ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE MASA, CALOR Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Operaciones unitarias Profesora: María del Carmen Barrios Hernández Grupo: IB6A Integrantes: Chan Correa Delia Maleny Torres Gonzalez Yazmín G. Villegas Pacheco Miguel Ángel Sánchez Pérez Leonardo 17/05/2014
Tabla de contenido Introducción .................................................................................................................... 2 Transferencia de cantidad de movimiento ...................................................................... 3 Balance de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones limite ............... 8 Transferencia de calor ..................................................................................................... 8 Procedimientos para establecer ecuaciones de transferencia de calor ..................... 9 Conductividad térmica ............................................................................................... 13 Ejemplo de aplicación ................................................................................................ 14 Ecuación de transferencia ............................................................................................. 16 Conclusiones. ................................................................................................................ 20 Bibliografía .................................................................................................................... 21
Introducción
El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia. La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la transmisión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte de materia de varias especies químicas. En un nivel introductorio, estos tres fenómenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes razones:
A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, biológicos, agrícolas y meteorológicos.
las ecuaciones básicas de los tres fenómenos están relacionadas entre sí, por lo tanto al calcular una ecuación simple de cualquiera de los tres tendrá su base en una ecuación de alguna transferencia.
Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenómenos de transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está hecha de moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares son responsables de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión.
La mayor parte de las ecuaciones de transferencia se hallan cuando un sistema se encuentra en estado estacionario para precisar los cálculos. No se debe confundir un sistema en estado estacionario con un sistema en equilibrio. Un sistema está en equilibrio cuando sus propiedades no cambian en el tiempo, mientras que el estado estacionario es aquél de un sistema cuyas propiedades se mantienen apartadas del medio que lo rodea. Hay sistemas abiertos, cerrados y aislados, y en cada uno la forma de estar en equilibrio es distinta. En todo caso: el tipo de equilibrio dependerá de la interacción que el sistema guarde con el entorno.
Transferencia de cantidad de movimiento Para poder explicar la transferencia de cantidad de movimiento, se necesita explicar la ley de viscosidad newton y la relación con la viscosidad. La transferencia de cantidad de movimiento se relaciona con la dinámica de fluidos, es decir, incluyen los conceptos de flujo laminar y turbulento así como fluidos newtonianos y no newtonianos. Para explicar esta relación con la dinámica de fluidos se empieza con un procedimiento de ecuaciones que están ligados a los problemas que se presentan con estos fluidos. Se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, separadas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea un gas o un líquido. Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f
=
O la placa inferior se pone en
movimiento en la dirección x positiva a una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una licuadora a gran velocidad).
Para mantener el movimiento en la parte inferior requiere de una fuerza constante F, el cual viene dado por: F/A=μ*(V/Y)
La fuerza impulsora para la transferencia es una diferencia de concentración o un gradiente de concentración, de la misma forma que una diferencia de temperatura o un gradiente de temperatura constituye la fuerza impulsora para la transmisión de calor.
Donde la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad. Para explicar este ejemplo se requiere de la fórmula de la ley de viscosidad de Newton a partir de la ecuación anterior, entonces lo que se hace primero es sustituir el símbolo
Txy
que es la fuerza en Ia
dirección x sobre un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V/Y se sustituye por -dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación se convierte en: dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de Newton. Txy=- μ dv,/dy
Nota: esta ecuación se considera una ley empírica. El signo menos indica que la velocidad decrece a medida que se asciende en el eje “y”.
La ley de Newton de la viscosidad es una forma unidimensional de una ley más amplia denominada Ley de Stokes, que tiene en cuenta no sólo el transporte de cantidad de movimiento „x‟ en el eje „y‟ (tyx), sino también el resto de las posibilidades: txx, txy, txz, txx...
æ t xx t xy t xz ö ç ÷ τ = çt yx t yy t yz ÷ = - m Δ çt ÷ è zx t zy t zz ø
Tensor “velocidad de deformación”, que incluye las derivadas de todos los componentes de la velocidad respecto de todas las direcciones del espacio.
Tanto la Ley de Newton como la Ley de Stokes se pueden considerar la definición de un tipo de fluidos, llamados fluidos newtonianos. Los fluidos que la siguen se denominan newtonianos y los que no la siguen, no newtonianos. Son newtonianos todos los gases y los líquidos „sencillos‟, es decir, los formados por moléculas pequeñas (agua, etanol, plomo fundido, nitrógeno líquido...). Los fluidos no newtonianos son aquellos que no pueden ser descritos mediante la ley de Newton, salvo que se considere que la viscosidad no es constante, sino que depende del esfuerzo o de la velocidad de deformación. La viscosidad es entonces una „viscosidad aparente‟, ma. (Además, y en todo caso, la viscosidad depende de la temperatura y de la presión.)
yx T , P, yx
d vx d vx a dy dy
Algunas veces nos referimos a la ley de viscosidad de Newton en términos de fuerza y otras veces en términos de cantidad de movimiento. A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v para representar la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así, V=μ/p
A esta cantidad se le denomina viscosidad cinemática. También se presenta el siguiente cuadro con algunas unidades que se viscosidad:
han definido para la
La viscosidad dinámica dividida entre la densidad
del
fluido
se
conoce
como
viscosidad cinemática. Las unidades de viscosidad cinemática con (SI) 1 m2 s-1 y (CGS) 1 St (Stokes) = 1 cm2 s-1. La
gráfica
de
la
derecha
muestra
la
viscosidad de algunos de los fluidos más comunes.
Algunos mecanismos para encontrar la cantidad de movimiento o en todo caso la viscosidad, esta última es la que está más relacionada con esta transferencia. Cuando se carece de datos experimentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utilizando otros datos sobre la sustancia dada, tales como la presión y la temperatura. Existe una gráfica para explicar la dependencia de la viscosidad con respecto a la P y la T°. Nota: la gráfica que se menciona se puede encontrar en la referencia [1] de este documento. La grafica que se menciona muestra un panorama global de esta dependencia. La viscosidad reducida, μr=μ / μc, se grafica contra la temperatura reducida Tr = T/Tc, para varios valores de la
presión reducida Pr =
P/Pc,
Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adimensional
dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto crítico. Sin embargo, se puede estimarse en una de las siguientes formas: i) si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas dadas, de preferencia en condiciones cercanas a las de interés, entonces, μ, puede calcularse a partir, μr=μ / μc o bien, ii) si se cuenta con datos de
pV-T críticos, entonces, μc puede estimarse a partir de estas relaciones empíricas: 1) μc = 61.6(MTc)1/2 (Ṽc)-2/3
2)μc = 7.70M1/2 Pc2/3 Tc-1/6
La cantidad de movimiento puede, además, transporte por medio de flujo volumétrico del fluido, y este proceso de denomina transporte convectivo. En el centro del cubo (ubicado en x, y, z) el vector de velocidad del fluido es v. el caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es vx. Este fluido lleva consigo una cantidad de movimiento
por volumen unitario. Por tanto la densidad de flujo de la
cantidad de movimiento a través del área sombreada es
menor x hacia la región mayor
x. de manera semejante, la densidad d flujo de cantidad de movimiento a través del área sombreada en (b) es
, y la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área
sombreada en (c) es
.
Estos tres vectores
describen la densidad de flujo de cantidad de
movimiento a través de las áreas perpendiculares a los ejes respectivos. Cada uno de estos tres vectores tiene una componente x-, y- y z-. La colección de nueve componentes escalares proporcionales en la imagen de arriba puede representarse como:
Si un fluido fluya a través de la superficie
con una velocidad v, entonces el caudal
volumétrico a través del a superficie, desde al lado negativo hacia el lado positivo, es
. Por tanto el caudal de movimiento a través de la superficie es densidad d flujo de cantidad de movimiento convectivo es (n*v)
, y la
. Según las reglas para la
notacion vector-tensor proporcionadas, lo anterior tambien se puede describir como ; es decir el producto del vector normal unitario n con el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo
.
Balance de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones limite Se presenta el siguiente diagrama para un flujo estacionario, el cual es un planteamiento de la conservación del movimiento:
velocidad
velocidad
velocidad
velocidad
de entrada de
de salida de
de entrada de
de salida de
cantidad
cantidad
cantidad de
cantidad de
de movimiento
de movimiento
movimiento -
movimiento
por transporte
por transporte convectivo
por transporte
por transporte
.molecular
.molecular
convectivo
fuerza de gravedad que actua sobre el sistema
0
Al usar las componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado " ϕ, el diagrama queda de la siguiente forma:
(Bird, Stewart, & Lightfoot, 1976)
Transferencia de calor Cuando dos objetos que están a temperaturas diferentes se ponen en contacto térmico, el calor fluye desde el objeto de temperatura más elevada hacia el de temperatura más baja. Este flujo se lleva a cabo en dirección hacia la temperatura decreciente. Existen tres mecanismos por los que se transfiere el calor: Conducción, convección y radiación.
Procedimientos para establecer ecuaciones de transferencia de calor
Cuando hablamos de un flujo por conducción nos referimos a que el calor el calor puede fluir sin que exista un movimiento notable en la materia y de acuerdo con la ley de Fourier el flujo de calor es proporcional al gradiente de la temperatura y de signo opuesto. Si consideramos el flujo de calor en una dirección la ecuación que lo expresa sería:
Donde q = velocidad del flujo de calor en dirección normal a la superficie A = área de la superficie T = temperatura x = distancia normal a la superficie k = constante de proporcionalidad o conductividad térmica
Para materiales isotrópicos, en donde la conductividad térmica es la misma en todas las direcciones, la ley de Fourier se transforma como resultado de la comparación del vector flux que resulta proporcional al gradiente de temperatura pero está dirigido en sentido opuesto:
En resumen, en un material isotrópico, el calor fluye en dirección al descenso de la temperatura. En coordenadas cilíndricas, esta ecuación se transforma en:
En coordenadas esféricas se expresa como:
Conducción en estado estacionario Para esta medición se asume que k es independiente de la temperatura y así se puede encontrar la velocidad de flujo de calor. Debido a que en el estado estacionario no existe acumulación ni pérdida de calor dentro del bloque, q es constante a lo largo del trayecto del flujo de calor. Si x es la distancia desde el lado caliente, la ecuación básica de conducción se puede transformar a:
Puesto que las únicas variables en la ecuación son x y T, al integrarlas directamente da:
Donde x2 – x1= B = espesor de la capa aislante T1 – T2 = ΔT = caída de temperatura a lo largo de la capa Cuando nos referimos a un flujo de calor asociado con el movimiento de un fluido entonces estamos hablando de transferencia por convección. Este tipo de flujo por lo general, por unidad de aire, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la superficie y la temperatura del fluido, como se establece en la ley de Newton de enfriamiento:
Dónde: Ts = temperatura de la superficie Tf = temperatura global del fluido, más allá de la superficie h = coeficiente de transferencia de calor
El coeficiente de transferencia de calor por convección depende de la densidad, viscosidad y velocidad del fluido, así como de sus propiedades térmicas (conductividad térmica y calor específico). La resistencia térmica en la transferencia de calor por convección viene dada por:
Radiación es el término que se emplea para designar a la transferencia de energía a través del espacio por medio de ondas electromagnéticas. Si esta radiación viaja a través de un espacio vacío, no habrá ningún cuerpo que absorba esa energía por lo que no se transferirá. Sin embargo, cuando existe un cuerpo capaza de absorber esa energía y se encuentra en su
trayectoria, este la tomara y la energía se verá reflejada en forma de calor, manifestación que es cuantificable. Una superficie negra o mate absorbe la mayor parte de la radiación que recibe y la energía absorbida es transformada cuantitativamente en calor. La energía emitida por un cuerpo negro o un radiador perfecto es proporcional a la temperatura absoluta elevada a la cuarta potencia
Donde
Wb = velocidad de emisión de la energía radiante por unidad de área
σ = constante de Stefan-Boltzmann
T = temperatura absoluta
Si un cuerpo negro irradia a un recinto que lo rodea completamente y cuya superficie es también negra (es decir absorbe toda la energía radiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante por unidad de tiempo viene dada por:
T1: Temperatura del cuerpo negro en Kelvin T2: Temperatura superficial del recinto en Kelvin (Warren L. McCabe, 2007) Reflectividad: ρ Es la fracción de calor incidente sobre el cuerpo que se refleja. Absortividad: α Es la fracción que se absorbe. Transmisividad: τ Es la fracción de energía incidente transmitida a través del cuerpo. Emisividad: Es la efectividad del cuerpo como un radiador térmico a una temperatura. Es la
relación de la emisión de calor a una temperatura dada a la emisión de calor desde un cuerpo negro a la misma temperatura.
Se conoce como cuerpo gris a uno que emite solo una fracción constante de la emisión del cuerpo negro por cada longitud de onda. Un cuerpo gris emite radiación según la expresión
Cuando en un problema de transferencia intervienen varias resistencias térmicas en serie, en paralelo, o en combinación de ambas formas, es conveniente definir un coeficiente de transferencia de calor global o conductancia global.
Ejemplo de transferencia de calor.
Conductividad térmica La constante de proporcionalidad k es una propiedad física de la sustancia que se denomina conductividad térmica. Al igual que la viscosidad newtoniana μ, es una de las propiedades de transporte del material.
En unidades de ingeniería, q (velocidad de flujo) se mide en watts o Btu/h y dT/dx en °C/m o °F/ft. Entonces las unidades de k son W/m*°C o Btu/ft2*h*(°F/ft), lo cual puede escribirse como Btu /ft*h*°F. La ley de Fourier establece que k es independiente del gradiente de temperatura, pero no necesariamente de la temperatura misma. Por otra parte, k es una función de la temperatura, pero no fuertemente. Para pequeños intervalos de temperatura, k se considera constante. Para intervalos mayores se calcula con:
Donde a y b son constantes empíricas. Los gases tienen conductividades térmicas de un orden de magnitud menor que las de los líquidos. Para un gas ideal, k es proporcional a la velocidad molecular promedio, a la trayectoria libre media y a la capacidad calorífica molar. Para gases monoatómicos, un modelo de esfera dura da la ecuación teórica:
Donde T = temperatura, K M = peso molecular σ = diámetro efectivo de colisión, Å K = conductividad térmica, W/m · K
Ejemplo de aplicación Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas superficiales T1 y T2 para:
Desde T2 a T ∞ se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la fórmula:
Reemplazando:
Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto utilizamos la fórmula:
Ecuación de transferencia Para establecer una ecuación de transferencia existen varios métodos que involucran la respuesta del sistema con respecto al tiempo asumiendo que los valores iniciales son nulos. Debemos considerar que las ecuaciones de transferencia de masa y calor se basan en la descripción del comportamiento del calor y la masa con respecto al tiempo por lo que se usan principalmente ecuaciones diferenciales. Por lo tanto se utilizan varios métodos de cálculo diferencial para acoplarlos a nuestros datos y así obtener modelos matemáticos que describan nuestros sistemas de transferencia. Un método práctico y muy efectivo para obtener la función de transferencia del sistema es obtenerla directamente a partir de la curva de respuesta del sistema. Para identificar la función de transferencia del sistema se recurre a los métodos de Strejc, Davoust y Broida (Paschoal, 1991 )
Tm Tiempo muerto del proceso. Desde el instante en que se aplica la entrada al proceso hasta que el proceso responde a la entrada aplicada.
Δh Cambio total en la salida. Es la variación total del proceso desde el su estado de equilibrio hasta que este vuelva a estabilizarse
Δu Cambio total en la entrada. Es la variación aplicada al proceso (entrada tipo escalón).
Identificación del modelo según el método de Ziegler y Nichols El modelo propuesto por Ziegler y Nichols puede utilizarse para obtener un modelo de primer orden más tiempo muerto, representado por la ecuación:
Donde los parámetros a determinar son: τ
Constante de tiempo del proceso
θ
Tiempo muerto del proceso
Gp
Ganancia del proceso
La ganancia del proceso se obtiene a partir de la división del cambio total en la salida entre el cambio total en la entrada:
Para obtener los parámetros restantes, se traza una recta tangente a la curva de reacción del proceso en su punto de inflexión
El tiempo transcurrido desde el instante en que se aplica el escalón de entrada hasta el punto en que la recta tangente corta al eje del tiempo, es el tiempo muerto “Tm”. Asimismo, a partir de ese instante hasta que la recta tangente corta el valor final de la salida es la constante de tiempo. “τ”. (Masco, 2010) Método de diferencias finitas. Este es un método numérico que puede predecir la evolución de las temperaturas atreves de cuerpos sólidos. (Virseda)
El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.
Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados
El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.
(GARCÍA)
El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del plano en el que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada. Los puntos de la malla están separados una distancia h en ambas direcciones x e y. Podemos desarrollar T(x,y) en serie de Taylor alrededor de un punto:
Sumando miembro a miembro, agrupando, despreciando los términos o(h3) y despejando el término de la derivada segunda resulta:
De forma similar se obtiene la expresión equivalente:
Pero de la ecuación de Laplace:
Por lo tanto:
Lo que significa que el valor de la temperatura en un punto se puede escribir como la media de las temperaturas de los 4 puntos vecinos.
Método analítico Los métodos analíticos están basados en la resolución directa de la ecuación diferencial de transmisión de calor por conducción. Dentro de este grupo, los distintos métodos existentes establecen para su resolución simplificaciones, limitaciones de aplicación que faciliten la resolución de la ecuación diferen-cial o la aplicación de herramientas matemáticas que aunque de difícil resolución pueden resultar de fácil aplicación con la utilización de ordenadores. Entre estos últimos se encuentra el método de La Función de Transferencia, el cual se basa en que las características de todo sistema pueden ser descritas mediante el establecimiento de una relación entre una función excitación (temperatura exterior) y la respuesta del sistema a ella, Este método fue propuesto por primera vez por Nessi y Nisolle.
Conclusiones. Cuando se habla de fenómenos de transporte se mencionan dentro de su desarrollo en manejo de tres aspectos fundamentales la transferencia de materia en el sistema, la dinámica que presentan los fluidos, si los hay, y la transmisión de calor que se provocan en el sistema. En la dinámica de fluidos el transporte de fluidos está estrechamente relacionado con la cantidad de movimiento, a su vez la transmisión de calor consta del trasporte que existe de
energía, como la transferencia de materia estudia el transporte de materia que hay entre varias especies químicas. La mayor parte de las ecuaciones que se utilizan para estos casos fueron diseñadas cuando los sistemas se encuentran en estado estacionario con el fin de que los cálculos fueran más exactos. En estas ecuaciones existen las que tratan de explicar las de trasferencia de cantidad de movimiento y para que esto se a más claro se debe hablar la ley de la viscosidad de newton. Así mismo la transferencia de cantidad de movimiento habla de la dinámica de fluidos, que quiere decir que dentro de estos cálculos se verán los conceptos de flujo laminar y turbulento, pero sobre todo fluidos newtonianos y no newtonianos. Entonces la cantidad de movimiento puede ser el transporte de un flujo volumétrico que hay en un fluido se denomina transporte convectivo. Ahora bien cuando se habla de transferencia de calor podemos mencionar que pueden existir dos o más cuerpos y estos se encuentran a temperaturas diferentes va a haber un intercambio en el calor que hay en estos cuerpos del objeto que tenga una temperatura más elevada al que tenga una más baja. El transporte de calor se puede dar por tres medios ya sea por conducción, convección, o por radiación.
Bibliografía Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (1976). Fenómenos de transportes. Buenos Aires: Reverté. GARCÍA, G. H. (s.f.). Geofísica UNAM. Recuperado el 18 de 05 de 2014, de http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/hidrogeologia/NotasCurso/1-MDF1_1-10.pdf Masco, J. F. (2010). Modelamiento Experimental del Intercambiador de Calor de Tubos y. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ.
Paschoal, E. (1991 ). Identificacão de Processos. Belo Horizonte. Virseda, P. (s.f.). Métodos de transferencia de calor en la refrigeración y congelación de alimentos. ALIMENTACIÓ, equipos y tecnología, 161-167. Warren L. McCabe, J. C. (2007). Operaciones Unitarias En Ingeniería Química (7° ed.). México: McGrawHill.
