Exercícios resolvidos (Lista 4)
1) Traçar para a grelha isostática dada abaixo os diagramas de esforço cortante, momento fletor e momento torsor. A seguir, calcular o deslocamento vertical do nó 1, considerando tanto o efeito do momento fletor quanto o efeito do momento torsor. Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão e 4
2
torção, sendo EI=10 kN/m e GIt=2EI.
2
4
3
1 kN/m 4
2
2 kN
3
2m
8
1
1
4 kN.m
2 kN 2m 8 5
6
7
5 7
6
1m
Cálculo das reações:
1 kN/m 4
2
2 kN
3
V3
V2 1
4 kN.m
2 kN 8
5 7
6
V5
⇒
Σ M5− 2 = 0 :
4 + V3 (2 ) − 4 (1) − 2 (2) = 0
Σ M2 −3 = 0 :
V5 (4 ) − 2 (2) − 4 (2) − 2 (2) = 0
ΣV = 0:
− 2 − 4 − 2 + 2 + 4 + V2 = 0
⇒
V3 = 2 kN
⇒
V5 = 4 kN
V2 = 2 kN
1m
Diagrama de esforço cortante:
2 kN +
0.0 + 2m 2 kN 2 kN 4 kN
+ 2 kN +
+ 2 kN
Diagrama de momento fletor:
4 kN.m + 2 kN.m 4 kN.m
6 kN.m + 2 kN.m
4 kN.m
+
4 kN.m
Diagrama de momento torsor:
4 kN.m 0.0
+ -
4 kN.m
6 kN.m
-
0.0 0.0 4 kN.m 6 kN.m
Deslocamento do nó 1:
Carga e reações virtuais:
1 kN 0.0
1/2 kN
1/2 kN
Diagrama de momento fletor virtual:
2 kN.m 1/2 kN.m 0.0
-
-
+
2 kN.m
0.0 0.0 + 1/2 kN.m
Diagrama de momento torsor virtual:
0.0 0.0
1/2 kN.m
2 kN.m
2 kN.m -
0.0 0.0
0.0 1/2 kN.m
Combinação de diagramas de momentos fletores:
+
3.0 kN.m
1.0 kN.m
1
= *
2
3 EI
3.0 kN.m
* (− 4 )(− 2 ) =
16 3 EI
+
3.0 kN.m
=
1 2
*
8.5 kN.m
1 EI
1 1 = 2 EI
* (− 4 ) −
8.5 kN.m
-
=
+
-
+
3.0 kN.m +
+
3.0 kN.m
0.5 kN.m
1.0 kN.m
2 1 * (4 ) = 3 EI 2 3 EI
1
= *
+
4 kN.m
2 kN.m
6 kN.m
4 kN.m =
1
4 kN.m
+
+
+
2 kN.m
-
=
somando:
=
1
*
4
2 EI
* (4)(2 ) +
1
*
4
3 EI
* (2)(2) =
2 16 16 1 34 +1+ + + 16 = 17 EI 3 3 3 EI 3 1
*
16 EI
+
16 3 EI
Combinação de momentos torsores:
-
4 kN.m
2 kN.m
-
=
-
GI t
* (− 4 )(− 2 ) =
8 GI t
=
4 EI
6 kN.m
-
somando: =
1
1/2 kN.m
1 4 + EI
=
3 3 1 * (− 6) − = = GI t 2 GI t 2 EI 1
3
; logo, o deslocamento do nó 1 será:
2
1 34 3 −4 + 17 + 4 + = 33.83 *10 m EI 3 2
δ1 =
2) Traçar para a grelha isostática os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e momento torsor (DT), destacando os valores extremos. Perde-se também mostrar o equilíbrio dos momentos fletores e torsores nos nós da grelha.
3
2 kN
4
4
3
1m 7
5
2 kN/m
7
1m
5
2 kN
1
1
2 kN 2
2
6
6
1m
4m
Cálculo das reações:
2 kN 4 3
V4 = 3.5 kN
2 kN/m
7 5
2 kN
2 kN 2
6
1
V7 = 5 kN
V2 = 5.5 kN
Σ M 2−4 = 0 :
2 (1) + 2 (1) + V7 (4) − 8 (2) − 2 (4) = 0
Σ M1− 2 = 0 :
− 2 (2 ) + V4 (2) − 8 (1) + 5 (1) = 0
Σ V = 0:
− 2 − 2 − 8 − 2 + 5 + 3.5 + V2 = 0
⇒
⇒ ⇒
V7 = 5 kN
V4 = 3.5 kN V2 = 5.5 kN
Diagrama de esforço cortante: 1.5 kN
-
5 kN
2 kN
+ + 3.5 kN
+
2.5 m
+ 2 kN
-
2 kN
3 kN
Diagrama de momento fletor:
2 kN.m
-
4 kN.m 2 kN.m
+ 2 kN.m
+
1.5 kN.m
+
2.25 kN.m
3.5 kN.m
-
Diagrama de momento torsor:
0.0
-
2 kN.m
+
2 kN.m
+ 2 kN.m
0.0
0.0
Equilíbrio no nós:
2 1.5
4
2
Nó 5 2
3.5 2 2
Nó 2, 4 e 7
3) Traçar para a grelha dada abaixo os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e momento fletor (DT), destacando os valores extremos. Pede-se também mostrar o equilíbrio dos momentos fletores e torsores nos nós da grelha.
3
4 kN
4
7
4 kN 4
3
2m 7
2 kN/m
5
2m
6
1
4 kN
1
6
5
2
2
1m
4m
Cálculo das reações:
4 kN 3
4 kN 4
V4 = 9 kN
7
2 kN/m
5
6
V6 = 6 kN 4 kN
1
2
V2 = 5 kN
Σ M2−4 = 0 :
4 (1) + 4 (1) − 4 (4) − 8 (2) + V6 (4) = 0
⇒
V6 = 6 kN
Σ M1− 2 = 0 :
4 (4 ) + 8 (2) + 4 (4) − 6 (2) − V4 (4) = 0
⇒
V4 = 9 kN
ΣV = 0:
− 4 − 4 − 8 − 4 + 6 + 9 + V2 = 0
⇒
V2 = 5 kN
Diagrama de esforço cortante:
5 kN 4 kN
-
4 kN
6 kN
+
+
1m
+ 2 kN
1 kN
-
4 kN
Diagrama de momento fletor:
4 kN.m
-
8 kN.m
8 kN.m
2 kN.m
+ +
4 kN.m
1 kN.m
+
10 kN.m
Diagrama de momento torsor:
4 kN.m 0.0
-
8 kN.m
-
+ 0.0 4 kN.m
0.0
Equilíbrio dos nós:
4 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
10 kN.m 8 kN.m 8 kN.m
2 kN.m
8 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
4) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor (DM) mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. A seguir, usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais Complementar (PTVC), calcular o deslocamento vertical do nó 2 ( δ2). 4
2
Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 10 kN/m .
3 kN/m
2 kN
5
4
2
2m
6
2 kN/m
3
2m 7
1
2m
6m
Cálculo das reações de apoio:
3 kN/m
2 kN
2
5
4
6 3
2 kN/m
1
7
H1 = 2 kN
H7 = 6 kN V7 = 9 kN
V1 = 11 kN
ΣV = 0:
− 18 − 2 + V1 + V7 = 0
ΣH = 0:
8 − H1 − H 7 = 0
⇒
M7 = 12 kN.m
⇒
⇒
− 8 (2 ) − 18 (2) + 2 (2) + V7 (6) + M 7 = 0
Σ M1 = 0 :
(a )
V1 + V7 = 20 (b) H1 + H 7 = 8
⇒
6 V7 + M 7 = 66
Σ M 3 inf = 0 :
− H1 (2 ) + 4 (1) = 0
Σ M 3 sup = 0 :
− 4 (1) + 2 (2) − 18 (3) − H 7 (2) + V7 (6) + M 7 = 0
⇒ Σ M 6 inf = 0 :
− 2 H 7 + 6 V7 + M 7 = 54 − H 7 (2 ) + M 7 = 0
⇒
H 1 = 2 kN
(d ) H7 =
1 2
M7
Substituindo-se (e) em (d), (c), (a) e (b); chega-se a:
V1 = 11 kN H1 = 2 kN V7 = 9 kN H 7 = 6 kN M 7 = 12 kN.m
(e)
(c)
Diagrama de esforço cortante:
3m 9 kN + -
6 kN
-
2 kN
-
9 kN +
+ 6 kN
2 kN
Diagrama de momento fletor:
12 kN.m
12 kN.m
4 kN.m
-
8 kN.m
-
-
12 kN.m
+ 1.5 kN.m
+
1 kN.m
+ 12 kN.m
Deslocamento vertical no nó 2: A estrutura com a carga virtual e as reações verticais é:
1 kN
4/3 kN
1/3 kN
logo, o diagrama de momento fletor virtual será:
2 kN.m -
0.0
0.0
Fazendo as combinações dos diagramas de momentos, tem-se:
-
4
-
2
1
=
2
*
3 10
4
* (− 4 )(− 2 ) =
16 3
*10 − 4
12
-
2
-
=
1
6
*
2 104
* (− 12)(− 2 ) = 72 *10 −
4
+
13.5
1
-
2
= *
6
3 10
4
* (13.5)(− 2 ) = − 54 *10 − 4
logo:
δ2 = 23.3*10-4 m
5) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor (DM), mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. a seguir, usando o Princípio dos Trabahos virtuais Complementar, calcular o deslocamento vertical do nó 2 ( δv2). Todas as -4
2
barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 10 kN/m .
2 kN
3 kN/m
4
3
2
1m
5
1m
2 kN
6
1
1m
4m
Cálculo das reações:
2 kN
3 kN/m
4
3
2
5
2 kN
6
1
H6 = 2 kN
V6 = 5 kN V1 = 9 kN
ΣV = 0:
− 12 − 2 + V1 + V6 = 0
ΣH = 0:
2 − H6 = 0
⇒
M6 = 2 kN.m
⇒
V1 + V6 = 14
H 6 = 2 kN
⇒
Σ M 5 inf = 0 :
− H 6 (1) + M 6 = 0
Σ M 5 sup = 0 :
− V1 (4 ) + 2 (1) + 2 (5) + 12 (2) = 0
H6 = M6
⇒
V1 = 9 kN
logo:
V1 = 9 kN V6 = 5 kN H 6 = 2 kN M 6 = 2 kN.m
Diagrama de esforço cortante:
7 kN
+ -
-
2 kN 5 kN
-
+
2 kN
2 kN
Diagrama de momento fletor:
6 kN.m 2 kN.m
2 kN.m
-
-
+
4 kN.m
-
2 kN.m
2.17 kN.m
2 kN.m
+
Deslocamento vertical do nó 2:
A carga virtual, as reações virtuais e o diagrama de momentos fletores virtuais são:
1 kN.m 1 kN
-
3/4 kN
1/4 kN
Combinando os diagramas reais e virtuais, tem-se:
6 kN.m 2 kN.m
-
= 1 kN.m
1
*
4
* (− 1)[− 2 + 2 (− 6)] =
6 10 4
28 3
-
1 kN.m
-
1
= *
+ 6 kN.m
-
3 10
4
* (− 1)(+ 6) = − 8 *10 −
2 kN.m
1
= * 1 kN.m
-
4
1
3 10
4
* (− 2 )(− 1) =
2 3
*10 −
4
4
*10 −
4
logo:
δ2 = 2*10-4 m
6) Calcular para o pórtico isostático dado abaixo, usando o PTVC e considerando apenas o efeito do momento fletor, a rotação da tangente à elástica no apoio 10. Todas as barras têm a mesma rigidez a 4
2
flexão, sendo EI=10 kN/m .
2 kN/m 2 kN.m
4 8
5
2m 6
3 kN.m 2
3
2m
7 9
2m 1
2m
10
2m
2m
Cálculo das reações:
Dividindo as estrutura da forma:
2 kN.m
2 kN/m
4
8 5
6
H6 = 0.5 V6 = 9.25
V6 = 9.25 H2 = 0.5
2
H6 = 0.5 V2 = 2.75
3 kN.m
V2 = 2.75 3
9
7
H2 = 0.5
10
1
H10 = 1.5
H1 = 1.5 V1 = 8.5
V10 = 3.5
Parte superior:
ΣV = 0: ΣH = 0:
V2 + V6 − 12 = 0 H2 − H6 = 0
Σ M 4esq = 0 :
− 2 + H 2 (4) = 0
Σ M 4dir = 0 :
− 12 (3) −
1 2
⇒
H2 =
(2) + V6 (4) = 0
1 2
kN
⇒
V6 = 9.25 kN
logo:
H 2 = 0.5 kN V2 = 2.75 kN H 6 = 0.5 kN V6 = 9.25 kN
Parte inferior:
ΣV = 0:
V1 + V10 − 2.75 − 9.25 = 0
ΣH = 0:
H1 − H10 = 0
Σ M 9dir = 0 : 3 − H10 (2 ) = 0
⇒
H10 = 1.5 kN
Σ M 9esq = 0 : − 3 − 0.5 (2 ) + 9.25 (2 ) + 2.75 (6) − V1 (4) + 1.5(2) = 0 ⇒
logo:
H1 = 1.5 kN V1 = 8.5 kN H10 = 1.5 kN V10 = 3.5 kN
V1 = 8.5 kN
Diagrama de momento fletor:
5 k N. m 4 k N .m
-
-
2.0kN.m
+
1 kN.m
-
1.8kN.m
-
8.5kN.m
3 k N. m
5.5kN.m
3 k N .m
-
1 k N. m
-
-
+
3 kN.m
-
+
3 kN.m 4 k N. m
5 kN.m 1 kN.m 4 kN.m 3 kN.m
4 kN.m
1 kN.m
5.5 kN.m 8.5 kN.m 3 kN.m
Rotação no apoio 10:
O momento virtual e as reações virtuais são:
8
5
6
2
3
7 9
1 kN.m 1
10
0.5
0.5 0.25
0.25
O diagrama de momento virtual é:
0.0
0.0
0.0
0.0
1 kN.m
0.0
+
+ 0.5 kN.m
1 kN.m
1 kN.m
+
combinação dos diagramas de momentos:
3.0 kN.m
+
1.0 kN.m
1
= *
2
3 EI
3.0 kN.m
* (− 3)(+ 1) = −
2 EI
-
1
1.0 kN.m
= *
2
6 EI
* (− 3)(− 1) =
8.5 kN.m
1 EI
8.5 kN.m
+
=
-
+
3.0 kN.m +
3.0 kN.m
0.5 kN.m
1.0 kN.m
1
= *
2
6 EI
* (− 8.5) 2 +
+
1
1
2
+ * * (3)(1 + 1) = 0 2 6 EI
3.0 kN.m
3.0 kN.m
+
-
=
4.0 kN.m
+
+
4.0 kN.m
-
0.5 kN.m
1 2 1 4 1 1 + * (− 3) + * * (4) = − 6 EI 2 3 EI 2 EI 3 EI 2 1
= *
2
logo, a rotação no nó 10 será:
φ10 = −
1 EI
−
1 2 EI
+
4 3 EI
= − 1.67 *10 −5 rad
7) Classificar a estrutura dada abaixo, mostrando claramente as restrições e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados.
2 kN/m 3 kN 2
6
7
9
8
2m
3
5
4
4 kN.m
2m 1
2m
10
2m
4m
6 G L
ISO
6R
2m
Cálculo das reações:
2 kN/m 3 kN 2
6
3
7
5
4
4 kN.m
1
H1
9
8
10
H10
V10
V1
⇒ V1 + V10 = 16 ⇒ 3 + H1 − H 10 = 0 H1 − H10 = − 3 ΣH = 0: ⇒ V10 − H 10 = 9 Σ M 7dir = 0 : − 12 (3) + V10 (4) − H10 (4) = 0 Σ M 7esq = 0 : − 4 + 4 (1) − V1 (2) + H1 (4) = 0 − V1 + 2 H1 = 0 ⇒ ΣV = 0:
− 16 + V1 + V10 = 0
Resolvendo as equações, chega-se a:
V1 = 2.67 kN H1 = 1.33 kN V10 = 13.33 kN H10 = 4.33 kN
Diagrama de esforço normal:
-4.33 kN
0.0
0.0
-2.67 kN 0.0 -13.3 kN
-3 kN -2.67 kN
Diagrama de esforço cortante:
1.34 m
4 kN
2.67 kN
+
+
3 kN
-
-
+
4.33 kN 9.33 kN 0.0
+
0.0
1.33 kN
4.33 kN
Diagrama de momento fletor:
21.32 kN.m
4 kN.m 1.34 kN.m
-
1.34 kN.m
-
+
17.32 kN.m
0.44 kN.m
+ 6 kN.m
2.67 kN.m
+ 6 kN.m
-
4 kN.m
7.33 kN.m
-
7.33 kN.m
6.0 kN.m
4.0 kN.m 2.67 kN.m
8) Classificar a estrutura dada abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e momento f;etor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados.
2 kN/m 1 kN 2
7
6
2m
2 kN 3
5
4
8
9
10
2 kN.m 2m 1
11
2m
2m
3m
2m
1m
Cálculo das reações:
2 kN/m 1 kN 2
7
6
2 kN 3
5
4
8
9
10
2 kN.m
1
11
V1 = 12 kN
H11 = 1 kN
V11 = 7 kN
⇒
ΣH = 0:
− 1 + H11 = 0
ΣV = 0:
− 2 − 10 + V1 + V11 = 0
H11 = 1 kN
⇒ ⇒
V1 + V11 = 12 T1−11 = 1 kN
Σ M 6 inf = 0 :
T1−11 (4 ) − 2 (2) = 0
Σ M 6 dir = 0 :
− 10 (2.5) + V11 (5) − 1( 4) − 2 − 1(4) = 0
⇒
V11 = 7 kN
logo:
V1 = 5 kN H11 = 1 kN V11 = 7 kN T1−11 = 1 kN
Reações internas na treliça do pórtico:
V7 = 1kN 7
H7 = 1 kN
H8 = 1kN
8
9
V8 = 1 kN
ΣH = 0:
− H 7 + H8 = 0
ΣH = 0:
V7 − V8 = 0 − 2 + H 7 (2 ) = 0
Σ M8 = 0 :
Σ M 9 sup = 0 :
⇒
− V7 (2 ) + 1(2) = 0
10
2 kN.m
H 7 = 1 kN ∴ H 8 = 1 kN ⇒ V7 = 1 kN ∴ V8 = 1 kN
logo:
1 kN
1 kN
1 kN
2 kN
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN
-1 kN 1 kN
5 kN
1 kN
1 kN 7 kN
2 kN.m
Diagrama de esforço normal:
-2 kN
0.0
-3 kN
-1.41 kN
-8 kN
0.0 -1 kN
-1 kN
0.0
-7 kN
-5 kN +1 kN
Diagrama de esforço cortante:
3 kN
+
1 kN
3 kN
-
-
+ 7 kN
2 kN
+
0.0
-
2 kN
1 kN
-
+ 1 kN
2 kN
Diagrama de momento fletor:
10 kN.m
-
10 kN.m
+ 2.25 kN
-
+ 4 kN.m +
2 kN.m
2 kN.m
-
4 kN.m
+
2 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
2 kN.m 4 kN.m
2 kN.m
9) Para a estrutura dada abaixo pede-se identificar as barras que estão submetidas apenas a esforço normal e as barras que podem ter, além do normal, cortante e momento fletor. A seguir, traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante, explicitando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos, e mostrar a distribuição do esforço normal nas barras da estrutura. Determinar também o número de graus de liberdade e o número de restrições.
4 kN/m 4
5
7
6
8
2m
2
9
3
2m 1
10
1m
1m
2m
2m
2m
27 G L
ISO
27 R
Cálculo das reações:
4 kN/m 4
5
2
6
7
V9
9
3
V9
H1
8
H9
H9
1
V1
10
H10
V10 M10
Σ M1 = 0 :
⇒
− 16 (2) + V9 (2) − H 9 (2) = 0
Σ M 6 dir = 0 :
⇒
− 32 (4 ) + V9 (6) + H 9 (2) = 0
ΣH = 0:
H1 − H 9 = 0
ΣV = 0:
− 32 + V1 + V9 = 0
V9 − H 9 = 16 3 V9 + H 9 = 64
resolvendo resulta em:
H1 = 4 kN V1 = 12 kN H 9 = 4 kN V9 = 20 kN Na barra 9 – 10:
ΣV = 0:
− 20 + V10 = 0
ΣH = 0:
4 − H10 = 0
Σ M9 = 0 :
− 4 (2 ) + M10 = 0
logo: V10 = 20 kN H10 = 4 kN M10 = 8 kN.m
Cálculo das barras submetidas a força axial:
0 4
5
-4 kN
-4.0 kN 6
0 7
0
-4 kN
2
-4.0 kN
-20.0 kN
-8.9 kN 0
8
9
3
-20.0 kn
-8.9 kN
1
10
4 kN
4 kN 12 kN
20 kN 8 kN.m
Diagrama de esforço cortante:
8 kN 4 kN
4 kN
+
+
+
-
-
4 kN
12 kN
+
4 kN
Diagrama de momento fletor:
16 kN.m
+
2 kN.m
+
8 kN.m -
2 kN.m
+
8 kN.m
8 kN.m
