MATH CLUB SMP KRISTEN GLORIA 1 SURABAYA KETER KE TERBAG BAGIAN IAN (Div (Divisi isibil bility ity))
5 APRIL 2013
Apa itu divisibility? Divisibility itu artinya keterbagian, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis h abis oleh bilangan lain. Misalnya saat kita hendak mengatakan “10 habis dibagi 5”, kita dapat mengilmiahkannya dengan berkata “5 membagi 10”. Atau, lebih ilmiah lagi jika ditulis: 10 mod mod 5 = 0 atau atau . Jika Jika,, tida tidak k habi habiss diba dibagi gi?? Lamba ambang ngny nyaa cuku cukup p dico dicore rett miri miring ng.. Misa Misaln lny ya: . (10 (10 tidak habis dibagi 6). Teori Dasar Untuk setiap bilangan bulat a dan bilangan bulat yang tidak nol b, maka a disebut habis dibagi b atau b membagi a jika terdapat bilangan bulat k sehingga k sehingga a = kb. kb. b membagi a biasa dilambangkan dengan b | a , a disebut sebagai kelipatan dari b dan b disebut sebagai pembagi (disebut juga faktor ) dari a tidak membagi a maka biasa dilambangkan dengan b ∤ a jika b tidak membagi Catatan : Setiap bilangan bulat tidak habis dibagi nol Sifat-Sifat Keterbagian Untuk setiap bilangan bulat x, y, y, dan z dan z . Berlaku sifat-sifat berikut : (a) x | x (sifat refleksif), (b) Jika x Jika x | y dan y dan y | z , maka x maka x | z (sifat z (sifat transisi), (c) Jika x Jika x | y dan y dan y ≠ 0, maka x| |x| ≤ y| |y| , (d) Jika x Jika x | y dan x dan x | z , maka x maka x | αy + βz untuk setiap bilangan bulat α dan β dan β ,, (e) Jika x Jika x | y dan x dan x | y ± z , maka x maka x | z , z , (f) Jika x Jika x | y dan y dan y | x, x, maka x| |x| = y| |y| , (g) Jika x Jika x | y dan y dan y ≠ 0, maka | y, y, (h) Untuk z ≠ z ≠ 0, x 0, x | y jika dan hanya jika xz jika xz || yz . Bilangan Habis Dibagi Pengujian apakah suatu bilangan habis dibagi atau tidak dapat dilakukan dengan cara berikut : Habis dibagi dengan :
Cara Penentuan
2
Angka terakhir genap
3
Jumlah semua angkanya habis dibagi 3
4
Dua angka terakhir habis dibagi 4
5
Bilangan berakhir dengan angka 5 atau 0
6
Bilangan habis dibagi 2 dan 3
7
Dua kali dari angka terakhir dikurangkan dari bilangan yang tersisa habis dibagi 7. Untuk bilangan yang besar bisa dilakukan pengulangan proses tersebut
8
Bilangan yang dibentuk oleh 3 angka terakhir habis dibagi 8 Catatan : Bilangan 3 angka (katakanlah XYZ) habis dibagi 8 jika : 1) X genap dan YZ habis dibagi 8, atau 2) X ganjil dan YZ – YZ – 4 4 habis dibagi 8
9
Jumlah semua angkanya habis dibagi 9
10
Angka terakhir 0
11
Selisih dari jumlah angka pada urutan ganjil dengan jumlah angka pada urutan genap habis dibagi 11 Catatan : jika selisihnya 0, maka habis diba gi 11
12
Habis dibagi 3 dan 4
13
Sembilan kali dari angka terakhir dikurangkan d ari bilangan yang tersisa habis dibagi 13. Untuk bilangan yang besar bisa dilakukan pengulangan proses tersebut
Latihan Soal : a) Apakah 346215 habis dibagi 3? b) Apakah 125498592 habis dibagi 4? c) Apakah 9273 habis dibagi 11? d) Apakah 12345654321 habis dibagi 99? e) Apakah 5236 habis dibagi 7? f) Apakah 25252 habis dibagi 7? g) Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b! h) Apakah 1113112 dapat dibagi oleh 7?
Pengujian : a) jumlah angka dari 346215 = 3 + 4 + 6 + 2 + 1 + 5 = 21 (habis dibagi 3) sehingga 346215 habis dibagi 3 b) Dua angka terakhir dari 125498592 adalah 92. Karena 92 habis dibagi 4, maka 125498592 habis dibagi 4 c) Selisih dari jumlah selang seling dari bilangan 9273 adalah (9 + 7) – (2 + 5) = 11 Sehingga 9273 habis dibagi 11 d) m e) 5236 habis dibagi 7 kalau 523-2.6 = 511 habis dibagi 7. 511 habis dibagi 7 kalau 51-2.1=49 habis dibagi 7. 49 habis dibagi 7 karena itu 511 habis dibagi 7 dan 5236 juga habis dibagi 7. f) 25252 habis dibagi 7 kalau 2525-2.2=2521 habis dibagi 7. 2521 habis dibagi 7 kalau 252-2.1=250 habis dibagi 7. 250 habis dibagi 7 kalau 25-2.0=25 habis dibagi 7. 25 bukan kelipatan 7 sehingga 250 tidak habis dibagi 7 dan oleh karena itu 2521 tidak habis dibagi 7 dan karena itu 25252 tidak habis dibagi 7 g) b = 6 (karena habis dibagi 8) a = 3 (karena habis dibagi 9) 6 3 h) 1113112 = 1(10 ) + 113(10 ) + 112 1113112 = [1(1001000) - 1(1000)] + [113(1001) - 113] + 112 1113112 = [1(1001000) + 113(1001)] + [112 - 113 - 1(1001 - 1)] 1113112 = [1(1001000) + 113(1001) - 1(1001)] + [112 -113 + 1] Besaran di antara kurungsiku pertama habis dibagi 7 karena 7x 1001. Dengan demikian, bagian di kurung suku kedua juga harus dapat dibagi 7. 112-113+1 = 0. Maka dapat habis dibagi 7. Kesimpulan: Karena kedua isi kurung siku dapat dibagi 7, maka 1113112 juga dapat dibagi 7.
Keterbagian oleh 7 Untuk bilangan yang tidak terlalu besar: Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis terbagi 7, sisihkan angka satuannya dan kalikan 2 kemudian kurangkan dari bilangan yang tersisa. Kalau bilangan itu habis dibagi 7, maka seluruh bilangan habis dibagi 7. Contoh Soal 1: Apakah 5236 habis dibagi 7? Jawab: 5236 habis dibagi 7 kalau 523-2.6 = 511 habis dibagi 7. 511 habis dibagi 7 kalau 51-2.1=49 habis dibagi 7. 49 habis dibagi 7 karena itu 511 habis dibagi 7 dan 5236 juga habis dibagi 7. Contoh Soal 2: Apakah 25252 habis dibagi 7? Jawab: 25252 habis dibagi 7 kalau 2525-2.2=2521 habis dibagi 7. 2521 habis dibagi 7 kalau 252-2.1=250 habis dibagi 7. 250 habis dibagi 7 kalau 25-2.0=25 habis dibagi 7. 25 bukan kelipatan 7 sehingga 250 tidak habis dibagi 7 dan oleh karena itu 2521 tidak habis dibagi 7 dan karena itu 25252 tidak habis dibagi 7.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Bukti Teorema Keterbagian Oleh 7: Misalkan untuk mempermudah penulisan: a = (anan-1an-2an-3an-4...a1a0). Contohnya: 123, maka an=1, an-1 = 2, dan a0=3 L = anan-1an-2...a1. Contohnya: 123, maka L=12. A = L-2a0. Contohnya: 123, maka A=12-6=6. Teorema ini mencakup istilah 'jika dan hanya jika' sehingga buktinya harus mencakup dua bagian. Pertama harus dibuktikan bahwa jika 7x a maka juga 7x A. Setelah itu harus dibuktikan bahwa jika 7x A maka juga 7x a. Bukti bagian pertama disebut pembuktian ke'perlu'an sedangkan pembuktian bagian kedua disebut pembuktian ke'cukup'an. Bukti bagian Keperluan: Artinya harus dibuktikan apabila a mod 7 = 0, maka A mod 7 =0 juga. Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0. Anggap bahwa a mod 7 =0 (10 L+a0)mod 7 = 0. (20L+2a0)mod 7 =0. (Jika dikali 2, maka modulo tetap berlaku)
Ingat bahwa (21L) mod 7 = 0, maka: (21L+2a0-2a0)mod 7 =0 (20L+2a0+L-2a0)mod 7 =0 (20L+2a0)mod 7 + (L-2a0)mod 7 =0 (L-2a0)mod 7 =0. ----Terbukti Bukti bagian Kecukupan: Artinya harus dibuktikan apabila A mod 7 = 0, maka a mod 7 =0 juga. Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0. Anggap bahwa: A mod 7 = 0 (L -2a0) mod 7 =0 (10L-20a0)mod 7 = 0 (Jika dikali 10, maka modulo tetap berlaku)
Ingat bahwa (-21ao)mod 7 =0 (-20a0-a0)mod 7 =0 (10L-10L-20a0-a0)mod 7 =0 (10L-2a0-10L-a0)mod 7 =0 (10L-2a0)mod7-(10L+a0)mod7=0
-(10L+a0)mod7=0 (10L+a0)mod7=0. ----Terbukti =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Bukti Teorema Keterbagian oleh 11 Lihat kembali bagian divisibility (keterbagian) untuk contohnya. Untuk ciri habis dibagi 11, perhatikanlah bahwa 10 = 11-1 sehingga: n
n-1
n-2
1
0
a = an x 10 + an-1 x 10 + an-2 x 10 +... + a1 x 10 + a0 x 10 dapat diubah penulisannya menjadi: n n-1 n-2 1 a = an x (11-1) + an-1 x (11-1) + an-2 x (11-1) +... + a1 x (11-1) + a0 Kemudian ingatlah penguraian binom Newton: n
n
n-1 1
n-2
2
1 n-1
n
(a+b) =[a + .a b + .a b +...+ .a b ]+ b yang dapat dipilah menjadi dua bagian. Bagian pertama yang pada persamaan di atas telah dikumpulkan di antara kurung-siku adalah kelipatan a sehingga n habis dibagi a. Pada bagian ini, bagian yang tidak dapat dibagi a adalah b . Jadi, dapat ditulis sebagai berikut: n n (a+b) mod a = b . Lihat juga bahasan mengenai Modulo". Yang perlu dibuktikan adalah jika a merupakan kelipatan 11, maka hasil jumlah tanda ganti digit-digitnya juga merupakan kelipatan 11. Maka, anggap: a mod 11 = 0. n n-1 n-2 1 {an x (11-1) + an-1 x (11-1) + an-2 x (11-1) +... + a1 x (11-1) + a0} mod 11 =0 n n ____ Ingat bahwa (a+b) mod a = b maka (11-1)n mod 11 = (-1)n, maka: n n-1 n-2 2 1 {an(-1) + an-1(-1) +...+ an-2(-1) +...+a2(-1) +a1(-1) + a0} mod 11=0--Terbukti-n (Perhatikan bahwa (-1) akan mengakibatkan setiap unsur ganjil dan genap akan bebeda tanda.) Kesimpulan: Jika a merupakan kelipatan 11, maka hasil jumlah tanda ganti digit-digit dari a juga merupakan kelipatan 11. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Ciri Bersama Keterbagian Oleh 7, 11, 13 Sekarang akan dibahas suatu algoritma keterbagian yang berlaku sekaligus untuk 7, 11, dan 13 berdasar Jumlah-Silang Tanda-Ganti Ordo Ketiga. Perhatikan 1001 = 7 x 11 x 13. Maka kenyataan ini dapat digunakan untuk menguji secara cepat apakah suatu bilangan, terutama suatu bilangan besar terbagi 7, 11, atau 13. Contoh Soal 3: Apakah 1113112 dapat dibagi oleh 7?. Jawab: Maka dapat ditulis sebagai berikut: 6
3
1113112 = 1(10 ) + 113(10 ) + 112 1113112 = [1(1001000) - 1(1000)] + [113(1001) - 113] + 112 1113112 = [1(1001000) + 113(1001)] + [112 - 113 - 1(1001 - 1)] 1113112 = [1(1001000) + 113(1001) - 1(1001)] + [112 -113 + 1] Besaran di antara kurungsiku pertama habis dibagi 7 karena 7x 1001. Dengan demikian, bagian di kurung suku kedua juga harus dapat dibagi 7. 112-113+1 = 0. Maka dapat habis dibagi 7. Kesimpulan: Karena kedua isi kurung siku dapat dibagi 7, maka 1113112 juga dapat dibagi 7. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Saya sendiri baru tahu kalau ada aturan keterbagian terhadap 7.. Hmm.. Lumayan, blogging bisa dapet ilmu baruu.. ^^. Jujur, mula-mula memank sulit dipahami. Namun, entah mengapa sewaktu saya menulisnya di blog ini, semuanya jadi jelas.. Ada yang ingin ditanyakan.??? ^^
