UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA APLICADA GUÍA DE LABORATORIO No.10 OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO DOBLE
1. Objetivos Generales 1.1. Determinar las ecuaciones de movimiento, m ovimiento, las frecuencias naturales n aturales y los modos normales de oscilación de un sistema de péndulo doble, bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático para diferentes condiciones iniciales dadas. Comparar resultados teóricos y experimentales.
2. Objetivos Específicos 2.1. Medir los periodos de oscilación de un péndulo doble. 2.2. Obtener las ecuaciones e cuaciones diferenciales no lineales linea les del movimiento del péndulo doble. Considerar ambas masas como esferas de dimensión dada. 2.3. Obtener las ecuaciones e cuaciones diferenciales linealizadas linealizada s con respecto a la posición de equilibrio estático. 2.4. Calcule las frecuencias naturales y los modos normales de oscilación. 2.5. Encontrar las l as soluciones de las ecuaciones e cuaciones diferenciales difer enciales de movimiento desarrolladas en el punto 2.3 en función de las condiciones iniciales . 2.6. Variar las condiciones iniciales para que el sistema oscile en: 2.6.1 Primer modo 2.6.2 Segundo modo 2.6.3 Combinación de modos 2.7. Comparar los resultados resu ltados teóricos con co n los experimentales. Explicar la la diferencia.
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3. Equipos y materiales a utilizar 3.1. Hilo de monofilamento de pesca 3.2. Tres (3) esferas de acero 3.3. Marco para pa ra soporte 3.4. Balanza 3.5. Cinta métrica 3.6. Cronómetro 3.7. Micrómetro
4. Metodología 4.1. Utilice el Sistema Métrico de unidades.
II Semestre 2012
4.2. Escoja dos esferas de acero, mida el diámetro de las misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad, con respecto a los ejes de coordenadas x, y y z. 4.3. Fije el extremo de un hilo de monofilamento al marco, fije el otro extremo a la primera esfera de acero. Fije el extremo del segundo hilo a la primera esfera de acero y fije el otro extremo a la segunda esfera de acero. 4.4. Desplace las esferas de acero de la posición de equilibrio estático, de acuerdo a las condiciones que establece el punto 2.6.1 y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. Observe y describa el movimiento resultante de cada masa. 4.5. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los periodos naturales medidos. Grafique los resultados para 4.6. Desplace las esferas de acero de la posición de equilibrio estático, de acuerdo a las condiciones que establece el punto 2.6.2 y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. Observe y describa el movimiento resultante de cada masa. 4.7. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los periodos naturales medidos. Grafique los resultados para 4.8. Desplace las esferas de acero de la posición de equilibrio estático, de acuerdo a las condiciones que establece el punto 2.6.3 y libere. Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. Observe y describa el movimiento resultante de cada masa. 4.9. Determine las frecuencias circulares naturales de oscilación a partir de los periodos naturales medidos. Grafique los resultados para
5. Procedimiento 5.1. Seleccione los parámetros (longitud y masa) para cada uno de los dos
péndulos. La longitud desde el punto fijo de oscilación al centro de la primera esfera debe ser aproximadamente 30 cm. La longitud desde el centro de la primera esfera a la segunda debe ser aproximadamente 30 cm. Considerar utilizar si el periodo de oscilación es muy pequeño. Para todos los casos a estudiar asuma que 5.2. Analice las oscilaciones para el primero modo normal de oscilación. 5.3. Analice las oscilaciones para el segundo modo normal de oscilación. 5.4. Analice las oscilaciones para la combinación de modos normales de oscilación. 5.5. Obtenga las ecuaciones diferenciales de movimiento. 5.6. Determine analíticamente las frecuencias circulares naturales del movimiento y los modos normales de oscilación. 5.7. Determine las condiciones iniciales que den por resultado la oscilación del sistema en el primer modo, segundo modo y combinación de modos normales.
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6. Preguntas 6.1. ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simple estudiados? II Semestre 2012
6.2. ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las dos barras? 6.3. ¿Qué concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilación? 6.4. ¿Cómo obtendría el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos?
7. Fundamentos Un sistema de péndulo doble vibrará libremente en su primer modo normal de oscilación, segundo modo ó una combinación de ambos modos al desplazarse de su posición de equilibrio estático y liberarse. El movimiento resultante depende de las condiciones iniciales del movimiento. El sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. El sistema tiene dos grados de libertad, por lo cual resultarán dos ecuaciones diferenciales de movimiento, dos frecuencias naturales y dos modos normales de oscilación. Las ecuaciones diferenciales son de segundo grado, homogéneas con coeficientes constantes. La soluciones de dichas ecuaciones corresponden a las soluciones complementarias en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. La Fig. 10.1 representa un péndulo doble, en donde se indican los parámetros principales para su modelado.
Figura 5.1
II Semestre 2012
Podemos utilizar diferentes métodos para obtener las ecuaciones diferenciales de movimiento. En este caso, emplearemos la ecuación de Lagrange:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
Asumimos las siguientes soluciones
(10.11) (10.12)
Remplazando las ecuaciones (10.11) y (10.12) en las ecuaciones diferenciales, se obtiene la ecuación característica, ó ecuación de frecuencias, a partir de la cual se obtienen las dos frecuencias naturales. Igualmente obtenemos las ecuaciones correspondientes a los dos modos normales:
() ()
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Las respuestas del sistema en función del tiempo son:
(10.17) (10.18)
Remplazando las ecuaciones (10.15) y (10.16) en la ecuación (10.18) se obtiene:
Las constantes se obtienen a partir de ̇ ̇ ̇ ̇
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Primer modo normal ( : Segundo modo normal ( :
(10.19) las condiciones iniciales
(10.20) (10.21) (10.22) (10.23)
Asumir que
(10.26) (10.27)
(10.28) (10.29)
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1. Objetivos Generales 1.1. Determinar las ecuaciones de movimiento, m ovimiento, las frecuencias naturales n aturales y los modos normales de oscilación de un sistema de péndulo doble, bajo vibración libre no amortiguada. Desarrollar y analizar el modelo matemático para diferentes condiciones iniciales dadas. Comparar resultados teóricos y experimentales.
2. Objetivos Específicos 2.1. Medir los periodos de oscilación de un péndulo doble. 2.2. Obtener las ecuaciones e cuaciones diferenciales no lineales linea les del movimiento del péndulo doble. Considerar ambas masas como esferas de dimensión dada. 2.3. Obtener las ecuaciones e cuaciones diferenciales linealizadas linealizada s con respecto a la posición de equilibrio estático. 2.4. Calcule las frecuencias naturales y los modos normales de oscilación. 2.5. Encontrar las l as soluciones de las ecuaciones e cuaciones diferenciales difer enciales de movimiento desarrolladas en el punto 2.3 en función de las condiciones iniciales . 2.6. Variar las condiciones iniciales para que el sistema oscile en: 2.6.1 Primer modo 2.6.2 Segundo modo 2.6.3 Combinación de modos 2.7. Comparar los resultados resu ltados teóricos con co n los experimentales. Explicar la la diferencia.
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3. Equipos y materiales a utilizar 3.1. Hilo de monofilamento de pesca 3.2. Tres (3) esferas de acero 3.3. Marco para pa ra soporte 3.4. Balanza 3.5. Cinta métrica 3.6. Cronómetro 3.7. Micrómetro
4. Metodología 4.1. Utilice el Sistema Métrico de unidades.
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