BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang
Turunan
merupakan
materi
yang
menbahas
tentang
fungsi
dalam
ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran besar an lainnya; l ainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Turunan fungsi perhitungan yang penyelesaiannya yang begitu rumit dan panjang serta dibutuhkannya suatu ketelitian dalam perhitungan turunan. Integral adalah
sebuah
konsep
penjumlahan
secara
berkesinambungan
dalam matematika, dan matematika, dan bersama dengan inversnya,diferensiasi, inversnya ,diferensiasi, adalah adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral merupakan solusi dalam permasalahan untuk menyelesiakan persoalan dari turunan yang sebagai kebalikan dari intergral itu sendiri. Permasalahan megenai megenai
turunan dan integral dapat diselesaikan dengan dengan
mudah menggunakan program MATLAB. Program MATLAB dapat mem udahkan kita dalam menyelesaikan rumitnya persoalan turunan dan integral. Kita tidak perlu lagi menghitung manual, cukup dengan menuliskan fungsi-fungsi fungsi-fungsi turunan dan integral dalam program MATLAB dengan tepat dan benar.
1.2 Rumusan masalah
Adapun rumusan masalah tentang turunan dan integral, yaitu: a. Bagaimana cara menghitung turunan turunan dengan menggunakan menggunakan MATLAB? b. Bagaimana cara menghitung integral dengan menggunakan menggunakan MATLAB?
2
1.3 Tujuan
a. Dapat menghitung turunan dengan meggunakan program MATLAB. b. Dapat menghitung integral turunan dengan menggunakan MATLAB.
1.4 Manfaat
a.
Mampu menghitung persoalan turunan dengan menggunakan program MATLAB.
b. Mampu menghitung persoalan integral dengan MATLAB.
menggunakan program
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian dan Notasi Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x, dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan. Teorema dan aturan umum turunan fungsi: 1. Turunan fungsi konstan Jika f (x) = k,
k konstanta →f ’(x)=0 atau (k)=0
2. Turunan fungsi identitas Jika f (x) = x →f ’(x) = 1 atau
(x)=1
3. Turunan fungsi pangkat Jika f(x) =
→f ’(x)= − atau ( )= − ,n bilangan rasional
4. Turunan hasil kali konstanta dengan fungsi Jika f suatu fungsi, c konstanta dang fungsi yang didefinisikan oleh g(x) = k.f(x) dan f ’(x) ada. Maka : g’(x)= k . f ’(x) atau
[(x)]=kf ’(x)
5. Turunan jumlah fungsi Jika u dan v adalah fungsi fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan dan
y’=f ’(x)=u’(x) + v’(x) atau ( ) = ′ ′ 6. Turunan selisih fungsi Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y =F(x)= u (x) – v (x), maka:
y’=f ’(x)=u’(x) - v’(x) atau ( ) = ′ ′
4
7. Turunan perkalian fungsi Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan dengan y= f(x)=u(x). v(x), maka: f ’(x)=u’(x).v(x) –u(x).v’(x) atau
(
) = ′ ′
8. Turunan pembagian fungsi Jika udan v adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan dengan y = f(x)=
() , v(x) = 0 ()
Maka:
y’=f ’(x)=
()()− () () − ( )= ( ). [()]
9. Turunan fungsi berantai ( f o g ) (x) = f ’ (g (x)). g’(x)) (Gunawan,1998).
2.2 Integral
Integral adalah kebalikan dari proses differensial. Ji ka f suatu turunan dari
F, maka notasinya adalah F’(x) = f(x) atau dapat juga di tuliskan sebagai d(F(x))= f(x)dx. Sebaliknya F adalah anti turunan dari f dan notasi atau s ymbol untuk operasi pengintegralan adalah . Kita tuliskan : F(x) =
F(x) dx = F(x) + C
Lambang integral adalah( ). Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu (memiliki batas atas dan batas bawah.) (Martono, 1987) a. Integral tak tentu Fungsi F dikatakan anti turunan dari f pada interval I ji ka df=f pada I yakni
jika F’(x)=f(x) untuk semua x dalam I. Misalkan f fungsi didefinisikan oleh f(X)=3x²+2x-4 maka memiliki f’(x)=6x+2.Penulisan anti turunan pada kalkulus diferensial telah dikenalkan lambang Dxy atau
untuk pada operasi penentuan
suatu turunan.Operasi anti turunan digunakan lambang Leibniz untuk anti
turunan yakni, ∫...dx(dibaca integral dari..... terhadap x).
5
Secra umum, operasi proses menghitung anti turunan atau rumus dasar
F’(x)=f(x) dan d(F(x))=f(x).Pada rumus integral tak tentu, ∫() = () , lambang ∫ disebut dengan tanda integral, fungsi f disebut dengan integran dan c disebut dengan konstanta integrasi. Rumus integrasi tak tentu tersebut diperoleh hubugan yaitu: 1. Dx ∫() = () 2.
∫ (()) = ()
Anti turunan merupakan operasi invers(balikan) dari turunan, maka teoremateorema dari turunan fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan teoremateorema integral yang tak tentu sebagai berikut ini.
∫ () =
∫ dx = + + + c, n ≠ 1
(Prayudi,2006)
b. Integral tentu ( dengan batas ) Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikanpada selang (a, b) menjadi :
∫ = () = () () Rumus Integrasi Dasar a. Bilangan Natural
b. Logaritma
c. Trigonometri
6
Integral fungsi trigonometri: 1.
∫ cos = sin
2.
∫ sin = cos
3.
∫ 2 = tan
4.
∫ 2 = cot
5.
∫ sec tan = sec ∫ csc cot = csc
6.
(Purcell,1987).
BAB 3. METODOLOGI
3.1 Alat dan Bahan
a. Alat : 1. Laptop ACER Aspire E1 b. Bahan : 1. Software MATLAB
3.2 Prosedur Kerja
Program MATLAB dapat dioperasikan sesuai dengan prosedur kerja berikut : 1. Hidupkan Laptop 2. Install program MATLAB 3. Buka Proram MATLAB dengan klik 2x icon MATLAB pada desktop atau klik kanan pada icon MATLAB kemudian open Program MATLAB siap digunakan
8
DAFTAR PUSTAKA
Gunawan,Hendra.1998. Kalkulus Elementari I . Bandung: Departemen Matematika ITB. Martono, K. 1987. Kumpulan Masalah Kritis Dalam Differensial Dan Integral . Jakarta : Intermedia. Purcell,Edwin J, dan Varberg,Dale.1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta:Erlangga. Prayudi.2006. Kalkulus fungsi satu variabel .Yogyakarta:Graha Ilmu
