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Análisis Matemático de un Péndulo Invertido (Control Automático)Descripción completa
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Modelo de estado de un péndulo invertido con una masa ()
() ()
En la figura se representa el esquema de un péndulo invertido sobre una masa móvi móvil.l. Est Este sist sistem emaa mecán ecánic icoo tien tienee como única variable ble de entrada la fuerza () que se aplica al carro de masa , dando lugar a su desplazamiento desplazamiento horizontal () . Sobre dicho carro se halla una barra rígida que gira libremente sobre su punto de apoyo un ángulo () y cuya masa se puede suponer conce ncentrada en un punto situado a una distancia de su base sobre el carro.
Las ecuaciones del sistema se obtienen aplicando la ley de Newton sobre ambas masas, y proyectando sobre ambos ejes :
•
()
( )
+ sin() cos()
( )
= sin()
+
= cos() −
()
( ) ( )
Donde la variable la fuerza que ejercen recíprocamente entre sí el carro y la barra.
Las ecuaciones del sistema se obtienen aplicando la ley de Newton sobre ambas masas, y proyectando sobre ambos ejes : •
()
= − sin()
() + ( )
Donde la variable la fuerza que ejercen recíprocamente entre sí el carro y la barra.
Eliminando la fuerza intermedia para reducir las ecuaciones del modelo se obtienen las siguientes ecuaciones:
Éstas son dos ecuaciones de segundo grado por lo que el sistema tiene cuatro variables de estado, pudiendo elegirse las posiciones y velocidades de ambas masas, esto es , , y .
Eliminando entre las dos ecuaciones anteriores y , respectivamente, se obtienen las siguientes dos ecuaciones de movimiento: + = sin − sin cos + + = + sin − cos − sin cos
En las que definiendo las siguientes variables de estado: 1 = , = , 3 = y 4 = se obtienen las siguientes ecuaciones que representan el modelo de estado no lineal: 1 = =
Si suponemos que se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando en torno al estado definido por 1 = = 3 = 4 = 0, las anteriores ecuaciones pueden linealizarse en torno a dicho punto de funcionamiento, obteniéndose el siguiente modelo lineal del sistema:
Si las variables de salida del sistema son () y , se puede escribir la ecuación de salida del modelo como: