UJI KETERBAGIAN BILANGAN 9 DAN 11 Makalah Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Elementer Dosen Pengampu
: Dr. Scolastika Mariani, M.Si
Oleh: Yuli Purwati
0103514013
Dwi Agung Fitrianti 0103514044
PENDIDIKAN DASAR KONSENTRASI MATEMATIKA PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2015 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Dalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk diketahui tentang teori yang berlaku dalam penyelesaian sebuah soal. Hal ini penting dilakukan supaya dalam penyelesaiannya memperhatikan prosedur penyelesaian soal, seperti dalam penyelesaian soal keterbagian. Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa pendidikan dasar konsentrasi matematika harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikai hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam bentuk catatan yang akan menambah pengetahuan kita semua sebagai mahasiswa pendidikan dasar konsentasi matematika. B. Rumusan Masalah a. Bagaimana menentukan pembagian dengan 9 ? b. Bagaimana menentukan pembagiian dengan 11 ? C. Tujuan a. Mahasiswa dapat menentukan pembagian dengan 9 b. Mahasiswa dapat menentukan pembagian dengan 11
BAB II PEMBAHASAN 1
A. Uji Keterbagian 9 Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya
( a n+ an−1+ …+a 1+ a0 )
habis dibagi 9. Bukti Disini akan dibuktikan sifat keterbagian 9. Perhatikan bahwa tidak ada pangkat dari 10 yang dapat dibagi oleh 9, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999 dan yang sejenisnya adalah dekat dengan bilangan pangkat 10 dan dapat dibagi oleh 9. Bilangan puluhan bisa ditulis a(9+1) Bilangan ratusan bisa ditulis a( 99+1) Bilangan ribuan bisa ditulis a( 999+1) dan seterusnya a=an an−1 … a1 a0 ¿ an .10 n+ an−1 .10 n−1 +…+ a1 .10+ a0 .10 0 n
¿ an ( 9+1 ) +a n−1 ( 9+1 )
n−1
+… a 1 ( 9+1 ) a0
¿ an [ 9n + n 9n−1+ …+9n ]+ an +an −1 [ 9n−1 + ( n−1 ) 9 n−2+ …+9 ( n−1 ) ]+ an−1 +… 9 a1 +a 1+ a0 Suku-suku yang merupakan kelipatan 9 sudah jelas habis dibagi 9. Sehingga agar a habis dibagi 9 maka haruslah 9∨an +a n−1+ …+a1 +a 0 Misalkan 5742=5. 103 +7.102 +4.10+2 ¿ 5 ( 999+1 ) +7 ( 99+1 ) +4 (9+1)+2 ¿ ( 5.999+5.1 ) + ( 7.99+7.1 ) +(4.9+ 4.1)+2
Karena ( 5. 999+ 7.99+4.9 ) kelipatan 9 agar 5742 habis dibagi 9 maka haruslah 5 +7 + 4 +2) habis dibagi 9. ¿
Contoh: Tentukan apakah bilangan 14238 habis dibagi 9! Jawab: 1+4 +2+3+8=18
Karena
9∨18 maka 9∨¿ 14238
B. Uji Keterbagian 11 2
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap
e−d +c −b+a
habis
dibagi 11. Bukti : Bilangan berpangkat 10 dapat ditulis dalam kelipatan 1, sebagai berikut. 100=0.11+1 101=1.11−1 102=9.11 +1 103=91.11−1 4
10 =909.11+1 105=9091.11−1 …………. 102 k =m .11+1 , untuk suatu k, m bilangan cacah 2 k−1
10
=n .11−1 , untuk suatu k, n bilangan cacah
Misal bilangan yang akan kita tunjukkan adalah abcde. abcde artinya 0
e .10 =e ( k 1 . 11+1 ) =e . k 1 .11+ e d .101=d ( k 2 .11−1 ) =d . k 2 .11−d c .10 2=c ( k 3 .11+1 )=c . k 3 .11+c b .103=b ( k 4 .11−1 )=b . k 4 .11−b a .104 =a ( k 5 .11+1 ) =a . k 5 .11+a abcde=e . k 1 .11+ e + d . k 2 .11−d +c . k 3 .11+ c
+ b . k 4 .11−b+ a. k 5 .11+ a
¿( e . k 1 .11+ d . k 2 .11+ c . k 3 .11+b . k 4 .11+ a . k 5 .11)+e−d+ c−b+ a e . k1 + d . k 2+ c . k 3 +¿ ¿¿
b . k 4 + a . k 5 ¿ .11+ e−d +c−b +a
Suku-suku yang merupakan kelipatan 11 sudah jelas habis dibagi 11. Sehingga agar abcde
habis
dibagi
11
maka
haruslah
11∨a−b+c−d+ e . Misalkan bilangan yang akan kita tunjukkan adalah 34925. Maka, 34925 artinya 5.100=5 ( k 1 . 11+1 ) =5. k 1 .11+5 3
11∨e−d +c−b +a
atau
1
2.10 =2 ( k 2 .11−1 )=2 . k 2 .11−¿ 2 9.102=9 ( k 3 .11+1 )=9. k 3 .11+ 9 4.103 =4 ( k 4 .11−1 )=4 . k 4 .11−4 3.104 =3 ( k 5 .11+1 ) =3. k 5 .11+ 3 34925=5. k 1 .11+¿ 5 + 2 .k 2 .11−2+9. k 3 .11+¿ 9 + 4 .k 4 .11−4+3. k 5 .11+3 5. k 1 .11 + 2. k 2 .11+ 9. k 3 .11+¿ ¿¿
4 .k 4 .11+3. k 5 .11 ¿+5−2+ 9−4+3
5. k 1 4. k 4 +3. k 5 ¿ .11+ 5−2+9−4 +¿ 3 + 2. k 2 +9. k 3 +¿ ¿¿ 5. k 1 4. k 4 +3. k 5 ¿ .11 kelipatan 11 agar 34925 habis Karena + 2. k 2 +9. k 3 +¿ ¿ dibagi 11 maka haruslah 5−2+ 9−4+¿ 3) habis dibagi 11. ¿ Contoh: Tentukan apakah bilangan 72919 habis dibagi 11! Jawab: 9−1+ 9−2+7=22
karena
11∨¿ 22 maka 11∨72919
atau 7−2+ 9−1+ 9=22
karena 11∨¿ 22 maka 11∨72919
4
BAB III PENUTUP Kesimpulan: 1. Bilangana habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya
( a n+ an−1+ …+a 1+ a0 ) habis dibagi 9. 2. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlahsilang tanda ganti angka-angkanya a (¿ ¿ n−an−1 +a n−2 −… ) habis dibagi 11. ¿
5
LATIHAN SOAL KELOMPOK 1. Buktikan bahwa 6804 habis dibagi 9 ! Jawab : 2. Buktikan bahwa 746988 tidak habis dibagi 9 ! Jawab : 3. Tentukan apakah 7462945 habis di bagi 9 ! Jawab : 4. Buktikan bahwa 14238 bisa di bagi 9 ! Jawab : 5. Jika 9 │ 83n45, maka nilai n adalah ? Jawab : 6. Buktikan bahwa 76978 habis di bagi 11 ! Jawab : 7. Tentukan apakah 765842902 habis dibagi 11 ! Jawab : 8. Tentukan apakah 11 │ 17171 ! Jawab : 9. Jika 11 │ 6n55 maka n adalah ? Jawab : 10. Tentukan apakah 25256 habis dibagi 11 ! Jawab :
