5 8

corresponden a 400 artículos, cada parte son 80 artículos.

Por tanto, quedan 3  80  240 artículos sin revisar. Procedimiento 2: Uso del significado fracción como operador. Nº total de artículos: x Primer turno se revisa: Quedan

1 4

3 4

Segundo turno se revisa la mitad de lo que queda: Se revisan en total: 5 8

1

 

3

5

4

8

8

1 3

3

2 4

8

 

del total corresponden a 400, se plantea la ecuación

5 8

 x  400

Resolviendo la ecuación se tiene que el total de artículos es 5 8

 x  400

x 

400  8

5 x  640


Por tanto, la cantidad de artículos sin revisar es 640  400  240

ARITMÉTICA



Fracciones equivalentes a

Se dice que las fracciones

b

y

c d

son equivalentes si y solo si a  c  b  d .

Por ejemplo: 2 3

y

6 9

son equivalentes porque 2  9  3  6

Se pueden obtener fracciones equivalentes amplificando o simplificando: Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por un mismo número 3



5

3 2



5 2

6 10

fracción equivalente, amplificando por 2.

Simplificar: Dividir numerador y denominador por un mismo número 12 15



12 : 3 15 : 3



4 5

fracción equivalente, simplificando por 3.

Para trabajar con las fracciones, muchas veces es conveniente trabajar con la fracción equivalente más simple. Las fracciones que no se pueden simplificar reciben el nombre de fracciones irreductibles. Por ejemplo, determinaremos la fracción irreductible de 36 : 3 24 : 3



12 : 2 8:2



6:2 4:2



3 2

36 24

.

43


Fracciones propias e impropias

ARITMÉTICA



Las fracciones que representan una parte de la unidad se denominan propias, mientras que las que representan a un entero más una parte de la unidad se denominan fracciones impropias. 3 2 7 , , son fracciones propias (numerador menor que el denominador) 4 5 8

7 9 14 , , son fracciones impropias (numerador mayor que el denominador) 5 4 3

Las fracciones impropias siempre pueden ser escritas como la suma de un entero más una fracción propia, a través del algoritmo de la división. Por ejemplo: 14 : 3  4 

14

2

3

 4

2 3

Las fracciones impropias describen lo que se conoce como números mixtos, números que son la suma de un entero más una fracción propia, cuya notación es 14 3

 4

2 3

4

2 3

Un error usual es pensar que entre el entero y la fracción del número mixto hay una multiplicación, hay que tener presente que se trata de una suma, la multiplicación es solo una parte del procedimiento involucrado al transformar de número mixto a fracción, que justificaremos más adelante. +

5

5

26

7

7

3  3  7



44


Sistema de los números racionales

Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el

ARITMÉTICA



proceso de medir,

a b

representa a un tipo de número, denominado número

racional. Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con b  0 , que se denotan por

ℚ =  : , ∈ ℤ,  ≠ 0

El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación de los naturales. El sistema cumple:

ℚ ,  , ∙ 

En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso multiplicativo, esto es: Para todo

∈ℚ

− =  ∈ ℚ

, con a  0 , existe un número aa

1

, tal que:

 1 o lo que es lo mismo a 

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 22

1

 2

1 2

1

2

1



1 a

1 2

1

, ya que

45


46

1

Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 01  . 0

ARITMÉTICA



El inverso multiplicativo de una fracción 1

a a

  b b



a b



a b

es



b a

b

ab ab

a

, en efecto

1

A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro. Definición: Se dice que a está dividió por b, con b  0 , cuya notación es

a b

o a : b si a b

 a  b1

Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0. Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero, nos detendremos un instante en ello. ¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones?

0 2

,

2 0

y

0 0

Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de multiplicación, esto es a)

0 2

 x implica 0  2  x , que tiene como solución a x  0 , luego 0 2

0

Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.


b)

ARITMÉTICA



2 0

 x implica 2  0  x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por

tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si existiera, al multiplicar tendríamos que 2  0 , un absurdo que contradice las nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que c)

0 0

2 0

es indefinido.

 x implica 0  0  x , en este caso x puede ser cualquier número, todos

ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos que

0 0

 0  1  2  3  .... , es decir que todos los números son iguales entre

sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero es indeterminado.

Operatoria de fracciones

1. Adición y sustracción Formalmente se definen por a b



c



d

ad  bc bd

La idea fundamental de la suma de fracciones es obtener fracciones equivalentes de igual denominador. El denominador común puede ser el MCM de los denominadores. Ejemplo: Calcular

2 3

5

1

4

6

 

MCM (3,4,6)  12 , por tanto 2

 

5

1

3

4

6



24 3 4



53 43



1 2 62



8 12



15 12



2 12



21 12

47


2. Multiplicación a c





b d

ARITMÉTICA



Ejemplo: Calcular

ac bd

6 2



7 5

6 2





62

7 5

7 5



12 35

3. División a c a d ad :    b d b c bc

En la división se aplica la definición, esto es la división de dos fracciones es el producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda. Ejemplo: Calcular

3 2 : 4 5 3 2 3 5 15 :    4 5 4 2 8

Estrategias de cálculo para fracciones

Revisemos algunos casos, que por la frecuencia que aparecen, ameritan revisar procedimientos inmediatos de cálculo. 1. Suma de entero y fracción Si consideramos al entero como una fracción con denominador 1, amplificando y sumando se tiene 2

3 5



2

 

3

25

1

5

1 5



3 1 5 1



2 5  3 5



13 5

Si observamos bien el penúltimo paso, lo que ocurre al sumar un entero con una fracción se puede describir como

48


+

2

ARITMÉTICA



3

13



5

5

•

De igual forma es posible justificar que – 3

5



16

7

7

•

2. Simplificar antes de multiplicar En ocasiones puede resultar más útil simplificar antes de multiplicar fracciones, Por las propiedades de los racionales esa simplificación se puede hacer entre cualquier numerador y denominador, siempre que se trate de una multiplicación entre fracciones. Por ejemplo: 4

48 28



35 60



48

4



28

35

60

5

5



16 25

El 48 y 60 se simplificaron por 12, mientras que el 28 y el 35 se simplificaron por 7.

3. Fracciones de fracciones 3 •

4  3 : 5  3  7  21 5 4 7 4 5 20 7

Si se observa el penúltimo paso en el desarrollo se concluye que en las fracciones de fracciones el resultado será siempre el producto de los extremos partido por el producto de los medios.

49


Lo mismo puede servir para el caso de un entero dividido por una fracción o viceversa. Transformando el entero en una fracción de denominador 1 el tratamiento es idéntico al anterior. Por ejemplo

ARITMÉTICA



2

a)

2 18  1  7 7 7 9 9 2

b)

2

7  7  2 9 9 63 1

Problema 9: Calcular el resultado de la siguiente expresión 1   1  1  1  1  1    1    1    1    1    2   3   4   5   101 

Solución: Aplicando la suma de enteros y fracción se tiene 1   1  1  1  1  1    1    1    1    1    2   3   4   5   101  3 4 5 6

102

2 3 4 5

101

    

Se trata de un producto de 100 fracciones, claramente la idea no es multiplicarlos de la forma usual, es mejor simplificar antes de multiplicar. Como cada numerador es igual al denominador de la fracción siguiente, la simplificación más conveniente será: 3 2



4 3



5 4



6 5



102 101



102 2

 51

50


ARITMÉTICA

51

Problema 10: El matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló un procedimiento de aproximación de un número irracional a través de fracciones continuas. Para aproximar 2 se usa la fracción continua



Encontrar una aproximación de fracción continua.

2

desarrollando hasta el tercer 2 de la

Solución: 1

Hay que calcular 2  1 

1

2

2

1 2

Aplicando sucesivamente los procedimientos vistos para la suma de entero y fracción y fracciones de fracciones se tiene 1 1

2 1

 1

1

2

2

1 2

1 2

1 5 2

1

1 1 2 1 5

1

 1

2

2

1

5

5

2

 1

5 12



17 12

Por tanto una aproximación racional de la raíz de 2 es

17 12

1  1 1 12 12

.

5



1. Determina el valor de las siguientes expresiones:

ARITMÉTICA



a) b) c)

3 2 2

1

 

5



6 12 1 7





11

5 12 15 60  1 2 1 2  1 3 5     :     2 3 4 5  2 5 6

1 1 d)  2    1  



1

3  2

4

e)

6

3

2 9

2

f) 1 

2 1

g)

i)

3

1 2

3 3 1

h)

1

1

2 15 10 21







28 75 12  48 40  20    :  32 27  36

2. Determina la medida de los siguientes tornillos como fracción de pulgada:

52


53

3. Completa el cuadrado mágico, de modo que la suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:

ARITMÉTICA



4. La fracción de la meta de producción de cinco operarios de una fábrica es:

Ordena a los operarios de menor a mayor según su producción. (Ayuda: amplifica las fracciones para igualar denominadores) 5. Una pelota se deja caer de tal forma que cada nuevo rebote alcanza una altura equivalente a los 2/5 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza al cuarto rebote si después del primer rebote alcanza una altura de 125 cm? 6. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. Después de recorrer los del trayecto, se da cuenta que ha consumido los de la gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque del auto de Claudio?





7. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar utiliza una llave de pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una





llave de pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan?


ARITMÉTICA



8. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con proveedores de tres países pertenecientes al MERCOSUR. La mitad se los compra a un país A, mientras que a B y C se le compra un cuarto a cada uno. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de un total de 3.000 unidades que llegaron en un embarque, la fracción de rodamientos defectuosos que llegaron de A, B y C es , respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes de cada uno de los proveedores?

 ,   

9. Si el número irracional

3 se aproxima con la fracción continua

Calcule su valor aproximado hasta el 2 de la tercera fila. 10. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8:00 hasta las 20:00. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 3 1 4 1 2

del tiempo se destina a construir motores. de la jornada para carrocerías. del tiempo que se ocupa en la construcción de motores se utiliza para la

fabricación de accesorios. 1 3 1 2

del tiempo destinado a la carrocería se usa para afinar detalles finales. del tiempo utilizado para los accesorios se usa para almorzar.

El resto del tiempo se dedica a actividades recreativas. ¿Cuánto tiempo se ocupa en cada actividad?

54


Magnitud y medida

MEDIDA



La magnitud de un objeto es su característica medible (longitud, peso, tiempo, velocidad, área, volumen, etc.), que puede ser expresada cuantitativamente. El proceso de medir consiste en seleccionar una unidad de medida, cubrir el objeto con unidades y contar el número de unidades que se utilizaron, este número corresponde a la medida de la magnitud involucrada. Problema 11: Medir la longitud del siguiente tornillo:

Solución: Debemos elegir nuestra unidad de medida. Supongamos que la unidad es el centímetro (cm).

La medida de la longitud del tornillo es de 2,9 cm. Muchas veces la elección de la unidad de medida puede ser arbitraria. Supongamos que adoptamos la pulgada como unidad.

La longitud del tornillo tiene una medida de 1 18 pulgada.

55


Unidades de medida

MEDIDA



Las primeras unidades de medida para longitudes tenían relación con el cuerpo humano y no siempre se subdividían, sino que se usaban otras partes del cuerpo, por ejemplo para los babilonios se establecía las siguientes equivalencias entre unidades de medida 1 codo = 30 dedos (53 cm. aprox.) 1 pie = 2/3 de codo Hasta antes del siglo XVIII no existían sistemas de medidas universales, las unidades de medidas se establecían de acuerdo a los usos locales, lo que generaba complicaciones en el intercambio comercial. El primero en proponer una escala universal fue Gabriel Mouton en 1670, que se basaba en la milla (largo de un minuto de arco en la tierra). En 1795 se instaura en Francia el sistema métrico decimal, fijándose algunas medidas de base (por ejemplo el metro para las longitudes). Progresivamente muchos países, a través de acuerdos políticos van adoptando y ampliando este sistema, hasta establecer 1960 lo que se conoce como “sistema internacional de unidades”, que en tre otras magnitudes establece las siguientes unidades de medida: -

Longitud: metro (m) Masa: gramo (g) Tiempo: segundo (s) Área: metro cuadrado (m2 ) Volumen: metro cúbico (m3 ) Velocidad: metro por segundo (m/s)

Las unidades aceptan subdivisiones y múltiplos, por ejemplo la longitud presenta las siguientes equivalencias: Kilómetro (km) = 1000 m. (10 3 m) Decímetro (dm) = 0,1 m. (10 -1 m) Centímetro (cm) = 0,01 m. (10 -2 m) Milímetro (mm) = 0,001 m. (10 -3 m) Micrómetro ( µm) = 0,000001 m. (10 -6 m) Nanómetro (nm) = 0,000000001 m. (10 -9 m)

56


Algunas unidades de peso:

MEDIDA



Kilogramo (kg) = 1000 g (10³) Tonelada ( t) = 1000000 g (10 6 ) Decigramo (dg) = 0,1 g (10-1 ) Centigramo (cg) = 0,01 g (10-2 ) Miligramo (mg) = 0,001 g (10 -3 ) Microgramo (µg) = 0,000001 g (10 -6 ) Sin embargo, por razones políticas, no todos los países adhieren al sistema métrico. Gran Bretaña desde un comienzo adoptó un sistema propio que hoy comparten otros países como Estados Unidos y que es ampliamente utilizado en ingeniería en países de Latinoamérica. Es el “sistema anglosajón de unidades”, del cual destacamos las unidades para medir longitud: Pulgada (in) = 2,54 cm. Pie (ft) = 12 in = 30,48 cm. Yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm. Milla (mi) = 1,76 yd = 1,609347 km. Legua = 3 mi = 4,828032 km.

57


Magnitudes Geométricas

MEDIDA



Generalmente la medida de magnitudes geométricas (perímetro, área y volumen), se obtienen a partir de fórmulas dadas. Pero, ¿quién puede recordar tanta fórmula? Lo que proponemos aquí es revisar la manera en que se obtienen dichas fórmulas, para que estas tengan sentido y puedan ser reproducidas en otros momentos. La idea fundamental de estos procedimientos es “recortar la figura” y reordenar formando otra que tengan medida conocida. Consideremos la fórmula del área de un rectángulo, igual a la base por la altura, elegidas arbitrariamente: h b

A  b  h

Área de un paralelogramo:

A partir de esta fórmula es posible determinar el área de cualquier paralelogramo, en efecto basta separar las partes y formar un rectángulo de igual base y altura. El área de un paralelogramo es base por altura:

h

h

b

b A  b  h

58


59

Área de un triángulo:

MEDIDA



Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo, por tanto es la mitad de su área, la mitad de la base por la altura:

h

h

b

b A 

bh 2

Área de un rombo:

Consideremos un rombo cualquiera, donde sus diagonales miden e y f . Las diagonales del rombo, lo dividen de manera natural en cuatro triángulos rectángulos, cada uno de ellos con catetos formar un rectángulo de lados e y

f 2

e 2

y

f 2

, si se reordenan podemos

: e

e

/ 2

Por tanto, el área del rombo es igual al área del rectángulo de base e y altura f 2

e

, esto es A  f  o, lo que es lo mismo: 2

A 

e  f 2


Área de un círculo:

MEDIDA



Antes que todo, si suponemos que un círculo puede ser visto como un polígono regular con “infinitos” lados, esto nos permitirá de manera natural dividirlo en “infinitas” partes, cada una de estas parecida a un triángulo isósceles (de los cuales conocemos su área). Este proceso es similar a dividir una torta o una pizza en “infinitos” trozos. En la siguiente figura podemos observar la situación antes descrita, pero con un número finito de divisiones:

Luego, si la mitad superior de las partes obtenidas al dividir el círculo se disponen posteriormente hacia abajo, y la mitad inferior se dispone hacia arriba, se aprecia que estas encajan a la perfección formando una nueva figira de forma un paralelogramo.



Si el círculo tiene radio , la mitad inferior y superior miden



cada una. El

paralelógramo resultante tiene por ancho la medida de la mitad inferior (o superior) del círculo, es decir





, la altura de este coincide con el radio del

círculo, es decir , posteriormente si el área de un paralelógramo es el producto de la base por la altura, obtenemos:

 = ∙ℎ∙ =

60


Pero

61

 =  ℎ =   =  ∙ y

, por tanto

, esto es

 A   r MEDIDA

2

Volumen de un prisma y de un cilindro circular recto:

Prisma: Cuerpo geométrico limitado por tres o más caras laterales que son paralelogramos y dos caras basales que son

Para encontrar el volumen de estos cuerpos podemos imaginarnos lque a formación de estos sólidos ocurre por la superposición de “infinitas” superficies de una cierta área (un polígono regular para el prisma y un círculo para el cilindro).

polígonos congruentes:

Hay que determinar entonces el área de la siperficie basal y luego multiplicarla por la altura del sólido, observemos la siguiente figura:

Cara basal

h

Vértice Arista

Cilindro:

2

 r

Cuerpo redondo cuyas caras basales

son

congruentes:



círculos

Para el caso del prisma designaremos por la letra al área de la superficie

ℎ

basal y por su altura, luego el volumen de un prisma estará dado por:

 =  ∙ℎ   =  ∙ ∙ ℎ

En el caso del cilindro, si su radio es , el área basal es el del cículo por tanto el volumen del cilíndro es: r : radio h: altura

 ∙

,

UNID UNIDAD AD 1: 1: RESO RESOLU LUCI CI N DE DE PROB PROBLE LEMA MASS Y AN AN LISI LISISS DE DE LA IN INFO FORM RMAC ACII N

MEDIDA



Pirámide: Cuerpo geométrico que tiene una base poligonal y sus

Volumen de una pirámide y de un cono:

Este problema será resuelto empleando una estrategia un poco diferente a las anteriores, en este caso a partir de un volumen conocido, lo dividiremos adecuadamente para obtener el volumen buscado. El volumen conocido será el de un prisma cuya área basal es B y de altura h y por tanto con volumen

 =  ∙ ℎ

caras laterales son triángulos que concurren en un punto denominado

vértice

o

cúspide:

Imaginemos que la pirámide ha sido inscrita en el prisma, haciendo coincidir sus bases, y cuyo vértice también coincide con un vértice del prisma, tal como se muestra en la siguiente figura:

h Cono:

B

Cuerpo redondo que tiene una base circular y un vértice o cúspide:

Observamos en la figura, que el prisma se ha dividido en tres pirámides que tienen igual base y misma altura. Por tanto el volumen de cada una de estas pirámides es un tercio del volumen del prisma, esto es:

á =  ∙  á =  ∙  ∙ ℎ

Luego la fórmula para el volumen el volumen de la pirámide de pirámide de área basal B y altura h es:

r : radio h: altura

62


MEDIDA



Para determinar el volumen del cono, imaginemos que es una pirámide que está compuesta por “infinitos” caras laterales, como sugiere la siguiente figura:

á = 13 ∙  ∙ ℎ

Por tanto, el volumen del cono tiene la l a misma fórmula de la pirámide, esto es

Pero en el caso del cono, la base es un círculo de área igual a  r 2 , por tanto el volumen el volumen de un cono de cono de radio r y y altura h es:

 = 13 ∙

2

r h



63


MEDIDA



Problema 12: Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm 2.

Solución: 1º Entendiendo el problema: Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el dibujo:

20 cm2

Deseamos calcular la suma de las medidas de las aristas del cubo, con esto sabremos cuánto alambre necesitamos en la construcción del cubo deseado. 2º Diseñando un plan o estrategia de resolución: Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a la arista del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula de área de un cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el total de aristas del cubo.

64


3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:

MEDIDA





Sea la medida de una arista del cubo X

X

20 cm2

X

X

Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de sus lados, luego:

Extrayendo raiz cuadrada:

Con

>0

, luego:

Simplificando la raiz cuadrada:

Se obtiene que:

20 =  ∙  =  √ 2020 = √ =  √ 2020 =  √ 2020 = = √ 4 ∙ 5 = 2√ 5  = 2√ 5 2√ 5 cm

Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es

. Se sabe además que

un cubo tiene 12 aristas, entonces para determinar la cantidad necesaria de alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12 por la longitud de la arista:

65


MEDIDA

66

12∙ 2√ 5 = 24√ 24√ 5 cm 24√ 24√ 5 ≈ 53,7 cm

Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene:



4º Examinando la Solución y comunicando resultados: Para la confección del cubo se necesitan aproximadamente 53,7 cm de alambre. Por otra parte cabe destacar que la estrategia empleada se basa en comprender que la figura geométrica analizada es regular, por tanto basta con estudiar una de sus caras para obtener la información necesaria del cuerpo geométrico



completo, en este caso es preciso saber que el área de un cuadrado de lado es



, y que el número de caras de un cubo es 12.

Observación:

Es importante realizar las aproximaciones de los números

irracionales solo al finalizar el problema, ya que la aproximación no es una igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en cada paso, el margen de error aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta.


Ejercicios y Problemas Propuestos:

MEDIDA



1. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7 cm. ¿Cuánto mide el área sombreada?

2. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles. a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista? b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista? c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?

3. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse. 4. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?

67


MEDIDA

5. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero.



7. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua? 8. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm? 9. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero. ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?

10. ¿Cuál es el área de los siguientes triángulos?

11. ¿Cuál de los siguientes triángulos tiene mayor área?

68


12. Si el radio de la circunferencia es 5 cm., ¿cuál es el área del cuadrado inscrito?

MEDIDA



13. Si en un cuadrilátero se tranzan segmentos de recta que unan los puntos medios de cada lado, ¿qué relación hay entre el área del cuadilátero y el paralelogramo que se forma en su interior?

14. Calcular el volumen del prisma truncado:

69


Gráficos y Tablas

GRÁFICOS Y TABLAS 



Los gráficos y tablas son recursos que permiten ordenar y presentar la información. Hay una gran diversidad gráficos y tablas, que involucran a una o más variables (características de interés de algún fenómeno). Sin embargo, hay que distinguir que hay gráficos y tablas que son estadísticos y otras que no. En las tablas y gráficos estadísticos se busca registrar o presentar la frecuencia de las observaciones, mientras que otros gráficos o tablas tienen por objeto mostrar cierta información, que no necesariamente tiene relación con la frecuencia con la que se presentan los datos. Esta parte del texto tiene relación con los gráficos y tablas en general y plantea situaciones cuyo propósito es analizar la información contenida en ellos para responder a ciertas cuestiones problemáticas.

Problema 13: En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. (Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile) 3

s a i r 2.5 a i 2 d s 1.5 a r o 1 h e 0.5 d 0 o i d e m o r P

Hombres Mujeres Leer

Escuchar música o radio

Ver TV

Navegar por Internet

Actividades principales

a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por Internet? c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

70


Solución: GRÁFICOS Y TABLAS 

1º Entendiendo el problema:



El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. 2º Diseñando un plan o estrategia de resolución: La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas. 3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema: Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a continuación s 3 a i r a i d 2.5 s a r o 2 h e d 1.5 o i d 1 e m o r 0.5 P

Hombres Mujeres

0 Leer

Escuchar música o radio

Ver TV

Navegar por Internet

Hombres

1.5

1.6

2.8

2.3

Mujeres

1.5

1.5

2.6

2

Actividades principales

71


Ahora contestamos las preguntas:




a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? Esta información no la entrega el gráfico. b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por Internet?

2, 3  ⏟ 2 = 0, 3             

Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los minutos, como se muestra a continuación

0,3 ∙ 6 0 =18 c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión? La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver televisión.

2,82,2 6= 2,7

4º Examinando la Solución y comunicando resultados: a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados.

72


b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres




en navegar por internet. c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver televisión

Problema 14: En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada:

Muy

Lesiones

Grave

Grave medias

Leve

Muy fumador

20

10

10

30

Fumador

30

40

20

50

Esporádico

10

60

80

60

No fumador

5

20

30

50

Fumador

a) ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? b) ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? c) ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves? d) ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? e) ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

73


74

Solución: 1º Entendiendo el problema: La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. 2º Diseñando un plan o estrategia de resolución: Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas. 3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema: Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación:

Muy Grave

Grave

Lesiones medias

Leve

Total

Muy fumador

20

10

10

30

70

Fumador

30

40

20

50

140

10

60

80

60

210

No fumador

5

20

30

50

105

Total

65

130

140

190

525

Fumador Esporádico


Ahora contestamos las preguntas




a.

¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

525 individuos b.

¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

c.

¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?

  105525 = 15 

  40⏞  2 = 140  7    d.

¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy

fumadores?

   

10130⏞ = 131     

e. graves?

¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes

   

1070⏞ = 17  

75


76

4º Examinando la Solución y comunicando resultados:




En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo.


1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad década avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

Arica Antofagasta Temuco

Punta Arenas La Serena

datos entregados en el gráfico: a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes? b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas? c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica? d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes? e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?

En base a los



2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros).



a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión? c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó? d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima detención? e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús de su punto de partida? 3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

77





78

c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial? d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración en sangre de anestesia? e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la anestesia? 4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros.

El gráfico anterior describe en forma aproximada el comportamiento de los atletas en dicha prueba: a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado? c) ¿Quién ganó la carrera? 5. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. Según segmento socioeconómico, los resultados se muestran en la siguiente tabla, en número de casos:

Si ¿Está de acuerdo? No Total

Segmento socioeconómico Alto Medio Bajo 51 48 73 109 91

Total 158


Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:




De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . . . % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . . . . . .% lo está. 5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico. El experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican:

El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. Los gráficos fueron los siguientes: ¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)

79

UNIDAD 2: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

E

n Grecia – siglo V a. De C.- los griegos se declaraban admiradores de la belleza y buscaban afanosamente los cánones de perfección. En el campo de la escultura se preocuparon de encontrar el cuerpo humano perfecto y para ello grandes artistas como Policleto, Praxíteles y Leócrates abordaron el problema de las proporciones ideales en la figura humana. Policleto estableció q ue “para obtener la perfecta proporción de unas partes del cuerpo respecto a otras, la figura deberá medir 7 cabezas y media de altura”. Praxíteles estableció un canon de 8 cabezas y Leócrates, otro de 8 cabezas y media. La discusión volvió a animarse dos mil años más tarde, durante el Renacimiento. Miguel Angel coincidía con Polícleto, Leonardo de Vinci era partidario de Praxíteles; Boticelli se inclinaba por el canon de nueve cabezas y el Greco, por el de once, lo cual es, evidentemente, una exageración. Hoy en día son universalmente aceptados los tres cánones clásicos griegos, aunque cada uno dentro de su propio campo de aplicación. Geométricamente la figura ideal corresponde al canon de ocho cabezas de alto por dos cabezas de ancho. Así un rectángulo cuya razón sea como 8:2 siempre nos indicará las dimensiones humanas ideales de alto y de ancho. Este dato se utiliza actualmente para dibujar murales.

UNIDAD 2

PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

80



PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES APRENDIZAJE ESPERADO

Resolver problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes, estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN    

Determina la solución de problemas que involucren la comparación de cantidades por medio de razones, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación. Establece el tipo de proporcionalidad entre variables dadas, para dar respuesta a un problema, justificando su decisión. Aplica estrategias de proporcionalidad para dar respuesta a un problema contextualizado, explicando su estrategia. Realiza cálculo de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad, numérica decimal, o fraccionarias para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación.

81


82

Introducción

El concepto de razón está relacionado con la acción de comparar, una actividad que realizamos constantemente, que también puede ser abordada a través de una diferencia. ¿Cuándo usar una razón? ¿Cuándo comparar a través de una diferencia? Es necesario contrastar estas dos maneras de comparar y reconocer cual es la utilidad de las razones matemáticas.

RAZONES 



Problema 1: Suponga que en una fábrica, un día en particular, la máquina A produce 48 artículos, mientras que la máquina B, que es más antigua y lenta, solo fabrica 32, ¿De qué manera podemos comparar la producción de estas dos máquinas?

La teoría de las razones y proporciones son descritas por primera vez en el libro V de los

Está claro que la producción de la máquina A es mayor que la máquina B. Lo que queremos precisar son las formas en que se puede expresar y cuantificar la comparación entre estas cantidades.

Elementos de Euclides (siglo III a.C), aunque ya estaba en el pensamiento pitagórico del siglo V

a.C,

cuyo

principio

fundamental “Todo

es número” ,

implicaba que todas las cosas se

1. Comparación absoluta: señalar en cuántos artículos una máquina supera a la otra. A – B = 48 – 32 = 16

podían explicar con números (enteros

positivos)

y

sus

razones, lo que posteriormente fue

contrariado

descubrimiento

por de

La máquina A produce 16 artículos más que B.

el los

inconmensurables, desatando la primera crisis en la historia de las matemáticas.

2. Comparación relativa: señalar el número de veces o la porción que representa la producción de una máquina respecto de la otra. A

Los griegos nunca expresaron



32

B

las razones como fracciones - no disponían de ellas- ni calcularon su cociente. Para ellos una razón solo era una forma de

48



3 2

 1, 5

La producción de la máquina A es 1,5 veces la producción de la máquina B.

comparar dos magnitudes.

En este caso, utilizamos una fracción para representar la comparación relativa o “razón” entre las producciones de A y B. Sin embargo no es la única manera de expresar una razón. Se dice que la razón entre la producción de A y la de B es de “3 es a 2”, que se escribe: 3 2

o

3:2


83

Razón, una comparación relativa

En el ejemplo anterior la razón entre la producción de la máquina A y la máquina B, era de 3:2 en un día en que A produjo 48 y B 32 artículos.

RAZONES 



Si la razón entre A y B fuera siempre la misma, la razón 3:2 nos permite saber que por cada 3 artículos que fabrica A la máquina B fabrica 2, independiente de los totales involucrados. En la escuela pitagórica, tanto el número como las magnitudes

Definición: Una razón es una comparación relativa entre dos cantidades de igual o distinta medida.

pertenecían a la categoría de cantidades. Sin embargo, eran entidades separadas. El número

Peras con peras y peras con manzanas

correspondía a colecciones de unidades indivisibles, permitían contar,

mientras

magnitudes

que

surgen

de

las la

abstracción de cosas que se pueden medir. Los griegos no disponían de un sistema

métrico

nuestro,

para

comparar

las

como

medir

a) En una empresa trabajan 60 hombres y 25 mujeres. b) Un auto recorre 12 km en 9 minutos.

el

debían

magnitudes

mediante sus razones.

Problema 2: Compare las cantidades involucradas en los siguientes enunciados:

Hay una diferencia entre estas dos situaciones. a) Podemos hacer tanto comparaciones absolutas como relativas: H

 M  60  25  35

H M



60 25



12 5

 2, 4

Hay 35 hombres más que mujeres. Por cada 12 hombres hay 5 mujeres Los hombres equivalen a 2,4 veces las mujeres. b) Aquí no podemos hacer comparaciones absolutas, no se puede restar kilómetros con minutos, son magnitudes de medida distinta. Pero si podemos comparar de manera relativa, a través de la razón


D T

RAZONES 

84



12 9



4 3

 1, 3

Por cada 4 km que avanza el auto transcurren 3 minutos. El auto recorre 1, 3 km por minuto.



Euclides (300-265 A.C.) en la definición 3, del libro sexto “Los Elementos”, definió la

En definitiva, se observa que las razones pueden ser entre cantidades de igual o distinta medida, en cambio las comparaciones absolutas solo pueden ser entre cantidades de igual medida.

Razón Áurea de la siguiente forma: “Se dice que una recta ha sido

Una forma coloquial de explicarlo es: ¿se pueden comparar peras con manzanas?... De forma absoluta no, pero si a través de una razón.

cortada en extrema y media razón, cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento

mayor

es

al

segmento menor”

A

B

C

Razón Directa e Inversa

Para calcular la razón entre dos cantidades, es necesario fijar el orden en que se nombrarán, por tanto la razón entre 15 y 3 no es igual a la razón entre 3 y 15, sus cocientes son distintos: 15

Así se obtiene la proporción:

 =    1− =   1 = 

:

Llamando a la razón

(razón áurea), obtenemos la

15

 0, 2

:

Si en la razón se invierte el orden de sus términos, resulta la razón . La primera se llama la razón directa entre a y b, mientras que la segunda es la razón inversa entre a y b. El producto entre la razón directa y la inversa de dos números es siempre 1:

 ∙  = 1

ecuación:

o bien:

3

3

5

,

Razón y fracción, ¿son lo mismo?

ecuación cuadrática cuya solución positiva es:

Un

 = 1 √ 2 5

número

especial.

irracional

muy

Hemos visto que las razones se pueden representar a través de una fracción, pero hay que tener cuidado, no son lo mismo. Las razones, expresadas solo como comparaciones entre magnitudes, aparecieron antes que las fracciones.


85

La fracción es una de las formas en que se puede representar un número racional y exige que, tanto el numerador como el denominador, sean números enteros, con denominador distinto de cero. Pero en una situación donde se deba establecer la razón entre 15 alumnos de una sala y el número de alumnos de otra sala vacía, la razón sería

RAZONES 



En el quinto libro llamado “Los

15 : 0

Elementos”, Euclides define el

número pi como la razón que existe entre el perímetro (P) de un círculo y su diámetro (d), esto es:

Sin

 = 

embargo,

esta

representación no corresponde

Lo que no puede ser expresado como fracción, ya que

15 0

no existe como

número racional. Las fracciones son un concepto de múltiples significados, uno de ellos es la fracción como razón. Sin embargo, no todas las razones se pueden expresar como fracción.

en ningún caso a un número racional (fracción), ya que el número pi es

un número

irracional. Con esto, todo número racional o fracción puede representar una razón, pero no toda razón corresponde a una fracción.

Aplicación

La cadena de una bicicleta gira alrededor del plato de una rueda dentada (comúnmente llamado volante, el que está conectado a los pedales) y el piñón conectado a la masa trasera (que hace girar la rueda trasera). Al cambiar de velocidades, la cadena se mueve a un plato o piñón diferente, tal como muestra la figura siguiente:

La relación de engranaje de una determinada velocidad, indica el número de revoluciones o vueltas que rota la rueda trasera por cada vuelta de los pedales. Una forma de expresar la relación entre el número de dientes del plato y del piñón es a través del cociente:


86

Relación de Engranaje 

RAZONES 



Número de dientes del plato Número de dientes del piñón

Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 52 dientes y un piñón con 26 dientes, entonces la relación de engranaje es de 52:26 ó equivalentemente 2:1, lo que significa que la rueda trasera realiza dos vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si la misma cadena, se mueve sobre un piñón de 13 dientes y el mismo plato, entonces la relación de engranaje cambia a 52:13 ó equivalentemente a 4:1, en este caso la rueda trasera dará 4 vueltas por cada vuelta de los pedales. Ejercicios Resueltos

1. Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar: a) la razón del total de ventas al inventario promedio. b) la razón de la utilidad a la venta total. Solución: a) b)

venta total



30.000

inventario promedio utilidad ventas

36.000



180 .000



180 .000

1 5

 6 La razón es de 6 es a 1.

, la razón es de 1 es a 5.

2. El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min . Hállese la razón de las velocidades de corte. Solución: Sean a y h las velocidades de corte del acero y del hierro, respectivamente. Se forma la razón: a h



6 13, 5

4

 0, 4  , luego la razón es de 4 es a 9. 9



RAZONES 



1. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80. ¿Cuál es la razón de sus velocidades? 2. Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hállese la razón de sus velocidades. 3. Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15 ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias? 4. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia? 5. Un índice de confianza de inversión se define como la razón entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversión y el monto en dólares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. ¿Cuál es la nueva razón? 6. En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. ¿Cuál es la razón inversa entre el número de mujeres y de hombres? 7. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En qué razón están sus volúmenes? 8. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10 m y 20 m. ¿En qué razón están sus áreas? 9. Al completar la secuencia de círculos del siguiente diagrama, ¿cuál es la razón entre círculos negros y el total de círculos?

Si la secuencia tuviera 100 circulitos en la base del triángulo, ¿Cuál sería la razón entre círculos blancos y negros?

87


88

Proporción



PROPORCIONES 

Problema 3: Dos ruedas que engranan tienen velocidades que están a razón de 2:3. Si la rueda menor gira a 72 revoluciones por minuto, ¿a cuánto gira la rueda mayor?

Supongamos que las velocidades sean m y M , para la rueda menor y mayor, respectivamente. Cualquier valor que asuman las velocidades de las ruedas deberá estar a razón de 2:3, esto es m



M

Si

m  72 ,

2 3

tendremos una igualdad entre dos razones con el término M

desconocido 72



M

2 3

Multiplicando por los inversos respectivos se obtiene una igualdad entre “los productos cruzados”, lo que nos permite luego despejar la incógnita M 72  3  2  M



72  3

M



2

M  108

La rueda mayor gira a 108 revoluciones por minuto. Definición: Una proporción es una igualdad entre dos razones, se denota a b



c d

o

a :b

:: c : d

En general, resulta más conveniente trabajar con las fracciones, ya que permiten escribir la proporción de varias maneras y plantear “la igualdad de producto cruzado” como recurso para despejar cualquier término desconocido en una proporción.


Dada una proporción



PROPORCIONES 

a b



c d

89

, se pueden formar proporciones equivalentes

cambiando la disposición de los cuatro términos, siempre que se mantenga el producto cruzado a  d  b  c . a

c



b

d



c

b

c

a

 b c d



d

Ejemplo: La misma proporción



b

a d

a

d





c

72



2



3

3

M

b

a

planteada en el problema 3 se

podría escribir como M

72

2

3

Lo que puede resultar más simple de resolver M   72  108 2

Ejercicios resueltos

1. En una fábrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razón de 5:4. Si el número de sillones es 8. ¿Cuál es el número de sillas? Solución: Sean a: número de sillas, b: número de sillones (b=8), luego la razón es: a



4

b

Reemplazando los datos se tiene

5

a 8



5 4

a

58 4

 a  10

Por tanto hay 10 sillas y el número total de sillas y sillones es: a + b = 8 +10 = 18




PROPORCIONES 

90

2. En una fábrica de zapatos las líneas de producción de dos modelos diferentes, en determinados momentos del día, habrán producido 33 y 40 zapatos cada una, ¿cuántos zapatos más tienen que producir, para que la producción de estas líneas esté en la razón 2:3? Solución: Sea x la cantidad de zapatos que restan por producir, para que las razones de producción de las líneas de trabajo sea de 2:3. Luego de producir x zapatos más, las líneas de trabajo habrán producido en total: 33 + x y 40 + x respectivamente, entonces: 33  x 40  x



2 3

Luego 3( 33  x )  2( 40  x ) 99  3 x  80  4 x 19  x

Por lo tanto, después de producir 19 zapatos más la producción de ambas líneas de trabajo, estará en la razón de 2:3.


1. Hallar el término desconocido en las siguientes proporciones: a)

c)

g)

x 3,5 3 4

=

6

b) 24: 0,4= x: 0,04

3

:6=1: x x

x  6



24 16

e)

f)

0,2

x

=

a x a c

0,3 0,9



x b c b

Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña? 2.


91

3. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa 30 kg.? 

PROPORCIONES 

4. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será la resistencia de un alambre de 750 m? 3

5. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm y el pino blanco pesa 0,4 kg / dm3 . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25 kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se funda con hierro fundido? 6. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña? 7. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motor con una superficie de émbolo de 54 cm 2 desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un motor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm 2 ? 8. La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del avión de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión? 9. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana? 10. Al leer la revista Estrategia, se ve un gráfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante el mes de junio y julio de este año por cada centímetro cuadrado se venden 800 refrigeradores. Si para junio se tiene 1 por 9,6 cm. y en julio por 5,5 cm., en dicho gráfico. ¿Cuál es la venta real de refrigeradores en estos meses? 11. En una empresa, la razón entre los ingresos de 2 profesionales del área administrativa es de 10:12, el profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. ¿Cuál es el monto que declara el profesional de menores ingresos? 12. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)?


92

Propiedades de Proporciones



PROPORCIONES 

Dada una proporción

a b



c d

, siempre es posible:

Componer la proporción

Justificación de la propiedad de

a

b



c

Descomponer la proporción



d a

a

c



b

c



c

b



d d

a

d

c



b

c

d d

componer una proporción: Si se suma 1 a ambos lados de la a igualdad



b a c

c d

1 

se tiene:

b d

Ejemplo: Los pesos de dos piezas metálicas están en la razón de 3:5, si en total pesan 600 gramos, ¿cuánto pesa cada pieza?

1

Sean x e y el peso de ambas piezas, se sabe que

Sumando los términos queda a

c c



b

d

x

d

descomponer

una

proporción se obtiene restando 1

a

cada

proporción.

fracción



y

De forma análoga, la propiedad de

Componer y descomponer proporciones son técnicas útiles, en casos en que en un problema de proporciones no estén dados los tres términos conocidos, sino que la razón entre ellos y la suma o la resta de sus valores.

de

la

3 5

con x  y  600

Componiendo la proporción y reemplazando por el valor de la suma se tiene x  y y



35 5



600

y



8 5

 y 

600  5 8

 375

Reemplazando y  375 en la suma x  y  600 se obtiene x  375  600  x  225




PROPORCIONES 

93


1. En una mezcla la razón entre arena de cemento debe ser 7:4. Si se sabe que la diferencia entre estas cantidades es de 36 mt3, ¿cuántos metros cúbicos de arena y cemento se utilizarán en la mezcla? Solución: Sean a y b las cantidades de arena y cemento, respectivamente, entonces a b



7 4

con a  b = 36.

Al descomponer y reemplazar se tiene

a b



74



7

a

36



a

3 7

 a  84

Como b = a  36, obtenemos que b = 48. Se necesitan 84 mt3 de arena y 48 mt3 de cemento.

2. El área de dos zonas de seguridad de un colegio están en la razón 3:7. Si ambas zonas tienen una superficie de 110 mt2, determine el área de cada una de las zonas de seguridad. Solución: Sean c y d las áreas de cada zona, con

c d



3 7

y c  d  110 .

Al componer y reemplazar se obtiene c  d d

Como



3 7



7

110 d



10 7

 d 

110  7 10

 77

  = 110  = 110  = 11077 = 23 , entonces

Las áreas de cada zona de seguridad es 77 y 23 mt 2.


94

Ejercicios y Problemas Propuestos 

PROPORCIONES 

1. Componga o descomponga las siguientes proporciones para determinar el valor de a y b: a)

a b



7 5

con a  b  180

b)

a b



9 5

con a  b  48

2. Al dividir un alambre de 198 cm. en dos segmentos que estén en la razón de 4:7, ¿cuánto mide cada pedazo de alambre? 3. El precio de dos autos están en la razón de 5:3, si uno cuesta $750.000 más que el otro, ¿cuál es el precio de cada uno? 4. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque? 5. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg. 6. Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección. 7. Hallar todos los números enteros positivos de dos cifras ab tales que: ab ba



7 4


95

Variables proporcionales Problema 4: Considera las siguientes situaciones. 

PROPORCIONALIDAD 

Situación 1 Nº de ladrillos 5 10 15 20 25

Situación 2

Peso (Kg) 6 12 18 24 30

Consumo (KWH) 2 4 6 8 10

Monto Factura ($) 726 862 998 1134 1276

¿Son proporcionales las cantidades involucradas en cada situación? Solución: Hasta aquí hemos visto que una proporción es una igualdad entre dos razones, una definición que acota la proporcionalidad al ámbito aritmético. Pero, ¿qué significa que dos variables sean proporcionales?... En las dos situaciones propuestas en el problema, cuando una variable aumenta la otra también aumenta, ¿es suficiente este comportamiento para establecer proporcionalidad? ¿Qué se requiere para que dos variables sean proporcionales? Analicemos el comportamiento de las variables, comenzando por sus variaciones o diferencias. En los dos casos ocurre que, mientras la variable x aumenta a una diferencia constante, la variable y también aumenta con diferencia constante. Situación 1 x

Nº de ladrillos +5 5 +5 10 15 +5 20 +5 25

Situación 2

y

Peso (Kg) 6 12 18 24 30

+6 +6 +6 +6

Consumo (KWH) +2 2 4 +2 6 +2 8 +2 10

Monto Factura ($) 726 +136 862 +136 998 1134 +136 1276 +136





96

Si una variable aumenta cuando la otra también aumenta no implica proporcionalidad. Que las variables aumenten a diferencias constantes (cómo en el problema) tampoco significa que necesariamente deban ser proporcionales, se necesita algo más… De manera intuitiva, se entiende que:

Supuestos y proporcionalidad Para ocupar proporcionalidad debemos asegurarnos que la naturaleza de las variables establece matemáticamente ese tipo de relación, por ejemplo la fórmula de perímetro de una circunferencia permite identificar, sin ninguna duda, que el radio y perímetro son proporcionales. Sin embargo, en la mayoría de los casos debemos realizar supuestos para considerar que existe proporcionalidad entre dos variables, por ejemplo tiempo y nº de piezas que fabrica un obrero, debemos suponer que el obrero es capaz de trabajar siempre al mismo ritmo, o distancia y tiempo que demora un móvil, debemos suponer que la velocidad es contante. Es decir, en algunos casos no podemos asumir proporcionalidad a menos que fijemos ciertas condiciones al problema, las que deben quedar bien explicitadas en la solución del problema.

“Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces” En la situación 1, cuando el número de ladrillos ( x) aumenta al doble, al triple, cuatro veces, etc., el peso ( y) también aumenta la misma cantidad de veces, lo que implica que ambas variables son proporcionales Situación 1

•2 •3 •4 •5

x

y

Nº de ladrillos 5 10 15 20 25

Peso (Kg) 6 12 18 24 30

•2 •3 •4 •5

En la situación 2, en cambio, se observa que cuando el Consumo ( x) aumenta al doble el Monto Factura ( y) aumenta, pero no al doble, sino con un factor de 1,187. Situación 2 x

Consumo (KWH) 2 •2 4 6 8 10

y

Monto Factura ($) 726 •1,187 862 998 1134 1276

Las variables Consumo y Monto de la Factura no son proporcionales.


97

Para resumir: 


Si dos variables aumentan (o disminuyen) a la vez, no necesariamente son proporcionales. 

Pero, si dos variables son proporcionales, entonces necesariamente ambas aumentarán (o disminuirán) a la vez. 


1. Una fábrica produce láminas de acero. Para probar la resistencia del material se someten a torsión y se mide el tiempo que demora en producirse una fractura en la lámina. Las pruebas arrojaron los siguientes resultados: Espesor (mm) 5 7,5 10 4 12

Tiempo Fractura (seg.) 3,2 4,8 6,4 2,56 9,6

¿Existe proporcionalidad entre el espesor y el tiempo de fractura de la lámina? Solución: Basta determinar los factores con los cuales la variable x aumenta o disminuye y determinar si son los mismos factores para la variable y. Calculamos los factores dividiendo, los valores de x por 5 y los de y por 3.


98

Los factores para la variable x son: 7, 5 


5

 1, 5

10 5

2

4 5

 0, 8

12 5

 2, 4

Mientras que para y los factores son: 4, 8 3, 2

 1, 5

6, 4 3, 2

2

2, 56 3, 2

9 ,6

 0, 8

3, 2

3

En el último para de valores se observa que las variables varían de forma distinta, mientras el espesor aumenta 2,4 veces, el tiempo de fractura aumenta 3 veces. x

y

Espesor (mm) •1,5 5 7,5 •2 •0,8 10 •2,4 4 12

Tiempo (seg) 3,2 •1,5 4,8 6,4 •2 •0,8 2,56 •3 9,6

Por tanto no existe proporcionalidad entre el espesor de la lámina y el tiempo de fractura, para este caso. 2. Si las variables x e y son proporcionales, complete la siguiente tabla: x y

4 6

12

1 78

1,08

Solución: Si calculamos el factor por el cual varía una de las variables, bastará multiplicar la otra variable por el mismo factor.





4

x y

99

12

Porque 12:4  3

Vemos que x aumenta 3 veces, basta multiplicar 6 por 3. 4 6

x y

12 18

Para determinar el siguiente resultado, obtendremos la variación de y

4 6

x y

12 18

52 78

Y así sucesivamente…

x y

4 6

12 18

52 78

1 1,5

0,72 1,08


100





1. Determina en cuales de las siguientes situaciones las variables son proporcionales: Situación 1

Situación 2

Nº de Tiempo de clientes atención (min.) 6 30 12 40 18 48

Situación 3

Tiempo Temperatura (seg.) de una placa (Cº) 5 8º 10 16º 15 24º

Consumo de agua Mt3 1 2 3

Costo ($) $2500 $3000 $4500

2. Si A y B son magnitudes directamente proporcionales, ¿cuáles son los

valores de x e y? A

B

10 x

50 100

30

y

3. Si las variables x e y son proporcionales complete la siguiente tabla: x y

6 9

12

72 54

2,25

4. Determine cuales de las siguientes variables pueden ser proporcionales, especifique todos los supuestos que utilizó. a) Consumo de bencina y rendimiento del vehículo. b) Horas de trabajo diarias y número de piezas fabricadas. c) Número de obreros y tiempo en ejecutar una obra. d) Perímetro de un cuadrado y su lado. e) Consumo de electricidad y monto de la boleta. f ) Número de personas y tiempo que demora un cajero en atenderlos. g) Número de tornillos y peso de la caja que los contiene. h ) Radio y área de una cuadrado. i) Número de artículos y precio.


101

La constante de proporcionalidad




Hasta ahora, hemos descrito la proporcionalidad partiendo de su noción más intuitiva: dos variables son proporcionales si ambas aumentan o disminuyen la misma cantidad de veces. Lo que involucra el uso de constantes, que actúan como multiplicadores para las variables. La técnica que permite probar si dos variables son proporcionales se reducía a calcular los factores de cada una de las variables y comprobar si eran los mismos. Por ejemplo en una de las situaciones planteadas se determinó que los factores involucrados (2, 3 4 y 5) eran los mismos Situación 1

•2 •3 •4 •5

x

y

Nº de ladrillos 5 10 15 20 25

Peso (Kg) 6 12 18 24 30

•2 •3 •4 •5

Aunque esta técnica resultó útil, es posible ampliar la noción de proporcionalidad a una que dependa solo de un factor, denominado factor de proporcionalidad. En vez de obtener los factores dividiendo valores de la misma variable, ahora veremos que sucede al dividir los respectivos valores de y y x. y x



6 5



12 10



18 15



24 20



30 25

 1, 2

El cociente 1,2 es constante para todos los pares de valores de Definición: Dos variables x e y son proporcionales si y solo si: y x

con k  0

 k

y x

.


102

La técnica para determinar si dos variables son proporcionales se reduce a comprobar que el cociente PROPORCIONALIDAD 

y x

es constante, para todos los pares de valores

de ambas variables.



Ejercicios Resueltos

1. En una fábrica producen cilindros metálicos de distinta longitud. Determine si la altura de los cilindros es proporcional a su capacidad. Los datos obtenidos de algunas muestran fueron: x (altura cm) 5 10 7,5 15 3,75

y (volumen cc) 20 40 112,5 60 28,125

Solución: La razón entre los valores de y y x resulta constante 20 5



40 10



112, 5 7, 5



60 15



28,125 3, 75

 4

La altura es proporcional al volumen de cada cilindro. 2. ¿Cuáles de los siguientes pares de variables son proporcionales? a) El radio de una circunferencia y su perímetro b) El lado de un cuadrado y su área c) El radio de una circunferencia y su área Solución:


103

a) Cuando aumenta el radio de una circunferencia también aumenta su perímetro, pero ya se sabe que esto no es suficiente para decir que son proporcionales. Veamos algunos los valores que se obtienen de la fórmula de perímetro P  2 r PROPORCIONALIDAD 



r

1

2

3

4

P

2

4

6

8

La razón es contante

P

2



4



1

r

… … 

6

2



3

6 4

 2 , por tanto el radio y

el perímetro de una circunferencia son proporcionales. b) Cuando aumenta el lado del cuadrado también aumenta su área, pero no podemos afirmar que sean proporcionales. Analizamos su comportamiento en la siguiente tabla, que contiene la medida del lado ( l ) y el área ( A= l 2 ) l A

1 1

Los cocientes

2 4 A l

3 9

1

A

1

l

  1;



4 16

… …

4

A

2

 2;



l

9 3

 3 no son constantes, por lo

que el lado del cuadrado y su área no son proporcionales. c) Cuando aumenta el radio de una circunferencia también aumenta su área, lo que no significa que sean proporcionales. Si tabulamos la información del radio ( r ) y a el área ( A=  r 2 ) tenemos r A

1

2

3

4



4

9

16

… …

Claramente visualizamos que ambas aumentan, pero no de la misma manera. La razón entre A y r no es constante A r





1

;

A r



4 2

 2 ;

A r



9 3

 3 ..

Por tanto el área de un círculo no es proporcional a la medida de su radio.


104

El signo de la constante de proporcionalidad

Considera la siguiente situación. PROPORCIONALIDAD 



Problema5: La temperatura de un líquido que se somete a congelamiento disminuye en la medida en que pasan los minutos de la siguiente forma:

Tiempo (min) 1 2 3 4 5

Temperatura (Cº) – 2 – 4 – 6 – 8 – 10

En este caso el cociente es constante igual – 2. 2 1



4 2



6 3



8 4



10 5

 2

Sin embargo, el comportamiento de las variables no obedece al sentido de proporcionalidad que reconocemos, en este caso cuando el tiempo aumenta la temperatura disminuye. Esto indica que, para que dos variables sean proporcionales no basta con que el cociente sea constante, además debe ser positivo ( k  0 ). El problema del signo de la constante desaparece al trabajar con variables que representen solo a magnitudes positivas.


105

La relación de proporcionalidad

Recapitulando, hemos descrito la proporcionalidad de las siguientes formas: 1. Una proporción es una igualdad de dos razones:




a b

2.



c d

Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces (por el mismo multiplicador).

3. Dos variables son proporcionales si su cociente es constante: y x

 k

, k  0

Necesitamos ampliar el estudio de la proporcionalidad para reconocerla como un tipo particular de relación entre dos variables, que se expresa por medio de una ecuación lineal. Problema 6: Un alambre de cobre de 12 metros de largo tiene una resistencia de 75 ohms. Suponiendo que la longitud del alambre es proporcional a su resistencia, determine la resistencia de los siguientes trozos de alambre: Longitud (mt) Resistencia (  )

12 75

18

5

32

9

2,4

0,8

52

Solución: Desde una perspectiva puramente aritmética, bastaría plantear las proporciones y encontrar cada uno de los valores desconocidos. La primera proporción sería 12 18



75 x

 x 

18  75

Longitud (mt) Resistencia (  )

12

12 75

 112, 5

18 112,5

5

32

9

2,4

0,8

52

UNIDAD 2: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES PORCENTAJES


106

Proceso que continua, resolviendo las otras seis proporciones involucradas. Sin embargo, detengámonos a juzgar la eficiencia de este método, ¿será posible resolverlo en menos pasos?



Primero, convengamos en que existe una relación entre las variables, la resistencia depende de la longitud del alambre, ¿habrá una fórmula o ecuación que permita relacionarlas? Llamemos y a la variable dependiente y x a la variable independiente, esto es: x: longitud del alambre y: resistencia

Sabemos que al ser proporcionales existe una constante k   0 , tal que y x

 k

A partir de esta expresión es posible escribir la ecuación ecuación que que describe la relación entre dos variables proporcionales y  kx

En el problema planteado, la contante de proporcionalidad es k 

y x



75 12

 6, 25

Por tanto, la ecuación que establece la relación de proporcionalidad entre la longitud del alambre y su resistencia es y  6, 25 x

Luego, para obtener la resistencia para cada longitud bastaría reemplazar en la ecuación por cada valor de x, esto es


107

y  6, 25 25  18 18  112, 5 y  6, 25  5  31, 25 y  6, 25  32 32  200 PROPORCIONALIDAD 



y  6, 25  9  56, 25 y  6, 25  2, 4  15 y  6, 25  0, 8  5 y  6, 25  52 52  325

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52 •6,25 Resistencia (  ) 75 112,5 31,25 200 56,25 15 5 325

Definición: Dos variables x e y son proporcionales si existe una constante Definición: Dos k   0 , tal que y  kx


1. Las nueve máquinas de una fábrica funcionan igual, completa la siguiente tabla de acuerdo al tiempo que funcionó cada una: Máquina A Tiempo (min) 60 Nº de tornillos 450

B 70

C 100

D 40

E 120

F 36

G 80

H 90

I 210

Solución: Cómo las máquinas funcionan igual, el Nº de tornillos ( y ) será proporcional al tiempo ( x ). La constante de proporcionalidad es k 

y x



450 60

 7, 5

La ecuación que relaciona las variables es y  7, 5 x


108

Basta multiplicar los valores de x por 7,5 PROPORCIONALIDAD 



Máquina A B C D E F G H I Tiempo (min) 60 70 100 40 120 36 80 90 210 •7,5 Nº de tornillos 450 525 750 300 900 270 600 675 1575 2. Si un computador procesa 5 registros en 20 segundos, si el computador funciona a velocidad constante ¿Cuántos registros procesa en 1 minuto?, ¿en 1/2 hora?, hora?, ¿cuánto tiempo debe funcionar sisi se requiere procesar 200 registros? y ¿1500 registros? Solución: Dado que el computador funciona a velocidad constante, se asume que el número de registros ( y ) es proporcional al tiempo x ( ). La constante de proporcionalidad es k 

y



x

5 20

 0, 25

Por tanto la ecuación es y  0, 25 x Al colocar col ocar los valores en una tabla, bastará multiplicar los valores de x por 0,25 para obtener sus respectivos valores de y. A la inversa, para obtener los valores de x hay que dividir los valores de y por 0,25 • 0,25

x

y

Tiempo (seg) 20 60 1800 800 6000

Nº de registros 5 15 450 200 1500

: 0,25






1. La siguiente llave debe fabricarse modificando las medidas pero manteniendo la forma, de modo que la parte que que mide 665 ahora mida 133 133 milímetros, ¿Cuál es la media del resto de las dimensiones de la pieza?

2. Suponiendo que las variables asociadas a las siguientes situaciones son proporcionales, encuentra la constante de proporcionalidad y determina las ecuaciones de proporcionalidad y  k  x involucradas en cada caso: a) En una semana 3 mecánicos pueden reparar 8 vehículos, ¿cuál es la ecuación que permite calcular el número de mecánicos ( y ) necesarios para reparar x vehículos? Úsala para calcular el número aproximado de mecánicos que se necesitan para reparar 20 vehículos en una semana. b) Se necesitan 60 horas hombre para pintar 220 mt 2 de pared, ¿Cuál es la ecuación que permite determinar el número de horas hombre ( y ) necesarias para pintar x mt2 de pared? Usa esta ecuación para calcular las horas hombre que se requieren para pintar un edificio con 2550 mt2 de paredes. c) La capacidad de una pila se expresa por el número máximo de amperios que puede dar en una hora. Se sabe que una pila puede entregar 2,5 amperios cada 4 minutos, ¿Cuál es la ecuación que permite calcular el número amperios ( y ) que da una pila en x minutos? Usa esta ecuación para determinar los amperios que entrega una pila al cabo de media hora.

109


110

3. Si X e Y son proporcionales completa las siguientes tablas: X PROPORCIONALIDAD 



2 5 7 13

Y

X 585

9

Y

X

Y

12 45 18 60

15 18

21 30 2

4. Si $48 argentinos equivalen a $5.418 pesos chilenos a) Transforme $100, $1500, $10.050 pesos argentinos a su equivalente valor de pesos chilenos. b) Determine a cuantos pesos argentinos equivale a $100, $12.000 y $1.000.000 chilenos.


111

La representación gráfica de una relación proporcional




Dos variables proporcionales se relacionan a través de una ecuación lineal de la forma y  kx , cuya gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen:

Esto implica que en una relación de proporcionalidad, cuando x vale cero y también valdrá cero, en efecto si y  kx , cuando x = 0 se tiene y  k  0  0

Esto permite diferenciar rápidamente situaciones proporcionales de otras que no lo son. Por ejemplo, en las siguientes situaciones Situación 1 Nº de ladrillos 0 5 10 15 20 25

Peso (Kg) 0 6 12 18 24 30

Situación 2 Consumo (KWH) 0 2 4 6 8 10

Monto Factura ($) 590 726 862 998 1134 1276

Se puede determinar inmediatamente que entre el consumo de electricidad y el monto de la factura no puede existir una relación de proporcionalidad, ya que a 0 KWH le corresponde un monto distinto de 0.


Mientras que entre el número de ladrillos y su peso, para la cual ya se había probado su proporcionalidad, se tiene que a 0 ladrillos, obviamente le corresponde 0 kg. de peso. PROPORCIONALIDAD 



Al graficar ambas ecuaciones se observa su diferencia, la de proporcionalidad pasa por el origen y la de no proporcionalidad no.


1. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por persona en Punta Arenas.

a) ¿Son variables proporcionales? Justificar. b) ¿Cuál es la cantidad de residuos sólidos generados por 450 personas?

112


113

Solución:




a) Bastaría con identificar que la gráfica de la relación entre estas dos variables es una recta que pasa por el origen para afirmar que son proporcionales, pero agregaremos el análisis de la constante de proporcionalidad para corroborar esta afirmación. Recogiendo algunos de valores de la gráfica se tiene Nº de personas Residuos sólidos 1 0,5 2 1 3 1,5 4 2 Efectivamente, existe la constante de proporcionalidad k 

0,5



1

1

1,5



2

3



2 4

 0,5

b) Dado que las variables son proporcionales, se relacionan a través de la ecuación y  0,5 x . Por tanto, cuando x  450 se tiene y  0,5  450  225

Para 450 personas los residuos sólidos son 225. Ejercicios Propuestos

Grafique las siguientes relaciones y determine en cuál de ellas hay proporcionalidad: 1.

Tiempo (meses) Precio del artículo

2.

Lado del cuadrado Área

3.

Nº de clientes Nº de reclamos

0 2 4 6 8 $30 $24 $20 $18 $17 0 0 0 0

10 2

1 1 20 4

2 4 30 6

3 9 40 8

4 16


114

Proporcionalidad inversa




Hasta aquí hemos hablado de proporcionalidad, para referirnos a la proporcionalidad directa, ahora revisaremos la noción de proporcionalidad inversa. Intuitivamente, dos cantidades a y b son inversamente proporcionales, cuando haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo número de veces. Esto implica que cuando una variable es multiplicada por m, la otra variable es multiplicada por su inverso

1

m

.

Ejemplo: Supongamos que todas las máquinas de un fábrica funcionan igual. La siguiente tabla muestra la relación entre el número de máquinas y el tiempo que demoran en terminar un trabajo, dos cantidades inversamente proporcionales x

Nº de máquinas 6 •2 12 •3 18 •1/2 3 •1/3 2

y

Tiempo (horas) 24 12 •1/2 8 •1/3 48 •2 72 •3

Al igual que en la proporcionalidad directa, el hecho que una variable aumente cuando la otra disminuye no suficiente para establecer que son inversamente proporcionales, se requiere de otra condición. Matemáticamente, decir que la variable y es inversamente proporcional a x es equivalente a afirmar que y es proporcional al inverso (multiplicativo) de x, esto es que y es inversamente proporcional a x  y es proporcional (directa) a

1

x


115

Por definición y es proporcional a y  k  PROPORCIONALIDAD 



1

x

1

x

si existe una constante k  0 tal que y 

o

k x

Definición: La variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe k  0 tal que Algunas veces se comete el error de hablar de proporcionalidad indirecta. El concepto correcto es proporcionalidad inversa , por ser la proporcionalidad entre una variable y el inverso multiplicativo de la otra.

y 

k x

Nótese que en el caso de la proporcionalidad inversa la constante se determina multiplicando los valores de ambas variables k  x y

Lo que a su vez permite establecer un criterio por identificar cuando dos variables son inversamente proporcionales. Una vez que se determina la constante de proporcionalidad los valores de y se obtienen multiplicando por los inversos de x o lo que es lo mismo dividiendo la constante por los valores de x. Problema 6: Se sabe que a un voltaje constante la intensidad en un circuito es inversamente proporcional a la resistencia. Mostrar que los valores de la tabla cumplen la condición de proporcionalidad inversa y determinar la intensidad para las resistencias dadas: x

y

Resistencia (Ohms) 10 9 12 15 6 24

Intensidad (Amperes) 3,6 4 3


116

Solución: Dado que el producto de los 3 pares de valores dados es siempre constante concluimos que las variables son inversamente proporcionales y que la constante de proporcionalidad es 36 PROPORCIONALIDAD 



k  x  y  10  3, 6  9  4  12 3  36

Por tanto la relación inversamente proporcional entre intensidad y resistencia queda determinada por la ecuación y 

36 x

Reemplazamos los valores de x en esta ecuación obtenemos las intensidades buscadas

y  y  y 

36 15 36 6 36 24

 2, 4 6  1, 5

x

y

Resistencia (Ohms) 10 9 12 15 6 24

Intensidad (Amperes) 3,6 4 3 2,4 6 1,5


1. Dos técnicos tardan 9 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer técnico ¿cuánto tiempo tardarían en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo? Solución: Al trabajar todos al mismo ritmo podemos asegurar que el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de técnicos x

y

Nº técnicos Tiempo (hrs) 2 9 3


117

La constante de proporcionalidad se determina multiplicando k  x  y  2  9  18




La ecuación que describe la relación inversamente proporcional entre estas variables es y 

18

x

Por tanto para x  3 técnicos se tiene y 

x 3



18 3

 6 horas.


1. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.? 2. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro? 3. Muestre que para mantener el área constante de un rectángulo el ancho debe ser inversamente proporcional al largo del rectángulo. 4. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas escribirá en la misma página a triple espacio? 5. Nueve trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha durado 18 días. ¿Cuántos trabajadores faltaban? 6. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas. ¿Cuántas tablas se colocaron? 7. Un automovilista demora en ir a su trabajo 40 minutos cuando viaja a 50 Km./hr. Un día cualquiera se atrasa y calcula que debe llegar a su trabajo en solo 30 minutos. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a tiempo? 8 Siete personas consumen una determinada provisión en 2 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 10 personas en consumir la misma provisión?


118

Proporcionalidad compuesta




Problema 7: Una máquina funcionando 6 horas diarias produce 90 artículos en 60 días, ¿en cuántos días se producirán 192 artículos, si trabajan 12 máquinas durante 8 horas diarias?

Solución: Análisis de las variaciones proporcionales: Se debe establecer el tipo de proporcionalidad entre la variable incógnita D y cada una de las otras variables. -

-

Si M aumenta (por ejemplo al doble), ¿Qué pasa con D? ¿aumenta (al doble) o disminuye proporcionalmente (a la mitad)? Suponga a la vez que las otras variables son constantes, esto es que el número de horas diarias H y el número de artículos A son fijos.

En este caso, manteniendo constante H y A, un aumento en M genera una disminución inversamente proporcional en D. Se repite el mismo tipo de análisis para el resto de las variables.

En este problema intervienen más de dos variables. Ordenemos la información en la siguiente tabla: M Nº de máquinas 1 12

H Hrs/diarias 6 8

D Nº de días 60

A Nº de artículos 90 192

La variable incógnita es D, ¿será directa o inversamente proporcional con cada una de las otras variables? Al comparar D con otra de las variables, supondremos que en ese instante el resto de las variables no varía. D es inversamente proporcional con M D es inversamente proporcional con H D es directamente proporcional con A Recordemos que cuando una variable es directamente proporcional multiplica a la constante y cuando es inversamente proporcional la divide. Esto permite escribir una ecuación en la que D dependa de una constante que será multiplicada por las variables directamente proporcionales (A) y dividida por las variables inversamente proporcionales (M y H), esto es D 

kA M  H

Para encontrar la constante reemplazaremos por los valores de la primera fila de la tabla 60 

k  90 1 6

 k  4

La ecuación queda completamente determinada D 

4 A M  H


119

Basta reemplazar por los valores de la segunda fila de la tabla para encontrar el término desconocido D 




4 192 12  8

8

En 8 días producirán 192 artículos, con 12 máquinas funcionando 8 horas diarias. Este es un caso de proporcionalidad compuesta. Definición: Si la variable y es directamente proporcional a las variables x1 , x2 ,..., xn e inversamente proporcional a las variables z1 , z 2 ,..., z m , entonces existe k  0 tal que y 

k  x1x2  xn z1z2  z m


1. Cuatro operarios en 10 días producen 320 piezas de un cierto producto. ¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16 días? Solución: N Nº de operarios 4 10

D Nº de días 10

P Nº de piezas 320

16

P es directamente proporcional con N P es directamente proporcional con D Por tanto la ecuación de proporcionalidad compuesta es P  kND

El valor de k se determina reemplazando por los valores de la primera fila 320  k  4 10  k  0, 125


120

La ecuación es P  0,125  ND

Reemplazando por el resto de los valores tenemos que P  0,125 10 16  20




2. Veinte obreros pintan una muralla de 60 mt2 en 18 minutos. ¿Cuántos obreros se necesitan para pintar 36 mt2 en 12 minutos? Solución: N Nº de obreros 20

S Superficie 60

M Nº de minutos 18 12

36

N es directamente proporcional con S N es inversamente proporcional con M La ecuación de proporcionalidad compuesta es N 

kS M

El valor de k se es 20 

k  60 18

 k  6

La ecuación queda expresada por N 

6S M

Al reemplazar por los valores de la segunda fila se tiene N 

6  36 12

 18



1. Para fabricar 15 artículos 5 obreros se demoran 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 hombres para fabricar 36 artículos? PROPORCIONALIDAD 



2. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para tal efecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días a razón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt por segundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría en llenarse? 3. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A qué presión se deben someter 100 m 3 de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253° absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 m3 a una temperatura de 313° absolutos? 4. Seis hombres trabajando durante 9 días, a razón de 8 horas diarias han hecho los 3/8 de un trabajo. Si se refuerzan con 4 hombres, y los obreros trabajan 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán el trabajo? 5. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de proporcionalidad K los enunciados siguientes: a) La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro. b) El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. c) La fuerza de atracción F entre dos masa m 1 y m 2 es directamente proporcional al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas.

121


122

Análisis de la variación proporcional en una ecuación




Problema 8: La ley de Ohm establece la relación entre la intensidad I (medida en amperes), el voltaje V (medido en voltios) y la resistencia R (medida en ohms) de un circuito eléctrico. La ecuación que relaciona estas tres variables es I 

V R

¿Existe una relación de proporcionalidad, directa o inversa entre I , V y R?

Solución: Recordemos que: 1.

Dos

variables

son

No necesitamos ser eléctricos, ni medir con un instrumento para tratar de ver qué pasa si el voltaje aumenta, ¿aumentará proporcionalmente la resistencia?, nada de eso…

directamente proporcionales si

Cuando una relación se expresa matemáticamente, a través del lenguaje algebraico, toda la información queda contenida en la ecuación, basta mirarla para responder.

su cociente es constante:

y x 2.

k

Dos

k  0 variables

son

inversamente proporcionales si su producto es constante:

x  y  k

k  0

En efecto, por las definiciones de proporcionalidad si dos variables aparecen dividiéndose y suponemos que su resultado es constante, entonces será proporcionales. En el problema, V y R forman un cociente I 

V R

Por tanto basta asumir que si la intensidad I es constante, el voltaje V y la resistencia R serán directamente proporcionales. Manipulando la expresión obtenemos la ecuación equivalente R 

V I

Otro cociente, ¿Qué nos dice la expresión? Que a resistencia R constante el voltaje V y la intensidad I serán directamente proporcionales.


123

¿Qué otra ecuación equivalente podemos formar manipulando la expresión? I  R  V




También por definición, dos variables son inversamente proporcionales si su producto es constante. Como vemos en esta ecuación, a voltaje V constante, la intensidad I es inversamente proporcional a la resistencia R. En resumen, si las variables se están dividiendo serán directamente proporcionales y si se están multiplicando serán inversamente proporcionales, siempre que supongamos que los resultados de esas operaciones sean constantes.


124

Porcentajes y proporcionalidad

PORCENTAJE



La noción de porcentaje tiene relación a la necesidad de comparar cantidades de manera relativa, se utiliza el 100 como referencia para comparar una cantidad respecto de su total. El cálculo de porcentajes implica el planteamiento de la proporción C T



p 100

En donde una cantidad C es a su total T como el p% es a 100%. Dado dos términos el cálculo del término desconocido de esta proporción puede corresponder a los siguientes casos: 1. Hallar el tanto por ciento de un número dado ( C ) 2. Hallar un número conociendo el tanto por ciento de él ( T ) 3. Hallar el tanto por ciento que representa un número de otro dado ( p ) Ejercicios resueltos 1. Hallar el tanto por ciento de un número

Hallar el 18% de 96. Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por " x" formando la siguiente proporción: 96

x

=

100%



18%

x =

96  18 100

= 17,28

Luego, el 18% de 96 es 17,28 2. Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él

¿De qué número es 36 el 18%? Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número desconocido " x", con lo que formamos la siguiente proporción;


36 x

PORCENTAJE



=

18%

36  100

x =



100%

125

18

= 200

Luego, el número buscado es 200. 3. Qué tanto por ciento es un número de otro dado

¿Qué tanto por ciento es 9 de 36? Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la siguiente proporción: 36 9

=

100%

x =



x %

9  100% 36

= 25%

Luego, 9 es el 25% de 36


1. Calcular los siguientes porcentajes: a) 8% de 250

b) 15% de 462

c) 25% de 9,6

d) 2,3% de 48,72

e) 33 % de 1236

1

f) 0,75% de 24

3

2. El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.? 3. El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%; mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500. 4. De qué número es: a) 3 el 75%?

b) 22,4 el 75%?

d) 35 el 5%?

e) 60 el 90%?

2

c) el 25%? 3

f) 76 el 10%


126

5. El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es el 90% de la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que recibe?

PORCENTAJE



6. Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo? 7. Cierto mineral rinde el 5% de hierro. ¿Cuántas toneladas de mineral se necesitan para producir 2,5 toneladas de hierro? 8. ¿Qué tanto por ciento de: a) 8 es 7?

b) 7,2 es 18,5?

d) 860 es 129?

e) 30 es 6?

c) es 3,25 de 5,5? f) es 0,64 de 512?

9. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía recibida es la energía entregada? 10. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué % de cada metal se utilizó? 11. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h 1

en la fresadora y 11 h en la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá 4

cargarse a cada máquina? 12. Una compañía de bebidas empaca las latas en cajas como se muestra en la siguiente figura:

¿Qué porcentaje de la caja queda vacía?


127

Porcentajes, decimales y fracciones

PORCENTAJE



Problema 9: En una ciudad de 120.000 habitantes el 65% trabaja, de este grupo el 80% son hombres, de ellos el 20% gana el sueldo mínimo, de los cuales el 5% a cambiado de trabajo en el último año. ¿A cuántas personas corresponden?

Solución: Si ocupamos la noción de porcentaje asociada al cálculo de proporciones nos veremos en la necesidad de plantear y resolver 4 proporciones para resolver este problema, ¿habrá alguna forma más rápida de llegar al resultado? Veremos la solución luego de analizar cómo podemos hacer evolucionar el cálculo de porcentajes desde la proporción hacia el uso de decimales o fracciones. Partamos planteando la proporción involucrada en la pregunta ¿Cuál es el p% de T ? De la proporción

C T



p 100

se tiene que

C

p 100

 T

Es decir, cualquier cálculo de la cantidad en un porcentaje se obtiene multiplicando el total por la fracción p/100. Veamos algunos ejemplos: El 25% de 120 es: 25 100

120

ó

0, 25 120

ó

0, 08 40

ó

1, 5  0, 5

ó

ó

1 4

120

El 8% de 40 es: 8 100

 40

2 25

 40

El 130% de 0,5 es: 150 100

 0, 5

ó

3 2

 0, 5


128

Como podemos ver en el cálculo de porcentajes está involucrado un multiplicador, que puede tener una expresión decimal o fracción. PORCENTAJE



Veamos ahora lo útil y eficiente que resulta ocupar el multiplicador decimal para resolver el problema 9. El problema se puede resumir al cálculo del 5% del 20% del 80% del 65% de 120.000, que escrito como fracción sería 5



20



80



65

100 100 100 100

120000

Mejor aún, ocupemos la expresión decimal 0, 05  0, 20  0, 80 0, 65  120000  624

Basta multiplicar para obtener el resultado. Esta técnica suele ser, en muchos casos, más rápida de ejecutar que la del cálculo de porcentajes a través de proporciones. Ejercicios resueltos

1. El control de calidad de un determinado producto registra cada día el aumento o disminución porcentual de artículos defectuosos, respecto del día anterior. Las siguientes fueron las variaciones porcentuales diarias: Martes: aumentó un 3% Miércoles: disminuyó un 5% Jueves: aumentó un 12% Viernes: disminuyó un 20% Sábado: aumentó un 2,5% Si el día lunes había 1800 artículos defectuosos, ¿cuántos artículos aproximadamente, hay defectuosos el día sábado? Solución: Lo primero es determinar que tantos porcientos están involucrados en los aumentos de y diminuciones señaladas.


PORCENTAJE



129

Un aumento del 3% implica calcular el 100% + 3% = 103% (1,03) Una disminución del 5% implica calcular el 100% – 5% = 95% (0,95) Un aumento del 12% implica calcular el 100% + 12% = 112% (1,12) Una disminución del 20% implica calcular el 100% – 20% = 80% (0,80) Un aumento del 2,5% implica calcular el 100% + 2,5% = 102,5% (1,025) Por tanto el día sábado habrá 1, 025  0, 80 1,12 0, 95 1, 03 180  161, 7

Aproximadamente 162 artículos defectuosos. 2. Si una pieza de caucho se estira un 20%, al soltarla disminuye un 20% respecto de su medida anterior, ¿hubo alguna variación en la longitud de la pieza? ¿Se mantuvo igual? ¿Aumentó? ¿Disminuyó? ¿En qué porcentaje? Solución: Como no conocemos la longitud de la pieza de caucho, la consideraremos un variable L. La pieza aumenta un 20% implica calcular el 120% de L. La pieza disminuye un 20% implica calcular el 80% de lo anterior Es decir, queremos determinar el 80% del 120% de L, esto es 0, 80 1, 20  L

Obviamente no podemos calcular la medida final de la pieza sin conocer el valor particular que asumiría L. Pero no necesitamos esa información, lo que queremos es saber en qué porcentaje varió la pieza. Bastará calcular el producto de los decimales y el resultado interpretarlo como el porcentaje acumulado 0, 80 1, 20  L  0, 96  L

Queda el 96% de la longitud inicial del caucho. Es decir al aumentar el 20% y disminuir el 20% la medida de la pieza no se mantuvo igual, varió, específicamente disminuyó un 4% respecto de su valor original.


130


1. Calcule los siguientes porcentajes: PORCENTAJE



a) El 20% del 2% del 200% de 2000 b) El 0,12% del 1,2% del 12% del 120% de 1200 c) El 50% del 50% del 50% ….del 50% (10 veces) de 1000000 2. Calcular el 30% del 30% de una cantidad ¿es lo mismo que calcular el 60% de ella? Si no es lo mismo, ¿qué porcentaje es el 30% del 30% de algo? 3. La intensidad de una señal de radio se va reduciendo cada kilómetro en un 5%. ¿Qué porcentaje de la señal queda al cabo de 3 km?, ¿de 10 km?, ¿de 20 km? 4. El número de usuarios que se conectan a un servidor varía cada día respecto del anterior de acuerdo a la siguiente tabla: Lunes +4%

Martes -6%

Miércoles +18%

Jueves -12%

Viernes +0,5%

Sábado x%

a) ¿Qué porcentaje debió variar el día sábado para que el porcentaje de variación acumulado sea de 12,2%? b) Si al comienzo de la semana empezó con 12.486 usuarios conectados, ¿cuánto debería variar el día sábado para que termine la semana con 9.554 usuarios? 5. La velocidad de un móvil está dada por la fórmula v 

d t

, ¿Qué

porcentaje varía la velocidad si la distancia aumenta un 30% y el tiempo disminuye un 30%? 6. La ley de Newton dice que F  m  a , ¿qué tanto por ciento varía la fuerza F cuando la masa disminuye un 50% y la aceleración aumenta un 20%?

UNIDAD 3: LGEBRA

131

E

l álgebra es una de las herramientas más potentes que ha creado el ser humano para el desarrollo del pensamiento matemático. En álgebra las letras se utilizan como símbolos, que representan a números que no conocemos o que no queremos especificar. La ventaja del álgebra es que permite escribir de forma concisa y sin ambigüedades expresiones que en lenguaje verbal resultan extensas e imprecisas. El álgebra se inició con el estudio de las ecuaciones, que hasta el siglo XVI se reducía a describir, de forma verbal, los pasos involucrados en la resolución de algunos casos particulares de ecuaciones. La generalización de los métodos de resolución solo fue posible con la incorporación de un invento notable: el álgebra simbólica. El matemático hindú Al-Khwarizmi (siglo IX d.C), que escribió el primer tratado de ecuaciones, trabajaba de forma retórica, resolvía la ecuación x2  10x  39 de la siguiente forma: “ Debes tomar la mitad del número de raíces, que en este caso es 5, multiplicarlo por sí mismo, obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado”

Con el simbolismo algebraico podemos resumir toda esta información en una fórmula, la solución de la ecuación cuadrática del tipo x2  bx  c es 2

b b x     c  2 2

UNIDAD 3

ÁLGEBRA

UNIDAD 3: LGEBRA

132 PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTIN01 UNIDAD 3

ÁLGEBRA APRENDIZAJE ESPERADO

Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategias de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. CRITERIOS DE EVALUACIÓN    

Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales, en contextos diversos. Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia. Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas.

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN   

Determina la solución de un problema propuesto que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores. Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.


Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la resolución gráficamente, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN  

Resuelve problemas mediante inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica, analítica y en lenguaje natural. Resuelve problemas mediante sistemas de inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.

UNIDAD 3: LGEBRA

133

Introducción

LENGUAJE ALGEBRAICO  

Muchas veces el álgebra elemental se visualiza como una materia abstracta, que involucra reglas para manipular expresiones en la que intervienen literales, sin que quede claro el sentido y utilidad que esto tiene. Esta interpretación está provocada por la forma en que se enseña, más que por la naturaleza de esta materia. El estudio del álgebra no puede restringirse al dominio de las reglas de manipulación algebraicas. De la misma forma en que el uso y sentido de las palabras precede al estudio sistemático de la sintaxis del lenguaje natural, el álgebra requiere la comprensión adecuada del lenguaje algebraico antes de adentrarse en las técnicas de manipulación algebraicas. El álgebra elemental estudia determinados objetos a través del lenguaje simbólico, las letras son símbolos que admiten distintos usos y significados. Para que el álgebra elemental sea una herramienta útil para describir y resolver problemas de todo tipo, es necesario seas capaz de expresar simbólicamente relaciones y procesos de carácter general. Es importante señalar que no se puede sostener el estudio de esta materia en abstracto, obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental. El álgebra elemental es una herramienta que permite modelar y resolver problemas de otras áreas de la matemática, o de otros ámbitos en general. Muchos de los problemas que se nos presentan no requieren, ni tampoco se justifica la utilización de álgebra en su solución. Sin embargo, en la medida en que se avanza en el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones, los métodos aritméticos ya no son suficientes, la memoria ya no puede procesar toda la información, se requiere un medio para expresarla y trabajar con ella. Se hace necesaria una traducción al lenguaje algebraico, que generaliza, resume y simboliza toda la información y las relaciones contenidas en el problema. Veamos un ejemplo. Problema 1:

a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros por segundo. Un segundo corredor que está a 2 metros de la partida recorre 5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que ambos corredores se encuentren?

UNIDAD 3: LGEBRA

134

b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se encontraba a 93 metros de la partida y el segundo a 45 metros de la partida, ¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren? LENGUAJE ALGEBRAICO  

Solución: a) Se debe contar las veces que se suma reiteradamente para que las distancias recorridas sean iguales. La forma de registrar el proceso puede ser diverso: con palabras, una tabla de valores, un dibujo, un esquema, etc., y la precisión en el lenguaje puede no afectar en absoluto el resultado. Por ejemplo: Seg. 0 1 2 3 4

Distancia Corredor 1 10 13 16 19 22

Distancia Corredor 2 2 7 12 17 22

Los corredores se encuentran a los 4 segundos b) En el segundo caso la búsqueda por sumas reiteradas aparece como un método ineficiente, se amerita plantear la situación de forma algebraica. x tiempo trascurrido en segundos (incógnita). 93  3 x distancia recorrida por el primer corredor. 45  5 x distancia recorrida por el segundo corredor.

Considerar que ambas distancias son iguales equivale a plantear la ecuación 93  3 x  45  5x

Aplicando las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones se tiene 93  3 x  45  5x 93  45  5 x  3x 48  2 x x  24

UNIDAD 3: LGEBRA

135

Significados de las letras en álgebra

¿Qué significado puede tener la expresión 3m? LENGUAJE ALGEBRAICO  

De forma natural, muchos estarán inclinados a pensar que podría representar 3 objetos que comienzan con la letra m, por ejemplo 3 metros, 3 manzanas, 3 minutos, etc. Es decir, la letra m es usada como una etiqueta de los objetos involucrados. Sin embargo, este no es el uso que se les quiere dar a las letras en álgebra. En álgebra, 3m representa 3 veces el número de objetos o 3 veces su medida, por ejemplo 3 veces la cantidad de metros, 3 veces el peso de las manzanas o 3 veces la cantidad de minutos. En este caso m actúa como una variable, la letra toma el lugar de los números no especificados.

3m 3 metros Etiqueta

3 veces la cantidad de metros Variable Significado asociado al álgebra

Traducción al lenguaje algebraico

La posibilidad de resolver algunos problemas matemáticos depende de la habilidad para traducir la situación planteada al lenguaje algebraico. Este proceso no es evidente y se cometen varios errores que podemos ir comentando. Consideremos la siguiente situación: En cierta colectividad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias de cambios: por 5 gallinas se obtienen 6 conejos. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

El primer error sería usar letras como etiquetas para los objetos 5G significaría “5 gallinas” 6C significaría “5 conejos”

UNIDAD 3: LGEBRA


136

El siguiente error podría ser forzar una “traducción literal” del enunciado, esto es convertir cada una de las palabras claves del enunciado en un símbolo, conservando el orden en que aparecen. Por ejemplo traducir “por cinco gallinas se obtienen 6 conejos” en 5G  6C

Lo adecuado sería considerar las letras como variables, esto es G C

número de gallinas número de conejos

La expresión correcta surge al plantear la razón entre las variables. En efecto, el enunciado señala que la razón entre número de gallinas y número de conejos es de 5 es a 6, esto es G C



5 6

Si multiplicamos cruzado se obtiene la expresión algebraica, que es distinta a la que inicialmente se había propuesto. 6G  5C

Considera estas observaciones cuando tengas que escribir un enunciado en lenguaje algebraico.

UNIDAD 3: LGEBRA

137

Tipos de variables


Un paso fundamental en la comprensión del álgebra es dejar de considerar a las letras como etiquetas o iniciales de palabras, para interpretarlas como variables. Pero aquí se abre la problemática del abanico de significados que puede adoptar una variable. Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza metálica. 10 r

r 3

3 4

4

¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas? a) 24  2r b) 24  2r  40 c) 24  2r  P Solución: Ya sabemos que un literal representa a un número, pero ¿a cualquier número?, ¿o solo a algunos números desconocidos? Depende de la situación y de la expresión en que está contenida. La expresión 24  2r representa el perímetro del contorno de la pieza. En este contexto el literal r simboliza la medida de uno de los lados, es un valor desconocido, que no interesa y ni se puede calcular. La variable r es un número generalizado que puede asumir, en este caso, cualquier valor positivo. Por otro lado 24  2r  40 es una ecuación, la letra r actúa ahora como incógnita, un valor desconocido que permite que el perímetro de la figura sea 40, podemos determinar el valor numérico de r resolviendo la ecuación. La expresión 24  2r  P también representa el perímetro, pero ahora se utiliza una letra para expresarlo, P depende de r , las variables están el contexto de una relación funcional.

UNIDAD 3: LGEBRA


138

Recuerda entonces que los literales tienen varios usos y aparecen en determinados contextos. Aunque la clasificación de variables no es única podemos describir los siguientes tipos: Incógnitas

Ecuación 5a  2  12

Literales

Número generalizado

Expresión algebraica 5a  b  12

Variables

Función 5a  12  b

¿Cómo reconocer si un problema se traduce a una ecuación, una expresión o una función? Se requiere de la habilidad para reconocer la presencia de incógnitas, números generalizados y variables en el problema involucrado. La siguiente tabla muestra los aspectos más relevantes de este análisis: Uso de la letra Tipo de expresión Se identifica por

Condiciones

Ejemplos

Incógnita Ecuación La existencia de un valor desconocido que es posible determinar con los datos del problema. La relación de los datos con la incógnita debe permitir plantear una igualdad. 2 x  5  8 2

a  5a  6  0 3 M  2  M  3 4

:

Número generalizado Expresión algebraica La existencia de una cantidad indeterminada que no se puede, ni se quiere especificar. La relación de los datos con el número generalizado no permite plantear una igualdad.

Variables Función La existencia de dos o más cantidades indeterminadas que son dependientes entre sí. La relación de los datos con las variables permite plantear la igualdad de una variable en término de las otras.

2 x  5  8

2 x  5  y

2 a  5a  6 3 M  2  M  3

2 b  a  5a  6 3 M  2  M  3 F 

4

4

UNIDAD 3: LGEBRA

139

Problemas Resueltos


Identificar en cada uno de los siguientes problemas el tipo de variable involucrada (incógnita, número generalizado o variable) y la expresión que las contiene (ecuación, expresión algebraica o relación funcional): 1) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, pero al ampliarse 1 metro el ancho y 2 metros el largo se necesitaron 48 metros de alambre para cercarlo. ¿Cuáles eran las medidas del terreno inicial? Solución: El ancho del terreno es una cantidad desconocida, cuyo valor se quiere y se puede determinar con los datos del problema, es por tanto una incógnita. x: ancho del terreno (incógnita)

Para determinar la ecuación es necesario relacionar los datos para formar expresiones y establecer algún tipo de equivalencia que permita plantear la igualdad de la ecuación. A través del dibujo podemos analizar la relación de los datos con la incógnita: 2 x

1 x

x 2

2 2 x

1

El perímetro del rectángulo está dado por la expresión 2(2 x  1)  2( x  2)

La igualdad surge del hecho que este perímetro debe ser 48, se plantea entonces la ecuación 2(2 x  1)  2( x  2)  48

UNIDAD 3: LGEBRA

140

2) Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el doble de su largo, luego se amplió 1 metro el ancho y 2 metros el largo. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para cercarlo? LENGUAJE ALGEBRAICO  

Solución: En este caso el ancho del terreno es una cantidad que podría asumir cualquier valor positivo, cumple con la definición de número generalizado. x: ancho del terreno (número general)

Dado que el ancho del rectángulo es variable, lo que realmente importa en la situación no es determinar un valor específico para la longitud del alambre, sino su expresión general en términos de x . 2 x

1 x

x 2

2 1

2 x

El alambre cubre el perímetro del rectángulo, por tanto su longitud está dada por la expresión algebraica 2(2 x  1)  2( x  2)

3) Una fábrica produce piezas metálicas rectangulares, cuyo contorno (perímetro) debe ser rodeado por un alambre de 200 mm de longitud. Encuentre la relación entre la altura y la base de las piezas que se pueden construir con esta condición. ¿Cuál es la altura de una pieza de base 64 mm?

h b

UNIDAD 3: LGEBRA

141

Solución:


En el problema, los valores de la altura y la base pueden variar, pero ajustándose a una condición, que permite establecer una dependencia entre ellas. Se trata por tanto de variables y de una relación funcional. Dado que se quiere determinar la altura dado un valor específico de la base, h es la variable dependiente y b la independiente. h: “medida de la altura” (variable dependiente) b: “medida de la base” (variable independiente)

La condición es que el alambre, que cubre el perímetro del rectángulo, mida 200 mm., lo que permite establecer una expresión 2h  2b

“perímetro de la pieza rectangular”

Y la igualdad 2h  2b  200

La función involucrada requiere despejar h en términos de b 2h  2b  200  h  b  100  h 100  b

Por tanto la función que relaciona estas variables es h  100  b

Se dice que h está en función de b. Para determinar la altura cuando la base vale 64 basta reemplazar b = 64 y calcular h.

UNIDAD 3: LGEBRA

142



1. Traducir las siguientes situaciones a lenguaje algebraico y señalar si se trata de ecuaciones, expresiones algebraicas o relaciones funcionales y cuál es el uso de los literales que está involucrado (incógnita, número generalizado o variables): a) Para evitar los choques se recomienda que la distancia entre dos vehículos sea 0,55 veces la velocidad que llevan. b) El precio de un repuesto es p , un segundo repuesto es $120 pesos más caro y el precio de un tercer repuesto es el doble del precio de los otros dos repuestos juntos, ¿cuál es el precio total de los tres repuestos? c) La velocidad promedio de un móvil es igual al cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. d) Un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra desde un estanque que contiene 500 litros, si del estanque salen 0,32 litros de agua por minuto, ¿al cabo de cuántos minutos el estanque se reducirá a la mitad? 2. Dada la siguiente figura:

4cm x cm

12 cm

Utiliza el lenguaje algebraico para representar las siguientes situaciones: a) ¿Cuánto vale la altura y la base? b) ¿Cuál es la expresión para el área? c) Si el área vale 120 cm 2, ¿cuánto vale x? d) Si la medida de x varía entre 0 cm y 10 cm, ¿cuánto varía el área de la figura? e) Si se desea que el área fluctúe entre 100 cm 2 y 150 cm2, ¿cuánto debe varía la medida de x?

UNIDAD 3: LGEBRA

143

(Recuerda que el propósito del problema es escribir en lenguaje algebraico, no resolver) LENGUAJE ALGEBRAICO  

3. Los siguientes son números consecutivos 7, 8 y 9. Dado un número su consecutivo se le suma 1: a) ¿Cómo se representaría de manera general la suma de tres números consecutivos? Intenta reducir la expresión. b) Si el primero es n, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? c) Si el segundo es m, ¿cómo se representaría la suma de tres consecutivos? 4. ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 y 5?, ¿5 y 6?, ¿10 y 11? Generaliza en una expresión para el área de este tipo de rectángulos. 5. Los siguientes dibujos representan los modelos de baldosas para habitaciones rectangulares, con baldosas negras y blancas colocadas siempre de la misma manera: Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

a) ¿Cuántas baldosas blancas tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? b) ¿Cuántas baldosas negras tiene la Fig. 4, 5 y 6? ¿Cuántas tiene la figura ubicada en un lugar n? c) Expresa algebraicamente la relación entre baldosas blancas y negras. d) ¿Cuántas baldosas negras tiene una figura con 110 baldosas blancas?

UNIDAD 3: LGEBRA

144

Valorizar expresiones algebraicas

VALORIZAR EXPRESIONES  

En la sección anterior se señaló que el primer objetivo en el estudio del álgebra elemental es ser capaz de expresar simbólicamente las relaciones y procesos involucrados en una situación problema, teniendo en cuenta que los símbolos literales, con su diversidad de significados, representan números. Algunas veces el propósito que se persigue es solo representar la situación en lenguaje algebraico. Sin embargo, es común que a partir de esa generalización se quiera obtener valores específicos de la expresión, reemplazando las letras por números particulares. Problema 3: Determine una expresión algebraica para la longitud de la banda que une dos poleas de igual diámetro. Determine luego la longitud de la banda cuando las poleas están a 80 cm. de distancia y su diámetro es de 10 cm.

L

Solución: La banda cubre 2 veces la distancia L, es decir 2L, más las dos mitades de las poleas respectivas, lo que equivale al perímetro de una sola de ellas, esto es  D . Por tanto la longitud de la banda que pasa por las poleas es 2 L   D

Ya tenemos la expresión algebraica que representa a la longitud de la banda, ahora queremos determinar su valor específico cuando L  80 y D  10 . Reemplazando se tiene 2  80   10  191, 4 cm.

UNIDAD 3: LGEBRA


145

Otra razón para evaluar expresiones algebraicas es determinar la validez de ciertas proposiciones. A través del lenguaje algebraico intentamos abstraer y generalizar ciertas propiedades matemáticas. Por ejemplo, a partir de las siguientes igualdades 2  2  3  22  32 2  7  9  72  92

Es lógico inducir una propiedad, válida para cualquier par de números reales, que se puede expresar de forma general como 2  a  b   a 2  b2

Para que esta igualdad constituya una identidad, debemos asegurarnos que es cierta para todo a, b  , no solo para algunos valores. En efecto, para todo a, b  se cumple que 2  a  b    a  b    a  b    a  a   b  b   a 2  b 2

La generalización es un proceso que se realiza constantemente en la práctica matemática, sin embargo, muchas veces se cometen errores al realizar algunas generalizaciones abusivas, que consiste en extender ciertas identidades válidas a otras que no lo son, por ejemplo: Como  a  b 2  a2  b2 se cree que  a  b 2  a2  b2 Como a  b  a  b se cree que a  b  a  b Como 2  a  b   2a  2b se cree que Como

a b c



a c

b

a

c

bc

 se cree que

2

a b



a b

 2 a  2b



a c

Evalúa esas igualdades y podrás comprobar que no son ciertas para todos los valores de sus variables. Podemos extender mucho más la lista de errores producidos por generalizaciones abusivas, pero estos ejemplos pueden bastar para mostrar el fenómeno. Ten cuidado, comprueba tus afirmaciones matemáticas.

UNIDAD 3: LGEBRA


146

Por ejemplo,  a  b 2  a2  b2 no es una propiedad matemática, porque solo es cierta para algunos valores particulares, por ejemplo cuando a  0 y b  0 , pero es falsa en otros casos. Basta comprobar que la igualdad no se cumple para un caso, como cuando a  1 y b  1 , para descartarla como propiedad matemática, en efecto 2 1  1  22  4 2 2 1 1  1 1  2

Luego 1  12  12  12 Respecto del mismo ejemplo, la propiedad válida para todo a, b  es 2  a  b   a2  2ab  b2

Lo que puede cobrar sentido al considerar que el área de un cuadrado de lado  a  b  es la suma de las áreas de las partes que las compone:

UNIDAD 3: LGEBRA

147

Problemas Resueltos

1. El rebaje del cabezal móvil para elaborar un perfil cónico es igual a la mitad de la diferencia entre el diámetro mayor y el diámetro menor.


D

d

a) Expresar la medida del rebaje de forma algebraica. b) determinar la medida del rebaje del cabezal si los diámetros son 12 cm. y 4,6 cm. Solución: a) Rebaje igual a la mitad de la diferencia entre los diámetros, esto es D  d 2

b) Evaluando en D  12 y d  4,6 se tiene que la medida del rebaje es 12  4, 6 2



7, 4 2

 3,7

2. Mostrar que las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas: a) a   b  c    a  b   a  c  b)

a b c b



a c

Solución: a) En efecto, esta forma de operar es una extensión inadecuada de la propiedad distributiva, esto es Como a  b  c   a  b  a  c se asume que a   b  c    a  b   a  c 

UNIDAD 3: LGEBRA

148

Basta evaluar en algunos valores, por ejemplo a  2 , b  3 y c  4 para verificar que la igualdad no se cumple para todos los valores de a, b, c  : VALORIZAR EXPRESIONES  

a   b  c   2   3  4  2 12  24

 a  b    a  c    2  3   2 4  6  8  48 Se verifica que 2   3 4   2  3   2  4 , por tanto a   b  c    a  b   a  c  no es una propiedad cierta. b) Este error se produce al extender la propiedad de simplificación de factores a la suma. Como

a b c b



a c

se piensa que también vale

a b c b



a c

Veamos que no es cierto para todo a, b, c  evaluando en a  2 , b  4 y c  6 , en efecto ab cb



24



6 4

6 10



2 6



a c

Aunque la igualdad puede ser cierta para algunos valores, no lo es para todo a, b, c  , por tanto no es una propiedad matemática válida. Ejercicios y Problemas Propuestos

1. Construye las expresiones algebraicas que representan cada situación y evalúalas para encontrar el valor específico que se solicita: a) En una fábrica de automóviles se comprobó que el rendimiento de combustible de un automóvil (km/litro) depende de su velocidad (km/hr), siendo igual a 180 menos la velocidad por 0,002 veces la velocidad. ¿Cuál es el rendimiento de un automóvil que se desplaza a velocidad constante de 50 km/hr? b) La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al cociente entre las resistencias parciales y su suma. ¿Cuál es la resistencia total de un circuito en paralelo con resistencias parciales = 4 ohm y = 6 ohm.





UNIDAD 3: LGEBRA

149

c) La deflexión de una viga está dada por la fórmula VALORIZAR EXPRESIONES  







Y 

 PL3 3 EI

, donde

: peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga. ¿Cuál es la deflexión de una viga si el peso es de 2,5 kg., su longitud es de 1,20 metros y la constante E=0,5? 2. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas válidas para todos los valores de sus variables: a) a2  b2   a  b 2 2

3

c)

2

x  y  x  y

b) a

3

b



a b

d) a  b  a  b e) an  m  an  am 3. Encuentre una expresión para el número de líneas que se necesitan para formar la figura del lugar n. Use esta expresión para determinar el número de líneas de la figura del lugar 125.

4. Se construye una escalera apilando adoquines, como se muestra en la figura. Determina una expresión para el número de adoquines que se necesitan para formar una escalera con x peldaños. ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 25 peldaños?

UNIDAD 3: LGEBRA

150

Manipulación algebraica

MANIPULACIÓN ALGEBRAICA 

El estudio del álgebra elemental considera dos objetivos fundamentales:



1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos involucrados en una situación. 2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas, transformarlas en otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el problema planteado. El primer punto permite tener control sobre el significado de las expresiones algebraicas que construimos, sin embargo, si la habilidad para transformar correctamente estas expresiones no ha sido desarrollada, el trabajo algebraico resulta infructuoso. Veamos un ejemplo. Problema 4: Considera el siguiente juego de adivinar un número:

1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste. 7. Dime el resultado y te diré que número pensaste. ¿Puedes adivinar el número que alguien más pensó? ¿Puedes explicar matemáticamente como es que se puede adivinar el número? Solución: Es posible que un primer intento consista en probar con algunos números en particular, desarrollando la expresión aritmética involucrada, por ejemplo: Si pienso en 3, el resultado será: 3  3  8  11 11 4  44  44 6  38 38: 2 19 19 3 16

Si pienso en 10, el resultado será 10 10 8 18 18 4  72 72 6  66 66: 2 33 33 10 23

UNIDAD 3: LGEBRA

151

Proceso que se puede continuar intentando encontrar alguna regularidad. Sin embargo, este camino no parece el más auspicioso. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

Dado que el número que se piensa es cualquiera, se puede considerar un número generalizado y el procedimiento se puede resumir en una expresión algebraica. En efecto, la traducción al lenguaje algebraico sería: 1. Piensa un número  a 2. Súmale 8  a  8 3. Multiplica el resultado por 4  4  a  8 4. A eso réstale 6  4  a  8  6 5. El resultado divídelo por 2 

4  a  8  6 2

6. A lo que quedó réstale el número que pensaste 

El resultado es la expresión

4  a  8  6 2

4  a  8  6 2

a

 a . Sin embargo, esta expresión,

por si misma, no responde la pregunta de por qué se puede adivinar el número pensado, es necesario reducirla. Mostraremos, aunque aún sin explicar del todo, el desarrollo algebraico que reduce la expresión: 4  a  8  6 2

a  

4a  32  6

2 4a  26 2



a

a

2  2a  13 2

a

 2a  13  a  a  13

Finalmente el resultado es equivalente a a  13 , es decir al número pensado más 13. Por tanto, basta tomar el resultado y restarle 13 para adivinar el número.

UNIDAD 3: LGEBRA

152

Analicemos los procedimientos implicados en la manipulación de esta expresión, asignándole algunos nombres: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

4  a  8  6

a 

2



4a  32  6

2 4a  26 2



a

Producto

a

Factorización

a

2  2a  13 2

 2a  13  a

Simplificación

 a  13

Reducción de términos semejantes

Reducción de términos semejantes

Terminología

Los procedimientos algebraicos se fundamentan en las propiedades de los números reales. Conocer y comprender estas propiedades es fundamental para que la manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido.

Expresión algebraica 3a 2b  2ac  5b3 Términos 2

3

3a b ;  2ac ; 5b

La reducción de términos semejantes tiene que ver con la suma y resta de expresiones que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo:

Factor literal

3b  5b

Factor numérico Las expresiones se clasifican según el número de términos

; 6 x2 y  4 x 2 y ; 5a3c  7a3c  a 3c

En la suma o resta de términos semejantes se aplica la propiedad distributiva a  b  a c  a  b  c

Monomio: Un término 3

4 xy

Binomio: Dos términos 3

n  2nm

Trinomio: Tres Términos 5az 2  bw  3c 4

Polinomio: Dos o más

Por ejemplo: 1. 3b  5b   3  5 b  8b 2

2

2

2

2.

6 x y  4 x y   6  4  x y  2x y

3.

5a c  7a c  a c   5  7  1 a c  1a c  a c

términos 3 p  2q  5r  s

3

3

3

3

3

3

UNIDAD 3: LGEBRA

153

Uso de paréntesis

MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

Los procedimientos algebraicos se justifican a partir de las propiedades de los números reales, sin embargo, la forma de proceder en álgebra es muy distinta al de la aritmética. Lo que fue efectivo en este ámbito, ya no lo es en un marco de resolución algebraico, es muy importante reconocer sus diferencias. Uno de los aspectos críticos de este cambio es el uso del paréntesis. En aritmética, generalmente, los paréntesis no son necesarios para llegar a un resultado. Así se puede comprobar en el ejemplo de la adivinanza del número desconocido: Si pensamos en el número 3, entonces 1. Piensa un número. 2. Súmale 8. 3. Multiplica el resultado por 4. 4. A eso réstale 6. 5. El resultado divídelo por 2. 6. A lo que quedó réstale el número que pensaste.

3 11 44 38 19 16

En aritmética, el resultado se deduce de una secuencia ordenada de operaciones y de resultados parciales, los paréntesis aparecen como una convención matemática que no tiene mucho sentido en este contexto. Sin embargo, asumir que también se puede prescindir de los paréntesis en álgebra, es un error que obstaculiza severamente el trabajo algebraico. Sabemos que el resultado de este problema para un número cualquiera se expresaba por 4  a  8  6 2

a

Si se obviaran los paréntesis la expresión sería otra, lo que no permitiría resolver correctamente el problema. Por tanto, poner mucha atención en este punto: al expresar simbólicamente una situación, se deben poner los paréntesis que indiquen el orden de las operaciones involucradas.

UNIDAD 3: LGEBRA

154

Reducción de paréntesis


Al expresar simbólicamente es necesario escribir los paréntesis, pero al manipular la expresión, por ejemplo para reducir términos semejantes, se requiere eliminar los paréntesis. La justificación matemática al eliminar paréntesis vuelve a ser la propiedad distributiva, pero ahora en sentido opuesto esto es a  b  c   a  b  a  c

Por ejemplo, reduzcamos la expresión x  2 y   3x  2 y  5   4 y  2x  3

Si consideramos que delante de cada paréntesis se puede escribir un factor 1, se tiene x  2 y   3x  2 y  5  4 y  2 x  3 

 x  2 y  1  3x  2 y  5  1   4 y  2x  3 

Aplicando la propiedad distributiva ocurrirá que: a) Los términos del paréntesis precedido por + se multiplicarán por 1, por tanto no cambian de signo. b) Los términos del paréntesis precedido por – se multiplicarán por -1, por tanto cambian de signo. Esto es x  2 y   3x  2 y  5  4 y  2 x  3 

 x  2 y  1  3x  2 y  5  1   4 y  2x  3   x  2 y  3x  2 y  5  4 y  2x  3  6 x  4 y  8

UNIDAD 3: LGEBRA

155

Producto de expresiones algebraicas


Problema 5: Se desea determinar una expresión para la superficie de la vereda que rodeará a un edificio en construcción. Se sabe que el largo de la base del edificio es el doble que su ancho y que la vereda debe tener 2 metros de ancho.

Solución: Supongamos que el ancho de la base del edificio sea w metros, el resto de las medidas se muestran en la siguiente figura: 2 2w w + 4

w

2w + 4

Área del rectángulo mayor:  2w  4 w  4 Área del rectángulo menor: 2w  w  2w2 El área de la vereda es igual a la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos, esto es

 2w  4  w  4   2w2 Ya está expresada algebraicamente el área de la superficie de la vereda, pero siempre que sea pertinente y posible hay que tratar de reducir la expresión. En este caso, realizar la multiplicación de las expresiones que están entre paréntesis permitiría luego reducir términos semejantes. Pero, ¿cómo multiplicar  2w  4 w  4 ?

UNIDAD 3: LGEBRA

156

Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, en efecto:

 2w  4   w  4   2w  4  w   2w  4  4


 2w  w  4  w  2w  4  4  4  2w2  4w  8w  16  2w2  12w  16

Multiplicación de potencias: Recordar

que

en

la

multiplicación de potencias de igual base “se conserva la base y

Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas:

se suman los exponentes”

n m nm b b  b Por ejemplo:

2

3

b  b   b  b   b  b  b 

Como se observa en la segunda línea, la aplicación reiterada de la propiedad distributiva describe el producto de todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, esto permite aplicar de forma reducida el siguiente procedimiento en el producto de expresiones algebraicas:

 b5

 2w  4   w  4  2w  w  4  w  2w  4  4 4

El orden en que se efectúen los productos da igual, lo importante es multiplicar todos con todos. Ahora ya podemos terminar de responder al problema planteado. La superficie de la vereda tiene área igual a:

 2w  4  w  4   2w2  2w2  4w  8w  16  2w2  12w  16

UNIDAD 3: LGEBRA

157

Problemas Resueltos


1. Reducir las siguientes expresiones:



a)   5a  2    a  1  (4a  6) b)

 3 xy

2



 2x  y 3 4x 2  5 y



Solución: a)    5a  2    a  1   (4a  6)    5a  2  a  1  4a  6    6a  1  4a  6   6a  1  4a  6   2a  7  2a  7

b)

 3 xy

2



 2 x  y 3 4x 2  5 y



 3 xy2  4x2  3xy2   5y    2x   4x 2    2x    5y   y 3  4x 2  y3   5y   12 x3 y 2  15xy3  8x3  10xy  4x2 y3  5y 4

2. La temperatura de una batería depende de la temperatura ambiente. Si en determinado momento la temperatura del ambiente es de T grados centígrados, la temperatura de la batería es 3T T  1  T  2 3T  4 . ¿La temperatura de la batería excederá a la temperatura ambiente en más de 10 Cº? Solución:

UNIDAD 3: LGEBRA

158

Al desarrollar la expresión se tiene 3T T  1  T  2 3T  4 

   3T 2  3T   3T 2  2T  8   3T 2  3T  3T 2  4T  6T  8


 3T 2  3T  3T 2  2T  8  T  8

Como se ve, la temperatura de la batería excede a la temperatura ambiente solo en 8 Cº. Ejercicios y Problemas Propuestos

1. Los siguientes esquemas muestran el orden en que se va operando con un número cualquiera n , determina la expresión que representa a cada uno:   : Ejemplo: n  2  3  5  7  4

 2n  3   7  5 

4

4 2 n  3 : 5  7 

ó

:    a) n  5   2  6  4  1 :   b) n  2  1  6  5  7 :   c) n  2  n  2  4  2n  3  1

2. Dada las expresiones algebraicas completa los esquemas que determinan el orden en que se realizaron las operaciones: Ejemplo:

3 n  2   1 4 

5 

:



n  2   3  1   4  5

UNIDAD 3: LGEBRA

159

a) 3 2  4n  5  6  1 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

n 

























 n 1   4 1 2   b) 3

7

n 







c) 3 2   5   1  7 4 n

 



n 







4. Reduzca las siguientes expresiones: a) x2 yz  3xy2 z  2xy2 z  2x 2 yz b)  3a  2   a  4 c)   2 x  y  5 z     y  4x  3z  d)   5a  2    a  1   (4a  6) e)



3 x  2 y  2 x   3x  2 y – 3x



 

  2x 

 

f)  a2  b2   ab  2a 2  b2  2ab   ab 

 

  abc h) x  5  x   x  x  5 i) ab a  a b    ab  ab  a  g)

2





3a b  2bc 2

2

3

2

2

2

2

j) t  5t  3  (4t  1)(4t  1)

k) 3 f  7  f  7   5  f  f  1 l)  nr  2s   ns 2  2s   2s nr  s  r 2  s 

UNIDAD 3: LGEBRA


160

5. Muestra que la suma de tres consecutivos es múltiplo de 3. Utiliza la expresión algebraica y redúcela. ¿La suma de 4 consecutivos es múltiplo de 4?, ¿y de cinco consecutivos es múltiplo de 5? Explica por qué si o no algebraicamente. 6. Explica el truco para adivinar el número pensado en los siguientes casos: a) Piensa un número Multiplícalo por siete Réstale el número que pensaste inicialmente Divide el resultado por seis Tu número es…. b) Piensa un número Súmale cinco Multiplica el resultado por dos Súmale el sucesor del número pensado Réstale dos Divide el resultado por 3 Tu número es… 7. Durante una prueba, la máquina A produce p latas, la máquina B produce el doble y la máquina C produce 6 latas más que B, ¿cuál es la producción total? 8. Se construye una canaleta de una pieza de aluminio, como se muestra en la siguiente figura. Si el precio de cada metro cuadrado de lámina de aluminio es $2500, determine una expresión para el costo de esta canaleta. 2x+10

UNIDAD 3: LGEBRA

161

Productos Notables


1. Cuadrado de binomio



Problema 6: Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de a metros de lado para bodega. Si el terreno se agranda b metros hacia cada lado, ¿cuál es su área?

Solución: a+b

a b + a

b a

b

El área de este terreno está dado por el producto  a  b 2 . Este tipo de productos recibe el nombre de cuadrado de binomio y pertenece a los denominados productos notables. Por cierto que podemos desarrollar el producto término por término, pero resulta mucho más interesante y a la larga también más práctico buscar una fórmula general para todos los cuadrados de binomios. El área del terreno es igual a la suma de las áreas de las partes que la componen, esto es

=

 a  b

2

=

+

a

2

+

+ ab + ab +

2  a  b   a2  2ab  b2

b

2

UNIDAD 3: LGEBRA

162

Por tanto el cuadrado de binomio de una suma es siempre es igual a la suma de tres términos: el cuadrado del primer término, más el doble del producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

2  a  b   a2  2ab  b2

Por ejemplo, si el terreno tiene lado x + 5 metros su área será 2  x  5  x2  2x5  52  x2  10x  25

De manera similar, podemos suponer que al terreno de lado a se le quita b metros en cada lado, el área del terreno resultante será

Hay que tener en cuenta que al restar los dos rectángulos se está quitando a su vez dos veces el cuadrado más pequeño, para compensar se agrega un cuadrado más pequeño al final. También es un cuadrado de binomio, pero de una diferencia. Por tanto el cuadrado de binomio de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo. 2  a  b   a2  2ab  b2

Podemos comprobar ambas fórmulas haciendo el producto término a término. En efecto, 2  a  b    a  b  a  b   a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2 2  a  b    a  b  a  b   a2  ab  ab  b2  a2  2ab  b2

UNIDAD 3: LGEBRA

163

2. Suma por su diferencia


Supongamos que ahora el terreno cuadrado de lado a se transforma en un rectángulo, sumándole b metros a uno de los lados y restándole los mismo b metros al otro lado: a b

b

b

a – b

a+b

a

 a  b a  b 

=

2 2 a b

Al reordenar las partes del rectángulo se ve como su área es igual a la diferencia del área del cuadrado de lado a con el área del cuadrado de lado b. Este producto se denomina “producto de una suma por su diferencia” y es siempre igual a la diferencia entre cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término.

 a  b  a  b   a 2  b 2 Podemos comprobar esta fórmula algebraicamente, en efecto

 a  b  a  b   a 2  ab  ba  b2  a 2  b 2 Un par de ejemplo de aplicación de la fórmula de suma por su diferencia: a)  x  3 x  3  x 2  32  x 2  9 b)  2 N  5  2N  5   2N 2  52  4N 2  25

UNIDAD 3: LGEBRA

164

3. Producto de binomios don término común


Supongamos ahora que un terreno cuadrado de lado x se transforma en un rectángulo, sumándole a un lado a metros y al otro b metros. La descomposición del terreno y sus áreas será x

b

x

=

+

+

+

a

 x  a  x  b 

Polinomio que solo contiene una variable x, de la forma: n

x

n

 an

n 1

1

x

x

2

+ ax +

bx



 a1x  a0

Donde cada coeficiente ai  con i  0,1, 2,..., n y an  0 .

Este producto notable se denomina producto de binomios con término común. En este caso el término común es x. El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del término común, más la suma de los otros dos términos por el término común, más el producto de los otros dos términos.

Se dice que el grado del polinomio es n. Mientras que

 x  a  x  b   x 2  a  b x  ab

a 0 se conoce como término

independiente de x.

5

2

4 x

2

 3x  2

Suma Producto Por ejemplo:

Por ejemplo:

x  3x  x  1

+ ab

 x  a  x  b   x 2  a  b x  ab

Polinomio en x

a

=

grado 5 grado 2

2 x  5

grado 1

4

grado 0

a)  x  3 x  2   x 2  5x  6 Suma Producto b)  3m  6 3m  2   3m 2  4 3m   12  9m2  12m  12 Suma Producto

UNIDAD 3: LGEBRA

165

La siguiente tabla resume los productos notables vistos aquí y agrega otros más:


Nombre Expresión 2 Cuadrado de a  b  binomio de una suma 2 Cuadrado de a  b  binomio de una diferencia Suma por su  a  b  a  b  diferencia Producto de  x  a  x  b  binomios con término común 3 Cubo de binomio a  b  de una suma 3 Cubo de binomio a  b  de una resta

Fórmula 2  a  b   a2  2ab  b2

2  a  b   a2  2ab  b2

 a  b  a  b   a 2  b 2  x  a  x  b   x 2  a  b  x  ab 3  a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 3  a  b   a3  3a2b  3ab2  b3

Problemas Resueltos

1. Desarrollar las siguientes expresiones usando fórmulas de productos notables: a)  n  32   n  32   n  3 n  3   n  3 n  2



b) 3a2b  2ab2



2

c)  x  y  32 d)  t  23   2t  23 Solución: a)  n  32   n  32   n  3 n  3   n  3 n  2 Cuadradros de binomio

Suma por su diferencia

2 2 2  a  b   a2  2ab  b2  a  b  a  b  a  b 2  a  b   a2  2ab  b 2

Producto de binomios con término común  x  a  x  b   x 2   a  b  x  ab

UNIDAD 3: LGEBRA

166

2 2  n  3   n  3   n  3 n  3  n  3n  2   2



2

2

n  2n3  3  n  2n3  3


2

  n

2



 32  n 2  5n  6 

n2  6n  9  n 2  6n  9  n 2  9  n 2  5n  6  7n  15





2

b) 3a2b  2ab2 Cuadrado de Binomio  a  b 2  a 2  2ab  b2



3a2b  2ab2

2

 

 3a2 b

2







 

 2 3a 2b 2ab 2  2ab 2

2



 9a 4b2 12a3b3  4a 2b 4

c)  x  y  32 Al colocar paréntesis se pueden agrupar los términos en binomios, luego se aplica las fórmulas de cuadrados de binomios de forma reiterada, esto es 2  x  y  3    x  y   3

2

2

  x  y   2  x  y  3  32  x 2  2xy  y 2  6  x  y   9  x 2  2 xy  y 2  6x  6 y  9 3  a  b  a3  3a 2b  3ab 2  b 3

d)  t  23   2t  23 Cubos de binomio

3  a  b   a3  3a 2b  3ab 2  b3

3 3  t  2   2t  2 3 2  t 3  3t 2 2  3t 22  23    2t   3  2t  2  3  2t  2 2  2 3     

 t 3  6t 2  12t  8  8t 3  6 4t 2  12  2t   8     

 

 t 3  6t 2  12t  8  8t 3  24t 2  24t 8       t 3  6t 2  12t  8  8t 3  24t 2  24t  8  7t 3  30t 2  12t  16

UNIDAD 3: LGEBRA

167

2. Los productos notables pueden ayudar a resolver rápidamente algunos cálculos numéricos. Úsalos para calcular: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

a) 232

b)

99

2

c) 41 39

Solución: a) 232   20  32  202  2  20  3  32  400  120  9  529 2  a  b  a2  2ab  b2

23 se escribe como suma y se aplica cuadrado de binomio b) 992  100  12  1002  2 100  1 12  10000  200  1  9801 2  a  b   a 2  2ab  b 2

99 se escribe como resta y se aplica cuadrado de binomio c)

2

2

41 39   40  1 40  1  40 1

 a  b  a  b   a 2  b2

41 se escribe como suma y 39 como resta y se aplica suma por su diferencia


1. ¿Es lo mismo  a  b 2 que a2  b2 ? Completa la siguiente tabla y responde. a

b

0 0 2 0 1 1 0 – 1

ab

 a  b

2

a2

b2

2

a b

2

UNIDAD 3: LGEBRA

168

2. Resuelve usando productos notables: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

a)  p  q 2 b)  2m  3n 2



c) x2  y3



2

d)  y  22



e) 5T  2TM 2



2

f)  x  y  x  y  g)  2 p  r  2 p  r 

 a  b  a  b  i)  2 x y z 1 2x y z  1 4

h)

3

4

2 3

3

2 3

j)  x  6  x  2  k)  m  3 m  5 l)  a  9 a  8 m)  2b  3 2b  6  n)  x  23 o)  2e  3 f 3 p)  L  33



q) anb  abm

3



3. Desarrolla las siguientes expresiones y reduce términos semejantes, cuando sea posible: a)  b  42   b  2b  3 b)  x  6 x  6   x  22 c)  2n  13   n  4 n  3  n  n  22

UNIDAD 3: LGEBRA

169

4. Utiliza productos notables que se indica para calcular el valor de: a) 312 MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

b) 292 c) 31 29 d) 33 32 5. En las siguientes expresiones agrupa en binomios usando paréntesis y utiliza las fórmulas de cuadrados de binomio para desarrollar: a)  a  b  32 b)  p  q  22 c)  f  h  52 6. La base de un edificio es un cuadrado de x metros de lado, al construir se cometió un error de 0,5 metros hacia cada lado, ¿En cuántos metros cuadrados excede la base del edificio respecto de su medida inicial? 7. Representa las áreas de las partes achuradas algebraicamente y desarrolla usando productos notables:

UNIDAD 3: LGEBRA

170

Factorización


Problema 7: El piso de un galpón tiene 247 mt2, se sabe que el ancho y el largo son números enteros y que el ancho es mayor que 1 mt. ¿Cuáles son las medidas de los lados del galpón?

Solución: Estamos suponiendo que el piso del galpón es rectangular, por tanto su área es el producto de su largo y su ancho. Debemos buscar dos números enteros cuyo producto sea 247. En este esos números son números primos 247  19 13

Las dimensiones del galpón son 19 y 13 metros. Para resolver este problema se hizo la factorización del número 247, esto escribirlo como el producto de números primos (no tienen más divisores que el 1 y si mismo). Pero no solo se factorizan números, algunas expresiones algebraicas, para determinados propósitos, también requieren factorización. Por ejemplo, supongamos que en el problema anterior el piso del galpón era un cuadrado de x metros de lado. Si el galpón se amplía una cierta cantidad de metros en su largo y su ancho el piso tendrá un área de 2 x  11x  24

mt2, ¿En cuántos metros se alargó el largo y el ancho del

galpón? Para este tipo de expresión podemos usar el resultado del producto de binomios son término común 2

x   a  b  x  ab   x  a  x  b 

Por tanto se debe buscar dos números cuya suma sea el valor que acompaña a x y su producto sea el término independiente de x esto es 2

x  11x  24   x  a  x  b  a b

ab

UNIDAD 3: LGEBRA

171

Es decir dos números a y b cuya suma sea 11 y cuyo producto sea 24. Los números son 8 y 3, por tanto MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

x 2  11x  24   x  8  x  3

Es decir, en el problema la solución es que el salón se amplía 8 metros de largo y 3 metros de ancho. Procedimiento: 1. Colocar los signos: x 2  5 x  6   x 

 x  

En resumen, un trinomio del tipo x2  Cx  D , con C y D en los reales, se factoriza de la forma

   

2

x  Cx  D   x  a  x  b 

2. Buscar los números (en valor absoluto) para

Donde a  b  C y ab  D

el producto: 2 x  5 x  6   x 

 x  

3 2

3. Colocar el número (valor absoluto) mayor

Ejemplos:

a) x2  6x  8   x  4  x  2 

primero: 42

x 2  5 x  6   x  3  x  2 

b)

m2  3m  10   m  5  m  2 

4. Verificar la suma de los

5  2

números: 2

x  5 x  6   x  3  x  2 

 3   2 

c)

4 2

 5  2

2

t  8t  12   t  6  t  2   6   2  6   2

d) x2 10x  25   x  5 x  5   x  52  5   5

 5   5

UNIDAD 3: LGEBRA

172

Factor común


Problema 9: En un proceso de embalaje se disponen de tres tipos de contenedores en los que se depositan las cajas con los productos fabricados. La cajas tienen 24, 36 y 60 cm. de ancho, ¿cuál debe ser el ancho máximo de las cajas para encajar de forma exacta en cualquiera de los contenedores?

24

36

60

Solución: Este es un problema de MCD, que puede ser resuelto factorizando cada uno de los números en sus factores primos. Buscaremos el mayor factor común entre estos números. 24  36  60  2  2  2  3  2 2  3 3  2  2  3 5

Los números en rojo son los factores primos en común, usando la propiedad distributiva este factor se puede escribir una sola vez, esto es: 24  36  60  2  2  3  2  3  5 

 12  2  3  5 

Lo que hicimos fue sacar el factor común 12 de cada uno de los términos. Esto implica que las cajas deben tener un ancho de 12 cm. para entrar de forma exacta en cada uno de los contenedores. Algunas expresiones algebraicas también admiten una factorización en factor común de sus términos y el procedimiento es análogo, descomponer en factores y reconocer los factores comunes. Ejemplo: Factorizar 12a3b2  18a 2b3  6a 4bc 12a3b 2  18a 2b 3  6abc  2  2  3aaa bb  2  3  3aa bbb  2  3abc



 2  3ab 2 a 2b  3ab 2  c



 6ab 2a 2b  3ab 2  c





UNIDAD 3: LGEBRA

173

Factorización de algunos tipos de binomios


Recuerda:

Factorización de diferencias de cuadrados 2 2 a  b   a  b  a  b

Factorización de diferencia de cubos

Es muy habitual hacer

a  b   a  b  a  ab  b 3

generalizaciones abusivas para algunas expresiones algebraicas, como

2

2



2



Factorización de suma de cubos

suponer que a2  b 2   a  b

3

2

a  b   a  b  a  ab  b 3

3

2

Basta comprobar que esta igualdad no se cumple para un par de valores de

Ejemplos:

a y b. De hecho la suma de cuadrados no se puede factorizar en

.

a) Diferencia de cuadrados a2  b2   a  b  a  b x



2

 x



9

 x  3 x  3

 2

4a

2

3



2

25 





 2a 

2

2

5

b) Diferencia de cubos x

3

 x

 2a  5 2a  5





8

 3

3

2

3 3 2 2 a  b   a  b  a  ab  b 

 x  2   x 2  x  2  22    x  2   x 2  2x  4

UNIDAD 3: LGEBRA

174

8a



3




3

3

1

c) Suma de cubos 

3

 x

2



 2a 

x

 2a 1   2a   2a 1  12    2a 1  4a 2  2a  1



1



27

a  b   a  b   a  ab  b 3

3

2

2



 x  3  x 2  x  3  32    x  3  x 2  3x  9 

 3

27a

3

3 3



 3a 





8

 3

3

2

 3a  2   3a   3a  2  22    3a  2  9a 2  6a  4 2

UNIDAD 3: LGEBRA

175

Aplicación de la factorización en la resolución de ecuaciones


Problema 8: En un terreno de 120 mt2 de superficie se construyó una casa de 8 por 10 mt. Se desea construir una vereda como se muestra en la figura, ¿cuál debe ser el ancho de la vereda para cubrir la superficie restante del terreno? 10

x

8

x

Solución: Área del terreno  x  10 x  8  120 Desarrollando el producto notable se tiene la ecuación 2

x  18x  80  120

Por conveniencia dejaremos en la ecuación el lado derecho igual a 0 2

x  18x  40  0

Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones cuadráticas y aunque, por el momento, no diremos mucho más sobre ellas, expondremos la utilidad de la factorización para resolverlas. En efecto factorizando se tiene

 x  20 x  2  0 En todo producto igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser igual a cero, utilizando esta propiedad podemos separar la ecuación en x  20  0

ó x  2  0

Lo que implica que x  20 o x  2 Como la primera solución no tiene sentido en el contexto del problema, la vereda deberá medir 2 mt. de ancho.

UNIDAD 3: LGEBRA

176


1. Encuentra el factor común de las siguientes expresiones: MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

a) 6ax  5bx  8cx b) 3a  6a2  9a3 c) 20 x3 y5 z 2  12x 2 y 4 z  16xy 3  4x 4 y 2 z 3 d)

15 3 4 27 4 3 9 2 3 21 3 2 x y  x y  x y  x y 21 28 14 35

e)

1 2 3 2 3 4 5 0, 3 nm 1 n m  n m  6 9

2. Factoriza las siguientes expresiones: a) x2  7 x  12 b) z 2  9z  18 c) b2  7b  60 d) n2 16n  36 e) r 2  6r  9 f) a 2  25 g) x 2  16 h) 4 x 2  16 i) 25n4  m2 p 6 j) a3  1 k) x3  64 l) 27 x9  8 y 6 m) x3  64 n) x6 y12  8x3 y 6 o) 125a3b3  8c3 p) ax2  4a q) 12 x2  36x  27 r) 500 x 3  20xy 2 s) 3a3b2  12a3bd  12a3d 2

UNIDAD 3: LGEBRA

177

3. Usa la factorización que se desprende de la suma por su diferencia para calcular los siguientes valores 2 2 a  b   a  b  a  b 


a) 112  92 b) 20012  20002 c) 1, 012 12 4. Muestre que la diferencia entre el cuadrado del sucesor de un número y el cuadrado del número es siempre un número impar. 5. Explica por qué la expresión n2  6n  9 no puede ser nunca un número negativa. 6. El número de diagonales D que se pueden trazar en un polígono depende de su cantidad de vértices v, a través de la fórmula D 

v  v  3 2

¿Cuántos vértices tiene el polígono de 35 diagonales? 7. Una lámina metálica mide 10 pulgadas más de largo que de ancho. En cada esquina se recortan cuadrados de 1 pulgada de lado. Se levantan los lados de la lámina para formar una caja sin tapa de volumen 24 pulg 3. ¿Cuánto mide el largo y el ancho de la lámina metálica?

1 x 1 x + 10

UNIDAD 3: LGEBRA

178

Fracciones Algebraicas


Para mostrar como operar con fracciones algebraicas analizaremos la manera de proceder con fracciones de números. Simplificación

En números es habitual buscar un divisor común al numerador y denominador para simplificar un fracción, por ejemplo: 36



60 Restricciones en las fracciones algebraicas

36 : 12



60 : 12

3 5

Pero, ¿cuál es el divisor común del numerador y denominador de la siguiente fracción algebraica?

Una fracción algebraica está definida solo cuando

2

x  5x  6

su denominador es

2 x  4

distinto cero. Es necesario identificar sus restricciones para asegurar que no se está dividiendo por cero.

Ya no es tan fácil, necesitamos otro procedimiento. En el caso de la fracción de números, la descomposición en factores primos también permite simplificar

Por ejemplo:

36 x  1 con

x  2 t 2

t  9

60

x  2

con t  3, t  3

a  1 con a  a  0, 1 a  a  1



2  2  3 3 2  2  3 5



3 5

De la misma forma, la factorización de los polinomios de la fracción algebraica permite su simplificación, siempre que esta factorización sea posible 2

x  5x  6 x2  4



 x  3  x  2 x  3   x  2  x  2 x  2

Asumimos que en esta fracción x  2 y x  2 .

UNIDAD 3: LGEBRA

179

Ejemplos: 12ab  6ab 2


a)

10a b  5a 2



2

p  2 p  1

5a

2

b)

p  7 p  6 2

m  8m 4

c)

m  4m 3



6 a b  2b  1



2

 2b  1



6b 5a

con a  0 y b 

1 2

 p 1  p  1 p 1 con p  6 y p  1  p  6  p  6  p  1

m  m3  8

2 m  m  2   m  2m  4



m  m  4 2

m  m  2  m  2

m  2m  4 2



m2

con m  0 , m  2 y m  2 Adición y Sustracción de Fracciones Algebraicas

Resolver

x 2

x  2x  1



2 2

x 1

Analizaremos la forma de sumar fracciones numéricas para establecer un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas. Recordemos que para sumar fracciones de distinto denominador, las fracciones se amplifican para obtener fracciones equivalentes con denominador igual al MCM. 5 12



3



10

55



36

12  5 10  6



25



60

18 60



43 60

Donde MCM (12,10)  60 Para utilizar un procedimiento equivalente para fracciones algebraicas, observemos como se realiza lo anterior descomponiendo en factores primos 5 12



3 10



5 22  3



3 2 5

Donde MCM (12,10)  22  3  5 , esto es, el MCM es igual al producto de la mayor potencia de cada uno de los factores de los denominadores.

UNIDAD 3: LGEBRA

180

Luego hay que amplificar por los factores que faltan para completar el MCM en cada denominador. MANIPULACIÓN ALGEBRAICA 

5





12

3



10

5 2

2 3



3 2 5



55 2

2  3 5



3 23 2 5  2  3



25 60



18 60



43 60

Por tanto el procedimiento para la suma de fracciones algebraicas será: x 2 x  2 x  1

1. Factorizar los denominadores



2 2 x 1

x

 x  1

2



2

 x  1 x  1

2. Determinar el MCM: MCM=  x  12  x  1 El producto de las mayores potencias de todos los factores 3. Amplificar: x   x  1 2   x  1  Multiplicar por los factores 2 x  1 x  1   x  1 que faltan para completar el  x  1   x  1  MCM en cada fracción 4. Sumar las fracciones x  x  1  2  x  1 2

 x  1  x  1 La fracción algebraica que se obtiene puede seguir desarrollándose, si así se requiere. Ejemplos:

1)

a a 1



4

a2



a   a  2



4   a  1

 a  1   a  2  a  2   a  1 a  a  2   4  a  1   a  1 a  2  MCM=  a  1 a  2

 

a 2  2 a  4a  1 a 2  3a  2 a 2  2a  1 a 2  3a  2

UNIDAD 3: LGEBRA

181

2) MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  



x  2 x  x  2 2



x  2

 x  2  x  1

x 3 x2





x 3 x2

5 x 1



5

MCM=  x  2 x  1

x 1

5   x  2  x  3   x 1   x  2  x  1  x  2    x  1  x 1   x  2  x  2   x  3   x  1  5   x  2    x  2  x  1 x  2





x  2  x  2 x  3  5x  10 2



x  x  2 2

x  2 x  11 2



x  x  2 2

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas se puede realizar el siguiente procedimiento: 3a  3 a  4 2

a2



3

1. Factorizar numeradores y denominadores

3 a  1

2. Simplificar

3  a  1

a2

a2

3. Multiplicar



 a  2  a  2  3



 a  2  a  2 3

  a  1 a  2 

 a  1 a  2   a 2  3a  2

Para la división de fracciones algebraicas, se ocupa la propiedad a c a d :   b d b c

UNIDAD 3: LGEBRA

182

Ejemplo:


2 2 2 t  9 t  6t  9 t  9 t  3   : t 3 t 3 t  3 t 2  6t  9



 t  3  t  3 t  3



t  3

 t  3  t  3

1


1. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas: x  3x  2 2

a)

x  5x  6 2

y  7 y  12 2

b)

y  8 y  15 2

m  6m  9 2

c)

m  9m  18 2

d) e) f)

2 a  25 2 a  4a  45

8ab  2b

2

16 a  b

2

2

m3  8 m2 a  27 3

g)

a 3 3

4

 x  1  x  5 h) 3 2  x  5  x  1  x  2  2. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas de las siguientes expresiones: a)

3 x x  1



x 1 x 1 2

UNIDAD 3: LGEBRA

183

b) MANIPULACIÓN ALGEBRAICA  

c) d) e) f)

1 m 1 4



x  1

2



m3 5

2 a a2

a 4 2

4



x  1



x 1

a a2

h) i)

k)





1 a2

2x  2 ( x  1)

3

2



5

36

x  2 x  1 x 1 2



x  1

a 1 a 1 2

a a 1



2

3



2a

1

a

x 1

 a  2

a a 2 3a  4a  4 2



2a

:

a a  a 1 2

7

a

2

j)

2

12a a  2 8a

2

g)

 2a  3

2 2

( x  1)



2

2 x 1

2 x

a  2 2a

m  2m  3

8 x  2

a



3m



2

 5a  6

2a  a  3 6a  a  2 2



2

3a  3



2 2 x  9 x  14 x  9x  14

x  49 2



x  49 2

2a  a 1 2



2 x 2

x 1

2  m 2 m3  2m 1   2 l)  : 2  m  2 m  7 m  9m  14  m  9m  14

3. Se tiene un envase de agua cilíndrico de radio r y altura h. Se tienen vasos con radio igual a la mitad del radio del envase y altura igual a un tercio de la altura del envase, ¿Cuántos vasos de agua se alcanzan a llenar con el envase?

UNIDAD 3: LGEBRA

184

4. Si dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R del circuito está dada por 1


R



1



R1



1 R2

Si una de las resistencia tiene 5 ohms menos que la otra, determine una expresión algebraica para la resistencia total R . 5. Dada la fracción algebraica a) ¿Para qué valores de n  b) ¿Para qué valores de n  c) ¿Para qué valores de n  d) ¿Para qué valores de n 

n3 n4

:

la fracción es positiva? la fracción es negativa? la fracción es cero? la fracción no está definida?

6. Verifica que las siguientes igualdades son correctas: 1

 

1

1

2

3

6

1



3 1

1



1

4 12



4

1 5



1 20

a) ¿Cómo se descompondría las fracciones

1 5

,

1

,

1

6 10

y

1

n

?

b) Demuestra algebraicamente la fórmula para descomponer la fracción 1

n

.

7. Demuestra que

 a  b 4

2



 a  b 4

2

 ab

UNIDAD 3: LGEBRA

185

Ecuaciones



ECUACIONES 

Entenderemos por ecuación algebraica a toda igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas presentes a cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros de la ecuación:

3 17

3 17 = 79

En este caso es el primer miembro de la ecuación y segundo miembro de la ecuación.

79

es el

Al reemplazar las variables en una ecuación por algún número real, puede resultar una igualdad verdadera o falsa.

=1 3∙117 = 79∙1 14 = 2 =2 3∙217 = 79∙2 11 = 11     =   

En nuestra ecuación, si reemplazamos por

Es decir:

, lo cual es falso.

Por otra parte, si reemplazamos por

Es decir:

resulta:

resulta:

, lo cual es verdadero.

Este último caso es de especial interés, dado que la igualdad es verdadera para un determinado valor de . Cuando encontramos el o los valores numéricos de la variable que hacen verdadera una determinada ecuación, diremos que estamos resolviendo una ecuación. En este proceso dejamos sola la variable a un lado de la ecuación, lo cual recibe el nombre de despejar la variable. Toda ecuación de la forma , con y constantes y el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado.

≠0

, recibe

Ejemplo: Pablo tiene un hermano que es 27 centímetros más alto que él, si el hermano de Pablo mide 1.55 metros. ¿Qué estatura tiene Pablo?

UNIDAD 3: LGEBRA

186

Solución: La letra P, representa la edad de Pablo. Entonces en virtud del enunciado: ECUACIONES



 0.27 = 1.55  = 1.550.27 = 1.28 1.280.27 = 1.55

Restando a ambos lados 0.27:

Comprobación:

Propiedad de la Suma

Esta propiedad señala que al sumar o restar un número real a ambos lados de una ecuación, esta no se altera.

    =    =      =    = 

Sean y dos números reales, y si se tiene que:

, entonces para todo número real

Sean y dos números reales, y si se tiene que:

, entonces para todo número real

 

Ejemplo:

2

Resolver la ecuación: w   3 5

Solución: Podemos aplicar la propiedad de la suma, sumamos a ambos lados el número 2 5

, resulta:

2

17

5

5

Como 3  

, entonces:

  25  25 = 3 25  = 157

UNIDAD 3: LGEBRA

187

En general, dada una igualdad

ECUACIONES



  =      =   =  

Si sumamos el opuesto de a ambos lados de la ecuación y simplificamos, despejaremos el término :

Este procedimiento se reconoce con frecuencia como “pasar restando”, pero en realidad lo que ocurre es que se el término b se reduce a cero al juntarlos con su opuesto – b. En resumen:

   = ,   =     =  –     =  =  

Del mismo modo para

Se suma el opuesto de

a ambos lados de la ecuación y simplificamos:

El término – b no “pasó” sumando al otro, se redujo a cero al sumarle su opuesto b. Por tanto:

   = ,   =    15 = 3 15  = 315 = 12  15 = 1215 = 3

Ejemplo: Resolver la ecuación: Solución:

Sumando el opuesto de

Comprobación:

y aplicando la propiedad anterior resulta:

UNIDAD 3: LGEBRA

188

Ejemplo: Un automóvil recorrió 80 km. a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia señalada? 

ECUACIONES

Solución: Sabemos que la velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo, situación que representamos a través de la siguiente fracción:

O bien:

 =   =  ∙ 80 = 60∙

Sustituyendo los valores de la velocidad y el tiempo en esta ecuación, se tiene:

 60 1 ∙80 = 60 1 ∙ 6 0∙  43 = 

Para despejar la variable , multiplicamos por el inverso multiplicativo de 60 a ambos lados de la ecuación:

Simplificando obtenemos:

4

Lo que significa que el tiempo transcurrido es t  (horas), equivalentemente 1 hora y 20 minutos. El ejemplo anterior motiva la siguiente propiedad: Propiedad de la Multiplicación

Si

,  

 =  ∙ =  ∙

y son números reales, y si

, entonces:

3

UNIDAD 3: LGEBRA

189

Notar que multiplicar o dividir por un número diferente de cero, es produce una propiedad equivalente, esto es: ECUACIONES



Si

,  

 ∙ 1≠ =0 ∙ 1 =     = 

y son números reales con

O bien:

Ejemplo: Resolver la ecuación:

y si

, entonces:

Solución: Como podemos ver en la ecuación anterior, el coeficiente que acompaña la variable es y su recíproco o inverso multiplicativo es , luego







43∙34  = 43∙6 243 = 8  =   = 8: 34  = 34 ∙8 = 3∙2 = 6  ∙ =   ≠0  ∙ =  ⟷  ∙ ∙ 1 =  ∙ 1 ⟷  =    ∙ =    ≠ 0,  = 

multiplicamos ambos lados de la ecuación por :

Luego:



Comprobando con

En general si un término distinto de cero está multiplicando a un lado de una ecuación:

Luego, al multiplicar por el recíproco de , con ecuación y simplificando, resulta:

Por lo tanto:

a ambos lados de la

UNIDAD 3: LGEBRA

190

De la misma manera si un término diferente de cero está dividiendo a un lado de la ecuación:



ECUACIONES

 =   =  ↔  ∙  =  ∙ ↔  =  ∙

Podemos multiplicar por el a ambos lados de la ecuación, obteniendo:

En consecuencia el término “pasa” al otro lado de la ecuación multiplicando. Por lo tanto:

Ejemplo:

  =    ≠ 0,   =  ∙  5 =  

Resolver la ecuación: Solución: Dada la ecuación:

5 =  103  =  3∙510 =  23

Procedemos utilizando la propiedad anterior, 5 “pasa” di vidiendo al lado derecho de la ecuación:

UNIDAD 3: LGEBRA

191

Ecuaciones de una variable en ambos miembros de la igualdad

ECUACIONES



Es tipo de ecuaciones se basa en la igualdad de dos ecuaciones de primer grado, utilizando la propiedad de la suma podemos “dejar” a un lado de la ecuación el término algebraico y al otro lado el término numérico. Problema 9: Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está llenando a razón de 45 litros de agua de otro recipiente B que contiene 1000 litros. ¿En cuánto tiempo tendrán la misma cantidad de agua ambos recipientes?

Solución:



En minutos, el recipiente A tendrá



55045

litros de agua.

1000 45 55045 = 1000 45  45 55045 45 = 1000 45 45 55090 = 1000 55055090 = 5501000 90 = 450  = 49050 = 495 = 5

En los mismos minutos, el recipiente B tendrá

litros de agua.

Ahora bien, tenemos que igualar ambas expresiones y encontrar el valor de que haga verdadera la ecuación, esto es:



Procederemos combinando las propiedades anteriores, con el objetivo de “despejar” la variable . Sumando a ambos lados de la igualdad:

Simplificando:

Ahora sumamos el inverso aditivo de 550 a ambos lados de la ecuación:

Simplificando:

Dividimos por 90:

UNIDAD 3: LGEBRA

192

 = 5 550 45 = 55045∙5 = 775 1000 45 = 100045∙5 = 775 Comprobando con además

ECUACIONES



, se tiene

, y

, por tanto la igualdad es verdadera.

Problemas Resueltos

Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. Al mismo tiempo, otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil? Solución: Identificamos la información: -

La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h. La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h. La distancia entre las ciudades A y B es 614 km. 95 km/h

A

120 km/h Punto de

B

encuentro

614 km

Establecer una estrategia de resolución: Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. Luego, considerando la distancia entre las ciudades A y B, se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada incógnita.

 ∙  = .

UNIDAD 3: LGEBRA

193

Ahora resolvemos el problema: ECUACIONES



 = 

La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: , donde es la distancia recorrida por el automóvil , el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia y la velocidad del automóvil. Despejando la variable de la fórmula anterior se obtiene:



     ∙  =  ∗



Sea la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre kilómetros hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación.

614 

95 km/h

120 km/h Punto de

A



encuentro

B

614 

Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien coinciden en horario, por lo tanto, ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo. Llamaremos al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse.



Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula las siguientes dos ecuaciones:

95120 == 614   1   2

∗

, obtenemos

Cuando aparecen dos ecuaciones a resolver simultáneamente, recibe el nombre de sistema de ecuaciones, para resolver este tipo de problemas existen varias técnicas, que más adelante estudiaremos con detalle. Si observamos la ecuación (1), se tiene que la variable reemplazarla en la ecuación (2), obtenemos la ecuación lineal: , la que pasamos a resolver:

120 = 614 95

 = 95

, al

UNIDAD 3: LGEBRA

ECUACIONES

194

120 = 61495 120 95215 ==614614 /:215  ≈ 2,86∗  = 2,86 614271,7 = 342,3  =



*valor aproxiamdo a la centésima

271,7

Reemplazando el tiempo h en la ecuación (1), se tiene que km, por lo tanto, el otro vehículo recorre km.

Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación:

2,86 = 2 ℎ  ,∙≈0,86ℎ 2,86 2 52

Por lo tanto, aproximadamente.

horas corresponde a

horas y

minutos

Finalmente, se concluye que los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271,7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km.


a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno? b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y el de su asistente a $11.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero, puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple. Para una mujer, si es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura (en cm) se puede encontrar con la fórmula ; para un hombre, debe usarse la fórmula



ℎ = 653, 1 4 ℎ = 73,6 3

ℎ

UNIDAD 3: LGEBRA

ECUACIONES



195

i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm, ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento? ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m ¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento?

ℎ ℎ = 227  



d) La altura (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación , donde es la temperatura del suelo y el punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies. e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. Por experiencia, Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo. Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol? f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a Martina, para ayudarle, pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones? g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren? h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h. Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa? i) La altura sobre el suelo de un cohete de juguete, segundos después de que es lanzado, está dada por ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo?

ℎ

 ℎ = 16  120

UNIDAD 3: LGEBRA

ECUACIONES



196

 ℎ 1000100 580 100

ℎ=  = 100 – 

j) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación . La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña. (sugerencia: use la fórmula cuadrática con ) k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2?

l) Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina el peso de cada cubo. T C

R

E

R

R

S

L

L

C

E

UNIDAD 3: LGEBRA

197

Sistemas de ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES  

Un sistema de ecuaciones, es en buenas cuentas, es un conjunto de ecuaciones con dos o más incógnitas, que forman un problema que consiste en encontrar los valores para las variables involucradas que satisfacen las ecuaciones simultáneamente. Introduciremos tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, a través de tres problemas ad-hoc. Problema 10: Pablo le dijo a su hermana Sandra: “Si le sumas 1 a mi edad, obtendrás un número igual que duplicar la edad de Eduardo, luego de disminuirla en 1. Si le restas 1 a mi edad, obtendrás un número igual a la edad de Eduardo aumentada en 1”

Solución: Llamemos entonces:



a la edad de Pablo y llamemos

 1 = 2 1  1 =  1  2 = 2   = 2   = 22  = 2



a la edad de Eduardo,

Reescribiendo las ecuaciones anteriores, de modo tal que las variables aparezcan a la izquierda y los coeficientes numéricos a la derecha:

Procederemos a despejar una de las dos variables involucradas en cada ecuación, en nuestro caso elegimos la variable , por lo tanto:

UNIDAD 3: LGEBRA

198



Observemos que ambas ecuaciones representan a una misma variable a través de dos expresiones algebraicas diferentes, por tanto podemos igualar ambas ecuaciones:

22 = 2   =4   = 2 = 24 = 6


Ahora, resolvemos para :

Luego, utilizamos cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema para hallar el valor de la variable , en efecto de la segunda ecuación:

Por lo tanto Pedro tiene 6 años y Eduardo 4 años.

Hemos resuelto el sistema a través del método de igualación, que a continuación detallamos:

Método de Igualación

Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Despejamos una misma variable en ambas ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Igualamos las expresiones resultantes para las variables que se han despejado en el paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de igualar las expresiones algebraicas. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

UNIDAD 3: LGEBRA

199

  

Problema 11: Si a la fracción , le restamos 1 al numerador y sumamos 3 al


denominador obtenemos . Por otra parte, si sumamos 2 al numerador y restamos 2 al denominador obtenemos . ¿Cuál es el valor de la fracción? Solución:

Del planteamiento anterior, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones:

 13 = 23  22 = 52

Observemos que el sistema anterior no se asemeja a un sistema compuesto por dos ecuaciones lineales o de primer grado, sin embargo, si asumimos que los denominadores del lado izquierdo son diferentes de cero o bien , entonces podemos multiplicar “cruzado”, así:

3, ≠ 2

3 1 = 2 3 2  2 = 5 2 3 2 = 9 2 5 = 14 6 4 = 18 6 15 = 42

≠

Multiplicando y simplificando el sistema anterior se puede reescribir como:

Luego, multiplicando por 2 la primera ecuación y por 3 la segunda ecuación, se obtiene:

UNIDAD 3: LGEBRA


200



Observemos que en este sistema, en ambas ecuaciones los coeficientes de la variable son iguales, por tanto restando ambas ecuaciones se tiene (la segunda menos la primera):

6 15 6 4 = 4218 11 = 60  = 6110 3 2∙ 6011 = 9  1 120 1 99120 1 219 73  = 3 ∙  9 11  = 3 ∙ 11  = 3 ∙ 11  = 11  = 731160 = 7603 11  13 = 711603 13 = 119362 = 6932 = 23 11 73 1195  22 = 1160 22 = 1138 = 9385 = 52 11 11

Simplificando:

Dividiendo por -11:

Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales:

Resolviendo para :

Luego, la fracción buscada es:

Comprobando:

UNIDAD 3: LGEBRA

201

Para resolver este tipo de problemas empleamos el método de reducción. SISTEMAS DE ECUACIONES  

Método de Reducción

Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Multiplicamos cada ecuación por aquellos coeficientes o números que nos permitan, en ambas ecuaciones, obtener coeficientes iguales de alguna de las variables involucradas. 2. Sumamos o restamos las ecuaciones para simplificar una variable, con esto logramos una ecuación en una variable. Arquimides, considerado uno de los más grandes pensadores de la antigüedad. Se cuenta que el rey Herón sospechaba que un joyero

había

adulterado

la

corona de oro puro que le había encargado a fabricar, y le pidió a Arquímides que confirmara o desechara su teoría. Un día, mientras

tomaba

un

baño,

3. Resolvemos la ecuación que resulta luego de simplificar una variable. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

Arquímides pensó que el agua que se desbordaba en la tina, tenía que ser igual al volumen de

su

cuerpo

que

estaba

sumergido, y salió desnudo por las calles de Siracusa (Sicilia) gritando “¡Eureka, Eureka!” (¡Lo

encontré!). Basándose en esta idea

pudo

determinar

el

Problema 12: Dados dos materiales diferentes con iguales volúmenes, obtendremos en general pesos diferentes. El peso depende del material utilizado, en esto consiste el peso específico o densidad de un determinado material, se expresa en . Por ejemplo si un bloque de vidrio pesa 10 kilos, el mismo volumen de agua pesa 3 kilos, entonces la densidad del vidrio en relación al agua es de 10/3, aproximadamente 3,33.

/

volumen de la corona. De esta forma pudo comprobar que la corona tenía un volumen mayor que el de un objeto de oro del mismo peso, y por consiguiente la corona no era de oro puro

La suma de las densidades del acero y del oro es de 27,08. La densidad del oro es mayor que la del acero, pero si restamos 5,72 a la densidad del oro y le sumamos 5,72 a la del acero, obtenemos dos cantidades iguales. ¿Cuál es la densidad de cada material?

UNIDAD 3: LGEBRA

202



  5 5,72==27, 085,5,72   = 27,0808     5,72 = 27,085,72  2 = 27,7,2 0808  5,5,7272  5,5,7272 = 38,38,52 :   19,19,26   = 27,27,08  = 7,82  5, 72==19,1919,,22665, 7,7,828722==27,7,213,080584  5, 5,72 = 7,822  5,72 = 13,5454

Solución: Llamemos a la densidad del oro y a la densidad del acero. Luego, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: SISTEMAS DE ECUACIONES  

Despejando de la primera ecuación:

Sustituyendo en la segunda ecuación:

Resulta una ecuación en la variable , la cual procedemos a resolver:

Diviendo por 2 para despejar

=19,26

Ahora sustituyendo el valor de , en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en nuestro caso la primera:

Se obtiene el valor de

.

Comprobando:

Por lo tanto se satisfacen ambas ecuaciones.

A continuación se detalla el procedimiento utilizado para resolver el sistema sistema precedente.

UNIDAD 3: LGEBRA

203

Método de sustitución


Al momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando este método, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Despejamos una variable en alguna de las ecuaciones del sistema (cualquiera). 2. Sustituimos la variable del punto anterior, en la otra ecuación del sistema. 3. Resolvemos la ecuación que resulta luego realizar la sustitución. 4. El valor obtenido de la ecuación anterior, es sustituido en cualquiera de las ecuaciones del primer paso, de este modo calculamos el valor de la otra variable. 5. Comprobamos, reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones originales.


1.

Resuelva los siguientes sistemas de ecuación:

{24 =4= 42 {5 =153 =306  = 32  53 5   = 10

{812  34==227 4 21   1 ==212 8 4

2. En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas de dos tipos, unas de $ 100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes.

UNIDAD 3: LGEBRA

204



Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa e en cada caso? SISTEMAS DE ECUACIONES  

Pilar:

Mario:

    = 33 3 3 100 500 = 8.500 = 8500 85= 0033

3. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes problemas: i. Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río respecto de la orilla? ii. El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg, para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado B colombiano y grado A de Arabia y se requiere? iii. Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero? iv. Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán comunicarse entre sí?

UNIDAD 3: LGEBRA


205

v. Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican? vi. Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así, del primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el

 



segundo se vació al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació al primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada tubo inicialmente?

UNIDAD 3: LGEBRA

206

Ecuación de Segundo Grado

ECUACIÓN DE La ecuación general de segundo grado tiene la forma: SEGUNDO GRADO  

Con

,,  ∈ ℝ  ≠ 0 ,

.

     = 0

Para resolverla realizaremos completación de cuadrados:

     = 0    =         =   ≠ 0:       =          2   =    2             2 =    2 =    4       2 = 4 4      4   √    2 = ± 4 = ± 2  4

Dejando el coeficiente numérico al lado derecho de la igualdad:

Factorizando por al lado izquierdo:

Recordemos que:

  2  =   2 2   2  

Dividiendo por

Sumando a ambos lados izquierda:

, para completar un cuadrado de binomio a la

Formando el cuadrado de binomio a la izquierda:

Sumando los términos numéricos a la derecha:

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad: igualdad:

UNIDAD 3: LGEBRA

207

±−

El símbolo aparece debido a que el cuadrado de ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO  resulta ser 



, por lo tanto:

 −  − o de

,

   = ± √ −     √  4   ±√  =  2 ± 2 = 2  4  =  ±√2  4 ±

Dejando la variable a la izquierda, se obtiene:

Finalmente la solución general de la ecuación de segundo grado, puede escribirse como:

Observemos que el símbolo significa que en la fórmula anterior se puede realizar la suma como la diferencia, y por lo tanto habrá dos soluciones para la ecuación general, a saber:

    √  4   √  = 2 ;  = 2  4   = 0   = 0  ∆4,

Cuando el coeficiente es cero, la ecuación cuadrática desaparece, y por tanto la aplicación de la fórmula anteriro no tiene sentido. Con , la ecuación resulta: , la cual es de primer grado y ya sabemos resolverla. Por otra parte la cantidad subradical recibe el nombre de discriminante y se representa por el símbolo . Dependiendo de los valores de y el discriminante puede ser negativo, en tal caso diremos que la ecuación no tiene solución real.

,  

UNIDAD 3: LGEBRA

208

Ejemplo:

9  6 1 = 0   6 1 = 0 9 9  = 6  = 1

ECUACIÓN DE Resolver la ecuación: SEGUNDO GRADO  

Solución:

=

De la ecuación , podemos distinguir los coeficientes: , , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:

 =  ±√2  4 = 6± 2∙96  4∙9∙1  = 6 ±√ 183636 = 186 = 13  =     1 = 0    1 = 0   = 1  = 1  = 1  =  ±√2  4 = 1± 2∙11  4∙1∙1  = 1 ±√ 21 4 = 1 ±√ 2 3    1 = 0  ∆= 3 < 0 Realizando los cálculos aritméticos:

De aquí que la única solución es el discriminante es cero.

. Observemos que esto ocurre cuando

Ejemplo:

Resolver la ecuación: Solución:

De la ecuación , podemos distinguir los coeficientes: , , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:

Realizando los cálculos aritméticos:

De aquí deducimos que la ecuación puesto que .

, no tiene solución real,

UNIDAD 3: LGEBRA

209

Ejemplo:

  3 2 = 0   3 2 = 0  = 1  = 3  = 2  =  ±√2  4 = 3± 2∙13  4∙1∙2  = 9 ± √ 29 8 = 9 ±2√ 1 = 9 ±12    1 = 0  ∆= + 1 > 0 −   =  =  = 5;  =  =  = 4  = 5  = 4

ECUACIÓN DE Resolver la ecuación: SEGUNDO GRADO  

Solución:

De la ecuación

, podemos distinguir los coeficientes:

, , , así al reemplazar en la fórmula que resuelve la ecución general, obtenemos:

Realizando los cálculos aritméticos:

De aquí deducimos que la ecuación , tiene dos soluciones reales, puesto que , a saber las soluciones son:

Finalmente, las soluciones son

y

.

Problemas Resueltos

1. Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2176 m 2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles. Solución: Identificamos la información: -

El terreno es rectangular. Se disponde de 200 metros para cercar terreno. El área del terreno debe ser 2176 m2.

Estableciendo una estrategia de resolución:

UNIDAD 3: LGEBRA

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO  

210

Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego, considerando el perímetro del rectángulo, se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo, se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2, que es el área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada. Resolviendo el problema:





Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1.

Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al perímetro y se despeja una de las dos incógnitas:

22 22 == 200200 /:2   ==100100 1 Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.

UNIDAD 3: LGEBRA


211

Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m 2 y el área de un rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces, la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es:

 ⏟ ∙ 1 00 = 2176  100  = 2176

Ahora debemos resolver la ecuación anterior

Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. Para resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los parámetros y de una ecuación cuadrátrica, obteniendo:

,  

En este caso

  100 2176 = 0  = 1  = 100  == −±√ 2176−       100  100  4∙1∙2176  = 2∙1 8704 = 100 100√ 1296√ 100002 10036 = 2 = 2 = 68     100   100  4∙1∙2176  = 100 √ 100002∙1 8704 = 100 √ 1296 2 10036 = 2 = 2 = 32 ,

y

reemplazan en la fórmula cuadrática

. Luego, estos números se , de donde obtenemos:

UNIDAD 3: LGEBRA

x x

Finalmente se reemplaza y en la ecuación (1) para calcular, en cada caso, la medida del largo del rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será 32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO  

Luego, las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros.


1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix.

94  118 1045==00 2812 57454018==00 25 3  +40 ==10 −  − =  ++ √ 2=4√ −+ 2 = 0

2. La suma de los cuadrados de dos números es igual a 157. El menor de ellos es igual a 6. ¿Cuál es el mayor? 3. Encuentra dos números cuya suma sea -2 y cuyo producto sea -48. 4. El papá de mi amigo vivió muchos años. Poco antes de morir, me dijo: “Soy un hombre afortunado pues he logrado conocer tantos nietos que el número de ellos multiplicado por la cuarta parte del mismo número es igual a 256. Además, mi edad es ya el triple del número de nietos que tengo”. ¿Cuántos nietos y qué edad tenía en ese momento? 5. A la hora del almuerzo, un profesor repartió entre sus alumnos los fondos que había reunido durante el año, que ascendían a $200, asignando a cada uno cierta cantidad. Antes de terminar la repartición llegaron 5 alumnos más, por lo que repartió nuevamente, tocando a cada uno $2 menos que en la primera repartición. ¿Cuántos alumnos eran inicialmente?

212

UNIDAD 3: LGEBRA


213

6. Una panadería reparte 120 piezas de pan que sobraron el día anterior entre cierto número de personas, y a cada una le toca una cantidad igual. Al ver la reacción de las familias del poblado, el dueño decide repartir al día siguiente igual número de piezas de pan, sólo esta vez llegan 4 personas más y a todas las personas les tocan 5 piezas menos. ¿Cuántas personas llegaron cada día? 7. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal es 4 unidades mayor que cualquiera de los lados. 8. Un vendedor de frutas compró un cierto número de racimos de plátano por $400. Cinco racimos estaban muy maduros y no pudo venderlos, así que aumentó $10 al precio de cada uno de los racimos sobrantes, y al venderlas todas obtuvo una ganancia de $50. ¿Cuántos racimos compró inicialmente? 9. Los antiguos griegos consideraban que los rectángulos más bellos eran aquellos a los que si se les quita un cuadrado de lado igual a su lado menor, las razones de los lados originales y los nuevos lados son iguales, es decir, si uno de dichos rectángulos tiene lado largo a y lado corto b y se le quita un cuadrado de lado b, el rectángulo tiene un lado b y un lado a-b. En consecuencia, si , decimos que el rectángulo es un rectángulo de oro y la razón de sus lados se llama razón de oro. ¿Cuánto vale la razón de oro?

 = −  = 

10. El área de un triángulo rectángulo mide 24 metros cuadrados, y la hipotenusa mide 10 metros. Calcula las longitudes de los catetos. 11. Los catetos de un triángulo miden x y 2x-10. La hipotenusa mide 2x-1. ¿Cuánto mide cada cateto y cuánto mide la hipotenusa del triángulo? 12. Un terreno de forma de triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones: uno de los lados mide 144 metros y la hipotenusa es 9 metros más 8 veces el otro lado. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?, ¿Qué área tiene? 13. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 390 metros. La altura sobre la hipotenusa mide 60 metros. Calcula las longitudes de los lados del triángulo.

UNIDAD 3: LGEBRA

214

Intervalos

INTERVALOS 



<≤  ∈ ℝ  ∈ ℝ        . < ,  =  ∈ ℝ: <  < }

Para definir un intervalo utilizaremos la notación de conjuntos y las relaciones de orden ó . Recordemos que un número será menor que un número real , cuando la diferencia , sea un número real positivo. Además diremos que es menor o igual a si y sólo si es menor a o bien es igual a i. Si

, definimos el conjunto:

Se llamará conjunto abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

ii. Si

<

, y ambos son incluidos en el conjunto, definimos:

[, ] =  ∈ ℝ:  ≤  ≤ }

Se llamará conjunto cerrado y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

iii. Si

< 

, y es incuido en el conjunto, definimos:

[,  =  ∈ ℝ: ≤  < }

Se llamará conjunto semi-abierto representaremos de la siguiente forma:

y

geométricamente

lo

UNIDAD 3: LGEBRA

215

iv. Si

INTERVALOS 



< 

, y es incluido en el conjunto, definimos:

, ] =  ∈ ℝ: <  ≤ }

También se llamará conjunto semi-abierto y geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

v. Si

 ∈ℝ

, se define el conjunto:

∞, =  ∈ ℝ:  < }

, 

Conjunto formado por todos los números reales menores que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vi. Si se incluye en el conjunto, se define:

∞,] =  ∈ ℝ:  ≤ }

,

Conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

vii. Si

∈ℝ

,


,∞ =  ∈ ℝ:  > }

Conjunto formado por todos los números reales mayores que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

UNIDAD 3: LGEBRA

216

viii. Si

∈ℝ


[,∞ =  ∈ ℝ:  ≥ }

DESIGUALDADES 



,

Conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que geométricamente lo representaremos de la siguiente forma:

Inecuaciones Lineales

<,>,≤,≥

Una expresión que contenga los símbolos se llama desigualdad. Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser numéricas o algebraicas. Las siguientes son desigualdades:

13 16< 7≥ 9    2 < 52

Si tenemos una desigualdad, el conjunto solución de esta, es un conjunto de números, cada elemento de los cuales, cuando es reemplazado en cada aparición de la variable, resulta una desigualdad verdadera. La gráfica del conjunto solución de una desigualdad se ubica en la recta numérica.

>3

El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son mayores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.

<3

El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son menores que 3, sin embargo, el 3 no está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo blanco simboliza esta situación.

UNIDAD 3: LGEBRA

DESIGUALDADES 



217

≤3

El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son menores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el paréntesis cuadrado simboliza esta situación:

≥3

El conjunto solución de , es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que 3, en este caso el 3 si está incluido en el conjunto solución, en la gráfica el círculo redondo simboliza esta situación.

 3 > 7  = 5,9,  53 > 7 93 > 7 193 3 > 7  = 4,  , 4 33 > 7 23 3 > 7 43 > 7  3 > 7

Consideremos la desigualdad: , luego podemos verificar que para los valores de , la desigualdad es verdadera:

Por otra parte, se verifica que para los valores de es falsa:

, la desigualdad

Para la desigualdad hay muchos valores para los cuales es verdadera, en efecto el conjunto solución que la hace verdadera es cualquier número mayor que 4.

UNIDAD 3: LGEBRA

218

Propiedad aditiva de las desigualdades 

DESIGUALDADES 

El mismo número se puede sumar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:

  <> ,,      <      >   ≤≥   ≤≥ ,,      ≤      ≥   7>4 73 > 4310 > 7

Para el caso de los símbolos y , la propiedad es equivalente:

Ejemplo: Si comenzamos con una desigualdad verdadera , utilizando la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 3 a ambos lados, obtenemos: , simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: . En el siguiente ejemplo, realizaremos el mismo análisis pero con números negativos.

9 < 1

Ejemplo: Comencemos con la desigualdad verdadera , utilizando nuevamente la propiedad aditiva de las desigualdades y sumando 2 a ambos lados, obtenemos: , simplificando ambas sumas, logramos una nueva desigualdad verdadera: -

92 < 127 < 1

Problemas Resueltos

1. Resuelve y grafica la desigualdad: Solucion:

5 6 ≤ 4 4

  5 4 6 ≤ 4 4 4

Como podrás observar en la desigualdad anterior, en ambos lados de la desigualdad aparece la varialble , nuestro primer objetivo es dejar la aparición de la variable a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos a ambos lados:

4

UNIDAD 3: LGEBRA

219

Simplificando: 

 6 ≤ 4

DESIGUALDADES 



Nuestro segundo objetivo será dejar la variable sola a la izquierda de la desigualdad, para esto sumamos 6 a ambos lados:

Simplificando se obtiene:

 66 ≤ 46  ≤2 5 6 ≤ 4 4

Así el conjunto solución de la desigualdad números menores o iguales a 2, gráficamente:

, es el conjunto de

Propiedad multiplicativa de las desigualdades

El mismo número positivo se puede multiplicar a ambos lados de una desigualdad sin alterar el conjunto solución de esta:

Recuerda que si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número

positivo, la desigualdad no se altera. En cambio si multiplicas

o divides ambos

lados de una desigualdad por

negativo, desigualdad se invierte . un

número

la

  <> ,,   ∙ <  ∙   ∙ >  ∙ ≤≥   ≤≥ ,,   ∙ ≤  ∙   ∙ ≥  ∙


Sin embargo, si una desigualdad es multiplicada a ambos lados por un mismo número negativo, se invierte el orden de esta, sin modificar el conjunto solución de esta:

  <> ,,   ∙ >  ∙   ∙ >  ∙

UNIDAD 3: LGEBRA

220

≤≥   ≤≥ ,,     ∙ ≥  ∙   ∙ ≤  ∙    ≤ 6      32  ≤ 6 ↔  23∙   32∙ ≥  23∙6  ≥ 4




DESIGUALDADES

Ejemplo: Resuelve la desigualdad:

Al considerar la desigualdad anterior, debemos multiplicar a ambos lados por el recírpoco de , que corresponde al número , luego: Recuerda: Al resolver una desigualdad, debes operar de la misma forma que al resolver excepto multiplicas

una que o

ecuación, cuando divides

la

desigualdad por un número

Obsrevar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multilicado por un número negativo, de aquí resulta:

negativo, debes invertir el símbolo de la desigualdad.

El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a -4. La gráfica resulta ser:

Ejemplo: Resuelve la desigualdad:

   ≤ 

     58  ≤ 125 ↔  85∙   58∙ ≥  85∙12 5 

Al considerar la desigualdad anterior debemos multiplicar a ambos lados por el recíproco de , que corresponde al número , luego:

UNIDAD 3: LGEBRA

DESIGUALDADES 

221

Observar que la desigualdad anterior se invierte ya que se ha multiplicado por un número negativo, de aquí resulta:

 ≥  23



 

El conjunto solución está formado por todos los números mayores o iguales a . Problemas Resueltos

1. Hace 10 años un hombre tenía 10 veces la edad de su hijo. Si actualmente la suma de la edad del padre más el doble de la del hijo es menor o igual que 60. ¿Qué edad puede alcanzar el padre? Solución:



  10 10 =  10  2  2 ≤ 60

Sea la edad del hombre y sea la edad de su hijo en la actualidad. La edad del hombre hace 10 años corresponde a , además en ese momento el hombre tenía 10 veces la edad de su hijo, por lo tanto si la edad del hijo es amplificada por 10 se obtiene la edad del padre en ese momento, esto es:

Además, actualmente sumar la edad del padre más el doble de la edad de su hijo, se puede expresar como: , y para que esta sema sea menor o igual que 60, se plantea la desigualdad:

10

Para resolver esta desigualdad haremos uso de la primera ecuación , donde si se divide por 5 se obtiene la ecuación equivalente: entonces reemplazando en la desigualdad:

   105 ≤ 60

102 == −

,

UNIDAD 3: LGEBRA

222

Luego:

DESIGUALDADES



Simplificando:

Sumando 2 a ambos lados:

  5  105 ≤ 60     2 ≤ 60   5  22 ≤ 602 65 ≤ 62

Simplificando números y expresiones algebraicas:

Multiplicando por 5 y dividiendo por 6, ambos positivos, se obtiene:

Simplificando:

Finalmente

 ≤  ≈ 51,6̅

65 ∙ 56 ≤ 62∙ 56  ≤ 62∙ 56

, luego el padre puede tiene a lo más 51 años.

2. Paula tiene $150 más que María, y Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María, si el dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan. ¿Cuánto puede tener María si se sabe que tiene menos de $80? Solución: Tenemos 3 personajes: Paula, María y Juan, que denotaremos con las letras P, M y J, entonces:

UNIDAD 3: LGEBRA

223

 = 150  3 3  = 3 100

Paula tiene $150 más que maría, es decir a María le faltan $150 para igualar a Paula, en símbolos: 

DESIGUALDADES 



Juan tiene $100 más que el triple que lo que tiene María. Si el triple que lo que tiene María se simboliza por , entonces a le sumamos 100 para obtener , en símbolos: 



  <   < 80  = 150  = 3 100   <  150 < 3 100 1502 < 3 100 150 1502 < 3 100 150 2 < 3 50 3 2 3 < 3 3 50  < 50  ∙1 > 50∙1  > 50  < 80 El dinero de Paula y María juntos no exceden lo que tiene Juan, en símbolos: 



Se sabe que María tiene menos de $80, en símbolos:

Ahora procedemos a ordenar la información anterior reemplazando y en la desigualdad , entonces:

Simplificando, obtenemos:

Restando 150 a ambos lados:

Obtenemos:

Ahora restamos

a ambos lados:

Simplificando:

Multiplicando ambos lados de la desigualdad por -1, e invirtiendo la desigualdad:

Finalmente , pero sabemos por enunciado que María puede tener entre $50 y $80.

, entonces

UNIDAD 3: LGEBRA

DESIGUALDADES 



224

3. Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a un valor de $ 7.000 por vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos $500.000 de ganancia mensual? Solución: Identificando la información: -

Lavado de un automóvil: $ 7.000 Costo por vehículo: $ 2.500 Costo fijo mensual: $ 100.000 Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual

Establecemos una estrategia de resolución Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se escribe algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo requerido. Resolviendo el problema:



Sea la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es

7.000∙ 2.500∙x100.000 7.000∙ 2.500∙ 100.000 7.000∙ 2.500∙ 100.000 4.500∙ 100.000

Mientras que el costo mensual queda expresado como

Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo, queda expresada de la siguiente manera

UNIDAD 3: LGEBRA

SISTEMAS DE INECUACIONES 

225

Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto significa que debe ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que representa esta situación es



4.500∙ 100.000 ≥ 500.000 4.500∙9∙100.200000 ≥≥ 500.1.000000 // ÷500 200 9∙ ≥≥ 1.133,200333…/ ÷9

Ahora debemos resolver la inecuación





Como corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores enteros positivos y el cero, luego si la solución de la inecuación indica que debe ser mayor o igual a 133,33… el menor entero que cumple con tal condición es 134.

Finalmente, para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al mes. Sistemas de Inecuaciones

Una aplicación interesante a la resolución de inecuaciones, es la resolución de sistemas de inecuaciones, para esto podemos resolver dos tipos de inecuaciones. El siguiente problema se resuelve planteando un sistema formado por una ecuación y una inecuación, en ejemplos precedentes se puede observar un planteamiento muy similar, sin embargo, la técnica de resolución del sistema no fue exhaustiva, más bien el problema se tradujo en resolver una inecuación, dado que este era el objetivo planteado. En el siguiente problema presentamos un desarrollo completo y exhaustivo.

UNIDAD 3: LGEBRA

226

Sistema formado por una ecuación y una desigualdad

SISTEMAS DE Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen INECUACIONES  las siguientes condiciones: el triple del largo más el doble del ancho es mayor que 8 metros. El doble del largo más el triple del ancho es igual a 9 metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo? 

Solución: Llamemos x el largo e y el ancho del rectángulo:

En lenguaje algebraico, el problema se traduce en resolver el siguiente sistema:

32 23 >= 89

Despejaremos ambas variables de la desigualdad.



Primero procederemos por sustitución en la variable , para esto multiplicamos por 3 la desigualdad, y por 2 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:

94 66 >= 2418  6 6 = 184

Con esto los coeficientes de la variable coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos en la ecuación, donde obtenemos:

UNIDAD 3: LGEBRA

227

6 9 6 > 24 ↔ 9 184 > 24 9 4 > 2418 5 > 6  > 65

Luego procedemos a sustituir SISTEMAS DE INECUACIONES  

Reordenando:

Por lo tanto:

Así:

en la desigualdad:



Ahora procederemos por sustitución en la variable , para esto multiplicaremos por 2 la desigualdad y por 3 la igualdad, el sistema queda de la siguiente forma:

66 49 >= 1627  6 6 = 279 6 6 4 > 16 ↔ 279 4 > 16 9 4 > 1627 5 > 11

Con esto los coeficientes de la variable coinciden en la desigualdad y en la ecuación, despejamos en la ecuación, donde obtenemos:

Luego, sustituimos

Reordenando:

Por lo tanto:

en la desigualdad original:

UNIDAD 3: LGEBRA

228

Multiplicando a ambos lados de la inecuación anterior por -1, e invirtiendo el orden de la desigualdad: SISTEMAS DE INECUACIONES  Así: 

5 < 11  < 151  = 1,2   = 2,2  = 1 ó  = 2  =1 2 3∙1 = 9  = 9 32 = 62 = 3  = 3  =1   =2 2 3∙2 = 9  = 962 = 32 = 1,5

Con esto es un entero positivo mayor que

, es decir mayor o igual a

2, e es un entero positivo menor que Ahora si tomamos

, es decir

.

y lo sustituimos en la ecuación original, se obtiene:

De donde:

Por lo tanto e , es solución del sistema. Observemos que 3 es mayor que 1, por tanto el valor de satisface tanto la ecuación como la inecuación. Por otra parte, si tomamos obtiene:

y lo sustituimos en la ecuación original, se

De donde:

Sin embargo 1,5 no es un número entero, por tanto desechamos esta sol ución del sistema. Luego, la única posibilidad es:

=3 =1 e

.

UNIDAD 3: LGEBRA

229

Valorizamos el sistema para comprobar la correctitud de nuestra solución:

3223= 3∙= 2∙32∙ 1  = 11 > 8 33∙1 = 9

SISTEMAS DE INECUACIONES  

Ejemplo: Resolver el sistema:

Solución:

5 26=>66

Multiplicamos la igualdad por 3, obteniendo:

53 66=>186

Observemos que en el sistema anterior una alternativa de solución es sumar a ambos lados de la desigualdad la igualdad obtenida, lo cual es equivalente a la resolución de un sistema por reducción, de esta forma, el sistema la desigualdad del sistema anterior es equivalente a:

De donde obtenemos:

Dividiendo por 3:

5 63 6 > 618 8 > 24 >3

Repitiendo el mismo procedimiento, multiplicamos la igualdad por -5, obteniendo:

5 6 > 6 5 10 = 30

UNIDAD 3: LGEBRA

230

Sumando a ambos lados de la desigualdad logramos:

16 > 24  > 1624 = 32  > 3  > 


Dividiendo por -16 e invirtiendo la desigualdad:

Por lo tanto, las soluciones del sistema son:

,

.

Sistema formado por dos desigualdades Método Gráfico de un sistema de dos desigualdades

Un fabricante de relojes tiene costos fijos de $140 diarios más $72 por concepto de mano de obra y materiales por cada reloj fabricado. Si cada reloj se vende en $107, ¿Cuántos relojes debe producir y vender diariamente para que no haya pérdida ni ganancias? Solución:

  = 72 140   =  ↔ 107 = 72 140 107 = 72 140 =4

El costo total (CT) de producción de relojes, está dado por la ecuación:

Adicionalmente, puesto que cada reloj se vende en $107, los ingresos (I) correspondientes son: =107x

Para garantizar que no haya pérdida ni ganancias, el costo total y los ingresos deben ser iguales, es decir:

Resolviendo la ecuación:

Se tiene que su solución es:

UNIDAD 3: LGEBRA


231

Por lo tanto se deben producir y vender al menos 4 televisores, para no tener pérdidas. Al dibujar las rectas que representan los costos totales e ingresos, observamos que se intersectan cuando ,

=4

 =>1074

De la figura anterior, se observa que si costos de producción, es decir la recta , y por lo tanto hay ganancias.

72 140

=

, los ingresos superan a los , está sobre la recta:

 = 72< 4 140  = 107 5  = 0 2 3 3 =

Por otra parte si decir la recta hay pérdidas.

, los costos de producción están sobre los ingresos, es , está sobre la recta , y por lo tanto

Ejemplo: Dibujar la región comprendida por aquellos puntos que se encuentran arriba de la recta y debajo de la recta . Escribir las desigualdades correspondientes.

0

Solución: Primero escribiremos las ecuaciones de la forma usual:

 = 5

UNIDAD 3: LGEBRA

SISTEMAS DE INECUACIONES 

232

 =  23  1  = 5  > 5   =    1  <  23  1



Luego, los puntos que están arriba de la recta que satisfacen la desigualdad:

Y los que están por debajo de la recta satisfacen la desigualdad:

, son aquellos puntos

, son aquellos que

Entonces, la siguiente gráfica representa la región solicitada:

Ejemplo:

 1 ≥ 0

Dibujar la región determinada por las desigualdades: . Solución:

Primero dibujaremos las rectas:

 = 2 3  = 6 1

 < 2 3 6  y

UNIDAD 3: LGEBRA

233

En un mismo sistema de coordenadas resulta: SISTEMAS DE INECUACIONES  

2 3 ≥ 6 1 < 2 3  = 2 3  = 2 3

 =  = 6 1

Luego, identificamos la región que se encuentra debajo de la recta , es decir , sobre y encima de la recta es decir .

,

Observar que la recta no está en la región, pero los puntos de la recta si están en la región.

UNIDAD 3: LGEBRA

234


INECUACIONES 



T h 1000100 580 1 h00 95 ≤ T ≤ 100   265

ℎ=

a) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación para . ¿Cuál es el intervalo para la elevación ? b) Supóngase que los consumidores adquieren unidades de un artículo a un precio de (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener ingresos mayores a un millón de pesos? c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500 cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a la semana y la mano de obra y material es $12.000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana? d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el km. La compañía B cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita arrendar un auto por 5 días. ¿En qué rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B?



e) ¿Para qué valores de el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B?

UNIDAD 3: LGEBRA

INECUACIONES 



235

f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo, los costos por camiseta se reducen a $ 470, más un costo fijo de operación de $108.000 a la semana. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar la inversión en un equipo de estampación? g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos ellas fueron 4,5 y 5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio) h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.000.000? i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de se cumple la desigualdad triangular la figura?



28

6 40

UNIDAD 3: LGEBRA

236


PROBLEMAS ÁLGEBRA 

1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados, donde se utiliza una pista para ambos sentidos, se recomienda ocupar la siguiente fórmula:



 = 0,55∙



donde representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y la velocidad (Km/h) que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance? 2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es

 ∙ =  ∙ ∙

Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82 (constante) ; t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro, a una temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa de presión. Determine la cantidad de moles presentes de CO2? 3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo, mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían? 4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad (km/h) mediante la ecuación . ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16 km/l?

0,002180



=

5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se encuentran?

UNIDAD 3: LGEBRA


237

6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La parte fija es de $320.450 y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000, si el valor de la hora extra es de $5.800? 7. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es:

σ



 =   √ 



Dónde: : Dureza mínima (MPa); : constante del material; : diámetro de la partícula. Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa ( σ0 ) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza?

 = 3   

8. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula:





Dónde: : peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga ¿Cuál es la expresión al despejar ? 9. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? 10. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular de 8100 m 2. Además el terreno, en uno de sus lados, estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles?

dd

11. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro sobre una placa rectangular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro del agujero y la distancia que los separa?

l

UNIDAD 3: LGEBRA

238


12. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa, se utiliza la siguiente fórmula :

L

 = 10 5

Donde corresponde al largo del techo en metros. ¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%? 13. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la siguiente fórmula

donde:



 = 0,95%%∙ 

: Cotización total a pagar; : Cotización adicional diferenciada; Total de remuneraciones imponibles.



:

Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo, si el total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000 y la cotización básica es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”). 14. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión:



% =  ∙ 100 

donde: : Frecuencia de accidentabilidad; Número de trabajadores.

: Número de accidentes;



:

UNIDAD 3: LGEBRA


239

En la empresa “American Globe”, los trabajadores se exponen a diversos accidentes por el uso de máquinas y equipos que generan condiciones inseguras, ocasionando incapacidades temporales. Luego de recibir tratamiento médico la empresa permite al trabajador la recuperación de su capacidad de ganancia en un 100%. Calcule el número de accidentes producidos en la empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1,6% y la cantidad de trabajadores es de 1500. 15. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque. Éste es alimentado por dos llaves, una lo llena en 10 minutos y otra lo hace en 12 minutos y un desagüe, estando lleno, lo vacía en 45 minutos. Si el tanque está vacío y abierto el desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves abiertas? 16. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque que contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque. La ley de Torricelli da el volumen de agua que queda en el tanque después de minutos, lo que se calcula con la ecuación:

v = 285 t  250 t5000



¿En cuánto tiempo el tanque se vacía? ¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad? 17. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias diferentes A y B. Para su propósito el 60% de la mezcla debe ser de la sustancia A y el 40% de la sustancia B. Si dispone de 2 mezclas M 1 y M2 cuyos contenidos son: M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B. M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B. ¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M 1 para lograr lo que desea preparar el ingeniero?

UNIDAD 4: FUNCIONES

240

E

l filósofo griego Aristóteles (384 a.C) afirmaba que los cuerpos caen a una velocidad proporcional a su peso. Aún hoy en día muchas personas creen que un objeto pesado debe caer más rápido que uno liviano. Galileo Galilei (1564-1642) verificó experimentalmente que el peso no influye en la aceleración de los cuerpos en caída libre. La distancia recorrida por un objeto en caída libre depende del tiempo, a través de la fórmula v 

gt 2 2

En esta expresión interviene uno de los conceptos más importante de la matemática, las funciones. La idea de función se origina a partir del estudio de los fenómenos de cambio, a partir del siglo XVII los matemáticos comienzan a matematizar los fenómenos de cambio, reconociendo que en la naturaleza no existe fenómeno que escape a la variación. En esta época la ciencia se sitúa en una concepción determinista de la realidad, se asume que es posible predecir los fenómenos de la naturaleza a través de leyes matemáticas. Newton (1642-1727) con sus leyes del movimiento aporta la concepción de que aunque no se puedan entender las causas de los fenómenos naturales, si se puede encontrar las leyes generales que los gobiernan, solo falta descubrirlas. El determinismo se instaló como el paradigma dominante en las ciencias hasta que a principios del siglo XX la relatividad de Einstein y el principio de incertidumbre de Heisenberg rompen la ilusión de una naturaleza determinista. El concepto de función tiene relación con una práctica natural del ser humano, tratar de predecir los fenómenos que lo rodean. El determinar con precisión como varían ciertas magnitudes dependiendo de otras y establecer los modelos matemáticos que las rigen es lo que le da sentido al estudio de las funciones.

UNIDAD 4

FUNCIONES

UNIDAD 4: FUNCIONES

241


FUNCIONES APRENDIZAJE ESPERADO

Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica describiendo sus características generales comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. CRITERIOS DE EVALUACIÓN   

Identifica si una expresión analítica, tabular o un gráfico corresponde a una función, analizando dominio, recorrido y aplicando la regla de la recta vertical. Grafica funciones a partir una tabla de valores, analizando dominio y recorrido de definición de la función. Describe las características generales de ciertas funciones dadas, comunicando sus resultados de manera efectiva.


Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas exponenciales y logarítmicas. CRITERIOS DE EVALUACIÓN    

Identifica los tipos de funciones mediante su represión gráfica y algebraica, distinguiendo sus principales características y modelamiento. Evalúa funciones para dar respuesta a un problema de modelación, analizando y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación. Representa gráficamente funciones expresadas por medio de enunciados, tablas y expresiones algebraicas, indicando sus elementos característicos. Realiza operaciones entre funciones para dar respuesta a un problema de modelación.

UNIDAD 4: FUNCIONES

242

La noción de función

NOCIÓN DE FUNCIÓN 

Las ideas de cambio, dependencia y predicción están estrechamente relacionadas con el concepto de función. En los fenómenos de la naturaleza intervienen variables, cuyo cambio depende a su vez del cambio de otras variables, por ejemplo: al dejar caer un objeto desde cierta altura la distancia cambia en “función” del tiempo. La pregunta de si es posible predecir un fenómeno físico, surgió de forma natural en el estudio de la naturaleza, por ejemplo: ¿es posible predecir la distancia recorrida por un objeto en caída libre en un momento dado? Esta pregunta se puede responder determinado una “regla” o “ley”, que haga corresponder a cada instante la distancia recorrida por el objeto. A esta forma de correspondencia entre variables se le denomina función. Las funciones no necesariamente se representan a través de una fórmula, pero cuando lo hacen reciben el nombre de funciones analíticas. En el caso de la caída libre la función se expresa a través de la fórmula d  4,9t 2

Donde t es el tiempo (en segundos) y d es la distancia (en metros). Se dice que d es la variable dependiente y t la variable independiente. Se debe aclarar que una función es simplemente una ley que gobierna la interdependencia entre variables, no implica ninguna relación de “causa y efecto” entre ellas. Para comprender la esencia del concepto de función es necesario entender que las funciones no son cualquier tipo de relación. Para predecir la distancia se requiere que a cada instante le corresponda una única distancia, de lo contrario sería imposible realizar una predicción. Si representamos la relación entre las variables por flechas, esta es función si de cada valor de t sale una y solo una flecha hacia los valores de d : t  d 00 1  4,9 2  19, 6 3  44,1 4  78, 4

UNIDAD 4: FUNCIONES


243

Para mostrar cuando algo no es función consideremos el caso de la relación entre estatura y peso. No hay ninguna regla que determine que a una cierta estatura le corresponda uno y solo un peso, de hecho se podría dar lo siguiente e

1,70

p

65 72 86

Claramente, no se puede predecir el peso de una persona de un 1,70. La descripción de función que hemos hecho también encierra la necesidad de que todo valor posible de la variable independiente le corresponda un valor de la variable dependiente, es decir, que la función esté definida para todos los instantes t . En este sentido, una relación como la siguiente no sería función

El 3 no tiene un correspondiente. Para ser más precisos en la definición de función, debemos primero reconocer que estas tienen lugar entre conjuntos. El conjunto de partida denominado Dominio de la función y el conjunto de sus imágenes llamado Recorrido de la función. Se denotan por Dom f  y Re c  f  .

UNIDAD 4: FUNCIONES


244

Si la variable y es función de la variable x, se utiliza una letra, generalmente f , para representar la relación funcional entre las variables. Si A y B son los conjuntos de partida y llegada, respectivamente, se denota a la función de la siguiente forma: f : A  B x  y  f ( x)

Por ejemplo, la función que resulta de los cuadrados de los números reales se denota por:

Consideremos algunos de los valores de la función f ( x)  x 2 en una representación sagital:

El diagrama sagital permite visualizar la manera en que se relacionan las variables. En este caso la figura nos sugiere que f es función, ya que a cada x del dominio parece corresponderle uno y solo un valor de la variable y en el conjunto de llegada. Aprovechamos de mencionar que los valores de la variable dependiente se denominan imágenes, mientras que los de la variable independiente se conocen como preimagenes. En este caso: 0 es la imagen de 0, se denota f (0)  0 1 es la imagen de -1 y de 1, se denota por f (1)  1 y f (1)  1 Las pre-imágenes de 4 son el -2 y 2, se denota f (2)  4 y f (2)  4

UNIDAD 4: FUNCIONES


245

Hasta aquí hemos abordado el concepto de función de manera más o menos intuitiva, pero en la matemática se acostumbra a buscar definiciones rigurosas. Existen diferentes maneras para plantear la definición de función, expondremos la que se acerca más a la idea desarrollada en este texto. Definición: Si mediante una cierta regla se establece una correspondencia de modo que a cada valor de x  A , le corresponde un único valor de y  B , se dice que y es una función de x. Se denota por y  f ( x) y se dice que f es una función de A en B. f : A  B x  y  f ( x)

Ejercicio Resuelto

Dada la función f  x   x 2  1 , determine: a) La imagen de 3 b) La imagen de -4 c) La(s) preimagen(es) de 8 Solución: a) f (3)  32  1  8 b) f (4)   42  1  15 c) f ( x)  8  x 2  1  8

las pre-imágenes se obtienen de esta ecuación

2

x  9  0 ( x  3)( x  3)  0 x  3  0 x  3

ó x 3  0

ó x 3 Las pre-imágenes de 8 son -3 y 3, esto es f (3)  8 y f (3)  8

UNIDAD 4: FUNCIONES

246



1. Indica cuáles de los siguientes diagramas sagitales representan una función de A en B:

Luego responde: ¿Cuáles son funciones de B en A? 2. Traducir cada frase a una igualdad

 ℎ ℎ   =   2 3

a) 4 es la imagen del 5 por la función b) -3 es la imagen del 0 por la función c) La imagen de 17 por la función es – 17 d) La imagen de – 31,8 por la función es – 3 e) -3 es la preimagen de 0 por la función f) Una preimagen de 7,2 por la función es – 1 g) Una preimagen de – 5 por la función es – 8 3. Dada la función

a) La imagen de 2 b) La imagen de -5 c) La(s) preimagen(es) de cero d) La(s) preimagen(es) de -3

, calcula:

UNIDAD 4: FUNCIONES

247

4. La siguiente tabla de valores corresponde a la función



  45 32 21 13 40 15 23 34 44    …1.  ==⋯… 3


Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la imagen de 3 por la función ? b) ¿Cuál es la preimagen de 4 por la función ? c) ¿Cuáles son los números que tienen la misma imagen por la función ? d) e) 5. Sean f ( x)  2 x  1, g ( x)  x2  4 y

h( x) 

5x  2 x

. Calcular el valor de:

a) 4 f  3  g  2  h 1 b) f  a  1  g  a  1 c)

h  x  2  h  x  2

6. La temperatura de una placa metálica es una función de la variable n (tiempo en minutos). La función está dada por f  n   40 

60 n

a) ¿Cuál es la temperatura al cabo del primer minuto? b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la temperatura sea de 45ºC? 7. Si f (n)  2n  2n 1 , calcule el valor de f  0  f 1  f  2    f 10

UNIDAD 4: FUNCIONES

248

Sistema de coordenadas

GRÁFICA DE FUNCIONES  

El concepto de función se puede conectar con la representación geométrica de una curva. Una manera muy común de representación gráfica de una función es a través del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Este sistema está compuesto por dos rectas perpendiculares, el eje x o eje de las abscisas y el eje y o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las rectas O se denomina origen. Cada punto P del plano está compuesto por dos números x e y, sus coordenadas que indican el sentido y distancia respecto del origen y se denotan P  x, y  .

La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano cartesiano que cumplen la ley de correspondencia definida por la función. Se entiende que un punto está en la gráfica de una función cuando , es decir, cuando el punto es de la forma .

ℎ,   ℎ = 

    ℎ,ℎ

UNIDAD 4: FUNCIONES


249

En el caso anterior la gráfica es una curva de trazo continuo, dado que el dominio es un conjunto continuo, pero si consideramos una función con un dominio discreto la gráfica será un conjunto de puntos separados, por ejemplo,

La construcción de una gráfica puede ser un tema bastante complejo, pero en los casos más sencillos es posible obtener la gráfica elaborando una tabla con algunos valores del dominio y sus respectivas imágenes, que corresponderán a los puntos que luego ubicaremos en el plano cartesiano: x

y  f ( x)

0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4

UNIDAD 4: FUNCIONES


250

Las gráficas nos permiten obtener información de las funciones que la expresión analítica no nos ofrece a simple vista, veamos el siguiente ejemplo. Problema 1: La temperatura de una placa metálica es una función del tiempo (n), que se mide a partir del minuto 1. La función está dada por f  n   40 

60 n

a) La temperatura de la placa, ¿crece o decrece con el tiempo? b) ¿Cuál es la mínima y la máxima temperatura que puede alcanzar la placa? Solución: Como en el problema se establece que el tiempo n comienza en 1, entonces Dom f   1,   , tomaremos algunos valores arbitrarios a partir de 1 para construir la tabla y ubicarlos los puntos en el plano cartesiano: Tiempo (min)

Temperatura (Cº)

n

f (n)

1 2 3 4 5 6 10 12 20 30 60 120

100 70 60 55 52 50 46 45 43 42 41 40,5

UNIDAD 4: FUNCIONES

251

En la gráfica se observa que la temperatura va desde los 100 Cº (máximo), disminuyendo de forma cada vez más lenta, con valores que se aproximan a los 40 Cº (mínimo).


Análisis gráfico de las funciones

Cuando analizamos una función a través de su gráfica hay que tener en cuenta que lo hacemos sobre un dibujo, pero ¿será el dibujo una representación correcta de la función? El dibujo nunca será una representación verdaderamente correcta de la función, ya que la curva tendrá un grosor o el dibujo deberá restringirse a un espacio acotado, aún cuando la función esté definida en todos los reales, entre otras situaciones. Sin embargo, aún renunciando al rigor y aceptando los supuestos que sean necesarios, las gráficas son una herramienta importante para el análisis de las funciones ya que nos permite visualizar su comportamiento. 1) Criterio de la recta vertical

Por ejemplo, a través de la gráfica podemos estimar si una relación es función. Observemos la gráfica de las siguientes funciones:

a

La gráfica presenta un “vacío”, lo que nos sugiere que hay un valor del dominio de f , el valor a, que no tiene imagen, por tanto f no sería función.

UNIDAD 4: FUNCIONES

252


En este caso también existe un valor sin imagen, el 2, pero el dominio de f no lo considera, por tanto se cumple que todo valor del dominio tiene imagen. Pero recordemos que además cada imagen debe ser única, lo que se puede verificar trazando líneas verticales. Si al trazar una línea vertical por cualquiera de los valores del dominio, la recta solo corta a la gráfica en un punto entonces corresponde a una función, ya que a cada valor de x le correspondería un solo valor de y. En este caso la prueba de las verticales nos sugiere que se trataría de una función.

UNIDAD 4: FUNCIONES

253


Si alguna de las rectas verticales corta en más de un punto a la gráfica no correspondería a una función. En efecto, para este caso bastó dibujar una recta para visualizar que hay valores de x que tienen más de una imagen.

2) Estimación gráfica del dominio y recorrido

Las gráficas también nos pueden sugerir el dominio y recorrido de una función. El dominio de la función es el conjunto de valores del eje x que tienen una imagen (y por tanto un punto asociado en la gráfica), de manera similar, el recorrido es el conjunto de valores del eje y que tienen una preimagen (que también implica que tiene asociado un punto en la gráfica).

UNIDAD 4: FUNCIONES

254

Supongamos que las siguientes son gráficas de funciones, reconoceremos su dominio y recorrido:


La siguiente es la gráfica de la función f :

Marcaremos con azul el dominio, que es parte del eje x que tiene puntos asociados en la gráfica y de rojo el recorrido, la parte del eje y que se puede asociar a puntos de la gráfica.

Por tanto, Dom f    2,   y Re c  f    0,  

UNIDAD 4: FUNCIONES

255

3) Monotonía de una función

Las siguientes funciones se visualizan monótonas en sus gráficas:


Si las analizamos por un momento nos damos cuenta de que la primera que en todo su dominio la función crece o se mantiene igual se dice entonces que es una función monótona creciente. La segunda, la función decrece o es igual en todos los valores de su dominio, se dice que es una función monótona decreciente. La definición matemática es la siguiente: Definición (monotonía) 

La función f es monótona creciente si para todo a, b  Dom  f  ,

a  b implica f (a)  f (b) . 

La función f es monótona decreciente si para todo a, b  Dom  f  ,

a  b implica f (a)  f (b) .

El siguiente es un ejemplo de función no monótona, que crece y decrece:

UNIDAD 4: FUNCIONES

256

4) Análisis gráfico de la continuidad


La descripción analítica del concepto de función no está al alcance de este curso, solo nos referiremos a las características gráficas de las funciones continuas y discontinuas. Gráficamente una función es continua si no presenta saltos ni vacíos en su gráfica. Las siguientes son gráficas de funciones continuas:

Cuando una función no es continua se dice que es discontinua, los puntos donde las gráficas presentan vacíos, saltos o asíntotas se denominan puntos de discontinuidad. Mostraremos la gráfica de algunas funciones discontinuas e identificaremos sus puntos de discontinuidad:

1

La función es discontinua en x = 1

UNIDAD 4: FUNCIONES

257




UNIDAD 4: FUNCIONES

258

5) Ceros de una función


Gráficamente los ceros de una función son los valores de la coordenada x de los puntos de la gráfica que intersectan al eje x.

Tiene tres ceros: x  2, x  0 y x  2 Analíticamente, los ceros de una función f son los valores x  Dom f  , tal que f ( x)  0 . Lo anterior implica que para encontrar los ceros de una función hay que resolver la ecuación f ( x)  0 . Ejemplo: Determinar los ceros de la función f ( x)  x3  4x . Planteamos la ecuación f ( x)  0  x3  4x  0 y resolvemos factorizando: 3

x  4 x  0





x x 2  4  0 x  x  2  x  2   0  x  0 ó x  2  0 ó x  2  0

 x  0 ó x  2 ó x  2

UNIDAD 4: FUNCIONES

259

Los ceros de esta función son 0,-2 y 2, al graficar nos permite conocer los puntos de intersección con el eje x. La gráfica de esta función es:


-2



0

2

Problema 2: La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego de minutos esta dada por la función

 = 0,020,000167

.

a) ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de tungsteno? b) ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco? Solución: a) La primera pregunta tiene relación con evaluar la función en cero, esto es f (0)  0,02  0,000167  0  f (0)  0,02

La concentración inicial de amoniaco es de 0,02 b) Cuando se pregunta cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoniaco, se está preguntando por los ceros de la función f (t ) , esto es los valores de t tal que f (t )  0 , lo que implica resolver la ecuación

UNIDAD 4: FUNCIONES

260

f (t )  0 0,02  0,000167t  0 0,02

DOMINIO Y RECORRIDO  

0,000167

 t

t  119,8

Por tanto, el amoniaco se desintegra aproximadamente al cabo de 119,8 segundos.

Determinación analítica del dominio y recorrido

Determinar el dominio de una función y  f ( x) es preguntarse ¿para qué valores de la variable x la función está definida? Lo mismo para el recorrido ¿para qué valores de y la función está definida? El conjunto de esos valores son, respectivamente, el dominio y el recorrido de la función. En términos matemáticos, para funciones de variable real se tiene:

Dominio: El problema de encontrar el dominio se reduce a determinar si la expresión analítica de la función presenta restricciones, es decir valores donde no está definida. Por ejemplo las siguientes funciones no presentan ninguna restricción, están definidas para todo x » . 2 f ( x)  x  2x  1 ; g ( x ) 

3 x  1 2

;

h( x )  2 x

Pero otras funciones analíticas si presentan restricciones, en particular la función racional y la función raíz no están definidas en todos los reales.

UNIDAD 4: FUNCIONES

261

En toda función racional hay que analizar cuando el denominador es igual a cero para saber en qué valores la fracción se indetermina. Por ejemplo:


1) f ( x) 

x  2 x 2  1

no está definida en x  1 y x  1, en efecto al igualar el

denominador a cero y resolver la ecuación se tiene x 2  1  0   x  1 x  1  0  x  1  0 ó x 1  0  x  1 ó x  1

Por tanto, el dominio debe excluir de los reales al -1 y 1, esto es

2) f ( x)  x  2 no está definida para valores de x  2 , en efecto la cantidad sub-radical de una raíz debe ser siempre mayor o igual a cero, esto implica que x  2  0  x  2

Luego Dom f    2,  

ℝ

Hay varios motivos por los que el dominio de una función no es igual a todo : 1) No debe producirse un 0 en el denominador de ninguna fracción. 2) Las raíces cuadradas, y en general las raíces de índice par (raíces cuartas, sextas, y demás) no deben ser aplicadas a números negativos, ya que de serlo, no producen números reales. 3) Hay algunas funciones que tienen restricciones diferentes en sus dominios, como la función logaritmo, que veremos más adelante. 4) Cuando las funciones se utilizan para modelar situaciones, el contexto puede indicar restricciones al dominio de la función; por ejemplo, si el dominio de la función es la estatura de una persona, es inadecuado considerar valores negativos para el dominio. 5) A veces se combinan varias de esas razones.

UNIDAD 4: FUNCIONES

262

Recorrido: Para determinar el recorrido debemos analizar las restricciones que presenta la variable y, para ello necesitamos escribir y en términos de x, por ejemplo:


Sea f ( x) 

2x  1 x

, encontrar su recorrido.

A partir de la igualdad y  y 

2 x  1 x

2 x  1 x

, despejaremos x esto es:

 xy  2x  1  xy  2x  1  x  y  2   1  x 

La expresión x 

1 y  2

y 2

se indetermina para y  2 , por tanto el recorrido es


1. Sea f una función cuya gráfica se muestra a continuación:

Determinar el valor de

1

f  a   f  c  f (b)  f  a 

UNIDAD 4: FUNCIONES

263

2. La siguiente gráfica representa a la función h, completa la tabla:

ℎ 1,25 1,5 1 1,25

FUNCIONES



ℎ

3. La gráfica representa una función :

ℎℎ12 == ℎℎ0 = = 4 ℎℎ12  == ℎ  = 3,5 ℎ

Completa a) b) c) d) e) f) g)

h) Indica la(s) preimagen(es) de 1 por la función .

4. Indica cuáles de las siguientes gráficas representan a una función. Justifica matemáticamente.

UNIDAD 4: FUNCIONES

264

FUNCIONES



-2

2

UNIDAD 4: FUNCIONES

FUNCIONES



265

5. Para cada función de variable real que está representada en las gráficas indica dominio, recorrido, intervalos de monotonía (crece, decrece, constante): a)

b)

-1

c)

d)

e)

f)

UNIDAD 4: FUNCIONES

266

6. Encontrar los ceros de las siguientes funciones y graficar con ayuda de tablas:

FUNCIONES



a) f ( x)  2 x  3 b) f ( x)  4  x 2 c) f ( x)  x 2  x  2 d) f ( x)  x3  x d) f ( x)  x  2 e) f ( x) 

x 1 x

7. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones de variable real: f ( x)  2 x  1 2 f ( x)  x  1

f ( x) 

x2 x

f ( x)  x  2

8. Para cada función de variable real que está representada en las gráficas indica dominio, recorrido, discontinuidades, intervalos de monotonía (crece, decrece, constante): a)

b)

UNIDAD 4: FUNCIONES

267

c)

FUNCIONES



9. El valor de una maquinaria se devalúa en función del tiempo, a través de la función y  f ( x)  600  25x

Donde x es el tiempo en meses e y es el precio en miles de pesos. ¿Cuántos mese pasan para que la máquina se devalúe completamente? 10. Al lanzar un proyectil hacia arriba, la altura (metros) que alcanza en cada instante t (seg.) está dada por la función f (t )  0,0013t 2  t  10 . ¿En cuánto tiempo el proyectil cae al suelo?

UNIDAD 4: FUNCIONES

268

Estudio de Funciones

ESTUDIO DE FUNCIONES  

Definición de Función Lineal:



Una función lineal es la que se puede escribir como un múltiplo del valor .

Ejemplos:

 = 4⋅

 =  ⋅



es decir,



1) La función el lineal y representa, además, un caso de proporcionalidad directa, es decir, la imagen de es proporcional a , con constante de proporcionalidad 4. Esta función presenta algunas características destacables:

ℝ 0 = 0       <  4⋅ < 4⋅  <   ∈ ℝ    = 4⋅  =   =  4⋅ = 4⋅  =   = 3⋅ ℝ 0 = 0    <  3⋅ > 3⋅  >  a. El domino es b.

c. A medida que crece también crece entonces , es decir, d. Todo número real

, es decir, si

es imagen de un número al

aplicar , en particular,

e. No hay dos valores en el dominio con la misma imagen, es decir, si se tiene , entonces , es decir, 2) La función siguientes características:

es también lineal y presenta las

a. El domino es b.

c. A medida que crece su imagen entonces , es decir, orden)

decrece, es decir, si (se invierte el

UNIDAD 4: FUNCIONES

269

 ∈ ℝ   −  = 3⋅ − =   =  3⋅ = 3⋅  = 

d. Todo número real ESTUDIO DE FUNCIONES  

es imagen al aplicar

a un

número real, en particular,

e. No hay dos valores en el dominio con la misma imagen, es decir, si se tiene , entonces , es decir,

Ejemplos:

Veamos las gráficas de las funciones lineales de los ejemplos anteriores 1) La gráfica de

 = 4⋅

Podemos verificar que el gráfico es correcto mediante una tabla:

 2 1  8 4

0

1

2

0

4

8

UNIDAD 4: FUNCIONES


270





En el gráfico y en la tabla podemos también notar que a medida que crece también crece , y que la gráfica se eleva hacia arriba cuando nos movemos a la derecha.

 = 

Es notorio en el gráfico que no hay valores distintos con la misma imagen porque para que ocurriera , en la gráfica se tendrían dos puntos con la misma segunda coordenada, es decir, alguna recta horizontal debiera cortar en dos puntos distintos a la gráfica, y no es así en este caso, ya que las rectas horizontales cortan a la gráfica en un único punto. Por último, la gráfica confirma también que todo número real es imagen por la función de algún número del dominio de la función, ya que cada número real determina una recta horizontal de todos los puntos que tienen segunda coordenada iguala k, y como se vio antes, cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, es decir, debe haber un punto de la forma en la gráfica, y por lo tanto . Ya sabíamos que en este caso .



ℎ,ℎ = 

 = ℎ

La gráfica concuerda con lo que hicimos antes con la fórmula. 2) El gráfico de la función

 = 3∙

es:

UNIDAD 4: FUNCIONES

271

Podemos verificar que el gráfico es correcto mediante una tabla:

 2 1  6 3




0 0

1

2

3 6 

Se comprueba que en el gráfico y en la tabla que cuando crece el valor de decrece, ya que la gráfica se inclina hacia abajo cuando nos movemos a la derecha. También comprobamos que no hay valores distintos con la misma imagen ya que, como indicamos en el ejemplo anterior, tendría que haber una recta horizontal que intersecte en dos puntos distintos a la gráfica, y en realidad cada recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, de donde obtenemos también que todo número real es imagen de algún valor del dominio al aplicarle la función. Observaciones

1) Si conocemos la fórmula, podemos hacer una tabla y podemos graficar, mediante la tabla o de algún software para graficar. Pero también podemos conocer varias características de la gráfica que la tabla o la gráfica, que siempre muestran sólo un rango de la gráfica, podrían no ayudar a conocer. 2) En la gráfica se nota que se trata de una función, o bien, aplicando la regla de la recta vertical: toda recta vertical debe cortar a la gráfica en un punto o ninguno, nunca en más de uno. 3) Si conocemos la gráfica de una función, podemos tener una idea de las características que mencionamos y que formalizaremos a continuación. Las características mostradas serán importantes en toda función, y en las funciones lineales son visibles en sus gráficas, que forman rectas en el plano que pasan por el origen .

0,0

UNIDAD 4: FUNCIONES

272

Definición: ESTUDIO DE FUNCIONES  

  =

 = 

i. Una función se se dice inyectiva inyectiva si si no hay dos valores distintos del dominio con la misma imagen, es decir, que sólo puede ocurrir cuando . También se dice que la función es uno a uno. En la gráfica se nota porque cada recta horizontal corta a la gráfica en un punto a lo más.



ii. El recorrido de una función es el conjunto de las imágenes es que entrega la función al aplicarla a cada valor de su dominio. iii. Una función es sobreyectiva sobreyectiva cuando su recorrido son todos los números reales. iv. Una función es biyectiva biyectiva cuando es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva. Propiedad:

 =  ⋅   ≠ 0  > 0  <0 =0

1) Toda función lineal con es inyectiva y sobreyectiva, es decir, biyectiva, y es creciente cuando y es decreciente cuando . 2) Cuando , la función afín es de valor constante 0, no es inyectiva ni sobreyectiva, y 0 es el único valor de su recorrido. Su gráfica es el eje horizontal (eje X) y no es creciente ni decreciente. Ahora conoceremos varias funciones y analizaremos sus características y gráficas.

UNIDAD 4: FUNCIONES

273

Definición de Función Afín: ESTUDIO DE FUNCIONES  

Una función afín es de la forma

ℝ

 =  ⋅    , ∈ ℝ , donde

.

Su dominio es todo .

 ≠=00 =0

Cuando cuando el origen.

0 = 

se trata de una función lineal, que ya conocemos, pero es similar, aunque como , su gráfica no pasa por



Cuando se trata de una función de valor constante , que es el único valor de su recorrido, y por ello no es inyectiva ni sobreyectiva ni creciente ni decreciente. Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje vertical (eje Y) en el punto .

≠0

0,



Cuando , es similar a la función afín pero desplazada verticalmente hacia arriba o hacia abajo según el signo de .

Ejemplo:

 = 33 2 2     =  3  2  2 = 3 3  2  2  =  = 3 > 0  <  3  2  2 < 3 3  2  2  <   ∈ ℝ   = 23322 2  2 2  = −  =   3  = 3  3  2 =  2 2  2 =  ℝ La función

es afín y cumple las siguientes si guientes propiedades:

1) Es inyectiva, porque si de donde se obtiene .

, se tendrá

,

2) Es creciente estricta, porque lo que podemos ratificar usando la fórmula, porque si , se tendrá , es decir, .

3) Es también sobreyectiva, lo que podemos ratificar usando la fórmula, porque si , entonces basta resolver la ecuación con incógnita dada por para ver que con tenemos

4) Por tanto, su recorrido es .

UNIDAD 4: FUNCIONES

274

5) Su gráfica es: ESTUDIO DE FUNCIONES  


Clasifica como lineal o afín, y analiza inyectividad, crecimiento o decrecimiento, sobreyectividad, recorrido y gráfica de las siguientes funciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

 =   1  = 22 3 3  = 22  1  = 4    = 33 7 7  =   3  = +  = −

UNIDAD 4: FUNCIONES

275

Definición de Función Cuadrática: ESTUDIO DE FUNCIONES  

≠0

Una función es cuadrática cuando tiene la forma con .

ℝ

 =     

El dominio de cada función cuadrática es .

Ejemplo:

 =   2  3  3 2 1  3 4 3

La función es cuadrática. Para hacernos una idea del comportamiento de la función veamos primero una tabla de valores: 0

0

1

2

3

0

5

12

3 3 < 2 33 = 0 > 3 = 2   0 < 1  0 = 3 < 0 = 1  ∈ ℝ   =   2  3, 0 =   2  3  , Podemos notar de inmediato que la función no es inyectiva, ya que tienen a 0 por imagen.

Tampoco es una función creciente, ya que, por ejemplo, . Tampoco es una función decreciente ya que, por ejemplo, .

y 1

pero

y

Respecto del recorrido, sabemos resolver una ecuación de segundo grado y con ello podemos notar que para cada ocurrirá que está en el recorrido cuando la ecuación con incógnita tenga solución en:

es decir:

que tiene solución exactamente cuando el discriminante es mayor o igual a cero, es decir, cuando:

0 ≤ 2  4⋅14 ⋅1⋅(⋅(3  ) = 4  43   = 16  4

UNIDAD 4: FUNCIONES

276



 4 ≤ . [4,4,∞[

por lo que está en el recorrido de exactamente cuando: ESTUDIO DE FUNCIONES  

Eso significa que el recorrido de la función es el intervalo:

lo que indica que la función no es sobreyectiva. El valor -4 es importante, es la segunda coordenada de lo que llamamos vértice de la parábola que es la gráfica de la función: Observa:

Podemos notar, como lo indicaba la tabla, que las imágenes se repiten a ambos lados del vértice (-1,-4). Nota que cuando resolvemos la cuadrática:

0 =    2   3     ≥ 4 164  = 2±2 ±  2 24⋅1⋅ 4⋅ 1⋅3 3   = 2±2 ±  2164

las soluciones, para

, son de la forma:

UNIDAD 4: FUNCIONES

277

  = 1

y por lo tanto son simétricas en torno a que es la primera coordenada del vértice, lo que quiere decir que la parábola (la gráfica de la función cuadrática) se levanta de forma simétrica en torno al vértice. ESTUDIO DE FUNCIONES  

] ] 1 ∞,  ∞,  1] 1 [1,1,∞[

1

A pesar de que esta función no es globalmente creciente ni decreciente, a izquierda de , en , es decreciente, y a derecha de , en , es creciente. Esta es una parábola que se abre hacia arriba.

Propiedad:

≠0

>0

 =  <0  

La gráfica de una función cuadrática de la forma con se abre hacia arriba si , y se abre hacia abajo si

.

Definición: Una función es creciente en un intervalo cuando al restringirse al intervalo resulta creciente en él. Análogamente se define una función decreciente en un intervalo.

Propiedades de las funciones cuadráticas:

 = =   

1. Una función cuadrática de la forma tiene como primera coordenada de su vértice a

 ≠0

segunda coordenada del vértice a

    = −  >0 <0

con y como

2. Una parábola cambia su crecimiento en el vértice y no es inyectiva. 3. Si la parábola se abre hacia arriba ( ) ) entonces es decreciente a izquierda del vértice y creciente a derecha del vértice. 4. Si la parábola se abre hacia abajo ( ) ) entonces es creciente a izquierda del vértice y decreciente a derecha del vértice.

UNIDAD 4: FUNCIONES


278

    = 0

Notar que resolver equivale a encontrar los puntos donde la parábola corta al eje horizontal (eje X), si lo hiciera. Ejercicios y Problemas Propuestos:

En cada caso, determina las coordenadas del vértice, e indica en qué intervalo la función crece y en ´que intervalo la función decrece, determina su recorrido, y da una gráfica aproximada: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

 =   2 1  =   2 8  =   2  =   2 1  =   4 1  =   2  = 2  12 19  = 3  12 10  =   6 4  = 3  18 23

UNIDAD 4: FUNCIONES


279

Definición de Función Valor Absoluto:

|| ℝ || =   ssii  <≥ 00

La función valor absoluto, denotada y que tiene a asigna a cada número su valor sin signo, es decir:

por dominio,

Esta es una forma de definir funciones por ramas, ya que la regla de asignación varía según a qué valores se aplica.

Ejemplo: 1) 2) 3)

|3| = 3 3 > 0 |4| = 4 4 < 0 || =  porque

porque

y se cumple

4 = 4   ≥ 0

porque, cualquiera sea el valor de , se cumple

Otra caracterización del valor absoluto de un número es que mide la distancia entre el punto del eje real asociado al número, y el punto asociado al cero

3 3 ̅AC ̅CB

En la figura se muestran los puntos A para , B para 3, y C para 0, y se indica sobre el eje las distancias entre y 0 como , y como la distancia entre 3 y 0:

Al ver una tabla de valores podemos apreciar algunas características:

 3 2 1 || 2 1 0 0

3

1

2

3

1

2

3

UNIDAD 4: FUNCIONES


280

|3| = 3 = |3|

De inmediato notamos que la función no es inyectiva ya que, por ejemplo, . Tampoco sería sobreyectiva, ya que no puede dar valores negativos.

 = 

Tanto la tabla como la definición por ramas indican que la función valor absoluto es idéntica a la función lineal para los positivos y el cero, mientras que para los negativos es idéntica a la función lineal .



 =

Veamos la gráfica:

0,0 ] ]  ∞, 0 [0,∞[ || = 0  = 0 [0,∞[

Como la parábola, tiene dos ramas simétricas en torno a un vértice, el origen , pero a diferencia de la parábola, las ramas de la gráfica de la función valor absoluto son rectilíneas. La función valor absoluto es decreciente en . Además, sólo si .

y creciente en

Su recorrido es

Vimos que había diversas posiciones de parábolas para las funciones cuadráticas, manteniendo la forma general. Podemos obtener funciones a partir de la función valor absoluto que mantienen su forma general.

UNIDAD 4: FUNCIONES

281

Ejemplo: ESTUDIO DE FUNCIONES  

 = 2| 1|  3 2 1  5 4 3

Estudiemos la función siguiente:

0

6

. Una tabla muestra lo

1

2

3

2

3

4

La tabla muestra que la función va decreciendo hasta 1, y luego crece nuevamente, así que no es inyectiva, y parece tener su mínimo en 1 con valor 2, lo que permite indicar que su recorrido es , dado que se basa en la función valor absoluto.

[2 ,  ∞ [

Al graficar la función usando la tabla, obtenemos:

1,2

Es muy similar a la gráfica de la función valor absoluto, pero desplazada. Notemos que el vértice ahora es . El vértice es mínimo, es decir, hay un mínimo en 1 con valor 2 como muestra la figura, pero eso es porque decrece a izquierda de 1 y crece a derecha de 1.

| 1| = 0

Es importante observar que 1 es el único valor que cumple eso es lo que determina la posición del vértice en estos casos, ya que

,y

UNIDAD 4: FUNCIONES

282

1 = 2|1 1| = 2 1,2  = 3|2 1|  3 2 1  4 2 0 2 2 | 2  1| = 0 2 1 = 0  =  , y como indicamos, el vértice es


.

Ejemplo:

Analicemos la función valores:

. Una tabla da los siguientes

0

1

2

2

0

3

Podemos ver que la función crece hasta un punto entre 0 y 1, decreciendo a derecha de tal punto. Como se indicó en el ejemplo anterior, la primera coordenada del vértice ocurre cuando , es decir, cuando , que resulta en , lo que concuerda con la tabla. Más aún, si el vértice no estuviera en el rango de los valores de la tabla, parecería que se trata de una función afín, por lo que conviene realizar el análisis previo para escoger valores para la tabla que rodeen al vértice. La segunda coordenada del vértice será:

 = 32 ⋅  1 = 3 |1 1| = 3  , 3

,

así que el vértice es , pero la tabla indica que será un máximo, no un mínimo. Con esta información consideremos ahora su gráfica:

UNIDAD 4: FUNCIONES

283

Nota que además la curva corta al eje horizontal (eje X) en son las dos soluciones de la ecuación:

3|2 1| = 0


1

y en 2, que



Podemos ver que la función es creciente a izquierda de y creciente a

 

derecha de , por lo que en su vértice tiene un máximo, es decir, tiene máximo en con valor 3. Su recorrido es

]∞,3]

.


En cada caso, Determina el vértice, analiza crecimiento y decrecimiento, y si el vértice indica un máximo o un mínimo, el recorrido de la función, posibles intersecciones con el eje horizontal (eje X), y dibuja una gráfica aproximada: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

 = | 3|  = 2| 3|  = 2| 3|  = |2 4|  = 3| 1|  = 2| 3|  = 13| 5|  = 43||

UNIDAD 4: FUNCIONES

284

Definición de Función Parte Entera: ESTUDIO DE FUNCIONES  

⌊ ⌋

ℝ

La función parte entera, denotada , tiene dominio y asigna a cada número real el mayor número entero que sea menor o igual que el número.

Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5.

⌊3,1⌋ = 3 3 ≤ 3,1 < 4 ⌊5⌋ = 5 5 ≤ 5 < 6 ⌊2,4⌋ = 3 3 ≤ 2,4 < 2 ⌊9,32⌋ = 10 10 ≤ 9,32 < 9 ⌊7⌋ = 7 7 ≤ 7 < 6 porque

porque

porque

porque

porque

Si hacemos una tabla usando valores enteros, tendremos una falsa impresión de esta función:

 3 2 1 ⌊⌋ 3 2 1 0 3  ∈ ℤ ⌊⌋ =   ≤  <  1. 0

Ello ocurre porque si

, se tendrá

1

2

1

2

3

porque

Hagamos una tabla con valores decimales:

 1 0,8 0,6 0,4 0,2 ⌊⌋ 1 1 1 1 1 0 0

UNIDAD 4: FUNCIONES


285

Podemos notar ahora que la función se mantiene constante entre números enteros consecutivos, por lo que no es inyectiva. Veamos una tabla adicional:

 0,2 0,4 0,6 0,8 ⌊ ⌋ 0 0 0 0 0 1 0

1

Es razonable suponer que sí se mantiene constante entre enteros consecutivos, pero además notamos que al avanza un número entero, la función parte entera agrega 1 al valor precedente. Por ejemplo, desde la tabla vemos que:

⌊10,8⌋ = ⌊0,2⌋ = 0 = 1 ⌊0,8⌋ ⌊112,5⌋ = ⌊13,5⌋ = 13 = 1⌊12,5⌋

Pero probemos con números más altos:

La función parte entera sólo adopta valores que son números enteros, y visto el comportamiento que sugieren las tablas y ejemplos, todo número entero es igual a su parte entera, así que el recorrido de la función es , por lo que no es una función sobreyectiva.

ℤ

Como se mantiene constante entre números enteros consecutivos, no es una función creciente ni decreciente en ningún intervalo; por ejemplo: pero . Veamos la gráfica:

3,4 < 3,6 ⌊3,4⌋ = 3 = ⌊3,6⌋

UNIDAD 4: FUNCIONES


286

Cuidado, cada segmento de la gráfica, sobre intervalos de enteros consecutivos, tiene el borde izquierdo pero no el derecho, es como un intervalo cerrado a izquierda y abierto a derecha. Una imagen más detallada:


Analiza las siguientes funciones, dando un dibujo aproximado de su gráfica: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

 = 1 ⌊⌋  = ⌊1 ⌋  = ⌊2⌋  = ⌊⌋  = 2 ⌊⌋  = ⌊ 1⌋

UNIDAD 4: FUNCIONES

287

Definición de Función Racional: ESTUDIO DE FUNCIONES  

 ≠0

Una función racional es de la forma .

 = ++   ≠ 0 cuando

y

Como no se puede dividir por cero, una función racional de la forma dada tiene dominio

ℝ 

, es decir, todos los reales excepto

 

.

Se ven complicadas de analizar las funciones racionales, que hacen el cociente entre dos funciones afines. Sin embargo, toda función racional se basa en la más simple de ellas:

Ejemplo: Analicemos la función racional

 =   ≠ 0 , para

, conocida también



como función recíproca porque es el recíproco o inverso multiplicativo de .



Comencemos con una tabla simple, omitiendo el valor 0:

 1

3 2 1  13  12 1

1

2

3

12 13

1

1

Al alejarnos de 1 a la derecha los valores se van haciendo cada vez más pequeños, más cercanos a 0, mientras que al alejarnos a la izquierda de los valores también se van acercando a 0, pero por negativos. Veamos que pasa en las cercanías de 0 en positivos:

 1001 501 101 14 13 12  100 50 10 4 1 1

3

2

UNIDAD 4: FUNCIONES

288

Mientras más cercanos a cero por positivos, más grande es el número. ESTUDIO DE FUNCIONES  



En los negativos es similar, ya que cambiando el signo de , cambia el signo de su recíproco, sólo que al acercarnos a 0 por negativos, sus recíprocos se hacen más grandes pero en negativo. Consideremos la gráfica:

Si nos alejamos lo suficiente, la gráfica se empieza a parecer a los ejes coordenados, lo que permite denominar a tales ejes como asíntotas de la gráfica. Esto se repetirá en las funciones racionales. Esta gráfica tiene dos ramas que no se tocan, separadas por la asíntota vertical y por la asíntota horizontal. Acá la de la derecha está arriba y la de la izquierda está abajo. La función recíproca es creciente en

0}

 = 0

]∞,0[ ]0, ∞[ y en

, por separado.

La función recíproca no es sobreyectiva, de hecho su recorrido es , ya que es imposible que .

ℝ

UNIDAD 4: FUNCIONES

289


+−     = 4  4  = 4  6 5 3 2 1 0  152 13 9  72  53  34  15 9 3,5 1,6̅ 0,75 0,2

Analicemos la función racional , que es donde se haría cero

. Su dominio no incluye al

.

Por comparación con la función recíproco, podemos sospechar que la función tiene una asíntota vertical , que veremos es cierto. Veamos una tabla:

1

7,5

13

La tercera fila da los valores con decimales. Efectivamente en torno a los valores de la función son sustancialmente mayores que los demás.

4

La gráfica es la siguiente:

Vemos que se parece bastante a la gráfica de la función recíproca, pero la rama de la derecha acá está abajo mientras que la rama de la izquierda está arriba.

UNIDAD 4: FUNCIONES


290

 = 4

Se confirma que tiene asíntota vertical en , y lo que separa la posición arriba-abajo de las ramas es una asíntota horizontal, pero no parece claro cuál es. Sin embargo, hay una forma de saber la posición exacta de la asíntota horizontal: como es cociente de funciones afines, la asíntota horizontal es el cociente de sus pendientes. En este caso, sería la asíntota horizontal. En la gráfica de

 = +−

 =  = 2  = 4  = 2

, incorporemos las rectas

e

:

Vemos que ambas rectas son efectivamente asíntotas.

]∞,4[ ]4,∞[

La función es creciente en y en . Además su recorrido se obtiene quitando el valor que da la posición de la asíntota horizontal: .

ℝ2}

UNIDAD 4: FUNCIONES

291



Analiza y grafica las siguientes funciones racionales: 1. 2. 3. 4.

 = −  = ++  = −+  = −−

Definición de Función Raiz Cuadrada: La función raíz cuadrada asigna a cada número real no negativo su raíz cuadrada, es decir, un número real no negativo que al cuadrado es igual al número dado.

 √  (√ ) =  Se denota

.

  ≥ 0 √  ≥ 0 [0 ,  ∞ [  2 3 4 √  0 1 1,4 1,7 2,2 [0 ,  ∞ [ a la raíz cuadrada de , si

El dominio de la función raíz cuadrada es

, y se cumple

y

.

Veamos una tabla con valores aproximados a un decimal: 0

1

5

2

Vemos que la función raíz cuadrada es creciente, pero los valores no crecen muy rápido. Como los resultados comienzan en 0 y van creciendo, podemos decir que su recorrido es , que indica que no es una función sobreyectiva.

UNIDAD 4: FUNCIONES

292

Podemos hacer una gráfica: ESTUDIO DE FUNCIONES  

Podemos ver que se trata de una función inyectiva y efectivamente es creciente. Una característica de esta gráfica es que tiene un extremo, en este caso en .

0,0

Ejemplo:

 = 2 √  1  1 ≥ 0  ≥ 1 [1,∞[  1 1 2 3  2 3 3,4 3,7 4,2 4,5 [2,∞[

Analicemos la función

.

Notemos que el dominio requiere que que el domino será .

, es decir,

, por lo

Veamos una tabla con valores aproximados a un decimal: 0

4

5

4

Los valores de la función van creciendo de 2 hacia valores mayores, lentamente. Por eso, el recorrido debe ser . Podemos comprobar algebraicamente que se trata de una función inyectiva:

UNIDAD 4: FUNCIONES


293

√ 1 = = √  1 2 √  1 = 2√  1 1 =  1 =

implica , y entonces . Elevando al cuadrado, se tiene , es decir, ; eso justifica totalmente que se trata de una función inyectiva. Su gráfica es:

  1, 2  1 1 = 2

Podemos notar que el extremo ahora se encuentra en tiene sentido porque el extremo del dominio es , y Ejercicios y Problemas Propuestos:

Analiza y haz el gráfico de las funciones siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

 = 3 √   = √  2  = 1 √   = 3 √  4  = 5√ 1   = 1√ 2 

, lo que .

UNIDAD 4: FUNCIONES

294

Operatoria entre Funciones


           ⋅     

Dadas dos funciones y , podemos combinarlas para obtener nuevas funciones de los siguientes modos: 1. Adición de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de asignación , y con dominio obtenido por la intersección de los dominios de y de . 2. Resta de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de asignación , y con dominio obtenido por la intersección de los dominios de y de . 3. Multiplicación de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de asignación , y con dominio obtenido por la intersección de los dominios de y de . 4. Cociente de funciones: Obtenemos una nueva función con regla de asignación

dominios de

, y con dominio obtenido por la intersección de los y de

, pero quitando los valores donde

 = 0

.

Ejemplos:

     = 2 4   = ℝ √ [1,1∞[ [1,∞[  23 4  6 9 11,4 13,7 16 18,2 1. La función suma de las funciones y tiene como dominio a la intersección de los dominios, , que en este caso es .

Una tabla de valores es:

1

5

6

y

UNIDAD 4: FUNCIONES

295

La tabla sugiere que es una función creciente, y la gráfica es: ESTUDIO DE FUNCIONES  

Cerca del extremo izquierdo se parece a la función raíz, pero a la larga se parece a una recta; sin embargo, no es ninguna de las dos. El dominio es la intersección de ambos dominios para que al sumar, ambas imágenes existan. 2. Las funciones racionales son un ejemplo de cociente entre funciones, incluyendo el quitar del dominio aquellos valores que hacen que la función del denominador sea 0.

UNIDAD 4: FUNCIONES


296

Composición de Funciones

        ∘   ∘ =       ℝ   =   1  = 2 √   ∘   ∘ = =54 =√ ()  1 = (2 √ )  1 [0,∞[ √   ∘  ∘ = () = 2  = 2    1  11≥≥00  ℝ

La composición de dos funciones nueva función que se denota

y , en ese orden, es una y se define como:

Es decir, se trata de aplicar la función función .

al resultado de aplicar la

El dominio de la composición es el conjunto más amplio para el cual existe en la expresión .

Ejemplo:

Considerando las funciones 1.

, tenemos:

:

En este caso, el dominio es 2.

y

ya que sólo hay problemas con

.

:

En este caso, se requiere que pero todo número real cumple

para que esté en el dominio, , así que el dominio es .

Algunas funciones, las funciones inyectivas o que se pueden restringir a un intervalo en que sean inyectivas, tienen asociada una función que deshace lo que ella había hecho.

UNIDAD 4: FUNCIONES

297

Definición: ESTUDIO DE FUNCIONES  

Dos funciones cumplen:

  y

son inversas una de la otra cuando se

1. Ambas son inyectivas. 2. 3.

  ∘ =   ∘ =   

4. El dominio de

es el recorrido de

5. El recorrido de

es el dominio de

Ejemplo:

   = 

[0,∞[

La función raíz cuadrada es la inversa de la función con dominio (nada impide tomar sólo una parte del dominio de alguna función). Verifiquemos que se cumplan los requisitos para que sean funciones inversas una de la otra:

    [0,∞[ =   = ±  =   ≥ 0  ≥0  = . (√ ) = (√ ) =   ≥ 0   = √ =   ≥ 0  [0,∞[

1. Ambas son inyectivas. Ya sabemos que la función raíz cuadrada es inyectiva, pero la cuadrática no lo era. Sin embargo, al tener dominio sí es inyectiva, porque si con y , se tiene , de modo que , pero por el signo de y de sólo puede ocurrir que 2. 3.

4. El dominio de función raíz cuadrada.

porque

porque es

, que es igual al recorrido de la

UNIDAD 4: FUNCIONES


298



5. El recorrido de es también de la función raíz cuadrada.

[0,∞[

, que es igual al dominio

Ahora cómo se relacionan las gráficas de ambas funciones:

,    ≥ 0  ≥ 0  =  √  ≥ 0 , ≥0  =  [0 ,  ∞ [  = 

La forma de la gráfica de la función raíz cuadrada es una rama de parábola, sólo que girada. Esto es así porque cada punto de la gráfica de la función raíz cuadrada cumple , y . Pero eso es lo mismo que decir que , y , es decir, el punto con coordenadas intercambiadas, pertenece a la rama derecha, en el primer cuadrante, de la función cuadrática básica, que es exactamente la gráfica de la función con su dominio . Las dos gráficas juntas son:

Se puede ver que el intercambio de coordenadas entre las dos funciones se refleja en la diagonal. Esa es la relación de las gráficas de dos funciones que son inversas una de la otra. Propiedad

Dos funciones inversas una de la otra son ambas crecientes o ambas decrecientes.

UNIDAD 4: FUNCIONES


299

Definición de Función Exponencial:

 > 0  ≠ 1 



ℝ

La función exponencial de base cada número real la potencia .

,

, tiene dominio y asigna a

Nota que para cada valor fijo de exponencial diferente.

como base, se tiene una función

Ejemplo:

 = 2  2 1 1 2 3  14 12 1 2 4 16 32

Analicemos la función exponencial de base 2,

.

Observemos una tabla:

0

4

5

8

La tabla sugiere que la función es creciente y positiva, de hecho crece bastante rápido. Su gráfica:

UNIDAD 4: FUNCIONES

300

]0 ,  ∞ [ >0 ≠

Es una función inyectiva, y notamos que su recorrido es . Cuidado, aunque se acerca mucho a 0 hacia la izquierda, la función no vale 0 jamás, porque no tiene solución. ESTUDIO DE FUNCIONES  

2 = 0 1 ,  ∈ ℝ  =   ⋅  = +  = − − =   = ⋅  = 1  > 0

Recuerda algunas propiedades de potencias y exponentes. Sea . Para todos se cumplen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

,

UNIDAD 4: FUNCIONES

301

Ejemplo: ESTUDIO DE FUNCIONES 

 =   2 1 1 2 3  4 2 1 12 14 18 161 321 2  1  = 2 = 2− = 2− = ,  




.

Veamos una tabla:

0

4

5

La función es claramente decreciente y positiva, y sus valores recuerdan a los de la función , pero en orden inverso. Y es verdad, ya que :

así que se comporta como horizontal. Las dos gráficas juntas:

pero cambiando el sentido del eje

Cuidado, no son funciones inversas una de la otra, como se puede ver al componerlas y aplicar la composición a, por ejemplo,

2− .

y evaluando da

2−

    = 1  =  = :

que es distinto de 1, que debiera ser si

UNIDAD 4: FUNCIONES

302

Propiedad


 >1

 

Si , entonces la función es creciente, pero si entonces la función exponencial es decreciente. Toda función exponencial tiene recorrido

]0,∞[

0<<1

,

.


Analiza y dibuja una gráfica aproximada de las siguientes funciones exponenciales, transformándolas mediante propiedades de exponenciales si fuera útil: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

 = 3  = 10  = 0,2  = 4−  = 5+  = 3

Como las funciones exponenciales son inyectivas, tienen función inversa:

Definición de Función Logarítmica:

 >0  ≠1



log

Para , , definimos del logaritmo de base como la función inversa de la función exponencial de base . Se denota

UNIDAD 4: FUNCIONES


303

  lloogga  ]0,∞[  ℝ         > 0  =   log =   > 0  ≠ 1  ∈ ℝ  > 0  =  ⟺  = log Por definición, como inversa de , el dominio de de , es decir, . Además, el recorrido de de , esto es, .

También se cumple que para todo todo real se tiene .

es el recorrido será el dominio

se tiene

Ambas propiedades se resumen en que para se cumple:

, y que para

,

,

,y

(la doble flecha abrevia a “exactamente cuando”)

De ese modo se pueden obtener, para logaritmos, las propiedades análogas a las de las exponenciales: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

log = 1  =  log ⋅ = log log  ⋅  = +        log  = log  log   = − log  = log − =  log =  ⋅log  = ⋅ log1 = 0  = 1 porque

porque

porque

porque

porque

porque

UNIDAD 4: FUNCIONES

304


log  1001 501 101 1 10 50 log 2 1,7 1 0 1 1,7 2 10[1, ∞[


.

Veamos una tabla, aproximando los resultados a un decimal:

100

Vemos que la función es creciente, como era de esperar ya que es la función inversa de , que es creciente por tener base mayor que 1. Pero el crecimiento, en , es muy lento, pero es sensato ya que con base 10, para que logaritmo avance una unidad, el número debe ampliarse 10 veces:

log1 0⋅  = log10 log = 1log

Su gráfica es:

10

Recuerda cómo se ve la gráfica de la inversa de una función cuya gráfica conocemos, en este caso, .

 2,718281828459045…

≈

Hay una función exponencial especial, basada en un número irracional llamado número o número de Euler, que vale aproximadamente

UNIDAD 4: FUNCIONES

305



ESTUDIO DE FUNCIONES 

Generalmente se utiliza el número como base de exponencial y logaritmo, por razones de matemáticas avanzadas, que pasan a llamarse exponencial natural y logaritmo natural.



El fijarse en esa base en particular es, entre otras razones, porque se puede usar para expresar cualquier exponencial a partir de la exponencial natural y el logaritmo natural, y también se puede expresar cualquier logaritmo a partir de la exponencial natural y el logaritmo natural.

log ln

El logaritmo natural, se abrevia expresa como cualquier otra, . Propiedad

Sea

>0 ≠1 log =   = ⋅ ,

. La exponencial natural se

. Entonces:

1. 2.

l o g   log

Cuidado: algunos textos, calculadoras, y páginas web, usan para referirse al logaritmo base 10, mientras otros usan para referirse al logaritmo natural. Hay que ver bien los ejemplos y definiciones.

UNIDAD 4: FUNCIONES


306

Puede ser ilustrativo el comparar exponenciales para distintas bases en un mismo gráfico, así como comparar logaritmos de distintas bases en un mismo gráfico. Las exponenciales con bases entre 0 y 1 están representadas por líneas segmentadas, y las funciones con igual color tienen bases recíprocas, como y , por ejemplo:

2 0,5

Para logaritmos usamos las mismas bases y colores:

UNIDAD 4: FUNCIONES

307





 = 2∙3 

1) El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo (en horas) está dado por , donde se mide en miles: i. ¿Cuántas bacterias hay inicialmente? ii. Calcula el número de bacterias después de 10 minutos, 30 minutos y 1 hora.

  = 10log  

2) La relación entre el número de decibles y la intensidad del sonido

en watts por metro cuadrado está dada por la función ¿Cuál es el número de decibeles de un sonido cuya intensidad es 1 watts por metro cuadrado?



 = 30,92∙

3) Una aproximación del número de hogares (en millones) con televisión digital, de 2003 a 2007, está dado por la función , con donde representa el año 2003. ¿Cuántos hogares tenían televisión digital el año 2005?

, 3 ≤  ≤ 7,  = 3

4) La economía de una empresa de construcción de barcos se rige por las siguientes funciones de oferta y demanda:

 = 1509  100  =  23   160003 p o p  dp    = 120 – 0,1

Donde es el precio por unidad en euros, son las unidades fabricadas y son las unidades que pide el mercado. Calcula el precio y el número de unidades que se deben fabricar para que la oferta y la demanda coincidan. 5) El ingreso mensual en miles de pesos por la venta de unidades de cierto artículo está dado por la función : i. ¿Cuántos es el ingreso por la venta de 950 unidades? ii. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener un ingreso de quince millones de pesos? iii. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?

UNIDAD 4: FUNCIONES


308

6) El gráfico muestra el costo en pesos de producir cuadernos tapa dura. i. Exprese el costo en función del número de cuadernos. ii. ¿Cuál es el costo de producir 358 cuadernos? iii. ¿Cuántos cuadernos se pueden producir con $ 450.560?

7) La imagen muestra la tarifa de un estacionamiento. Exprese el costo en función de los minutos estacionados y grafique dicha función.

8) La trayectoria de un proyectil corresponde a una función cuadrática. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo cuando el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80 metros?

UNIDAD 4: FUNCIONES


309

0 ≤  ≤ 100.  =  = 20     = 3000  80:

9) Después de t horas de operación, una empresa ha ensamblado una cantidad de segadoras de pasto de motor, donde , siendo Sea C el costo de fabricación de esas unidades (en dólares) dado por i. Exprese el costo de fabricación como función del número de horas de ensamble. ii. ¿Cuál es el costo de las primeras dos horas de operación? iii. Si el costo de fabricación es dos mil quinientos dólares ¿cuántas horas le demanda esa operación? 10) En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función del número de gobios presentes en el lago, y el número de gobios es una función de la

 3

cantidad de plankton en el lago. Si ,

    = 50   = 4  y

i. Si en el lago se estima que hay 7549 peces gobios ¿cuántos plankton y róbalos hay? ii. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una función de la cantidad de plankton.



Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño. Después de minutos, el radio del charco mide pulgadas. Si el área A del charco está dado por la función : 11)

  = =+

i. ¿Cuál es área inicial del charco? ii. Exprese el área del charco en función del tiempo.

12) Una empresa que se dedica a la pintura de automóviles, estima que el costo por pintar una pieza de un vehículo, en donde “x” representa el número de piezas a pintar está dada por la función:

 = 6200 ∙ 9500

UNIDAD 4: FUNCIONES i.

¿Cuánto es el costo de pintar las dos puertas delanteras de un automóvil? ii. ¿Cuántas pizas se pintaron, si el costo fue de $40.500?


310

13) La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente, se describe mediante la función , donde es la velocidad del líquido, la aceleración de gravedad y la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura)

 v h = 2 gh v h   g = 9,8 m/s h

Si el recipiente que contiene el agua destilada de un vehículo se mantiene un nivel constante de agua de 1,1 m, el cual tiene una fuga en donde la velocidad de salida del agua es de ¿A qué altura se encuentra el orificio? ii. ¿Qué restricción se debe realizar en el dominio, para que la función tenga sentido dentro del contexto? i.

1,4 m/s

14) El número de kilómetros que puede recorrer con 4,3 litros de gasolina un determinado modelo de automóvil, con una rapidez de “v” kilómetros por hora, viene dado por la función:

 =  501   95   0 <  < 80

¿Cuál será la cantidad de kilómetros que puede recorrer el vehículo con una rapidez de 15 km/h? ii. ¿Cuál es la rapidez del automóvil, si recorrió 40 km? i.

15) Es posible Medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones sugieren que el riesgo “r” (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico viene dado por la función:

UNIDAD 4: FUNCIONES

311

 = 6

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. ESTUDIO DE FUNCIONES  

Suponga que con una concentración del 0,04 de alcohol en la sangre y un riesgo del 10% de sufrir un accidente. ¿Cuál es el valor de k? ii. Utilizando el valor de k obtenido anteriormente, ¿Cuál es el riego de tener un accidente si la concentración de alcohol es de un 0,17? iii. ¿Cuál es la concentración de alcohol en la sangre de una persona, para que tenga un riesgo de un 100%? (utilizando el valor de k del ejercicio a) i.

16) En 1880 el promedio de la temperatura del suelo fue 11,8 °C. Desde entonces, ha subido a un ritmo casí constante, llegando a 13,6 °C en 1970 ¿Cuál es la expresión que modela la temperatura(T) en función del tiempo(t)? (considerar que t = 0 corresponde al año 1880 y )

0 ≤ t ≤ 89

17) Una empresa que se dedica al trabajo con cerámicos, paga a sus trabajadores en forma mensual, según la cantidad de metros cuadrados realizados ( x ), utilizando la siguiente función:

 = 1.200∙ 50.000

¿Cuánto obtiene un trabajador que pegó 350 mts2 de cerámicos durante un mes? ii. ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pegar un trabajador para obtener $722.000? i.

T ,  Tt °F Tt = T  Ce

18) Según la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto que se encuentra inicialmente a una temperatura se coloca en una habitación a una temperatura , la temperatura (en del objeto en el instante (en horas) esta dada por la función:

T C T k

donde ,

y son constantes.

t

UNIDAD 4: FUNCIONES

312

Un objeto se saca del horno a 350°F y se deja enfriar en una habitación que está a 70°F. Si la temperatura del objeto desciende a 250°F en una hora. ¿Cuál será su temperatura tres horas después de que se sacó del horno?


19) Para evacuar las aguas de las casas en las techumbres se utilizan canaleta. Con una plancha de lata de 30 cms, se requiere obtener una canaleta de sección transversal rectangular, que evacue la mayor cantidad de agua posible, para esto la plancha debe ser doblada, como lo indica la figura. ¿Cuáles deben ser las medidas de la canaleta (altura y base) para que transporte la mayor cantidad de agua posible?

20) El número de vibraciones de una cuerda es directamente proprcional a la raíz cudrada de la tensión de la cuerda. Cuyo modelo se expresa a continuación:

En donde:

Vt = k∙ √ t

t : es la tensión de la cuerda en kg.; V: es la cantidad de vibraciones por seg.; k : constante i. ¿Cuál es el valor de la constante si una cuerda en particular tiene 864 vibraciones por segundo, sometida a 24 kg? ii. Expresar el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T iii. Determinar el número de vibraciones por segundo, cuando la cuerda esté sometida a 6 kg.

UNIDAD 4: FUNCIONES


313

21) De una pieza rectangular de lata que mide 44 cm de largo y 19 cm de ancho se va a construir una caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de lado, como se muestra en la figura, y luego se doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta caja como función de x.



 = 0,020,000167

22) La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego de minutos esta dada por la función . i. ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de

tungsteno? ii. ¿Cuál es la concentración de amoniáco a los 93 minutos? iii. ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco?

 =   2000 0,5 

23) La contaminación por monóxido de carbono en ciertas zonas del planeta está dada por la función donde corresponde a la población en miles de habitantes y al monóxido de carbono en ppm.



i. Si una ciudad tiene una población de 9.548.000 habitantes ¿Cuantó es el nivel de contaminación por monóxido de carbono de esa ciudad? ii. Si la población de una ciudad emite 6 ppm de monóxido de carbono ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?

UNIDAD 4: FUNCIONES

314

  = 7003

24) Estudios demográficos han estimado que dentro de población de una ciudad, en miles de habitantes será ESTUDIO DE FUNCIONES  

años la .

i. ¿Cuántos habitantes tenía inicialmente la ciudad? ii. ¿En cuánto tiempo la población de la ciudad será 14.890.000 habitantes?



iii. Considerando la función de contaminación por monóxido de carbono del ejercicio anterior ¿En cuánto tiempo el nivel de monóxido de carbono de esa ciudad llegará a 5,5 ppm? 25) Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco, que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se propaga mediante ondas sísmicas. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es:

 = 0,67∙log0,37∙1,46

Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 9?

 = −

26) El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y su decrecimiento exponecial se modela mediante la función , donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante . Su vida media es 5730 años, es decir, tarda 5730 años que una cantidad determinada de carbono 14 decaiga a la mitad. Si originalmente estaban presentes 10 gramos ¿Cuánto quedará después de 2000 años?



Matemática 1 - Inacap

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