Cuando un capital se invierte en una operación industrial, bancaria, comercial, o, simplemente se presta a alguien que lo solicite, esto produce beneficio o pérdida. Si se planteó bien la operación el capital invertido aumentará en determinada cantidad; ese aumento o beneficio que produjo el capital se llama interés. Como todo método de cálculo, hay convenciones aceptadas universalmente para que, aplicándolas, se pueda efectuar un cómputo de los resultados de una inversión de capital. l capital elegido como como base de comparación puede ser desde desde uno hasta infinito que que va a ser el n!mero abstracto, pues para "é#ico es en el caso de cálculos el Peso, as$ como en los stados %nidos de &orte 'mérica es el (ólar; para )talia es la *ira, para 'lemania es el +ranco etc. l interés o beneficio que produce -. /C)& 0S1S2 durante un a3o se llama tasa. Se denomina tiempo a la duración de la inversión. ste puede ser de cualquier magnitud4 mayor o menor de un a3o, y, por lo tanto, meses, semanas, bimestres, semestres, d$as, etc. Se llama interés simple cuando en los cálculos no se agrega el interés al capital al final de cada lapso de tiempo /a3os, meses, semanas, etc.2, sino que el capital que está produciendo beneficio sigue siendo el mismo y se van retirando los intereses conforme se obtienen. obtienen. 0ara iniciar nuestro estudio es necesario nombrar y darle una nomenclatura a los factores que aqu$ intervienen.
I C i t S
Inter terés simple Capital Capital nomina nominall (cantid (cantidad ad solici solicitada tada o deposit depositada) ada) Tasa de de in interés Tiempo Tiempo ( años, años, semest semestres res,, meses meses,, seman semanas. as. ) Suma Suma de [capita [capitall + interé interéss x tiempo tiempo]]
'l emplear esta nomenclatura en los problemas de imposición y amorti5ación de capitales el cálculo se simplifica notablemente en comparación en la nomenclatura usada en tiempos pasados por los Contadores /6enedor /6enedor de libros2. *as tasas reales que utili5an los 7ancos y otras )nstituciones +inancieras y Comerciales de "é#ico se determina sumando puntos porcentuales o un porcentaje a4
La tasa líder, es decir; la tasa de rendimiento que ofrecen los certificados de la
6esorer$a de la +ederación CETES , a 89 d$as en su colocación primaria. l CC!, Costo porcentual promedio de captación en "oneda &acional. La TII, o tasa de interés interbancaria de equilibrio.
LA. Javier Alvarez
s evidente que estas tasas son variables, por lo que no se mantienen constantes y cuando lo hacen sólo es por periodos. *a TII por ejemplo, se determina de acuerdo a las coti5aciones de los fondos que los bancos presentan al 7anco Central a través del 7anco de "é#ico. l CC! por otro lado, es la tasa oficial que el 7anco de "é#ico estima de acuerdo con los saldos saldos de captac captación ión bancaria bancaria en un periodo periodo mensual, mensual, para para ser aplica aplicadas das al mes siguiente.
"e#inici$n% El interés es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. El dinero, como cualquier bien, tiene un precio que es el interés. Este es el pago por el uso del dinero ajeno y se expresa [ I ]. Fórmula de interés simple 4 I = Cit
*a tasa de interés como ya se sabe puede ser anual, semestral, trimestral, bimestral, semanal, diaria, debiendo e#presarse el tiempo en a3os, meses, d$as, etc.
"e#inici$n% Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C se puede incrementar asta otra S , entonces el interés es igual a! S = I + C
+órmula del total acumulado o valor acumulado del capital. S = I + C
&ercicio% Tasa de interés simple en un préstamo *a empresa &ipon lectronic Co. +abricante de aparatos electrónicos desea terminar un lote de producción requerida por la fabricación de un televisor portátil, portátil, tiene la necesidad de solicitar un préstamo al 7anco mundial por la cantidad de :,. dólares. l banco le ofrece una tasa de interés simple del <= por término de - meses, se desea conocer cuánto tiene que pagar esta empresa al banco en el pla5o fijado.
Soluci$n% 0rimero hay que ver que - meses equivalen a4 l interés interés es igual a <= > .<.
-
-8
a3os nos da4 .9
I = Cit
" > /:,2 /.<2 /.92 /.92 " > -:, S > :,. ? -:,. S > <:,.
s evidente que estas tasas son variables, por lo que no se mantienen constantes y cuando lo hacen sólo es por periodos. *a TII por ejemplo, se determina de acuerdo a las coti5aciones de los fondos que los bancos presentan al 7anco Central a través del 7anco de "é#ico. l CC! por otro lado, es la tasa oficial que el 7anco de "é#ico estima de acuerdo con los saldos saldos de captac captación ión bancaria bancaria en un periodo periodo mensual, mensual, para para ser aplica aplicadas das al mes siguiente.
"e#inici$n% El interés es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. El dinero, como cualquier bien, tiene un precio que es el interés. Este es el pago por el uso del dinero ajeno y se expresa [ I ]. Fórmula de interés simple 4 I = Cit
*a tasa de interés como ya se sabe puede ser anual, semestral, trimestral, bimestral, semanal, diaria, debiendo e#presarse el tiempo en a3os, meses, d$as, etc.
"e#inici$n% Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C se puede incrementar asta otra S , entonces el interés es igual a! S = I + C
+órmula del total acumulado o valor acumulado del capital. S = I + C
&ercicio% Tasa de interés simple en un préstamo *a empresa &ipon lectronic Co. +abricante de aparatos electrónicos desea terminar un lote de producción requerida por la fabricación de un televisor portátil, portátil, tiene la necesidad de solicitar un préstamo al 7anco mundial por la cantidad de :,. dólares. l banco le ofrece una tasa de interés simple del <= por término de - meses, se desea conocer cuánto tiene que pagar esta empresa al banco en el pla5o fijado.
Soluci$n% 0rimero hay que ver que - meses equivalen a4 l interés interés es igual a <= > .<.
-
-8
a3os nos da4 .9
I = Cit
" > /:,2 /.<2 /.92 /.92 " > -:, S > :,. ? -:,. S > <:,.
&emplo% Tasa Tasa de interés simple en un préstamo *a Compa3$a urbani5adora @*os AacalesB quiere reali5ar la construcción de una área residencial en la 5ona oriente oriente de la ciudad, la necesidad de esta empresa es que por por el momento no tiene el dinero necesario para su construcción, y se ve en la necesidad de adquirir un préstamo a una )nstitución 7ancaria, esta a su ve5 le otorga :,. por un periodo de meses, y para eso debe pagar a la fecha de su vencimiento la cantidad de ::,., se desea conocer que tasa de interés le aplico el banco a este cliente. S = I + C
Se despeja ) y nos queda4 I = S - C
" > ::, D :, I > :,
'hora se utili5ara la siguiente fórmula4 I = Cit
:, > /:,2 / i 2 / E-8 2 :, > /:,2 / i 2 / .8: 2 :, > /-8:,2 / i2 C :, .< i = -8:, = i > / .< 2 / -= 2 > i > <= acumulado en una cuenta bancaria! bancaria! &ercicio% #onto acumulado
FCuánto acumulará en dos a3os en su cuenta bancaria bancaria el Sr. "orales si invierte 89,. ganando un interés del -G.= simple anual.
C ' *,. t ' años i ' -./ S ' C ( + it ) S > 89, H- ? /.-G2 /82 I S > 89, /-.<2 S > G,<99.
&emplo4 $la%o en que se duplica duplica una inversi&n con interés interés simple! *a Sra. Jarc$a es muy aficionada a los juegos de a5ar y ella participa en 0ronósticos (eportivos en su modalidad @"elateB, y obtuvo un segundo lugar otorgándole la cantidad de 8,, esta Sra. desea que su dinero dinero este en una inversión a pla5os pla5os fijos. %n banco le le ofrece un rendimiento del = anual de interés simple, en que tiempo podrá ella duplicar esa cantidad. C > 8,. S > 8 / 8, 2 > , i > = > . ) > S K C > , K 8, 8, > 8, ) > Cit 8, > /8,2 /.2 / t 2 8, = 8,/.;;2 = .;;
t t t t
> > > >
t
t
. a3os ? . . /-8 meses2 a3os ? .<<< meses a3os a3os ? meses ? .<<<< / d$as2
t ' años + meses + días
&ercicio% $recio de un bien con interés simple simple TII FCuál es el precio de un televisor si se paga con un anticipo del = y un descuento a tres meses con un valor nominal de ,<. suponga que la tasa de interés es igual a la TII más puntos porcentuales y que que el d$a de la compra la TII fue del -L.9=M
Soluci$n% Necuerde que la tasa de interés interbancaria de equilibrio TII depende de las coti5aciones que los bancos presentan presentan al 7anco Central y el el 7anco de "é#ico. 0rimero se encuentra encuentra el valor presente de los ,< sustituyendo sustituyendo i > .-L9 ? . > .89. S > ,<. el valor futuro del crédito, t >
o .8: a3os que es el pla5o.
S = C ( 1 + it ) ,< >C H - ? .89 /.8:2 I ,< >C / -.:L: 2
C
=
, 0++ .+121
C ' ,2-.*
0uesto que el anticipo fue del =, el resultado corresponde al G= del precio del televisor y por eso4 / .G 2 precio > ,LG.9
!recio >
, 2-.* .-
!recio ' 3,*13.3
FOué produce más interés invertir al 8.G<= simple anual o al <.-L= trimestral. Son equivalentes Se compra una computadora cuyo precio de contado es de 8,. y se liquida con un anticipo y otro pago a los 8 meses por -8,. Fde cuánto es el anticipo si se tienen cargos de 89.= simple anual. 9,:.:FCuánto debe invertirse ahora en una cuenta bancaria con interés del .<= simple anual para disponer de ,8. dentro de meses y de G,9. dos meses despuésM Calcule los intereses. -,G-<.<, interés -,89.< *a e#portadora NoebocP and Co. ha reali5ado una importante operación de compraventa por %S :,. en donde le pagan en tres abonos iguales. l primero el d$a de la compra y los otros dos a y < d$as, Fde cuánto es cada uno si se tienen cargos del 8<.9= de interés simple anualM F' cuánto ascienden los interesesM %S --L,8.8G b2 %S G,G8.9-
%na de las caracter$sticas de la vida moderna es la rapide5 con la que se cambian las cosas, y el mundo de las finan5as no es la e#cepción. s sorprendente ver cómo los sucesos nacionales e internacionales influyen sobre manera en las tasas de intereses que ofrecen los bancos y otras )nstituciones que se dedican a la transferencia de capitales en todas sus formas. 7asta con echar vista5o a lo que sucede en el área de remates de *a 7olsa "e#icana de Qalores para darse cuenta de ello, donde la coti5ación de las acciones y otros t$tulos de inversión cambian minuto a minuto dependiendo básicamente de la oferta y de la demanda con la que se negocian. sta dinámica da lugar a que las inversiones a pla5o fijo, los CTS por ejemplo, se ofre5can con periodos más cortos de lo que fueron en décadas pasadas. *os pla5os ahora se eval!an en d$as y no en meses u otras unidades como antes, en estas condiciones los cálculos operativos se reali5an por lo menos en cuatro formas distintas. l interés simple exac to se calcula sobre la base de <: d$as o << en caso de a3o bisiesto /cada a3os2. l interés simple ordinario se calcula siempre en base de un a3o de < d$as. sto simplifica algunos cálculos aritméticos pero el deudor paga más de interés al acreedor. l pla5o se eval!a de dos maneras4
Con tiempo real o exacto , si se contabili5an los d$as naturales entre la fecha inicial y terminal. Con tiempo aproximado , si todos los meses son considerados de d$as
&ercicio4 l Sr. Aes!s "art$ne5 desea adquirir un préstamo en el banco de la ciudad, dicha institución le está ofreciendo el plan de un crédito de interés simple con las dos opciones. l plan de interés e#acto y el plan de interés ordinario, en realidad no sabe cuál le beneficiar$a a él. *a cantidad que requiere es de :,. a una a tasa de interés del 8= anual, dicho crédito lo quiere solicitar a 9 d$as. )nvestigue por cual crédito se interesará el Sr. "art$ne5. 0lan Interés simple exacto 4 0ara saber el tiempo que se va a utili5ar en este plan debemos tomar los <: d$as del a3o y entonces obtendremos4 t
9
= ;<: =
.8-L-G9988
I = Cit I > /:,2/.82/.8-L-G99882 I > -,LG8.<
0lan Interés simple ordinario 4 n este plan el tiempo que vamos a utili5ar será de < d$as del a3o y as$ tendremos4 t
9
= ;< =
.888888888
I = Cit " > /:,2 /.82 /.888888882 I > 8,.
Si se hace la comparación de los dos planes encontraremos que para el Sr. "art$ne5 el más barato es el plan de interés e#acto pues sólo pagara de interés la cantidad de -,LG8.<.
&ercicio% Monto con interés simple ordinario! %tili5ando un interés simple ordinario , obtenga el monto que se acumula si reali5amos operaciones a partir del -: de mar5o hasta el -: de octubre del mismos a3o, depositando -:,. en una cuenta que abona con la TII ? 8.8 puntos porcentuales suponga que el TII es de 8-.-= anual. TII Soluci$n% mar5o abril a septiembre octubre
./ .3/
K 8: : d$as 2 -9 d$as -: d$as 8 d$as
T4T5L
S = C ( 1 + it ) S > -:, H - ?
.3 0
.3/
/82 I
S > -:, / -.-8L<<<<
-<,L:.
&ercicio% #onto con interés simple exacto! %tili5ando un interés simple e#acto y con tiempo real, obtenga el monto que se acumula si reali5amos operaciones a partir del -: de mar5o hasta el -: de octubre del mismos a3o, depositando -:,. en una cuenta que abona con la TII ? 8.8 puntos porcentuales suponga que el TII es de 8-.-= anual. Solución4 TII mar5o - K 8: < d$as abril mayo junio julio agosto septiembre octubre
T4T5L
-:
d$as - d$as d$as - d$as - d$as d$as -: d$as 8 d$as
S ' ( + it )
./ .3/ .3/
S > -:, [ +
( .3 ) /82 I 01
S > -:, /-.-98-982 S ' 0,210.-
&ercicio% Tasa de descuento simple ordinario! %na persona adquirió un préstamo en una institución bancaria la cantidad solicitada es de -,<9. y firmo un documento con un valor nominal de -:,., el crédito se lo dieron el d$a L de noviembre y lo deberá pagar el d$a 8 de abril del siguiente a3o el interés de simple ordinario. &o se sabe que tasa de interés le cobro el banco se necesita encontrarlo
Soluci$n% noviembre diciembre a mar5o abril
Total
D L /2
días días días 03 días I = S – C
) > -:, K -,<9. ) > -,G8. I = C i t
-,G8 > /-,<92 /i2 (
)
-,G8 > /-,<92 /i2 /
̅ 45
2 -,G8 > /i2 /<,882
i
'
-.12/
&ercicio% Crédito mercantil descuento simple exacto l < de octubre la Comercial +erretera Central vende diversos materiales y le firman un pagaré con un valor nominal de -,G:., con vencimiento al < de febrero del siguiente a3o a una tasa de interés de 89.= simple anual. a2.D FCuál fue el monto del créditoM b2.D FOué d$a se descuenta el documento en la cantidad de 8L,<8:. en un banco que opera con el 8L.-= de descuento simple anualM
Soluci$n% a2.D *os d$as que corresponden a este documento es de -8 S = C ( 1 + it )
-,G: > C H - ? / .89 2
( 01 )I
-,G: > C / -.L-L< 2 C >
, -1+ .+2+3+20
C > 8L,G.
b2.D
S = C ( 1 + it ) 8L<8: > -,G: H - K t / .8L- 2 I 2,01 ,-1
D - > D t / .8L- 2
.< D t / .8L- 2 3 t > +.+002)2 +.)2 t > .88LLLG a3os
.88LLLG # -8 > 8 meses .G:LL< # > 88 d$as o .88LLLG # <: > 9 d$as
#isten varios tipos de documentos que son comerciales y están reconocidos por las *eyes "ercantiles de "é#ico los principales son el pagare, la letra de cambio, los contratos convenidos por los autores. n este caso nos interesará el pagare que es el más com!nmente utili5ado en el comercio y las )nstituciones bancarias. 0or qué esta reconocido pues la ra5ón radica en que este documento puede ser variable al aplicarle la tasa de interés ya que en la letra de cambio el !nico interés autori5ado por las *ey "ercantil es del = anual y este no var$a además no tiene derecho a intereses moratorios, sin embargo, el pagare si puede variar la tasa de interés y además se le puede aplicar una tasa adicional como interés moratorio. 6ambién hay que tomar en cuenta que el pagare es más comerciable y cobrable a la vista del portador. 0ues hay que recordar por !ltimo que un pagare es un reconocimiento escrito de una deuda determinada especificada en cantidad de dinero y que el interesado firma para su buen cobro. F(e que consta un pagareM *os datos principales de un documento /pagare2 son los siguientes4 a2.D *ugar y fecha. b2.D 0la5o, que es el tiempo determinado, para liquidar la deuda. c2.D 'creedor /es la persona a quien se le debe el dinero2 d2.D Cantidad de dinero o valor nominal /en pesos, dólares, liras, etc.2 antes de interés. e2.D &ombre y firma del deudor, quien lo suscribe. f2.D +echa de vencimiento, es decir fecha l$mite para hacer el pago del pagare. g2.D Qalor del vencimiento; si no se estipulan los intereses entonces el valor nominal equivale al valor del vencimiento.
Su valor de vencimiento es S = C + Cit C ( 1 + it )
&ercicio% *a mpresa S)"&S Qendió un conmutador Jigaset -- con 9 l$neas, una central y además de un fa# con un valor de 8,. )Q' incluido, ya instalado. l cliente firmo documentos cada uno a un pla5o de , < y L d$as a partir del - de octubre del presente a3o con una tasa de interés del 8:.:= anual. Se desea encontrar las fechas de vencimiento de cada documento /pagare2 as$ como el valor de cada uno de ellos. - de noviembre, - de diciembre, y - de enero del siguiente a3o. S = C ( + it )
;
S > 8, H - ? /8:.:2 / -8 2 I S > 8, H - ? /.8::2 /.8:2 I S > 8, / - ? .<G: 2 S ' ,-1.
&ercicio% %na persona compro en una muebler$a una estufa, un refrigerador y un comedor estos tres art$culos tienen un valor de -,8:. más )Q', la muebler$a se lo está vendiendo a crédito de la siguiente forma 8= de enganche y el resto a < meses, Fn cuánto le salió comprar estos art$culosM FOué valor tienen los < documentos que tiene que pagarM FOué fecha de vencimiento tiene cada uno de ellos si la compra la reali5o el - de mar5o de 8- y se le aplica una tasa de interés del =M
%n contador va abrir su despacho y compra a crédito escritorios , sillas secretariales giratorias con sistema de respaldo con seguimiento, -8 sillas para recibidor, credensas, archiveros y un librero la compa3$a se lo vendió en
Cuando una persona firma un documento con su valor nominal y quiere pagar este pagare antes de la fecha de su vencimiento es necesario que la empresa acreedora le descuente los intereses del tiempo al que su cliente se adelantó a pagar. S > C / - ? it 2 C
=
S
- + it
jemplo4 l Consorcio 'rgos tiene una deuda con una )nstitución 7ancaria que fue contra$da con anterioridad por la cantidad de 8:,. con interés incluido, a un tiempo establecido de un a3o y medio a una tasa de interés del -:= anual. l consorcio quiere conocer su 6alor presente de este documento a 9 meses antes de su vencimiento. FCuánto cuesta este documentoM S > 8:,. t > 9 meses >
9 -8
> .<<<<<<<<
i > -:= > .-:
C
C
=
S - + it
8:, = - /.-:2/ .<<<<<2 +
C
=
8:, -+ .LLLLLL
C
=
8: , -.-
C > 88G,8G8.G
l Consorcio 'rgos si es que desea pagar el documento 9 meses antes de su vencimiento y deberá cubrir la cantidad de 88G,8G8.G. jercicio4 *a empresa "anufacturera "inera "e#icana, S.'. 6iene una deuda con el 7anco Central de la Ciudad que fue contra$da tiempo atrás. *o contrataron de la siguiente forma4 el capital es de - G<<,: con interés incluido fue contratado por un periodo de tiempo de 8 a3os a una tasa de interés de 89= anual. sta empresa desea pagar el crédito solicitado < meses antes de su vencimiento, el contador de la empresa quiere conocer que cantidad de dinero tiene que pagar antes de su vencimiento. ‟
ECUACIONES
DE
VALOR
Ray casos en donde el deudor desea cambiar algunas obligaciones de pago por otras a fin de beneficiarse, nos estamos refiriendo a lo que podemos llamar una reestructuración del crédito. 0ara poder llevar a cabo este tipo de transacciones es necesario que el deudor /el que debe2 y el acreedor /al que le deben2 stén de acuerdo en hacer este tipo de cambios en las obligaciones de pago de la siguiente forma4 a2.D *a tasa de interés que se utili5ará en la reestructuración. b2.D *a fecha de comparación de las obligaciones anteriores con las nuevas /fecha focal2. 'qu$ es necesario utili5ar los conocimientos antes vistos, es decir, interés simple, valor presente de una deuda, valor del vencimiento. n este tema y en muchos más es necesario considerar una l$nea de tiempo; es una l$nea que incluye las fechas necesarias. jemplo4 *a empresa "aster of "usic (igital adquirió un préstamo en tiempo pasado para adquirir materia prima por la cantidad de 8,:. (ólares y se le vence dentro de < meses dicho crédito originalmente fue contratado por -.: a3os con una tasa de interés del = anual y además, debe otro préstamo a la misma institución bancaria de 9:. (ólares y se vence dentro de L meses, intereses incluidos. *a empresa "aster of "usic (igital desea reestructurar el crédito dando al instante -,:. (ólares y el resto a un pago !nico dentro de un a3o con un rendimiento del L= de interés anual. Fncontrar el valor del pago !nicoM 6ambién se desea conocer a cuanto corresponde en pesos me#icanos. *o primero que debemos conocer es el valor real o con intereses de los 8,: (ólares. S = C ( 1 + it )
S > 8,: H - ? /.2 /-.:2 I S > 8,: /-.:2 S > ,<8:
Suma de las obligaciones originales en la fecha focal. •
•
n el caso del primer crédito de los ,<8: nos falta de pagar < meses y para completar el tiempo de la reestructuración a un a3o faltan otros < meses y en por ello como tiempo tomaremos .1 que es lo que cubre el tiempo necesario para la reestructuración. n el siguiente caso que es el segundo crédito por 9:, nos falta por pagar L meses pero para completar el a3o de la reestructuración a un a3o el tiempo faltante es de meses /L K -82. ,<8: H - ? /.L2 /.:2 I ? 9: H - ? /.L2 / ;-8 2 I ,<8: /-.-L:2 ? 9: /-.LG:2
,-.9G ? L8.9G S > :,8<.G *a suma del pago de la nueva reestructuración tendremos4 •
•
•
stá compa3$a al tiempo de hacer la reestructuración, tomando en cuenta el tiempo de los créditos en el que toma la decisión, al primer crédito le faltan < meses y al segundo crédito le faltan meses entonces tenemos que para cubrir el a3o solicitado pues le falta otros 0 meses y por ello decimos que4 l capital que utili5aremos serán los -,: (ólares que va a pagar al tiempo de la reestructuración y sobre ese capital haremos los movimientos para conocer el nuevo valor del documento. l interés que utili5aremos es el nuevo reestructurado que corresponde a L= > .L
-,: H - ? /.L2 /.:2 I S > -,GL8.: S > :,8<.G D -,GL8.: > ,G8.8
*a empresa "aster of "usic (igital deberá pagar hasta dentro de una a3o ,G8.8
&ercicio4 *a empresa "aquiladora )ndustrial 6angamanga, S.'. tiene una deuda de 9. (ólares contratada a -: meses a una tasa de interés del 89= anual y esta vence dentro de meses además tiene otra deuda con el mismo banco de L. (ólares contratada a dos a3os con una tasa de interés del = anual con vencimiento dentro de -G meses. l administrador de esta empresa le ofrece al 7anco una reestructuración de los créditos mediante pagos de la siguiente forma el primero de inmediato el segundo a un a3o y el tercero a 8 meses. *a institución bancaria le ofrece un rendimiento del <=. Calcular de cuánto debe ser cada pago ya que serán iguales (eudas originales S- = 9H- + /.892-8 / -:2I
> 9 /-.:2 > -,9. > L /-.<2 > -,.
S 8 = LH- + /.2/-8 8C 2I
a2.D Comparado las obligaciones anteriores con la nueva reestructuración a la fecha focal. •
n el primer crédito 8D > 8
•
n el segundo crédito 8 K -G > G
8 -,9H - ? /.<2 / -8 2 I ? -, H - ? /.<2 / G-8 2 I
-,G89. ? -,G8. ,G. ntre pagos iguales
;, CG .C ;
' ,10.*
-.D l Sr. Nosales invirtió un capital en el 7anco "e#icano y quiere saber en qué tiempo su capital que invirtió que era de -8,:. aumenta y se convierte en -G,. *a )nstitución bancaria le está ofreciendo una inversión del -9.= de interés simple. 8.D %n comerciante adquiere un lote de mercanc$a con valor de <,8G. que acuerda liquidar haciendo un pago de inmediato de --:,. y un pago al final de cuatro meses después4 'cepta pagar un <= de interés simple sobre su saldo. FCuánto deberá pagar dentro de cuatro mesesM .D %na persona participa en una @tandaB y le toca el decimoctavo mes para cobrar. Si de -9 meses recibirá :,. FCuál es el valor actual de su tanda con un interés simple del =M .D *a Sra. +ranco no recuerda que capital invirtió en el 7anco "ercantil 1brero, S.'. y lo !nico que se acuerda es que fue a un pla5o de - meses, a una tasa de interés simple del 8.=, cuando la Se3ora fue al banco a recoger su dinero le entregaron -8,:9L.. :.D %n individuo compró un automóvil nuevo por el cual pago L:,:. el primero de enero, y lo vende el primero de junio del a3o siguiente en -,.. 'parte del uso que ya le dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hi5o, considerando sólo los valores de compra y venta, F+ue conveniente como inversión la operación reali5ada si la tasa de interés del mercado era del <:=. <.D l Sr. "art$ne5 desea adquirir mercanc$a para la refaccionar$a que él tiene la empresa que le vende /proveedor2 le ofrece la mercanc$a a interés simple e#acto y ordinario es cuestión que el se3or "art$ne5 se decida por cuál de los dos quiere la operación la cantidad solicitada en mercanc$a es de ::,. a una tasa de interés del 8L= la compra se hace el 8- de febrero y el pago se reali5ará el - de octubre del mismo a3o FCuál inversión le conviene al Sr. "art$ne5M G.D l Sr. 6orres desea saber qué cantidad de dinero se necesita invertir, pues el 7anco "ercantil le está ofreciendo un rendimiento del 8:= anual de interés simple y quiere depositarla a un pla5o de < meses, la cantidad que quiere obtener es -,. 9.D l Sr. 1choa pidió un préstamo al 7anco Central por -L,:. a un pla5o de - meses con una tasa de interés simple del 88= firmando los documentos el d$a - de febrero de -LLL y desea liquidarlo < meses antes de su vencimiento, F' cuánto asciende el documento originalM FCuánto va a pagar liquidando antes de su vencimientoM L.D *a Compa3$a Consumibles para Computadoras, S.'., tiene un adeudo con el 7anco del &orte, debe :,. con un vencimiento a meses, 8,. con vencimiento a < meses y -,:. a L meses, el interés está ya incluido, quiere reestructurar su deuda de la siguiente manera dos pagos iguales un con vencimiento a los < meses y el otro a un pla5o de -8 meses4
(eterminar el importe de cada uno de los nuevos documentos si se sabe que el 7anco del &orte le ofrece un rendimiento para la reestructuración del :=. -.D *a Compa3$a "illenium Compra art$culos por la cantidad de ::,. y le ofrecen hacer tres pagos iguales uno en 8 meses, el siguiente en meses y el !ltimo a < meses, la empresa que se los vendió le otorgo crédito pagando al momento el 8:= del valor de la mercanc$a y la tasa de interés que le aplica es del := anual. (iga usted a cuánto asciende cada documento.
Cuando se otorga un crédito bancario, las operaciones se acostumbran en algunas ocasiones cobrar el interés en el momento que se efect!a el préstamo. Cobrar los intereses por adelantado, en lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento, esto se llama descuento 7ancario, descuento comercial o simplemente descuento. 'l interés cobrado anticipadamente se le llama descuento y la cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, una ve5 descontados los intereses se llama 6alor e#ecti6o. -
jemplo4 %n comerciante solicita al banco un préstamo quirografario por la cantidad de -,. a 8 meses de pla5o y los intereses se cobrarán por adelantado, si la tasa de interés, es del = mensual, el interés anticipado o descuento a cobrar en el momento de recibir el préstamo es4
)nterés anticipado > descuento > " > Cit . > /-,2 /.2 /82 > <. l valor efectivo o cantidad recibida por el solicitante será de4 Qalor efectivo > ,. 8 0 ' 2,3.
l comerciante que solicito el préstamo recibe en realidad L,. en lugar de los -,., pero al cabo de los 8 meses tendrá que pagar al banco los -,. solicitados que nunca se reciben, se convierten en el monto a pagar.
jercicio4 %n empresario solicita un préstamo quirografario al banco central por la cantidad de --9,. a un pla5o de L d$as, siendo aplicada una tasa de interés del 8G= anual siendo esta una tasa de descuento. Calcular a cuento asciende el descuento y cuál es el valor de efectivo.
-
Se trata de un crédito otorgado por una )nstitución 7ancaria a un cliente, quien se obliga mediante un pagaré, a devolver la cantidad solicitada a la fecha de vencimiento. ste tipo de crédito se llama quirografario debido a que no requiere garant$a ya que el préstamo se respalda solamente con la firma del cliente, aunque puede ser también con aval. *os pla5os que se conceden normalmente son de , < y L d$as.
l descuento se calcula mediante la siguiente formula. =
118
27
l valor efectivo será
) 9 = $ 7,965.00
(
Q > --9, K G,L<:. > ,1.
Nesumiendo4 l empresario pide un préstamo bancario por --9,. a un pla5o de L d$as. Como el préstamo se reali5a a descuento, el empresario paga de manera anticipada los intereses por la cantidad de G,L<:. y recibe solamente --,:. el empresario firmo un documento en el banco por la cantidad de --9,. a un tiempo de L d$as. 0réstamo con descuento
l solicitante recibe )ntereses pagados l solicitante liquida
--,:. G,L<:. --9,.
0réstamo con intereses
--9,. G,L<:. -8:,L<:.
*a práctica del descuento, además de permitir al banco disponer de inmediato del dinero correspondiente a los intereses, hace que la tasa de interés que se está pagando por el préstamo sea mayor que la indicada. sta tasa de interés recibe el nombre de tasa de rendimiento. jercicio4 %n distribuidor de pinturas no cuenta con dinero para comprar un lote de mercanc$a del pró#imo mes y solicita al banco un crédito quirografario por la cantidad de L,., el banco le está ofreciendo un rendimiento del 89.8G anual el pla5o solicitado es de < d$as se necesita conocer la cantidad que recibirá4 =
r > " > L, (
)
6
2827
r > " > L, /.G9:8G2 /<2 r > " > ,8.:
*2,1-1.21
Racerlo en forma al revés.
jercicio4 %n banco está cobrando la cantidad de : de descuento al Sr. "art$ne5 por un préstamo que solicito a un mes de pla5o como crédito quirografario. Si la tasa de descuento es del = anual. a2.D FCuánto debe pagar al vencimientoM b2.D FCuánto recibe el Sr. "art$ne5M c2.D FCuál es la tasa de rendimientoM a2.D (espejando el "onto de la ecuación se tiene =
445
= *
1
=
+
445
= $17 8
25
2
b2.D Se calcula el valor efectivo. 'E ( S ) * > -G,9 K : > -G,::
c2.D =
7 8 7
;
55
7 55
=
25641
25
r > 8.:<-8:= mensual i > .G
&ercicio% FOué cantidad deberá solicitar un cliente al 7anco si este tiene la necesidad de recibir la cantidad de 9, pagar en L d$as, si la tasa de descuento es del = anual. Solución Conociendo el tiempo /-8 semanas que es igual a 9 d$as2, la tasa de descuento y valor efectivo /9,2 y se pregunta por el monto a solicitar, tenemos4
=
8
=
1 −
= $86 486 48
1−( )
9
%n empresario solicita un préstamo quirografario por una determinada cantidad de dinero. Si el pla5o es a dos meses y la tasa de descuento es del := FCuál es la tasa de rendimientoM
=
0 35 ( ) 12 0 35 ) 2 ;
> .LG:- por mes
12
N > .LG:-= mensual > G.-
1tra forma de resolver el problema, es4
35
=
5
1−(
)
2
2
r > .G-<9- por a3o
G.-<9-= anual
Cuando una persona o institución compra un pagaré a la fecha de vencimiento, es com!n que el comprador aplique una tasa de descuento sobre el valor de vencimiento del documento, y esto es por el tiempo que falta para que el pagaré ven5a. sta acción recibe el nombre de "escuento de un pa9aré.
l descontar un pagaré equivale a un préstamo igual al valor de vencimiento de documento que el banco u otra persona f$sica o moral, concede al propietario del mismo, aceptando como garant$a el pagaré. %n pagaré se puede descontar una o dos veces antes de la fecha de vencimiento, y cada comprador descuenta el pagaré por el tiempo que falta para su vencimiento. 0or lo general, la tasa de interés aplicada en el préstamo original y la tasa de descuento aplicada al venderlo no son iguales. ' esto se le llama 6alor e#ecti6o del pa9aré a la cantidad que resulta después de restar el documento del valor de vencimiento. l valor efectivo de un pagaré es el valor que este tiene en la fecha en que se descontó.
jercicio4 l - de "ayo, la empresa 0lásticos y derivados, S.'. vende diversos productos a un comerciante por el valor de -:,G:, con interés incluido. l comerciante firma un documento con vencimiento para el pró#imo - de julio del mismo a3o con una tasa de interés del 8.<= anual, si el 8: de junio la empresa plásticos y derivados descuenta el pagaré en el 7anco FOué cantidad recibe sabiendo que la tasa de descuento es del 8G= anual y se toma mediante4 8
a2.D (escuento racional b2.D (escuento bancario n primer lugar se obtiene el valor de vencimiento del pagare, ya que el descuento se lleva a cabo sobre dicho valor.
=
243
1 5 475 1
6
6 36
-L,G:G.89
:alor del 6encimiento -:,G:
-L,G:G.89
- mayo
8: junio Q
- agosto
(onde Q el Qalor de fectivo o cantidad que recibe la empresa por el documento. a2.D Si el documento se descuenta mediante descuento racional, el valor efectivos el valor presente del documento : d$as antes del vencimiento.
=
1 9 757
= $1 8 215 21
28 1 8
(
27
)
19
*os intereses se calculan sobre el valor efectivo, empleando una tasa de interés efectiva, a fin de capitali5ar la operación. 's$ pues, a partir de la capitali5ación simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional.
l descuento bancario es el interés calculado sobre el valor nominal de un t$tulo de valor /pagaré2, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor l$quido, el cual se representa como el valor verdadero importe financiado, la tasa de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de
descuento
b2.D Si el documento se descuenta mediante descuento bancario, el valor efectivo se obtiene mediante la siguiente forma4
27
= 1 9 757 28
36
1−
19
= $1 8 193 23
Como se puede ver, el valor efectivo mediante descuento bancario es menor que el valor efectivo mediante descuento racional.
&ercicio% %na casa que está hipotecada en una )nstitución 7ancaria por el valor de 8G:,. al vencimiento, suponiendo que el rendimiento de descuento que ofreció el banco es del 8:= de interés simple, a un tiempo de < meses Fcuál es el descuento real que se aplicará a la hipotecaM 0rimero necesitamos encontrar el valor presente que corresponde a los < meses que se va a pagar antes de su vencimiento. C > M S > 8G:, i > 8:= > .8: t > .:
C = - s it +
C =
C
=
8G:, - + /.8:2/.:2
8G:, -.-8:
C > 8,.
%tili5ando el descuento *r > S K C 8G:, D 8,. *r > ,:::.:<
D = S d t
l valor presente de S es dado por4 C > S K *
> S D S d t
S / - K dt 2
Se desea conocer el (escuento comercial o descuento a una tasa de descuento de una casa hipotecada con valor de 8G:,. cuyo vencimiento es dentro de los pró#imos < meses el banco nos ofrece una tasa de descuento del 8:=. Fncontrar el valor presente de la hipotecaM S > 8G:, i > 8:= > .8: t > .: * ( S d t * > 8G:, /.8:2 /.:2 * > ,G: C ( S)* C > 8G:, D ,G: C > 8,<8:
&ercicio% %na persona adquirió una lavadora en "ueble ahorro, y firmo un documento a -8 meses por la cantidad de 8,:., esta persona quiere liquidar su documento faltando meses para su vencimiento y el centro comercial "ueble ahorro le ofrece una tasa de descuento del -9= FCuánto tiene que pagarM %tilice el descuento real o descuento simple a una tasa de interés.
&ercicio% %n comerciante remodelo su negocio, dicha remodelación le costó ,:.. T para esto firmo un documento a -9 meses con interés incluido, como el negocio marcha bien pagará dicho documento < meses antes de su vencimiento, la empresa que le remodelo el negocio le ofrece un descuento comercial o descuento simple a una tasa de descuento del :=, F' cuánto asciende el documento al momento de pagarlo.
&ercicio% %na fábrica de muebles @"uebles y similaresB adquirió madera para la fabricación de más muebles, el costo de la madera /materia prima2 es de 88,. con interés incluido, la forma de pago fue de := del costo como enganche y el resto firmar un pagare a un pla5o de -8 meses. *a fábrica de muebles obtuvo un contrato de venta y por ello recupero el costo de la materia prima, y toma la decisión de liquidar el pagare que tiene pendiente con su proveedor, el tiempo que falta para su vencimiento es de meses. l proveedor debido a su pronto pago le otorga un descuento del 8<=, FCuánto tiene que pagar por dicho documento.
DESCUENTO DE PAGARES
%n pagare como es sabido es un documento comercial y es por ello que es el más aceptado en los negocios y por las )nstituciones bancarias además de las *eyes mercantiles que rigen en nuestro pa$s, es por eso que este documento puede venderse en varias ocasiones siempre y cuando no llegue a su fecha de vencimiento, cuando es vendido un pagare se le aplica un interés al comprarlo y por ello el tenedor del pagare no recibe el total nominal de dicho documento.
&ercicio% %na agencia de automóviles cada que vende un auto a crédito al cliente le hace firmar documentos por el valor del auto y para poder tener capital los documentos los descuenta en el banco de la ciudad. l d$a de hoy vendió una camioneta y los documentos que firmó el cliente tienen un valor de L:,. con un interés del 8=, el pla5o que le dio al cliente fue de -9 meses. l due3o de la agencia se decide a llevar los documentos al banco para descontarlos faltando !nicamente -8 meses para su vencimiento, el banco le acepta los documentos aplicando un rendimiento de descuento del :=, a cuánto asciende el descuento. Qalor del vencimiento ( C + C i t -9
S > L:, ? L:, /.82 / -8 2 S > L:, ? ,8 S > -8L,8
ste valor de -8L,8 entre los -9 meses es igual a -,--.-- cada documento Como !nicamente se descontarán -8 documentos el valor a descontar será de 9<,-. Qalor de los documentos descontados C C i t S > 9<,-. D 9<,-. /.:2 /-.2 S > 9<,-. K ,-<.<< S > ::,L9<.
l banco solamente le dará ::,L9<.
&ercicio% *a empresa Necubrimientos 'nticorrosivos, S.'. vendió recubrimientos por valor de 8<:,G9. a crédito y la empresa le aplicó al crédito un = de interés a un pla5o de 9 meses, la empresa de Necubrimientos 'nticorrosivos quiere descontar el documento que le faltan :meses para su vencimiento. l banco le ofrece una tasa del 8= FCuál es el precio de dichos descuentosM
Qalor del vencimiento4
S = C ( 1 + i t )
S > 8<:,G9 H - ? /.2/ -89 2 I S > 8<:,G9 H -.88 I S > 8,8:-.<
0eriodo de descuento
D = S d t :
* > 8,8:-.< /.82 / -8 2 * > 8,8:-.<< /.-G:2 * > :<,G.
0recio de la venta del pagare
C = S - D
C > 8,8:-D< D :<,G. C > 8
&ercicio% *a empresa '5ulejos y 0lomer$a del Jolfo descontó en un banco un pagare cuyo valor nominal es de -<<,<<<.
%na compa3$a de productos ópticos reali5ó una venta en la pla5a San *uis por la cantidad de :,GL. y fue a crédito con un rendimiento del := a un pla5o de -9 meses, esta empresa descontó en el banco dicho documento -8 meses antes de su vencimiento y le ofrecen u rendimiento del -= FOué valor tiene ahora ese documentoM
Se desea descontar un documento en el banco cuyo valor nominal es de -:,. y le faltan - meses para su vencimiento. l banco ofrece un rendimiento del 89=. FCuál es el valor de dicho documentoM
-.D l gerente de una empresa de venta de materiales para construcción solicita un préstamo al banco por :, a dos meses /< d$as2 de pla5o, y le otorga el banco una tasa de descuento del = anual. Calcular el descuento y el valor efectivo. 8.D 1btenga el descuento y el valor efectivo de L,8 /dólares2 con vencimiento dentro de -8 d$as con una tasa de descuento de 9= anual. .D %n fabricante de ropa solicita un préstamo al banco por la cantidad de 8:9,G el d$a -L de abril. l préstamo de descontó al 8.<-= mensual y se tiene que liquidar el -: de junio. FOué cantidad recibió el fabricanteM FOué cantidad tiene que pagar a la fecha de vencimientoM .D l director de una escuela solicito un préstamo por la cantidad de <, a : d$as de pla5o, la tasa de descuento es del .8= mensual, para la compra de un equipo de proyección de video. a2.D Si el equipo cuesta ,< más -<= de )Q', Ftendrá suficiente para pagar el productoM b2.D FCuánto se necesita pedir con el fin de obtener la cantidad e#acta para comprar el equipoM :.D %n estudiante pide un préstamo por ,< a - d$as de pla5o y recibe !nicamente ,-. FCuál fue la tasa de descuentoM %tilice el a3o comercial. <.D %na ama de casa firma un pagare por la cantidad de <,8 a meses de pla5o y recibe un valor efectivo de :,L8:. FCuál fue la tasa de descuento que se le aplicoM FCuál es la tasa de rendimientoM G.D Se carga un descuento de 9:9 por un préstamo bancario a 8 meses. Si la tasa de descuento es del = mensual. FCuánto se debe liquidar a la fecha de vencimientoM FOué cantidad recibe el solicitanteM 9.D Calcule la fecha de vencimiento de un documento que se descuenta el de mayo a una tasa de descuento del .GG= anual el valor efectivo es de --,
L.D FOué tasa de rendimiento obtiene una empresa de factoraje financiero que utili5a una tasa de descuento del -= en todas sus operaciones de descuento a : d$as de pla5oM -.D FCuánto recibe un Jerente de una jugueter$a por un pagare con valor de vencimiento por -G, que descuenta en un banco un mes y medio antes de su vencimiento, si se le aplica una tasa de descuento del .--= mensualM FOué tasa de descuento gano el bancoM --.D FOué cantidad deberá solicitar una persona en un préstamo pues necesita 88, dólares. ' pagar en meses, si hace una solicitud en un banco que le aplica una tasa de descuento del .
8.D FCuál es valor de vencimiento de un pagaré que queda en poder del banco, si el prestatario recibe un valor efectivo de :,G.LM el pla5o es de : d$as, y la tasa de descuento es del 8G.-<= y se cobra una comisión del 8.:= sobre el valor de vencimiento. 8-.D Se desea descontar un pagaré con valor de vencimiento de :,8: dólares cuando a!n falta d$as para su vencimiento, bajo las siguientes condiciones4 a2.D 6asa de descuento4 -= anual. b2.D Comisión = /m$nimo : dólares2 c2.D 1tros gastos - dólares. Calcule el valor. 88.D %na persona dedicada a la construcción transfirió un pagaré a un banco, el documento tiene un valor de <9, y vence dentro de 8 meses. Si el banco tiene una tasa de rendimiento del 8:= anual, obtenga la tasa de descuento y el valor efectivo recibido por esta persona. 8.D l -: de noviembre una empresa vin$cola vende mercanc$a a crédito por la cantidad de --, con una tasa de interés del 88= anual el compromiso se formali5a mediante un pagaré que vence el - de enero del siguiente a3o, pero el 8 de diciembre de descuenta en el banco recibiendo ---,8 por el documento. Si el banco cobra una comisión del -= sobre el valor de vencimiento, obtener4 a2.D l valor de vencimiento del pagaré. b2.D *a tasa de descuento.
"uchas deudas se liquidan mediante un pago !nico a la fecha de su vencimiento sin embargo, es com!n que los créditos se contraten para pagarlos mediante abonos o pagos parciales. n este caso se dice que el préstamo se amorti5a. 'morti5ar; Significa saldar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, los cuales pueden ser iguales o diferente. n la mayor$a de las operaciones a crédito se acostumbra saldar deudas mediante abonos de igual cuant$a, de manera que incluya el capital e intereses y reali5ados a intervalo de tiempo iguales para que esto sea as$ basta dividir el monto entre el n!mero de pagos es decir4
= *a amorti5ación de una deuda puede llevarse a cabo utili5ando interés simple o compuesto. *a amorti5ación con interés simple se lleva de dos maneras
Con interés global Con interés Saldos insolutos .
ste tipo de amorti5ación los intereses se calculan sobre el total de la deuda sin tomar en cuenta los pagos parciales efectuados jemplo4 l Sr. "edina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de <,., más )Q' y tine que dar un enganche de 8:=, las siguientes condiciones del crédito son4 *a tasa de interés global es del L.9=, y reali5ará < pagos, los abonos serán mensualidades iguales en cantidad, calcule en valor del abono mensual.
Capital + impuesto n9anc=e 1/ Interés
4!;5CI4<S 0, (.0) '
S5L"4 0,20 1,
<,L< /.8:2 D 98 L.9= > > .8 2
3984
!a9o mensual
6
= 5 22 1 = 5 22 [112 992] = 5 22 [1 1992] 6 259 6
0,12.*3 ,3.
*a Le> ?ederal de !rotecci$n al Consumidor proh$be el uso de interés global en todas las operaciones a crédito. l 'rt$culo
s una regla injusta ya que no bonifica intereses a los abonos efectuados. *a tasa de interés en realidad es superior a la tasa mencionada.
*os pagos hay que separarlos de los intereses -,. de capital son 9G. 's$ tenemos 9G. por < meses nos da :,88.. ntonces pagamos mensualmente 9G. de capital y -G. de interés. Cada mes de reali5ado un pago, la deuda se deduce 9G. pero el deudor sigue pagando los mismos intereses; esto hace que la tasa de interés no sea en realidad del L.9= sino que aumenta cada mes; por ejemplo después de abonos el capital de la deuda se reduce a -,G y el interés sigue siendo de -G., por lo tanto, la tasa de interés aplicable al quinto mes es4
=
1
12 =2.1/
'l momento del !ltimo pago, el deudor para un interés de -G. sobre una deuda de -,G. y solamente el primer mes pago un interés justo de L.9=.
FOué son las %()s en un crédito hipotecarioM *as %dis son una @especieB de moneda, cuyo valor en pesos es determinado diariamente por el 7anco de "é#ico, con base al @ndice
FCrees que porque pagas tu mensualidad a tiempo estas pagando tu deudaM NN1N porque tu crédito está en %()s. s a 8 o a3os y entre más largo el pla5o menos capital pagas en tu mensualidad, casi no pagas capital a pesar de pagar puntualmente. jercicio demostrativo4 %n cliente que tiene un crédito hipotecario en %()s, contratado en octubre del 8< a 8: a3os, es decir hace G a3os, observa lo que pasa al pasar las %()s en pesos. s importante mencionar que el efecto es similar en caso de una hipoteca actual, sea en pesos y tenga una tasa de interés superior al -8=.
"euda ori9inal 4ctu7re 0 H,
:alor "Is
:alor actual GoctG
"euda actual
Fensualidad ori9inal
Fensualidad actual
1ctubre 8< .G8:
%()s .L9GL8
0esos -U-G,
0esos no fija --,8
0esos no fija -,L<.G
Total pa9ado en *3 mensualidades 1bservemos si la primera mensualidad era de
23, > 8,LLL.L:L %()s
2
7
25
0ero las %()S al - de octubre de 8- tenemos 8,LLL.L:L a .L9GL8 >debes pagar
3,20.3n lugar de pagar el -G= del crédito hipotecario, estas pagando ahora el 88=
Si la palabra Insoluto significa lo no pa9ado, entonces los intereses cobrados sobre el saldo insoluto significa el interés calculado en una deuda sobre el saldo que queda por pagar cada ve5 que se reali5a el abono. jercicio4 l Sr. 0ére5 compra una lavadora a crédito, cuyo precio de contado es de <,., bajo las siguientes condiciones de pago; interés del L.9= a < meses dando abonos mensuales de igual cantidad. Calcular el interés sobre saldos insolutos. Solución4 l problema se resuelve de dos formas, en primer lugar se resolverá desarrollando una tabla de amorti5ación la cual muestra la evolución de la deuda, periodo a periodo. ' este método se le conoce como interés so7re saldo deudorJ n este momento es necesario mencionar la diferencia que e#iste entre abono y amorti5ación. 5mortiKar significa liquidar el capital mediante una serie de pagos, generalmente iguales, mientras que el a7ono es la suma de la amorti%aci&n, ms el interés generado en el periodo, por lo anterior, la amorti%aci&n es parte del abono que reduce el capital de la deuda . T se simboli5a mediante la letra @'B
6 6 =
= $1
=
*os intereses mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital /saldo insoluto2 que va quedando después de cada amorti5ación desde el inicio del crédito hasta el final del primer mes, el saldo insoluto es de <,. 0or lo tanto, el interés a pagar la primera amorti5ación será4
= 6
398
1 = 199 2
4 12 'l final del primer mes tendrá que pagar -, de amorti5ación más -LL.8 de interés; es decir se tendrá que dar un abono de ,22.. l saldo insoluto al inicio del segundo mes es de <, D -, > :, el interés a pagar en el segundo mes será4
398 = 5
12
4 1 = 166
l segundo abono será de -, ? -<<. > -,-<<. 'l pagar el segundo abono el saldo insoluto es de :, D -, > , el interés a pagar al final del tercer mes es4
398
= 4
1 = 132 8
4 12 l tercer abono será de4 -, ? -8.9 > -,-8.9. Continuando de esta manera, es posible elaborar la siguiente tabla de amorti5ación4
Fes 3 1 0 Total
5mortiKaci$n -, -, -, -, -, -, <,
Interés -LL.8 -<<. -8.9 LL.< <<. .8
57ono -,-LL.8 -,-<<. -,-8.9 -,LL.< -,<<. -,.8
Saldo insoluto <, :, , , 8, -,
0,02-.
l precio total pagado del crédito es de <,
=
=$
1tra +orma más sencilla para obtener este mismo resultado es utili5ando la siguiente fórmula4
=
�− � ��
;
%tili5ando los mismos datos del ejercicio anterior tenemos4 �� �� %
� − � �� � ��� �� ��% = �− �
� ���
�
���� ;� � ��� �
=
�−�
� ���
�������� =
� � ��� �
� ���
� ������
=
��� � ��� �
� ��� ∙ � ���� = � ���������
;�
' ,2.0
'hora construiremos la tabla
?ec=a
!a9o
2.*3/ interés
5mortiKaci$n
Saldo
mensual 5l momento de La operaci$n ?in del er. mes ?in del do. mes ?in del er. mes ?in del 3to. mes ?in del 1to. Fes ?in del 0to. mes Totales
Saldo insoluto
(Capital) <,.
-,--L.< -,--L.< -,--L.< -,--L.< -,--L.< -,--L.<
-LL.8 -<9.<: -G.L -.9 G.G9 :.L<
L8.-< L:.GL98.8G -,-.99 -,9.:9 -,9.
0,-0.0
-0.0
0,.
:,GL.9 ,-8L.- ,-<.9< 8,--.L9 -,9. >>
&ercicio% )mplementos agr$colas, S.'. vende un tractor cuyo precio de contado de :8:, bajo las siguientes condiciones4 (ar un enganche de 8:= del precio de contado y el resto a pagar en G8 abonos quincenales iguales en cantidad a una tasa de interés simple del = sobre saldos insolutos . Calcule el importe del abono quincenal. Solución4 l valor de la deuda es el precio de contado menos el enganche. sto es
11, 8 1/ 11, 8 ,1 ' 2,-1
=
�− �
;
��� ��� =
�− � %
;
��
�� ��
� ���� �� ��� ��� =
�− �
�
������� ;�� � ����� ��
��� ��� =
� ��������� � ��������
��� ��� ∙ � ������� ' � ������ ���
2,3.3
&ercicio% Se obtiene un préstamo en el 7anco Central por la cantidad de <, que se pagarán en pagos iguales los pró#imos - meses, sobre una tasa de interés del -9= sobre saldos insolutos . Calcular la cantidad a pagar y construya la tabla de amorti5ación
1− 1
=
;
36
36 8
1− 1
=
= 2
⁄ 12
18 ⁄ 18 12
;
=
7 8
∙ 8
27
5
8
5
=
> ,2.0
5
8
27
8
Fes
!a9o mensual
Interés
5mortiKaci$n $ a7ono
Saldo
3 1 0 * 2
>o> ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,L.< ,-<.-
>o> :. 9L.: 9. 9<.: .:L 89. 88:.
>o> ,<.< ,-.L ,<:.8L ,:-G.8G ,:G. ,<8.:9 ,
<,. 8,<<.G 8L,888.89 8:,G:<.L9 88,8L.G -9,<o>
&ota4 Ray que observar que en el pago final se necesita hacer un ajuste pues la diferencia entre el pago mensual de ,L.< y la diferencia con el interés de <-.-8 nos da un resultado de ,98.: faltando la cantidad de 88.: para liquidar la deuda. 0ara ello sumaremos los ,98.: más los 88.: dando un total de ,G:. y es cuando se liquida la deuda, as$ como el !ltimo pago será de ,-<.-
jercicio4 %n préstamo por L, debe liquidarse debe pagarse en un a3o mediante pagos bimestrales cobrando una tasa de interés sobre Saldos insolutos igual a la 6)) vigente en el momento de reali5ar el pago más - puntos porcentuales. l préstamo fue otorgado el : de julio y los pagos deberán hacerse los primeros : d$as hábiles del mes vencido, empe5ando el : de agosto, obtenga el pago total que deberá reali5ar cada bimestre, sabiendo que las 6)) fueron las siguientes
imestre 3 1 0
TII -.:8= -.-= -.G:= --.= --.= --.9G=
n este caso el interés total no puede ser calculado mediante la fórmula ya que la tasa de interés en variable. 0or lo mismo no es posible obtener un pago bimestral constante. l problema se tiene que resolver bimestre por bimestre.
= 7imestre
=
6)) más - 'morti5ación puntos
)nicio 8 : < 6otal
.1/ ./ .-1/ ./ .3/ .*-/
1,. 1,. 1,. 1,. 1,. 1,. 2,.
)nterés
,-*. ,1*.-1 ,-1. ,1-1. ,-. 130.-1 ,*.1
0or bimestre 'bono
*,-*. -,1*.-1 -,-1. 0,1-1. 0,-. 1,130.-1 ,*.1
Saldo insoluto
2,. -1,. 0,. 31,. ,. 1,. . ' o '
Cómo sale el interés.
5mortiKaci$n
Tasa de interés
Importe por interés
1,. ,1. ,. -,. 1,.
8.:8= 8.-= 8.G:= 8-.= 8-.=
,G9. 8,:9.G: 8,G:. -,:G:. -,G.
15 ,1. :<.G:
6 ,1.
8-.9G=
&ercicio% 1btenga el precio de contado de una videocámara digital que se compra a crédito, de la siguiente forma4 sin enganche y a < mensualidades de 8,8G.9< que incluye interés del :.= anual sobre saldos insolutos. 7uscaremos el precio de contado de la videocámara, entonces la amorti5ación será4 'l sustituir los valores4
=
1
8,8G.9< /<2 > S > -,<8:.-<
13 625 = 1
16 (
5 2
)
6
13 625 =
16 1
6
295
13 625 16 = 1 177
,1-0.-
-.D n un anuncio de una agencia automotri5, aparecida en el periódico local, mencionan la venta de un automóvil nuevo pagando un enganche del = y el resto en < mensualidades con el -8= de interés anual. Si el automóvil nuevo cuesta 8. Calcule4 a2.D *a cantidad total que se paga por el automóvil. b2.D l interés total que se pagará por el financiamiento. c2.D l abono mensual. 8.D %n reloj se puede comprar de contado en -<,G:.L8 a crédito y se requiere un pago inicial de 8,-., si se cobra una tasa de interés simple del 8= anual y la deuda se liquida mediante -8 pagos quincenales calcule4 a2.D l abono quincenal. b2.D l interés total que se paga por el financiamiento. c2.D l precio pagado por el reloj al ser comprado a crédito. .D %n crédito se amorti5a con - abonos quincenales de :G8.L8 los cuales incluyen intereses del 89= anual determinar el capital pedido en el préstamo. .D %na persona compra un juego de llantas para su automóvil, cuyo precio de contado es de 9,. mediante un pago inicial del -:= y -9 pagos mensuales de :.9 cada uno, calcule la tasa de interés que se aplicó en este crédito. :.D %n industrial solicito a un banco un préstamo por -9,., a un a3o de pla5o y aplicando una tasa de interés del = mensual. Si el industrial va a liquidar el adeudo mediante pagos mensuales, determinar el valor del abono mensual si4 l interés cobrado sobre saldos insolutos. <.D %n cliente debe ,-., los cuales pagará en < mensualidades, los intereses serán calculados sobre saldos insolutos con una tasa de interés de 8.:= mensual. labore la tabla de amorti5ación. G.D Se obtiene un préstamo de 8,.,a un a3o de pla5o, el cual se pagará en pagos semanales iguales al 8G= de interés sobre saldos insolutos. a2.D FCuál será el valor del pago semanalM b2.D F' cuánto ascienden los interesesM 9.D n cierta agencia automotri5 se vende un automóvil en -<:,G., si la compra es de contado. ' crédito el automóvil se ofrece mediante un enganche del 8=, y < mensualidades iguales a una tasa de interés del -9= sobre saldos insolutos. 1btenga el pago mensual y construya una tabla de amorti5ación.
L.D %na tienda departamental vende un equipo de sonido en :,., precio de contado. 0ara promover sus ventas, lo ofrece a crédito mediante un pago inicial de -= del valor del equipo y el resto a 8 pagos quincenales iguales. Si la tasa de interés es del 8.:= mensual sobre saldos insolutos. Calcule el valor del pago quincenal. -.D %na persona solicita al banco un préstamo personal por la cantidad de -,. a un pla5o de 9 meses y cada mes deberá amorti5ar la octava parte del capital más interés mensual devengado, calculado al = sobre saldos insolutos. labore la tabla de amorti5ación. Se compra un i0od /asistente personal digital2 cuyo precio de contado es de L,9:. con un pago inicial de -= y - mensualidades iguales con una tasa de interés del 8= sobre saldos insolutos. Calcule los intereses devengados en los primeros4 a2.D meses. b2.D 9 meses. c2.D al final del pla5o. -8.D %na persona debe pagar un préstamo de 8,. dólares en 9 meses a ra5ón de 89G.: dólares por mes respectivos sobre saldos insolutos. Si la tasa de interés es variable, elabore la tasa de amorti5ación. *as tasas de interés anuales aplicadas cada mes son4 9.=, 9.9=, L.=, L.=, L.:=, L.=. L.:= y -= respectivamente. -.D %n préstamo por -9,. deberá ser liquidado en un semestre mediante pagos mensuales, pagando una tasa de interés simple sobre saldos insolutos igual al 6)) más - puntos porcentuales.
Fes 3 1 0
TII
L.8= L.-= L.8:= L.<-= L.G= -.= 1btenga el pago total que se deberá reali5ar cada mes sabiendo que el 6)) fueron las de la tabla anterior. -.D %na deuda de ,. se va a pagar mediante : pagos mensuales de la siguiente forma
!a9o mensual 3 1
5mortiKaci$n : : < G: 9
l pago mensual deberá incluir intereses sobre saldos insolutos, si la tasa de interés es del 8.= mensual, elabore la tabla de amorti5ación. -:.D Se compra a crédito una membrec$a de un club deportivo entregando un enganche del 8= del precio de contado y el resto a pagar en -9 mensualidades de ,8:.9< cada una, que incluye interés del 8.L= anual simple sobre saldos insolutos. (etermine el precio de contado de la membrec$a. -<.D %na farmacia compra a crédito una motocicleta para formar su equipo de reparto, la agencia no le pide enganche, y la pagará mediante -9 pagos mensuales de -,89. cada uno. (etermine el precio de contado de la motocicleta sabiendo que la tasa de interés aplicada es del 8.<= mensual sobre saldos insolutos. -G.D %n comedor tiene un precio de contado de ,G.. Se puede comprar en abonos con un enganche del -:= y -8 pagos mensuales de 8. cada uno. 1btenga la tasa de interés simple sobre saldos insolutos, aplicada. -9.D %n reproductor portátil de C(, marcado con un precio de contado de -,8., puede adquirirse sin enganche y mensualidades de <. cada una. Calcule la tasa de interés anual cargada sobre el saldo insoluto. -L.D 'utomotri5 Vapopan, S.'., anuncia que un juego de rines con llantas incluidas deportivos para automóvil se pueden comprar a crédito mediante - pagos quincenales de 8,8G:.8< cada uno, si el juego cuesta 8-,<. de contado. FCuál es la tasa de interés que se paga por el financiamiento sobre saldos insolutosM 8.D l precio de un lavavajillas es de G,.. Cuando se compra a crédito se requiere dar un enganche del -= y el resto se liquida en pagos quincenales iguales de --.9- que incluyen interés, si la tasa de interés simple es del 8= mensual sobre saldos insolutos, encuentre el n!mero de pagos quincenales que liquida la deuda. %na pareja que desean comprar sus art$culos para casarse compran una sala que tiene un precio de contado de :9., pero utili5an el sistema de crédito dando un pago inicial de -,. y al saldo se le carga una tasa de interés de 8L= anual sobre saldos insolutos. (etermine, el n!mero de mensualidades si el valor del pago mensual es de G9.
l ahorro es fundamental para la econom$a de un pa$s. 'l depositar el dinero en una cuenta de ahorros o de una inversión, parte de él se canali5a a las distintas actividades económicas como la producción de bienes y servicios y de comercio. n la actualidad las opciones de ahorro e inversión que e#isten son de gran diversidad, de tal manera que el inversionista pueda elegir el instrumento de inversión o la combinación que mejor se adapte a sus necesidades y a sus e#pectativas de rentabilidad, liquide5 y seguridad. %n instrumento de ahorro muy com!n y que además puede ser utili5ado como medio de pago es la cuenta de ahorros con tarjeta de débito. sta consiste en una tarjeta de plástico similar a la de crédito, por medio de la cual se dispone de dinero propio. quivalente a una chequera electrónica, su uso está limitado por sus fondos que tiene el usuario en una institución bancaria. l usuario recibe un estado de cuenta mensual sonde se registran todos los depósitos, retiros, compras e intereses ganados. l dinero depositado en una cuenta de ahorro, de nómina o de cheques con tarjeta de débito 3 genera interés a una tasa variable los cuales se pagan mensualmente a la #ec=a de corte , sobre el saldo promedio diario de la cuenta. Sin embargo, las tasas de interés son las más bajas del mercado, ra5ón por la cual no conviene utili5ar este tipo de cuenta bancaria como herramienta de inversión. %na ventaja de este tipo de cuenta de ahorro es su gran liquide5, ya que el dinero está disponible las 8 horas de todos los d$as del a3o mediante los cajeros automáticos, as$ mismo la tarjeta se puede utili5ar para pagar directamente consumos hechos en establecimientos comerciales afiliados a la )nstitución bancaria emisora de la tarjeta. l ahorrador al adquirir bienes y servicios mediante la tarjeta está girando sobre sus ahorros, por lo que las cantidades que importen esas operaciones deberán ser menores al saldo actuali5ado, ya que la tarjeta no es una tarjeta de cr édito.
*a fecha de corte es el d$a en que el banco hace un balance de los depósitos y retiros del cliente, calcula el interés devengado y emite el estado de cuenta.
jemplo4 : n cierto banco se paga una tasa de interés del -= anual en las cuentas de ahorro con tarjeta de débito, siendo la fecha de corte el d$a de cada mes. l < de junio una persona abre una cuenta de ahorros por medio de tarjeta de débito y deposita inicialmente -,., el banco le entrega su tarjeta de débito. ' continuación se numeran los movimientos efectuados. 1btenga el interés devengado en el ciclo o per$odo de corte del de junio al de julio inclusive.
?ec=a 0 de &unio de &unio - de &unio 3 de &unio 2 de &unio de &ulio
"ep$sito
;etiros
-, , --, -,9 <, L,-
Saldo -, G, -9, -,9 8:, -<,
S4LCIM<% l interés que se gana al tener el dinero depositado en una cuenta de ahorro se calcula por medio del método de Saldo !romedio "iario (S!"). l Saldo promedio diario es el resultado de sumar cada uno de los saldos diarios registrados en el periodo y de dividir dicha suma entre el total de los d$as del per$odo. l saldo diario se obtiene sumando el saldo del d$a anterior, los depósitos del d$a y restando los retiros reali5ados en mismo d$a. l saldo promedio diario para el ciclo de corte del de junio al de julio, inclusive de la cuenta de ahorros del cuentahabiente es4
:
6asa de interés neto es la tasa de interés que se paga al cliente, después de la deducción de )mpuestos Sobre la Nenta. *a tasa antes de impuesto se llama @ tasa de interés 7rutaJ.
LA. Javier Alvarez
?ec=a
"ep$sito
3 de &unio 1 de &unio 0 de &unio - de &unio * de &unio 2 de &unio de &unio de &unio de &unio de &unio 3 de &unio 1 de &unio 0 de &unio - de &unio * de &unio 2 de &unio de &unio de &unio de &unio de &unio 3 de &unio 1 de &unio 0 de &unio - de &unio * de &unio 2 de &unio de &unio de &ulio de &ulio de &ulio
;etiros
Saldo
-,
-, -, -, -, G, G, G, G, G, G, G, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -,9 -,9 -,9 -,9 -,9 8:, 8:, 8:, -<, -<,
,
--,
-,9
<,
L,- Suma de saldos diarios 82 8
=
0or lo tanto4
3*,* = 0,2.
l saldo promedio diario se obtiene, también de la siguiente forma4 1
4
7
7 4
18 3
16
=
7 3
31
8
5
25
2
3
SPD ' 0,2.
%na ve5 conocido el saldo promedio diario, el interés devengado se calcula mediante la fórmula de interés simple4
= = 16 93 33
+ *
3
= :.<
)nterés )Q' 6otal
:.< / D 2 9.:9 :.<
&ercicios% -.D l primer d$a, después del corte, el saldo de la cuenta de ahorro con tarjeta de débito de una persona es de -,. el octavo d$a deposita <,9. y el vigésimo d$a retira 8,G., cuál es el Saldo 0romedio (iario, si el periodo de corte es de - d$as. 8.D Supongamos que la tarjeta de débito de un empresario corta el d$a - de cada mes. Si el periodo de corte del -- de noviembre al - de diciembre la suma de saldos dio un total de 8G,<.<, calcule el saldo promedio diario y el interés del periodo, sabido que la tasa de interés es del 8G= anual. .D %n jubilado tiene una cuenta maestra y en los primeros trece d$as de su ciclo de corte su saldo fue de G. FCuánto debe depositar el decimocuarto d$a para mantener el saldo promedio diario m$nimo de 8,. que el banco le e#igeM l ciclo de corte en cuestión es de d$as. .DCalcule el caldo promedio que se tuvo en cierto periodo de - d$as. 0ara una cuenta de nómina con tarjeta de débito que pago -<.G de intereses, sabido que la tasa de interés en ese periodo fue de -8.= anual. :.D Calcular el saldo promedio durante mar5o de una cuenta de tarjeta de débito, si el primero del mes de abril, fecha de corte de la cuenta se le abono un interés de L.: y la tasa de interés que pago el banco en ese mes fue del L.<= anual. <.D %n alumno de una facultad posee una cuenta de tarjeta de débito en un banco cuya fecha de corte es cada 8: de cada mes. ' continuación se muestra el saldo anterior, los depósitos efectuados y los retiros reali5ados para el ciclo de corte del 8< de julio al 8: de agosto. Si la tasa de interés para el mes es del -= anual, obtenga el saldo promedio diario y el interés devengado en el mes.
?ec=a 0 de &ulio de &ulio de 59osto 0 de a9osto de a9osto
"ep$sitos
;etiros
Saldo
, 8,G -,::
-, -,: <,<: ,L: 8,
9,G:
G.D un empleado de gobierno recibe su sueldo mensual el d$a - de cada mes, el cual es depositado en una cuenta bancaria de nómina con de tarjeta de débito. l movimiento de la cuenta para el ciclo del corte que va del < de febrero al : de mar5o, se muestra a continuación. Si el saldo
de la fecha de corte fue de :. y el banco paga a ra5ón de -= mensual sobre saldo promedio diario, calcule en interés ganado en el ciclo de corte.
Febrero 5 Febrero 10 Febrero 12 Febrero 20 Febrero 28 Marzo 2 Marzo 2
+echa de corte 'bono a la cuenta Netiro en cajero automático Compra de v$veres 0ago de colegiatura 0ago recibo de C+ 0ago por 6elme# internet
: -,9 9,< -,: -,8 G: <
*a tar&eta de crédito es un instrumento financiero, representado por un plástico con cinta magnética o un microDchip, mediante el cual el banco, tienda departamental o de auto servicio, < concede a sus clientes una l$nea de crédito en cuenta corriente por una cierta cantidad conocida como l$mite de crédito. *as tarjetas de crédito bancarias surgieron en nuestro pa$s en la década de los setentas. +ue el 7anco &acional de "é#ico, S.'. el primero en lan5ar al mercado una tarjeta de crédito en el a3o de -L<9. n agosto de -L9G los bancos incorporaron a la tradicional tarjeta de crédito al servicio de inversión. ste sistema se conoce actualmente como tarjeta de crédito e inversión. Si la tarjeta se utili5a para invertir, es necesario que el usuario de la misma abone a su cuenta una cantidad mayor al importe total del saldo de un cargo; es decir, es necesario que mantenga un saldo a su favor. *os saldos a favor registrados en la tarjeta de crédito se manejan por medio de un contrato de depósito bancario de dinero a la vista en cuenta corriente. l saldo a favor empie5a a generar intereses desde el momento en que el depósito se abona a la cuenta. *os intereses se calculan mensualmente sobre el saldo promedio diario y se acreditan a la cuenta de la tarjeta de la fecha del corte. n este caso, el cálculo de los intereses devengados es e#actamente igual que en una tarjeta de débito. Cuando la tarjeta se utili5a como instrumento de inversión todos los consumos y las disposiciones de efectivo que se realicen, se descuentan de los recursos que integran el saldo a favor, sin que el banco cobre comisión alguna y en caso de que este saldo sea rebasado, automáticamente empie5a a operar la l$nea de crédito. Si el usuario de la tarjeta utili5a la l$nea de crédito disponible para compras de bienes y servicios yEo disposiciones de efectivo, puede elegir cualquiera de 8 formas de pago.
<
l usuario dispone de un pla5o má#imo de 8 d$as naturales, contados a partir del d$a siguiente de la fecha de corte de la cuenta para pagar la totalidad de los consumos /compras yEo disposiciones de efectivo2. n este caso el banco no cobra cantidad alguna por intereses. 'l utili5ar esta forma de pago, el usuario puede tener hasta : d$as de pla5o para pagar sin intereses4 d$as de corte a corte y 8 d$as de la fecha de corte a fecha de l$mite de pago. sta opción consiste en amorti5ar la deuda mediante pagos mensuales no menores al pago m$nimo especificado en el estado de cuenta. *a cantidad m$nima a pagar depende del banco emisor de la tarjeta; por lo general es una cantidad que var$a del := al -8= de la deuda. sta opción si genera intereses.
6ambién conocido como crédito re6ol6ente . ste consiste en que, mientras el usuario vaya pagando, puede utili5arlo cuantas veces quiera, siempre y cuando mantenga un saldo disponible.
n la mayor$a de las tarjetas de crédito los intereses se cobran mensualmente, utili5ando una tasa de interés ordinaria anual sobre saldo promedio diario del adeudo. *a tasa de interés ordinaria se calcula sumando a la tasa de referencia mencionada en el contrato, el cual puede ser el 6)); el CC0, /costo porcentual promedio2, "e#ibor / es la tasa de interés interbancaria determinada diariamente con base en coti5aciones proporcionadas por los siguientes bancos4 )nve# ScotiabanP Serfin 7aname# 77Q' 7ancomer A0 "organ 7anP 7oston 7anP of 'merica 7ital )nbursa 7anorte (eutsche 7anP ),
o cualquier otra, cierto n!mero de puntos G porcentuales. *a tasa de interés ordinaria viene dada en el estado de cuenta . jemplo n cierto banco, el contrato establece que la tasa de interés ordinario anual para tarjeta de crédito se obtiene de la siguiente forma4 !Para determinar la tasa de interés ordinaria "ue resultar# aplica$le% el &anco tomar# como re'erencia el promedio aritmético de la asa de Interés Inter$ancaria de "uili$rio (II) a pla*o de , das pu$licadas por el &anco de Mé.ico en el Diario /'icial de la Federación% durante el periodo de intereses de "ue se trate% sumando como m#.imo 00 puntos porcentuales
Suponga que el promedio aritmético de la 6)) fue de L.8=. 0or lo tanto, la tasa de interés má#ima aplicable será4 L.8= ? = > 8.8= anual n caso de que el usuario no realice oportunamente el pago m$nimo mensual, tendrá que pagar intereses moratorios, son por lo general más altos que los intereses ordinarios. *a tasa de interés moratoria se calcula multiplicando la tasa de interés ordinaria por el factor que determine el 7anco. l saldo promedio diario es el resultado de sumar cada uno de los saldos diarios registrados en el periodo /d$as entre la fecha de corte anterior y la fecha de corte se3alada en el estado de cuenta2 y se divide dicha suma entre el total de d$as del periodo. l saldo diario se obtiene sumando el saldo del d$a anterior las compras y disposiciones del d$a y restando los pagos reali5ados el mismo d$a. #isten diversos métodos para calcular los intereses en las tarjetas de crédito. n "é#ico se utili5a el método de saldo promedio diario. 0ara el cálculo de saldo promedio hay que ver el teme anterior @Tarjetas de *ébito B. *os intereses devengados por crédito para un determinado mes son la suma de los intereses del saldo promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual más los intereses del saldo promedio diario de compras y disposiciones del mes anterior.
G
*as reglas para la emisión y operación de tarjetas de crédito pueden ser consultadas en WWW.b an#ico .m#Edisposiciones8-LEane#o sEane #o.html.
LA. Javier Alvarez
Qeamos un ejemplo. 0ara obtener el interés mensual a pagar por uso de una tarjeta de crédito. 0ara ello, se utili5arán los estados de cuenta que se muestran a continuación, se (esea obtener el interés mensual para el ciclo de corte del < de febrero al : de mar5o. 7'&C1 stado de cuenta )nformación de la cuenta Nesumen de saldos y movimientos *$mite de crédito 8:,. Saldo anterior ,:. Crédito disponible -L,G<8.LG Compras y otros cargos 8,:<-. +echa de corte : +eb. 8- 0agos y depósitos 8,. ($as del periodo - )nterés por crédito -9L. +echa de pago 8: feb. 8- )Q' . 0ago m$nimo :8.G Saldo actual :,-.G +echa de registro nero 9 nero -< nero 8nero 8 +ebrero 8 +ebrero : +ebrero :
(etalle de las transacciones 0ago 6eléfono Compras 'utoservicio 0ago tenencia y placas Su pago Jracias /(epósito2 0ago de agua )ntereses )Q' por intereses y com.
Cantidad <. <. -,-8. 8,. 9. -9L. .
Nesumen financiero Compras y disposiciones
Saldo promedio diario
6asas de interés mensual
8,-:. ,<.GG
.L8= .L8=
"es anterior "es 'ctual
)nterés del mes
-8.L8 -9L.
Calculo del saldo promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual. n el primer caso mostrado como tablas se muestra que el ciclo de corte va del < de febrero al : de mar5o de x a3o. 'l inicio del periodo /< de febrero2 el usuario de la tarjeta ten$a un saldo anterior de :,8G. y dentro del periodo se reali5ó un abono el /88 de febrero2 por -,9.. 0or lo tanto entre el < de febrero y el 8- de febrero inclusive /-< d$as2 el usuario de la tarjeta mantuvo un saldo insoluto por :,8G.. (espués de dar el abono, el saldo de :,8G. K -,9. nos da un total de ,G. se mantuvo por -8 d$as /del 88 de febrero al : de mar5o, inclusive2. 0or lo tanto, el saldo promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual es4
= l interés a pagar es4
9
7
:
25
>
,*32.-
" > /,9L.G2/.L82/-2 >
*2.3
*a tasa de interés del mes se muestra en el estado de cuenta actual. 7'&C1 stado de cuenta )nformación de la cuenta Nesumen de saldos y movimientos *$mite de crédito 8:,. Saldo anterior :,8G. Compras y otros cargos Crédito disponible -L,G-:.8 ,<.:G +echa de corte : mar5o 8- 0agos y depósitos ,G. ($as del periodo 89 )nterés por crédito 8--.-+echa de pago 8: mar5o 8- )Q' .GG 0ago m$nimo ::. Saldo actual :,:-.: +echa de registro +ebrero - +ebrero -< +ebrero 88 "ar5o : "ar5o :
(etalle de las transacciones 6aller mecánico @*a tuercaB Compras 'utoservicio Su pago )nterés )Q'
Cantidad -,G<.:G -,L. .G. 8--.-.GG
Nesumen financiero Compras y disposiciones
"es anterior "es 'ctual
Saldo promedio diario
6asas de interés mensual
-,:8:.9 ,<:.<
.G<= .G<=
)nterés del mes
G8.<8-8.:<
l cálculo de del saldo promedio diario del saldo anterior cada banco emplea su propio método. n estos ejemplos se está anali5ando, utili5ado por muchos bancos, el saldo anterior, mostrado en el estado de cuenta actual no se le restaron los intereses y las comisiones e )Q' mostradas en el estado de cuenta del mes anterior. n algunos otros bancos si se lleva en cuenta la resta de estas cantidades antes de reali5ar el cálculo del saldo promedio. s necesario verificar cual método es utili5ado en este estado. *eyendo el contrato. Cálculo del saldo promedio diario por compras y disposiciones del mes anterior. Si el usuario de la tarjeta reali5ó compras yEo disposiciones de efectivo utili5ando su crédito durante el mes anterior, se debe calcular el saldo promedio diario para calcular los intereses correspondientes, para lo cual se utili5a el estado de cuenta del mes anterior /tabla anterior2. l estado de cuenta del mes anterior muestra que se reali5aron cuatro movimientos de pagos; uno registrado el 9 de enero por <.; el otro se registra el -< de enero compras por la
cantidad de <., un tercer pago el 8- de enero por la cantidad de -,-8., y el !ltimo pago el d$a 8 de febrero por la cantidad de 9.. l ciclo de corte va del < de enero al : de febrero en saldo promedio diario de compras y disposiciones den mes anterior es4
=
5 2 6 57 57
16
34 6
12 28
SPD ' ,:.-
l interés a pagar por compras y disposiciones del mes anterior es S0( > ,:.- ) > /,:.-2 /.G<2 /-2 > 8--.--
0or lo tanto, el interés total devengado en el ciclo de corte del < de febrero al : de mar5o es de4 )Q' .GG
FCuánto pago un tarjetaDhabiente por concepto de intereses en el periodo comprendido del 9 de abril al G de mayo de 8:. Su saldo anterior fue de G8:.89, el -8 de mar5o anterior, hi5o una compra de :. con cargo a su tarjeta en una tienda de ropa; el 8 de mar5o dispuso de . en un cajero automático, el primero de abril pago por consumo de alimentos 8G:., considere además que hi5o dos abonos de . cada uno el -: y de abril y la tasa del banco le carga por interés el .-= mensual.
Soluci$n%
)-1.++
3. 1. FarKo
FarKo
*
,)
3 días
FarKo
57ril
57ril
)
,
-
días
- días
2 días
0 días - días
*os primeros :. generan interés durante 8G d$as, entre el -8 de mar5o y el G de abril; los . siguientes durante los -< d$as generaron interés y los !ltimos 8G:. solamente generaron interés de G d$as, seg!n la tabla anterior. 0or lo tanto el saldo promedio diario es4
SPD >
;:(8G )
+
C(-<)
+
8G:(G)
;-
SPD >
L, C: + <,C+-,L8: ;-
SPD
'
-G,GG: ;-
SPD > :G.L
T los intereses :G.L / .- 2
*.2* 0ara los otros intereses se calcula el saldo insoluto promedio por d$a en el presente periodo4
0or lo tanto4 SPD >
G8:.89(G)
+
C8:.89(-<)
+
-8:.89(G )
> 31.*
;
Siendo los intereses ahora4 8:.8: / .- 2 > -.9 l cargo total por concepto de interés4 " > -9.L9 ? -.9 " > .<
&ote que el !ltimo saldo promedio diario puede llegar a ser negativo, lo que diaria lugar a que los intereses se reducen. 0or ejemplo si el -: de abril se abonan L., en lugar de los . el saldo será4 G8:.89( G )+ ( −-GC.G8)(-< )+
> D .G8
(−CGC.G8)(G ) ;
T los intereses4 " > / D.G8 2 / .- 2 " > D -.-:
#iste la Comisión &acional para la 0rotección y (efensa de los %suarios de Servicios +inancieros /Condusef2 WWW.condusef.gob. m#
stado de cuenta )nformación de la cuenta Nesumen de saldos y movimientos *$mite de crédito ,. Saldo anterior ,. Crédito disponible 8,
(etalle de las transacciones Jracias por su pago Compras 'utoservicio Cajero automático C+ )nterés )Q'
Cantidad -,9. -,8. -,. 9. -89.< 8.:9
Nesumen financiero Compras y disposiciones
"es anterior "es 'ctual
Saldo promedio diario
6asas de interés mensual
9<. ,G8.
.-= .-=
)nterés del mes
89.<--.<9
7'&C1 stado de cuenta )nformación de la cuenta Nesumen de saldos y movimientos *$mite de crédito ,. Saldo anterior . Compras y otros cargos Crédito disponible 8<,<:G. ,. +echa de corte : mayo. 8- 0agos y depósitos . ($as del periodo )nterés por crédito . +echa de pago mayo. 8- )Q' . 0ago m$nimo . Saldo actual ,. +echa de registro 'bril 'bril "ayo "ayo 9 "ayo - "ayo -
(etalle de las transacciones 0ago 6eléfono Compras 'utoservicio Compra de un televisor Consumo restaurant intereses )Q'
Cantidad 98. 8L. -,G:. 9. . .
Nesumen financiero Compras y disposiciones
"es anterior "es 'ctual
Saldo promedio diario
6asas de interés mensual
. .
.9= .9=
)nterés del mes
. .
l mercado de dinero es un mercado organi5ado para la compraDventa de valores /inversión financiera2 y se divide básicamente, en Fercado de Capitales > Fercado de "inero . l "ercado de (inero o "ercado de (euda, llamado as$ porque el emisor de los t$tulos se convierte en deudor ante el inversionista, es la entidad donde se negocian t$tulos de crédito de corto, mediano y largo pla5o, emitidos tanto por el gobierno federal y gobiernos estatales como por instituciones financieras y empresas privadas. *as principales caracter$sticas de ese mercado son la 9 elevada liquide5 o facilidad de negociación y el bajo nivel de riesgo de los t$tulos emitidos . Ray una diversidad de instrumentos en "é#ico pertenecientes al mercado; por ejemplo4 Jubernamentales4 • • • •
Cetes. 7onos. %dibonos. 7onos de protección del ahorro, etc.
0rivados4 • • • •
Certificados de depósito. 0agaré con Nendimiento *iquidable al Qencimiento. 0apel Comercial. 1bligaciones. tc.
%no de los instrumentos de deuda de mayor demanda son los Cetes de los cuales. C6S *os Cetes /Certi'icados de la esorera de la Federación 2 son los t$tulos de crédito al portador en los cuales se consigna la obligación del gobierno federal a pagar su valor nominal a la fecha de su vencimiento. *a primera emisión de Cetes se llevó a cabo en enero de -LG9 y fueron creados mediante un decreto publicado en el Diario /'icial de la Federación el 89 de noviembre de -LGG. *os Cetes son emitidos por conducto de la Secretaria de Racienda y Crédito 0!blico, siendo el 7anco de "é#ico el agente financiero /instrumentario2 e#clusivo para su colocación y redención.
9
*os instrumentos de deuda eran conocidos como Instrumentos de enta Fi2a , debido a que se conoce con anticipación las ganancias que se obtendrá.
*os Cetes no contienen estipulación sobre pago de intereses, si no que se venden a los L inversionistas debajo de su valor nominal, esto es se colocan mediante una tasa de descuento. *as ganancias que recibe el inversionista es la diferencia entre el precio de compra y el valor nominal o de vencimiento. 0or lo tanto, el rendimiento obtenido es en realidad una 9anancia de capital,- no un interés. Sin embargo, en la práctica se refiere a los Cetes como un instrumento que paga interés. *a tasa de descuento aplicable a los Cetes es variable y es la que corresponde a las condiciones que prevalece en ese momento en el mercado de dinero. n un principio, las tasas de descuento eran fijadas por el 7anco de "é#ico. Sin embargo, a partir de septiembre de -L98 se estableció un sistema de @subastasB, donde el 7anco de "é#ico participa como vendedor y las casas de bolsa, instituciones de crédito, instituciones de finan5as y otras personas e#presamente autori5adas participan como postores. (e esta forma, las tasas de descuento son fijadas de acuerdo con las solicitudes y posturas. *as principales caracter$sticas de los Cetes4
L
Son t$tulos de deuda del gobierno federal al portador y su valor nominal es de -. sto es el gobierno federal se compromete a pagar - por cada Cete a la fecha de vencimiento. Se compran y se venden !nicamente a través de casas de valores e instituciones de crédito. stán garanti5adas por el gobierno federal, por lo que su seguridad es prácticamente total. s una inversión de alta liquide5 ya que los Cetes se pueden comprar y vender en cualquier d$a hábil en lo que se llama el mercado secundario . *os Cetes pertenecen al mercado de dinero ya que son a corto pla5o. *os principales pla5os a que se emiten son4 89, L-, -98 y < d$as, sin embargo, en algunas ocasiones se ofrecen emisiones con otros vencimientos. l pla5o má#imo es de < d$as. l rendimiento obtenido por las personas f$sicas por compraDventa de Cetes está e#ento del impuesto sobre la renta, debido a que se trata de una ganancia de capital; por lo tanto que las personas morales deben acumular dicha ganancia a su base gravable. n todos los cálculos sobre los Cetes se considera el a3o comercial4 esto es de < d$as. Se emiten semanalmente los d$as jueves, e#cepto cuando el jueves es d$a de descanso obligatorio. 'simismo, ese d$a se publica un anuncio de colocación de los Cetes en los principales diarios del pa$s el anuncio muestra4 &!mero de la emisión. • "onto de la emisión. • +echa de la emisión. • +echa de vencimiento. • 0la5o. •
n la jerga bursátil se dice que los Cetes se colocan bajo par . Janancia de capital es la diferencia obtenida al comprar un t$tulo a determinado precio y venderlo tiempo después, a un precio más alto. -
• • •
Qalor nominal. 6asa de descuento promedio ponderado a la que se coloca la emisión. 6asa de rendimiento promedio ponderado equivalente a la tasa de descuento.
jercicio4 Se desea saber cuál es el precio de un Cete de la emisión reali5ada el 8L de junio de 8< con fecha de vencimiento al 89 de septiembre de 8<.
=
1
71 9
91 = $
36
181747
0recio del Cete > Qalor nominal > - K .-9-GG > L.9-98:. 'l comprar un Cete de esta emisión particular, el precio se paga por el certificado y es de L.9-98:. Si el comprador mantiene en su poder el certificado hasta la fecha de vencimiento recibirá -. por él. 1tra forma de obtener el precio del Cete es de la siguiente manera4 0recio del Cete > 1 *1 − (
) 91
+
= $ 9 818253 .
7 9
Si la compra fuera de 9:, Cetes de esta emisión, se tendrá que pagar /L.9-98:2 /9:,2 y nos da un total de 9,::-.:- y al termino de L- d$as se cobrará /-2/9:,2 > 9:,, la diferencia entre el precio de compra y la cantidad cobrada al vencimiento es la ganancia de capital.
3anancia de capital > 9:, K 9,::-.:- > -:,9.L
n algunas ocasiones el inversionista vende sus Cetes antes de la fecha de vencimiento. Cuando esto sucede se utili5a una tasa de descuento que puede ser igual, menor o mayor de la tasa de descuento. Si la tasa descuento es menor a la tasa de descuento original, el inversionista recibe una tasa de rendimiento mayor de lo pactado. Si la tasa de descuento es mayor de la tasa de descuento original, la tasa de rendimiento es menor a lo pactado. *a tasa de descuento depende principalmente de la tasa de la !ltima emisión de Cetes y en segundo lugar, de otros factores como -la oferta o demanda de Cetes y la cantidad que se pretende invertir . jercicio4 Supóngase que el Cete del ejemplo anterior se vende anticipadamente a los : d$as de adquirirlo, con una tasa de descuento del 9.9G=. 'l vender el Cete, faltando :< d$as para el vencimiento, el precio será4
) 56
0recio del Cete > -*1 −(
+
= 2.*0
887
s decir, a los : d$as se vende el Cete en L.9<888, cuyo precio original fue de L.9-98:. T por lo tanto, la ganancia de capital es de .G
=
98 2 98
22;9 825
8 825 5
∙ 36 =
458529%
anual.
&ercicio% 'alor comercial de los CETES! Calcular el valor comercial en la 7olsa "e#icana de valores de los Certificados de la 6esorer$a de la +ederación. CS J que se emiten en un pla5o de L- d$as, un valor nominal de -. a un interés de 9.:= de descuento anual simple.
Soluci$n%
S ' -. .9: i ' t ' L-E<
el valor nominal la tasa de descuento el pla5o en a3os o L- d$as
l valor comercial es4 -−( P > - [;<
L-
)(.;9:)] P > - / .L8<9::< 2 P > L.8<9
--
0or costumbre, todos los cálculos de Cetes se considera el a3o comercial. Sin embargo, el a3o en realidad consta de <: d$as y, puesto que los Cetes se negocian d$a con d$a, para obtener el rendimiento real éste debe obtenerse sobre el n!mero real de d$as en el a3o.
&ercicio% /anancias, tasa de interés en CETES y otra alternativa de inversi&n 4 FOué conviene más a una persona que logró un premio de 0ronósticos (eportivos por .: millones de pesos4 adquirir C6S a un pla5o de -<8 d$as y un descuento de -.<= simple anual a una coti5ación de -., o comprar centenarios que aumentan su coti5ación en .<= cada semanaM a2.D F' cuánto ascienden sus gananciasM b2.D FCon qué tasa de interés simple anual estará ganandoM c2.D F*e conviene más comprar centenariosM
Soluci$n% a).G l valor comercial de los certificados, cuyo valor comercial es de -. P
- − (-98 ' - [;<
)(.;-<)] P
> - /
.98 2 P > 9.8 l total de los certificados que adquiere es4 ;X:,. 9.C8C
> -<,:G.<-
' los -98 d$as recibirá4 -<,:G.<- / - 2 > -<:,9. ‟
Sus utilidades en dinero sin descontar impuestos son4 -<:,9. D :.. > 001,3*. ‟
‟
7).G 0ara determinar la tasa de interés simple que ganar$a en su inversión4 S = C [ + it ] -98 )] - > 9.8 [- + i(;< - 9.C8C −
-98 - = i (;< )
.-L-;<-:-G:(;< ) -98
> i
i > .G<L9<<8 i = G.<-= anual
c).G
0or cada peso que invierta crece -<.989-= en las 8< semanas, mientras que los C6S crecen -L.- = apro#imadamente. S > C H- ?i I - > -?i 9.C8C -.-L-<-:-:G > - ? i i > - K -.-L-<-:-:G i > .-L-<-:-:G i > -L.-= Son más redituables los CTS.
0ara mayor información sobre el "ercado de (euda y los Cetes. 7anco de "é#ico
WWW.ban#ico.org.m# Comisión &acional 7ancaria WWW .cnb v .gov.m# 7olsa "e#icana de Qalores WWW.b mv.com. m#
-.D Calcule el precio de un Cete para la emisión a 89 d$as mostrada en la imagen de los Cetes. 8.D l 8- de febrero se lan5a una emisión de Cetes con fecha de vencimiento al -9 de febrero con una tasa de descuento del L.-8= anual. %na persona desea invertir - , en Cetes. Calcule4 l precio de un Cete • l n!mero de Cetes comprados. • • *a cantidad total emitida *a tasa de rendimiento. • ‟
.D %n inversionista desea comprar Cetes y le ofrecen un paquete de G8,: Cetes a L- d$as de pla5o. S$ la tasa de descuento es del -= a2.D FCuánto deberá pagar por el paqueteM b2.D FCuánto recibirá a la fecha de vencimientoM c2.D FCuál es la tasa de rendimientoM d2.D F(e cuánto es la gananciaM
.D %na 0ersona recibió una herencia y desea invertir 8 , en Cetes a 89 d$as de pla5o al L= de tasa de descuento. Calcular4 ‟
a2.D l precio de un Cete b2.D l n!mero de Cetes comprados c2.D *a tasa de rendimiento d2.D *a ganancia total obtenida. :.D Si la persona del ejercicio anterior vende los Cetes a los -9 d$as a una tasa de descuento del L= anual a2.D FOué cantidad de dinero recibeM b2.D FOué rendimiento obtuvo la personaM <.D una persona que se jubiló, adquiere Cetes de la emisión del 8L de junio de 8< y -G: d$as de pla5o. l -8 de septiembre de 8< esta persona vende sus Cetes a una tasa de descuento del G.-8= anual. (etermine4 a2.D l precio inicial del Cete. b2.D *a tasa de rendimiento obtenida por la persona c2.D l precio del Cete al cual compra el otro inversionista. d2.D *a tasa de rendimiento del otro inversionista.
G.D %na persona que gano un premio en "elate invierte 9, en Cetes a 89 d$as de pla5o. Si desea ganar un rendimiento del -.=, Calcule4 a2.D *a tasa de descuento. b2.D l n!mero de Cetes que podrá comprar. c2.D *a utilidad obtenida. 9.D ncuentre el precio de un Cete a 89 d$as de pla5o, si la tasa de rendimiento es del --.-= anual. L.D Se reali5ó una inversión de <8,G9.<9, la que ampara <,89 Cetes y se establece que el rendimiento es del -8=. Se desea conocer a que pla5o se estableció la operación.
l factoraje financiero es un mecanismo de financiamiento a corto pla5o mediante el cual una empresa comercial, industrial, de servicios o persona f$sica con actividad empresarial, promueve un crecimiento mediante la venta de sus cuentas por cobrar vigentes a un organismo financiero especiali5ado llamado empresa de #actora&e. *a empresa de factoraje compra los documentos aplicando una tasa de descuento sobre el valor del vencimiento. "ediante el factoraje el empresario logra resolver sus problemas de liquide5 ya que logra convertir en efectivo sus cuentas por cobrar, representadas estas por facturas, contraDrecibos, pagarés, letras de cambio u otro documento análogo. *a palabra factoraje proviene de la palabra -actor . ?actor /del lat$n -acio, hacer, -acere el que hace2 significa, entre otras acepciones, persona que hace una cosa. sto es, el +actor es la persona que por cuenta de un tercero reali5a un acto determinado. l factoraje en "é#ico es relativamente nuevo. 0ues a principios de los a3os setentas fue cuando se fundaran simultáneamente dos empresas de factoraje. Rasta -L9 sólo e#isten empresas de factoraje en el pa$s, y en -L9< empe5ó el desarrollo de este tipo de empresas hasta contar con más de a principios de la década de -LL. Con la crisis económica desatada en diciembre de -LL muchas empresas de factoraje quebraron. l factoraje no suple a otras fuentes de financiamiento, ya que por sus caracter$sticas complementa las alternativas e#istentes. *as empresas de factoraje ofrecen servicios técnicos sumamente especiali5ados, enfocados a lograr la eficiencia del manejo de las cuentas por cobrar.
l factoraje es un sistema integral de apoyo financiero el cual una empresa, llamada cedente, cede sus cuentas por cobrar a la empresa de factoraje obteniendo a cambio un alto porcentaje que normalmente oscila entre un G= y un L:= del valor de las cuentas por cobrar. *a empresa de factoraje, posteriormente, reali5a la cobran5a y la entrega a la empresa cedente la diferencia del porcentaje que no le entrego al inicio, esto es de un := a = restante. l cargo financiero de la operación puede cobrarse en el porcentaje entregado al inicio, o bien en el que queda por reembolsar. #isten básicamente dos modalidades de factoraje4
+actoraje con recurso. +actoraje sin recurso.
l #actora&e con recurso
l cliente queda obligado solidariamente a responder del pago de los derechos cedidos, en forma puntual y oportuna. 's$, como en caso de incumplimiento por parte del deudor, el cedente está obligado a garanti5ar el pago a la empresa de factoraje. n esta modalidad, la empresa de factoraje adquiere las cuentas por cobrar y efect!a anticipos a cuenta del pago a la empresa cedente, misma que completa en la fecha en que las cuentas por cobrar son liquidadas por los deudores /compradores o clientes del cedente2. l anticipo fluct!a entre G= y L:= del valor insoluto de las cuentas por cobrar. +actoraje sin recurso. l cliente no se compromete a responder solidariamente ante la empresa de factoraje por el pago de los derechos de crédito transmitidos; esto es, la empresa de factoraje asume el resigo de insolvencia de las cuentas por cobrar adquiridas. *o anterior implica para la empresa de factoraje un conocimiento amplio de los deudores de las cuentas por cobrar y del riesgo que cada una de ellas implica. n esta modalidad, el cedente obtiene de manera anticipada hasta un L= de sus cuentas -8 por cobrar. jercicio4 Jrasas y aceites, S.'. tiene cuentas por cobrar por un valor de 8, y una fecha de vencimiento de d$as. l gerente de la planta acude a una empresa de factoraje con el fin de ceder - las facturas. FOué cantidad recibirá si la empresa de factoraje le diera un aforo del 9=, le aplicará una tasa de descuento igual al 6)) /L.G9= en este momento2 más -< puntos porcentuales y cobra una comisión de .:=. Qalor aforado > /8,2/.92 > -9, (escuento > 184
(
)
3
= ,L:8.L
2578
Comisión > /-9,2 /.:2 > L8 Cantidad que recibirá la compa3$a -9, K ,L:8.L K L8 > -GL,-8G.G l resto <, /8, K -9,2, lo recibirá cuando sean cobradas las facturas.
&ercicio% 0dquisici&n de cartera por cobrar, -actoraje! -8
l factoraje tradicional es aquel en que el cedente transmite las cuentas a sus clientes a la empresa de factoraje sin involucrar al deudor.
-
'foro es la cantidad que se anticipa sobre el valor de la cuenta por cobrar. Como ya mencione, esta cantidad var$a entre G= y L:=
l - de abril un administrador de +rigor$ficos %ltramar, S.'. acude a una empresa de factoraje para negociar dos documentos. l primero tiene un valor nominal de L,. y vence el -- de junio del mismo a3o y el segundo tiene un valor de G:,. y vence el 8: de julio del mismo a3o. FCuánto recibe por los dos documentos si cobra el .<= de comisión y el 8.G de descuento simple anual y el valor aforado es del L= del valor nominal.
2,.
-1,+++.++
&unio
a7ril
0)
1 &ulio 33 días
días
l valor aforado del primer documento es el L= de su valor nominal .L / L, 2 > 9-,. l valor comercial, <8 d$as antes es4
$
9-, [- − ( )<8];<
=
.8G
-
$ - > 9-, / .L<: 2 $ - > -*,.1
l segundo aforo es4
.L / G:, 2 > 0-,1
l valor comercial de -< d$as antes es4 ( .8G 8 $ =
)-<] $ 8 > 0,*1.**
*a comisión es del .<= del total aforado. .< / 9-, ?
+ -*,.1 + 0,*1.** G *2.
.0/ de comisi$n
Total
3,0-.
'sociación "e#icana de factoraje +inanciero y actividades similares, '.C. WWW .f ac toraje.com .m# Comisión &acional para 0rotección y (efensa de los %suarios de Servicios +inancieros WWW .condu s e f .g ob. m# jercicios para resolver -.D 1fiDCenter, S.'., tiene cuentas por cobrar por un valor total de -9, a una fecha de vencimiento de 88 d$as. l gerente financiero acude a una empresa de factoraje con el fin de ceder las facturas. FOué cantidad recibirá si la empresa de factoraje le diera un aforo del L=, le aplicará una tasa de descuento igual a la 6)) /9.8= en este momento2 más -9 puntos porcentuales y cobrará una comisión del 8=. 8.D l administrador financiero de una empresa de "ateriales para construcción, acude a una empresa de factoraje para negociar un pagaré con valor de vencimiento d por LG,, si la negociación se lleva a cabo < d$as antes del vencimiento y la empresa de factoraje le aplica una tasa de descuento de 88=, y una comisión de 9.:= al millar y un aforo del L:=. FCuánto recibirá la empresaM .D (os pagares con valor de vencimiento por <,: y :9,, que vencen el 8- de agosto y el : de septiembre, respectivamente, se negocian en una empresa de factoraje que aplica una tasa de descuento del 8<= y una comisión de .9:=. Oué cantidad se recibe si la negociación se lleva a cabo el : de julio con un aforo del G:= Y
Cuando Se consigue un préstamo en efectivo, en bienes o servicios, este se liquida básicamente de dos maneras4 Z Con un desembolso !nico al vencer el pla5o. Z Con dos o más pagos cuya magnitud y frecuencia puede ser constante o variable en cuyo caso se dice que el préstamo se amorti%a. 'morti5ar es el proceso de cancelar una deuda e intereses generados mediante pagos periódicos. Cuando el n!mero de pagos es relativamente grande, resulta poco práctico evaluar uno por uno. Siendo más conveniente utili5ar fórmulas que no son más que el resultado de combinar las que ahora se han visto. #isten tres maneras de considerar los cargos por intereses en las operaciones de crédito con varios abonos.
Con interés global. Con interés compuesto. Con interés simple.
n el primer caso, el capital / C 2 que se adeuda, se multiplica por la tasa / i 2 y por el pla5o / t 2, en las mismas unidades de tiempo y el resultado se divide entre el n!mero de pagos. n el segundo caso con interés compuesto, reciben el nombre de anualidades. T el !ltimo caso con interés simple, los abonos pueden ser todos iguales o todos diferentes entre s$, pero en todo caso los intereses se calculan tomando como base el capital que se adeuda en el momento de hacer el pago, capital que se conoce con el nombre de capital vivo de la deuda, deuda viva, remanente o más com!nmente como saldo insoluto.
&ercicio% 0morti%aci&n de un préstamo con interés global. 1btenga el abono mensual con el que se amorti5a un préstamo de :,. en un a3o y medio, si se paga interés del = mensual.
Soluci$n% l interés del = global anual a -9 meses / un a3o y medio 2 hace un total de / -9 2 > := por lo que la deuda con intereses es la suma de 4 :, ? .: / :, 2 02,.
'l dividir la cantidad entre los -9 meses, resulta que cada pago mensual es de4
9,:
ste abono también puede obtenerse dividiendo la deuda inicial entre los -9 meses y sumando después los intereses por mes4 'morti5ación
C: , -9
> 8:,.
)nteré )nteréss : :, , / . . 2 > -, -,: :. . Se hace la sumatoria y nos da4 8:,. ? -,:. *,1.
&ercicio% 0morti%aci&n de de crédito con pagos variables. variables. Se compra un televisor cuyo precio es de ,8:. con un pago inicial del 8= y ocho abonos mensuales e interés del 8= simple anual sobre saldos insolutos. F(e cuánto es cada abonoM
Soluci$n% (ebemos conocer el capital que se le va aplicar al crédito ya que dio enganche. .9 / ,8: 2 > ,0. Conoceremos ahora los intereses por mes4 " > 8,<.
(.8C ) > 1. -8
6ambién es cierto que cada amorti5ación es igual al cociente de la deuda entre el n!mero de abonos n. 0 = 0 =
C n 8 ,< 9
0 > 1.
0or lo tanto el primer abono es de4 1- > 8:. ? :8 > --.
0ara hacer el segundo abono haremos lo siguiente restar los 8:. de capital a la deuda y como resultado tendremos el saldo insoluto 8,<. D 8:. > ,-1. *os intereses son4 " 8 ( 8,8G: /.82 " 8 > 31.1
*o que se tiene que pagar en el segundo abono es4 18 > 8:. ? :.: >
-.1
0ara el tercer abono se tiene4 Saldo > 8,< D / 8 2 / 8: 2 -,L:. Saldo insoluto " > -,L: / .8 2 " > L. los intereses *o que se tiene que pagar en el tercer abono es 1 > 8:. ? L. >
03.
'hora haremos el !ltimo pago4 Saldo > 8,< D / G 2 / 8: 2 > 8:. saldo insoluto " 9 > 8: / .8 2 " 9 > <.: los intereses *o que se tiene que pagar en el octavo abono es 19 > 8:. ? <.: >
.1
&ercicio% 0morti%aci&n con con intereses sobre saldos deducci&n deducci&n de -&rmula. Se compra un televisor cuyo precio es de ,8:. con un pago inicial del 8= y ocho abonos mensuales e interés del 8= simple anual sobre saldos insolutos. F(e cuánto es cada abonoM
Soluci$n% aritmética . l total que se paga por los intereses es una progresi&n aritmética
" > :8. ? :.: ? L. ? . . . . . ? <.:
(8 )( + u ) S = ( 8 )(:8 + <.:) S
=
n
a
9
S > / :9.: 2 S > 3.
' cada pago, por concepto de intereses le corresponde4 "
=
8 ; C. 9
2.1 0ara eso cada abono es de4 1 > 8:. ? 8L.8:
13.1
&ercicio% 0morti%aci&n con con intereses sobre saldos insolutos, insolutos, renta -ija! -ija! Se compra un televisor cuyo precio es de ,8:. con un pago inicial del 8= y ocho abonos mensuales e interés del 8= simple anual sobre saldos insolutos. F(e cuánto es cada abonoM
Soluci$n% C*a deuda ' 8,<. 9 n ' .8 i '
l n!mero de renta o abonos *a tasa mensual
1 = 8C (n)[(n + -)(i )
+
8] 1 = (
8,< 8
)(9)[(9
+
-)(.8)
+
8] 1 > -<8.: / 8.-9 2 1 > 13.1
de un crédito! &ercicio% 0morti%aci&n de
%n crédito que fue adquirido en una compra de una computadora en una tienda de autoservicio, fue autori5ado a 8 abonos semanales de -,8:. e interés del .-= simple diario determine4 a2.D l capital, es decir el valor del crédito.
b2.D l total que se paga por concepto concepto de interés.
; n i
l a7ono semanal
' -,8:. ' 8 ' .-
57onos o pa9os !or - días .2 semanal
0or lo tanto4 1 >
-,8: >
C
c 8
(n)[(n + -)(i ) + 8]
(8)[(8 + -)(.L-)
+
8]
8
-,8: /2 > C H 8- /.L-2 ? 8 I :, > C / 8.-L-- 2 C >
:, 8.-L--
C > 88,9-L.:L b2.D *os intereses son la diferencia entre el capital que se recibió por el crédito y el total que se pagó en los 8 abonos4 " > 8 / -,8:. 2 D 88,9-L.:L " > ,*.3