Kalkulus Yang Dah Bener2 Jadi..

PENGGUNAAN INTEGRAL 1) Maksi Maksimum mum dan mini minimu mum m

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa : i. f(c) f(c) adal adalah ah nila nilaii mak maksi simu mum m f pada pada S jik jikaa f(c f(c)) ≥ f(x) untuk semua x di S; ii. ii. f(c) f(c) adal adalah ah nila nilaii min minim imum um f pada pada S jik jikaa f(c f(c)) ≥ f(x) untuk semua x di S; iii. iii. f(c) f(c) adalah adalah nila nilaii ekstri ekstrim m f pada pada S jika jika ia ia adalah adalah nila nilaii maksi maksimum mum atau atau mini minimum mum Teorema A ( Teorema Eksistensi Maks-Min ). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Teorema B ( Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah satu titik kritis; yakni c berupa salah satu :  Titik ujung dari I ;  Titik Stasioner dari f (f’ (c)= 0) ;  Titik singular dari f (f’ (c) tidak ada) Contoh Soal :

1. Cari Cari tit titik ik kri kriti tiss dari dari 4x3 – 3x2 + 6x pada [-1, 0]. Jawab: Titik ujung adalah -1 dan 0. untuk mencapai titik stasioner kita harus pecahkan ƒ’(x) = 12x2 + 6x -6 = (12x - 6) (x + 1) Untuk x diperoleh ½ dan 1. tidak terdapat titik singular. Jadi titik kritis adalah -1, 0, ½,1. 2. Cari nilai-nila nilai-nilaii maksim maksimum um dan dan minimum minimum dari ƒ(x) = pada 4x3 – 3x2 + 6x [-1, 0]. Jawab : Dalam contoh sebelumnya sebelumnya kita kenali -1 ,0, ½,1. sebagi titik kritis. ƒ (-1) = 5 ƒ ( 0 ) = -6 ƒ (½) = -1 3 4 ƒ (1) = 1 2) Kemonot Kemonotona onan n dan keceku kecekungan ngan Pada Bagian penggunaan turunan akan dititik beratkan untuk mengetahui mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan nilai ekstrim.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





a. Kemonot notonan nan Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila ƒ(x 1 ) > ƒ(x 2 ) untuk x 1 > x 2 ;x 1 ,x 2

∈

I . sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila ƒ(x 1 ) < ƒ(x 2 )

untukx 1 > x 2 ; x 1 ,x 2

∈

I . fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.

Teorema Kemonotonan Andaikan ƒ kontinu pada selang I dan I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. dari I.

1) Jika ƒ’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari dari I dari I , maka ƒ naik pada I pada I . 2) Jika ƒ’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari dari I , maka ƒ turun pada I. pada I. Contoh soal : 1) Jika Jika ƒ(x) ƒ(x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 3 Jawab : Kita mulai mencari turunan pertama dari ƒ, ƒ’(x) = 4x 3 + 6x 2 + x Untuk ƒ’(x) = 4x 3 + 6x 2 + x > 0 , maka fungsi fungsi naik pada -1< x < -1/2 atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau -1/2 < x < 0 b. Kecekun kungan Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila ƒ’(x) naik pada selang I, sedangkan f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang I bila ƒ’(x) turun pada selang I.Sehingga dapat disimpulkan: (Teorema kecekungan) Andaikan terdiferensial dua kali pada selang terbuka I.  Bila ƒ’’(x) > 0 , x ∈ I , I , maka f(x) cekung ke atas pada I dan,  Bila ƒ’’(x) < 0 , x ∈ I , I , maka f(x) cekung ke bawah pada I .

Contoh Soal : 1. ƒ(x) = 1+x2 / 1+x tentukan di mana cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah ? Jawab : Untuk turunan pertama, ƒ’(x) = x2+2x-1/ (1+x)2 Untuk turunan kedua, ƒ’’(x) = 4/(1+x)3 Cekung ke atas ƒ’’(x) > 0 pada selang x > -1 dan cekung ke bawah pada selang x < -1.





3 5 2) f ( x) = 5 x − 3x + 2 Tentukan selang f selang f cekung cekung ke atas dan f dan f cekung cekung ke bawah o

Tentukan semua titik ekstrimnya

o

Jawab :

f ( x ) = 5 x 3

−

f ' ( x ) = 15 x 2 f " ( x)

3 x 5

+

, x ∈ R

2

− 15 x 4

, x ∈ R

=

30 x − 60 x 3

, x ∈ R

=

−

60 x( x 2

=

−

60 x( x +

x1

=

0 x2

f (0) = 2

1

−

2

)

1 2

=−

1

;

f (−

2

−

1 2

1

1 2

2

2

Titik Ekstrim

2

−

1 2

7 8

2

;

Titik Ekstrim

+++

2

---

1

0

2

2

=

2) = 2 −

---

− x <

1

2)

2

x3

2

Titik Ekstrim

+++

1

2) (x −

2

2

<

x< 0

x >

1 2

2

f (

1 2

2) = 2 +

7 8

2





i.

f cekung f cekung ke atas :

 −  

n,−

1 2

 

 0 , 1   2

2  ;

 

2 

f cekung f cekung ke bawah :

 −  

ii.

1 2

 

2 , 0  ;

 1   2

 

2 , n 

Karena f”(x) f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x = perubahan

 −  

1 2

2 , 2−

7 8

kecekungan,

 

 1  2

2  ; ( 0 , 2 ) ; 

2 , 2+

−

1 2

2

, x

=

maka 7 8

0

,

titik

x

=

1 2

2 ada ekstrimnya

 

2 

3) Maksimu Maksimum m dan dan minimu minimum m lokal lokal Untuk fungsi ƒ yang kontinu pada selang I, perubahan kemonotonan disekitar titik c pada I akan menghasilkan nilai terbesar atau terkecil dari fungsi f di sekitar c. nilai terbesar dan nilai kecil tersebut dikenal dengan nilai ekstrim ekstrim local dari fungsi tersebut. Ekstrim lokal dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan turunan ke dua yang cara menentukannya dikenal sebagai teorema uji turunan ke dua untuk ekstrim. Definisi formal dari maksimum local dan minimum m inimum lokal

Andaikan S, daerah asal ƒ , memuat titik c. kita kan bahwa:   

ƒ(c) ƒ(c) nila nilaii maks maksim imum um loka lokall ƒ jika jika terd terdap apat at sela selang ng (a,b) (a,b) yang memu memuat at c ∩ sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai maksimum ƒ pada (a,b) S; ƒ(c) ƒ(c) nila nilaii Mini Minimu mum m loka lokall ƒ jika jika terd terdap apat at sela selang ng (a,b (a,b)) yang memu memuat at c sedemikian sehingga ƒ(c) adalah nilai minimum ƒ pada (a,b) ∩ S; ƒ(c) nilai ekstrim lokal ƒ jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

a. Uji turun turunan an pertam pertamaa untuk menent menentukan ukan ekstr ekstrim im lokal lokal





monoton naik ke monoton turun menghasilkan maksimum lokal dan perubahan sebaliknya menghasilkan minimum lokal. ( Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal ). Andaikan ƒ kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.  Jika ƒ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka ƒ(c) adalah nilai maksimum maksimum lokal ƒ.  Jika ƒ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan ƒ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka ƒ(c) adalah nilai minimum minimum lokal ƒ.  Jika ƒ’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka ƒ(c) bukan nilai ekstrim lokal ƒ.

b. Uji turunan turunan kedua kedua untuk untuk ekstr ekstrim im loka lokall Ekstrim lokal dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan memeriksa tanda turunan kedua dititik kritisnya. ( uji kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan ƒ’ dan ƒ’’ ada pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan ƒ’(c) = 0.  

Jika ƒ’’(c) < 0 , ƒ(c) adalah nilai maksimum lokal ƒ. Jika ƒ’’(c) > 0 , ƒ(c) adalah nilai minimum lokal ƒ.

Contoh soal : 1) Cari nilai ekstrim ekstrim lokal dari Fungsi Fungsi ƒ(x) ƒ(x) = x2 – 4x + 1 pada ( -∞,∞ ). Jawab : Fungsi polinom polinom ƒ kontinu kontinu di mana-mana mana-mana dan turunanny turunannya, a, ƒ(x) = 2x – 4, ada untuk untuk semua semua x jadi jadi satu-s satu-satu atuny nyaa titik titik kritis kritis untuk untuk ƒ adalah adalah penyele penyelesai saian an tunggal dari ƒ’(x) = 0, yakni x = 2. Karena ƒ’(x) = 2( x -2) < 0 untuk x < 2, ƒ turun pada (-∞, 2] dan karena 2( x -2) > 0 untuk x > 2, ƒ naik pada [2, ∞). Karena itu menurut uji turunan pertama, ƒ(2) = -3 adalah nilai minimum lokal ƒ. Karena 2 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. 4) Leb Lebih ih banyak banyak masala masalah h maks-m maks-min in

Contoh soal : 1. untuk memprod memproduksi uksi x pasang sandal perhari perhari diperluka diperlukan n biaya biaya (6x2 - 15x +10)





Jawab:

Biaya produksi = (6x2 + 15x +10) ribu rupiah 1 Penjualan = (- x3 +10x2 +5x + 30x) 3 y = keuntungan = penjualan - biaya produksi 1 = (- x3 +10x2 +5x + 20x) - (6x2 - 15x +10) 3 1 = - x3 +4x2 + 20x +10 3 Keuntungan maksimum diperoleh pada saat y’ = 0 ⇒ -x2 + 8x +20 ⇒ (-x – 2) (x – 10) x = -2 x = 10 Perlu di ingat, bahwa banyak sandal yang diproduksi merupakan bilangan bul bulat at posi positi tif. f. Jadi Jadi keunt keuntung ungan an maks maksim imum um akan akan dipe dipero role leh h jika jika sanda sandall diproduksi 10 pasang.

5) Pener Penerap apan an ekon ekonomi omik k

Setiap Setiap bidang ilmu mempunyai mempunyai bahasanya bahasanya sendiri sendiri salah salah satunya satunya untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khususdi dalam kosa kata tersebut kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi yang sebenarnya merupakan masalah kalkulus. Contoh soal: 1. andai andai C(x) C(x) = 800 800 + 3,15x 3,15x + 303 x rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 900 Jawab: Biaya rata-rata :

C ( x ) ( x)

=

800 + 3,15x + 30 3 x x 1

3 = 800 + 3,15(900) + 30 (900)







Biaya Marginal :

dC dx

= 3,15 + = 3,15 +

30 3 30 3

x−2

3

(900) − 2

3

= 3,15 Pada x = 900, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 12,07 dan 3,15 ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 10.863 untuk memproduksi 900 satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 900 hanya memerlukan biaya Rp. 2835. 6) Limit Limit di ketakh ketakhing inggaa gaan, n, Limit Limit tak terhi terhingga ngga

Definisi (Limit bila x → ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat x→∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x > M ⇒

f ( x ) − L < ε

Definisi (Limit bila x → −∞). Andaikan f terdefinisi pada (−∞, c] c ] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat suatu x→−∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x < M ⇒ f ( x ) − L < ε Definisi





3 x 2

= lim

x 2

-

4 x x 2

+

6 x 2

x→−∞

2 x 2 x 2 = =

+

x x

2

-

10 x 2

3-0+0 / 2+0-0 3/2

7) Penggam Penggambara baran n grafik grafik canggih canggih Contoh soal : 1. sket sketsa saka kan n graf grafik ik f(x f(x)) = 4x 4x2-4x3/ 4 Jawab: Dengan menetapkan f(x) = 0, kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ¾. f’(x)= 4x2-4x3/ 4 = 16x3-12x2(2) / 4 = 32x3-24x2 / 4 = 8x(4x2-3x) / 4 4x2 = 3x x =¾,0 Jadi titik kritis adalah 0 dan ¾ . f(0) = 0 , maksimum lokal f(3/4) = -27/64 ,minimum lokal

f’’(x) = 96x2 -48x / 16 = 48x(2x-1) /16 x=½,0 (0,0) (1/2, 0)





f (c) f (c) f (b) f (b) f (a) f (a) a

c

b

b–a Gambar 1.1 Skema Teorema Teorema Nilai Rata-rata. Rata-rata.

Contoh soal :

1. Cari nilai nilai c yang yang mungkin mungkin oleh teorema teorema nilai nilai rata-rat rata-rataa untuk ƒ(x) ƒ(x) = 4 x pada [0,4]. Jawab: ƒ’(x) = 4.

1 2

dan f ' (c) =

x

−1

2

=

2 x

f (b) − f (a ) b− a

=

4− 0 4− 0

jadi, kita harus menselesaikan 2 c

=2

c = 1

=

8− 0 4− 0

=2





Kalkulus Yang Dah Bener2 Jadi..

Recommend Documents