MECANICA DE FLUIDOS I Laboratorio 5 Estabilidad de cuerpos flotantes en líquidos Objetivos. 1. Familiarizar al estudiante con el concepto de flotabilidad. 2. Estimar la estabilidad de un cuerpo flotante estático a través de la determinación de la altura metacéntrica.
Marco teórico. Es común que un objeto se sienta más liviano en líquido de lo que se siente en aire. De igual forma, cuerpos hechos de madera y materiales livianos flotan en el agua. Estas y otras observaciones sugieren que un fluido ejerce una fuerza en dirección contraria al peso en un cuerpo sumergido. Esta fuerza que tiende a sustentar el cuerpo es llamada fuerza de flotabilidad (buoyant (buoyant force, ). Considere ). Considere la superficie sumergida en la figura 1.
Figura 1. Cuerpo plano sumergido en un fluido, de forma paralela a la superficie libre. Entonces la diferencia entre las fuerzas mostradas en la figura 1, constituye la fuerza de flotabilidad: (1)
ℎ
Dónde: es la densidad del fluido, la aceleración gravitatoria, y el volumen del cuerpo plano sumergido. Es evidente que no es más que el peso del fluido, cuyo volumen es igual al del cuerpo plano sumergido. La ecuación (1) es válida para cualquier cuerpo sumergido sin importar su geometría. Sí consideramos que el cuerpo arbitrario se encuentra en equilibrio estático (figura 2), el balance de fuerza que nos queda es el siguiente:
− 0 Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
(2)
Figura 2. Diagrama de fuerzas sobre cuerpo arbitrario sumergido en un fluido. Este hecho es descrito por medio del principio de Arquímedes: el empuje sobre un cuerpo sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo, y actúa hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado. La ecuación (2) puede re escribirse como:
→ . ., .,
Dónde: sumergido del cuerpo, y
.
es la densidad promedio del cuerpo sumergido, es el volumen total del cuerpo sumergido.
(3) es el volumen
De la ecuación (3) y de la figura (2) podemos deducir que: Sí la fuerza de flotabilidad es mayor que el peso del cuerpo, este flotará. Sí la fuerza de flotabilidad es menor que el peso del cuerpo, este se hundirá. Sí la fuerza de flotabilidad es igual al peso del cuerpo, este se encontrará suspendió en el fluido.
Figura 3. Efecto de la magnitud de la fuerza de empuje sobre un cuerpo sumergido. Ahora bien, la principal dificultad a la hora de determinar la fuerza de flotabilidad la vamos a encontrar en el cálculo del volumen sumergido. En general, a menos que se trate de una geometría sencilla, se suelen emplear métodos de integración numérica para estimar el volumen sumergido. De igual forma con el centro de flotación (center of buoyancy).
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Una aplicación importante del concepto de flotabilidad, la encontramos en la evaluación de la estabilidad de un cuerpos sumergidos y flotantes. La figura 4 resume bastante bien el concepto de estabilidad.
Figura 4. (a) cuerpo estable, (b) cuerpo neutralmente estable, (c) cuerpo inestable.
El criterio de estabilidad en el caso de cuerpos flotantes es el siguiente: Sí el centro de gravedad del cuerpo ( ) está directamente debajo del centro de flotación ( ), el cuerpo siempre es estable. Sí el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de flotación, el cuerpo es neutralmente estable. Sí el centro de gravedad del cuerpo está por encima del centro de flotación, el cuerpo puede ser o no estable. Esto último producto de sí existe un momento restaurador.
Una medida de la estabilidad de los cuerpos flotantes es la altura metacéntrica ( ), la cuál es la distancia entre el centro de gravedad y el metacentro ( ). El metacentro es el punto de intercepción entre la línea de acción de la fuerza de flotación antes y después de la rotación. El metacentro puede ser considerado como un punto fijo para la mayoría de las geometrías para ángulos de inclinación (escora) pequeños.
Figura 5. Estabilidad en un cuerpo flotante.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Para esta experiencia de laboratorio consideraremos el metacentro transversal sobre un cuerpo flotante. Sin entrar en detalles, la altura del metacentro por encima del centro de flotación ( ) para ángulos de inclinación pequeños está dada por:
∇
⁄
(4)
Dónde: es el volumen desplazado y es el momento de inercia del área paralela a la superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad o calado dado. Consecuentemente la altura del metacentro con respecto al punto o línea base está dado por:
+
(5)
La diferencia entre la distancia y (distancia del punto al centro de gravedad , no mostrado en la figura 6) da la altura metacéntrica . Se ve entonces que sólo si es positivo entonces el cuerpo es estable.
Figura 6. Diagrama de fuerzas sobre un cuerpo flotante con un pequeño ángulo de inclinación.
∇ ∫ 2∫ 12 ∇ 12 2 + 12
Sí quisiéramos determinar la altura metacéntrica ( ), para un cuerpo de geometría sencilla, digamos un cubo de sección transversal ( ) sumergido hasta una profundidad ( ), mostrado en la figura 7, el procedimiento sería el siguiente:
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
2 + 12 − 2
Figura 7. Cuerpo cubico flotante de longitud
a una profundidad
Materiales. 1. Barcaza de 343 mm x 204 mm x 79 mm, que en su conjunto tiene un peso aproximado de 5 kg. 2. Recipiente plástico. 3. Cinta métrica.
Procedimiento. 1. Tome las dimensiones de los diferentes elementos que constituyen el cuerpo flotante. Vea la figura 8 del anexo. Llene la tabla 1 y 2. 2. Vierta agua en el recipiente plástico de manera tal que la barcaza flote. 3. Coloque el peso que puede ser desplazado verticalmente en la parte inferior, hasta que tope con la escala horizontal. 4. Desplace el otro peso horizontalmente hasta que el péndulo y el mástil estén perfectamente alineados. Observe y registre la profundidad (calado) en la tabla 3. 5. Mida la distancia del centro de masa a la línea base ( ) para cada uno de los elementos que constituyen la barcaza. Registre en la tabla 1, 2, 3. Consulte al instructor. 6. Determine la distancia del centro de flotación a línea base ( ). Para esto último suponga, que el centro de flotación coincide con el centroide de figura plana observada desde la vista transversal. Registre en la tabla 3. C onsulte al instructor. 7. Repita los pasos 4 y 5 para al menos otras dos posiciones del peso que puede desplazarse en la dirección vertical. Registre en la tabla 3. 8. Para cada una de las tres posiciones consideradas anteriormente para el peso que se desplaza verticalmente, mueva horizontalmente el otro peso de manera tal que la estructura flotante se escore (no sobrepase los 10°). Registre los ángulos de escora y la distancia a la cual se ha desplazado la masa con respecto a su posición inicial (no escorada) en la tabla 4. 9. Repita el paso anterior para al menos otras dos po siciones diferentes del peso que se puede desplazar horizontalmente.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Resultados.
1. Determine la ubicación sobre la línea base del centro de masa ( ) de la estructura flotante en su conjunto para cada posición del peso que se puede desplazar verticalmente. Registre en la tabla 3. Recuerde que:
∑ ∑ = = Dónde: representa la masa de un elemento en particular, es la distancia del centro de masa de un elemento en particular con respecto a la línea base, y es la cantidad de
elementos totales que constituyen la estructura flotante. Vea la tabla 5 en el anexo. 2. Calcule la fuerza de flotabilidad que ejerce el fluido sobre la barcaza para cada una de las posiciones del peso que se puede desplazar verticalmente. Registre en la tabla 3. 3. Calcule la altura metacéntrica para cada una de las posiciones del peso que se puede desplazar verticalmente, y en base a esto determine si la barcaza es estable. Registre en la tabla 3. 4. Calcule la altura metacéntrica ( ) para cada movimiento del peso que se puede desplazar horizontalmente con respecto a su posición inicial para cada una de las posiciones estudiadas del peso que se puede desplazar verticalmente, y en base a esto determine si la barcaza es estable. Registre en la tabla 4. Para esto último considere que:
−, ℎsin ℎ
Dónde: es el peso del cuerpo que se ha desplazado horizontalmente, es la distancia que se ha desplazado el cuerpo con respecto a la posición inicial (en donde la estructura flotante no se encontraba escorada), es el peso de toda la estructura flotante, y es el ángulo de escora.
Elemento
Largo (m)
Ancho (m)
Alto (m)
(m)
1. Base. 2. Sección frontal. 3. Sección trasera. 4. Sección lateral derecha. 5. Sección lateral izquierda. 6. Regla. 7. Apoyo del eje. Tabla 1. Dimensiones y distancia del centro de masa con respecto a la línea base para algunos de los elementos que constituyen el flotador.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Elemento
Diámetro (m)
Largo (m)
(m)
1. Eje vertical. 2. Eje horizontal. 3. Peso a desplazar verticalmente. 4. Peso a desplazar horizontalmente. Tabla 2. Dimensiones de algunos de los elementos que con stituyen el flotador y distancia del centro de masa con respecto a la línea base para el eje vertical y el eje horizontal.
Posición del peso que se puede desplazar verticalmente
Calado (m)
(m) del (m) del peso (m) de peso que se que se puede la puede desplazar estructura desplazar horizontalmente flotante verticalmente
(m)
(kN)
(m)
¿Es estable?
1 2 3 Tabla 3. Calado, distancia del centro de flotación con respecto a la línea base, fuerza de flotabilidad, metacentro, y distancia del centro de masa con respecto a la línea base para el peso que se puede desplazar verticalmente, para el peso que se puede desplazar horizontal, y para la estructura flotante ante diferentes posiciones del peso que se puede desplazar verticalmente.
Posición del peso que se puede desplazar verticalmente
Distancia a la cual Distancia a la cual Distancia a la cual ¿Es estable? se ha desplazado la se ha desplazado la se ha desplazado la masa (m)/ Ángulo masa (m)/ Ángulo masa (m)/ Ángulo de escora (º) al de escora (º) al de escora (º) al realizar el primer realizar el segundo realizar el tercer movimiento del peso movimiento del movimiento del en dirección peso en dirección peso en dirección horizontal/ (m) horizontal/ horizontal/ (m) (m)
1 / / / / / / 2 / / / / / / 3 / / / / / / Tabla 4. Distancia a la cual se ha desplazado la masa que pu ede moverse horizontalmente, ángulos de escora, y nueva altura metacéntrica al realizar diferentes movimientos del peso que se puede desplazar horizontalmente con respecto a su posición inicial para cada una de las posiciones estudiadas del peso que se puede desplazar verticalmente.
Preguntas. Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
1. ¿Observo algún cambio en el calado al desplazar verticalmente el peso? ¿A qué cree que se deba este hecho? 2. ¿Qué sucede con la altura metacéntrica al desplazar verticalmente el peso? ¿Aumenta, disminuye, se mantiene constante? ¿Qué implica esto último en cuanto a la estabilidad del cuerpo flotante? 3. ¿Qué sucede con la altura metacéntrica al desplazar horizontalmente el peso? ¿Aumenta, disminuye, se mantiene constante? ¿Qué implica esto último en cuanto a la estabilidad d el cuerpo flotante? 4. Para un cuerpo flotante de peso constante que navega en agua dulce , ¿qué efecto tiene sobre el volumen desplazado el cambio a agua salada ? 5. Se sabe que para ángulos inferiores a los 10° el momento restaurador , cuando no hay desplazamientos transversales de masa, es igual a:
≅ 1000 /≅ 1025 / sin( + 12 tan ), ,0 ≤ ≤ 10° Dónde: es el ángulo de escora, es la altura metacéntrica, la distancia del centro de flotación en la posición inicial (no escorada) al metacentro, es el momento de inercia del área paralela a la superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad o calado dado, y es el volumen desplazado.
En base a la información anterior grafique para cada posición estudiada del peso que puede ser desplazado en la dirección vertical, cuando el peso que puede moverse en dirección horizontal no ha sido desplazado; es decir empleando la información de la tabla 3. ¿Qué sucede con el momento restaurador cuando varia la altura metacéntrica para un ángulo dado?, ¿qué sucede con el momento restaurador cuando varia el ángulo de escora para una altura metacéntrica dada? 6. Empleando la expresión anterior determine los valores que tomará cuando la estructura flotante se encuentre en equilibrio ( ) para cada posición estudiada del peso que puede ser desplazado en la dirección vertical, cuando el peso que puede moverse en dirección horizontal no ha sido desplazado; es decir empleando la información de la tabla 3. ¿Qué sucedería si el valor de , para una posición dada del peso que puede ser desplazado en la dirección vertical, fuera un valor negativo?, ¿se tendrían otros ángulos de escora en donde alcanzaría equilibrio la estructura flotante? Ejemplifique realizando el cálculo de dichos ángulos de escora (angle of loll ) considerando algún valor de registrado en tabla 3, si dicho valor fuera negativo.
0
Anexo. Fluido o material
Densidad a condiciones estándar
⁄
Agua 1000 Acero inoxidable 7850 Metacrilato 1395 PVC 1190 Tabla 5. Densidad del agua y de los materiales que constituyen la estructura flotante en condiciones estándar.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Figura 8. Elementos que constituyen el cuerpo flotante.
Referencias. 1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones, McGraw-Hill. 2. Tupper, C., Erick, 5th edition, Introduction to Naval aAchitecture, 5th edition, ButterworthHeinemann.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Material de apoyo para el laboratorio # 5 I.
Determinación de la distancia del centro de gravedad al metacentro transversal .
Figura 1. Metacentro transversal. Como se hace evidente en la figura 1, el volumen que emerge y el que inmerge deben ser iguales para un desplazamiento de volumen constante por parte de la estructura flotante. Para ángulos pequeños las secciones y son aproximadamente triangulares. Y por lo tanto dicha área inmergida o emergida será igual:
12 tan 2 tan
Consecuentemente el volumen total asociado a cada sección triangular será igual a:
∫ 12 tan Ahora bien, este volumen se mueve de la sección que emerge hacia la sección que inmerge creando un cambio en el centro de flotación producto del movimiento.
(∫ 12 tan) 43 tan∫ 23 La expresión dentro de la integral representa el segundo momento de área (momento de inercia, ) del área paralela a la superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad o calado dado. Por otra parte, producto de equilibrio se tendrá que:
∇ tan Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
∇
Aquí representa el volumen total de agua desplazado por el elemento flotante. Y de acue rdo a la figura 1:
Consecuentemente:
tan ∇
De la figura 1 también se puede deducir que:
+ Y de igual forma si se conoce la distancia de la línea base al centro de masa del elemento flotante se podría determinar la altura metacéntrica:
− II.
Cambio en la altura metacéntrica producto de movimientos transversales de masas.
Figura 2. Movimiento transversal de pesos. Al mover transversalmente una masa, el centro de masa del elemento flotante en su conjunto se verá afectado. De acuerdo a la figura 2, para que exista equilibrio se tendrá que:
ℎ → ℎ/ ℎ
Donde: representa el peso de toda la estructura flotante, la masa que se está desplazando transversalmente, el cambio de posición del centro de masa, y el cambio de posición de la masa que se desplaza transversalmente.
Observando la figura 2 es claro que el movimiento transversal, al mover el centro de gravedad, implica una reducción en la altura metacéntrica. Suponiendo que el cambio de a se equivalente a un aumento desde hasta en la línea de centro de forma tal que , vea la figura 3, se tendrá:
/sin
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
− −(ℎsin )
Figura 3. Reducción de la altura metacéntrica producto del cambio en el centro de gravedad ante ángulos de escora pequeños.
III.
Determinación del brazo adrizante o restaurador ante ángulos de escora pequeños (estabilidad transversal).
Figura 5. Estabilidad transversal en un wall-sided ship. Para este caso en particular se considerara que al escorarse la estructura flotante el centro de masa se mantendrá en su posición original, es decir no hay movimientos transversales de masas. De igual forma, tras darse el desplazamiento angular, el centro de flotación cambia de posición de a y (vea la figura 5). Ahora bien, como se vio previamente el cambio en el centro de flotación producto del movimiento, produce un momento perpendicular a la línea de centro del cuerpo flotante (aquí dimensionalmente no se aprecia ya que abría que multiplicar la expresión anterior por la densidad del fluido):
cos +sin , ,
(∫ 12 tan) 43 tan∫ 23 tan
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
Lo cuál por equilibrio debe ser igual a:
∇ tan → ⁄∇ tan Igualmente se tendrá un momento paralelo a la línea de centro del cuerpo flotante producto del cambio de volumen (aquí dimensionalmente no se aprecia ya que abría que multiplicar la expresión anterior por la densidad del fluido):
2 1 2 t an (∫ 2 tan) 3 tan 2 ∫ 3 tan2 tan ∇ 2 → ⁄2∇tan
Lo cuál por equilibrio debe ser igual a:
Consecuentemente:
⁄∇sin +⁄2∇tan sin sin ⁄∇+⁄2∇tan −sin sin⁄∇+⁄2∇tan − ⁄∇ sin + ⁄2∇ tan − sin[ + 2∇ tan ] 0° ≤ ≤ 10°
Observando la figura 5 se ve que:
Recordando que
, se tendrá que:
La expresión es bastante exacta para
.
Nota: La presente guía de laboratorio fue realizada por Arturo Arosemena.
