LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA INTRODUCCIÓN La investigación operativa es una técnica o conjunto de técnicas que han surgido para coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas cada vez más complicados que surgen en una empresa. Muchos de los avances de la Investigación Operativa se han debido a que han encontrado nuevas técnicas matemáticas, el desarrollo de la COMPUTACION, sobre todo métodos más abreviados de cálculo numérico, que han hecho factibles las soluciones a problemas que hace unos años se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Es una estrategia o técnica que nos permite llegar a un objetivo con la utilización adecuada de los recursos mínimos disponibles. La Investigación Operativa es una ciencia considerada en formación, de ahí que no existe un concepto generalizado, y quizá por ello, están surgiendo muchas inquietudes, pues, se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades, originando frecuentemente más y nuevas posibilidades de acción práctica en esta materia. Estas características a la vez que va confirmando la utilidad de la Investigación Operativa, derivan interesantes oportunidades para crear modelos y aplicaciones muy subjetivas y de esta forma facilitar la “TOMA DE DECISIONES” en em presas y
organizaciones. La Investigación Operativa reúne un conjunto de ciencias como la Física, Biología, Psicología, Sociología, Economía y Matemática, que identificadas a un problema concreto contribuyen a encontrar la relación CAUSA-EFECTO, de un fenómeno y, en base a métodos matemáticos, estadísticos y criterios cualitativos procura una definición del problema y una solución práctica de una investigación operativa.
ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a aplicar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para definir una operación de ataque militar. ESTRATEGIA: (Precisión de un objetivo) LOGISTICA: (Recursos disponibles) TACTICA: (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)
LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplia con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. En la Investigación Operativa utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos matemáticos que se emplean según la necesidad. Para llevar a cabo el estudio es necesario cumplir una serie de etapas o fases, entre las cuales podemos denotar: a) Formulación del problema b) Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio c) Búsqueda de una solución a partir del modelo d) Prueba del modelo y de la solución deducida a partir de este. e) Establecimiento de controles sobre la solución. f) Poner la solución a trabajar.
La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a aplicar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para definir una operación de ataque militar. ESTRATEGIA: (Precisión de un objetivo) LOGISTICA: (Recursos disponibles) TACTICA: (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)
LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplia con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. En la Investigación Operativa utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos matemáticos que se emplean según la necesidad. Para llevar a cabo el estudio es necesario cumplir una serie de etapas o fases, entre las cuales podemos denotar: a) Formulación del problema b) Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio c) Búsqueda de una solución a partir del modelo d) Prueba del modelo y de la solución deducida a partir de este. e) Establecimiento de controles sobre la solución. f) Poner la solución a trabajar.
g) EJECUCIÓN.
Programación lineal OBJETIVOS DEL CAPÍTULO:
Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde existan recursos escasos mediante la teoría o la práctica de la técnica de programación.
Entender la hipótesis y programación básica de la programación lineal.
Resolver gráficamente por qué el problema de programación Lineal de solo 2 variables.
Formular y resolver modelos matemáticos a partir de las limitaciones de los problemas planteados.
Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación lineal utilizando el criterio pesimista, optimista y el valor esperado.
Entender temas de programación Lineal tales como infactibilidad, redundancia y soluciones óptimas alternativas.
Utilizar software para resolver problemas de programación Lineal.
Concepto de programación lineal Es una fase de modelos de programación destinados a la designación eficiente de los recursos limitados, con el objeto de satisfacer las metas deseadas (maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar desperdicios, entre otros). Las características distintivas de los modelos de Programación Lineal es que las funciones que representan el objeto y las restricciones son lineales es decir ecuaciones e Inecuaciones de primer grado. El Objetivo básico de la Programación Lineal es encontrar soluciones mediante modelos matemáticos, utilizando sistemas lineales o problemas de carácter técnico y económico que se presentan por la limitación de los recursos. El modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una función objetivo. Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados son conocidos. Es Lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución
de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivos pueden sumarse o restarse. La contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar valores fraccionarios, en caso de no aceptar valores fraccionales, se recomienda aceptar la Programación Lineal entera.
CONCEPTOS BÁSICOS Linealidad: Todo proceso, actividad o relación lineal utilizada, se identifica con la cantidad unitaria de cada uno de los factores con respecto a los demás y las cantidades de cada uno de los productos. → →
Ejemplos
3 + 2 ≤ 100
3 + 2 ≤ 100
Ejemplo: Calzado de hombre y mujer: X1= Hombre X2=Mujer
Hombre( )
Mujer( )
cuero
4
4
120
Zuela
2
2,5
100
ó
20
1
Pega
4
ó
1 4
Disponibilidad
Restricciones: 4 + 3 ≤ 120
Disponibilidad de Cuero
2 + 2,5 ≥ 100
Disponibilidad de Zuela
Disponibilidad de pega
+ = 20
Grafica de las ecuaciones 1. 4 + 3 = 120 = 30 = 40
2. 2 + 2,5 = 100 = 50 = 40
3.
+ = 20
= 80 = 80
Divisibilidad: Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se disponga de recursos. 1’000.000X1 + 3’500.000X2 ≤ 1’500.000 (Dividido para 100. 000)
10X1 + 35X2 ≤ 150
0,0005X1+0,00006X2 ≥ 0,0001 5X1+0.6X2 ≥ 1 (Multiplicado por 1000)
Finitud: Definir tanto el número de procesos identificados cuanto los resultados disponibles deberán corresponder a cantidades finitas, es cantidades conocidas y cuantificadas en forma determinada.
Algoritmos o Iteraciones: Son aproximaciones matemáticas sucesivas que nos permiten llegar a un objetivo.
EL PROBLEMA GENERAL DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El problema de la programación lineal se presenta por la limitación recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma posible. Los recursos a la vez son limitados pueden ser distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de ahí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema. Los problemas de programación lineal resueltos por cualquiera de las técnicas deben cumplir los siguientes requisitos.
1. Función Objetiva Esta dada por Maximización y Minimización.
() = + + + ⋯ + () = + + + ⋯ +
De donde: , , , … , ; son los coeficientes de la función objetivo, y , , , … , ; son las variables que intervienen en el problema.
2. Limitaciones o Restricciones: Son el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que expresan las condiciones infinitas del problema, denominadas también coeficientes técnicos de producción, tecnológicos, de transporte, entre otros según el caso de estudio, y se representa de la siguiente forma: + + + ⋯ + + + + ⋯ + + + + ⋯ +
De donde: , , … , ;Son los coeficientes técnicos de las restricciones. , , , … , ; Son las variables que intervienen en el problema o lo que vamos a
calcular. , , , … , ;son las relaciones del problema. Pueden ser : ≥; ≤; >; <; =. , , , … , ; Son los términos independientes o Disponibilidades de los
recursos o factores que intervienen en el problema .
3. Variables de no negatividad: Son las variables que intervienen en el problema , , , … , ≥ 0
4. Condiciones de optimización Estas se van obteniendo a través de aproximaciones sucesivas y podemos obtener: Solución básica o zona factible o zona básica: Esta solución satisface las limitaciones y restricciones.
Solución Básica Factible: Es aquella que satisface tanto a las limitaciones o restricciones como a la función objetivo (Punto Óptimo).
Solución Óptima Solución Básica Punto Óptimo
Ejercicios 1. La compañía PARK INC. es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyos administradores han decidido ingresar mercado de bolsa de golf a precios mediano y alto. El distribuidor de PAR está muy entusiasmado con la nueva línea de producto y a aceptado comprar todas as bolsas de golf que fabrique PARR en los tres meses siguientes después de una investigación cuidadosa de las etapas necesarias para fabricar una bolsa los administradores
determinan que cada bolsa que se fabrique requiere de las siguientes operaciones: a. Cortar y teñir el material. b. Cocer. c. Terminar. d. Inspección y embalaje. El director de manufactura ha analizado cada una de las operaciones y ha llegado a la conclusión, de que si la compañía fabrica un modelo estándar de precio medio se requerirá 7/10 horas en el departamento de corte y teñido, media hora en el departamento de costura, una hora en el departamento de terminado y 1/10 de hora en el departamento de inspección y embalaje. El modelo de lujo más costoso requiere una hora para corte y teñido, 5/6 de hora para la costura ,2/3 de hora para el terminado y ¼ de hora para inspección y embalaje. El departamento de costos ha analizado estas cifras de producción asignado. Todos los costos pertinentes y ha llegado a la conclusión que se obtendría una contribución a las utilidades de 10 dólares para cada bolsa estándar y de 9 dólares para cada bolsa de lujo que se fabrique. Además después de estudiar las proyecciones de las cargas de trabajo en los departamentos, el director estima que para producir las bolsas de golf en los tres meses siguientes habrá disponible 603 horas de tiempo de corte, 600 horas de costura ,708 horas de acabado y 135 horas de inspección y embalaje. El problema de PARR es determinar cuántas bolsas estándar y cuantas bolsas de lujo debe fabricar con el objeto de maximizar la contribución a las utilidades. ¿Si ud estuviera a cargo del departamento de producción, que decisión tomaría, es decir cuántas bolsas fabricarían en los tres meses siguientes y por qué?
Variables X1=Bolsa Estándar X2=Bolsas de Lujo
Función objetivo: () = 101 + 92
Restricciones:
1 + 2 ≤ 603
1 + 2 ≤ 600
11 + 2 ≤ 708
1 + 2 ≤ 135
1, 2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Resolución 1. 2.
X1 + X2 = 603
X1 + X2 = 600
3. 1X1 + X2 = 708 4.
X1 + X2 = 135
(1) (3) 7 10
X1 + X2 = 603
1X1 +
2 3
X2 = 708
Solución: 1 = 573,7374
2 = 201,3838
() = 101 + 92 () = 10(573,7374) + 9(201,3838) () = 7549,833 ó
Análisis: Se debe fabricar 573,74 bolsas estándar y 201,34 bolsas de lujo para obtener una utilidad máxima de 7549,83 dólares 2. La empresa M&D manufactura 2 productos que se venden como materia prima a compañías que fabrican jabones para baño detergente y otros utensilios en base en el análisis delos niveles actuales en inventario y demanda potencial para el siguiente mes, los administradores de M&D han especificado que la producción combinada de los dos productos uno y dos pueden ser por lo menos 350 galones , por otro lado se debe satisfacer el pedido de un cliente importante de 125 galones de producto 1 .El producto uno requiere 2 horas de tiempo de procesamiento por galón en tanto el producto 2 requiere 1 hora de procesamiento por galón y existen disponibles 600h de tiempo de procesamiento para el siguiente mes.
El objetivo de M&D es satisfacer los requerimientos mínimos incurriendo en un costo de operación de producción de 2 dólares por galón del producto 1 y 3 dólares por galón del producto 2. X1=Producto1 X2=Producto2
Función objetivo: () = 21 + 32
Restricciones: 1 + 2 ≥ 350
ó
1 ≥ 125
1 ∶
21 + 2 ≤ 600
1, 2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Resolución 1 + 2 = 350 1 = 125 21 + 2 = 600 (1) (3) 1 + 2 = 350
21 + 2 = 600
Solución: 1 = 250
2 = 100
() = 21 + 32 () = 2(250) + 3(100) () = 800 ó
Análisis de holgura y excedente 1 = 250
2 = 100
ó ∶ 1 + 2 ≥ 350. 250 + 100 = 350 350 = 350
No existe holgura ni excedente. 1 ∶ 1 ≥ 125. 250 ≥ 125
Existe un excedente del producto uno en 125 galones. ∶ 21 + 2 ≤ 600.
21 + 2 = 600 2(250) + 100 = 600 600 = 600
No existe holgura ni excedente.
Análisis: La empresa M&D debe mantener una producción de 250 galones del Producto 1 y 100 galones del producto 2 para obtener una utilidad mínima de 800 dólares 3. Una companía fabrica dos productos A y B, el volumen en ventas de A es por lo menos el 80% delas ventas totales de A y B. Sin embargo la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día los dos productos usan una materia prima cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día, las proporciones de utilización son de 2 libras por cada unidad de A y 4 libras por cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son 20 y 50 dólares respectivamente. Determine la mezcla optima de los dos productos, el volumen de ventas y determine las holguras y excedentes de la compañía. = Producto A = Producto B
Función objetivo: () = 201 + 502
Restricciones: 1 ≥ 0,8(1 + 2)
21 + 42 ≤ 240
1 ≤ 100
1, 2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Resolución 1. 1 ≥ 0,8( 1 + 2) Despejando 0,21 − 0,82 = 0
2. 21 + 42 ≤ 240. 21 + 42 = 240.
3. 1 ≤ 100 1 = 100 (1) (2) 0,21 − 0,82 = 0
21 + 42 = 125
Solución: 1 = 80 () = 201 + 502
2 = 20
() = 20(80) + 50(20) () = 2600 ó
Análisis de holgura y excedente 1 = 80
2 = 20
∶ 1 ≥ 0,8( 1 + 2)
1 = 0,8( 1 + 2) 80 = 0,8(80 + 20) 80 = 80
No tiene holgura ni excedente.
: 21 + 42 ≤ 240. 21 + 42 = 240 2(80) + 4(20) = 240 240 = 240
No tiene holgura ni excedente. ∶ 1 ≤ 100. 80 < 100
Existe holgura en la . 1 ∶ 1 ≥ 125. 250 ≥ 125
Análisis: Para obtener una utilidad máxima de dólares la compañía debe vender 80 unidades del producto A y 20 unidades del productos B.
Ejercicio 4 Un fabricante de gasolina para aviación contiene dos clases de combustible A y B. El combustible A tiene 12,5% de gasolina grado 1 y grado 2 y el 25% de gasolina de grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina de grado 2 y grado 3 disponible para la producción hay 25 galones por hora de grado 1,100 galones por hora de gasolina de grado 2 y grado 3. Los costos son de 15 centavos por galón de grado 1, la gasolina de grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galón de la gasolina de grado 3. El combustible A puede costar 66,88 dólares por galón mientras que el combustible B alcanza el precio de venta a 58,78 dólares por galón. Que cantidad se debe fabricar de cada combustible para obtener mayor beneficio. 1 =Combustible A 2 =Combustible B
Función objetivo:
() = 501 + 402
COSTO: : 0.12515 + 0.12530 + 0.2545 = 16.875. : 0.2530 + 0.2545 = 18.75. : − : 66,88 − 16,88 = 50 : − : 58.75 − 16.75 = 40
Restricciones: 0.1251 ≥ 25
1
0.1251 + 0.252 ≤ 100
2
0.251 + 0.252 ≤ 100
3
1, 2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Resolución 1. 0.1251 ≥ 25 0.1251 = 25
2. 0.1251 + 0.252 ≤ 100. 0.1251 + 0.252 = 100
3. 0.251 + 0.252 ≤ 100 0.251 + 0.252 = 100
(1) (3) 0.1251 = 25
0.251 + 0.252 = 100
Solución: 1 = 200
2 = 200
() = 501 + 402 () = 50(200) + 40(200) () = 18000 ó
Análisis: Para obtener una utilidad máxima de centavos la compañía debe fabricar 200 galones de Combustible A y 200 galones de Combustible B.
4. Dos productos tienen el siguiente proceso, hay un taller que lo más que puede haceres 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por día. El taller de pintura tiene capacidad diaria de 120 productos tipo A o 160 productos tipo B. También el tratamiento técnico puede producir un total de 90 artículos de tipo A por día. El producto A tiene una utilidad de 4 dólares y el producto B de 6 dólares. Determine la producción óptima para maximizar la utilidad. 1 =Producto A 2 =Producto B
Función objetivo: () = 41 + 62
Restricciones:
1 +
2 ≤ 1
ó
2 ≤ 1
:
1 +
11 = 90
é
1, 2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Resolución 1.
2.
3.
1 +
2 ≤ 1.
1 +
2 ≤ 1.
11 = 90.
(2) (3) 1
1 1 + 2 ≤ 1. 120 160 11 = 90
Solución: 1 = 90
2 = 40
() = 41 + 62 () = 4(90) + 6(40) () = 600 ó
Interpretación: para obtener una ganancia de 600 dólares se tienen que fabricar 9 unidades del Producto A y 40 unidades del Producto B. Análisis de sensibilidad 5. El banco del pacifico asigna 200000 dólares para préstamos personalizados y automóviles para el próximo mes. El banco cobra el 14% de préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. En los tipos de préstamos de liquidación alrededor de un año la experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y el 2% los costos asignados cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos de los automóviles. Determine la asignación óptima para los tipos de préstamos y la tasa neta de utilidad que tendrá por todos los préstamos. Suponga que el porcentaje de los préstamos personales no liquidados cambian al 4% y al 3% respectivamente. Como afectaría este cambio la solución óptima en el literal anterior.
X1=Préstamos Personales X2=Préstamos Autos Función Objetivo: = 0.13581 + 0.11702
Restricciones: 0.141 + 0.122 ≤ 200000
1 ≥ 22
2 1:
1, 2 ≥ 0
Variables de no Negatividad
Análisis Con cobros del 14% y 12 % en cada préstamo se debe invertir 200000 dólares en préstamos personales y 0 en préstamos de autos y así se obtiene una ganancia máxima de 27160 dólares.
Función Objetivo: = 0.09441 + 0.08642
Restricciones: ∶ 0.141 + 0.122 ≤ 200000 2 1: 1 ≥ 22
Variables de Negatividad , ≥
no
Análisis Con cobros del 4% y 3 % en cada préstamo se debe invertir 200000 dólares en préstamos personales y 0 en préstamos de autos y así se obtiene una ganancia máxima de 18880dólares.
6. Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 200 hectáreas. Se sabe que una hectárea puede rendir 4 quintales de maíz o 2 quintales de trigo. Cada hectárea requiere en capital de 60 dólares si se cultiva maíz y de 20 dólares di se cultiva trigo el capital disponible es de al menos 6000 dólares las necesidades de agua de riego son de 50 metros cúbicos por hectárea y 50 más por hectárea de trigo en octubre de 200 metros cúbicos por hectárea de maíz y 100 metros cúbicos por hectárea de trigo en el mes de noviembre. La
disponibilidad de agua en octubre es al menos 6250 metros cúbicos y en noviembre cuando mucho 25000 metros cúbicos. Si los precios de venta del maíz y trigo son 60 dólares y 100 dólares por quintal métrico respectivamente. Determine la cantidad de maíz y trigo que debe cultivarse para obtener beneficio máximo. X1=í X2=
Función Objetivo: = 601 + 1002
Restricciones
1 + +
1 +
60 4 1 4 50 4
1 +
+
2 ≤ 6000
≥1
1 +
2 2
1 +
200 4
:
2 ≤ 6250
20 2
2 ≤ 25000
2 = 6000
=1 50 2
1 +
2 = 6250
100 2
2 = 25000
:
Solución: 1 = 350
2 = 75
( () = 601 + 1002 ( () ) = 4(35 (350) + 6(75 (75) : Para obtener una ganancia de 28500 dólares se tienen que cultivar 350
unidades de Maíz y 75 unidades de Trigo.
7. Se desea realizar una campaña de publicidad para promocionar un nuevo producto y llegar a 2 tipos de clientes: Amas de casa de familia con ingresos anuales superiores a 5000$ y más de casa de familia con ingresos anuales inferiores a 5000 $. Consideramos que las personas del primer grupo compraran 2 veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión y en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 10
000$ y llega aproximadamente a 1000 personas del primer grupo y a 4000 del segundo grupo. Una unidad de publicada en la revista cuesta 6000$ y llega aproximadamente a 3000 personas del primer grupo y a 1000 del segundo grupo. Hay que usar al menos 3 unidades de publicidad en televisión y 6 unidad de publicada en la revista, respectivamente por cuestiones de políticas. El presupuesto de publicidad es de 90 000$. Resuelva gráficamente el problema y encuentre la solución óptima.
Variables 1) X1= (1)
X2= ( 2)
Función objetivo: = 1 + 2 + 3 + 4
Restricciones 1 ≥ 5000
1
2 ≤ 5000
2
Análisis: El grupo 1 necesita 10000 ,el grupo2 5000 y tendrán un costo optimo en publicidad de 15000.
DEBER 17. La firma Kelson Sporting Equipment Inc, fabrica dos tipos de guantes para beisbol, un modelo normal y el modelo para cátcher. La empresa tiene 900 horas de tiempo de producción disponibles en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y envío. Los requisitos de tiempo de producción y las utilidades por guante son las que se presentan en la siguiente tabla: TIEMPO DE PRODUCCION (horas) MODELO
CORTE Y
TERMINADO
EMPAQUE Y
UTILIDAD POR
ENVÍO
GUANTE
COSTURA Normal
1
½
1/8
$5
Para
3/2
1/3
1/4
$8
Catcher
a) Suponiendo que la compañía desea maximizar las utilidades ¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar? b) ¿Cuál es la utilidad que Kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de producción se programará en cada departamento? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? Variables X1= Cantidad de guantes de modelo normal X2= Cantidad de guantes de modelo para cátcher
Función objetivo Z(max)= 5x 1 + 8x 2
Restricciones
2 + 3 ≤ 1800
Disponibilidad de horas en el departamento de corte y costura
Disponibilidad de horas en el departamento
+ ≤ 300
+ ≤ 100
Disponibilidad de horas en el departamento de empaque y envío
Variables de no negatividad
x 1 , x2>=0
SOLUCIÓN
a) Para maximizar las utilidades la compañía debe fabricar 500 guantes normales y 150 guantes para cátcher. b) La utilidad que la firma Kelson obtiene al fabricar 500 guantes normales y 150 guantes para cátcher es de $3700. c) En el departamento de corte y costura existe una holgura de 350 horas. En el departamento de terminado no existe holgura. En el departamento de empaque y envío no existe holgura.
18. La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 por cada unidad que se vende del producto 1, y $30 por cada unidad que se vende del producto 2. En seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los tres departamentos. PRODUCTO 1
PRODUCTO 2
DEPARTAMENTO A
1.50
3.00
DEPARTAMENTO B
2.00
1.00
DEPARTAMENTO C
0.25
0.25
Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 45º horas en el departamento A, 300 horas en el departamento B y 50 horas en el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) Obtenga la producción óptima ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto y cuál es la utilidad que se proyecta? c) ¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en cada departamento? Variables X1= Unidades a fabricar del producto A X2 = Unidades a fabricar del producto B
Función objetivo Z (max)= 25X 1 + 30X 2
Restricciones 1.5 X 1 +3X 2 <= 450
Disponibilidad de horas en el departamento A
2 X 1 + X 2 <= 350
Disponibilidad de horas en el departamento B
0.25 X 1 +0.25X 2 <= 50
Disponibilidad de horas en el departamento C
X 1 , X2>=0
Variables de no negatividad
Solución
a) La solución óptima es fabricar 100 unidades del producto 1 y 100 unidades del producto 2 para obtener una máxima utilidad de $5500. b) Existe una holgura de 50 horas en el departamento B.
19. La Yard CAre, Inc, fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40n y K50.Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900lb de K40 y 400lb de K50. Cada libra del producto llamado “Jardín Verde” utilizando 3/5lb de K50 y 2/5lb de K50. Cada libra del producto designado como “Atención al Jardín” utiliza 1/4lb de K40 y 1/4lb de K50. Además, un determinado límite sobre la
disponibilidad e
Función objetivo Z (max)= 3X2 + 3X2 Restricciones
+ ≤ 900
+ ≤ 400
Disponibilidad en libras de fertilizante K40 Disponibilidad en libras de fertilizante K50
≤ 500
Disponibilidad en materiales de empaque para Atención al Jardín
X1, X2>=0
Variables de no negatividad
Solución
a) La compañía debe fabricar 687.5lb de Jardín Verde y 500lb de Atención al Jardín.
20. Investment Advisors Inc, es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversipon de $80000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones. ACCIÓN
PRECIO POR
RENDIMIENTO
INDICE DE
ACCIÓN
ANUAL
RIESGO
U.S. OIL
$25
$3
0.50
HUB
$50
$5
0.25
PROPERTIES
El índice de riesgo para las acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan se considera que la inversión en U.S Oil es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera la empresa de inversión evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implica altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones. Además la empresa ha
fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U.S Oil, que son las más riesgosas ¿Cuántas acciones de cada tipo se debe comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? Variables X1= Cantidad de acciones en U.S Oil. X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties.
Función objetivo Z (max)= 3X 1 + 5X 2
RESTRICCIONES 25X 1 + 50 X 2 <= 80000
Disponibilidad de dinero para la inversión
X 1 <=1000
Disponibilidad de acciones para U.S Oil
0.5 X 1 + 0.25 X 2 <=700
Disponibilidad para el índice de riesgo
X 1 , X 2>=0
variables de no negatividad
SOLUCIÓN
Se debe comprar 800 acciones en U.S Oil y 1200 acciones en Hun Properties para obtener una utilidad de $8500.
21. Considérese el siguiente programa lineal Min 3X1 +4X2 Sujeta a: X1 + 3X2 >=6 X1 + X2 >= 4 X1, X2 >= 0 Identifique la región factible y obtenga la solución óptima ¿cuál es el valor de la función objetivo? Función objetivo Z (min) = 3X 1 +4X2
RESTRICCIONES X1 + 3X2 >=6 X1 + X2 >= 4 X1, X2 >= 0
variables de no negatividad
SOLUCIÓN
La solución óptima es el punto (3,1) y el valor de la función objetivo es z=13.
23.La firma Greentree Kennels .Inc ofrece alojamiento nocturno para diversos tipos de mascotas. Una característica especial de Greentree es la calidad de atención que se da a las mascotas, incluyendo excelentes alimentos. El alimento para perros de albergue se hace mezclando 2 productos alimenticios caninos de alta calidad para obtener lo que en el albergue se denomina “dieta bien balanceada para perros”. Los datos de los alimentos son los siguientes. Alimento
Costo por onza
Proteínas %
Grasas %
Bark Bits
$0.06
30
15
Canine Chow
$0.05
20
30
Si Greentree desea asegurarse que los canes reciben cuando menos 5 onzas de proteínas y cuando menos 3 onzas de grasas al día ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los productos alimenticios para perros?
Función Objetivo: (í) = 0.06 + 0.05
Restricciones: 0.3 + 0.2 ≥ 5
Dieta mínima de proteínas al día
0.15 + 0.3 ≥ 3
Dieta mínima de grasas al día
, ≥ 0
Variables de No Negatividad
Abstracción
Análisis: Para obtener la mezcla de fertilizantes de costo mínimo ($1.03) se deben mezclar 15 onzas de Bark Bits y 2,5 onzas de Canine Chow
24.Jack Kammer ha estado tratando de determinar la cantidad correcta de fertilizante que debe aplicar a su jardín. Después de hacer que la agencia agrícola local analizará el suelo, se le aconsejó poner cuando menos 60lb de N2 , 24 lb de compuestos de Fósforo y 40 lb de compuestos de potasio durante la estación. Se debe aplicar en mayo 1/3 de la mezcla, 1/3 de la mezcla en Julio y 1/3 a finales de septiembre. Después de Verificar en las tiendas locales de descuento, Jack encuentra que en esos momentos una tienda tiene una venta especial de fertilizante empacado. Un tipo de los que están en venta es la mezcla 20-5-20 que contiene 20% de Nitrógeno , 5% de fósforo y 20% de potasio y se vende a 4$ la bolsa de 20 lb. El otro tipo que está en venta es una mezcla 10-10-5 que se vende en 5$ la bolsa de 40 lb. A Jack le gustaría saber cuantas bolsas de una mezcla que satisfaga los requerimientos mínimos aconsejados por la agencia agrícola. Al igual que todos los propietarios de casa con jardines grandes, le gustaría gastar lo menos que fuera posible para mantener su jardín en buen estado ¿Qué es lo que debe hacer nuestro amigo?
Función Objetivo: (í) =
4
5 + 20 40
Restricciones: 0.2 + 0.1 ≥ 60
Alimentación Mínima de Nitrógeno en la Mezcla
0.05 + 0.1 ≥ 24
Alimentación Mínima de Fósforo en la Mezcla
0.2 + 0.05 ≥ 40
Alimentación Mínima de Potasio en la Mezcla
, ≥ 0
Variables de No Negatividad
Abstracción
Análisis: Para obtener la mezcla de fertilizantes de costo mínimo ($63) se deberían adquirir 240 lb de Fertilizante “20 -5-20” y 120 lb de Fertilizante “10 -
10-5”.
25.Car Phones Inc. Vende 2 modelos de teléfono para automóvil: el “x” e “y”. Los registros muestran que se invierte 3h de venta para cada modelo de teléfono “x” y 5 horas para cada modelo “y”. Para el siguiente período de 4 semanas existen un total disponible un total de 600h de tiempo de ventas. Además, las políticas de planeación de la empresa exigen objetivos de ventas de 25 unidades cuando menos para ambos modelos. a) Muestre la Región Factible para el problema de Car Phones. Inc. b) Suponiendo que la compañía obtiene una contribución a las utilidades de $40 por cada modelo “x” y $50 por cada modelo “y”
vendido. Cuál es la meta óptima de ventas para la compañía para el siguiente período de 4 semanas. c) Elabore una restricción y muestre una región factible, si los administradores incluyen la restricción de que Car Phones debe vender la misma cantidad de modelos “y” que de modelos “x”. d) ¿Cúal es la nueva solución óptima si se incluye en el problema la restricción planteado en el inciso c?
Función Objetivo: (á) = 40 + 50
Restricciones: 3 + 5 ≤ 600
Tiempo máximo de producción
≥ 25
Requisito de venta Mínimo de x
≥ 25
Requisito de venta Mínimo de y
, ≥ 0
Variables de No Negatividad
Abstracción
La meta óptima de ventas es vender 158 modelos de “x” y 25 modelos de “y”
que deja una utilidad de $7583.33 b. 3 + 5 ≤ 600
Tiempo máximo de producción
≥ 25
Requisito de venta Mínimo de x
≥ 25
Requisito de venta Mínimo de y
=
Requerimiento de venta nuevo
, ≥ 0
Variables de No Negatividad
c.
La meta óptima de ventas es vender 85 modelos de “x” y 85 modelos de “y”
que deja una utilidad de $7714.29
26.Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada bote de 16 onzas de Cats es una mezcla, o combinación de 2 ingredientes alimenticios para mascotas. Sean: x1: # de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas y x2: # de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas. Cada onza del ingrediente A contiene ½ onza de proteínas y 1/8 de onzas de grasa. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteínas y 1/3 de onzas de grasas. Las restricciones implican que un bote de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y 2,5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0,04 por onza y el ingrediente B $0,03 por onza ¿Cuál es la mezcla de costo Mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de 16 onzas? Identifique e interprete los valores de las variables excedentes para este problema X1
X2
Requerimiento
Proteínas
½
1/10
4
Grasas
1/8
1/3
2.5
Función Objetivo: (í) = 0.04 + 0.03
Restricciones: 0.5 + 0.1 ≥ 4
Dieta mínima de proteínas al día
0.125 + 1/3 ≥ 2.5
Dieta mínima de grasas al día
+ ≤ 16
Disponibilidad máxima de onzas por lata
, ≥ 0
Variables de No Negatividad
Abstracción:
Análisis: La mezcla de costo mínimo ($0.43) se obtiene al mezclar 7.027 onzas de Ingrediente A y 4,86 onzas de Ingrediente B
27. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de
acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. a) Determine cuantas unidad de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizat el índice de riesgo total de la carretera b) ¿Cuántos ingresos anuales se generaran en esta estrategia de inversión? Variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero
Función objetivo: = 8 + 3
Restricciones: 50 + 100 ≤ 1200000
Fondos disponibles
5 + 4 ≥ 60000
Ingreso anual
100 ≥ 300000
Unidades en fondo
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Gráfica:
Análisis: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 4000 unidades a $ 50 en el fondo de acciones y 1000 unidades a $ 200 en el fondo de mercado de dinero con un riesgo minimo y una ganancia de $ 62000
28. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente?
c) ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes? Variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo
Función objetivo: = 1 + 1,5 ,5
Restricciones: + ≤ 150
Mezcla de masa
0,25 + 0,5 ,5 ≤ 50
Mezcla de aderezo
≥ 50
Venta de pizzas normales
≥ 25
Venta de pizzas de lujo
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Gráfica:
Análisis: Bryant’s Pizza debería producir 100 pizzas normales y 50 pizzas de lujo para
maximizar su utilidad a $ 750. Las ventas de pizzas normales tienen un excedente de 50 pizzas, las ventas de pizzas de lujo tienen un excedente de 25 pizzas mientras que las cantidades en mezcla de masa y aderezo no presentan holguras es decir que se consumieron por completo.
29. Wilkinson motors, vende automóviles estándares y camionetas
La
empresa obtiene una utilidad de $400 dólares por cada automóvil que vende y $500 dólares por cada camioneta. La compañía está planeando el periodo para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere en distribuidor es de 2 horas por cada automóvil y de 3 horas para cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. ¿Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades?
a) Mostrar el modelo de programación lineal para el problema b) Identificar las variables de holgura
c) Identifica los puntos extremos de la región factible d) Encontrar la solución optima e) Que restricciones son acotables Variables: X1= cantidad de automóviles estándar X2= cantidad de camionetas
Función objetivo: = 400 + 500
Restricciones: ≤ 300
Pedido de automóviles
≤ 150
Pedido de camionetas
2 + 3 ≤ 900
Tiempo de preparación
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Gráfica:
Análisis: Wilkinson motors debería pedir 300 automoviles y 100 camionetas para maximizar sus utilidades a $170 000. El pedido de camionetas muestra una holgura de 50 camionetas. No hay restricciones acotables.
30. - En Ryland Farms, en el noreste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en un máximo de 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y cuantos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades?
a) Muestre el modelo de programación para el problema anterior b) Identifique todas las variables de holgura c) Obtenga la solución optima
Variables: X1= acres de frijol de soya X2= acres de maíz
Función objetivo: = 100 + 200
Restricciones: ≤ 200
Acres de frijol de soya
2 + 6 ≤ 1200
Tiempo para sembrar
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Gráfica:
Análisis: Ryland Farms debe plantar 200 acres de frijol de soya y 133,33 acres de maíz para aumentar sus utilidades a $ 46666,66. No existen holguras.
31. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla.
NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Producto
Materia prima 1
2
3
Aditivo para combustible
2/5
0
3/5
Base disolvente
1/2
1/5
3/10
Después de deducir los costos correspondientes, la compañía obtiene 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas.
Materia Prima
Cantidades disponibles para la producción
Materia prima 1
20 toneladas
Materia Prima 2
5 toneladas
Materia prima 3
21 toneladas
a) Dada la limitada disponibilidad de materias primas, ¿cuantas toneladas de cada producto se deben fabricar con objeto de maximizar utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima? b) ¿Existe material que no se utiliza? ¿Si es así cuánto? c) ¿Existen cualesquiera restricciones redundantes? ¿Si es así cuáles son?
Variables: X1= número de toneladas de aditivo para combustible X2 = número de toneladas de base disolvente
Función objetivo: = 40 + 30
Restricciones:
+ ≤ 20
Toneladas de materia prima 1
≤ 5
Toneladas de materia prima 2
+
≤ 21
, ≥ 0
Solución:
Toneladas de materia prima 3 No negatividad
Gráfica:
Análisis: RMC debe fabricar 25 toneladas de aditivo para combustible y 20 toneladas de base disolvente para obtener una utilidad máxima de $ 1600. No se utilizan 1 y 1,5 toneladas de materia prima 2 y 3 respectivamente. No existen restricciones redundantes.
TALLER Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingredientes para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma una hora llenar 20botellas de cerveza Pílsener y dos horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone alo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado en un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de cerveza Club. Cada botella de cerveza Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia? Botellas de Pílsener = X Botellas de Club = X
Función Objetivo Z(max) = 10X + 15X
Restricciones X + X ≥ 30 0.05X + 0.08X ≤ 2 X = 20 X ≤ 10 X1, X2 ≥ 0
Solución
Variables de no negatividad
Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingredientes para llenar a lo mucho 89 botellas combinadas e A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo mas en 70botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B deben llenar para que la fábrica obtenga los mayores beneficios? x = Botellas de champú A x = Botellas de champú B
Función Objetivo z(max) = 80x + 90x
Restricciones x + x ≤ 80
x +
x +
x ≤ 20 x ≤ 1
x ≤ 70 Demanda de A
Variables de no negatividad x ≥ 0 ; i = 1,2
Solución
Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320000 individuos audiencia (A), de los cuales al menos 120000 tengan un ingreso mínimo anual de 50000 dólares al año, y al menos 80000 sean solteros. Se desea utilizar únicamente la y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta $400 y se estima que llegue a un promedio de 40000 IA, de los cuales un 25% tienen ingresos altos y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta $150 y llega a un auditorio promedio de 10000 oyentes, de los cuales el 80% tienen ingresos altos y 4000 son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio que minimice el costo de la campaña. x = Número de anuncios en television x = Números de anuncios en la radio
Función Objetivo z(min) = 10 000x + 6 000x
Restricciones 40 000x + 10 000 x ≥ 320 000 10 000x + 8 000x ≥ 120 000 8 000x + 4 000x ≥ 80 000 X1, X2 ≥ 0
Variables de no negatividad
Solución
A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día. ¿Cuántos litros de químicos deben ser producidos diariamente por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria? Resolver gráficamente y por enumeración de los puntos extremos de la región factible. Formulación del modelo:
Variables x = Litros de químicos producidos en el proceso anterior x = Litros de químicos producidos con el nuevo proceso
Función Objetivo z(max) = 30 x + 20 x
Restricciones 15 x + 5 x ≤ 10 500 40 x + 20 x ≤ 30 000
Variables de no negatividad x ≥ 0 ; i = 1,2
Solución
Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 500
unidades de plástico y 1 450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $ 7.58 y $ 12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. ¿Cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó? MADERA
PLÁSTICO
ALUMINIO
SILLA
1 unidad
1 unidad
2 unidades
MECEDORA
1 unidad
1 unidad
3 unidades
TUMBONAS
1 unidad
2 unidades
5 unidades
Definición de variables x = Unidades de sillas x = Unidades de mecedoras x = Unidades de tumbonas
Función Objetivo z(max) = 7.58 x + 7.58 x + 12 x
Restricciones x + x + x ≤ 400 x + x + 2 x ≤ 5000 2x + 3 x + 5x ≤ 1450 X1, X2, X3 ≥ 0
Solución
Variables de no negatividad
Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio. Cada silla mecedora y tumbona se vende en $ 6, $ 8, $ 12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. ¿Cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó? MADERA
PLÁSTICO
ALUMINIO
SILLA
1 unidad
1 unidad
2 unidades
MECEDORA
1 unidad
1 unidad
3 unidades
TUMBONAS
1 unidad
2 unidades
5 unidades
Definición de variables x = Unidades de sillas x = Unidades de mecedoras x = Unidades de tumbonas
Función Objetivo z(max) = 6 x + 8 x + 12 x
Restricciones x + x + x ≤ 400 x + x + 2 x ≤ 600 2x + 3 x + 5x ≤ 1500
Variables de no negatividad x ≥ 0 ; i = 1,2,3
Solución
La empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marcos de madera y con marcos de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bog forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados al día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total. A) Describa la analogía entre este problema y el de Wyndor Glass Co. presentado en la en la sección 3.1. Después construya y llene una tabla como la tabla 3.1 para este problema, identifique las actividades y los recursos. B) Formule un modelo de programación lineal. C) Use el método gráfico para resolver el modelo. D) Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Este puede forzar a la compañía a bajar los precios y por ende las ganancias a este tipo de ventanas. ¿cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40 ¿y de $60 a 20? E) Doug piensa disminuir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que se produce por día. ¿cómo cambiaría la solución óptima si hace solo 5 marcos diarios? Literales A, B Y C Definición de variables x = Ventanas con marco de madera x = Ventanas con marco de aluminio
Función Objetivo z(max) = 60 x + 30 x
Restricciones x ≤ 6
x ≤ 4 6 x + 8 x ≤ 48
Variables de no negatividad x ≥ 0 ; i = 1,2
Solución Literales A, B Y C
LITERAL D Función Objetivo z(max) = 60 x + 20 x
Restricciones x ≤ 6 x ≤ 4
6 x + 8 x ≤ 48
Solución
LITERAL E Función Objetivo z(max) = 60 x + 30 x
Restricciones x ≤ 5 x ≤ 4 6 x + 8 x ≤ 48 Solución
Una compañía de préstamos (u-save) planifica sus operaciones para el año entrante y ofrece 5 clases de préstamos como se muestra a continuación con el rendimiento anual en porcentaje: TIPO DE PRESTAMOS Préstamos personales Préstamos para muebles Préstamo automóvil Segunda hipoteca de casa Primera hipoteca de casa
RENDIMIENTO ANUAL (%) 15 20 9 10 7
Los requisitos legales y la política de la compañía imponen los siguientes límites: Los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los préstamos. La cantidad de préstamos personales y para muebles en conjunto no debe ser mayor del 20% del total de los préstamos. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total del préstamo. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total del préstamo. La empresa desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos y solo puede prestar como máximo U$1.500.000. Formular el problema. Formulación del modelo: Definición de variables
x = Cantidad de dinero invertido en préstamos personales x = Cantidad de dinero invertido en préstamos para muebles x = Cantidad de dinero invertido en préstamos para automóvil x = Cantidad de dinero invertido en préstamos para segunda hipoteca x = Cantidad de dinero invertido en préstamos para primera hipoteca
Función Objetivo z(max) = 0.15x + 0.12 x + 0.09 x + 0.10 x + +0.07 x
Restricciones x + x + x + x + x ≤ 1 500 000 x ≤ 0.10(x + x + x + x + x ) x + x ≤ 0.20(x + x + x + x + x ) x ≥ 0.40( x + x ) x ≥ 0.20(x + x + x + x + x ) x ≤ 0.25(x + x + x + x + x ) x ≥ 0 ;i = 1,2,3,4,5
Variables de no negatividad
Solución
Ápex Televisión debe decidir el número de televisores de 27” y 20”, producidos en una de sus fábricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de 27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombre y uno 20” requiere 10 horas-hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $ 120 y cada uno de 20” da una ganancia de $ 80. Un distribuidor está de acuerdo comprar todos los televisores producidos siempre en cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado. a) formule el modelo de programación lineal. Formulación del modelo:
Definición de variables x = Televisores de 27 in x = Televisores de 20 in
Función Objetivo z(max) = 120 x + 80 x
Restricciones x ≤ 40 x ≤ 10 20 x + 10 x ≤ 500 ft 2 X1, X2, X3 ≥ 0
Solución
Variables de no negatividad
SEGUNDO PARCIAL MÉTODO SIMPLEX El método simplex se basa en el álgebra y se lo emplea para resolver problemas de programación lineal tanto de maximización como de minimización. Es un proceso repetitivo numérico que permite llegar a una solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica, si esta solución básica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así sucesivamente hasta llegar a la solución final. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas). Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex. Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos.
OBJETIVOS Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas para problemas de programación lineal. Determinar cuándo un problema de programación lineal tiene soluciones. Determinar cuándo un problema de programación lineal no tiene soluciones.
PROCEDIMIENTO Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que sea sujeto de solución. Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente es el caso más frecuente de los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+) variables de holgura en los casos de expresión ≤ (igual o meno r), restar (-) variables de
holgura e introducir variables artificiales en los casos de ≥ (mayor o igual) y en los
casos de = se introduce variables artificiales con signo más. ≤ + Variables de Holgura.
+S
≥ - Variables de Holgura + Variable Artificial.
– S + m
= + Variable Artificial.
+m
Ejercicios en clases Ejercicio Nº 1 (max) = + 2
Restricciones: + 3 ≤ 200 2 + 2 ≤ 300 2 ≤ 60
Variables de No negatividad: , ≤ 0
+ 3 + 1 ≤ 200 2 + 2 + 2 ≤ 300 2 + 3 ≤ 60 (max) = + 2 + 0 + 0 + 0
CJ
1
2
0
0
0
Xj
bn
X1
X2
S1
S2
S3
0
S1
200
1
3
1
0
0
0
S2
300
2
2
0
1
0
0
S3
60
0
1
0
0
1
Zj
0
0
0
0
0
0
Cj-Zj
---------
-1
-2
0
0
0
CJ
1
2
0
0
0
Xj
bn
X1
X2
S1
S2
S3
0
S1
20
1
0
1
0
-3
0
S2
180
2
0
0
1
-2
2
X2
60
0
1
0
0
1
Zj
120
0
2
0
0
2
Cj-Zj
---------
-1
0
0
0
2
1
2
0
0
0
CJ
Xj
bn
X1
X2
S1
S2
S3
1
X1
20
1
0
1
0
-3
0
S2
140
0
0
-2
1
4
2
X2
60
0
1
0
0
1
Zj
140
1
2
1
0
-1
Cj-Zj
---------
0
0
1
0
-1
1
2
0
0
0
CJ
Xj
bn
X1
X2
S1
S2
S3
1
X1
125
1
0
-1/2
3/4
0
0
S3
35
0
0
-1/2
1/4
1
2
X2
25
0
1
½
-1/2
0
Zj
175
1
2
1/2
1/4
0
Cj-Zj
---------
0
0
1/2
1/4
0
Análisis: Para obtener una utilidad de 175 se necesita tener en disponibilidad 125 unidades de X1 Y 25 unidades de X2.
17. La firma Kelson Sporting Equipment Inc, fabrica dos tipos de guantes para beisbol, un modelo normal y el modelo para cátcher. La empresa tiene 900 horas de tiempo de producción disponibles en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y envío. Los requisitos de tiempo de producción y las utilidades por guante son las que se presentan en la siguiente tabla: TIEMPO DE PRODUCCION (horas) MODELO
CORTE Y
TERMINADO
EMPAQUE Y
UTILIDAD POR
ENVÍO
GUANTE
COSTURA Normal
1
1/2
1/8
$5
Para
3/2
1/3
1/4
$8
Catcher
e) Suponiendo que la compañía desea maximizar las utilidades ¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar? f) ¿Cuál es la utilidad que Kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción? g) ¿Cuántas horas de producción se programará en cada departamento? h) ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? Variables X1= Cantidad de guantes de modelo normal X2= Cantidad de guantes de modelo para cátcher
Función objetivo Z(max)= 5x 1 + 8x 2
Restricciones Disponibilidad de horas en el departamento de corte y
2 + 3 ≤ 1800
costura
Disponibilidad de horas en el departamento
+ ≤ 300
Disponibilidad de horas en el departamento de empaque y envío
+ ≤ 100
Variables de no negatividad
x 1 , x2>=0
Solución:
Cj
Bn
5
8
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0
s1
900
1
1,5
1
0
0
0
s2
300
0,5
0,3333
0
1
0
0
s3
100
0,125
0,25
0
0
1
zj
0
0
0
0
0
0
5
8
0
0
0
cj-zj
Cj
Bn
0
s1
0
s2
300
5
8
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0,25
0
1
0
-6
0,3333
0
0
1
-
166,668 8
1,3333
X2
400
0,5
1
0
0
4
zj
3.200
4
8
0
0
32
1
0
0
0
-32
cj-zj
Cj
Bn
5
8
0
0
0
X1
X2
S1
S2
S3
0
s1
174,9996
0
0
1
-0,75
-5,0
5
X1
500,0015
1
0
0
3,0
-3,9999
8
X2
149,9993
0
1
0
-1,5
6,0
5
8
0
3,0
zj 3.700,0015 cj-zj
28,0001 0
0
0
-3,0
28,0001
a) 500 guantes de modelo normal y 150 de modelo tipo catcher. b) Una utilidad de 3700 dolares. c) 725h dep CC, 300h dep T Y 100h dep E. d) Existe holgura en el dep CC de175h.
18. La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 por cada unidad que se vende del producto 1, y $30 por cada unidad que se vende del producto 2. En seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los tres departamentos. PRODUCTO 1
PRODUCTO 2
DEPARTAMENTO A
1.50
3.00
DEPARTAMENTO B
2.00
1.00
DEPARTAMENTO C
0.25
0.25
Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 45º horas en el departamento A, 300 horas en el departamento B y 50 horas en el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: d) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?
e) Obtenga la producción óptima ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto y cuál es la utilidad que se proyecta? f) ¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en cada departamento? Variables X1= Unidades a fabricar del producto A X2 = Unidades a fabricar del producto B
Función objetivo Z (max)= 25X 1 + 30X 2
SOLUCIÓN Restricciones: 1.5 X 1 +3X 2 <= 450
Disponibilidad de horas en el departamento A
2 X 1 + X 2 <= 350
Disponibilidad de horas en el departamento B
0.25 X 1 +0.25X 2 <= 50
Disponibilidad de horas en el departamento C
X 1 , X2>=0
Variables de no negatividad
Cj
Bn
25
30
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
0
s1
450
1,5
3
1
0
0
0
s2
350
2
1
0
1
0
0
s3
50
0,25
0,25
0
0
1
zj
0
0
0
0
0
0
25
30
0
0
0
cj-zj
Cj
Bn
25
30
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
30
X2
150
0,5
1
0,3333
0
0
0
s2
200
1,5
0
-
1
0
0
1
0,3333 0
s3
12,5
0,125
0
0,0833
zj
4.500
cj-zj
Cj
Bn
15
30
10
0
0
10
0
-10
0
0
25
30
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
30
X2
100
0
1
0,6667
0
-4
0
s2
50
0
0
0,6667
1
-12
25
X1
100
1
0
-
0
8
0,6667 zj cj-zj
5.500
25
30
3,3333
0
80
0
0
-
0
-80
3,3333
b) 100 unidades del producto 1 100 del producto 2 dando una utilidad de 5500 dólares. c) 450h en dep A, 300h en dep B, 50h en dep C y existe holgura en el departamento B de 50h.
19.La Yard CAre, Inc, fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40n y K50.Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900lb de K40 y 400lb de K50. Cada libra del producto llamado “Jardín Verde” utilizando 3/5lb de K50 y 2/5lb de K50. Cada libra del producto designado como “Atención al Jardín” utiliza
1/4lb de K40 y 1/4lb de K50. Además, un determinado límite sobre la disponibilidad e
Función objetivo Z (max)= 3X2 + 3X2
Restricciones
+ ≤ 900
+ ≤ 400
Disponibilidad en libras de fertilizante K40 Disponibilidad en libras de fertilizante K50
≤ 500
Disponibilidad en materiales de empaque para Atención al Jardín
X1, X2>=0
variables de no negatividad
Solución
Cj
Bn
3
3
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
0
s1
900
0,6
0,25
1
0
0
0
s2
400
0,4
0,25
0
1
0
0
s3
500
0
1
0
0
1
zj
0
0
0
0
0
0
3
3
0
0
0
cj-zj
Cj
Bn
0
s1
3
X1
3
3
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
0
-0,125
1
-1,5
0
1
0,625
0
2,5
0
0
1
0
0
1
3
1,875
0
7,5
0
0
1,125
0
-7,5
0
3
3
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
300,0 1.000,0
0
s3
500
zj 3.000,0 cj-zj
Cj
Bn
0
s1
362,5
0
0
1
-1,5
0,125
3
X1
687,5
1
0
0
2,5
-0,625
3
X2
500
0
1
0
0
1
3
3
0
7,5
1,125
0
0
0
-7,5
-1,125
zj 3.562,5 cj-zj
a) Se debe fabricar 687.5 lb jardin verde y 500 lb atencion al jardin. b) Debe aumentar materia prima de k40.
20. Investment Advisors Inc, es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversipon de $80000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones. ACCIÓN U.S. OIL
PRECIO POR
RENDIMIENTO
INDICE DE
ACCIÓN
ANUAL
RIESGO
$25
$3
0.50
HUB
$50
$5
0.25
PROPERTIES
El índice de riesgo para las acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan se considera que la inversión en U.S Oil es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera la empresa de inversión evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implica altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones. Además la empresa ha fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U.S Oil, que son las más riesgosas ¿Cuántas acciones de cada tipo se debe comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? Variables X1= Cantidad de acciones en U.S Oil. X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties.
Función objetivo Z (max)= 3X 1 + 5X 2
Restricciones 25X 1 + 50 X 2 <= 80000
Disponibilidad de dinero para la inversión
X 1 <=1000
Disponibilidad de acciones para U.S Oil
0.5 X 1 + 0.25 X 2 <=700
Disponibilidad para el índice de riesgo
X 1 , X 2>=0
variables de no negatividad
Solución
Cj
Bn
3
5
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
0
s1
700
0,5
0,25
1
0
0
0
s2
1.000
1
0
0
1
0
0
s3
25
50
0
0
1
0
0
0
0
0
3
5
0
0
0
3
5
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
80.000 Zj
0
cj-zj
Cj
Bn
0
s1
300
0,375
0
1
0
-0,005
0
s2
1.000
1
0
0
1
0
5
X2
1.600
0,5
1
0
0
0,02
zj
8.000
2,5
5
0
0
0,1
0,5
0
0
0
-0,1
cj-zj
Cj 3
Bn X1
800
3
5
0
0
0
X1
X2
s1
s2
s3
1
0
2,6667
0
0,0133
0
s2
200
0
0
-
1
0,0133
0
0,0267
2,6667 5
X2
1.200
0
1
1,3333
zj cj-zj
8.400
3
5
1,3333
0
0,0933
0
0
-
0
-
1,3333
0,0933
a) Se deben comprar 800 acciones de USOIL y 1200 de HUB PROPERTIES.
21.- Considere el siguiente programa lineal: Z(min)=3X1+4X2 Sujeto a: 1X1+3X2≥6 1X1+1X2≥4 VNN: X1*X2≥0 Identifique la región factible y obtenga la solución óptima. ¿Cuál es el valor de la función objetivo? Variables X1= Variable1 X2= Variable 2
Función objetivo Z(min)= 3x 1 + 4x 2
Variables de no negatividad x 1 , x2>=0
Restricciones 1 + 3 ≥ 6
Restricción 1
1 + 1 ≥ 4
Restricción 2
Gráfico
SOLUCIÓN METODO SIMPLEX
Análisis Para una minimización del programa lineal se requiere que la Variable x1 sea igual a 3 y la variable x2 se igual a 1 obteniéndose así una minimización del sistema igual a 15.
23. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: Alimento para perros Bark Bits Canine Chow
Costo por onza $.06 $.05
Proteinas (%) 30 20
Grasas (%) 15 30
Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros?
Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow
Función objetivo Zmin = 0.06 X1 + 0.05 X2
Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5
contenido de proteínas
0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3
contenido de grasas
X1,X2 ≥0;
Variable de no negatividad
Solución:
24.- Jack Kammer ha estado tratando de determinar la cantidad correcta de fertilizante que debe aplicar a su jardín. Después de hacer que la agencia agrícola local analizara el suelo, se le aconsejó ponercuando menos 60 libras de nitrógeno, 24 libras de compuestos de fósforo y 40 libras de compuestos de potasio durante la estación. Se debe aplicar en mayo un tercio de la mezcla, otro tercio en julio y otro tercio a finales de septiembre. Después de verificar en las tiendas locales de descuento, Jack encuentra que en esos momentos una tienda tiene una venta especial de fertilizante empacado. Untipo de los que están en venta es la mezcla 20-5-20 que contiene 20% de nitrógeno, 5% de compuestos de fósforo y 20 % de compuestos de potasio, y se vende a $40 la bolsa de 20 libras. El otro tipo que está en venta es una mezcla de 10-10-5 que se vende en $50 la bolsa de 40 libras. A Jack le gustaría saber cuántas bolsas de cada tipo debe comprar de manera que pueda combinar los ingredientes yformar una mezcla que satisfaga los requerimientos mínimos aconsejados por la agencia agrícola. Al igual que todos los propietarios de casas con jardines grandes, le gustaría gastar lo menos que fuera posible para mantener a su jardín en buen estado. ¿Qué es lo que debe hacer nuestro amigo? Variables X1= Fertilizante 20-5-20 X2= Fertilizante 10-10-5
Función objetivo Z(min)= 40x 1 +50x 2
Restricciones 4 + 4 ≥ 60
Contenido de nitrógeno
1 + 4 ≥ 24
Contenido de fosforo
4 + 2 ≥ 40
Contenido de potasio
x 1 , x2>=0
Variables de no negatividad
Solución
Análisis a) Para la restricción Nitrógeno se requiere 20 lb de fertilizante 20-10-20 y 40 lb de fertilizante 10-10-5. b) Para la restricción del Fosforo se requiere 5 lb de fertilizante 20-10-20 y 40 lb de fertilizante 10-10-5 c) Finalmente, para la restricción del Potasio se requiere tener 20 lb de fertilizante 20-10-20 y 20 lb de
d) fertilizante 10-10-5. La máxima minimización para este modelo será de 60 dólares.
25.- Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: el x y el y. Los registros muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y. a) Muestre la región factible b) Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante el período de 4 semanas? c) Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos teléfonos Y como teléfonos X. d) ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción del inciso (c)? Definición de variables X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y
Función objetivo Zmax = 40X1 + 50X2
Restricciones 3X1 + 5X2 ≤ 600
horas de venta disponibles
X1 ≥ 25
meta mínima de venta
X2 ≥ 25
meta mínima de venta
X1,X2 ≥ 0
Variable de no negatividad
Solución:
26. Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada lata de 16 onzas deCats es una mezcla, o combinación, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean X1 = número de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas. X2 = número de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas. Cada onza del ingrediente A contiene 1/2 onzas de proteínas y 1/8 de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteínas y 1/3 de onza de grasas. Las restricciones implican que una lata de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y no más de 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0.04 por onza y el ingrediente B cuesta $0.03 la onza. ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de16 onzas? Identifique e interprete los valores de las variables de excedente para este problema. Variables X1 = cantidad en onzas del ingrediente A en la lata de 16 onzas. X2 = cantidad en onzas del ingrediente B en la lata de 16 onzas.
Función objetivo:
= 0.04 + 0.03
Restricciones: + = 16
Cantidad de los ingredientes A y B en la lata de 16 onzas
0.5 + 0.10 ≥ 4
Cantidad minima de proteinas
0.375 1 + ≤ 7.5
Cantidad maxima de grasas
, ≥ 0
Solución:
No negatividad
Análisis: La mezcla que tiene un costo mínimo de 0.616$ es 13.6 onzas del producto A Y 2.4 onzas.
27. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. c) Determine cuantas unidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la carretera d) ¿Cuántos ingresos anuales se generaran en esta estrategia de inversión?
Variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero
Función objetivo: = 8 + 3
Restricciones: 50 + 100 ≤ 1200000
Fondos disponibles
5 + 4 ≥ 60000
Ingreso anual
100 ≥ 300000
Unidades en fondo
No negatividad , ≥ 0
Solución:
Análisis: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 4000 unidades a $ 50 en el fondo de acciones y 1000 unidades a $ 200 en el fondo de mercado de dinero con un riesgo mínimo y una ganancia de $ 62000
Además se concluye que existen 700 unidades en fondo que no están siendo utilizadas
28. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? d) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? e) ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? f) ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes? Variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo
Función objetivo: = 1 + 1,5
Restricciones: + ≤ 150
Mezcla de masa
0,25 + 0,5 ≤ 50
Mezcla de aderezo
≥ 50
Venta de pizzas normales
≥ 25
Venta de pizzas de lujo
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Análisis: Bryant’s Pizza debería producir 100 pizzas normales y 50 pizzas de lujo para
maximizar su utilidad a $ 750. Las ventas de pizzas normales tienen un excedente de 50 pizzas, las ventas de pizzas de lujo tienen un excedente de 25 pizzas mientras que las cantidades en mezcla de masa y aderezo no presentan holguras es decir que se consumieron por completo. Además se concluye que existen 25 unidades de mezcla de masa que no están siendo utilizadas y 50 unidades de excedente de pizza de lujo.
29. Wilkinson motors, vende automóviles estándares y camionetas
La
empresa obtiene una utilidad de $400 dólares por cada automóvil que vende y $500 dólares por cada camioneta. La compañía está planeando el periodo para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere en distribuidor es de 2 horas por cada automóvil y de 3 horas para cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. ¿Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades?
f) Mostrar el modelo de programación lineal para el problema g) Identificar las variables de holgura h) Identifica los puntos extremos de la región factible i) Encontrar la solución optima j) Que restricciones son acotables Variables: X1= cantidad de automóviles estándar X2= cantidad de camionetas
Función objetivo: = 400 + 500
Restricciones: ≤ 300
Pedido de automóviles
≤ 150
Pedido de camionetas
2 + 3 ≤ 900
Tiempo de preparación
, ≥ 0
No negatividad
Solución:
Análisis: Wilkinson motors debería pedir 300 automoviles y 100 camionetas para maximizar sus utilidades a $170 000. Hay 50 unidades de automóviles que no están siendo comercializados.
30. - En Ryland Farms, en el noreste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en un máximo de 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y cuantos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades?
d) Muestre el modelo de programación para el problema anterior
