,OL:GIO PEDRO II - ;NIDADE S
LISTA GERAL DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES - GABARITO PARTE I. (Seleção de exercícios do Livro Ciência e Aplicações – Gelson Iezzi e outros) – (A!A "##$) Se%a& m e n n'&eros reais tais ue m ≠ n e as &atrizes A = relação necess,ria entre m e n para ue a &atriz C = mA + nB não se%a inversível* inversível*
" $
e
B
− = #
* +ual a
Solução. Multiplicano o! "!cala#"! $m% " $n% p"la! #"!p"cti&a! mat#i'"!( t"mo!) i*
C = m* A + n* B
" = m* $
− + n* #
"m − n = $m
m+n
m + n
Pa#a +u" a mat#i' , não !"a in&"#!&"l( !"u "t"#minant" "&" !"# nulo. ii*
det C = #
⇒
"m − n
m+n
$m
m + n
!impli0icano( t"mo!)
#m "
= # ⇒ ( " m − n)*(m + n) − ($m)*( m + n) = # . D"!"n&ol&"no a "/p#"!!ão "
+ "mn − mn − n " − $m " − $mn = # ⇒ .m " − -mn − n " = # . R"!ol&"no a "+uação
"m #"lação a $m%( &"m.
-n + 0n /n = =n " " " " " − (−-n) ± (−-n) − /(.)(−n ) -n ± $-n + "0n -n ± -/n / / . = = ⇒m= m= "(.) / / -n − 0n = − "n = − n / / .
,omo
p"lo
"nunciao m ≠ n( a mat#i' não !"#1 in&"#!&"l !" 2m 3 n 4 5. " – 1ncontre o valor de / na &atriz A =
Solução. ,omo det A− =
det A
− $
"
sa2endo ue "t A-6 3 x
conclui-!" +u"
c1lculo o "t"#minant" " A( t"mo!)
−1
2
3
x
det A
=−
#
−
#
*
. Lo7o( "tA 4 - 65. Su8!tituino "!!" &alo# no
= −10 ⇒ − x − 6 = −10 ⇒ x = 4 .
− 4 / * 5eter&ine A 3 A-6* − − "
$ – Se%a A-6 a inversa de A =
Solução. O "t"#minant" a mat#i' 9 i0"#"nt" " '"#o. Lo7o( po!!ui in&"#!a.
−4a+/c= −4a+/c= " c ⇒= c=6" ⇒ ⇒ −4 / ba # a−− "c=# 4a+0c=# 4a=−06" ⇒a=−6 * = ⇒ − −" dc # −4b+/d =# −4b+/d =# " d = 4⇒− d =−46" ⇒ ⇒ b−− "d = 4b+0d =−4 4b=−$-6" ⇒b=−"6
.
− −4 / −6 −"6 −# 6 /"6 A A+ = + = − −" 6" −46" −"6" −$6"
#
/ – (7C – G8) 5eter&ine / a 9i& de ue a &atriz A =
"
se%a i:ual a sua inversa*
x
Solução. O p#outo a mat#i' A po# "la m"!ma "&"#1 #"!ulta# na mat#i' i"ntia".
" " # " + x" # "+ x" = # x = → " + "() ≠ # * = ⇒ " = ⇒ " ⇒ # x # x # # x # x =⇒ x ±= x −= → "+"(−) = #
.
Lo7o( o Fnico &alo# +u" !ati!0a' 9 / 4 - 6. – Sa2endo ue
a)
) x
) y
z
w
=
x
y
z
w
?5
=
a
b
c
/ e d
e
f
g
h
i
2)
=
) y
) x
)w
) z
# ; encontre o valor de<
−
=
- 655
b
a
/c
c) e
d
/ f
h
g
/i
=
5
d)
a
b
c
"d
"e
" f
$ g
$h
$i
H5 Solução. Aplicano a! p#op#i"a"! o! "t"#minant"!( t"mo!) a* A 6@ lina 0oi multiplicaa po# J. Lo7o o "t"#minant" tam89m 0ica#1 multiplicao po# J.
=
-
8* Kou&" uma t#oca " coluna +u" mua#1 o !inal o "t"#minant". A! ua! lina! 0o#am multiplicaa! po# J. Lo7o o "t"#minant" 0ica#1 multiplicao po# ?J. c* Kou&" a t#oca a ?@ coluna com a 6@ coluna muano o !inal o "t"#minant". A @ coluna 0oi multiplicaa po# . Lo7o o "t"#minant" tam89m o 0ica#1. * A ?@ lina 0oi multiplicaa po# ? " a lina multiplicaa po# . Lo7o o "t"#minant" 0ica#1 multiplicao po# ?*.* 4 H. PARTE II. (Seleção de exercícios do =ro9essor >arcos ?os@ – C=II 71SCIII) – Besolva os siste&as; classi9iue e indiue o si:ni9icado :eo&@trico das soluções*
x + $ y = a) $ x − " y =
x − y = $ 2) / x − / y = -
Solução. O! !i!t"ma! po"m !"# #"!ol&io! po# +ual+u"# m9too.
a*
y=/ x + y$ = →×(−$) x−$ − y4 = − x$ − y" = x$ − y" = −⇒ y =−/⇒ / −/" $ x −= $ = = $ / ; . Si!t"ma po!!&"l " "t"#minao #"p#"!"ntao po# #"ta! conco##"nt"!.
Lo7o( S =
x y− =$ ×→ (−/) x−/ y−/ =−" 8*
⇒#=−"→ pI& os ível →S ={ } x/ y−/ = - x/ y−/ =-
. R"ta! pa#al"la! i!tinta!.
ax − y = 0 " – 5eter&ine o valor de a para ue o siste&a se%a possível e deter&inado (S=5)* " x + / y = Solução. O "t"#minant" a mat#i' o! co"0ici"nt"! "&"#1 !"# i0"#"nt" " '"#o.
a − ax − y = 0 → (SPD) ⇒ D = ≠ # ⇒ /a − (−") ≠ # ⇒ /a ≠ −" ⇒ a ≠ −6 " . " / " x + / y = $ 5eter&ine o valor de de &odo ue o siste&a
x + " y = se%a i&possível (SI)* Isto @; para ue a / x + 0 y = k
representação :eo&@trica da solução se%a& retas paralelas distintas*
Solução. Pa#a +u" o !i!t"ma !"a po!!&"l " in"t"#minao SI*( 8a!ta +u" !" &"#i0i+u" a p#opo#cionalia" "nt#" o! co"0ici"nt"! " $/% " $%( ma! não "m #"lação ao! t"#mo! in"p"n"nt"!. I!to 9)
" ()*(0) = (")*(/) ⇒ 0 = 0 → ok *
. = ≠ ⇒ / 0 k (")*(k ) ≠ ()*(0) ⇒ "k ≠ 0 ⇒ k ≠ / ual+u"# &alo# " $% +u" não !"a ( to#na#1 o !i!t"ma impo!!&"l. / – 5iscuta os siste&as a2aixo e& 9unção do par&etro D* a)
kx + " y = $ / x + - y = 4
2)
$ x + / y = 0 - x + ky = .
Solução. No ca!o 7"#al "m !i!t"ma! ? / ? a an1li!" po" !"# 0"ita pa#tino a! !ituaçQ"!) i*
a b
≠
c d
→ SPD
ii*
a b
=
c d
=
e f
→ SPI
iii*
a b
=
c d
≠
e f
→ SI
k " ≠ ⇒ -k ≠ 0 ⇒ k ≠ 0 6 - → (SPD) kx y " $ + = / a* . Não 1 &alo# " $% +u" o to#n" impo!!&"l. ⇒ / x + - y = 4 k = " = $ ⇒ k = 0 6 - → (SPI ) / - 4 $ / ≠ ⇒ $k ≠ "/ ⇒ k ≠ 0 → (SPD) $ x + / y = 0 - k a* . Não 1 &alo# " $% +u" o to#n" in"t"#minao. ⇒ - x + ky = . $ = / ≠ 0 ⇒ k = 0 → (SI ) - k . OBS. R"pa#" +u" "m a* o t"#mo in"p"n"nt" 1 "!ta&a na m"!ma #a'ão +u" o! co"0ici"nt"! " $%. O +u" não oco##"u "m 8*. I!!o aca##"ta +u" !u8!tituino 4 no !i!t"ma 8* po"#ia a&"# a impo!!i8ilia". Ma! "!!" !i!t"ma não !"#ia in"t"#minao pa#a n"num &alo# " $%.
PARTE III. (Seleção de exercícios do =ro9essor Ivail >uniz – C=II 71 C1EFB8) ) Besolva os siste&as; se possível; e classi9iueos*
x + y + z = 2) $ x + " y − z = / ) x − / y + $ z =
x + y + " z = / a) " x − $ y + z = # ) x − y − z = $
x + y + " z = ) c) " x + " y + / z = # $ x + $ y + - z = /
x + y + $ z = / d) " x − $ y + / z = ) $ x − " y + . z = 4
Solução. O! !i!t"ma! 0o#am "!calonao!.
a*
x + y + " z = / " x − $ y + z = # ⇒ x − y − z = $ − $. = − $.
z =
y
=
− L" L − L$
" L
0 − $z
=
x + y + " z = / y + $ z = 0 ⇒ - y + z = .
0 − $()
=
- L"
x
= x
−
L$
=
/
−
y
=
/
−
()
−
x + y + " z = / ) y + $ z = 0 . − $. z = −$.
,alculano o &alo# " '( t"mo!)
" z
−
"()
=
/
−
$
=
.
Lo7o a !olução 9 S 4 6( 6( 6U. O !i!t"ma 9 po!!&"l " "t"#minao.
x + y + z = $ x + " y − z = / ⇒ x − / y + $ z =
8*
z =
#" $/
= $
$ L
−
L"
L
−
L$
y
=
/
−
y
=
/
−
/ z "
=
=
/
x + y + z = y + / z = / ⇒ 4 y + " z = "/
−
/($)
"
4 L"
−
L$
x + y + z = y + / z = / . $/ z = #"
,alculano o &alo# " '( t"mo!)
x = - − y − z x = - − (") − ($) = - − = .
Lo7o a !olução 9 S 4 6( ?( U. O !i!t"ma 9 po!!&"l " "t"#minao.
x + y + " z = c* " x + " y + / z = # ⇒ " L $ x + $ y + - z = / $ L
x + y + $ z = / " x − $ y + / z = ⇒ " L $ x − " y + . z = 4 $ L
*
y
=
$ − " z
−
L"
−
L$
−
L"
−
L$
x + y + " z = ) . Lo7o o !i!t"ma não po!!ui !olução. # + # + # = # # + # + # = → impossível x + y + $ z = / y + " z = $ ⇒ y + " z = $ L
"
= / − y − $ z $ − " z x = / − − $ z =
− L$
x + y + $ z = / y + " z = $ ⇒ . # + # = #
,alculano o &alo# " ( t"mo!)
x
Lo7o a !olução 9 S 4
. + " z
(
"# − $ + " z
$ − " z (
z
=
. + " z . A &a#i1&"l ' 9 camaa &a#i1&"l li&#".
U. O !i!t"ma 9 po!!&"l " in"t"#minao.
" – (IFA – S=) Se%a a u& n'&ero real* Considere os siste&as lineares e& /; e '* Calcule o valor de a para ue o
x + y − z = # siste&a x − $ y + z = ad&ita in9initas soluções* − " y + z = a
x y z + − =# x y z + − =# x y z + − =#
x y z−$ + L= L y−⇒ z −"/ =−⇒ y z −"/ =− y z−" + =a y z−" + La= L+" #=−+"a
Solução. E!calonano o !i!t"ma)
"
.
"$
Pa#a +u" o !i!t"ma !"a in"t"#minao o ? m"m8#o a @ "+uação "&" !"# nulo. Lo7o( a =
"
.
$ Eu&a lo%a; os arti:os A e ; %untos custa& BH.#;##* 5ois arti:os A &ais u& C custa& BH#;## e a di9erença de preços entre os arti:os e C; nessa orde&; @ BH ;##* +ual o preço do arti:o C
A + B = .# Solução. D" aco#o com a! in0o#maçQ"! o p#o8l"ma( t"mo! o !i!t"ma) " A + C = #) . E!calonano( &"m) B − C = ) A + B = .# " A + C = # ⇒ " L − L B − C =
B
=
C + $ "
=
" + $ "
"
A + B = .# " B − C = $ ⇒ B − C = L
"
−
" L$
A + B = .# " B − C = $ ⇒ . Su8!tituino na! "+uaçQ"! ant"#io#"!( t"mo!) C = "
= $# A = .# − B = .# − $# = /# . A #"!po!ta p"ia 9 RV?J(55.
/ (71B?) 7& 9eirante separou u& n'&ero inteiro de d'zias de tan:erinas (t); de &açãs (&) e de pêras (p)* 82servou ue para cada &açã arru&ada; Javia " tan:erinas* Co& 4# d'zias; ele 9ez lotes de - tan:erinas; lotes co&
- &açãs e lotes co& / pêras* Colocou e& cada lote; indistinta&ente; o preço de BH#;#* Arrecadou BH#;## na venda de todos eles* Calcule t; m; e p*
Solução. ,on!i"#ano t( m " p o nFm"#o " F'ia! " caa 0#uta( t"mo! +u" ?m 4 t. ,omo 6 F'ia 4 6?( 0o#am 0"ito! com caa F'ia ? lot"! " tan7"#ina!( ? lot"! " maçã! " lot"! " p"#a!. Lo7o 0o#am 0"ito! ?t* lot"! " tan7"#ina!( ?m* lot"! " maçã! " p* lot"! " p"#a!. ;tili'ano o! ao! o p#o8l"ma " a! l"t#a! #"p#"!"ntant"! a! 0#uta!( montamo! o !i!t"ma)
2m=t 2m m p=++ 90 3m p=+ 90→×(−1) 15 mt p=++ 90 ⇒ ⇒ ⇒0,5p=15⇒p= =30 2 m m 1 , 5 p 1 0 5 3 m 1 , 5 p 1 0 5 ++ = + = 0 , 5 0,5(2t)+0,5(2m)+0,5(3p)=105
.
S" p 4 5(
m
3m + 30
=
90
⇒
3m
=
60
⇒
60 =
=
3
20
. Lo7o(
2m = t ⇒ 2(20 ) = 40 .
R"!po!ta) São 5 F'ia! " tan7"#ina!( ?5 F'ia! " maçã! " 5 F'ia! " p"#a!. >istura&se dois tipos de leite; u& co& $K de :ordura outro co& /K de :ordura para o2ter; ao todo; 0# litros de leite co& $;"K de :ordura* +uantos litros de leite de cada tipo 9ora& &isturados
Solução. R"p#"!"ntano a +uantia" " lit#o! " l"it" com W " 7o#u#a como $/% " com W como $%( o
x + y = 0# #"!ultao 0inal "&"#1 !"# / 3 *.(?JW. O !i!t"ma 9)
x + y = 0#
⇒ x$ + y/ = $;" x( + y) − #;" x + #;. y = #
Multiplicano po# 655 a ?@ "+uação " "!calonano( &"m)
.
x + y = 0# ⇒ " L + L − ") x + .) y = #
,alculano $%( t"mo!) y =
"### ##
"
x + y = 0# . ## y = "###
= "# x = 0# − "# = -# . Lo7o !"#ão mi!tu#ao! H5 lit#o! " l"it".
- (7!! – "###) As li:ações entre as cidades A; e C 9i:ura& nu& &apa rodovi,rio con9or&e ilustrado* Se:uindo esse &apa; u&a pessoa ue se deslocar de A para C; passando por ; percorrer, /#D&* Caso a pessoa se desloue de A para ; passando por C; o percurso ser, de -##D&* =ara se deslocar de para C; passando por A; a
pessoa vai percorrer 0##D&* 5eter&ine uantos uil&etros esta pessoa percorrer, ao se deslocar de A para ; se& passar por C*
Solução. ,on!i"#ano a! i!tXncia! AB
=
x BC
=
y
AC
=
z ( t"mo!)
a* ABC = z + y = -##km i!tXncia " A at9 B pa!!ano po# ,*. 8* AC B = x + y = /#km i!tXncia " A at9 , pa!!ano po# B*. c* BC A = z + y = 0##km i!tXncia " B at9 , pa!!ano po# A*.
x + y = /# i* ,on!t#uino " #"!ol&"no o !i!t"ma) y + z = -## ⇒ L − L x + z = 0##
ii* >alo# " $'%) z = A i!tXncia p"ia 9
"
x + y = /# x − z = −# ⇒ x + z = 0## L
− 4# = /. x = z − # = /. − # = $" −" AB
=
$")km*
"
y
− L$
x + y = /)# x − z = −)# . − " z = −4)#
= /# − x = /# − $" = " .
.
. A so&a das uantias ue !ernando e etJ possue& @ i:ual M uantia ue Bosa possui* 8 do2ro do ue possui !ernando &enos a uantia de etJ &ais a de Bosa @ i:ual a $# reais* Sa2endo ue a uantia ue !ernando possui; adicionada a 6$ da uantia de Bosa; vale "# reais; calcule a so&a das uantias de !ernando; etJ e Bosa*
Solução. ,on!i"#ano a! +uantia! $/% " $% #"!p"cti&am"nt" " C"#nano " B"t( t"mo! " aco#o com a! in0o#maçQ"! +u" Ro!a po!!ui / 3 *. Aina " aco#o com o "nunciao t"mo! o !i!t"ma)
x" y− x+ y+ = $# x$ = $# x =# x y+ ⇒ ⇒ x + = "# x$ x+ y+ = -# x/ y+ = -# ⇒ y = -# − /( #) = "# $
. Lo7o( Ro!a po!!ui 5. O &alo# p"io 9 a !oma a! +uantia! " caa um)
65 3 ?5 3 5 4 H5. 0 – (71B? "##/) Eu&a :ran%a J, patos; &arrecos e :alinJas nu& total de # aves* 8s patos são vendidos a BH";## a unidade; as :alinJas a BH;## e os &arrecos a BH;##* Considere u& co&erciante ue tenJa :astado BH//#;## na co&pra de aves desses três tipos e ue tenJa co&prado &ais patos do ue &arrecos* +ual o n'&ero de patos co&prados pelo co&erciante*
Solução. ,on!i"#ano a! +uantia"! $/%( $% " $'% #"!p"cti&am"nt" " pato!( 7alina! " ma##"co!
montamo! o !i!t"ma)
x y z=++ # ×( x ) y z−−−− =−"# ⇒ x⇒. z+# =4# x" y+ z+ =/ # x" y+ z+ =/ #
. Na 0o#ma "m +u" "!t1 ap#"!"ntao( o !i!t"ma 9
in"t"#minao. P#"ci!amo! con!i"#a#) i* O &alo# " $/% 9 int"i#o. Lo7o( 6Y5 - 65' "&" !"# mFltiplo " 2 " 65. I!to 9 " 25. O! mFltiplo! " 25 po!!&"i! !ão 25 pa#a ' 4 6? ou 65 com ' 4 J. ii* O! &alo#"! " $/%( $% " $'% ap#"!"ntam a! po!!i8ilia"!) Pato! /* x
= 4#
x
=
− #()
Galina! *
= "#
. 4# − #(") .
= #
Ma##"co! '*
y
= # − ("# + ) = "
J
y
= # − (# + ") = "0
6?
iii* O nFm"#o " pato! 9 maio# +u" o nFm"#o " ma##"co! / '*. Lo7o a Fnica po!!i8ilia" 9 ' 4 J.
"# + " + = # ,on0"#ino) "("#) + (") + () = "/# + " + . = //# Co#am comp#ao! ?5 pato! p"lo com"#ciant".
