Univer Universid sidad ad Nacio Nacional nal de Ingeni Ingenier er´ ıa Facult acultad de ingenier´ ıa Civi Civil l ´ ´ ulica e Hidrolog Depart Departamento Academico emico de Hidr Hidraulica a Hidrolog´ ıa
´ nica de Fluidos I — HH223-I Mecanica a Laboratorio Laboratorio No 1
Determinaci´ on del Centro de Presiones on y Estabilidad de Cuerpos Flotantes Apellidos y Nombres
´ digo Codigo o
´ RDENA CA ENAS BARRIGA, Pab abllo Gonza nzalo
20120 120017 017B
˜ O, Ricardo Raul CLEMENTE CLEMENTE BRICEN
20120125J
GOMERO TORIBIO, Edwin Moises
20120051F
PAREDES ABANTO, Dustin Linnar
20122030F
Instructor Instructor de Laboratorio: Laboratorio: Ing. ´ n: Fecha de Present Presentaci acion: o
Julio Montenegro Gambini 2 de mayo mayo de 2014
2014 – I
1
´Indice P´ agina Resumen
2
Introducci´ on on
3
Teor´ıa
4
´ N DEL CENTRO DE 1. DETERMINA DETERMINACI CIO 1. M´etod odoos y Materiales (o Equipo poss) . . . . 2. Pro cedimiento del Exp erimento . . . . . 3. Resu Result ltad ados os y Disc Discus usi´ i´ on . . . . . . . . . . 3.1. Otros Datos . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2. Pres Presen enta taci ci´ o´n de Resultados . . . 4. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . Ap´endice end ice 1.A. 1.A . C´alculo del Centroide . . . . .
PRESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 1. M´etod odoos y Materiales (o Equipo poss) . . . . . . . . 2. Proce ocedimiento del Exper perimento . . . . . . . . . 3. Resu Result ltad ados os y Disc Discus usi´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Otros Datos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2. Proce Procedi dimi mien ento to de C´ alculo . . . . . . . . 4. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
8 8 9 10 10 10 17 17 18
. . . . . . .
20 20 20 21 21 22 23 29 30
Informe de Laboratorio N 1 ◦
2
Resumen Para la realizaci´ on de este ensayo se tomar´ on a un cuadrante cil´ cil´ındrico pivotado en su centro geom´etrico etrico balanceado por un contrapeso y r´ıgidamente conectado a un elemento de pesa deslizante sumergido en agua, en donde la pesa se deslizar´ a cada distancia y para contrarrestar la inestabilidad del sistema se proporcionara agua al recipiente en donde tomaremos datos de la distancia deslizada como en desnivel de agua. Se tomaran los datos de distancias y desniveles para hacer tablas en donde mediante f´ormulas ormulas y gr´aficos aficos tendremos dichas variaciones y comparaciones de nuestro ensayo de laboratorio.
Informe de Laboratorio N 1 ◦
3
Introducci´ on Las fuerzas distribuidas de la acci´ on del fluido sobre un a´rea finita pueden remplazarse convenientemente por una fuerza resultante. Nosotros como futuros ingenieros debemos calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder dise˜ nar satisfactoriamente las estructuras que los contienen. Es muy importe, calcular la magnitud de la fuerza resultante y su l´ınea de acci´on (centro de presi´ on). El centro de presi´ on, es un concepto de gran importancia, ya que su determinaci´ on es b´asica para evaluar los efectos que ejerce la presi´ on de un fluido sobre una superficie plana determinada. Por ejemplo: cuando se quiere determinar el momento que est´ a actuando sobre una compuerta o para estudiar la estabilidad de una presa de gravedad, o el caso de un barco en reposo.
Informe de Laboratorio N 1 ◦
4
Teor´ıa En est´ atica de fluidos, o hidrost´ atica, no hay movimiento relativo entre las part´ıculas de fluido, es decir, no existen esfuerzos cortantes, el u´nico esfuerzo presente es un esfuerzo normal, la presi´on. Todos los puntos ubicados en un mismo plano horizontal, dentro de un mismo fluido, tienen la misma presi´on.
La superficie libre de un l´ıquido En realidad es conc´entrica con la tierra pero en dimensiones reducidas (comparadas con las de la tierra) es pr´ acticamente horizontal Presi´ on en un punto La presi´on promedio se calcula al dividir la fuerza normal que empuja contra un ´area plana entre dicha a´rea. La presiones en un punto es el l´ımite de la raz´ on de fuerza normal al a´rea, a medida que el a´rea se aproxima a cero en el punto. En un punto, un fluido en reposo tiene la misma presi´on en todas las direcciones. Para fluidos que se pueden considerar homog´eneos e incomprensibles γ es constante, entonces la ley de la hidrost´ atica de variaci´on de presi´ on se escribe de la forma p = γ h
En la cual h se mide verticalmente hacia abajo.
Fuerza sobre superficies planas Superficies horizontales Una superficie plana en posici´ o n horizontal dentro de un fluido en reposo est´a sujeta a una presi´ on constante. La magnitud de la fuerza que act´ ua a un lado de la superficie es
p d A = p
dA = pA
Y dicha fuerza resultante pasa a trav´ es del centroide del a´rea.
Superficies inclinadas En la figura 1 se representa una superficie que esta inclinada θ con respecto a la horizontal.
Informe de Laboratorio N 1 ◦
Teor´ ıa
5
Figura 1: Presi´on en superficie inclinada Fuente: [4], p´ag. 41, Figura 2.11
La magnitud de la fuerza F que act´ ua sobre un lado del ´area es F =
¯ p d A = γ sen θ y¯A = γ hA
Esto quiere decir que la magnitud de la fuerza es equivalente al producto del ´area y la presi´on en su centroide.
Centro de presi´ on La l´ınea de acci´on de la fuerza resultante tiene su punto de incidencia en la superficie en un punto llamado centro de presi´ on con coordenadas (x p ,y p ).A diferencia del caso de un superficie horizontal, el centro de presiones de una superficie inclinada no est´a en el centroide. Para hallar el centro de presi´on, los momentos F · x p y F · y p se igualan al momento de las fuerzas distribuidas respecto al eje x y eje y, obteni´endose. x p =
I xy + x¯ y¯A
Cuando cualquiera de los eje x o y es un eje de simetr´ıa para la superficie, entonces el valor de Ixy es cero y el centro de presi´on cae sobre x = x . y p =
I g + y¯ y¯A
Este resultado nos indica que el centro de presiones siempre estar´ a debajo del centroide de la superficie.
El gr´ afico de presiones El gr´afico de presiones nos muestra la distribuci´on de la presi´on sobre una superficie en contacto con un fluido (principalmente se aplica al caso de un l´ıquido). Una superficie curva en contacto con un l´ıquido experimentar´ a una fuerza hidrost´ atica que suele ser analizada seg´ un sus componentes horizontal y vertical.
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
Teor´ ıa
6
La componente horizontal de la resultante de las presiones Esta componente que el l´ıquido ejerce sobre una superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyecci´ on de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma l´ınea de acci´ on, es decir, pasa por el centro de presi´ on de dicha proyecci´ on. La componente vertical de la resultante de las presiones Esta componente que el l´ıquido ejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de l´ıquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre. Fuerza de flotaci´ on Es la fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido est´ atico, en el cual est´a sumergido o flotando, se denomina fuerza de flotaci´ on, esta fuerza siempre act´ ua verticalmente hacia arriba. F B = V γ La fuerza de flotaci´ on act´ ua a trav´ es del centroide del volumen de fluido desplazado.
Estabilidad de cuerpos flotantes y sumergidos Un cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o neutro. Cuando un cuerpo est´a en equilibrio inestable, cualquier desplazamiento angular peque˜ no establece un par que tiende a aumentar el desplazamiento angular.
Figura 2: Tipos de Equilibrios Fuente: [4], p´ag. 59, Figura 2.28
Determinaci´ on de la estabilidad rotatoria de objetos flotantes Cualquier objeto flotante con centro de gravedad debajo de su centro de flotaci´ on (centroide de volumen desplazado) flota en equilibrio estable. Ciertos objetos flotantes, sin embargo est´ an en equilibrio estable cuando su centro de gravedad est´ a arriba del centro de flotaci´ on. La intersecci´ o n de la fuerza de flotaci´ on y la l´ınea central se llama metacentro, designado por M. Cuando M est´a arriba de G, el cuerpo permaneces estable; cuando est´a debajo de G es inestable y cuando est´ a en G, est´a en equilibrio neutro. La distancia MG se llama altura metac´entrica y es una medida directa de la estabilidad de un cuerpo.
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
Teor´ ıa
7
Figura 3: Estabilidad de un cuerpo flotante Fuente: [4], p´ag. 60, Figura 2.30
Sabiendo que B es el centro de flotaci´ on, se obtiene la relaci´ on. M¯G =
I ¯ + GB V
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
8
Experimento N◦ 1 ´ DEL CENTRO DETERMINACION DE PRESIONES 1.
M´ etodos y Materiales (o Equipos)
Sistema basculante Consiste en un cuadrante cil´ındrico de color celeste, pivotado en su centro geom´etrico balanceado por un contrapeso y r´ıgidamente conectado a un elemento de pesa deslizante. En la parte superior del cuadrante cil´ındrico esta adherido un nivel tubular (color amarillo). Figura 1.1: Sistema Basculante
Recipiente con agua Un recipiente transparente de pl´ astico, el cual en la parte lateral inferior est´ a conectada una manguera que suministra agua y otra manguera para la evacuaci´ on, ambas controladas por una llave. En la parte inferior del recipiente se observan dos niveles tubulares instalados transversalmente , el cual puede ser regulado por los tornillos nivelantes de la base del recipiente. Informe de Laboratorio N 1 ◦
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
9
Figura 1.2: Materiales del experimento
Regla De metal, mide en cent´ımetros (cm) y pulgadas (in) hasta 30cm y precisi´ on hasta el mil´ımetro. M´ etodo de medici´on Medici´on directa, al realizar las mediciones de las alturas de agua utilizando la regla.
2.
Procedimiento del Experimento
En primer lugar el recipiente con agua fue nivelado con ayuda de los tornillos nivelantes, luego la pesa deslizante fue ubicada indicando la longitud d 0 = 10cm, la superficie horizontal del anillo basculante no se encontr´ o horizontal, para colocarlo horizontal se nivel´ o usando el contrapeso. Luego de esto la llave de ingreso de agua fue abierta para empezar e llenado del recipiente. Una vez que la superficie del agua sobrepaso por menos de 4 cm. la base del cuadrante se procedi´o a nivelarlo, y a partir de este momento se midi´o el valor de h0 y el valor de D. Luego se continu´ o llenando un poco m´ as el recipiente y nivelando nuevamente medimos distintos valores de h 0 y D , se recopilo 10 pares de datos y finalmente se form´o el cuadro 1.1 Figura 1.3: Modelo del Experimento
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
10
Cuadro 1.1: Datos obtenidos
3. 3.1.
H
D
(m)
(m)
0.030 0.036 0.044 0.053 0.059 0.082 0.087 0.094 0.105 0.113
0.025 0.033 0.050 0.069 0.087 0.154 0.175 0.198 0.242 0.281
Resultados y Discusi´ on Otros Datos
Aparte de los datos obtenidos del procedimiento en el cuadro 1.1, se incluye estos datos proporcionados por el instructor del laboratorio (cuadro 1.2). Cuadro 1.2: Otros Datos Magnitud Notacion Masa de la pesa deslizante Longitud perpendicular al dibujo Radio exterior del cuadrante cil´ındrico Peso de la pesa deslizante
3.2.
Medida
m B R
0.605 Kg 0.115 m 0.250 m
W = mg
5.935 N
Presentaci´ on de Resultados
1. Deducir las expresiones para el c´alculo las componentes horizontales, F h , y vertical, F v , de la fuerza hidrost´ atica que ejerce el agua sobre la superficie curva en funci´ on del radio exterior R, el ancho B y la carga de agua H. En la Teor´ıa, se vi´o que la componente horizontal es igual en magnitud (pero en sentido contrario) a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyecci´ on de la superficie sobre un plano vertical (p´ ag. 6). En la figura 1.4, se observa que la proyecci´o n de la superficie sobre un plano vertical es un rect´angulo con lados D y H . Entonces, la fuerza horizontal es la presi´on en el centroide del rect´ angulo multiplicada por su a´rea. F h =
ρg HB = 21 H 2 Bρg
H
2
(1.1)
En la Teor´ıa, se vi´o que la componente vertical es igual al peso del volumen de l´ıquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre.(p´ ag. 6). Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION
11
◦
En la figura 1.4, se observa que el volumen sumergido tiene forma cil´ındrica cuya base es la diferencia de una secci´on circular y un tri´angulo rect´ angulo. ´ Area de la secci´ on circular
´ base = 1 R2 arccos Area 2
R
´ Area del triangulo rect´ angulo
−
− H − 1 (R − H ) 2 R
R2
R
− H 2
Una vez hallado el a´rea de la base,la fuerza es el peso del volumen ubicado verticalmente por encima de la curva. ´ base Bρg F v = Area F v =
1 R 2
2
arccos
R
−
− D − 1 (R − D ) 2 R
R2
R
−D
2
Bρg
(1.2)
Figura 1.4: D.C.L. 1 Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y las componentes horizontal y vertical de la fuerza sobre la superficie curva
2. Deducir las expresiones te´ oricas para hallar la ubicaci´ on del centro de presiones X cp y Y cp (funci´ on de R y H ). En la Teor´ıa, se vi´o que la componente horizontal tiene la misma l´ınea de acci´on que la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyecci´ o n de la superficie sobre un plano vertical, es decir, pasa por el centro de presi´ on de dicha proyecci´ on. En la figura 1.4, se observa que la proyecci´o n de la superficie sobre un plano vertical es un rect´ angulo con lados D y H . Entonces, se halla la posici´o n del centro de presi´ on en funci´on del momento de inercia de la proyecci´on, posici´on del centroide, y el a´rea de la proyecci´ on. Y cp = Y c +
I proy Aproy Y c BH 3
Y cp = (R
−
H
) + 2
12
(BH ) H 2
= R −
H
3
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
(1.3)
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION
12
◦
En la Teor´ıa, se vi´ o que la componente vertical tiene su punto de aplicaci´on ubicado en el centro de gravedad del volumen ubicado verticalmente por encima de la curva. En la figura 1.4, se observa que el volumen sumergido tiene forma cil´ındrica cuya base es la diferencia de una secci´ o n circular y un tri´angulo rect´angulo. En el Ap´endice 1.A, se obtiene la posici´on horizontal del centroide de dicha base.
x dA
X cp =
H 2
(Ap´en. 1.A)
6
=
1 2 R 2
dA
arccos
− R−H R
(3R − H ) 1 (R 2
−
− H )
R2
R
− H
2
(1.4)
3. Calcular los valores de F h y F v para cada valor de H utilizando las expresiones deducidas en 1. En 1. , se hallaron F v y F h en funci´on de H , R y B en las ecuaciones (1.1) y (1.2). Para cada valor de H del cuadro 1.1, se hall´o sus respectivos F v y F h por medio de las ecuaciones, y se formo el cuadro 1.3 Cuadro 1.3: F v y F h hallados mediante (1.1) y (1.2) H
F h
F v
(m)
(N)
(N)
0.030 0.036 0.044 0.053 0.059 0.082 0.087 0.094 0.105 0.113
0.507668 0.731041 1.092049 1.584487 1.963545 3.792840 4.269484 4.984167 6.218927 7.202674
2.070364 3.054431 5.764181 9.229591 12.91091 28.98330 34.54684 40.81843 53.12202 64.09864
4. Calcular los correspondientes valores de X cp e Y cp experimentales La componente vertical actuar´ a a una distancia X cp del pivote. La pesa deslizante tiene un peso W que ha sido desplazado una distancia D desde su posici´ on inicial para equilibrar estas fuerzas hidrost´ aticas. La carga de agua que ejerce presi´ on sobre las superficies es H puesto que por debajo de ho no hay contacto con las superficies. Tomando momentos respecto al pivote (figura 1.4) tendr´ıamos la siguiente ecuaci´ on: F v X cp = W D
ya que la componente horizontal de la fuerza hidrost´ atica sobre la superficie curva se cancela con la fuerza horizontal sobre la superficie plana pues ambas tienen el mismo valor y la misma ubicaci´on. Los pesos del cuadrante, del contrapeso, etc. Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
13
estaban equilibrados al inicio de la experiencia, de modo que tambi´en se cancelan. Entonces: WD X cp = (a) F v
Utilizando las mediciones efectuadas (cuadro 1.1) y con el peso de la masa deslizante (cuadro 1.2), podemos determinar los X cp experimentalmente con la ecuaci´on (a). As´ı se form´o el cuadro 1.4 Cuadro 1.4: X cp hallados experimentalmente H
D
X cp
(m)
(m)
(m)
0.030 0.036 0.044 0.053 0.059 0.082 0.087 0.094 0.105 0.113
0.025 0.033 0.050 0.069 0.087 0.154 0.175 0.198 0.242 0.281
0.07166676 0.06315059 0.05148217 0.04437016 0.03999325 0.03153533 0.03006451 0.02878944 0.02703742 0.02601848
La componente horizontal actuar´ a a una distancia Y cp del pivote. La fuerza horizontal sobre la superficie curva, F h , es igual en magnitud y ubicaci´ o n que la actuante sobre la superficie plana vertical.
Figura 1.5: D.C.L. 2 Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y la distribuci´on de presiones en la superficie curva.
Nuevamente, tomando momentos respecto al pivote tendr´ıamos la siquiente ecuaDeterminaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
14
ci´on: F h Y cp = W D
ya que distribuci´on de presiones genera fuerzas que pasan por el pivote de modo que no generan momento. Entonces: WD Y cp = (b) F h
Utilizando las mediciones efectuadas (cuadro 1.1) y el peso de la masa deslizante, podemos determinar Y cp experimentalmente con la ecuaci´ on (b). As´ı se form´o el cuadro 1.5 Cuadro 1.5: Y cp hallados experimentalmente H
D
Y c p
(m)
(m)
(m)
0.030 0.036 0.044 0.053 0.059 0.082 0.087 0.094 0.105 0.113
0.025 0.033 0.050 0.069 0.087 0.154 0.175 0.198 0.242 0.281
0.29227053 0.26385534 0.27173913 0.25845497 0.26296791 0.24097975 0.24326917 0.2357746 0.23095337 0.23154583
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
5. Graficar X cp vs H e Y cp vs H (6 puntos). Con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro 1.4 se grafica la Figura 1.6 Gr´ afica
0.09
X cp vs H
0.085
0.08
0.075
) m ( 0.07 p
Experimental
c
X 0.065
0.06
0.055
0.05 0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
H (m)
Figura 1.6: Grafica X cp experimental vs H Con ayuda de los datos obtenidos en el cuadro 1.5 se grafica la Figura 1.7 Gr´ afica
0.3
Y cp vs H
0.29
Experimental
0.28
0.27
m p c
0.26
Y 0.25
0.24
0.23
0.22 0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
H (m)
Figura 1.7: Gr´afica Y cp experimental vs H
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
15
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
16
6. Superponer las expresiones te´ oricas deducidas en 2 (l´ınea recta o curva seg´ un corresponda). Con las ecuaci´on (1.4), se grafic´ o la curva te´orica que debe seguir Gr´ afica
0.1
X cp vs H
0.09 0.08 0.07
Experimental Te´ orico
0.06
m p c
0.05
X0.04 0.03 0.02 0.01 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
H (m)
Figura 1.8: Gr´afica X cp vs H incluyendo los valores te´oricos Con las ecuaci´on (1.3), se grafic´ o la curva te´orica que debe seguir Gr´ afica
0.4
Y cp vs H
0.35
Experimental Te´ orico
0.3
0.25
m p c
0.2
Y 0.15
0.1
0.05
0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
H (m)
Figura 1.9: Gr´afica Y cp vs H incluyendo los valores te´oricos
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
4.
17
Cuestionario
1. Comente el ajuste obtenido de los resultados experimentales con los te´oricos en los gr´ aficos Xcp vs H y Ycp vs H. En las gr´ aficas Xcp vs H se observa que la gr´afica experimental se asemeja mucho en su concavidad a la gr´ afica te´ orica, pero ambas no se llegan a cortar. En la gr´ afica Ycp vs H experimental se observa que para los 4 primeros valores de H no existe una tendencia en los puntos puesto que forman un especie de zigzag, luego en los siguientes 6 la curva llega a asemejarse mucho m´as a la te´ orica, pero sin embargo existe un peque˜ no desfase entre las curvas como en la primera gr´ afica. 2. ¿Existen puntos absurdos que deben ser eliminados? El primer punto que se tom´o de H, pues se observa que se aleja mucho del comportamiento de los dem´ as puntos y se deber´ıa a que en estos casos las Fv y Fh son m´ınimas y no influyen mucho. 3. ¿Qu´ e fuentes de error podr´ıan estar afectando sus mediciones y resultados? Una posible fuente de error podr´ıa ser que el recipiente que contiene el agua no este del todo nivelado. Al hacer las mediciones de las alturas puede existir un error producto de la visual de quien mide.
´ ltima medici´ on de, nuevamente para d=d0=10cm, logra 4. ¿Al hacer la u medir nuevamente el mismo valor de h=h0? ¿Por qu´ e s´ı o por qu´ e no? Si porque el cuadrante cil´ındrico esta balanceado por un contrapeso y est´ a en equilibrio para d=10 y h=h0. 5. Indique tres casos de estructuras en las cuales requerir´ıa calcular las componentes vertical y horizontal de la fuerza sobre una superficie curva y su punto de aplicaci´ on. Existe un tipo de presas denominada como presas en arco las cuales son estructuras curvas de concreto con convexidad hacia aguas arriba En un submarino es necesario conocer los valores de las fuerzas que act´ uan sobre sus paredes. En la construcci´ on de reservorios de agua.
5.
Conclusiones
De las gr´aficas se observa un desfase en ambas curvas la cual podr´ıa ser producto del valor de la masa puesto que este fue el u ´ nico dato que no fue verificado, se comprob´ o que para un valor de la masa de 550gr las gr´ aficas tanto experimental y te´ orica coinciden perfectamente debido a que con este cambio, los puntos de la gr´afica experimental se desplazan un poco verticalmente hacia aba jo , coincidiendo as´ı con la te´ orica. Los valores de H peque˜ nos se podr´ıan despreciar puesto que la fuerza, tanto vertical como horizontal, producida por estos es m´ınima y no afectar´ıan considerablemente al equilibrio. Al incrementar el nivel de agua la u ´ nica fuerza que debemos compensar moviendo la masa deslizante es la fuerza horizontal producida sobre la superficie plana, puesto que la fuerza en la superficie curva pasa por el eje y no genera momento. Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
Ap´ endice 1.A
18
C´ alculo del Centroide
Figura 1.10: C´alculo del centroide Se determinar´ a el X cp de regi´ on se˜ nalada en la figura 1.10 mediante la siguiente f´ ormula
x dA
X cp =
dA
Primero, se halla dA.
´ Area de la secci´on circular
´ dA = Area = 12 R2 arc cos
R
´ Area del triangulo rect´ angulo
− H − 1 (R − H ) 2 R
− R2
R
− H 2
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
´ DEL CENTRO DE PRESIONES EXPERIMENTO N 1. DETERMINACION ◦
Luego, se halla xdA
H
x dA =
2
(R−y )
−
− − − x dxdy
0
0
H
=
√ R
R2
y )2
(R 2
dy
0
H
=
2Ry
y2
2
0
= R
H 2
2
dy
3
− 12 H 3
=
H 2
6
(3R − H )
Finalmente,
x dA
X cp =
dA
H 2
6
= 1 2 R 2
arccos
− R−H R
(3R − H ) 1 (R 2
− H )
− R2
R
− H 2
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
19
20
Experimento N◦ 2 ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES 1.
M´ etodos y Materiales (o Equipos)
Consta de una barcaza de metal de forma rectangular que flota libremente, en agua y de un v´astago vertical soportado por cuerdas del que pende un hilo con plomada, que permite leer en grados el a´ngulo de carena de la barcaza logrado, mediante el desplazamiento de una masa de 200gr. A lo largo de un riel horizontal a la barcaza. El centro de gravedad puede ser variado por medio de una masa deslizable (de posici´ o n) de 500 g que puede colocarse en diferentes posiciones a lo largo del v´ astago.
Figura 2.1: Equipo Utilizado
2.
Procedimiento del Experimento
Como puede observarse, el equipo consta de la barcaza, masa deslizante por un eje vertical y masa deslizante por un eje horizontal. La masa deslizante vertical sirve para modificar la posici´ on del centro de gravedad del cuerpo flotante. La masa horizontal es la que nos dar´ a la variaci´on de la posici´on del centro de empuje. Es obvio que el centro de gravedad pasa por el eje de simetr´ıa del sistema. Ahora detallamos el procedimiento que se sigui´o: Informe de Laboratorio N 1 ◦
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
21
Se defini´ o un sistema de coordenadas localizado en el cruce de los ejes de deslizamiento de las masas. Se ha denominado X el deslizamiento Horizontal y Y el deslizamiento Vertical desde este punto. Cada posici´on del centro de gravedad del cuerpo flotante o sistema se fij´ o con la pesa que se desliza por la barra vertical (perpendicular a la base del cuerpo). Se ha denominado este desplazamiento distancia Y la cual se mide desde el origen antes definido. Se coloc´ o la masa vertical en una determinada posici´ on, anotando el valor de Y , y se coloca la masa horizontal en el origen de coordenadas. El a´ngulo que forma el p´endulo en el transformador o a´ngulo de carena debe de ser cero para esta posici´ on, de no ser as´ı se deber´a girar un poco la masa vertical sobre su eje hasta conseguir. Se desliz´o la masa horizontal hasta colocarla en una determinada posici´ on, con ayuda de las gradaciones del eje horizontal. Luego se anota la posici´ on X y el a´ngulo de carena θ una vez que el cuerpo alcanza el equilibrio. Se Repiti´o el paso anterior variando X desde 0 hasta 8cm. con desplazamientos de 2 cm cada uno. Finalmente, Se cambio la posici´on del centro de gravedad deslizando la masa vertical desde 0 hasta 10cm. con desplazamientos de 2cm. cada uno, midiendo nuevamente sus respectivos a´ngulos de carena.
Cuadro 2.1: datos obtenidos
θ X 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
3. 3.1.
Y (m)
0.00 0.02
0.04
0.06
0.08 0.1
0.0 0.8 1.3 2.0 3.0
0.0 1.6 2.5 3.2 4.1
0.0 1.2 2.2 3.2 4.15
0.0 1.1 2.2 3.3 4.5
0.0 1.0 1.8 2.6 3.5
0.0 2.8 4.05 5.4 6.8
Resultados y Discusi´ on Otros Datos
Aparte de los datos obtenidos del procedimiento en el cuadro 2.1, se incluye estos datos proporcionados por el instructor del laboratorio (cuadro 2.2).
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
22
◦
Cuadro 2.2: Otros Datos Magnitud Notaci´on
3.2.
Medida
Masa de la barcaza Masa de la pesa deslizante horizontal Masa de la pesa deslizante vertical Ancho de la barcaza Largo de la barcaza
M B M h M v DB LB
3.545 Kg 0.0988 Kg 0.7177 Kg 0.212 m 0.370 m
Masa de la barcaza m´as las pesas Peso de la barcaza m´ as las pesas Peso de la pesa deslizante horizontal Peso de la pesa deslizante vertical
M s W s W h W v
4.362 Kg 42.786 N 0.9692 N 7.0406 N
Procedimiento de C´ alculo Primero se halla MG tomando momentos en el centro de empujes (para eliminar la componente de flotaci´ on o empuje de agua). l W s = a W h
·
·
pero por la geometr´ıa en la figura 2.2
l = M G sen θ X h ⇒ M G = senl θ = W · W sen θ
(2.1)
s
BM se halla con una f´ ormula conocida (ver teor´ıa p´ ag. 6): BM =
I V
donde V es el volumen sumergido de la barca V B = I B =
M s = 0,0044m3 ρagua
LB DB 3
·
= 2,9378 × 10 4m4 −
12 2,9378 × 10 4 m4 = 0,0674m BM = 0,0044m3 −
⇒
BC se halla como la mitad del calado
Calado =
⇒
BC =
V B = 0,0556m LB DB
·
0,0556m = 0,02778m 2
La ubicaci´ on del centro de gravedad (CG) se halla restando segmentos CG = B M
− GM − BC
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
(2.2)
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
23
Figura 2.2: D.C.L. de la Barcaza
4.
Cuestionario
a) Ver secci´on 3 p´ag. 21 b) Realice la deducci´on de las f´ormulas necesarias •
•
Cuerpo flotante Puede decirse que un cuerpo flota cuando se encuentra parcialmente sumergido, o sea parte de su volumen est´ a fuera de fluido. Un objeto flota si su densidad media es menor que la densidad del agua. Si ´este se sumerge por completo, el peso del agua que desplaza (y, por tanto, el empuje) es mayor que su propio peso, y el objeto es impulsado hacia arriba y hacia fuera del agua hasta que el peso del agua desplazada por la parte sumergida sea exactamente igual al peso del objeto flotante. Plano de flotaci´ on El plano del agua donde flota un buque se interseca con el casco definiendo una superficie que se denomina superficie de flotaci´ on. En la figura se observa ´esta para tres estados diferentes de carga F1, F2 y F3. Estas superficies se consideran siempre paralelas unas a otras y paralelas a su vez a la l´ınea base (LB) o l´ınea de la quilla.
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
24
Figura 2.3: Planos de Flotaci´ on •
•
•
•
•
•
L´ınea de flotaci´ on La l´ınea de flotaci´ on es la l´ınea formada por la intersecci´ on del plano formado por la superficie del agua con el casco de un barco; separando la parte sumergida (obra viva), de la que no lo est´a (obra muerta). Es variable en funci´o n de la carga, de las caracter´ısticas del agua, de la estiba y de otros factores. En t´erminos coloquiales, la expresi´on ”l´ınea de flotaci´ on”suele referirse a aquello sobre lo que se asienta un concepto o un sistema determinado. Centro de flotaci´ on Al inclinarse un buque longitudinalmente, lo hace girando sobre un eje que pasa por el centro de gravedad del plano de flotaci´ on. Dicho centro se llama “centro de flotaci´on”. El centro de flotaci´ on no tiene por qu´e estar en la vertical del centro de gravedad ni coincidir con ´el. Si cargamos un peso en la vertical del centro de flotaci´on no se altera la diferencia de calados, es decir, el asiento. Desplazamiento Es el peso del l´ıquido desplazado por el flotador (igual al empuje hidrost´ atico sobre la superficie de la carena). Carena Carena se denomina al volumen limitado por el casco y por la superficie de flotaci´on en un buque. Tambi´en puede denominarse carena al volumen sumergido. Centro de carena Centro de carena es el centro de gravedad del volumen de agua desplazado por un flotador, para una condici´ on dada. Tambi´en se conoce con el nombre de centro de empuje, ya que es con fines de estabilidad donde se considera aplicada dicha fuerza. Empuje Se conoce como fuerza de flotaci´ on a la fuerza resultante que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido (total o parcialmente), la cual act´ ua siempre en forma vertical y hacia arriba. La fuerza de flotaci´on act´ ua a trav´es del centroide del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado por el s´ olido
c) Graficar para cada posici´on: X vs. H en una sola gr´afica. Que conclusiones puede obtener de la gr´ afica? Primero, usando la ecuaci´ on 2.1 se halla la altura metac´entrica para cada caso, y se obtiene el cuadro 2.3
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
25
Cuadro 2.3: C´ alculo de la Altura Metac´entrica
H
X
(m) 0.02 0.04 0.06 0.08
Y (m)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.03245 0.03993 0.03892 0.03458
0.02596 0.02883 0.02993 0.02963
0.01622 0.02075 0.02431 0.02528
0.02163 0.02359 0.02431 0.02498
0.02360 0.02359 0.02357 0.02303
0.00926 0.01280 0.01438 0.01520
T´eoricamente, en la figura 2.4 tiene que haber lineas horizontales distanciadas W · W 2cm. Aunque en general no se parece, en Y = 0,8m se aproxima mucho a una linea horizontal (H = 0,0236), por tal motivo lo tomaremos como dato para poder hallar el centro de gravedad del sistema en la siguiente pregunta v
s
Gr´ aficas X vs H
0.04
0.035
0.03
0.025
m
0.02
H 0.015
Y = 0.00 Y = 0.02
0.01
Y = 0.04 Y = 0.06
0.005
Y = 0.08 Y = 0.10
0 0
0.01
0.02
0.03
0.04
X
0.05
0.06
0.07
0.08
(m)
Figura 2.4: Gr´afica Y cp experimental vs H
d) Podr´ıa ubicar para cada caso el Centro de Gravedad del Sistema? Como se dijo anteriormente, tomaremos los datos de Y = 0,08m porque son los ”mejores”datos. Hallaremos CG por medio de la ecuaci´on (2.1). CG = 0,0674
− GM − 0,0278
pero como vamos a usar Y = 0,08m ,entonces GM = 0,0236 CG = 0,0674 CG = 0,0160
− 0,0236 − 0,0278
ese CG es para y = 0,08m para un Y general, CG ser´ a: W v (Y 0,08m) W s CG = 0,0160m + 0,1646 (Y 0,08m) CG = 0,0160m +
·
−
·
CG = 0,0028m + 0,1646Y
−
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
(2.3)
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
26
Como C es un punto fijo, ya est´ a definido el centro de gravedad (G) para cada posici´ on de Y.
e) Traficar la familia de curvas Y vs. H para diferentes desplazamientos X en una sola gr´ afica. ¿Qu´e puede decir de este gr´ afico? Para hacer la gr´ afica Y vs H se usan los datos de la tabla 2.3. Te´ oricamente, en la figura 2.5 todos los trazos deben coincidir en una misma linea oblicua. Aunque no se parece, en Y = 0,8m todos los trazos tienden a concurrir en un punto (0.08,0.0236). Este es otro motivo por el cual usamos Y = 0,08 para iniciar los c´ alculos. Gr´ aficas Y vs H 0.04
X = 0.02 X = 0.04
0.035
X = 0.06 X = 0.08 0.03
0.025
m
H 0.02 0.015
0.01
0.005
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Y
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
(m)
Figura 2.5: Gr´afica Y cp experimental vs H
f) ¿Cu´ales son las aplicaciones en el campo en la Ingenier´ıa Civil que se le puede dar a la ubicaci´ on de la altura metac´ entrica? Las principales aplicaciones de la altura metac´entrica en ingenier´ıa civil son en las obras que se realizan en el agua, por ejemplo, puentes flotantes como el de Kelowna, y obras como aeropuertos flotantes como el de Kansai en Osaka Jap´ on. En estas obras es muy importante conocer si la altura metac´entrica es positiva, o´sea si el metacentro est´a por encima del centro de gravedad ya que esto dar´ a estabilidad a la estructura. Dado que en este tipo de obras existir´ an perturbaciones, en el caso de puentes los veh´ıculos que circularan en ellos y en el caso de aeropuertos los aviones que aterrizaran en ellos, el dise˜ no deber´ a basarse en que el metacentro siempre este por encima del centro de gravedad de la estructura.
g) Diga Ud. Cu´al es el l´ımite de un cuerpo estable e inestable El l´ımite entre el cual un cuerpo se encuentra en equilibrio estable y equilibrio inestable es el equilibrio neutro en el cual M G = 0 , es decir, CG = C M . En este caso, usando
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
27
◦
la ecuaci´on (2.3) CM = C G = 0,0028m + 0,1646Y
− BC = 0,0028m + 0,1646Y
BM
0,0674m − 0,0278m = 0,0028m + 0,1646Y Y = 0,2236m Por lo tanto, cuando la masa deslizante vertical este en Y = 22,36cm, de dice que el sistema est´ a en equilibrio neutro
h) Conclusiones Ver secci´on 5 p´ ag. 29
j) Graficar la variaci´on del radio metac´entrico vs. el ´angulo de carena en abscisas y en grados sexagesimal para diferentes posiciones del centro de gravedad. Para hallar el radio metac´entrico se asumir´ a que se conoce la altura del centro de gravedad (CG) en cada deslizamiento de la masa vertical por la ecuaci´ on (2.3) Sumando segmentos en la figura 2.2, se tiene BM = B C + CG + GM W h W s X BM = 0,0206m + 0,1646Y + 0 ,0227 sen θ BM = 0,0278m + 0,0028m + 0,1646Y +
X · sen θ
·
Luego, con la ecuaci´ on 2.4, se hace el cuadro 2.4. Cuadro 2.4: C´alculo del Radio Metac´entrico
Radio Metac´entrico (m)
X
(m) 0.02 0.04 0.06 0.08
Y (m)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.06252 0.07002 0.06903 0.06470
0.05931 0.06220 0.06332 0.06304
0.05284 0.05740 0.06098 0.06198
0.06155 0.06353 0.06428 0.06497
0.06682 0.06682 0.06683 0.06631
0.05575 0.05932 0.06093 0.06180
y finalmente con los datos del cuadro , se forma la figura 2.6
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
(2.4)
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
28
Gr´ aficas θ vs BM
0.08
0.07
0.06
m o c 0.05 i r t n e ´ c 0.04 a t e M0.03 o i d a R0.02
Y = 0.00 Y = 0.02 Y = 0.04 Y = 0.06 Y = 0.08 Y = 0.10
0.01
0 0
1
2
3
4
5
6
7
´ Angulo de Carena ( ) ◦
´ Figura 2.6: Grafica Angulo de Carena vs Radio Metac´entrica
k) Graficar la curva de la distancia metac´entrica vs. el ´angulo de carena para condiciones similares al del caso anterior. Por la ecuaci´ on 2.1 La distancia metac´entrica se halla de la siguiente manera M G =
W h W s
X · sen θ
M G = 0,0227
X · sen θ
Luego, con la ecuaci´ on 2.5, se hace el cuadro Cuadro 2.5: C´ alculo del la Distancia Metac´entrica
Distancia Metac´entrica(m)
X
(m) 0.02 0.04 0.06 0.08
Y (m)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.03245 0.03993 0.03892 0.03458
0.02596 0.02883 0.02993 0.02963
0.01622 0.02075 0.02431 0.02528
0.02163 0.02359 0.02431 0.02498
0.02360 0.02359 0.02357 0.02303
0.00926 0.01280 0.01438 0.01520
y finalmente con los datos del cuadro 2.5 , se forma la figura 2.7
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes
(2.5)
EXPERIMENTO N 2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES ◦
29
Gr´ aficas θ vs H
0.05 0.045
Y = 0.00 Y = 0.02
0.04
Y = 0.04
m o 0.035 c i r t n 0.03 e ´ c a 0.025 t e M a 0.02 i c n 0.015 a t s i D 0.01
Y = 0.06 Y = 0.08 Y = 0.10
0.005 0 0
1
2
3
4
5
6
7
´ Angulo de Carena ( ) ◦
´ Figura 2.7: Grafica Angulo de Carena vs Distancia Metac´entrica
5.
Conclusiones
De las figuras 2.5 se observan desfases en cada trazo. Sin embargo, a simple vista, estos desfases tienen un patr´ on. Este patr´ on pudo haber sido ocasionado por la suposici´on de un ´angulo de carena peque˜ no . Los valores de X peque˜ nos se podr´ıan despreciar, puesto que en la ecuaci´ on 2.1 la 0 divisi´on se acerca al 0 , es decir, no habr´ıa suficiente variaci´ on del centro de gravedad para que el sistema gire un a´ngulo apreciable. En la figura 2.6, se puede observar que el radio metac´entricos permanece relativamente constante con respecto al ´angulo de carena. En general, el radio metac´entrico deber´ıa permanecer constante para todo angulo de carena peque˜ no ( < 10 ), por tal raz´ on recibi´o el nombre de radio metac´entrico ◦
Determinaci´on del Centro de Presiones y Estabilidad de Cuerpos Flotantes