SEMANA 02: 02: INTER INTER INSTITUTO DE EDUCACIÒN SUPERIORSEMANA
S SIMPLE SIMPLE
MATEMATICA FINANCIERA ESTUDIANTE: ESTUDIANTE: …………………………………… ESPECIALIDAD:………………FECHA:…………
LA OPORTUNIDAD DE UN FUTURO MEJOR
Concepto de interés.- La Regla de Interés viene a ser una operación tal por medio de la cual se halla la ganancia o interés producto de una determinada suma de dinero (capital), prestado a un porcentaje establecido durante un determinado período de tiempo. Interés Simple.- Es aquella variante del Interés que consiste en que el capital permanece constante durante todo el tiempo que dura el préstamo – cuando los intereses se retiran – I = P. i .n Relación fundamental M = P+ I = P +Pin = P(1+in) M = P(1+in) VF = VA(1+in)
TIEMPO EXACTO Y APROXIMADO Tiempo exacto. En un plazo de tiempo hay un número exacto de días, esa cantidad de días es el tiempo exacto entre una fecha inicial y otra final. Al final del tema se muestra una tabla para calcular el tiempo exacto entre dos fechas. Tiempo aproximado. Supone un mes igual a 30 días. Ejemplo 1. Una empresa prestó una cantidad el 25 de febrero de 2009; dicha cantidad se devolverá el 25 de agosto del mismo año. Determinar el tiempo exacto y aproximado. Solución : se realiza una gráfica para indicar los días de los meses que se toman en cuenta.
Monto o Valor Futuro (M=VF): es la suma de l a cantidad invertida con el interés. Capital o Valor Actual (P=VA): es la cantidad de dinero que se invierte en una transacción comercial; es la cantidad sobre la cual se impone el interés. Tasa de Interés (i): es el porcentaje de interés (en unidades monetarias) del dinero que se ha prestado. Tiempo (n): es el número de períodos en los cuales permanece el capital en el negocio.
Observación:
1) Las unidades de tiempo en las cuales están expresados la tasa de interés y el tiempo deben ser las mismas (generalmente en meses y en años). Equivalentes del Tiempo: Año Bancario según el BCRP Termino Año Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena
Periodo a días 360 180 120 90 60 30 15
Número de Unidades de Tiempo en un año bancario Unidad Numero Año 1 Semestres 2 Cuatrimestres 3 Trimestres 4 Bimestres 6 Meses 12 Quincenas 24 Días 360
2) Si no está especificada la unidad del tiempo en la cual entra en acción el Interés (I) se considera a ésta como anual.
Otra forma de realizar el cálculo del tiempo exacto es mediante el uso de la tabla en la última parte de este tema. Donde se ubica el 25 de febrero y el 25 de agosto Número de día del 25/febrero en la tabla : 56 Número de día del 25/agosto en la tabla : 237 Resta de días : 181 días. Otra forma de realizar el cálculo del tiempo aproximado es:
Ejemplo 2. La guerra de los mil días, denominada la Guerra Magna se desarrolló entre el 18 de octubre de 1899 y el 12 de noviembre de 1902; determina cuántos días duró la guerra usando el tiempo aproximado y el real. NOTA: En el tiempo aproximado los años tienen 360 días (12 meses x 30 días) en el tiempo real los años tienen 365 días.
Respuestas: Tiempo real: 1,128 días; tiempo aproximado: 1,113 días. Ejemplo 3. Determine el tiempo real y aproximado que ha transcurrido en días
entre las siguientes fechas:
PROBLEMAS DE INTERÉS SIMPLE 1. Si tenemos un préstamo de S/ 1000 cobrando una tasa de interés simple del 24% anual ¿Cuál es el interés generado al tercer año? ¿Cuál es el monto? R: 720 y 1720 2. El BCP otorgó a CESCA un préstamo de S/10 000 para devolverlo dentro de un año, cobrando una tasa de interés simple del 24% anual ¿Cuál es el Interés a pagar? ¿Cuál es el Monto? R: 2400 y 12 400 3. Jorge deposita S/10 000 ganando una tasa de interés simple del 5% mensual ¿Qué interés habrá acumulado en tres meses? ¿Cuál es el Monto? R: 1500 y 11 500 4. ¿Cuántos días de interés se habrán acumulado entre el 3 de junio y el 18 de setiembre del 2010de un importe ahorrado en el BN? R: 107 5.
CONVERSIÓN ENTRE DISTINTAS TASAS Los periodos de tiempo pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, etc; para determinar los valores numéricos a los cuales equivalen dichas tasas considere los cálculos mostrados: Ejemplo 3. Una tasa de interés de 25% anual equivale a:
Si la tasa anual de interés simple es del 18%¿Cuál será la tasa para el periodo comprendido entre el 01 enero del 2010 al 01 de enero del 2011? R: 18,25%
6. Si el capital inicial es de S/ 1000 cobrados al 24%anual. Calcula el interés en cada una de Unidades de Tiempo en un año bancario (ver tabla) 7. Calcula el interés simple de un capital de S/5000 colocados al BN desde el 03 de marzo al 15 de mayo del 2010 a una tasa del 2% mensual. Determina el monto. R: 243,33 y 5243,33 8. ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30%producira un interés simple de S/1000 en el periodo comprendido entre el 19 de abril y 30 de junio del 2010? ¿Cuál es el monto? R: 16 666,67 y 17 666,67 9. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/2000 y al crédito sin cuota inicial será de S/2300? R: 10% 10. ¿Cuál es la suma que al 5 1/5 % ha producido 104 soles en 8 meses. R: 3000
Obtener el resto de las tasas para los periodos faltantes.
11. Hallar el interés de 600 soles al 3 ½% en 4 años R: 84 soles 12. Si 600 soles fueron impuestos al 2%; produciendo 600 soles. Hallar el tiempo en el cual dicho dinero estuvo invertido. R: 5 años. 13. ¿Qué capital produce $1240 de Monto, si es i nvertido durante 6 meses al 4% de interés mensual? R: $1000 14. . ¿A cuánto asciende los intereses ganados por un capital que invertido durante 8 meses al 4% de interés mensual alcanzó un monto de $3000? R: $727,27
15. La empresa YY S.A. tiene en su activo una cuenta a cobrar originada a un año y medio de esa fecha devengando un interés de $562.5 a l 25% anual. ¿Cuál es el importe original del crédito? R: $ 1500 16. ¿En qué plazo un capital de $1000, invertido al 4% de interés mensual genera $240 en concepto de intereses? R: 6 17. ¿En qué plazo un capital de $1000, invertido al 4% de interés mensual se transforma en un múltiplo de sí mismo? R: 25
PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES SIMPLE 1. Si tenemos un préstamo de S/ 1000 cobrando una tasa de interés simple del 24% anual ¿Cuál es el interés generado al tercer año? ¿Cuál es el monto? Solución: la tasa y el periodo son anuales P = 1000 I = Pin = 1000(0,24)(3) = 720 i = 24% anual = 0,24 M = P(1+in) n = 3 años = 1000(1 + 0,24(3)) = 1720 2. El BCP otorgó a CESCA un préstamo de S/10 000 para devolverlo dentro de un año, cobrando una tasa de interés simple del 24% anual ¿Cuál es el Interés a pagar? ¿Cuál es el Monto? Solución: la tasa y el periodo son anuales P = 10000 I = Pin = 10000(0,24)() = 2400 i = 24% anual = 0,24 M = P(1+in) n = 1 año = 10000(1 + 0,24(1))= 12400 3. Jorge deposita S/10 000 ganando una tasa de interés simple del 5% mensual ¿Qué interés habrá acumulado en tres meses? ¿Cuál es el Monto? Solución: la tasa y el periodo son mensuales P = 10000 I = Pin = 10000(0,05)(3)= 1500 i = 5% mensual = 0,05 M = P(1+in) n = 3 meses = 10000(1 + 0,05(3))= 11500 4. ¿Cuántos días de interés se habrán acumulado entre el 3 de junio y el 18 de setiembre del 2010 de un importe ahorrado en el BN? Solución: Podemos hacer uso de: (1) la tabla de cálculo del tiempo exacto, (2) Podemos usar la Técnica del Puño, (3) Podemos usar la Línea del Tiempo, (4) Elaboramos una tabla: mes Junio Julio Agosto Setiembre
Días 30 31 31
Días transcurridos 30 – 3 = 27 = 31 = 31 = 18 = 107 días
5. Si la tasa anual de interés simple es del 18% ¿Cuál será la tasa para el periodo comprendido entre el 01 enero del 2010 al 01 de enero del 2011?
Solución:
El número de días del 01/01/2010 al 01/01/2011 = 365 días Luego establecemos una regla de tres simple 360 días 18% x = 365 días x x = 18,25%
6. Si el capital inicial es de S/ 1000 cobrados al 24%anual. Calcula el interés en cada una de Unidades de Tiempo en un año bancario Solución: P = 1000, i = 24%, n = 1 año Completamos la tabla teniendo en cuenta los periodos Anual (n = 1) P = 1000 i = 0,24 n=1 I = Pin = (1000)(0,24)(1) = 240 Trimestral (n =4) P = 1000 i = 0,24: 4 = 0,06 n=4 I = Pin = (1000)(0,06)(4) = 240 Quincenal ( n = 24) P = 1000 i = 0,24: 24 = 0,01 n = 24 I = Pin = (1000)(0,01)(24) = 240
Semestral (n = 2) P = 1000 i = 0,24: 2 = 0,12 n=2 I = Pin = (1000)(0,12)(2) = 240 Bimestral (n =6) P = 1000 i = 0,24: 6 = 0,04 n=6 I = Pin = (1000)(0,04)(6) = 240 Diario (n = 360) P = 1000 i = 0,24: 360 n = 360 I = Pin
Cuatrimestral(n = 3) P = 1000 i = 0,24:3= 0,08 n=3 I = Pin = (1000)(0,08)(3) = 240 Mensual ( n = 12) P = 1000 i = 0,24. 12 = 0,02 n = 12 I = Pin = (1000)(0,02)(12) = 240
= (1000)(0,24/360)(360) = 240
7. Calcula el interés simple de un capital de S/5000 colocados al BN desde el 03 de marzo al 15 de mayo del 2010 a una tasa del 2% mensual. Determina el monto. Solución: la tasa y el periodo son diarios P = 5000 M = P(1+in) i = 2% mensual = 0,2: 30 = 5000(1 + 0,2:30(73)) n = 03 marzo – 15 mayo = 73 días = 5243,33 8. ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producira un interés simple de S/1000 en el periodo comprendido entre el 19 de abril y 30 de junio del 2010? ¿Cuál es el monto? Solución: la tasa y el periodo son diarios P = ¿? I = Pin i = 30% 1000 = P(0,30/360)(72) I = 1000 P = 16666,67 n = 19 abril-30 junio = 72 días M = P +I = 17666,67 9. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/2000 y al crédito sin cuota inicial será de S/2300? Solución: la tasa y el periodo son diarios
P = 2000 i = i/30 dias I = 2300 – 2000 = 300 n = 45 días 10. ¿Cuál es la suma que al 5 1/5 % ha
Solución: C
1200
I
it
C
I = Pin 300 = 2000(i/30)(45) i = 0,10 i = 10% producido 104 soles en 8 meses?.
1200 (104 )
( 26 / 5)(8)
3000 soles
11. Hallar el interés de 600 soles al 3 ½% en 4 años.
Solución I
Cti
I
100
(600)(4)(7 / 2) 100
84 soles
12. Si 600 soles fueron impuestos al 2%; produciendo 600 soles. Hallar el tiempo en el cual dicho dinero estuvo invertido.
Solución
t
100 I cE
t
100(600) (6000 )(2)
5 años.
13. ¿Qué capital produce $1240 de Monto, si es invertido durante 6 meses al 4% de interés mensual? $1240 = P· ( 1 + 0,04 · 6 ) M = $1240 $1240 = P· ( 1 + 0,24) i = 4% mensual $1240 = P· 1,24 n = 6 meses $1240/1,6 = P P = ¿? $1000 = P 14. ¿A cuánto asciende los intereses ganados por un capital que invertido durante 8 meses al 4% de interés mensual alcanzó un monto de $3000? $3000 = Co · ( 1 + 0,04 · 8 ) I = ¿? $3000 = P · ( 1 + 0,32) i = 4% mensual $3000 = P · 1,32 n = 8 meses $3000/1,32 = P M = $ 3000 $2272,73 = P M= P + I I = M - P = $3.000 - $ 2272,73 I = $727,27 15. La empresa YY S.A. tiene en su a ctivo una cuenta a cobrar originada a un año y medio de esa fecha devengando un interés de $562. 5 al 25% anual. ¿Cuál es el importe original del crédito? I=P·i·n I = $ 562,50 $ 562,50 = P · 25/100 · 1,5 i = 25% anual P= $ 562,50 / (0,25 · 1,5) n = 1,5 años P = $ 1.500 P = ¿? 16. ¿En qué plazo un capital de $1000, invertido al 4% de i nterés mensual genera $240 en concepto de intereses?
P = $1000 I = $240 i = 4$ mensual n = ¿? Mensual 17. ¿En qué plazo un capital de $1000, transforma en un múltiplo de sí mismo? P = $1000 n = ¿? M = $2000 i = 4% mensual
$240 = $1000 · 0,04 · n $240 = $40 · n $240/$40 = n 6 meses = n invertido al 4% de interés mensual se
$2000 = $1000 ( 1 + 0,04 · n ) $2000 / $1000 = ( 1 + 0,04 · n ) 2 = 1 + 0,04 · n 2 – 1 = 0,04 · n 1 / 0,04 = n n = 25 meses 18. Ahora la Señora Díaz quiere saber el importe que recibiría al finalizar el plazo de colocación tanto si éste es de 1 año, o 2 años, 3 años, etc. a) Ayúdale nuevamente confeccionando la tabla Tiempo (en años) – Monto (en $)
b) Grafica la función. c) Trata de hallar la fórmula matemática que describa el Monto en función del Tiempo, identificando a monto con la letra S.
