UNIVERSIDAD DE CORDOBA ASIGNATURA ASIGNATURA MATEMA MATEMATICAS TICAS FINANCIERAS Ing.Mg. Ramiro Antonio Marrugo Gonzalez
INTERÉS SIMPLE Interés simple es auel en el !ual los intereses "e#enga"os en un $er%o"o no ganan intereses en los $er%o"os siguientes& in"e$en"ientemente "e ue se $aguen o no. De otra manera& !uan"o so're un $r(stamo el inter(s ue se re!ono!e es igual a la tasa ue se !o'ra $or $er%o"o& multi$li!a"a $or el n)mero "e $er%o"os& se "i!e ue se est* !o'ran"o un inter(s sim$le. Siem$re la liui"a!i+n "e los intereses se ,a!e so're el sal"o insoluto& o sea so're el !a$ital no $aga"o. El uso "el inter(s sim$le es !a"a "%a m*s restringi"o $or ue "es!ono!e el #alor "el "inero en el tiem$o en !onse!uen!ia los intereses no $aga"os& $or no ser !a$italiza'les !on#ertirse en !a$ital/& $ier"en $o"er a"uisiti#o. En inter(s sim$le& el inter(s a $agar $or una "eu"a #ar%a en 0orma "ire!tamente $ro$or!ional al !a$ital al tiem$o. I = f ( Pn) En !onse!uen!ia& siem$re siem$re ue aumente el !a$ital o el tiem$o& tiem$o& aumentar* en la en la misma $ro$or!i+n el inter(s. 1o anterior& $or la e2isten!ia "e una raz+n "e $ro$or!ionali"a" !onstante& re$resenta"a $or la Tasa Tasa "e inter(s. I = f ( Pn)
I
= Pin
Fórmula del interés simple
I = Valor de los intereses interés expresada como como decimal i = Tasa de interés
De "on"e3
= Capital P = n = Tiempo
E4em$lo53 Mag"alena $osee un !a$ital "e 67.888.888 "e los !uales in#ierte el 98: en un nego!io a una tasa "e inter(s "el ;<: - el resto a una tasa "el 9: mensual. Cal!ular el #alor "e los intereses mensuales. => 65.788.888 I
=> 69.788.888 I
0.24 = 0.02 mensual n > 5 mes 12 I = 1.500.000 × 0.02 × 1 I = $30.000
i > > ;<: anual >
= Pin
i > 9: > 8.89 mensual
= Pin
n > 5mes
I = 3.500.000 × 0.03 × 1
I = $105.000
=ara resol#er resol#er los $ro'lemas $ro'lemas "e matem*ti matem*ti!as !as 0inan!ieras 0inan!ieras la tasa de interés i se "e'e e2$resar "e a!uer" a!uer"o o al $er%o"o $er%o"o "e $ago. $ago. As%& As%& si el $er%o" $er%o"o o "e $ago n es mensual mensual&& la tasa i se e2$resa tam'i(n mensualmente o lo !ontrario. E4em$lo3 =r(stamo a 5? meses !on tasa "e inter(s "e ;<: anual 5.7 a@o ;<: anual 5? meses ;: mensual E4em$lo3 Cu*nto ganan 6;.788.888 !olo!a"os al 98: "e inter(s sim$le "urante ; a@os si el !o'ro "e inter(s es3 a/ Trimestral
I
= Pin
I = 2.500.000 × 0.075 × 8 = $1.500.000
'/ Semestral
I
= Pin
I = 2.500.000 × 0.15 × 4 = $1.500.000
= Pin
I = 2.500.000 × 0.083 × 720 = $1.500.000
!/ Diario •
I
INTERÉS COMERCIAL E INTERÉS REAL
El inter(s ordinario o comercial !onsi"era el a@o "e 98 "%as - los mese "e 98. Mientras ue el interés real o exacto los !onsi"era "e 97 o 9 si es 'isiesto - los meses "e a!uer"o a sus #er"a"eros "%as. 1os 'an!os - !asi to"as las em$resas !omer!iales utilizan el inter(s !omer!ial $orue le resulta m*s 0a#ora'le a ello - !onse!uentemente m*s oneroso a los !lientes. E4em$lo3 Un !a$ital "e 6;.788.888 !on intereses "el 9: anual 'a4o las "os mo"ali"a"es $resenta el siguiente !om$ortamiento a los ?7 "%as. => 6;.788.888 I
= Pin
I
= Pin
i > 9:
n > ?7 "ias
0.36 × 85 = $212.500 360 0.36 × 85 = $209.589 I = 2.500.000 × 365
I = 2.500.000 ×
E4em$lo3 Cual es el inter(s "e#enga"o $or 65.?88.888& en 58 meses si ,a si"o !olo!a"o al ;<: anual "e inter(s sim$le. = > ;78.888 I
= Pin
i > ;<: >8.;< Anual > 8.8; Mensual
n > 58 Meses
I = 1.800.000 × 0.02 × 10 = $360.000
Cuan"o se trata "e !al!ular el n)mero "e "%as e2a!tos "e una transa!!i+n& es$e!ialmente !uan"o se "a entre 0e!,as 5; "e 0e'rero "e ;88< ;7 "e no#iem're "e ;887/ se ,a!e "e "os maneras. 5. Toman"o en !uenta el a@o !omer!ial "e 98 "%as - meses "e 98 C*l!ulo a$ro2ima"o/ Fe!,a a!tual Fe!,a ini!ial
A@o ;887 ;88<
Mes 55 8;
D%a ;7 5;
1
9
1
Son un a@o& meses - 59 "%as O sea3 9829859 > <9 D%as ;. Toman"o en !uenta los "%as !alen"ario C*l!ulo e2a!to/ !on la a-u"a "e la ta'la $ara !al!ular los "%as e2a!tos. Del 5; "e 0e'rero a 95 "e "i!iem're "e ;88< Del 5 "e enero al ;7 "e no#iem're "e ;887 Total "e "%as 78
97<9 > 9;; 9;5 > 9;?
E4er!i!io3 Cuantos "%as ,a- entre el "e ma-o "e ;889 - 5< "e agosto "e ;887. Esta'lez!a la "i0eren!ia $or !*l!ulo a$ro2ima"o - $or !*l!ulo real.
!ALOR "#T#RO O MONTO
E4em$lo3 HEn !u*nto se !on#ierten 5.;88.888 !olo!a"os a un inter(s sim$le "e ;<: "urante !in!o a@os A@os 5 ; 9 < 7
5.;88.888 5.;88.888 5.;88.888 5.;88.888 5.;88.888
$288.000
;??.888 ;??.888 ;??.888 ;??.888 ;??.888 5.<<8.888 $288.000
$288.000
5.
$288.000
$1488.000
$1.200.000 En el ejercicio anterior se observa cómo n ca!ital "e $1.200.000 se convierte en $2.640.000 (intereses # ca!ital) en cinco aos a na tasa "e 24% anal. &i bien a' es *cil "eterminar el valor tro o monto+ ,ste c*lclo se com!lica con !ero"os m*s nmerosos lo 'e re'iere "e m,to"os m*s r*!i"o - eicaces. ir,moslo/ I
= F − P
actorian"o/
ero/ I = Pin
F = P + I
F = P (1 + in )
eem!laan"o F = P + Pi
Fórmula de valor futuro o monto a interés simple
A$li!*n"olo al e4er!i!io anterior se tiene3 = > 65.;88.888 F = P (1 + in)
I > ;<: > 8.;< Anual
F = 1.200 .000 (1 + 0.24 × 5)
n > 7 A@os
F = $2.640.000 $2.640.000
i=
24%
$1.200.000
E4er!i!io 93 Cu*l es el monto o #alor 0uturo "e 6;.788.888 !olo!a"os al 5?: anual& al !a'o "e 9 a@os. E4er!i!io <3 Cu*l es el monto o #alor 0uturo "e 9.<88.888 !olo!a"os a un inter(s sim$le "el ;<: "es"e el 57 "e 0e'rero al ;8 "e ma-o "el mismo a@o.
•
INTERÉS MORATORIO
1lama"os !om)nmente intereses de mora$ se !o'ran a un !liente $or el in!um$limiento "e una o'liga!i+n. 1a tasa "el inter(s "e mora generalmente es "el 78: m*s "e la tasa !orriente $a!ta"a al momento "e ,a!er una nego!ia!i+n. As%3 $ara una tasa !orriente "e ;:& !orres$on"e una "e mora "el 9:. E4em$lo3 Aura 1+$ez toma un !r("ito "e 6;.888.888 el "%a 7 "e a'ril "e ;88< $ara !an!elarlo en seis meses& $agan"o intereses "el 6;.888.888
i =
F = P (1 + in ) I
i = 6 : Mensual $or mora
F = 2.000 .000 (1 +
= Pin I = 2.000 .000 ×
n > meses
0.48 × 6) 12
0.06 × 19 360
Dias "e mora > 5
F = $2.480.000
I = $6 .333
Canti"a" a $agar 6;. %&'()*' E4em$lo3 El se@or 1uis Ramos !om$r+ una $ar!ela "e tres ,e!t*reas $or 65;.888.888 !om$rometi(n"ose a $agar una !uota ini!ial "el 58: - el sal"o en !uatro !uotas iguales a los 9& & - 5; meses& !on inter(s "el 9: mensual. Sin em'argo& la ter!era !uota la !an!el+ 5; "%as "es$u(s "e la 0e!,a $a!ta"a. Construir el 0lu4o "e !a4a. $12.000.000
$1.200.000
1+')++'+++ 8 5 ; 9 <
$3.024.000
C,ota ;.88.888 ;.88.888 ;.88.888 ;.88.888
$2.943.000 $2.870.100
Intereses 9;<.888 ;<9.888 5;.888 ?5.888
Amorti-aci.n
$2.781.000
Saldo 58.?88.888 ?.588.888 7.<88.888 ;.88.888 8
9.8;<.888 ;.<9.888
&')/+'1++ ;.?5.888
Ter!era !uota 6 ;.?;.888 6?.588 > ;.?8.588 I
= Pin
I = 5.400 .000 ×
0.045 × 12 360
I = $8.100
Se $ue"e "e!ir& ue en el mane4o "el inter(s sim$le se $resentan #arias situa!iones ue in#olu!ran las mismas #aria'les& o sea& la Tasa "e inter(s i & el #alor $resente P& el #alor 0uturo " - el n)mero "e $er%o"os n& $resent*n"ose !asos en los ue se "an tres #alores $ara en!ontrar uno !uarto "es!ono!i"o.
CASO 10 !ALOR "#T#RO O MONTO A INTERÉS SIMPLE Consiste en $ro-e!tar un #alor $resente = a un #alor 0uturo eui#alente F a n $er%o"os a una tasa "e inter(s sim$le "e i. E4em$lo3 En !u*nto se !on#ierten 588.888 si se !olo!an al 5?: "e inter(s sim$le "urante < a@os. P = 588.888
i = 5?: anual
n = 4 a@os
F=?
F = 100 .000 (1 + 0.18 × 4)
F = P (1 + in )
F
= $172.000
E4em$lo3 Cu*l es el #alor 0uturo o monto "e 6;.788.888 !olo!a"os al 57: "e inter(s sim$le& "el "e se$tiem're al ;8 "e "i!iem're a inter(s e2a!to P = ;.788.888
i = 57: anual
n = 587 "ias
F = P (1 + in ) F = 2.500 .000 (1 +
F=?
0.15 × 105) 365
F = $2.607.877
CASO &0 !ALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE Consiste en !al!ular un #alor $resente P eui#alente a un #alor 0uturo "$ u'i!a"a n $er%o"os a"elanta a una tasa "e inter(s sim$le "e i. E4em$lo3 Cu*l es el #alor $resente o el #alor a!tual "e un $a$el !omer!ial ue "entro "e <; "%as #al"r* 6;?7.888 si se !o'ra el ;<: "e inter(s sim$le F > 6;?7.888
I = 24% anual >
F = P (1 + in)
P =
0.24 = 0.00066 Diario 360
F (1 + in )
P =
n > <;
=>
Fórmula de valor presente a interés simple
285 .000 285 .000 = = (1 + 0.00066 × 42) 1.028
P = 6;.;9
E4em$lo3 Una letra #ale "entro "e ; meses 69.?88.888. Cu*nto ser* su #alor $resente si se !o'ran intereses "el 9: anual. F > 69.?88.888 F = P (1 + in)
I = 9: anual >
P =
F (1 + in )
0.36 = 0.03 Diario 12 P =
n > ; meses
3 .800 .000 3.800 .000 = (1 + 0.03 × 2 ) 1.060
=> P = 69.7?<.8
E4em$lo3 Si "eseamos tener "entro "e 7 a@os 67.888.888 - e2iste una institu!i+n 0inan!iera ue $aga el ;: anual sin retirar intereses !u*nto "e'emos "e$ositar en el "%a "e ,o- F > 67.888.888 F = P (1 + in )
P =
I = ;: anual
F
(1 + in )
P =
n > 7 A@os
=>
5.000 .000 5.000 .000 = (1 + 0.27 × 5) 1.060
P = 6;.5;.8
CASO 0 CALC#LO E LA TASA E INTERÉS SIMPLE Consiste en !al!ular la tasa "e inter(s sim$le i ue arro4a una in#ersi+n ini!ial P - "es$u(s "e n $er%o"os se re!i'e una !anti"a" a!umula"a "' E4em$lo3 A ue tasa "e inter(s ,a- ue !olo!ar 6;.988.888 $ara ue en ? meses se !on#iertan en 6;.?7;.888 = > 6;.988.888
I=?
n > ? meses
F > 6;.?7;.888
F
F = P (1 + in )
P
i
i
=
1 F
− 1 n P
=
1 F
− 1 n P
P
− 1 = in
Fórmula de Tasa de interés a interés simple
1 2.852.000 − 1 8 2.300.000
i=
F
= (1 + in) ⇒
i
=
[
i = 0.03
]
0.13 0.24
i
=
3%
Mensual
E4em$lo3 Carlos Bra#o "e$osita en una !or$ora!i+n 6;.888.888 - "es$u(s "e meses retira 6;.988.888. Ju( tasa "e inter(s le 0ue re!ono!i"a
i
= > 6;.888.888 1 F = − 1 n
P
n > meses
I=? i
=
1 2.300.000
− 1 6 2.000.000
i
F > 6;.988.888 =
[
0.17 1.2
]
i
= 0.025
i
=
2.5%
Mensual
CASO (0 C2LC#LO EL TIEMPO E NE3OCIACI4N Consiste en "eterminar el n)mero "e $er%o"os n$ ue se reuieren $ara ue una in#ersi+n ini!ial P a una tasa "e inter(s sim$le i $ro"uz!a un #alor 0uturo "' E4em$lo3 En !u*nto tiem$o 65.;88.888 !olo!a"os al 98: "e inter(s sim$le anual se !on#ierten en 65.<<8.888 = > 65.;88.888
I = 30% anual F
F = P (1 + in)
P
n=
n=
1 F
− 1 i P
n=
1 F
− 1 i P
1 0.025
n>
F > 65.<<8.888
F
= (1 + in) ⇒
P
− 1 = in
Fórmula de Períodos a interés simple
1.440.000 1.200.000 − 1
n = 40[ 0 .20 ]
n = 8 Meses
E4em$lo3 Cuanto tiem$o se "e'e es$erar $ara ue un !a$ital "e 65.888.888 se !on#ierta en 6;.888.888 si la o$era!i+n se realiza al 9: mensual "e inter(s sim$le. = > 65.888.888 n=
•
1 F
− 1 i P
I = 2% Mensual
n=
1 0.02
2.000.000 1.000 .000 − 1
n> n
F > 6;.888.888
=
[
50 1.0
]
n
= 50 Meses
ECUACIONES DE VA1OR EJUIVA1ENTES A INTERES SIM=1E
1os !ono!imientos - ,a'ili"a"es anteriores ,an teni"o $or o'4eto enten"er !omo !am'ia el #alor "el "inero en el tiem$o& -a sea $ro-e!t*n"olo a #alor 0uturo " me"iante el re!ono!imiento "e un inter(s a una tasa $a!ta"a o& $or el !ontrario& tra-(n"olo a un #alor $resenta P me"iante los mismo !on!e$tos.
1o anterior es "e suma im$ortan!ia $ara esta'le!er eui#alen!ias "e !anti"a"es !olo!a"as a "i0erentes 0e!,as $ara ,a!er transa!!iones 0inan!ieras& !omo $or e4em$lo& !am'iar la 0orma "e $ago "e una o'liga!i+n ue se ,a-a $a!ta"o ini!ialmente& me"iante el $ago "e otra o'liga!i+n en 0e!,as "i0erentes& !on la !on"i!i+n "e ue sean eui#alentes a la o'liga!i+n ini!ial& siem$re ue me"ie entre ellas una tasa "e inter(s i ' E4em$lo3 Se !ontrae una o'liga!i+n $ara ser !an!ela"a en "os !uotasK 6988.888 a los 9 meses 6;88.888 a los meses la !ual se realiz+ a una tasa "e inter(s sim$le "el 9: mensual. Si se "e!i"e !an!elarla to"a en el ter!er mes ser%a in4usto re!ono!er el total "e los 6;88.888 "el no#eno mes ue -a tienen un inter(s in!lui"o. En !onse!uen!ia& ,a'r%a ue "e"u!%rselos a los 6;88.888 tra-(n"olos a #alor "el ter!er mes. Anali!(moslos en el 0lu4o "e !a4a. 3
0
9
$300.000
P =
F (1 + in )
P =
200 .000 (1 + 0.03 × 6)
$200.000
P
= $169.492
En !onse!uen!ia lo !orre!to es 6988.888 65.<5.79 > %(*9'(9& =or el !ontrario& si se "e!i"e !an!elar to"a la "eu"a en el no#eno mes ,a'r%a ue $ro-e!tar lle#ar a #alor 0uturo/ los 6988.888 "el ter!er mes $uesto ue s+lo ,asta a,% tiene re!ono!i"o sus intereses. F = P (1 + in )
F = 300 .000 (1 + 0.03 × 6)
F = $354.000
De est* 0orma se !an!elar%an 697<.888 6;88.888 > %55('+++ A,ora& si se uisiera !ono!er !ual 0ue el #alor "e la o'liga!i+n !uan"o se !ontra4o& ,a'r%a ue lle#ar to"os los #alores al momento !ero& ue si se trata "e la a"uisi!i+n "e un eui$o& $or e4em$lo& ser%a el $ago "e !onta"o& enton!es3 P =
F (1 + in )
P =
300 .000 200 .000 + (1 + 0.03 × 3) (1 + 0.03 × 9)
P=$
(&'/1+
Se $ue"e !on!luir ue es lo mismo !an!elar 6<9;.58 "e !onta"o& 6<.<5.79 en el ter!er mes o 677<.888 en el no#eno sin ue re$resente #enta4as ni "es#enta4as $ara ninguno& $orue son !anti"a"es
e6,i7alentes' Situa!iones similares a (sta se $resentan !oti"ianamente en el mane4o "e !r("itos. =ara $lantear solu!iones eui#alentes se utilizan las e!ua!iones "e #alor& ue se a$o-an en el siguiente $rin!i$io 0inan!iero3 para comprobar sumas de dinero ubicadas en diferentes fecas! deber"n trasladarse todas ellas una misma feca! denominada feca focal# O !omo lo ilustran Bo"ie - Merton 5/3 dos cosas diferentes no se pueden comparar# L& "os !anti"a"es "e "inero u'i!a"as en 0e!,as "i0erentes& son "os !osas "i0erentes. En una e!ua!i+n 0inan!iera el la"o izuier"o "e la igual"a" re$resenta una o$!i+n - el la"o "ere!,o otra& $ero las "os son iguales $or lo !ual se !ali0i!an "e eui#alentes. E4er!i!io3 Se tienen tres letras $or $agar $or la !om$ra "e una picadora de pasto "e la siguiente 0orma3 6978.888 a < meses& 6<88.888 a meses - 6?88.888 a ? meses. 1a transa!!i+n se ,izo a inter(s "el ;: mensual. Si se uisiera !an!elar to"a la "eu"a entregan"o 6588.888 en el "%a "e ,o- - el resto en 7 meses !u*l ser%a su #alor
Contrato ini!ial
Nue#o !ontrato
4
6
8
350.000
400.000
800.000
5
100.000
El uinto mes se !onsi"era la 0e!,a 0o!al& lo ue in"i!a ue ,a- ue lle#ar to"os los #alores a esa 0e!,a $ara esta'le!er la eui#alen!ia& en !onse!uen!ia& la e!ua!i+n ue"ar%a $lantea"a "e la siguiente 0orma3
350 .000 (1 + 0.02 × 1) +
400 .000 800 .000 + = 100 .000 (1 + 0.02 × 5) + X (1 + 0.02 × 1) (1 + 0.02 × 3)
97.8889;.577<.5 > 558.888
5.789.?<558.888 >
8 %1'9')/(
En la segun"a alternati#a ,a'%a ue !an!elar 6588.888 "e !onta"o - 65.99.?< a los !in!o meses.
E:ERCICIOS PROP#ESTOS 5. =or me"io "e un $agar( nos !om$rometimos a !an!elar "es$u(s "e a@o - me"io un #alor "e 6 9.;?7.888. Si la tasa "e inter(s sim$le es el 5.7: mensual& ,allar el #alor ini!ial "e la o'liga!i+n. ;. HCu*nto ganan 6 9.788.888 "e $esos& en 7 "%as si se $restan al ;;.7: "e inter(s sim$le 9. Un in#ersionista estima ue una $ar!ela $ue"e ser nego!ia"a "entro "e 9.7 a@os $or 6 ?7.888.888. HCu*nto ser* lo m*2imo ue (l est* "is$uesto a $agar ,o-& si "esea o'tener un inter(s "el 5?: semestral sim$le <. allar la tasa "e inter(s mensual sim$le ue o'tenemos !uan"o in#ertimos 6;58.888 - al !a'o "e 58 meses $o"emos retirar 6955.78. 7. Si se $restan 6 <.?88.888 $esos al 5?.7: "e inter(s sim$le $or el t(rmino "e 5? meses& HCu*nto se re!i'e $or total !a$ital e inter(s/. . Se !om$ra un lote "e terreno $or #alor "e 6 .888.888. Si se es$era #en"erlo "entro "e un a@o en 6 5;.888.888& HCu*l es la tasa "e inter(s mensual sim$le ue rin"e los "ineros all% in#erti"os . Una !a4a "e a,orros re!ono!e el 7: trimestral "e inter(s sim$le. Si ,o- "e$osito 6 ;78.888& HCu*nto tiem$o "e'o es$erar $ara retirar 6 9;7.888
?. El ? "e marzo se $restaron 6;<8.888 al ;<: "e inter(s sim$le. HEn u( 0e!,a se #en!i+ el $r(stamo si se re!i'i+ un monto "e 6;<7.. !al!ula"o !on tasa "iaria e2a!ta . =ara "entro "e < meses "is$ongo "e 6588.888& "entro "e meses 6 77.888 - "entro "e 58 meses "e ?7.?8. Si !a"a uno "e estos "ineros los "e$osito& en sus 0e!,as& en una !a4a "e a,orro ue me $aga el ;&7: mensual sim$le& HCu*nto "inero $ue"o retirar al 0inal "el a@o 58. Un in#ersionista se en!uentra ante la a!!i+n "e elegir una "e las siguientes alternati#as3 a. Com$rar ,o- una 'o"ega $or 6;8.788.888& !on la $osi'ili"a" "e #en"erla $or 6 <8.788.888 "entro "e ;.7 a@os. '. =restar este "inero a una tasa "e inter(s "el ;.98: mensual sim$le. HJu( le re!omen"ar%a uste" al in#ersionista 55. El ren"imiento !orriente "el "inero& en un !ierto me"io 0inan!iero es "el ;?.7: "e inter(s sim$le& HCu*l "e las "os siguientes o0ertas ,e!,as $or una $ro$ie"a" es la me4or a/ 688.888 al !onta"o - una letra $or 69;.888 a 8 "%as& '/ 6988.888 a 7 "%as - 697.888 a 578 "%as. 5;. Si el ren"imiento "el "inero es "el 9: anual& HJu( o0erta es m*s !on#eniente $ara la #enta "e una $ar!ela a. 6 5.888.888 "e !onta"o '. 6 ;.888.888 ,o- - el sal"o en "os $agares3 uno "e 6 7.588.888 a no#enta "%as - otro "e 6 55.888.888 a los 5?8 "%as. 59. Se in#irtieron 6 ;.888.888 - "es$u(s "e tres a@os se re!i'ieron 69.88.888. HJu( tasa trimestral sim$le arro4o la o$era!i+n 0inan!iera 5<. a!e ? meses "is$on%a 6 ;.888.888 - ten%a las siguientes alternati#as "e in#ersi+n3 a. Com$rar un lote "e terneros $or este #alor& ue a $re!ios "e ,o- #ale 69.988.888. '. In#ertirlos en una enti"a" ue me $aga el ;.?: mensual sim$le Des$u(s "e !onsultarlo& me "e!i"% $or la $rimera alternati#a. HFue a!erta"a la "e!isi+n 57. HCuanto tiem$o "e'o es$erar $ara ue se "u$liue mi in#ersi+n& en una !or$ora!i+n ue $aga el ;.7: mensual sim$le 5. U". Tiene tres "o!umentos $or !o'rar& as%3 6578.888 $ara "entro "e meses& 6597.888 $ara "entro "e ? meses - 6978.888 $ara "entro "e 5; meses. Da"a su situa!i+n e!on+mi!a se #e en la $enosa ne!esi"a" "e nego!iar estos t%tulos !on un $restamista ue le !o'ra el ;.?: mensual sim$le. 1a $regunta es3 HCu*nto "inero es$era re!i'ir si la nego!ia!i+n la realiza en el "%a "e ,o- 5. Uste" tiene "os !uentas $or !o'rar3 la $rimera "entro "e ; meses $or #alor "e 6788.888 - la segun"a $or 65.888.888 "entro "e < meses. Simult*neamente tiene ue !an!elar una "eu"a !on tres $agos "e 6788.888 !a"a uno "entro "e 5& 9 - 7 meses. allar el #alor "el sal"o $ositi#o o negati#o/ "entro "e meses& si la tasa "e inter(s sim$le es "el 9: mensual. 5?. El se@or =a'lo Guar%n re!i'e en el "%a "e ,o- tres o0ertas $or un $ar!ela ue tiene en #enta. HCu*l es la me4or o0erta si la tasa "e inter(s es "el ;<: anual a. 6 .788.888 ,o- - un $agar( $ara "entro "e 5 "%as $or #alor "e 6 9.788.88 '. 6 9.888.888 a 5;8 "%as - 6 .988.788 a 5?8 "%as. !. 6 ;.888.888 ,o- - un $agar( $or 6 .788.888 < meses. 5. El ? "e marzo se $restaron 6;<8.888 al ;<: "e inter(s sim$le. HEn u( 0e!,a se #en!i+ el $r(stamo si se re!i'i+ un monto "e 6;<7.. !al!ula"o !on tasa "iaria e2a!ta ;8. Un $r(stamo "e 6788.888 "e'e !an!elarse "entro "e meses !on intereses al 5?: "e inter(s sim$le anual - !on la !on"i!i+n "e $agar el 58: $or mora. Si el "eu"or se retar"a 97 "%as en el $ago& !u*nto "e'er%a $agar $ara !an!elar la "eu"a
