RELASI KETERBAGIAN Defenisi 2.1
Bilangan bulat a,a≠0 membagi (habis) bilangan bulat b ditulis aIb, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian hingga b = ka jika a dak membagi (habis) b maka ditulis alb Contoh : 5I30 karena ada bilangan bulat yaitu 6 sedemikian hingga 5.6 = 30 7I-21 sebab ada bilangan bulat yaitu -3 sedemikian hingga 7. (-3) = -21 -6I24 sebab ada bilangan bulat yaitu -4 sedemikian hingga (-6).(-4) = 24 I27 sebab !dak ada bilangan bulat k sedemikian hingga k = 27
Teorema 2.1 "ika alb dan bl# maka al#. Bukt : :
$mbil a%b%# angg&ta bilangan bulat dengan alb% dan bl# $dt al# 'arena alb maka a0 dan ada k 1
'arena bl# maka b 0 dan ada k 2
% sehingga b = k 1 a (de*enisi)
sehingga # = k 2 b (de*enisi)
"adi # = k2 . b = k2 (k1 a)
(subsitusi)
=(k2 k1) a untuk k2%k1
= k3 a
untuk k3
'arena 'arena a 0 dan # = k 3. a untuk suatu k 3
Conoh:
maka al# (de*enisi)
2l dan l16 maka 2l16
5l10 dan 10l30 maka 5l30
3l12 dan 12l36 maka 3l36
Teorema 2.2
"ika alb maka almb untuk se!a+ bilangan bulat m. Bukt :
$mbil a% b
dengan alb
$dt almb untuk se!a+ m
'arena alb maka a0 dan ada k1 sehingga b = k1 a b = k1 a maka untuk n se!a+ m
berlaku
m. b = (m k1) a m. b = (m. k1) adimana m%k1
m. b = k2. $ 'arena a0 dan mb = k 2 a dengan k 2
maka almb
Teorema 2.3
$+abila alb dan al# maka al(b,#)% al(b-#) dan alb#. Bukt :
$mbil a% b% #
dengan aIb dan bl#
$dt al(b , #) 'arena alb maka a0 dan ada k 1 b,#
= k1 . a , k2 , = (k1 , k2) a
b,#
sehingga b = k1 a (de*enisi)
dimana k1 , k2
(si*at tertutu+ +enumlahan)
= k3. a
'arena a 0 dan (b , #) = k 3. a dengan k3
maka al(b,#)
Contoh :
3I6 dan 3I12 maka 3I(6,12) atau 3I1
5I20 dan 5I15 maka 5I(20 ,15) atau 5I35
7I42 dan 7I4/ maka 7I(42 , 4/) atau 7I1
Teorema 2.4
$+abila aIb dan aI# maka aI(mb ,n#) untuk se!a+ bilangan bulat m dan n Bukt :
$mbil a% b% #
dengan alb dan al#
$dt al(mb , n#) untuk se!a+ m dan n
erdasrkan te&rema 2.2 $+abila alb maka almb untuk se!a+ m $+abila al# maka aln# untuk se!a+ n
erdasrkan te&rema 2.3 (i) $+abila almb dan aln# maka al(mb , n#) untuk se!a+ m% n
Contoh :
2I dan 2I10 maka 2I(3. , 4.10) = 2I(24 , 40) = 2I64
3I12 dan 3I15 maka 3I(2.12 , 4.15) = 3I(24 , 60) = 3I4
5I10 dan 5I25 maka 5I(3.10 , 5.25) = 5I(30 , 125) = 5I155
Teorema 2.5
(i)
aIa untuk se!a+ bilangan bulat a (si*at reeksi*)% dengan a0
(ii) "ika aIb maka maImb untuk se!a+ bilangan bulat m%dengan m 0 (iii) "ika maImb dengan m0 maka aIb (i) 1Ia dan aI0 () "ika aIb dengan b0 maka IaI IbI (i) "ika aIb dengan bIa maka IaI = IbI
Buk : (i)
aIa untuk se!a+ bilangan bulat a (si*at reeksi*) Buk : $mbil a
dengan a 0
$dt ala 'arena a = 1.a% k bilangan bulat (de*enisi)% maka ala Conoh :
6I6
7I7
I
(ii) "ika aIb maka maImb untuk se!a+ bilangan bulat m Buk : $mbil a%b
dengan a 0
$dt malmb 'arena aIb maka a 0 dan ada k
sehingga b = k.a
b = ka% k bilangan bulat (de*enisi)% untuk se!a+ bilangan bulat m berlaku m b = m (k a) dimana m 0 (kedua ruas sama-sama dikali m) m.b = k.(ma) dimana m 0 dan a 0 maka ma 0 karena mb =- k (ma) dan ma 0 dan k Conoh :
5I20 maka 3.5I3.20 atau 15I60
7I21 maka 2.7I2.21 atau 14I42
/I1 maka 4./I4.1 atau 36I72
(iii) "ika maImb dengan m0 maka aIb Buk : $mbil m% a% b
dengan m 0
maka malmb
$dt alb 'arena malmb maka ma 0 dan ada k
sehingga mb = k (ma)
mb = k.(ma)% k%m bilangan bulat (de*enisi) b = ka (kedua ruas sama-sama dibagi dengan m) dengan m 0 karena ma 0% m0 maka a 0 karena mb = k (ma) dan ma 0 dan k
maka alb
Conoh :
5.2I5.6 maka 2I6
3.I3.24 maka I24
2.12I2.24 maka 12I24
(i) 1Ia dan aI0 Buk : $mbil a
dengan a 0
$dt 1la dan al0 'arena a = a . 1 maka 1la 'arena 0 = a.0 maka al0 Conoh:
1I4
1I
1I/
() "ika 0Ia maka a=0 Buk : 0Ia maka a = k.0% k bilangan bulat (de*enisi) a = 0 (si*at +erkalian bilangan bulat dengan 0) sehingga a = 0
Conoh :
0 = 5.0
0 = 7.0
0 = (-/).(0)
(i) "ika aIb dengan b0 maka IaI IbI Buk : $mbil a% b
dengan b 0
$dt IaI IbI 'arena alb maka a 0 dan ada k 1
sehingga b = k1 a
b = k1.a lbl = lk1.al karena b 0 maka k 1 0 akibatnya lk 1l 1 erha!kan baha lbl = lk 1 al lbl = lk1l.lal (si*at la.bl = lal.lbl) karena 1 lkl maka 1. lal lk 1l. al lal lbl Conoh :
2I4 maka I2I I4I
3I/ maka I3I I/I
5I25 maka I5I I25I
(ii) "ika aIb dengan bIa maka IaI = IbI Buk : $mbil a% b
dimana alb dan bla
$dt lal = lbl 'arena alb maka a 0 dan ada k 1
sehingga b = k1. a
'arena bla maka b 0 dan ada k 2
sehingga a = k 2. b
lal = lk2.bl 'arena a 0 dan b 0 maka lk 2l 1 erha!kan baha lal = lk 2l. bl 'arena 1 lk 2l maka 1. lbl lk 2l. bl lbl lal..........................(1) lbl = lk1.al lbl = lk1l. Ial karena a 0 dan b 0 maka lk 1l 1 erha!kan baha lbl = lk 1l. al 'arena 1 lk 1l maka 1. lal lk 1l. al lal lbl......................(2) 8ari (1) dan (2) berlaku lal = lbl Conoh :
6I6 dengan 6l6 sehingga l6l = l6l
-3l3 dengan 3l-3 maka l-3l = l3l
