Cinemática de fluidos, f luidos, análisis diferencial y diferencial y análisi análisiss dimensi dimensional onal aplicado en MF Prof. Alex Flores M. Universidad Técnica Técnica Federico Santa Sa nta María Marí a Primer semestre de 2016
ANÁLSIS DIFERENCIAL
ANÁLSIS DIFERENCIAL
Análisis diferencial
El análisis El análisis diferencial aplica aplica las l as leyes de conservación a una región (volumen o sistema) infinitesimal de fluido. Con este método se obtienen las ecuaciones diferenciales del movimien movimiento to de una una partícula partícula fluid f luida. a. Es un mét método odo útil útil par para det determ erminar inar la varia ariaci ción ón de las las propiedades de los flu fluidos de un punto a otro y pro proporciona una compre prensión más pro profunda de los mecanismo mecanismoss de transpo transporte rte de masa, masa, momentum momentum y energía. energía. Dichas leyes generales en forma diferencial se aplican a cualquier cualquier fluido f luido en movimient movimiento o. Las ecuaciones diferenciales pueden expresarse en forma vectorial vectorial o tensorial, empleando notación indicial. indicial.
Cinemática de los fluidos
En la dinámica de partículas y cuerpos rígidos, es posible descri describir bir el movim movimien iento to de form formaa discr discreta. eta. En un sist sistem emaa de masa asa def deform ormable able (f lui luido) do) exis existte un núme númerro infi nfinito ito de elem elemen enttos lo que imposi posib bilit ilitaa la descripción individual. Sin embargo, se describe el comportamiento de todas las par partículas las en función de un elemento infin finitesimal (partícula (partícula f luida). luida). El elem elemen entto infi infin nitesim simal debe ebe contener ener un númer úmero o suficiente de moléculas para considerarlo un continuo y debe ser lo suficientemente pequeño para considerar que no tiene variaciones macroscópicas. macroscópicas.
Cinemática de los fluidos
El movimiento de la partícula fluida se describe en función de coordenadas espaciales y del tiempo. Por ejemplo, las tres componentes y el campo vectorial de flujo expresadas en coordenadas cartesianas son:
,
= ,,, ; = ,,, ; = ℎ ,,, ,,, = + +
Las líneas de corriente son las envolventes de los vectores de velocidad de las partículas fluidas en el campo de flujo. Las velocidades vectoriales son tangentes a dichas líneas de corriente. Un tubo de corriente es un conjunto de líneas de corriente que atraviesan un área infinitesimal. No existe flujo a través de la superficie lateral de un tubo de corriente.
Cinemática de los fluidos
Aplicando el enfoque lagrangiano para describir el campo de flujo, podemos evaluar la aceleración total de una partícula fluida mediante la derivada material tal que:
= ,,, = + + + = ,,, = + + + = ,,, = + ∙
La aceleración total está formada por una variación temporal de la velocidad (aceleración local) y una parte advectiva (o convectiva) debida a la acceleración de la partícula transportada de punto a punto en el campo de flujo.
Cinemática de los fluidos
Asimismo, la derivada material o sustancial se puede aplicar a cualquier campo vectorial (escalar o tensorial) del flujo:
,,, = + + + ,,, = + ∙ Así, el primer término resulta de la variación local del campo en el tiempo ( ) y el segundo término de la advección ( ∙ ) o cambio de posición de la partícula a lo largo de una línea de corriente. Obsérvese que el operador advectivo ∙ resulta en un escalar y el gradiente está dado por: = + +
Cinemática de los fluidos
Existen cuatro tipos de deformación y movimiento de una partícula de fluido: translación, rotación, dilatación del volumen y deformación angular. La translación y rotación son producto del movimiento lineal o angular sin cambios de forma de la partícula fluida. La dilatación volumétrica y deformación angular suponen un cambio de forma y/o tamaño de ésta. La tasa de dilatación (deformación lineal) de un volumen infinitesimal se expresa mediante la divergencia del campo de velocidades, cuyas componentes son ( ):
= , , ∀ = = + + = ∙
La dilatación puede relacionarse a la estructura espacial de los gradientes de velocidad, lo que impacta la conservación de la masa en un volumen de fluido.
Cinemática de los fluidos
La tasa de deformación angular es el promedio de los gradientes de velocidades lineales de las partículas originalmente perpendiculares entre si. Las componentes de la tasa de deformación angular son:
1 1 1 = 2 + ; = 2 + ; = 2 +
Estas deformaciones angulares son producto de los gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes sobre el elemento de fluido. Finalmente, el tensor de deformación (rango 2) tendrá como componentes las tasas de dilatación y deformación angular :
=
Cinemática de los fluidos
La rotación se define como la velocidad angular promedio de dos partículas que originalmente estaban perpendiculares entre si. Las componentes de la rotación de una partícula fluida alrededor de los ejes cartesianos se expresa como:
1 1 1 = 2 ; = 2 ; = 2 El vector de rotación es: = + + La vorticidad se define como el doble de la rotación: = 2
Es decir, el campo de vorticidad resulta del rotacional (determinante) aplicado sobre el campo de velocidades:
= × = + +
Cinemática de los fluidos
a) traslación b) rotación c) dilatación volumétrica d) deformación angular
Ejemplo 1: cinemática de fluidos = 3 +
A partir de un campo vectorial de velocidad definido por , determinar el campo de aceleración total, campo de vorticidad y el tensor de deformación de una partícula fluida. a) Aplicando la derivada sustancial al campo de velocidades, primero se define la aceleración local con la derivada temporal:
+
= + + = (3) + () + () = 3 + 0 + Luego la aceleración debida a la advección: = 3, = 2, = Así, la aceleración total de la partícula sería la suma de las anteriores: = = + ∙ = 3 + 3 + + + 2
Ejemplo 1: cinemática de fluidos b) El campo de vorticidad se obtiene calculando el rotacional (determinante) entre el gradiente y un campo de velocidad. Velocidad:
= 3 + +
Vorticidad:
= × = 2 =
3
= 2 + 0 +
c) El tensor de deformación incluye dilatación y deformación angular:
1 + 1 + = = 2 2 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 + 2 Tensor de deformación: 2 = 0 + 2 0
Conservación de la masa
La ecuación de continuidad debe mantenerse para cualquier campo de flujo sin importar las simplificaciones que se tomen. Es decir, a nivel geofísico, la tasa de cambio de masa por unidad de volumen debe ser igual a cero. A partir del teorema de transporte Reynolds aplicado a un VC infinitesimal, y aplicando la derivada sustancial a la densidad del fluido que lo atraviesa, se obtiene:
+ ∙ = + ( ∙ ) + ∙ = 0 1 + ∙ = + ∙ = 0 Si el flujo es incompresible ( = 0 ), la continuidad se reduce a una tasa de dilatación volumétrica nula: ∙ = 0.
Ejemplo 2: continuidad Compruebe si el siguiente campo de flujo es incompresible. Velocidad:
= 10 + + 5 + + 3 + 3 +
R/ Para que el flujo sea incompresible, la divergencia de la velocidad debe tener al menos dos términos de la misma magnitud y signos opuestos.
∙ = + + = 10 + 10 + 3 + 3 = 0
∴ Efectivamente, por simple inspección de su tasa de dilatación
nula se comprueba que el campo de flujo satisface la continuidad y es incompresible.
Conservación de momentum
La ecuación vectorial de la conservación de momentum (balances de fuerzas) consiste de tres ecuaciones diferenciales parciales nolineales y vectoriales que expresan la tasa de variación tridimensional de la cantidad de movimiento en una partícula fluida. Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a un VC infinitesimal y la derivada sustancial al momentum ( ) se obtiene:
+ ∙ = + ∙ () + + ∙ = + = La expresión resultante es la 2da. Ley de Newton por unidad de volumen diferencial que, generalmente, se reduce a = debido al principio de continuidad = 0.
Conservación de momentum
El vector de fuerza integra las fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie: . Las fuerzas de cuerpo en general se expresan como el vector:
= + = ℎ = cos +cos+cos Cuando = = 90° y = 0°, resulta ser: = . Las fuerzas de superficie en el eje cartesiano , debidas a los esfuerzos cortantes y normales, se expresan así: − = + + + Para los ejes y las fuerzas − y − se formulan de forma análoga. En forma vectorial se escribe = + ∙ , donde es el tensor de esfuerzos.
Conservación de momentum
Al combinar las expresiones anteriores para la aceleración y las fuerzas se obtiene la forma diferencial para la conservación de momentum (sistema de 4 ecuaciones abierto con 13 variables):
+ ∙ = + ∙ El tensor de esfuerzos (rango 2) contiene las nueve componentes de los esfuerzos (cortantes y normales) que se ejercen sobre las caras de un elemento infinitesimal de fluido. Estos esfuerzos se pueden expresar en función de las tasas de deformación según la ley de Stokes , o sea:
= 1 = 2 3 ∙ + + ⋮ ⋱ ⋮
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) son formas diferenciales generales que expresan el balance de fuerzas y momentum para un fluido newtoniano en movimiento, que resultan al relacionar de forma lineal los esfuerzos y las tasas de deformación con un módulo de viscosidad constante (ley de Stokes). Para un flujo incompresible ( ) se reduce el término . difusivo al laplaciano de la velocidad: La expresión general de las ecuaciones de NS para fluidos newtonianos e incompresibles es:
∙= 0 ∙ = ∙ =
= + ∙ = + Así, las ecs. NS junto con la continuidad forman un sistema cerrado de 4 ecuaciones para resolver las 4 variables ,, y .
Dinámica de Fluidos Computacional
Ecuación de Euler
Para resolver las ecs. NS generalmente se utilizan aproximaciones numéricas con métodos computacionales (CFD) y/o se asumen ciertas simplificaciones para las condiciones de contorno. En este sentido, para un flujo ideal se puede considerar que los efectos de la fricción son muy pequeños respecto a los demás términos ( ), obteniendo así la ecuación de Euler : . En un punto dentro de un campo de flujo, donde la velocidad y la presión son funciones de las coordenadas espaciales normal y tangencial a la línea de corriente ( y , respectivamente) y del tiempo , a partir de la 2da. Ley de Newton se obtienen las ecuaciones de Euler en ambas direcciones:
=
1 + = y 1 = +
=0
En la dirección normal a la línea de corriente la presión es inversamente proporcional al radio de curvatura de ésta, y en la dirección tangencial la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Ejemplo 3: ecuación de Euler
= 1,23 /10 10 = + ; = + ; = 0
Determine el gradiente de presión suponiendo un flujo incompresible ), sin roce vertical, con el sgte. campo de flujo: de aire (
R/ El gradiente de presión se calcula aplicando la ecuación general de Euler, desagregada para las tres componentes espaciales:
1,23 = + → = + + + = + 1,23 = + → = + + + = + = + → = = 1,23 9,81 = 12,07 / ∴ = + + = 1,23 + + 12,07 /
Ecuación de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli expresa la forma integral de la conservación de energía mecánica y resulta de la integración de la ec. Euler sobre una línea de corriente. Asumiendo que para un diferencial de distancia sobre la línea de corriente los tres términos de la ec. Euler tangencial se definen como:
= ; = ; = Se obtiene una ODE, que al integrarse resulta en una constante: + + = 0 → + 2 + = .
La ec. Bernoulli relaciona la entalpía debida al f lujo (o a la presión), la energía cinética y la energía potencial del fluido. Este principio se restringe a un flujo ideal estacionario, incompresible, sin fricción y a lo largo de una línea (o tubo) de corriente.
Ecuación de Bernoulli
Esta relación del balance de la energía mecánica fue enunciada por primera vez por Daniel Bernoulli en 1738 como el trabajo realizado por las fuerzas de presión y de gravedad que igualan el aumento de energía cinética de una partícula fluida. La ec. de Bernoulli aproxima el balance de energía entre la presión, la velocidad y la elevación entre diferentes puntos del flujo sobre la línea de corriente. Para efectos prácticos, la ec. de Bernoulli se divide entre para obtener el balance de energía mecánica en términos de la carga total (altura H ): . Asimismo, la ec. de Bernoulli también relaciona las diferencias de ) y presión estática ( ), presión dinámica isentrópica ( presión hidrostática ( ) tal que: .
+ 2 + = 2 ∆ + ∆ 2 + ∆ = 0
Método de Pitot y de Venturi
Para calcular la rapidez promedio de flujo en un punto sobre la línea de corriente con un tubo de Pitot y un piezómetro, se calcula la presión de estancamiento tal que: . El tubo Venturi mide la rapidez de flujo basándose en que la presión es inversamente proporcional a la velocidad cuando el flujo pasa por un cambio de sección: .
= 2
= 2ℎ 1
Ejemplo 4: Bernoulli y tubo pitot Se inserta un tubo pitot en un flujo de aire de tal manera que la presión medida por el piezómetro es la p. de estagnación ( ). Si la diferencia de presión es 30 mm de mercurio determine la rapidez de flujo. R/ Se aplica la ecuación de Bernoulli asumiendo que es un flujo estacionario, incompresible y sin fricción a lo largo de la línea de corriente de estagnación. A partir de la presión de estancamiento, la rapidez de flujo se obtiene con:
2 ℎ 2 2 ℎ = = = 2 1000 = 1,23 9,81 0,03 13,6 = 80,8
Si la velocidad del sonido es 343 m/s y el número de Mach es Ma = 0,236 ∴para esta rapidez del aire, se comprueba que el f lujo es incompresible.
Interpretación de la ec. de energía
Al aplicar la ecuación general de la energía para un tubo de corriente, definido con una superficie de control infinitesimal, se tiene:
∆ ∆ = ∆ + + 2 +∆
Basándose en la relación de Bernoulli, el flujo se considera estacionario e incompresible para una línea de flujo donde no se realiza trabajo mecánico o por esfuerzos viscosos. En tal caso se tiene . y Por ende, para un sistema de fluido ideal sometido únicamente a una fuente de calor se deduce que la transferencia de calor está dada por una variación de su energía interna debida al cambio de temperatura: .
= = 0 ∆ + ∆ 2 + ∆ = 0
= ∆ = ∆
Ejemplo 5: calor en flujo sin roce Determinar el aumento de temperatura para el agua almacenada en un estanque a 10 ft de altura y que sale por una boquilla con sección de 0,864 in2, si un intercambiador de calor le entrega 10 kW continuamente. R/ Asumiendo que el f lujo es estacionario e incompresible, que el estanque está abierto ( ) y que la partícula parte de la superficie del agua dentro del estaque ( ), con la ecuación de Bernoulli se encuentra la velocidad de salida:
= = ≈ 0 = 2 = 2 32,2 10 = 25,4 Aplicando la ecuación de continuidad a un flujo incompresible: = = 1,94 / 0,864/144 25,4/ = 0,296 / De la ecuación de la energía se tiene que la diferencia de temperatura es: 10 3413/ℎ 1 ℎ 3600 = 0,995° ∆ = = 0,296 / 32,2/ 1 °
ANÁLSIS DIMENSIONAL
Análisis dimensional
El análisis dimensional sirve para estudiar los fluidos a partir de parámetros sin dimensiones que reduce el número de variables independientes necesarias para el problema. Se basa en la homogeneidad dimensional que establece que todo término aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones. El cálculo en este tipo de análisis implica que las unidades deben ser homogéneas en cada término. Por ejemplo, las unidades de energía son J, N-m o kg-m 2/s2. De tal manera que los términos en la ecuación de Bernoulli deben tener las dimensiones [m/t2L]. La homogeneidad dimensional garantiza que si cada término se divide entre un conjunto de variables y constantes, cuyo producto tenga las mismas dimensiones, toda la ecuación queda sin dimensiones.
Análisis dimensional
Si además de adimensionalizar la ecuación, sus términos son de orden de magnitud igual a uno ésta se considera una ecuación normalizada. Los parámetros o grupos adimensionales ( ) son un conjunto de variables dimensionales y adimensionales combinadas con constantes dimensionales que miden una cantidad específica del problema. Se utilizan constantes dimensionales tales como la aceleración gravitacional ( ), la posición inicial ( ), la velocidad vertical inicial ( ), la viscosidad ( ), etc. La ventaja de utilizar los grupos adimensionales en sistemas de ecuaciones que no se pueden resolver analíticamente es la reducción de parámetros y una mejor comprensión de las relaciones entre variables del problema.
Π
Ejemplo 6: adimensionalización Encontrar la forma adimensional de la siguiente ecuación de movimiento y su solución paramétrica:
= → = + 1 2 R/ Las dimensiones primarias de los parámetros son: = ; = ; = ; = ; = []
Por inspección se identifica que las dimensiones de altura y tiempo se pueden eliminar convirtiéndolas en variables adimensionales tal que:
∗ = y ∗ = Al sustituir se obtiene: = ∗ = ∗ = → ∗ = 1 ∗ ∗ ∗ De esta ecuación se deduce el grupo adimensional de Froude: = . Al sustituirlo se obtiene la ecuación adimensional y su solución paramétrica: ∗ = 1 → ∗ = 1 + ∗ ∗ 2 ∗
Leyes básicas adimensionales
Las ecuaciones de conservación de masa y momentum en dos dimensiones son:
+ = 0 + = + + + = + +
Para adimensionalizar las ecuaciones es necesario definir los parámetros involucrados de longitud ( , ), velocidad ( , ) y presión, junto con sus respectivas dimensiones primarias ( , ∞ , ):
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ; = ; = ∞ ; = ∞ ; = ∞
Leyes básicas adimensionales
Al sustituir los parámetros adimensionales en las ecuaciones se obtiene el conjunto adimensional de continuidad y Navier-Stokes:
∞ ∗ + ∗ = 0 ∗ ∗ ∞ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∞ ∗ + ∞ ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∞ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∞ ∗ + ∞ ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Luego, dividendo la continuidad por ∞ / y las ecs. NS por ∞ , se reformula el sistema con el número de Froude ( = ∞ /, relación de fuerza de inercia y fuerza gravitacional) y el número de Reynolds ( = ∞ , relación entre la fuerza de inercia y la fuerza debida a los esfuerzos viscosos (fricción).
Leyes básicas adimensionales
Finalmente el conjunto de ecuaciones adimensionales resulta ser:
∗ + ∗ = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ + ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 1 ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ + ∗ + ∗
Se tienen 5 parámetros (variables dimensionales) y 3 dimensiones primarias (constantes dimensionales). Se puede predecir cuando el flujo es laminar o turbulento a partir de la magnitud del número de Reynolds. Para resolver el sistema de ecuaciones es conveniente aplicar la adimensionalización a las condiciones de borde igualmente.
Teorema Pi de Buckingham Π
El teorema de Buckingham establece que el número esperado de grupos adimensionales (k ) es igual al numero de variables (n) menos el numero de dimensiones primarias del problema ( j): . Los pasos a seguir para el método de Buckingham: 1. Hacer la lista de parámetros involucrados; 2. Seleccionar las dimensiones primarias; 3. Formular las variables adimensionales en términos de las dimensiones primarias; 4. Seleccionar los parámetros repetitivos; 5. Genera los grupos mediante el agrupamiento de parámetros; 6. Verificar que los términos sean adimensionales.
=
Π
Ejemplo 7: Método de Buckingham El diámetro de las gotas formadas en una tobera aspersora depende del diámetro de la tobera, la velocidad característica , la densidad , la viscosidad y la tensión superficial del fluido y la aceleración de la gravedad . Determine un conjunto de parámetros adimensionales que caracterice el problema.
R/ Se busca que el diámetro de las gotas esté expresado en términos de las demás variables tal que: . Según el método de Buckingham, hay variables y dimensiones básicas ya que ], [ ], [ ], variables [dimensiones]: [ ], [ ], [ ], [ [ ]. Aplicando el teorema ( ), se pueden definir grupos adimensionales independientes. Habitualmente, las variables que se repiten son , y se pueden formar los parámetros independientes de forma que:
L/
= ,,,,, =7 = 3 / / / / Π = =4 ,, Π = Π = Π = Π =
Ejemplo 7: Método de Buckingham Luego, se determinan los exponentes de los parámetros independientes en función de las dimensiones primarias. A partir de la ecuación del grupo Π : = Exponente de :0 = Exponente de :0 = + 3 + 1 Exponente de :0 = De donde se deduce que = 1, y se reduce el grupo a Π = / . Aplicando el mismo procedimiento para los demás parámetros, se obtiene: Π = Π = Π = ∴ El fenómeno físico en cuestión puede expresarse como una relación funcional entre los grupos Π definidos tal que: Π = Π,Π,Π → = , ,
Análisis dimensional y similitud
Si no se conocen las ecuaciones a resolver para un problema, es una práctica común de ingeniería experimentar utilizando un modelo a escala geométrica. De los resultados correctamente escalados, se puede aplicar la técnica de análisis dimensional para diseñar y experimentar con un prototipo. El análisis dimensional sirve para generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y a obtener leyes de escalamiento para predecir el desempeño del prototipo o la relación entre los parámetros. El análisis dimensional está basado en la similitud dinámica, que incluye tres condiciones: semejanza geométrica, semejanza cinemática y semejanza dinámica. S. geométrica implica la misma forma entre modelo y prototipo.
Análisis dimensional y similitud
S. cinemática implica que la velocidad en cualquier punto del flujo del modelo es proporcional a la velocidad en un punto correspondiente en el flujo del prototipo. La semejanza geométrica es requisito para la semejanza cinemática. S. dinámica implica que todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a las fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo. Este factor de escala de fuerza puede ser menor, igual o mayor a uno que indica si la razón de las fuerzas del modelo y prototipo. La semejanza cinemática es condición necesaria pero insuficiente para la s. dinámica. En un campo de flujo, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra sólo cuando existen similitudes geométrica, cinemática y dinámica.
Análisis dimensional y similitud
Para garantizar la similitud completa, el modelo y el prototipo deben ser geométricamente similares, y todos sus grupos independientes deben coincidir. Así se garantiza que los grupos dependientes del modelo se igualen con los dependientes del prototipo. Por ejemplo, para evaluar la velocidad de f lujo y la fuerza de arrastre sobre un modelo y un prototipo, considerando el flujo incompresible, los dos grupos necesarios son: Número de Reynolds: Coeficiente de arrastre: Dado que el se puede expresar en términos de , consideramos que es independiente y dependiente.
Π
Π
Π Π = = Π = = Π = (Π )
Π Π
Principales grupos adimensionales Reynolds ( = ): es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Froude ( = ): es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitacionales. Weber ( We = ): es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial. Mach ( = ): es la relación entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Factor de fricción ( = 2 ): es la relación entre la fricción en la pared y las fuerzas de inercia. Coeficiente de sustentación ( = ): es la relación
entre las fuerzas de sustentación y las fuerzas de presión dinámica.
Ejemplo 8: modelación = ∆ 2 = 1,059 × 10
de una válvula con diámetro de 600 mm, El coeficiente − ) que f luye a una rapidez entre 1 y para agua a 70 °F ( 2,5 m/s, tiene que determinarse a partir de una válvula geométricamente − ). similar de 300 mm de diámetro usando aire a 80 °F ( ¿Cuáles son los rangos necesarios de rapidez del aire? R/ El rango del número de Reynolds para la válvula prototipo es:
= 1,8 × 10
1 0,6 − = = 1,059 ×10− 0,3048 = 610 × 10− 2, 5 0,6 − = = 1,059 ×10− 0,3048 = 1525 × 10− Para la válvula modelo el rango de rapidez, se igualan los Re tal que: 0, 3 − 610 ×10 = 1,8×10− 0,3048 → = 30,6 0, 3 − 1525×10 = 1,8×10− 0,3048 → = 85
Ejemplo 9: similitud con Re y Eu
1 =
Se desea experimentar con un submarino modelo construido a escala con agua a 20°C. Determine la relación de fuerzas de arrastre y la relación de velocidades entre el modelo y el prototipo. R/ Para que haya similitud dinámica, es necesario que los números de Reynolds del modelo y prototipo sean iguales de manera que:
1:10
= = En este caso las viscosidades son iguales; por tanto, se tiene: = = = 10 Asimismo, se pueden igualar los números de Euler para el arrastre tal que: − = 2 = − 2 1 − = = ∴ − = 10 1 10 = 1
