METODO HUNGARO. EJERCICIO RESUELTO 1.
Los tres hijos de Klyne, quieren ganar algo para sus gastos personales
durante un viaje de la escuela al zoológico. El señor Klyne ha destinado 3 tareas para sus hijos: poder el pasto, pintar la cochera y lavar los autos de la familia. Para evitar discusiones, les pide que presenten ofertas de lo que crean que es un pago justo para cada una de las 3 tareas. Se sobreentiende que después los 3 obedeceran la decisión de su papa sobre quien hace cual tarea: podar cubis
pintar
mínimo del renglón
15
10
9
p1=
9
9
15
10
p2=
9
10
12
8
p3=
8
chalanas gato
lavar
podar
pintar
lavar
cubis
6
1
0
chalanas
0
6
1
gato
2
4
0
q1=0
q2=1
q3=0
mínimo de columna podar
pintar
cubis
6
chalanas
0
lavar 0
0
5
1 0 gato 2 3 Celdas con elementos cero son la solución óptima. Quiere decir que cubis va a pintar la cochera, chalanas va a podar el césped y gato lavara los autos. Y el costo total será de (p1+p2+p3) + (q1+q2+q3) => (9+9+8) + (0+1+0)=27. EJERCICIO RESUELTO 2. La
compañía de manufactura "Darkman y Asociados" desea realizar
una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el gr ado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla: maquina 1
maquina 2
maquina 3
mínimo del renglón
Equipo de mant. 1
10
9
5
p1=
5
Equipo de mant. 2
9
8
3
p2=
3
Equipo de mant. 3
6
4
7
p3=
4
maquina 1
maquina 2
maquina 3
Equipo de mant. 1
5
4
0
Equipo de mant. 2
6
5
0
Equipo de mant. 3
2
0
3
mínimo de columna
2
0
0
maquina 1
maquina 2
maquina 3
Equipo de mant. 1
3
4
0
Equipo de mant. 2
4
5
0
Equipo de mant. 3
0
0
3
valor mínimo=
3 maquina 1
maquina 2
maquina 3
Equipo de mant. 1
0
1
0
Equipo de mant. 2
1
2
0
Equipo de mant. 3
0
0
6
Solución: Al equipo de mant. 1 se le asigna la maquina 1, al equipo de mant. 2 se le asigna la maquina 3 y al equipo de mant. 3 se le asigna la maquina 2. Costo: 14. EXPLICACION DEL METODO HUNGARO CON EL METODO SIMPLEX:
El problema de asignación en el que n trabajadores se asignan a n puestos se puede presentar como modelo de programación lineal en la forma siguiente: sea cij el costo de asignar el trabajador i al puesto j , y sea 1, si el trabajador i se asigna al puesto j. X ij = 0, en cualquier otro caso. Entonces el modelo de programación línea es:
∑ ∑
Minimizar z = Sujeto a
=0 o 1
La solución optima de este modelo de programación lineal no cambia si se suma o resta una constante en cualquier renglón o columna de la matriz de costo ( cij ). Para demostrar esto, sean pi y qkj constantes restadas del renglón i y la columna j . Asi, el elemento de costo cij cambia a
Ahora bien,
( ) Como la nueva función objetivo difiere de la original por una constante, los valores óptimos de x ij deben ser iguales, en ambos casos. El desarrollo demuestra q ue los pasos 1 y 2 del método húngaro, que requiere restar pi en el renglón i y después restar q j en la columna j , producen un modelo equivalen de asignación. Si se puede encontrar una solución factible entre los elementos cero que se crearon en la matriz de costo, en los pasos 1 y 2 debe ser optimo, porque el costo en la matriz modificada no puede ser menor que cero. Si los elementos cero que se crearon no pueden producir una solución factible se debe a plicar el paso 2, que consiste en cubrir los elementos cero. La validez de este procedimiento se basa de nuevo en el método simplex de programación lineal, y se puede explicar con la teoría de la dualidad y el teorema de holgura complementaria. La razón por la que (p1+p2+….+pn) + (q1+q2+…+qn) produce el valor objetivo optimo es que representa
la función objetivo dual del modelo de asignación.
Ejercicio propuestos Una fábrica dispone de cuatro obreros para completar cuatro trabajos. Cada obrero solo puede hacer uno de los trabajos. El tiempo que requiere cada obrero para completar cada trabajo se entrega en el Cuadro.
trabajo 1 Obrero 1 Obrero 2 Obrero 3 Obrero 4
14
2 7 2
Tiempo Horas trabajo 2 trabajo 3 5 12 8 4
Trabajo 4 8 6 3 6
7 5 9 10
Ejercicio Resueltos. Mindwest TV Cable company está en el proc eso de proporcionar servicio de cable a cinco nuevas áreas habitacionales. La figura de abajo representa los enlaces posibles de TV entre las cinco áreas. Las millas de cable se muestran en cada arco. Determine la red de cable más económica.
3 millas 5
2 9
1
4 6 3
5
10 5
7
8 4
6 3
Se toma en cuenta al que ti ene el menor arco de todos los nodos y en el primer paso tomamos los nodos de (1-2) en segundo paso de (2-5) y (4-6).
3 millas 5
2 9
1
4 6
1 3
5
10 5
7
8 4
6 3
A continuación vemos los demás arcos y nodos con la condición de que no se forme un bucle y siguiendo el desarrollo tendríamos que unir el nodo de (2-4) y el nodo de (1-3).
3 millas 5
2 9
1
4 6
1 3
5
10 5
7
8
6
4
3
La cantidad mínima de millas necesarias para proporcionar el servicio de cable que se desea resulta ser (1+3+4+3+5)= 16 millas.
Ejercicio 2-. En la figura siguiente se ven la s distancias en millas de l as conexiones factibles que unen nueve pozos marinos de gas natural con un punto de entrega en tierra. Determine la red mínima de tubería que una las bocas de pozo con el punto de entrega.
5 millas
2
1 15 14
6
9
4
9 20
3
6 10
5
5 13
15
8
5
20
3 7
4
12 7
6
7
Se toma en cuenta al que ti ene el menor arco de todos los nodos y en el primer paso tomamos unimos los siguientes nodos: (5-6), (1-5), (5-7), (8-9) y (1-2).
5
2
1 15 14
6
9
4
9 20
3
6 10
5
5 13
15
8
5
20
3 7
4
12 7
7
6
Continuamente seguimos viendo los que tengan valores mínimos en los a rcos y que unan a t odos los nodos sin crear un bucle con algún nodo, y seguimos haciendo
5
2
1 15 14
6
9
4
9 20
3
6 10
5
5 13
15
8
5
20
3 7
4
12 7
7
6
La red mínima de tubería que une las bocas de pozo con el punto de entrega es de: (3+4+6+5+5+7+5+6)=41 millas.
Ejercicio propuesto.-
Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatro máquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tabla adjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretende que sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible.
1
2
3
4
Antonio
10
14
16
13
Bernardo
12
13
15
12
Carlos
9
12
12
11
Diego
14
13
18
16
PROGRAMACION LINEAL ENTERA Los programas lineales enteros son aquellos en los que algunas o todas las variables están restringidas a tener valores enteros (o discretos). La programacio lineal entera tiene aplicaciones practicas importantes. Desafortunadamente, a pesar de décadas extensas investigaciones. Hasta esta fecha no existe un programa de computo para programas lineales enteros que pueda resolverlos en forma consistente. APLICACIONES ILUSTRATIVAS Las aplicaciones de la programación lineal entera de esta selección se inician con formulaciones sencillas, pasando a otras mas complejas en forma gradual EJERCICIO RESUELTO-. Se están evaluando cinco proyectos durante un horizonte de plantación de 3 años. La tabla siguiente muestra los ingresos para cada uno, y sus gastos anuales correspondientes.
1
2
3 ingresos(millones $)
1
5
1
8
20
2
4
7
10
40
3
3
9
2
20
4
7
4
1
15
5
8
6
10
30
25
25
25
fondos disponibles (millones $)
¿Cuáles proyectos se deben seleccionar para el horizonte de 3 años? El problema se reduce a tomar una decisión “si -no”para cadas proyecto. Se define la variable binaria x j como sigue:
x j=
1, si seselecciona el proyecto j 0, si no se selecciona el proyecto j
entonces, el programa lineal entero es: maximizar z= 20x1 +40x2+20x3 sujeta a: 5x1+4x2+3x3+7x4+8≤25 X1+7x2+9x3+4x4+6x5≤25 8x1+10x2+2x3+x4+10x5≤25
X1,x2xx3,x4,x5=(0,1)
La solución lineal entera obtenida con tora es x1=x2=x3=x4=1, x5=0, con z=95 millones de $. Esta soluciónindica que se deben seleccionar todos los proyectos menos el 5.
Presupuesto de capital
Se están evaluando 5 proyecto en un horizonte de planeación de 3 años. La tabla siguiente demuestra los ingresos esperados para cada uno, y sus gastos anuales correspondientes:
Proyecto
1
2
3
Ingresos (millones $)
1
5
1
8
20
2
4
7
10
40
3
3
9
2
20
4
7
4
1
15
5
8
6
10
30
Fondos
disponibles 25 25
25
(millones $) ¿Cuáles proyectos se deben seleccionar para el horizonte de 3 años? El problema se reduce a tomar una decisión “si -no” para cada proyecto. Se define la
variable binaria x; como sigue: Xi =
1, si se selecciona el proyecto j.
0, si no se selecciona el proyecto j.
Entonces, el programa lineal entero es: Maximizar z = 20x 1 + 40 x2 + 20 x3 + 15 x4 + 30 x5 Sujeto a: 5x1 + 4 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 8 x5 = < 25 x1 + 7 x2 + 9 x3 + 4 x4 + 6 x5 =< 25 8x1 + 10x2 + 2 x3 + 1x4 + 10 x5 =< 25 8x1 + 10x2 + 2 x3 + 1x4 + 10 x5 =< 25 x1, x2, x3 , x4, x5 = (0,1) La solución lineal entera (obtenida con Tora ) es x 1 = x2 = x3 = x4 = 1, x5 = 0 , con Z = 95 (millones de $), esta solución indica que se deben seleccionar todos los proyectos menos al 5. Es interesante comparara la solución obtenida conprogramacion lineal continua y con programación entera. El programa lineal optimo, obtenido reemplazando x 1 = (0,1) con 0 =< x1 =< 1 para toda j. da como resultado x 1 = 0.5789, x2 = x3 = x4 = 1, x5 = 0.7368 y z = 108.68 (millones de $). Esta solución no tiene sentido porque dos variables asumen valores fraccionarios . se puede redondear la solución a los valores enteros mas cercanos, con lo cual se obtiene x 1 = X5 = 1. sin embargo, sin embargo la solución resultante no es factible, porque se violan las restricciones. Lo mas importante es que no se debe aplicar el concepto de redondeo, porque x j representa una decisión “si -no” para la cual no tienen sentido los valores fraccionarios.
Problemas de cobertura
Cargo Fijo. Es un modelo mixto En la f.o. aparecen variables enteras y continuas Existe al menos una restricción estructura; Existen restricciones que combinan variable continua con discreta. Ejercicio .Una empresa esta planificando la produccion de 2000 acsesorios en tres maquinas,el volumen minimo del lote en cualquier maquina es de 500 acsesorios. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes de las situaciónes:
maquina
Costo del plan
Costo de
Capacidad(unidades)
producción/unidad 1
300
2
600
2
100
10
800
3
200
5
1200
Xi=numero de accesorios producidos en la maquina1. Yi=1.se renta la maquina i o 0.no se renta la maquina i. Min z=2x1+10x2+5x3+300y1+100y2+200y3 s.a; x1+x2+x3>=2000 x1>=500y1 x2>=500y2 x3>=500y3 x1,x2,x3>=0 x1<=600y1 x2<=800y2 x3<=1200y3
y1,y2e(0,1) después de aplicar el tora, se llega a la siguiente solución:
LOGARITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO. modelo de programación entera el cual resolveremos con el algoritmo de Branch and Bound: max: 4x1+6x2 s.a. 2x1+4x2<=12 4x1+3x2<=16 X1,x2>=0 enteros. Solución
P1 X1=2 x2=2 Z=20
P0 X1=2.8 x2=1.6 Z=20.8
P21 X1=3.25 x2=1 Z=19 P2 X1=3 x2=4/3 Z=20
P22 infactible
MAX Z = 3 X1+ 5 X2 S.a. 1.6x1+8x2<=20 X1,x2>=0 X1,x2 e Z Solución Óptima Única de Programación Lineal: X*1 = 0; X*2 = 5/2; S*1 = 0; Z* = 25/2, más no de Programación Lineal Entera.
X1=0 X2=5/2 X2<=2
X2<=
P2
P1
X1=2/3
infactible
X1<=
X1<=
P
P4
X1=0
X1=1
X2=2 X2<=
X2<=
P6
P5
X1=2 X2=1
infactible
Z=11
Solución Óptima al problema de Programación Lineal Entera: X*1 = 2; X*2 = 1; Z* = 11
Algoritmo de plano de corte. Considerar el problema siguiente. maximizar z = x1 + 2x2 sujeta a 4x1 + 3x2 · 12 ¡x1 + x2 · 2 x1; x2 ¸ 0 y enteros:
Es un problema lineal entero puro. La tabla s¶³mplex ¶optima del problema continuo asociado es B¶asicas z x1 x2 x3 x4 Soluci¶on x1 0 1 0 1=7 ¡3=7 6=7 x2 0 0 1 1=7 4=7 20=7 z 1 0 0 3=7 5=7 46=7
