AKSIOMA DAN PROPOSISI MATEMATIKA AKSIOMA DALAM MATEMATIKA Kata aksioma berasal aksioma berasal dari Bahasa Yunani unani αξιωα αξιωα ! axioma"# $an% berarti dian%%a& berhar%a atau sesuai atau dian%%a& terbu'ti den%an sendirin$a( Kata ini berasal dari αξι)*ι+ ! axioein"# $an% berarti dian%%a& berhar%a# berhar%a# $an% 'e,udian 'e,udian berasal dari αξι)- !axios"# $an% berarti berhar%a( Di antara ban$a' .lsu/ Yunani# Yunani# suatu aksioma adalah suatu &ern$ataan $an% bisa dilihat 'ebenarann$a tan&a &erlu adan$a bu'ti( Kata aksioma 0u%a di,en%erti dala, ,ate,ati'a ,ate,ati'a(( A'an teta&i# a'si1,a dala, ,ate,ati'a bukan berarti bukan berarti &r1&1sisi $an% terbu'ti den%an sendirin$a( Melain'an# Melain'an# suatu titi' a2al dari siste, l1%i'a( Misaln$a# na,a lain dari a'si1,a adalah postulat( postulat( Suatu a'si1,a adalah basis dari siste, l1%i'a l1%i'a /1r,al /1r,al $an% bersa,a3sa,a den%an aturan in/erensi ,ende.nisi'an l1%i'a( l1%i'a( •
•
adalah &enda&at $an% di0adi'an &ed1,an dasar dan ,eru&a'an Dalil Pemula # sehin%%a 'ebenarann$a tida' &erlu dibu'ti'an la%i( a'si1,a atau &ern$ataan &an%'al adalah &ern$ataan $an% 'ita se&a'ati 'ebenarann$a(4
Aksioma
a%ar suatu 'u,&ulan a'si1,a da&at ,eru&a'an suatu siste, di&erlu'an s$arat3s$arat $an% &entin%( s$arat3s$arat $an% &entin% itu adalah !5" '1nsiste !taat asas"# !6" inde&enden# !7" len%'a&# dan !8" e'1n1,is#
A'si1,a dan Pr1&1sisi Mate,ati'a
Per,asalahan Prinsi& dasar &enelitian il,iah adalah bah2a se,ua &r1&1sisidan &r1&1sisidan te1ri a%ar su&a$a da&at diteri,a harus harus ada landasan $an% 9u'u&( 9u'u&( Dala, sains e,&iri' landasan dasar da&at diteri,a suatu te1ri adalah adan$a 'e9191''an 'e9191''an atau '1n.r,asi antara &redi'si $an% berdasar'an suatu te1ri den%an bu'ti e,&iris bai' ,elalui e's&eri,ental atau&un 1bser:asi sinte,atis( ;
•
•
Keti%a#adan$a Keti%a#adan$a '1n0e'tur ,ate,atis se&erti idba9h(>bilan%an %ena& adalah 0u,lah 6 bilan%an &ri,a?dan /e,at @tida' ada bilan%an !bulat a#b#dan 9 $an% ,e,enuhi n
n
a b
c
=
n
untu' n6 ?$an% sebenarn$a san%at ele,enter belu, da&at ditentu'an
benar salahn$a sa,&ai saat se'aran% ini#tentu hal ini ,enun0u''an bah2a tida' se,ua 'e&enaran ,ate,ati'a bersi/at sel/(e:ident( dan 0i'a a'hirn$a sel/(e:ident han$a diberi'an 'e&ada &1stulate dasar ,ate,ati'a $an% a'an diturun'an &r1&1sisi3&r1&1sisi &r1&1sisi3&r1&1sisi ,ate,ati'a &atut di9atat bah2a &erti,ban%an ini bersi/at sub0e'ti/ !berubah dari 1ran% 'e 1ran%"( A&a'ah ,ate,ati'a 0u%a sains e,&iris $an% &alin% u,u,= Menurut &andan%an <1hn Stuart Mill #,ate,ati'a den%an sendirin$a ,eru&a'an sains e,&iris $an% berbeda den%an 9aban%39aban% lainn$a se&erti astr1n1,i# .si'a# 'i,ia dan seba%ain$a( ta,an$a dala, dua as&e'C 5 6
Substansi Substansi lebih lebih u,u, u,u, dari dari &ada &ada substansi substansi &enel &enelitia itian n il,iah il,iah $an% lain( lain( Pr1&1si3& Pr1&1si3&r1& r1&1sin$ 1sin$a a telah di u0i u0i dan di'1n.r di'1n.r,asi' ,asi'an an 0auh lebih lebih luas luas dari &ada &enelitian il,iah $an% &alin% 9an%%ih se'ali&un(
Menurut &andan%an ini se0auh ,ana hu'u,3hu'u, ,ate,ati'a telah diba2a 1leh &en%ala,an3&en%ala,an ,asa la,&au dala, se0arah ,anusia $an% &an0an% sehin%%a tida' &erlu di&erti,ban%'an di&erti,ban%'an la%i(
Perhati'an i&1tesis arit,ati'a 76FG #0i'a hi&1tesis ini se9ara a9tual suatu %eneralisasi e,&iris dari &en%ala,an ,asa la,&au#,a'a harus ada bu'ti $an% bertan%%un%0a2ab bah2a hi&1tesis itu tida' selalu benar( Na,un tida' satu&un ,en$an%'al &r1&1sisi ,ate,ati'a bah2a 76FG sehin%%a da&at di'ata'an bah2a ,ate,ati'a ,eru&a'an sains e,&iris $an% &alin% u,u,( Si/at analisi &r1&1sisi ,ate,ati'a 76FG 3 da&at ditun0u''an han$a den%an analisis ,a'na $an% ter'andun% di dala, ter,3ter, $an% terda&at di dasarn$a(Di dala, l1%i'a 'ali,at 0enis ini disebut analisis atau benar a&ri1ri $an% ,en%'1ndisi'an ,en%'1ndisi'an bah2a nilai 'ebenarann$a bebas se9ara l1%is dan H a&ri1ri se9ara l1%is(Se,baran% bu'ti e's&eri,ental &andan%an si/at &r1&1sisi ,ate,ati'a $an% lain ,isaln$a# &r1&1sisi 0i'a aFb dan bF9 ,a'a aF9 1leh 'arena 'arena itu &rinsi& dala, dala, &er,asalahan &er,asalahan tersebut adalah benar a&ri1ri( •
Mate,ati'a adalah s$ste, dedu'ti/ a'si1,atis alidasi ,ate,ati'a tida' terleta' &ada &ern$ataan sel/(e:identn$a dan tida' &ula &ada dasar e,&iris a'an teta&i diturun'an dari &ers$aratan $an% ,enentu'an ,a'na '1nse&3'1nse& ,ate,ati'a( MATEMATIKA C Il,u Dedu'ti/
Mate,ati'a serin%'ali dilu'is'an seba%ai il,u $an% terdiri dari suatu 'u,&ulan s$ste, ,ate,ati'a di,ana ,asin%3,asin% s$ste, ,e,&un$ai stru'tur $an% si/atn$a dedu'ti/( dedu'ti/( Suatu s$ste, dedu'ti/ di,ulai den%an ,e,ilih bebera&a unsur $an% tida' dide.nisi'an $an% disebut unsur &ri,iti:e( nsur3unsur nsur3unsur tersebut di%una'an di%una'an seba%ai dasar '1,uni'asi( '1,uni'asi( Misaln$a dala, %e1,etri# unsur Jtiti' dan Jlen%'un%an Jlen%'un%an ,eru&a'an suatu unsur $an% tida' dide.nisi'an di se,ua &ern$ataan $an% ,elibat'an titi' dan len%'un%an( Titi' dian%%a& ada# teta&i tida' da&at din$ata'an dala, suatu 'ali,at den%an te&at# sebab titi' itu ,eru&a'an unsur $an% tida' dide.nisi'an( Be%itu &ula den%an len%'un%an( Len%'un%an 'ita &er1leh !%a,barn$a" a&abila ,ulai dari suatu titi' 'ita buat suatu 0alan den%an &ensil !,isaln$a" sa,&ai di suatu titi' lain atau titi' asal beran%'at( Mes'i&un 'ita tida' da&at ,e,beri'an &en%ertian den%an te&at# teta&i 'ita se&a'at bah2a unsur3unsur unsur3unsur
tersebut ada( Selan0utn$a unsur3unsur tersebut dala, ,ate,ati'a !%e1,etri" disebut unsure3unsur $an% tida' dide.nisi'an $an% e'sistensin$a dia'ui ada( Tan&a adan$a suatu &e,i'iran se&erti itu ,ate,ati'a tida' a'an ter2u0ud( Dari unsur3unsur $an% tida' dide.nisi'an dide.nisi'an tersebut 'ita ru,us'an unsur3unsur $an% dide.nisi'an# dide.nisi'an# ,isaln$a Jlen%'un%an tertutu& sederhana adalah len%'un%an len%'un%an $an% titi' beran%'at dan titi' berhentin$a sa,a dan tida' salin% ,e,1t1n%( Dari unsur3unsur $an% tida' dide.nisi'an dan unsur3unsur $an% dide.nisi'an itu 'ita buat asu,si3asu,si dasar atau a'si1,a3a'si1,a( Sehubun%an den%an hal itu# ET( ET( Ruse/endi Ruse/endi ,en$ata'an bah2a Ja'si1,a atau &1stulat adalah &ern$ataan dasar dala, ,ate,ati'a $an% tida' dibu'ti'an 'ebenarann$a 'arena 'ebenarann$a tida' disan%si'an la%i( !ET( Ruse/endi# 5 C 58"( A'si1,a3a'si1,a ini di&ilih seba%ai 'ese&a'atan 'ese&a'atan $an% biasan$a Na,&a' sesuai den%an &en%ala,an3&en%ala,an &en%ala,an3&en%ala,an 'ita# dan ,eru&a'an &ern$ataan $an% ,enun0u''an hubun%an dasar diantara unsur3 unsur &1'1' di dala, s$ste, tersebut( Beri'ut bebera&a 91nt1h a'si1,a $an% lain C 5( Melalui sebuah titi' titi' se,baran% se,baran% 'e 'e sebuah sebuah titi' se,baran% lainn$a da&at ditari' sebuah %aris lurus( 6( Se,ua sudut sudut si'u si'u3si' 3si'u u satu sa,a sa,a lain sa,a sa,a besar( besar( 7( Melalui sebuah sebuah titi' $an% tida' tida' terleta' &ada sebuah sebuah %aris lurus da&at da&at ditari' sebuah %aris lurus $an% se0a0ar den%an %aris itu(
Dari unsur3unsur $an% tida' dide.nisi'an# unsur3unsur $an% dide.nisi'an# dan a'si1,a disusunlah te1ri3te1ri atau dalil3dalil $an% da&at dibu'ti'an 'ebenarann$a dan berla' berla'u u u,u, u,u,(( Misa Misaln$ ln$a a J0u, J0u,lah lah sudut3 sudut3sud sudut ut sebuah sebuah se%iti se%iti%a %a besar besarn$a n$a Dalil itu tida' han$a berla'u &ada se%iti%a 'e9il atau se%iti%a si'u3si'u# teta&i berla'u untu' se,baran% se%iti%a(
(
Dalil3dalil $an% diru,us'an itu ban$a' se'ali(
Berdasar'an uraian tersebut da&at disi,&ul'an bah2a ,ate,ati'a adalah il,u dedu'ti/# sehin%%a il,u ,ate,ati'a ,enuntut ditera&'ann$a 9ara ber&i'ir den%an &enalaran dedu'ti/# $aitu suatu &r1ses ber&i'ir dala, ,enari' suatu 'esi,&ulan 'esi,&ulan den%an ,en%%una'an &1la ber&i'ir sil1%is,e( •
