INDUKSI MATEMATIKA DAN KETERBAGIAN Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pengampu: Dr. Agus Maman Abadi, S.Si., M.Si.
Disusun oleh: Ummi Santria
16709251008 16709251008
Nira Arsoetar
16709251018
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017
A. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika merupakan suatu teknik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang disebut induksi matematika. Khususnya pernyataan yang terkait dengan bilangan asli dan bilangan bulat positif. Induksi matematika juga merupakan suatu cara yang berguna untuk membuktikan berbagai identitas identitas atau rumus. Prinsip induksi matematika adalah cara yang berguna untuk membuktikan kebenaran / keabsahan mengenai bilangan bulat. Pembuktian dengan induksi matematika dapat kita lakukan dengan dua langkah lan gkah (Rosen: 2011) 1. Basis step menunjukkan step menunjukkan pernyataan itu bernilai benar be nar untuk bilangan 1 2. Induction step menunjukkan step menunjukkan bahwa pernyataan itu benar untuk n + 1
Well Well -Order -Order in g Pri ncipl e (WOP)
Sebagai suatu metode, induksi matematika harus dapat dibuktikan apakah valid atau tidak. Untuk itu diperkenalkan terlebih dulu dengan salah satu aksioma tentang himpunan bilangan bulat. (Burton, 2010:1) WOP WO P . Setiap himpunan tak kosong S dari bilangan bulat non-negatif memuat paling sedikit unsur; yaitu, ada beberapa bilangan bulat a dalam S sedemikian sehingga a ≤ b, untuk b anggota S . Contoh : himpunan bilangan bulat positif genap Teorema 1.5 .(Rosen, K. H. 2011: 23) Prinsip Induksi Matematika. Matematika.
Suatu himpunan bilangan bulat positif yang memuat memuat maka juga memuat bilangan bulat
himpunan semua bilangan bulat positif. Jika:
(a) (b)
dan yang bersifat bahwa jika
, maka haruslah himpunan itu merupakan
berakibat
. Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat positif yang berisi bilangan bulat 1, Bukti dan bilangan bulat k + 1 yang bagaimanapun juga berisi k. Asumsikan (dengan pembuktian 1
A. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika merupakan suatu teknik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang disebut induksi matematika. Khususnya pernyataan yang terkait dengan bilangan asli dan bilangan bulat positif. Induksi matematika juga merupakan suatu cara yang berguna untuk membuktikan berbagai identitas identitas atau rumus. Prinsip induksi matematika adalah cara yang berguna untuk membuktikan kebenaran / keabsahan mengenai bilangan bulat. Pembuktian dengan induksi matematika dapat kita lakukan dengan dua langkah lan gkah (Rosen: 2011) 1. Basis step menunjukkan step menunjukkan pernyataan itu bernilai benar be nar untuk bilangan 1 2. Induction step menunjukkan step menunjukkan bahwa pernyataan itu benar untuk n + 1
Well Well -Order -Order in g Pri ncipl e (WOP)
Sebagai suatu metode, induksi matematika harus dapat dibuktikan apakah valid atau tidak. Untuk itu diperkenalkan terlebih dulu dengan salah satu aksioma tentang himpunan bilangan bulat. (Burton, 2010:1) WOP WO P . Setiap himpunan tak kosong S dari bilangan bulat non-negatif memuat paling sedikit unsur; yaitu, ada beberapa bilangan bulat a dalam S sedemikian sehingga a ≤ b, untuk b anggota S . Contoh : himpunan bilangan bulat positif genap Teorema 1.5 .(Rosen, K. H. 2011: 23) Prinsip Induksi Matematika. Matematika.
Suatu himpunan bilangan bulat positif yang memuat memuat maka juga memuat bilangan bulat
himpunan semua bilangan bulat positif. Jika:
(a) (b)
dan yang bersifat bahwa jika
, maka haruslah himpunan itu merupakan
berakibat
. Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat positif yang berisi bilangan bulat 1, Bukti dan bilangan bulat k + 1 yang bagaimanapun juga berisi k. Asumsikan (dengan pembuktian 1
kontradiksi) bahwa S bukan himpunan seluruh bilangan bulat positif. Oleh karena itu, ada beberapa bilangan bulat positif yang tidak terkandung dalam S. Karena himpunan bilangan bulat positif tidak terkandung dalam S adalah bukan himpunan kosong, ada setidaknya bilangan bulat positif k yang tidak berada di S. Dengan catatan k ≠ 1, karena 1 ada dalam S. Sekarang, karena k > 1 (karena tidak ada bilangan positif k dengan k < 1), bilangan bulat k – 1 1 adalah bilangan bulat positif yang lebih kecil dari k, dan pastinya juga berada dalam S. Tapi karena S berisi k – 1, 1, maka pasti juga berisi (k – 1) 1) + 1 = k, yang mana ini merupakan suatu kontradiksi, sebagaimana k seharusnya bilangan positif terkecil tidak berada di S. Ini menunjukkan bahwa S pasti merupakan himpunan seluruh bilangan bulat positif .
Contoh 1
Menggunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa:
∑ : B asis Step Step
: mengasumsikan hipotesis induksi untuk I ndu ctive Ste Step p
maka,
, menggunakan hipotesis induksi, kita mempunyai:
Karena dari langkah basis dan langkah induksi keduanya telah terbukti benar, maka
pernyataan diatas benar.
Contoh 2: Buktikan
untuk setiap bilangan asli
B asis step: step: P1=1 P2=2 dan seterusnya.
2
Untuk membuktikan pernyataan itu, perhatikan bahwa P 1 adalah benar. Kemudian misalkan
bahwa bahwa
adalah benar, selanjutnya harus dibuktikan
adalah benar.
Sehingga dari kedua langkah tersebut benar. Hal ini membuktikan bahwa pernyataan diatas
benar.
Prinsip Kedua Induksi Matematika Matematika
Teorema 1.6. (Rosen, K. H. 2011 : 25) Prinsip Induksi Matematika Kuat
Suatu himpunan bilangan bulat positif yang memuat dan setiap bilangan bulat positif yang bersifat, jika memuat
maka juga memuat bilangan bulat
himpunan itu merupakan himpunan semua bilangan bulat positi f.
, maka
. Misalkan T adalah himpunan bilangan bulat positif yang memuat 1untuk setiap Bukti bilangan bulat positif n, jika berisi 1, 2, ... n, maka juga berisi n + 1. Misalkan S adalah himpunan seluruh bilangan bulat sedemikian hingga semua bilangan bulat positif yang kurang arau sama dengan n berada dalam S. Jadi, bilangan 1 berada dalam S, dan dengan hipotesis ini, kita melihat bahwa jika n berada dalam S, maka n + 1 berada dalam S. Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika, S pasti himpunan seluruh bilangn bulat positif, karena S adalah himpuan bagian dari T.
3
SOAL DAN JAWABAN
Latihan 1.3 (Rosen, K. H. 2011: 27)
1. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa n bilangan bulat.
berlaku untuk semua
Jawaban:
Untuk setiap n bilangan bulat positif.
Basis step:
Dengan
Maka,
Terbukti benar untuk I ndu ctive step:
Asumsikan
Dengan
Maka,
Terbukti benar untuk Sehingga, dengan
Maka,
Berdasarkan WOP (Well Ordering Principle), karena
maka
.
Karena kedua langkah dari langkah basis dan langkah induksi terbukti benar, maka pernyataan
berlaku untuk semua n bilangan bulat adalah benar.
2. Diduga sebuah rumus penjumlahan bilangan bulat genap positif n pertama. Buktikan kebenaran/keabsahannya menggunakan induksi matematika. Jawaban: Penjumlahan n bilangan bulat positif, yaitu:
4
Basis step:
untuk
kita mempunyai
adalah benar bahwa,
∑ I ndu ctive step:
Sekarang asumsikan
, maka
Kemudian mempunyai
adalah benar.
, maka:
Dengan kedua langkah tersebut, karena
maka,
. Sehingga terbukti benar pernyataan rumus penjumlahan bilangan bulat
genap positif n pertama.
3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa,
untuk setiap n bilangan bulat positif.
Jawaban: Basis step:
Pembuktian untuk n = 1 kita mempunyai
adalah benar bahwa,
, yang mana nilai terkecil dari k = 1
I ndu ctive step:
Kemudian asumsikan bahwa
maka:
menjadi
, maka
benar. Kemudian membuktikan mempunyai
5
,
4. Diduga formula untuk:
Dari nilai penjumlahan ini untuk n bilangan bulat terkecil. Buktikan bahwa dugaan benar dengan menggunakan induksi matematika. Jawaban:
(1) Untuk n = 1
(2) Untuk n = k
(3) Untuk n = k+1
=
=
=
Sehingga terbukti bahwa
6
5. Diduga sebuah rumus untuk A n dimana A =
. Buktikan dugaan ini dengan
menggunakan induksi matematika. n
Diduga bahwa A = Jawaban: A3 = A2A =
maka A =
dan seterusnya.
, A2 =
,
Untuk membuktikannya dengan menggunakan
induksi matematika
Basis step: pertama-tama lihat langkah basis bahwa n = 1 maka,
An =
A=
benar.
n
Kemudian asumsi bahwa A = I ndu ctive step: An+1 = An A =
adalah benar maka,
=
Karena dua langkah tersebut terbukti benar, maka pernyataan rumus untuk A n dimana A = adalah benar.
6. Dengan menggunakan induksi matematika terbukti bahwa:
Untuk setiap n bilangan bulat positif. Jawaban: Basis step:
Dengan n = 1
∑ I ndu ctive step:
Asumsikan
Dengan n = k
7
Sehingga, dengan n = k + 1
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan k < k + 1 bahwa: benar.
maka pernyataan diatas
7. Dengan menggunakan induksi matematika terbukti bahwa:
Untuk setiap n bilangan bulat positif. Jawaban:
8
Basis step:
Dengan n = 1
Terbukti benar untuk n=1 I ndu ctive step:
∑
Asumsikan
Dengan n = k
Terbukti benar untuk n=k
Sehingga, dengan n = k + 1
9
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan k < k + 1 bahwa:
Maka pernyataan diatas benar.
8. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
berlaku untuk setiap n bilangan bulat positif.
Jawaban:
Basis step:
Dengan n = 1
[ ] []
Terbukti benar untuk n=1 I ndu ctive step:
Asumsikan
∑ *+
Dengan n = k
10
∑
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ] [ Sehingga, dengan n = k + 1
11
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan k < k + 1 bahwa:
] [ ] [ ∑
9. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
berlaku untuk setiap n bilangan bulat positif. Jawaban: Basis step:
Untuk langkah basis n = 1 kita mempunyai
adalah benar.
I ndu ctive step:
Kemudian asumsikan bahwa n = k, maka benar bahwa Kemudian mempunyai n = k + 1, maka:
∑
10. Misalkan Hn penjumlahan ke-n dari Hn =
Dengan menggunakan induksi
matematika terbukti bahwa:
Untuk setiap n bilangan bulat positif. Jawaban:
12
Basis step:
Dengan n = 1
Terbukti benar untuk n=1 I ndu ctive step:
Asumsikan
Dengan n = k
Sehingga, dengan n = k + 1
13
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan n = k
∏ ∏ ∑
11. Temukan formula dari:
=
=
maka
12. Tunjukkan bahwa:
Untuk setiap n bilangan bulat positif. Jawaban: Basis step:
Dengan n = 1
Inductive step: Asumsikan
Dengan n = k
14
Sehingga, dengan n = k + 1
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan n = k
13. Tunjukkan bahwa banyaknya jumlah perangko yang merupakan bilangan bulat pada sen lebih besar dari 11 sen dapat dibentuk dengan hanya menggunakan 4 sen dan 5 sen perangko.
Jawaban: Membuktikan pernyataan ini dengan induksi matematika. diketahui bilangan
12 lebih besar dari 11. Dimana
, kita asumsikan bahwa perangko dari n sen
dapat dibentuk ke dalam n=4a+5b dimana a dan b bilangan bulat positif. Untuk bentuk n+1 sen perangko jika a>0 kita dapat mengganti 4 sen perangko dengan 5 sen perangko.
15
Dimana n+1=4(a-1)+5(b+1). Jika tidak ada 4 perangko yang diberikan maka semua 5 sen perangko telah digunakan. Maka n+1=4(a+4)+5(b-3) 14. Tunjukkan bahwa banyaknya jumlah perangko yang merupakan bilangan bulat pada sen lebih besar dari 53 sen dapat dibentuk dengan hanya menggunakan 7 sen dan 10 sen perangko. 15. Jika
∑
merupakan jumlah parsial ke n pada seri harmoni, maka,
Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa Jawaban:
pertidaksamaan benar untuk n = 0 karena
.
≥ 1= 1 + 0/2
Sekarang diasumsikan bahwa pertidaksamaan benar untuk n dimana:
maka terbukti.
16. Jika
∑
merupakan jumlah parsial ke n pada seri harmoni, maka,
Dengan menggunakan induksi matematika, tunjukkan bahwa Jawaban:
pertidaksamaan benar untuk n = 0 karena
Sekarang diasumsikan bahwa pertidaksamaan benar untuk n dimana: I ndu ctive step:
maka terbukti.
17. Tunjukkan dengan menggunakan induksi matematika, bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, maka
16
Jawaban:
Basis step: untuk n=1, maka
I ndu ctive step:
Mengasumsikan bahwa
Maka untuk n=n+1 didapatkan,
18. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa
merupakan faktor dari
, dimana x dan y adalah variabel.
Menggunakan prinsip kedua induksi matematika. Jawaban: Basis step:
Untuk n=1, Mempunyai
yang merupakan faktor dari
I ndu ctive step:
Mengasumsikan bahwa
Karena
adalah faktor
dan
adalah faktor dari kedua
maka,
dan
,
Ini adalah faktor dari
19. Dengan menggunakan prinsip induksi matematika tunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat yang memuat bilangan bulat k, sehingga himpunan yang memuat n+1 sedemikian hingga himpunannya memuat n, memuat himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan k. Jawaban:
Misal A merupakan sebuah himpunan. Dimana B sebagai Karena
, B adalah himpunan dari bilangan bulat.
Karena
dan
Karena
pada A dimanapun n berada,
didalam B
pada B dimanapun
berada. Sehingga B memenuhi hipotesis induksi matematika, yaitu B adalah himpunan 17
dari bilangan bulat. Memetakan B kembali ke A pada semestinya, ditemukan bahwa A
berisi himpunan bilangan lebih besar dari atau sama dengan k. 20. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa Jawaban:
.
Basis step:
Dengan n = 4
I ndu ctive step:
Dengan n = k
Dengan n = k + 1
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan n = k
21. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa Jawaban: Basis step:
I ndu ctive step
Asumsikan bahwa Kemudian
18
.
22. Tunjukkan dengan induksi matematika bahwa jika untuk semua n bilangan bulat positif.
, dengan
Jawaban:
Dengan menggunakan induksi matematika Basis step:
Dengan n = 1, maka:
Inductive step:
Dengan n = k, maka:
Sehingga, dengan n = k + 1 maka:
Untuk membuktikan induksi matematika adalah valid, maka berdasarkan well-order principle benar dengan n = k
23. Puzzle jigsaw diselesaikan dengan meletakkan potongan-potongannya bersama pada tempat yang benar. Tunjukkan bahwa pindahan n – 1 diperlukan untuk menyelesaikan puzzle jigsaw dengan potongan n, dimana pemindahan terdiri atas peletakan bersama
19
sebanyak dua blok potongan, dengan blok terdiri atas satu atau lebih assembling. (petunjuk: gunakan prinsip kedua dalam induksi matematika.) Jawaban : Untuk membuktikan ini, kita gunakan prinsip induksi matematika yang kedua. Basis step :
Jika puzzle hanya memiliki satu potongan, kemudian puzzle dihimpun dengan tepat untuk 0 pergerakkan I nduction step :
Asumsikan bahwa puzzle dengan potongan
memenuhi pergerakan
untuk
dihimpun. Misal puzzle membutuhkan pergerakan m untuk menghimpun puzzle dengan potongan. Kemudian, pergerakkan m terdiri dari gabungan dua ukuran blok yaitu a
dan b, sehingga
.
Akan tetapi dengan hipotesis induksi, sepenuhnya memenuhi pergerakkan
dan
untuk dihimpun pada masing-masing blok. Sehingga :
24. Jelaskan apa kesalahan pada pembuktian berikut dengan induksi matematika bahwa semua kuda adalah berwarna sama: jelasnya, semua kuda dalam himpunan pada 1 kuda adalah semua berwarna sama. Hal ini melengkapi basis step. Sekarang, asumsikan bahwa semua himpunan pada n kuda adalah berwarna sama. Sadarilah himpunan pada n + 1 kuda, dengan label bilangan bulat 1 + 2 + 3 + . . .+ (n + 1). Dengan hipotesis induksi, kuda dengan 1, 2, . . . , n adalah berwarna sama, seperti kuda dengan 2, 3, 4, . . . , n ,(n + 1). Karena terdapat dua himpunan kuda yang memiliki anggota yang sama, yaitu, kuda dengan 2, 3, 4, . . . , n, semua kuda n + 1 pasti berwarna sama. Lengkapi pernyataan induksi ini.
Jawaban:
Kasus
tidak mengikuti bentuk dari
kuda dari 1 ke
, karena ketika
, himpunan label
(dimana ini hanya merupakan himpunan kuda yang berisi kuda 1)
tidak memiliki anggota umum pada himpunan label kuda dari 2 ke merupakan himpunan yang berisi kuda2)
. (dimana ini
25. Menggunakan prinsip induksi matematika untuk menunjukkan bahwa nilai setiap bilangan bulat positif dari fungsi didefinisikan secara rekursif ditentukan. Jawaban:
20
Misal bahwa
merupakan aturan untuk menemukan
didefinisikan secara rekursif dengan menentukan nilai dari dari
dan
. Untuk membuktikan dengan
induksi matematika bahwa fungsi ini didefinisikan dengan baik. Pertama, catat bahwa
didefinisikan dengan baik karena nilai ini secara eksplisit dinyatakan. Sekarang
mengasumsikan bahwa
didefinisikan dengan baik. Maka
juga
didefinisikan dengan baik karena aturan diberikan untuk menentukan nilai ini dari 26. Apa fungsi untuk
yang didefinisikan secara rekursif oleh
.
dan
? Buktikan jawaban dengan menggunakan induksi matematika.
Jawaban:
Fungsinya adalah Basis step:
Untuk n=1, maka I ndu ctive step:
Mengasumsikan bahwa
27. Jika
maka,
didefinisikan secara rekursif oleh
Bagaimana
dan
untuk
?
,
Jawaban:
Dengan mempunyai
dan
28. Menggunakan prinsip kedua induksi matematika untuk menunjukkan bahwa jika dispesifikasikan dan aturan untuk menemukan
positif pertama ditentukan. Maka
dari nilai pada bilangan bulay
ditentukan untuk setiap bilangan bulat positif
Jawaban:
Basis step diberikan. Untuk I ndu ctive step , mengasumsikan bahwa nilai dari
bilangan bulat positif pertama ditentukan. Maka karena itu, dengan induksi matematika,
pada
ditentukan dari aturan. Oleh
ditentukan untuk setiap bilangan bulat
positif .
29. Kita definisikan fungsi secara rekursif untuk semua bilangan bulat positif dan untuk
,
oleh
. Tunjukkan bahwa
menggunakan prinsip kedua induksi matematika.
Jawaban:
Basis step: 21
Basis step terdiri dari verifikasi rumus untuk Untuk
maka,
Untuk
maka,
dan
dan
I ndu ctive step:
Mengasumsikan bahwa
untuk semua bilangan bulat positif
dengan
dimana
Maka terbukti benar.
30. Tunjukkan bahwa
dimanapun merupakan bilangan bulat lebih besar dari 4
Jawaban:
Basis step:
Karena
maka basis step dimiliki.
I ndu ctive step:
Mengasumsikan bahwa
, catat bahwa untuk
Maka mendapatkan
31. Misal
,
bahwa
yang melengkapi induksi.
,
dan
untuk
.Tunjukkan
untuk setiap bilangan bulat positif.
Jawaban:
Untuk membuktikan ini akan digunakan prinsip induksi matematika yang kedua. Basis Step:
I ndu ctive Step:
Asumsikan bahwa
untuk semua bilangna bulat dengan
Maka:
22
32. Menara tower Hanoi Menara Hanoi merupakan puzzle populer pada akhir abad ke 19. Puzzle ini berisi tiga pasak dan delapan cincin pada ukuran yang berbeda ditempatkan dalam ukuran rangka. Dengan yang terbesar berada di bawah, dan salah satunya berada di pasak. Tujuan dari puzzle adalah memindahkan semua cincin pada satu waktu tanpa pernah memindahkan cincin yang lebih besar di atas cincin yang lebih kecil, dari pasak pertama ke pasak kedua, menggunakan bantuan pasak ketiga. a. Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan angka minimum perpindahan untuk memindahkan lingkarandari satu pasak ke pasak lainnya, dengan aturan yang tekah dideskripsikan yaitu . b. Sebuah legenda kuno menceritakan bahwa para biksu di dalam menara dengan 64 cincin emas dan 3 berlian pasak. Mereka mulai memindahkan cincin, satu perpindahan per satu detik, ketika dunia telah terbentuk. Ketika mereka berhasil memindahkan cincin menuju pasak kedua, dunia akan berakhir. Berapa lama dunia akan berakhir?
Jawaban :
a. Basi s step: Perhatikan bahwa hanya ada 1 cincin, sehingga
perpindahan dibutuhkan.
√ I ndu ctive step:
Asumsikan bahwa dibutuhakan langkah untuk memindahkan cincin. Pertama, pindahkan dari cincin ke pasak ketiga.( membutuhkan langkah ) Kemudian, pindahkan cincin bawah ke pasak ketiga (membutuhkan satu langkah) Dan pindahkan cincin pada pasak ketiga ke pasak kedua (langkah lebih) Sehingga didapat langkah
b. Berdasarkan
legenda,
detik
=3.07445. minutes = jam = 2.13503. hari = tahun, yang berarti menurut legenda dunia akan berakhir lebih dari 580 milyar tahun. 33. Pengertian aritmatik dan pengertian geometri dari bilangan real positif masing-masing adalah
dan
. Gunakan induksi
matematika untuk membuktikan bahwa untuk setiap barisan bilangan real positif berhingga. Sampai kapan persamaan berlanjut? Jawaban :
Misal
merupakan sebuah pernyataan untuk
. Kemudian
adalah benar, karena kita
memiliki
Asumsikan
adalah benar , kemudian dengan
kita memiliki
untuk
bilangan real positif .
23
Aplikasikan
ke pernyataan terakhir untuk mendapatkan yang membentuk untuk untuk semua .
Asumsikan lagi bahwa
adalah benar, missal
. Aplikasikan
kita mendapatkan
,
.
Sehingga, yang membentuk . Maka, adalah benar dan menunjukkan kebenaran untuk . Jadi dinyatakan untuk semua . 34. Gunakan induksi matematika untuk meneunjukkan bahwa papan catur dengan salah satu persegi yang hilang dapat ditutupi dengan potongan berbentuk L, dimana masing masing potongan berbentuk L menutupi tiga persegi. Jawaban :
Basis Step:
Diketahui ada empat papan catur dengan salah satu persegi yang hilang dan masing-masing dapat ditutup dengan satu potongan berbentuk L I ndu ctive Step:
Asumsikan bahwa papan catur apapun dapat ditutupi dengan potongan berbentuk L. Berdasarkan papan catur dengan salah satu persegi yang hilang, membagi ini ke dalam empat kotak papan catur dimana tiga kotak papan catur berisi setiap persegi dan sisanya merupakan papan catur yang memeiliki salah satu persegi yang hilang. Dengan hipotesis induksi empat kotak papan catur dapat ditutupi karena salah satu persegi hilang. Potongan berbentuk L digunakan untuk menutupi tiga kotak di papan tiga catur lain yang menyentuh di tengah papan catur yang lebih besar. Apa pun yang tertinggal digunakan untuk menutupi semua sisa kotak dalam setiap tiga papan catur. Hipotesis induktif menunjukkan bahwa kita dapat mencakup semua kotak yang tersisa di masing-masing papan catur tersebut.
35. Sebuah bagian pecahan merupakan sebuah pecahan dari bentuk , dimana
merupakan
bilangna bulat positif. Karena pada jaman mesir kuno mewakilkan pecahan sebagai penjumlahan dari beberapa bagaina pecahan yang berbeda, seperti penjumlahan disebut
penjumlahan mesir. Tunjukkan bahwa setiap bilangan rasional
, dimana
dan
merupakan bilangan bulat dengan dengan , dapat dituliskan sebagai sebuah penjumlahan berbeda dari bagian pecahan, yang ini berarti bahwa pecahan Mesir. (Petunjuk : gunakan induksi kuat pada pembilang untuk menunjukkan bahwa algoritma dari penjumlahan merupakan kemungkinan terbesar pada bilangan pecahan untuk setiap tahapan selalu berakhir. Sebagai contoh, menjalankan algoritma ini menunjukkan bahwa Jawaban :
Perhatikan bahwa karena benar jika
)
didapatkan
dengan menggunakan induksi kuat pada
24
. Proposisi ini sepenuhnya
.
Missal dan diberikan dan asumsikan proposisi benar untuk semua bilangan raasional antara 0 dan 1 dengan pembilang kurang dari . Untuk mengaplikasikan algoritma, menemukan bagian pecahan sehingga nya adalah dengan
. Dengan kata lain, jika kita mengalikan pertidaksamaan pertama
didapatkan
yang mengarah pada
menunjukkan bahwa pembilang dari sisa
. Ketika mengurangkan, sisa pecahan
setelah
, ini
sesungguhnya lebih besar dari pembilang pada
satu langkah algoritma dijalankan. Dengan hipotesis induksi , sisa
dinyatakan sebagai jumlah dari bagian pecahan ,
. Sehingga
36. Menggunakan algorithm pada Latihan 35, tuliskan setiap bilangan tersebut sebagai pembagian Egyptian. a. b. c. d.
Jawaban:
a. Karena b. Karena c. Karena
dikurangi untuk mendapatkan dikurangi untuk mendapatkan
dikurangi untuk mendapatkan
kurang dari
adalah , maka dikurangi untuk mendapatkan
d. Pembagian unit terbesar kurang dari mendapatkan
adalah Maka dikurangi untuk
. Pembagian unit terbesar kurang dari
dikurangi untuk mendapatkan dari
pembagian unit terbesar
adalah
adalah
, maka
. Pembagian unit terbesar kurang
maka dikurangi untuk mendapatkan
(catat bahwa ini merupakan hasil dari “greedy algorithm.” Representasi yang lain mungkin
)
25
B. KETERBAGIAN Definisi (Rosen, K. H. 2011: 36) Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan a ≠ 0,
dikatakan a membagi b jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = ac. Jika a membagi b, dikatakan juga bahwa a adalah pembagi atau faktor dari b dan b adalah perkalian dari a. Jika a membagi b dilambangkan dengan a | b sedangkan jika a tidak membagi b maka dilambangkan dengan a ł b
: Contoh
penyataan yang menggambarkan konsep keterbagian bilangan bulat adalah dan
Jawaban:
a.
( 63 habis dibagi 21) karena 63 = 21 x 3
b.
( 276 tidak habis dibagi 9 ) karena 276 = 9 x 30 (+ 6) artinya bersisa 6
Definisi 2.1. (Burton, 2011:20) Sebuah bilangan bulat
bilangan bulat
jika terdapat bilangan bulat sehingga
habis membagi
maka dinotasikan
Jadi Contoh:
terbagi oleh
, ditulis
. Apabila tidak
.
, sebab
atau dapat ditulis
tidak membagi 144, sebab tidak ada bilangan bulat
ditulis
dikatakan habis membagi
sehingga
. Tetapi
, sehingga dapat
.
Teorema 1.8 (Rosen, K. H. 2011: 37). Jika a, b dan c adalah bilangan bulat dengan a | b
dan b | c, maka a | c . Karena a | b dan b | c, ada bilangan bulat e dan f yang merupakan hasil dari pembagian Bukti sedemikian hingga: a | b = e → ae = b dan b | c = f → bf = c. Oleh karena itu: c = bf = (ae)f = a(ef). Dan dapat disimpulkan bahwa a | c. Karena 33 | 99 dan 99 | 297, berdasarkan teorema 1.8 menyatakan bahwa 33 | 297 Contoh:
Teorema 1.9 (Rosen, K.H. 2011: 37). Jika a, b, m dan n adalah bilangan bulat dan jika c
| a dan c | b maka c | (ma + nb).
.Apabila c | a dan c | b, maka ada bilang bulat e dan f yang merupakan bilangan hasil Bukti pembagi sedemikian hingga dijumlahkan untuk sebarang
a = ce dan
, maka ma + nb = mce + ncf = c (me + nf) , Jadi terlihat bahwa c | (ma + nb)
Contoh.
26
b = cf. Jika kedua persamaan
Ketika 4 | 36 dan 4 | 44, maka
Berdasarkan teorema 1.9, jika kita mengambil sebarang bilangan bulat m dan n, maka:
Jadi, 4 | 36 dan 4 | 44, maka 4 | (36m + 44n) Misal:
maka,
Teorema 1.10 ( Rosen, K. H. 2011: 37) Algoritma Pembagian. Jika a dan b adalah
bilangan bulat sehingga
maka terdapat bilangan bulat unik q dan r sehingga
dengan
Dalam Algoritma Pembagian, q disebut
hasil bagi (quotient) dan r di sebut sisa
(remainder). Dan juga a disebut bilangan yang dibagi (devidend) dan b pembagi (divisor) Bukti.
Mengingat bahwa himpunan seluruh bilangan bulat S dengan bentuk a – bk dimana k
– }
adalah sebuah bilangan bulat, yang mana, S =
Misalkan T adalah himpunan
bilangan bulat bukan negatif dalam S. T bukan himpunan kosong, karenan a – bk adalah positif apapun nilai bilangan bulat k dengan
.
Dengan ini, T setidaknya mempunyai sebuah element r = a – bq. (terdapat nilai q dan r secera spesifik dalam teorema). Dengan kontraksi diketahui bahwa r ≥ 0 dan dengan mudah terlihat bahwa r < b. Jika r ≥ b, kemudian r > r – b = a – bq = a – b(q + 1) ≥ 0, hal ini kontradiksi dengan pemisalan r = a – bq sebagai bilangan bulat non negatif dengan bentuk a – bk. Oleh karena itu, 0 ≤ r < b. Untuk menunjukkan bahwa nilai q dan r adalah unik, asumsikan bahwa terdapat dua persamaan a = bq 1 + r 1 dan a = bq 2 + r 2, dengan 0 ≤ r 1< b dan 0 ≤ r 2< b. Dengan pengurangan persamaan pertama dengan persamaan kedua, dapat ditemukan bahwa 0 = b (q1 – q2) + (r 1 – r 2) Oleh karena itu, terlihat bahwa r 1 – r 2 = b (q1 – q2) hal ini menyatakan bahwa b membagi r 1 – r 2. Karena 0 ≤ r 1< b dan
0 ≤ r 2< b, kita
mempunyai – b < r 2 – r 1< b. Oleh karena itu, b dapat membagi r 2 – r 1 jika dan hanya jika r 2 – 27
r 1 = 0 atau, dengan kata lain, jika r 1 = r 2. Karena bq1 + r 1 = bq2 + r 2 dan r 1 = r 2, terlihat juga q1 = q2. Ini menunjukkan bahwa q hasil bagi dan r sisa adalah unik. Contoh
( )
Jika a = 41 dan b = 2, maka q = 20 dan r = 1, karena 41 = 2 ∙ 20 + 1 dan 0 ≤ 1 < 2 Contoh 1.13. (Burton, 2011:25) Untuk sembarang bilangan bulat
a.
, tunjukkan bahwa,
dan
b.
Bukti:
a. Ambil
sebagai pembagi dan
suatu bilangan yang dibagi. Dengan algoritma
pembagian maka terdapat dan sehingga
Untuk
, substitusi
, dimana
ke dalam
diperoleh
yang merupakan bilangan bulat.
Untuk
, substitusi
ke dalam
diperoleh
yang merupakan bilangan bulat.
Ambil
sebagai pembagi dan
suatu bilangan yang dibagi. Dengan algoritma
pembagian maka terdapat dan sehingga
Untuk
, substitusi
, dimana
ke dalam
.
diperoleh
yang merupakan bilangan bulat.
Untuk
,
substitusi
ke
dalam
diperoleh
yang merupakan bilangan bulat.
Untuk
,
substitusi
ke
dalam
diperoleh
yang merupakan
bilangan bulat. b. Ambil
sebagai pembagi dan
suatu bilangan yang dibagi. Dengan algoritma
pembagian maka terdapat dan sehingga
Untuk
, substitusi
ke dalam
yang merupakan bilangan bulat.
28
, dimana
diperoleh
.
()
() Untuk
,
substitusi
ke
dalam
diperoleh
yang merupakan
bilangan bulat.
Untuk
,
substitusi
ke
dalam
diperoleh yang
merupakan bilangan bulat.
GREATEST COMMON DIVISOR (GCD atau FPB)
Jika a dan b adalah bilangan bulat yang bukan 0, kemudian himpunan pembagi pada bilangan bulat a dan b adalah himpunan hingga pada bilangan bulat yang selalu memuat bilangan bulat +1 dan -1.
Definisi ( Rosen, K. H. 2011: 39) FPB dari dua bilangan bulat a dan b yang bukan 0
merupakan bilangan bulat terbesar yang dapat membagi kedua bilangan a dan b. FPB dari a dan b ditulis (a,b). Sebagai catatan bahwa (0,n) = (n,0) = n dimana n adalah bilangan bulat positif. Meskipun setiap bilangan bulat positif dapat habis membagi 0, dapat menetapkan (0,0) = 0. Contoh.
Ambil dua bilangan bulat sembarang yaitu a = 21 dan b = 33. Maka pembagi dari 21 dan 33 adalah ±1 dan ±3. Sehingga (21, 33) = 3
Definisi.
Bilangan bulat a dan b dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0 merupakan bilangan relatif prima jika a dan b memiliki FPB (a, b) = 1. Contoh.
Ambil dua bilangan prima sembarang yaitu a = 15 dan b = 26. Maka pembagi dari 15 dan 26 adalah 1. Sehingga (15, 26) = 1.
29
SOAL DAN JAWABAN TENTANG KETERBAGIAN
1. Tunjukan bahwa 33|99, 5|145, 7|343, dan 888|0 Jawaban:
a. 3|99 karena 99 = 3 ×33 b. 5|145 karena 145= 5 × 29 c. 7|343 karena 343= 7× 49 d. 888|0 karena 0 = 888 × 0 2. Tunjukan bahwa 1001 dapat di bagi oleh 7, 11, 13 Jawaban:
a. 7|1001 karena 1001 = 7 × 143 b. 11|1001 karena 1001 = 11 × 91 c. 13| 1001 karena 1001 = 13 × 77 3. Apakah bilangan bulat dibawah ini dapat dibagi ol eh 7 Jawaban:
a. Ya 7|0 terbagi habis karena 0 = 7 × 0 b. Ya 7|707 terbagi habis karena 707 = 7 × 101 c. Tidak, karena 7|1717 bersisa 2, yaitu 1717 = 7 x 245 + 2 d. Tidak, karena 7|123,321 bersisa 4,321 , yaitu 123,321 = 7 x 17 + 4,321 e. Tidak, karena 7|-285,714 bersisa -5,714 , yaitu -285,714= 7 x (-40) - 5,714 f. Tidak, karena 7|-430,597 bersisa – 3,597 , yaitu -285,714= 7 x (-61) – 3,597 4. Apakah bilangan bulat dibawah ini dapat dibagi ol eh 22 Jawaban:
a. Ya 22|0 terbagi habis karena 0 = 22 × 0 b. Tidak 444 = 20×22+4 karena sisanya tidak nol maka 22ł444 c. Ya karena1716 = 22 × 78 d. Ya karena192.554 = 22 × 8752 e. Ya karena-32.516 = 22 × -1478 f. Tidak karena -195.518 = -8888 × 22 + 18 karena sisanya tidak nol maka 22ł -195518 5. Temukan hasil bagi dan sisa dalam algoritma, dengan pembagi 17 dan yang dibagi... Jawaban:
a. 17|100 hasil bagi 5 dan bersisa 15, yaitu 100 = 17 x 5 + 15 b. 17|289 tidak bersisa , yaitu 100 = 17 x 17 c. 17|-44 hasil bagi (-2) dan bersisa -10 , yaitu -44 = 17 x (-2) – 10 30
d. 17|-100 hasil bagi (-5) bersisa -15, yaitu -100 = 17 x (-5) – 15 6. Temukan semua bilangan bulat positif yang dapat membagi habis tiap bilangan bulat berikut. Jawaban:
Berdasarkan definisi maka a membagi b = a maka b = a.c atau b adalah perkalian a. a. 12 1|12 = 12, 2|12 = 6, 3|12 = 4, 4|12 = 3, 6|12 = 2, 12|12 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. b. 22 1|22 = 22, 2|22 = 11, 11|22 = 2, 22|22 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 22 adalah 1, 2, 11 dan 22. c. 37 1|37 = 37, 37|37 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 37 adalah 1dan 37. d. 41 1|41 = 41, 41|41 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 41 adalah 1dan 41. 7. Temukan semua bilangan bulat positif yang membagi setiap bilangan dibawah ini Jawaban:
a. 1|13 dan 13|13. 13 habis dibagi oleh 1 dan 13 b. 1|21,3|21 dan 7|21, 21 habis dibagi oleh 1, 3 dan 7 c. 1|34, 2|34 dan 17|34, 34 habis dibagi oleh 1, 2 dan 17 d. 1|44, 2|44, 4|44, dan 11|44, 44 habis dibagi oleh 1, 2, 4, dan 11 8. Temukan FPB dari semua bilangan bulat positif yang membagi setiap bilangan bulat pada pasangan bilangan bulat di bawah ini. a. (8,12) b. (7,9) c. (15,25) d. (16,27) Jawaban:
a) (8, 12) 1|8 = 8, 2|8 =4, 4|8 = 2, 8|8 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 8 adalah 1, 2, 4 dan 8.
31
1|12 = 12, 2|12 = 6, 3|12 = 4, 4|12 = 3, 6|12 = 2, 12|12 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Maka pembagi 8 dan 12 adalah 1, 2, dan 4. Sehingga (8, 12) = 4. b)
(7, 9) 1|7 = 7, 7|7 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 7 adalah 1dan 7. 1|9 = 9, 3|9 = 3, 9|9 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 9 adalah 1, 3, dan 9. Maka pembagi 7 dan 9 adalah 1. Sehingga (7, 9) = 1.
c) (15, 25) 1|15 = 15, 3|15 = 5, 5|15 = 3, 15|15 = 1 sehingga bilangan bulat positif yang membagi 15 adalah 1, 3, 5 dan 15. 1|25 = 25, 5|25 = 5, 25|25 = 1, sehingga bilangan bulat positif yang membagi 9 adalah 1, 5, dan 25. Maka pembagi 15 dan 25 adalah 1 dan 5. Sehingga (15, 25) = 5. d) (16, 27) 1|16 = 16, 2|16 = 8, 4|16 = 4, 8|16 = 2, 16|16 = 1 sehingga bilangan bulat positif yang membagi 16 adalah 1, 2, 4, 8 dan 16. 1|27 = 27, 3|27 = 9, 9|27 = 3, 27|27 = 1sehingga bilangan bulat positif yang membagi 27 adalah 1, 3, 9, dan 27. Maka pembagi 16 dan 27 adalah 1. Sehingga (16, 27) = 1. 9. Temukan FPB dari semua bilangan bulat positif yang membagi setiap bilangan bulat pada pasangan bilangan bulat di bawah ini. a. (11, 22) b. (36, 42) c. (21, 22) d. (16, 64) Jawaban:
a. Bilangan bulat positif yang membagi 11 adalah 1 dan 11. Bilangan bulat positif yang membagi 22 adalah 1, 2, 11, dan 22. Sehingga FPB dari 11 dan 22 adalah 11 b. Bilangan bulat positif yang membagi 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18 dan 36. Bilangan bulat positif yang membagi 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 41. Sehingga FPB dari 36 dan 42 adalah 6 c. Bilangan bulat positif yang membagi 21 adalah 1, 3, 7, dan 21. Bilangan bulat positif yang membagi 22 adalah 1, 2, 11, dan 22. Sehingga FPB dari 21 dan 22 adalah 1 32
d. Bilangan bulat positif yang membagi 16 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16. Bilangan bulat positif yang membagi 64 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32 dan 64. Sehingga FPB dari 16 dan 64 adalah 16. 10. Temukan bilangan bulat positif kurang dari 10 yang merupakan relatif prima. Jawaban:
S = bilangan bulat positif yang kurang dari 10
Jadi, (1,3,7,9) merupakan bilangan relatif prima dengan 10. 11. Temukan bilangan bulat positif kurang dari 11 yang relatif prima. Jawaban: bilangan bulat positif yang bisa membagi 11 adalah 1 dan 11. Oleh karena itu
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 adalah relatif prima dari 11. 12. Temukan semua pasangan bilangan bulat positif yang tidak melewati 10 adalah relatif prima. Jawaban:
S = bilangan bulat positif yang kurang dari 10
Karena (a,b)=(b,a) kita dapat mengasumsikan tanpa menghilangkan secara umum bahwa . Sehingga pasangan bilangan bulat yang merupakan relatif prima yang tidak
melebihi 10 adalah:
Sehingga pasangan yang dapat dibuat yaitu:
13. Temukan semua pasangan bilangan bulat positif yang antara 10 dan 20 adalah relatif prima. Jawaban:
kita mengasumsikan bahwa a < b, maka: Sehingga bilangan prima relative antara 10 dan 20 adalah (10,11), (10,13), (10,17), (10,19), (11,12), (11,13), (11,14) , (11,15), (11,16), (11,17), (11,18), (11,19), (11,20), (12,13), (12,17), (12,19), (13,14), (13,15), (13,16), (13,17), (13,18), (13,19), (13,20), (14,15), (14,17), (14,19), (15,16), (15,17), (15,19), (16,17), (16,19), (17,18), (17,19), (17,20), (18,19), (19,20)
33
14. Dapatkah kamu menyimpulkan jika a dan b merupakan bilangan bulat bukan 0 maka a|b dan b|a? Jawaban:
Misal a|b dan b|a
Kemudian, ada bilangan bulat dan sehingga dan
Ini menunjukkan bahwa Maka dari itu,
sehingga
atau
Jadi, berdasarkan hal tersebut
atau
15. Tunjukan bahwa jika a,b, c, dan d adalah bilangan bulat dengan a dan c tidak nol, sehingga a|b dan c|d maka ac|bd Jawaban:
Dengan menggunakan hipotesis diketahui
dan
, maka ada
merupakan bilangan hasil dari pembagian sehingga
yang
dan
Kedua persamaan dikalikan maka diperoleh maka dapat ditulis
.
. .
16. Apakah terdapat bilangan bulat a, b, dan c maka a|bc, tapi a ł b dan a ł c? Jawaban:
Pertama mempunyai
tetapi 6 tidak membagi 2 ataupun 3.
17. Tunjukan bahwa jika a,b,dan c ≠0 adalah bilangan bulat, maka a|b jika dan hanya jika ac|bc
Jawaban:
Jika
, maka
dan
sehingga
dan
dengan kata lain
. Sekarang, misal
, dengan kata lain
,
18. Tunjukkan bahwa jika a dan b adalah bilangan bulat positif dan a|b, maka a ≤ b. Jawaban:
Misal positif
, maka
, dan
. Karena a dan b merupakan
adalah positif dan
19. Tunjukkan bahwa jika a dan b adalah bilangan bulat sehingga a|b maka semua k bilangan positif. Jawaban:
34
untuk
Oleh definisi,
jika dan hanya jika
mengangkat kedua sisi persamaan ini untuk
untuk beberapa bilangan bulat th menghasilkan kekuatan
. kemudian maka
20. Tunjukkan bahwa penjumlahan dari dua bilangan bulat genap atau dua bilangan bulat ganjil adalah genap, dimana penjumlahan dari satu bilangan bulat ganjil dan satu bilangan bulat genap adalah ganjil.
Jawaban:
Misal bahwa dan merupakan genap. Maka
dan
dimana dan bilangan bulat.
Oleh karena
maka
juga genap.
Misal bahwa dan merupakan ganjil. Maka
dan
dimana dan bilangan bulat.
Oleh karena maka Maka
,
merupakan ganjil. Misal bahwa genap dan ganjil. dan
dimana dan bilangan bulat.
Oleh karena itu
. Mengikuti
ganjil.
21. Tunjukkan bahwa perkalian dari dua bilangan bulat ganjil adalah bilangan bulat ganjil, dimana perkalian dari dua bilangan bulat genap adalah genap.
Jawaban:
dan
ganjil, dan
genap. Maka
, Jadi
ganjil. Di sisi lain untuk
integer apapun, mempunyai
yang genap.
22. Tunjukkan bahwa jikaa dan b adalah bilangan bulat ganjil positif dan b ł a, kemudian terdapat bilangan bulat s dan t sehingga, a = bs + t , dimana t = ganjil dan Jawaban:
Oleh pembagian algorithm, terdapat bilangan bulat karena
sehingga
. Jika adalah ganjil, maka selesai. Jika genap, maka
ganjil,
, dan
23. Ketika bilangan bulat
dibagi dengan bilangan bulat
pembagian memberikan hasil bagi dari
, dimana
dan sisa dari . Ketika dibagi dengan hasil
baginya adalah dan sisanya adalah , kemudian ketika dibagi dengan adalah dan sisanya adalah
. Algoritma
.
Jawaban:
35
, hasil baginya
Oleh
pembagian
algorithm,
. Jika
atau
demikian
, maka selesai. Dalam keadaan lain,
dan
,
24. Tunjukkan bahwa jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan b ˃ 0 dan c ˃ 0, sehingga ketika a dibagi oleh b dengan hasil bagi q dan sisa r, dan q dibagi c dengan hasil bagi t dan sisa s, maka ketika a dibagi bc, hasil bagi t dan sisa bs + r.
Jawaban:
Kita mempunyai
25. a) Perluasan algoritma pembagian dengan kemungkinan pembagi negatif, khususnya ketika
dan
dan merupakan bilangan bulat, ada bilangan bulat unik
sehingga
, dimana
dan
.
b) Temukan sisa nya ketika 17 dibagi dengan
.
Jawaban:
a. Pembagian algorithm mencangkup pernyataan ketika
mungkin mengaplikasikan pembagian algorithm pada hasil bagi
dan sisa
sehingga
positif. Jika negatif, maka dan
untuk mendapatkan
dan
. Tapi karena
negatif, kita mempunyai
b. Kita mempunyai
26. Tunjukkan bahwa jika bulat unik
. Disini
dan merupakan bilangan bulat positif, kemudian ada bilangan
dan sehingga
, dimana
. Hasilnya disebut dengan
modified division algorithm. Jawaban:
Ini dinamakan algoritma paling sedikit sisa. Misal bahwa
dan bilangan bulat positif.
Oleh pembagian algoritma ada bilangan bulat dan dengan Jika Jika
himpunan
, dan
himpunan
, maka
dengan
.
dan
Karena itu ada bilangan bulat
27. Tunjukkan bahwa jika
.
, dan
maka
dan
dan seperti
dan
dimana
merupakan bilangan bulat, maka : 36
dan
* + [ ]{ *+ * + [ ][ ] * + *+ [ ] * + *+ *+ *+ *+ *+*+ * + * + Jawaban :
Menggunakan algoritma pembagian, misal
, dengan
dan
. Kemudian seperti contoh pada 1.31 didapatkan sebagai berikut :
=
Jika
, kemudian
sehingga
untuk bilangan bulat
apapun dan
.
Pada kasus ini, kita memiliki :
Dengan kata lain, jika
, kemudian
Pada kasus ini kita memiliki
+1
28. Tunjukkan bahwa bilangan bulat
merupakan genap jika dan hanya jika
Jawaban:
Misal
, maka:
Dengan kata lain, misal
, kemudian
bulat, maka terbukti bahwa merupakan bilangan genap.
37
dan
merupakan bilangaa
* + + *
29. Tunjukkan bahwa angka pada bilangna bulat positif kurang dari atau sama dengan
,
dimana merupakan bilangan real positif yang menunjukkan bahwa pembagian dengan bilangan positif sama dengan Jawaban :
Bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat positif dalam bentuk
merupakan bilangan bulat
dimana merupakan bilangan bulat. Angka dari bilangan bulat tersebut
kurang dari yang merupakan angka dari bilangna bulat positif ekuivalen dengan
. Ada bilangan bulat seperti
*+
dengan
, atau
30. Temukan angka pada bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 akan tetapi dapat habis dibagi dengan , dengan 25, dengan 125, dan dengan 625. Jawaban:
Ada
bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 yang habis dibagi oleh
,
*+
bilangan bulat tersebut yang habis dibagi oleh
Bilangan bulat tersebut yang habis dibagi oleh tersebut yang habis dibagi oleh 625.
, dan
,
bilangan bulat
31. Berapa banyak bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang dapat dibagi dengan 7 dan dengan 49? Jawaban:
Ada
*+*+ *+*+
bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang habis
dibagi oleh 7, ada
bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang
habis dibagi oleh 49.
32. Temukan angka dari bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 tetapi tidak bisa habis dibagi dengan 3 atau 5 Jawaban:
Jumlah bilangn bulat yang tidak melebihi 1000 yang tidak habis dibagi oleh 3 atau 5 sama dengan
*+*+*+
33. Temukan angka dari bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 tetapi tidak bisa habis dibagi dengan 3,5, atau 7. Jawaban:
Menggunakan prinsip dari Inclusion-Exclusion, jawabannya adalah
38
[][][][][][][]
34. Temukan angka dari bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 yang bisa habis dibagi dengan 3 tetapi tidak habis dibagi dengan 4. Jawaban:
Untuk bilangan bulat yang habis dibagi dengan 3 tetapi tidak habis dibagi 4 merupakan sebuah bilangna bulat yang dapat habis dibagi dengan 3tetapi tidak habis dibagi dengan 12.
*+ * + Ada
bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 yang habis dibagi
dengan 3. Sehingga
dapat habis dibagi dengan 12 ( karena segala sesuatu
yang dapat dibagi dengan 12secara ptpmatis dapat dibagi dengan 3. Oleh karena itu ada kemungkinan bilangan bulat yang tidak melebihi 1000 yang dapat
habis dibagi 3tetapi tidak habis dibagi 4.
35. Pada awal tahun 2010, untuk mengirim surat level pertama di United Stated of America dikenai biaya 44 sen untuk satu ons dan 17 sen untuk masing masing tambahan ons atau bagiannya. Temukan rumus untuk melibatkan fungsi bilangan bulat terbesar pada
perhitungan biaya pengiriman surat di USA pada awal tahun 2010. Bisakah ada kemungkinan dengan membayar di USA?
atau
untuk pengiriman surat level pertama
ons atau bagian yang lebih dari 1, sehingga kita membutuhkan antara
sampai
Jawaban:
Misal
adalah berat surat per ons. Perhatikan bahwa fungsi
mengelilingi
sampai akhir bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan . Biaya pengiriman surat berdasarkan berat surat pada
ons. 44 sen ditambah dengan 17 sen untuk masing masing
bilangan bulat berikutnya. Sehingga biayanya adalah Misalkan
Dimana hasil diatas bukan merupakan perkalian dari 17, sehingga tidak ada surat dengan biaya
Misalkan bahwa
39
Hasil di atas merupakan perkalian 17 yaitu atau
, maka
sehingga
.
Jadi, berat surat pada kisaran 13 ons tetapi kurang dari 14 ons akan terkena biaya
36. Tunjukkan bahwa jika
adalah bilangan bulat, maka 3 habis membagi
atau
Jawaban:
Dengan pemisalan a = 1, maka
Dengan a = k + 1, maka
Jika
maka
Jika
Maka:
37. Tunjukkan bahwa hasil kali dari dua bilangan bulat pada bentuk
pada bentuk ini. Dimana hasil kali pada dua bilangan bulat pada bentuk bentuk dari Jawaban:
Hasil kali dua bilangan dari bentuk ini memberikan kita . Sama halnya,
40
akan kembali
adalah
38. Tunjukkan kuadrat dari setiap bilangan bulat ganjil adalah dalam bentuk
Jawaban:
Misal bahwa
ganjil. Maka
dimana
adalah bilangan bulat. Hal itu
mengikuti bahwa genap, maka
. Sekarang, jika
dimana bilangan bulat. Oleh karena itu,
, dimana
bilangan bulat. Jika ganjil, maka
dimana
bilangan bulat. Oleh karena itu , dimana
39. Tunjukkan pangkat dari setiap bilangan bulat ganjil adalah dalam bentuk Jawaban:
Setiap bilangan bulat ganjil yang mungkin ditulis dalam bentuk Amat
atau
.
bahwa
. Melanjutkan lebih lanjut,
.
40. Tunjukkan bahwa hasil kali dari dua bilangan bulat dalam bentuk
adalah
Jawaban:
Hasil kali dari bilangan bulat
dan
adalah
dimana
. Karenanya hasil kali ini adalah dari bentuk
41. Tunjukkan bahwa hasil kali dari 3 bilangan bulat berurutan dapat dibagi dengan 6 Jawaban:
Dari setiap berturut-turut tiga bilangan bulat, satu merupakan perkalian dari tiga. Juga
setidaknya satu merupakan ganjil. Oleh karena itu, hasil kali adalah perkalian dari
42. Dengan menggunakan induksi matematika, tunjukkan bahwa setiap n bilangan bulat positif. Jawaban:
Dengan menggunakan induksi matematika Basis step:
Dengan n = 1 Maka
41
:
dibagi oleh 5 untuk
= 0
I ndu ctive step:
Dengan n = k Maka
Sehingga, dengan n = k + 1
Jika
maka
Jika
Maka
43. Dengan menggunakan induksi matematika , tunjukkan bahwa jumlah dari pangkat tiga bilangan bulat berurutan dapat dibagi dengan 9 Jawaban:
1. Untuk langkah basis kita tetapkan bahwa: 0 3 + 13 + 23 = 1 + 8 = 9 9/9 = 9.1 = 9 2. Untuk n = k, maka diperoleh bahwa n 3 + (n+1)3 + (n+ 2) 3 = 9k 9/9k=1.k 3. Untuk n = k+1, maka diperoleh: 42
