INDICE
Marco Teórico
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Objetivos
4
Materiales
4
Procedimiento
4
Resultados y cuestionario
5
Cuadro de resultados
9
Conclusiones
11
Bibliografía
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MARCO TEORICO Movimiento Armónico Simple Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno) bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional y opuesta al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial:
La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma:
Donde: : es la elongación de la partícula. : es la amplitud del movimiento (elongación máxima). : es la frecuencia angular : es el tiempo. : es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila. Además, la frecuencia () de oscilación puede escribirse como:
Y por lo tanto el periodo (T) como:
La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
También la velocidad se expresa así: 2
√
La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (E p) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (E c ) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:
Esta última magnitud E m recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:
La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento. Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,
La ecuación mostrada nos muestra lo constante de su energía, además se tiene la siguiente gráfica:
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OBJETIVOS -Conocer las condiciones para un movimiento armónico simple -Calcular la constante de fuerza del resorte con el método de los mínimos cuadrados junto con los datos que se tomaran en este experimento -Verificar las leyes física que rigen el M.A.S.
MATERIALES -Un resorte -Una base y soporte universal -Un cronómetro -Cuatro pesas de aproximadamente 1000, 500, 250 y 250 gramos -Una balanza -Una regla
PROCEDIMIENTO 1) Se colgó del soporte universal el resorte, el cual fue previamente pesado en la balanza y medido con la regla para determinar su masa y longitud natural, respectivamente. 2) Se pesó las 4 pesas a utilizar con la balanza para determinar su masa en gramos para luego colgarlas del resorte suspendido en el soporte universal y medir la elongación que producen en este, ya sea por separado o en conjunto, más concretamente las pesas 1 y 2 por si solas y las duplas formadas por las pesas 1, 2 y 3.
3) Con cada pesa o conjunto de pesas se hizo oscilar al sistema y se contó primero cuantas oscilaciones daba en 60 segundos para luego volver a hacer oscilar el sistema contando ahora cuanto tiempo demora en realizar el mismo número de oscilaciones que dio en el anterior movimiento. 4) Con los datos obtenidos se llenó la tabla 2 de la guía y procedió a calcular los tiempos promedio de cada pesa o conjunto de pesa así como las frecuencias de estos dividiendo el número de oscilaciones que dan entre el tiempo promedio.
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RESULTADOS Y CUESTIONARIO 1) Determine la constante del resorte K promediando los resultados del paso 2 Primero tabulamos los datos de las masas de las pesas y el resorte masas (g) 1
2
3
1005,4
498,3
252,8
4 resorte 253,1
61,8
Y ahora las elongaciones que producen cada pesa o conjunto de pesas según sea el caso
m1 (a) x(m)
m2 (b) 0,129
m2+m3 (c) 0,041
0,086
m1+m3 (d) 0,174
m1+m2 (e) 0,221
Donde cada letra a, b, c, d y e entre paréntesis es la notación que hemos dado a cada pesa o conjunto de pesas por simplicidad Ahora, tabulamos los valores del peso de cada pesa o conjunto junto a la respectiva elongación que causan en el resorte
mg (N)
x(m)
a
9,86
0,129
b
4,89
0,041
c
7,37
0,086
d
12,3
0,174
e
14,8
0,221
Con estos datos procedemos a hacer el ajuste de curvas a una recta de la forma: Y=Ax+B Donde: A=K (constante elástica del resorte) Usando las siguientes formulas, siendo los pesos los valores y i y las elongaciones los valores xi
∑ +∑ = = ∑ ∑ +∑ = = = 5
A = K = 54,48 B = 2,67 Con esto se realiza la gráfica mg vs x
mg vs x 16.00 y = 54,48x + 2,67 14.00 12.00 10.00 mg vs x
8.00
Linear (mg vs x)
6.00 4.00 2.00 0.00 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
2) Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare: Para esto utilizamos los siguientes datos que pertenecen a la tabla 2 m (kg)
frecuencia(osc/s)
a
1,0054
1,16
b
0,4983
1,63
c
0,7511
1,34
d
1,2582
1,05
e
1,5037
0,97
Para la comparación en este caso utilizamos los 4 primeros conjuntos de pesas y los comparamos uno con cada uno como se muestra en la siguiente tabla donde también se muestra el % de error entre ambas cantidades iyj
(f i/f j)2
(m j/mi)
% error
ayb
0,5070
0,4956
2,25%
byc
1,476
1,507
2,07%
ayc
0,7484
0,7471
0,18%
byd
2,418
2,525
4,23%
ayd
1,226
1,2514
2,03%
dyc
0,6104
0,5970
2,21% 6
Donde:
) % ( 100%
3) Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones del paso 2: Para esta parte hacemos uso de los mismos datos usados con anterioridad pero adicionando esta vez un tercio del valor de la masa del resorte, la cual denotaremos por r = 0,0618 kg iyj
(f i/f j)2
(m j+r/3)/(mi+r/3) % error
ayb
0,5070
0,5058
0,25%
byc
1,476
1,487
0,74%
ayc
0,7484
0,7521
0,50%
byd
2,418
2,464
1,88%
ayd
1,226
1,2464
1,63%
dyc
0,6104
0,6035
1,14%
En general se observa un % de error menor al calculado sin tomar en cuenta la masa del resorte en la pregunta anterior
4) Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuación (18.6), compare el resultado con las frecuencias obtenidas en el paso 2 Según la ecuación (18.6) la frecuencia de puede calcular de la siguiente forma:
21
Dónde: F = mg
Consideraremos la frecuencia hallada durante el paso 2 como experimental y la hallada por la ecuación (18.6) como teórica y con esto veremos el % de error
f experimental f teorica
%error
a
1,16
1,39
17%
b
1,63
2,46
34%
c
1,34
1,70
21%
d
1,05
1,20
12%
e
0,97
1,06
9%
7
En general se observa que el valor teórico de la frecuencia es mayor que el experimental
5) ¿Cómo reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armónico? Ya sea un movimiento Armónico Simple, Armónico Amortiguado o Armónico Forzado. El movimiento armónico en general cumple ser periódico, oscilatorio y que su posición que varía con el tiempo es expresada mediante funciones sinusoidales. Si es armónico simple su amplitud se mantiene constante, de lo contrario es amortiguado; pero si interviene una fuerza externa que quiere hacer que su amplitud sea constante será un amortiguado forzado.
6) ¿Qué tan próximo es el movimiento estudiado aquí, a un movimiento armónico simple? Es muy próximo ya que hemos usado las ecuaciones que rigen el M.A.S. y los resultados obtenidos han tenido gran precisión, sin embargo sabemos que no es un M.A.S. ya que si bien a simpe vista no notamos la diferencia, si dejamos que la masa siga oscilando notaremos que poco a poco disminuye su amplitud hasta detenerse y eso hace más notorio que es un M.A. Amortiguado.
7) Haga una gráfica del periodo al cuadrado versus la masa. Utilice los resultados del paso 2. Utilice los resultados del paso 2. Los valores del periodo se hallan con la inversa de las frecuencias calculadas en la tabla 2, teniendo así los valores de la siguiente tabla que se usaran para un ajuste de curvas a una recta con las formulas previamente usadas en la pregunta 1 i
Ti2 (s2)
m (kg)
a
0,74
1,0054
b
0,38
0,4983
c
0,56
0,7511
d
0,91
1,2582
e
1,06
1,5037
8
Obteniéndose la siguiente gráfica:
T2 vs m 1.20 y = 0,6856x + 0,0429 1.00 0.80 T2 vs m
0.60
Linear (T2 vs m) 0.40 0.20 0.00 0
0.5
1
1.5
2
CUADRO DE RESULTADOS Tabla 1: m1 (a) x(m)
m2 (b) 0,129
m2+m3 ( c ) 0,041
m1+m3 (d)
0,086
m1+m2 ( e )
0,174
0,221
Tabla 2: m (kg)
t1 (s)
t2 (s)
tpromedio
t3 (s)
Nº oscilaciones frecuencia(osc/s)
a
1,0054
60,00
59,24
59,34
59,53
69
1,16
b
0,4983
60,00
60,70
59,90
60,20
98
1,63
c
0,7511
60,00
59,60
59,52
59,71
80
1,34
d
1,2582
60,00
60,18
60,36
60,18
63
1,05
e
1,5037
60,00
61,00
61,45
60,82
59
0,97
Con los datos de la tabla 2 pasamos a calcular la frecuencia angular en cada caso y con este dato realizamos un ajuste de curvas a una recta de la frecuencia angular al cuadrado versus la inversa de la masa, con lo que podemos hallar un segundo valor experimental de la constante K del resorte, el cual debería ser cercano al valor hallado en la pregunta 1 del cuestionario.
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Para ello empleamos las siguientes ecuaciones del M.A.S.
2 4
Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla: w2
1/m
a
53,07
0,99
b
104,8
2,01
c
70,82
1,33
d
43,48
0,79
e
37,11
0,66
Y con estos se realiza el ajuste de curvas a una recta usando las formulas previamente usadas en las preguntas 1 y 7 del cuestionario, obteniéndose la siguiente gráfica:
w2 vs 1/m 120.00 y = 50,12x + 3,24 100.00 80.00 w2 vs 1/m
60.00
Linear (w2 vs 1/m) 40.00 20.00 0.00 0.00000
0.50000
1.00000
1.50000
2.00000
2.50000
Donde K = 50,12 Calculo del error de la constante K ( ΔK): Haciendo uso de la ecuación:
10
Se obtiene:
2d + Δ 2Δ + Δ 2 2− 2− Δ 2−Δ
Y para Δw:
Se obtiene:
Donde son datos: Δt
= 0,005 s y Δm = 5x10-5 kg
Empleando dichas formulas se llega a los siguiente valores ma: Δwa = -0,042 Δka = -0,61 mb: Δwb = -0,084 Δkb = -0,85 mc: Δwc = -0,056
Δkc =
-0,70
md: Δwd = -0,035 Δkd = -0,59 me: Δwe = -0,030 Δke = -0,54 Donde ΔK será el promedio de cada uno de los Δki por lo cual: ΔK
= -0,658
CONCLUSIONES 1) Observamos que si bien este movimiento se asemejaba mucho a un Movimiento Armónico Simple, hay factores factores que inf luyen en su movimiento tales como la gravedad y el rozamiento del aire. 2) También notamos la influencia del soporte universal, pues su estabilidad influye en nuestras mediciones.
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3) Al encontrar el valor de la constante de la fuerza del resorte nos damos cuenta que tiene un mínimo margen de error debido a que aplicamos el método de los mínimos cuadrados. 4) La frecuencia ni el periodo dependen de la amplitud 5) Se comprobó que para hallar constantes, es as preciso realizar un ajuste de mínimos cuadrados pues su incertidumbre es menor.
BIBLIOGRAFIA Serway – Física para las ciencias y la ingeniería
Leyva. Física II
Sears Zemansky- Física Universitaria
Tipler- Física Universitaria
Alonso Fin- Física
http://www.uv.es/diaz/mn/node5.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple#Energ. C3.ADa_del_movimiento_arm.C3.B3nico_simple http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteracti va/mas/cinematica/caracteristicas.htm
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