INDICE
Objetivos………………………………….……………………………………………………….. ……pag. teórico………………………..…………………………………………………..… …pag. procedimiento….…………………….….…………………………………….. ……………………….………………………………………………………….. Cuestionario…………………………………………………………………………………………… observaciones…………………………………………………………………………………………. conclusiones…………………………………………………………………………………………… referencias………………………………………………………………………………………………pag
2
compendio
.
3
..................................pag.6 ..................................pag.6
resultados obtenidos
.pag.7 .pag.7
pag.23 pag.29 pag.29
-
pag.30
-
.31
PENDULO SIMPLE Y COMPUESTO
OBJETIVOS
Determinar el centro de masa del nuevo sistema que conforma el péndulo (barra y disco). Confirmar que el péndulo compuesto es adaptable a un péndulo simple para su mejor estudio. Calcular la gravedad a partir del dato experimental obtenido (periodo) para calcular el margen de error. Comparar el margen de error obtenido con el margen de error tomado a partir del cálculo teórico del periodo. Comprobar la variación del periodo respecto a la variación de la ubicación del centro de masa.
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COMPENDIO TEORICO
El péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal, con la condición de que dicho eje no pase por su centro de masa. Para su mejor estudio es necesario ajustar su modelo matemático al modelo del péndulo simple debido a que tenemos conceptos previos.
Figura 1. Péndulo físico. El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación ). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ el centro de gravedad ( ) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
alrededor del eje fijo ZZ′ ( que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y ) del péndulo al eje de rotación ZZ′. ) cuyo momento resul t ante con respecto al ej e ZZ′ es un vector di r i g i d o a l o largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e.,
Llamaremos a la distancia del centro de gravedad ( Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y
el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y l amamos
Si es a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:
que podemos escribir en la forma:
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que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen la ecuación [3] adopta la forma
≈
θ
θ y
que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es :
Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo c uyo periodo sea igual al de un péndulo físico
dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ , podemos escribir:
y, por lo tanto, tenemos que:
puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya d
Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo istancia al eje de suspensión es λ . Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud
PARTE EXPERIMENTAL
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EQUIPOS Y MATERIALES:
-
Soporte universal
-
Una balanza
-
Un cronometro Una wincha
-
Una barra metálica Un disco
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PROCEDIMIENTO
Prepare el péndulo de barra (compuesto) tal y como se muestra en la figura.
El péndulo compuesto dispuesto en el laboratorio esta constituido por una barra rígida de sección rectangular y de longitud y una masa (disco D) deslizante sobre la misma, apoyándose la barra mediante una cuchilla acero, que esta dirigida hacia abajo, constituye el eje de giro del péndulo.
Una vez conseguida la verticalidad de la barra, que es su posición de equilibrio, se separa de dicha posición oscilando
con amplitudes pequeñas (θ << 10º) en un plano que debe ser perfil de la mesa del laboratorio, evitando cualquier movimiento lateral de la barra.
longitudes “” del péndulo. Las longitudes
Con un cronometro manual se mide el periodo de oscilación.
Deslizando la masa a través de la barra se obtienen diferentes y se miden con la wincha.
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RESULTADOS OBTENIDOS
Figura 2. pendulo compuesto
2 Leg Le Le . . . . . . .
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Determinando las masas del sistema: s istema:
a 1073,7g 0,05g b 104,6g 0,05g L 100cm0,05cm L 98cm0,05cm L 92cm0,05cm L 83cm0,05cm L 75cm0,05cm L 67cm0,05cm L 59cm0,05cm L 51cm0,05cm
Determinando las longitudes del sistema
Datos experimentales para 5 oscilaciones
, , , , , , , LABORATORIO DE FISICA 2
5
9.59s 9.28s 8.78s 8.15s 8.01s 7.68s 6.47s
1.918 1.856 1.756 1.63 1.602 1.536 1.294
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Calculando Le (longitud equivalente)
13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.98 1,065 . . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 9 8 1,0730,1046 0,937 . L . L 1,1776.1,0650,937 L 0,9651651 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.92 0.943. . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 9 2 1,0730,1046 0.882 . L . L 1,1776.0.9430.882 L 0,907907 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.83 0,774. . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 8 3 1,0730,1046 0,800 . L . L 1,1776.0,7740,800 L 0,821821 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.75 0,638 . . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 7 5 1,0730,1046 0,727 . L . L 1,17760,638.0,727 L 0,745745 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.67 0.516. . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 6 7 1,0730,1046 0,654 . L . L 1,1776.0.5160,654 L 0,669669 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.59 0,408 . . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 5 9 1,0730,1046 0,582 . L . 0,4080,582 L 1,1776. L 0,595595 m =1,1776 kg
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. L . 13 . . . 13 .0,1046.1 1,073.0.51 0,313 . . . . .0,1046.1 1, 0 73. 0 , 5 1 1,0730,1046 0,509 . L . L 1,1776.0,3130,509 L 0,522522 m =1,1776 kg
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Se sabe que la grafica es una recta:
2 Leg 4.. Leg Dándole a (T² = Y) y (Le = X) entonces se obtendría:
4.4.g . Donde :
4. 4. g y b aproimadamente0 Para que:
Y = m.X +b
Se conoce por estadística que:
m : pendiente b : intercepto
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..∑∑.∑– (∑(∑∑.)∑ ∑ ..∑∑–– ∑(∑(∑.)∑. Página 16
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Por el método de mínimos cuadrados:
.
0,9651
1,918
3,678724
0,93141801
3,55033653
0,907
1,856
3,444736
0,822649
3,12437555
0,821
1,756
3,083536
0,674041
2,53158306
0,745
1,63
2,6569
0,555025
1,9793905
0,669
1,602
2,566404
0,447561
1,71692428
0,545
1,536
2,359296
0,297025
1,28581632
0,522
1,294
1,674436
0,272484
0,87405559
5,1741
11,592
19,464032
4,00020301
15,0624818
Calculando la pendiente (m):
. .∑.∑ ∑.. – (∑∑ .)∑ .∑ ) 624818 5, 1 741. 7 41. ( (19, 19 , 4 64032 64 032) ) 7.(7. (15,7.0(624818) 4,00020301) (5,1741) 3,8439 ∑ ∑ ∑ ∑ . – . . . .∑ . ∑ – (∑ ) 64032(4,7(4,,0000203 0020301) 01) 5, 1 741(15, 741( 15, 0 624818) 62 4818) 19,464032(4 0020301) (5,1741)
Calculando el intercepto (b):
0,063 Entonces resulta nos resulta la recta:
3,8439 0,063
Y=
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.X
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Como:
Y además:
eemplazando (α) en ():
Porcentaje de error:
3,8439 …. (α) 4. 4. g ….() 4. 4. 3,8439 g 4. 4. 3,8439
g10,27 m⁄s g g 9,9,78 10.10.27 0.49 m⁄s g .100 0.9,4789 .100 5.01
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Se sabe que la grafica es una raíz cuadrada:
2 Leg Dándole a (T = Y) y (Le = X) entonces se obtendría:
2g . ⁄ Donde:
2g y aproimadamente adamente 12
Para que:
. .
Tomándole logaritmo a ambos miembros se obtiene la siguiente forma:
Si se remplaza: y = logY , b = B , x = logX , y a = logA
Entonces se obtendría la siguiente ecuación de recta: y = a + b.x Donde: b : pendiente a : intercepto
∑ ∑ ) –∑ – . .∑(. .∑() – (∑(∑ ) – ∑ .∑ . ∑ .∑.() ∑() – (∑(∑ )
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Por el método de mínimos cuadrados:
0,9651 0,907
-0,0154 -0,0424
0,2828 0,2686
0,0002 0,0018
-0,0044 -0,0114
0,821 0,745 0,669 0,545 0,522 5,1741
-0,0857 -0,1278 -0,1746 -0,2636 -0,2823 -0,9918
0,2445 0,2122 0,2047 0,1864 0,1119 1,5111
0,0073 0,0163 0,0305 0,0695 0,0797 0,2054
-0,0209 -0,0271 -0,0357 -0,0491 -0,0316 -0,1803
11,5920
Calculando la pendiente (b):
∑ ∑ ) – .∑ . .∑. ∑(. .∑ . ∑() – (∑ ) 8032054))– (0,(0, 9918) 9189)918) .(1,5111) 7.(7. (0,7.(10,803) 0,521 Calculando el intercepto (a):
∑ ∑ ∑ .∑ . ( ) . . .∑. ∑()– ∑– .∑ (∑ ) (0,99918) 111).7.((0,0,22054) 054054))– –(0, 918918)).(0,1803) (1,5111)
0,2896 LABORATORIO DE FISICA 2
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Entonces resulta nos resulta la recta:
y=
0,521 0,2896 .x +
Pero se sabe que:
b=B
B=
Y además:
0,521
10,
0,2896
A = 1,948
Por lo tanto nuestra función potencial seria:
1,928,
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Como:
Y además:
eemplazando (α) en ():
Porcentaje de error:
1,9280 …. (α) 2g ….() 1,9280 2g 4. 4. (1,9280) g10,6205 m⁄s g g 9,9,78 10,10,62 0,84 m⁄s g .100 0,9,8748 .100 8,58
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CUESTIONARIO
Una experiencia con osciladores acoplados que se realiza en el aula suele sorprender a los estudiantes. Consiste en una cuerda que se sujeta por sus extremos situados a la misma altura. Se atan dos péndulos iguales, a dos puntos simétricos de la cuerda, tal como se indica en la figura. Se desplaza uno de los péndulos, por ejemplo el de color rojo, de su posición de equilibrio y se suelta.
El péndulo empieza a oscilar pero su amplitud disminuye con el tiempo, el otro péndulo de color azul que estaba inicialmente en reposo, empieza a oscilar con una amplitud que aumenta. Al cabo de un cierto tiempo, el péndulo rojo se para momentáneamente, y el péndulo azul oscila con la máxima amplitud. Luego, se cambian los papeles, el péndulo azul disminuye su amplitud con el tiempo, y el péndulo rojo va aumentando su amplitud. Se suele pedir a los estudiantes que midan con un cronómetro el tiempo que transcurre desde que uno de los péndulos se para, hasta que vuelve a pararse momentáneamente de nuevo, y que cuenten el número de oscilaciones que realiza el péndulo en dicho intervalo de tiempo. Se analiza la situación desde el punto de vista energético, cómo la energía fluye de un péndulo al otro a través del acoplamiento. Si el acoplamiento es débil, como es éste el caso, la suma total de las energías de los dos péndulos debe ser constante. Ecuaciones del movimiento:
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Para estudiar un sistema formado por dos osciladores acoplados, vamos a tomar como modelo el sistema formado por dos partículas iguales m situadas en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica k . El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante k c c, tal como se puede ver en la figura
Llamemos x 1 1 y x 2 2 a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El muelle de la izquierda se ha - x 1 estirado x 1 1, el de la derecha se ha comprimido x 2 2 y el central se ha deformado x 2 2-x 1. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura.
kx 1 Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda – kx 1, y una (x 2 -x 1 fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle central k c c (x 2 -x 1 ) , suponemos que x 2 2 es mayor que x 1 1. kx 2 Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda – kx 2 y otra fuerza hacia k c c (x (x 2 -x 1 la izquierda debido a la deformación del muelle central – k 2 -x 1 ).
El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas. Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de las oscilaciones libres
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Son las ecuaciones diferenciales de dos movimientos armónicos simples de frecuencias
Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente =x 1 + = a =x 1+x x 2 2= =x 1 - x 2 = b =x 1-x 2 =
0a sen(
0b sen(
t+ a t+
) a
t+ b t+
) b
Donde las amplitudes 0a y 0b y las fases iniciales a y b están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas. Despejando x 1 1 y x 2 2 de las dos ecuaciones anteriores tenemos
El movimiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposición de dos modos normales de oscilación o scilación de frecuencias angulares a y b .
El péndulo de muelle I, en el que se utiliza un resorte en remplazo de un hilo, El péndulo de resorte está compuesto por un cuerpo de masa m que cuelga de un resorte sujeto a un punto fijo, de longitud L y de constante k. Este sistema es la combinación de dos modos de oscilación, el péndulo simple y el muelle elástico, estos están acoplados de forma no lineal y tienen su frecuencia característica. Si el péndulo se desplaza un ángulo q de la vertical o se cambia su longitud de equilibrio o se hace cualquiera de estas dos combinaciones, la dinámica del objeto está dada por la fuerza del resorte, la fuerza gravitatoria y su propia masa. En primera instancia, el sistema comienza a oscilar de arriba abajo, pero el acoplamiento provoca que la masa m se desvíe de un lado a otro.
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En el caso que el péndulo se aparta de la vertical un ángulo theta, la fuerza neta sobre la masa m está dada por: F = -k(r -r0) + mg
en donde las letras en negrita indican vectores y r es el vector de posición de la masa m y r0 es el vector de posición del péndulo con la misma desviación de la vertical que antes, pero con la longitud original del resorte L. Las componentes escalares de la fuerza están dada por:
Fx = -k(x -L senq ) Fy = -k(y-y0 +L cosq ) - mg Donde:
De esta forma, las componentes de la aceleración quedan determinadas, por:
Curva de Lissajous en matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como c omo figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétric p aramétricas as correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares: las curvas de Lissajous, descritas por el matemático francés Jules Antoine Lissajous, a partir de los trabajos de Nathaniel Bowditch. Básicamente, éstas se producen al representar de forma simultánea en un osciloscopio dos ondas senoidales cuyas frecuencias se encuentren en fase, dando lugar a imágenes bastante atractivas. Las ecuaciones que describen a ambas señales serían:
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x(t) = a sin(?t + d) y(t) = b sin(t) Y según la proporción que guarden entre sí las variables a y b, y la frecuencia angular ? en que ambas se encuentren, iremos obteniendo distintas figuras o curvas. Aquí tienes dos ejemplos que te pueden ayudar a entender a lo que me refiero: A partir de ahí, y variando los parámetros de las dos ecuaciones paramétricas que antes he descrito, pueden obtenerse infinidad de curvas, a cual más hipnotizante de contemplar en la pantalla de un osciloscopio.
Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, simple, es decir, una masa masa colgada de un hilo largo y puesta a oscilar. El científico francés en el año comprobó que el plano de oscilación del péndulo -el plano en donde se encuentra la trayectoria del péndulo- giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj. Esto le llamó la atención porque, en todo caso, debería girar en el sentido que lo hace la tierra que es el antihorario - mirando la tierra desde el hemisferio norte, que es en el que se encontraba nuestro científico. La explicación del fenómeno ya se podía dar, entonces, con ayuda de la mecánica newtoniana: el lo explica. Ocurre que, aunque parece que la trayectoria del péndulo
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cambia, es el suelo, que tiene debajo, el que se mueve - y nosotros con él. Porque si sobre el péndulo sólo actúan la fuerza del peso y la tensión de la cuerda atada y ambas se encuentran en el mismo plano de la trayectoria, el péndulo tiene que seguir siempre en ese plano -al no haber fuerza alguna que lo saque de él.
El extratrerestre verá que la trayectoria es una línea recta. Desde la Tierra, la trayectoria va girando. La velocidad de giro de ésta, en los polos, es la máxima dando una vuelta cada 24 horas. En el ecuador el péndulo no gira. Según la latitud en la que se encuentre la velocidad de giro vale Las trayectorias de las figuras anteriores corresponden a las de un péndulo que inicia su movimiento desde el centro de oscilación, en reposo, con un breve impulso. Si la oscilación del péndulo se inicia desde desde un extremo, en reposo respecto de la Tierra, las trayectorias vistas desde la Tierra y desde el espacio esp acio exterior serían respectivamente las de las figuras 3 y 4:
Fig. 3
Fig. 4
Es esta aceleración la responsable del giro del aire formando las y los . En el hemisferio norte el aire de las borrascas se desvía hacia la derecha formando un remolino en sentido antihorario y en los anticiclones anticiclones en sentido horario. En el hemisferio Sur ocurre al contrario. Si Foucaul hubiera hecho su experiencia en una ciudad del hemisferio Sur -en vez de en París, en donde lo llevó a cabo- habría observado como su péndulo giraba en sentido antihorario. de un péndulo durante horas es algo complicado. Por el rozamiento con el aire, las oscilaciones van teniendo menor amplitud hasta que llegan a pararse en unas cuantas horas, como mucho. Para mantenerlas mantenerlas se construyen péndulos con una bola metálica de bastante masa atada a un hilo muy largo. Además, Además, se disponen campos magnéticos, magnéticos, en el suelo y alrededores, que compensan el rozamiento con el aire. Muchos y Universidades del mundo tienen montado un péndulo de Foucault.
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OBSERVACIONES
En los diferentes casos las oscilaciones que se le dio al péndulo compuesto, el ángulo inicial con el que se soltó no es el mismo, tiene una ligera variación. El tiempo medido para cada caso de oscilación sufre variaciones debido a la precisión del cronometro. El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación es erróneo debido a que no se consideran los agujeros que posee la barra.
Evitar todo tipo de flujo de aire para que el rozamiento sea menor y se pueda lograr mayor precisión en los cálculos Para calcular el periodo es necesario promediar más de 3 oscilaciones para mejorar el desfase generado por la primera oscilación que no es muy precisa.
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CONCLUSIONES
En efecto es de gran ayuda utilizar como referencia el péndulo simple para lograr estudiar el péndulo compuesto ya que más sencillo estudiar una centro de masa que todo un cuerpo solido.
El margen de error de la gravedad es mayor que 5% debido a que hemos trabajado con ángulos distintos para cada oscilación e incluso algunos mayores a los 10º.
2√/mgd, remplazando del mom
El periodo del movimiento, es independiente de la masa ya que en la formula dada: ento de inercia la masa del péndulo se cancela.
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REFERENCIAS
Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-90456.
Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
Resnick,R. and Halliday, D. (1996). Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2.
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