UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTA FACULTAD D DE INGENIERÍA INGENIERÍ A MECÁNICA DINÁMICA APLICADA GUÍA DE LABORATORIO No.10 OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO DOBLE
1. Obje Objet t!o !o"" Ge#e Ge#e$% $%&e &e"" 1.1. Determinar Determinar las ecuaciones ecuaciones de movimiento, las frecuencias frecuencias naturales y los modos modos normal normales es de oscil oscilac ació ión n de un sistem sistema a de pénd péndulo ulo dobl doble, e, bajo bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático para diferentes condiciones iniciales dadas. Comparar resultados teóricos y experimentales.
'. Obje Objet t!o !o" " E"(e)* E"(e)*+ +)o )o"" .1. !edir los periodos de oscilación de un péndulo doble. .. .. "bten "btener er las ecua ecuacio ciones nes difere diferenc ncial iales es no linea lineales les del movimi movimient ento o del del péndu péndulo lo doble doble.. Cons Conside iderar rar ambas ambas masas masas como como esfe esferas ras de dimen dimensió sión n dada. .#. .#. "bten "btener er las ecua ecuacio ciones nes difere diferenc ncial iales es linea linealiz lizad adas as con resp respect ecto o a la posición de e$uilibrio estático. .%. Calcule las frecuencias naturales y los modos normales de oscilación. .&.'ncontrar .&.'ncontrar las solucion soluciones es de las ecuacio ecuaciones nes diferenc diferenciale iales s de movimie movimiento nto desar desarro rolla llada das s en el punto punto .# .# en funci función ón de las cond condici icion ones es inici inicial ales es ´ ´ θ1 ( 0 ) , θ1 ( 0 ) , θ2 ( 0 ) y θ2 ( 0 ) . .(. )ariar )ariar las condiciones iniciales para $ue el sistema oscile en* .(. .(.1 1 +rime rimerr mod modo o .(. .(. egun egund do modo modo .(.# .(.# Combi Combinac nació ión n de de modos modos .-. .-. Compa Comparar rar los resu resulta ltado dos s teóric teóricos os con con los exper experime imenta ntales les.. 'xpli 'xplica carr la diferencia. #. E,-(o" /%te$%&e" % -t&%$ #.1. ilo de monofilamento monofilamento de pesca #.. /res /res 0# esferas de acero #.#. !arco para soporte soporte #.%. 2alanza #.&. Cinta métrica métrica #.(. Cronómetro Cronómetro #.-. !icrómetro
. Me Meto to2o 2o&o &o3* 3*%%
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%.1. 3tilice el istema !étrico de unidades. %.. 'scoja dos esferas de acero, mida el diámetro de las misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad, con respecto a los ejes de coordenadas x, y y z. %.#. 4ije el extremo de un 5ilo de monofilamento al marco, fije el otro extremo a la primera esfera de acero. 4ije el extremo del segundo 5ilo a la primera esfera de acero y fije el otro extremo a la segunda esfera de acero. %.%. Desplace las esferas de acero de la posición de e$uilibrio estático, de acuerdo a las condiciones $ue establece el punto .(.1 y libere. !ida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. "btenga el periodo promedio. "bserve y describa el movimiento resultante de cada masa. %.&. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los θ1 ( 0 ) y θ2 ( 0 ) . periodos naturales medidos. 6rafi$ue los resultados para %.(. Desplace las esferas de acero de la posición de e$uilibrio estático, de acuerdo a las condiciones $ue establece el punto .(. y libere. !ida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. "btenga el periodo promedio. "bserve y describa el movimiento resultante de cada masa. %.-. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los θ1 ( 0 ) y θ2 ( 0 ) . periodos naturales medidos. 6rafi$ue los resultados para %.7. Desplace las esferas de acero de la posición de e$uilibrio estático, de acuerdo a las condiciones $ue establece el punto .(.# y libere. !ida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. "btenga el periodo promedio. "bserve y describa el movimiento resultante de cada masa. %.8. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los θ1 ( 0 ) y θ2 ( 0 ) . periodos naturales medidos. 6rafi$ue los resultados para
4. P$o)e2/e#to &.1. eleccione los parámetros 0longitud y masa para cada uno de los dos
péndulos. 9a longitud desde el punto fijo de oscilación al centro de la primera esfera debe ser aproximadamente #: cm. 9a longitud desde el centro de la primera esfera a la segunda debe ser aproximadamente #: l 1=l 2=40 cm cm. Considerar utilizar si el periodo de oscilación es muy pe$ue;o. +ara todos los casos a estudiar asuma $ue
θ´ 1 ( 0 )=0 y ´θ2 ( 0 )=0.
&..
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&.-. Determine las condiciones iniciales $ue den por resultado la oscilación del sistema en el primer modo, segundo modo y combinación de modos normales.
5. P$e3-#t%" (.1. >?ué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados@ (..>Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las dos barras@ (.#.>?ué concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilación@ (.%. >Cómo obtendr=a el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos@
6. F-#2%/e#to" 3n sistema de péndulo doble vibrará libremente en su primer modo normal de oscilación, segundo modo ó una combinación de ambos modos al desplazarse de su posición de e$uilibrio estático y liberarse. 'l movimiento resultante depende de las condiciones iniciales del movimiento. 'l sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas noAconservativas ni a excitaciones externas. 'l sistema tiene dos grados de libertad, por lo cual resultarán dos ecuaciones diferenciales de movimiento, dos frecuencias naturales y dos modos normales de oscilación. 9as ecuaciones diferenciales son de segundo grado, 5omogéneas con coeficientes constantes. 9a soluciones de dic5as ecuaciones corresponden a las soluciones complementarias en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. 9a 4ig. 1:.1 representa un péndulo doble, en donde se indican los parámetros principales para su modelado.
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4igura &.1 +odemos utilizar diferentes métodos para obtener las ecuaciones diferenciales de movimiento. 'n este caso, emplearemos la ecuación de 9agrange*
d ∂ ( E . C . ) ∂ ( E . C . ) ∂ ( E . P . ) ∂ ( E . D . ) − + + =Q i (10.1) dt ∂ q´ i ∂ qi ∂ qi ∂ ´qi 1
2
1
2
E .C .= m1 v 1+ m 2 v 2 ( 10.2 ) 2
2
v 1=l 1 θ´ 1 ( 10.3 ) v 2 /1=l2 θ´ 2 ( 10. 4 ) 2
2
2
v 2= v 1 + v 2 /1−2 v1 v 2 /1 cos α ( 10.5 )
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v 2=( l 1 θ´ 1) +(l2 θ´ 2) − 2 ( l1 θ´ 1 )( l2 θ´ 2 )cos [ 180 ° −( θ2−θ 1 ) ]( 10.6 ) 2
2
2
v 2=l 1 θ´ 1 + l 2 θ´ 2+ 2 l1 l 2 θ´ 1 θ´ 2 cos ( θ 2−θ1 ) ( 10.7 ) 2
2
2
2
2
E . P .= m1 g y 1+ m2 g y2 ( 10.8 ) θ1
−cos ¿ ¿ y =l ¿
1
1
1
θ1
−cos ¿ ¿
1
θ2
−cos ¿ ¿ y =l ¿
1
1
1
θ1= A cos ( ωt + ϕ )
01:.11
θ2= B cos ( ωt + ϕ )
01:.1
Bemplazando las ecuaciones 01:.11 y 01:.1 en las ecuaciones diferenciales, se obtiene la ecuación caracter=stica, ó ecuación de frecuencias, a partir de la cual se obtienen las dos frecuencias naturales. gualmente obtenemos las ecuaciones correspondientes a los dos modos normales* (1)
( )= A B
(2)
( ) A B
1
λ1
( 10.13 )
1
= (10.1 4 ) λ2
B 1= λ1 A 1 ( 10.15 )
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B 2= λ2 A 2 ( 10.16 )
9as respuestas del sistema en función del tiempo son* ω
¿
ω
¿ (¿ 2 t ¿ + ϕ ) ¿ (¿ 1 t ¿ + ϕ )+ A cos ¿ ¿ θ ( t ) = A cos ¿ 2
1
01:.1-
2
1
1
ω
¿
ω
¿ (¿ 2 t ¿ + ϕ ) ¿ (¿ 1 t ¿ + ϕ )+ B cos ¿ ¿ θ ( t ) = B cos ¿ 2
1
2
01:.17
2
1
Bemplazando las ecuaciones 01:.1& y 01:.1( en la ecuación 01:.17 se obtiene*
ω
¿
ω
¿ (¿ 2 t ¿+ ϕ ) ¿ (¿ 1 t ¿ + ϕ )+ λ A cos ¿ ¿ θ ( t ) = λ A cos ¿ 2
1
2
9as constantes
A 1 , A 2 , ϕ 1 y ϕ2
2
1
01:.18
2
1
se obtienen a partir de las condiciones iniciales
θ1 ( 0 ) , θ´ 1 ( 0 ) , θ2 ( 0 ) y ´θ2 ( 0 ) .
θ1 ( 0 )= A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
01:.:
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θ´ 1 ( 0 )=−ω1 A 1 sin ϕ 1−ω 2 A2 sin ϕ 2
A 1=
A 2=
θ2 ( 0 )= λ 1 A1 cos ϕ 1 + λ 2 A2 cos ϕ 2
01:.
θ´ 2 ( 0 )=− λ1 ω1 A 1 sin ϕ 1− λ2 ω2 A 2 sin ϕ 2
01:.#
θ2 ( 0 )− λ 2 θ1 ( 0)
( λ − λ )cos ϕ 1
2
( λ − λ )cos ϕ
1
=
1
θ2 ( 0 )− λ 1 θ1 ( 0) 2
01:.1
=
2
θ´ 2 ( 0 )− λ2 θ´ 1( 0) ω1 ( λ2− λ 1) sin ϕ 1 θ´ 2 ( 0 )− λ1 θ´ 1( 0 ) ω 2( λ1− λ 2) sin ϕ 2
(10.24 )
(10.2 5 )
θ´ 1 ( 0 )=0 y que θ´ 2 ( 0 ) =0.
+rimer modo normal 0
A 2=0 ¿
egundo modo normal 0
*
A 1=0 ¿
θ1 ( 0 )= A1 cos ϕ1
01:.(
θ2 ( 0 )= λ 1 A1 cos ϕ 1
01:.-
*
θ1 ( 0 )= A2 cos ϕ2
01:.7
θ2 ( 0 )= λ 2 A2 cos ϕ2
01:.8
7. Re+e$e#)%"8 7.1.)ibraciones !ecánicas. ingiresu . Bao. ?uinta edición. +'