1. La lógica antigua. Su creador es Aristóteles con el Organon, o conjunto de obras lógicas:
Categorías, que trata de los términos, De la interpretación, donde estudia el enunciado, Analíticos primeros, donde estudia el silogismo y Analíticos segundos, que trata de la demostración, Tópicos y Elencos sofísticos, donde trata del silogismo dialéctico y sofístico, respectivamente. Se afirma, no obstante, que Parménides, los sofistas y el mismo Platón, pueden considerarse por lo menos antecedentes y predecesores de algunas teorías lógicas. Aristóteles es, en todo caso, el primero en desarrollar un sistema completo de lógica, que se conoce con el nombre de silogística. Es ésta una lógica de predicados basada en los términos y en la predicación, o manera como se atribuye al sujeto el predicado, en la frase o proposición, cuya estructura se indica con la expresión «S es P». El tratamiento de los silogismos es formal y Aristóteles recurre también al uso de variables. Su obra fue continuada y perfeccionada por Teofrasto de Eresos, segundo director del Liceo, sobre todo en lo que respecta a la lógica modal y a la lógica de enunciados o proposiciones, sólo implícitamente supuesta por Aristóteles. Quienes desarrollaron sistemáticamente la lógica de enunciados fueron, sin embargo, los megáricos (entre 400 y 275 a.C.) y los estoicos (entre 300 y 200 a.C.). Con ellos aparece el recurso a diversas formas de argumentación, y no a la sola implicación, y analizan el valor de las conectivas como funciones veritativas. A los megáricos, entre quienes destacan Diodoro Cronos y Filón de Megara, se debe la formulación de las primeras paradojas lógicas, atribuidas principalmente a Eubúlides, el estudio de los enunciados modales e intensas discusiones sobre el sentido del condicional. Diodoro sostiene que un enunciado condicional es verdadero si y sólo si no puede enunciarse, en ningún momento, como compuesto de un antecedente verdadero y un consecuente falso. Mientras que Filón sostiene que un enunciado condicional debe interpretarse verdadero en todo caso, menos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Así, para el primero, «si es de noche, entonces es de día», nunca es un enunciado verdadero, mientras que, para el segundo, este enunciado es verdadero dicho durante el día. A esta interpretación filoniana del condicional se le ha llamado modernamente implicación material, según la cual «Si P, entonces Q» equivale a «O no P o Q».Entre los estoicos, Crisipo de Soli, llamado segundo fundador de la Estoa, destaca como uno de los principales lógicos griegos. La lógica estoica es una lógica de enunciados ya en desarrollo, basada en el principio de bivalencia (a ellos se debe la definición de enunciado - que llaman axioma- como lo que puede ser verdadero o falso), que recurre a la negación, conjunción, disyunción (exclusiva, y quizá la inclusiva) y el condicional filoniano, como conectivas definidas a modo de funciones veritativas; con ellas construían los principios lógicos (ver cita). Las discusiones sobre el condicional, unidas a las de los megáricos, fueron tantas y tan intensas que Calímaco (s. II a.C.) afirmaba que «hasta los cuervos graznan por los tejados acerca de este problema». El famoso médico Galeno (entre los años 129 y 199 d.C.), que escribe una Introducción a la dialéctica, así como comentarios a la lógica de Aristóteles, Teofrasto y los estoicos, mezcla la lógica aristotélica con la estoica. Se le
atribuye, asimismo, la introducción de la cuarta figura del silogismo (algunos la atribuyen al filósofo judío Albalag, del s. XIII). Tras el período estoico, durante la época de los «comentadores», iniciada por la labor recopiladora de Andrónico de Rodas, florecen comentarios sobre las obras lógicas de Aristóteles. Así, Alejandro de Afrodisia (s. III), Porfirio (s. III), Simplicio (s. VI) y Filopón (s. VI). Entre los romanos del mismo período, especial relevancia tiene Boecio, a través del cual penetran, por primera vez, en el occidente latino algunas de las obras lógicas de Aristóteles: traduce Categorías y De la interpretación, sobre las que también redacta comentarios; escribe Sobre el silogismo categórico y Sobre el silogismo hipotético, y comenta además la Eisagogé, del neoplatónico Porfirio y Topica, de Cicerón. De los comentarios de Boecio a la Eisagogé, procede en buena medida el llamado problema de los universales, de tanta importancia filosófica especialmente durante la Edad Media (ver cita). La lógica medieval, -entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la lógica griega y, en especial, de la silogística aristotélica. Prior destaca cuatro aportaciones nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia, (2) una teoría general de la implicación, (3) un desarrollo de la lógica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje. El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica, de Alcuino, obra escrita en forma de diálogo para ser utilizada en el trivium, base de la enseñanza elemental medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un largo período de tiempo, la lógica queda relegada a estas nociones elementales de las artes liberales. La aparición de los «dialécticos» del s. XI y las primeras discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y su relación con la gramática. El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor interés son la Dialéctica, en la que reelabora la herencia lógica dejada por Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos más característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica. A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de obras lógicas de Aristóteles; la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con el nombre de ars nova, o «nueva lógica», la usada ya en las universidades del s. XIII. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas -por un lado, el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon aristotélico, más Analíticos primeros, Tópicos y Elencos sofísticos, y por otra, un estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos segundos, llevado a cabo por las facultades de teología, más fieles al pensamiento aristotélico- dio origen a la logica antiqua, de las facultades teológicas, y a la logica moderna, de las facultades de artes. El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano; sus obras de lógica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y XV, con más de 150 ediciones.A finales del s. XIII, la lógica moderna se instala en Oxford, donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby, Juan Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las
consecuencias, desarrollada de un modo especial durante esta época, representa una de las influencias de la lógica estoica sobre la medieval. «Consecuencia» es, para los medievales, un condicional o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. Se discute intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis. Tales tratados, aunque no eran independientes de la lógica aristotélica, recogen algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. Se añade la teoría de la suppositio, o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa en un enunciado. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la cuantificación. 2. La lengua perfecta
La búsqueda de una lengua perfecta -un lenguaje completo, simple y universaltiene en el Ars Magna [El gran arte], de Ramon Llull, sus orígenes medievales. Según Llull, con 54 ideas básicas podría tejerse un gran arte para expresar cualquier verdad necesaria al hombre. Descartes y Leibniz son -sin olvidar, no obstante, a George Dalgarno, con Ars Signorum (1616), Atanasio Kircher, con su Novum hoc inventum quo omnia mundi idiomata ad unum reducuntur [Nuevo invento con el que se reducen a uno todos los idiomas del mundo] (1660), que incluye un diccionario de 1620 palabras, y John Wilkins, con Essay towards a Real Character and a Philosophical Language [Ensayo a favor de un alfabeto real y un lenguaje filosófico] (1668)- los principales valedores de una characteristica universalis, de un lenguaje universal de proposiciones verdaderas que pudiera ser usado para razonar científicamente. Descartes busca, desde los días en que conoce a I. Beeckman, y superando a Llull, una «ciencia totalmente nueva, que permita resolver en principio todas las cuestiones», o un lenguaje universal vinculado a la verdadera filosofía, que elimine la posibilidad de equivocarse razonando (ver cita). Leibniz -el único, por otra parte, de sus contemporáneos que no cree, como sí hará poco después Kant, que la lógica sea un saber ya totalmente establecido y acabado, y a quien se atribuye la paternidad de la expresión «lógica matemática»- es el defensor por antonomasia de una mathesis universalis, o lenguaje universal matemático, que, desde su primera Dissertatio de arte combinatoria, escrita a los veinte años, en 1666, hasta las más tardías Elementa characteristicae generalis y aun su proyecto de una enciclopedia universal, no cesa de identificar el «razonamiento y el cálculo», con el apoyo de signos o de conceptos primeros. Además de estos autores que pueden considerarse «precursores» de la lógica matemática, ha de recordarse la Lógica de Port-Royal: Logique, ou l´Art de penser [Lógica, o arte de pensar] (1622), de Antoine Arnauld y Pierre Nicole, y que mantiene una perspectiva antiescolástica y antiaristotélica, defendida anteriormente sobre todo por Petrus Ramus, pero también por Bacon, Descartes, Pascal y otros. Su orientación psicologista será decisiva a todo lo largo de los siglos XVII a XIX. Bernard Bolzano es uno de los pocos, y el principal, que no sigue esta orientación psicologista. El hecho de contemplar la lógica como teoría de la ciencia hace que se interese, no por los aspectos psicológicos, sino por el estudio formal de los términos y enunciados.
3) La matemática de la lógica
Pese a que el empirismo clásico inglés, Locke en especial, se olvida por completo de la lógica, son ingleses quienes, a mediados del s. XIX, comienzan a desarrollar en la práctica las ideas de Leibniz sobre un cálculo lógico universal. Este período inicial, protagonizado por los británicos W. Hamilton (1788-1856), G. Boole, sobre todo, A. de Morgan, W.S. Jevons y el alemán E. Schroeder (1841-1912), representa el desarrollo de la matemática de la lógica o álgebra de la lógica-, poderosamente influida por los cambios experimentados en el álgebra y la geometría entre 1825 y 1900, iniciados con la distinción entre álgebra aritmética y álgebra simbólica, hecha por George Peacock (1791-1858) en Tratado de álgebra (1842-1845). Boole concibe la lógica como un álgebra de clases; se basa en el supuesto de que la lógica es una parte de la matemática, y el paralelismo que se establece entre ambas le permite entender los enunciados como ecuaciones. En Las leyes del pensamiento (1854) formula las leyes del análisis matemático de la lógica. Las investigaciones posteriores en la matemática de la lógica son desarrollos de sus teorías, corrección de sus errores, mejora y simplificación de los métodos de expresión, o ampliación de sus perspectivas, hasta su axiomatización. Así, por ejemplo, William Stanley Jevons, constructor por otra parte de una máquina de razonar, sugiere que la suma o unión de clases (x+y) sea entendida como la clase de las cosas que son x, y o x e y a un tiempo («o» inclusiva), noción también admitida por A. de Morgan, y reemplaza la expresión booleana del complemento de clase, «1-a», por la actual, . Ch.S. Peirce, que llama a su sistema Álgebra General de la Lógica, es uno de los autores que amplían la obra empezada por Boole, elaborando algebraicamente la lógica de las relaciones; de ahí surge la idea de que la lógica de enunciados es la base de la lógica en general. 3. La lógica matemática
La lógica moderna nace propiamente con la publicación, en 1879, por Gottlob Frege, de Conceptografía, ensayo que, junto con su obra de mayor importancia, Fundamentos de la geometría (1884), pasó inadvertida hasta que la obra de Russell, Principios de las matemáticas (1903), llamó la atención sobre su contenido. La pequeña obra de 1879 representa la formalización completa de la lógica elemental, o el primer sistema completo de lógica elemental, y muestra que la aritmética se identifica con la lógica, o que es una parte de la lógica, en aparente contraposición con la postura de Boole. La teoría de los cuantificadores ha sido considerada como la novedad de mayor relieve introducida por Frege y una de las aportaciones lógicas de mayor importancia del s. XIX; aplicada a los enunciados categóricos representa un punto claro de unión entre la lógica aristotélica de términos y la lógica de enunciados iniciada por los estoicos. Los Principia Mathematica (1910-1913), de A.N. Whitehead y B. Russell, culminan la comprensión de la lógica como sistema deductivo iniciada por la obra de Frege, cuyo desarrollo, en diversas vertientes, persiste en la actualidad como teoría lógica admitida ya como
clásica. Después de los Principia Mathematica, las investigaciones lógicas se han ocupado preferentemente del perfeccionamiento de la formulación axiomática del sistema de lógica que proponen y del estudio de las propiedades formales de los cálculos lógicos: consistencia, completud y decidibilidad. El rechazo del punto de vista de Frege, reafirmado en principio por Whitehead y Russell, de que la matemática es lógica, lleva a la aparición de filosofías de la matemática rivales: la filosofía formalista de la matemática de Hilbert y la concepción intuicionista de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.Reacción también a la obra lógica de Whitehead y Russell son las lógicas no clásicas polivalentes, no fundadas ya en el principio de bivalencia: Lukasiewicz y Post son los primeros en desarrollar lógicas trivalentes. Arend Heyting (1898-1980) formula una lógica intuicionista, que aplicando los principios matemáticos de Brouwer abandona el principio del tercero excluso.
