Cauchy – Euler y Variación Parámetros Ecuación de Cauchy – Euler Una ecuación diferencial de la forma an x
n
dny dx
n
an1x
n 1
d n1
dy
dx
dx
... a1x n 1
ao y g ( x)
(1.1)
Donde an , an 1,......ao son constantes se llama ecuación de Cauchy – Euler. Método de Solución Probamos una solución de la forma y x m , donde m
debe ser
determinado, las derivadas primera y segunda son: dy dx dy dx
mxm 1 m(m 1) x m 2
(1.2)
De modo que la ecuación diferencial se transforma en ax
2
d2y dx 2
bx
dy dx
cy ax 2 m m 1 x m 2 bx mx m 1 cx m am(m 1) x m bmx m cx m x m am m 1 bm c
Así y x m será solución de la ecuación diferencial cada vez que m sea solución de la ecuación auxiliar. am(m 1) bm c 0 ó
(1.3)
am2 (b a )m c 0
Hay que considerar tres casos diferentes dependiendo de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas reales e iguales o complejas conjugadas. Ecuaciones Diferenciales
Página 1
Cauchy – Euler y Variación Parámetros Caso I Sean m1 y m2 raíces reales de (1.3) tales que m1 m2 , entonces: y1 xm1
y2 x m2
e
(1.4)
Forman un conjunto fundamental de soluciones, por lo tanto la solución general es: y C1x m1 C2 x m2
(1.5)
Caso II Si m1 m2
obtenemos una solución a saber, y xm1 , cuando las
raíces de la ecuación cuadrática am2 (b a )m c 0 , son iguales, el discriminante de los coeficientes es necesariamente cero. Por lo tanto la solución general es: y C1x
m1
C2 xm2 ln x
(1.6)
Caso III Si m1 y m2 son complejas conjugadas, digamos: m1 i, m2 i
(1.7)
Donde y son reales, entonces una solución formal es: y C1x i C2 x i
(1.8)
Con
x i eln x
i
ei ln x
(1.9)
La cual por la formula de Euler es la misma que x i cos ln x isen ln x Ecuaciones Diferenciales
Página 2
Cauchy – Euler y Variación Parámetros Se deduce que la solución general es: y x C1 cos ln x C2sen ln x
(1.10)
Variación de Parámetros Vimos que la solución general de la ecuación lineal dy dx
P( y ) f ( x)
(1.11)
Para motivar un método adicional para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden, mediante un método conocido como método de variación de parámetros. Resumen del Método En general no es recomendable memorizar formulas en lugar de tratar de comprender un procedimiento. Sin embargo el procedimiento precedente es demasiado largo y complicado para usarlo cada vez que queramos resolver una ecuación diferencial. En este caso es más eficiente usar simplemente las siguientes formulas:
U '1
0
y2
f ( x )
y '2
y1
y2
y '1
y '2
y1
0
y '1
f ( x)
y2 f ( x ) W
y
U '2
y1
y2
y '1
y '2
y1 f ( x ) W
W Wrosk roskia iano no Ecuaciones Diferenciales
Página 3
Cauchy – Euler y Variación Parámetros En consecuencia para resolver ay '' by ' cy g ( x) , donde a, b y c son constantes, primero encuentre la función yc C1 y1 C2 y2 y luego calcule el wroskiano. W
y1
y2
y '1
y '2
complementaria
(1.12)
la ecuación de la forma y '' Py ' Qy f (x ) , para
Dividiendo por a
determinar f ( x) . Encuentre U 1 y U 2 integrando, es decir:
y f ( x) U '1 2 W
y
U '2
y1 f ( x ) W
(1.13)
Finalmente, forme la solución particular y p U1 y1 U 2 y2
(1.14)
En consecuencia tenemos que: y yc y p yc complemen complementaria taria y p particular particular
Ejemplo 1 Resuelva mediante variación de parámetros x2 y '' 2 xy ' 2 y x 4e x
Solución La sustitución y x m conduce a la ecuación auxiliar
Ecuaciones Diferenciales
Página 4
Cauchy – Euler y Variación Parámetros y x m , y ' mx m 1, y '' m (m 1) x m 2 x 2 m m 1 x m x 2 2 xmx m x 1 2x m 0
m2 m xm 2mxm 2xm 0 x m m 2 m 2m 2 0
x m m 2 3m 2 0 x m m 2 m 1 0
Por lo tanto las raíces son m2 2, m1 1 por lo tanto de acuerdo al caso I tenemos: m m 2 yc C1x 1 C2 x 2 yc C1x C2 x
Antes de usar variación de parámetros recordemos que las formulas: y f ( x ) U '1 2 W y y f ( x ) U '2 1 W
Fueron deducidas en el supuesto de la ecuación diferencial ha sido reducida a la forma y '' P( x) y ' Q( x) y f ( x) por lo tanto dividimos la ecuación dada por x 2 y hacemos la identificación f ( x) x 2e x . Ahora bien W
x
x2
1
2 x
2x2 x2 x 2
Ecuaciones Diferenciales
Página 5
Cauchy – Euler y Variación Parámetros De modo que integramos y obtenemos: U '1
y2 f ( x ) W
x 2 x 2 e x x2
x 2e x
y U '2
y1 f ( x) W
x x 2 e x x2
xe x
u x 2 dv e x U '1 x e dx du 2dx v e x u x dv e x 2 x x U1 x e 2 xe dx dx v e x du dx
2 x
U1 1 x 2e x 2 xe x 2e x U1 x 2e x 2 xe x 2e x
U1 e x x2 2x 2
U1 e x x 2 2 x 2
x u x d v e x U '2 xe dx du dx dx v e x
U 2 xe x e xdx U 2 e x x 1
Ecuaciones Diferenciales
Página 6
Cauchy – Euler y Variación Parámetros Luego y p U1y1 U 2 y2
y p e x x 2 2 x 2 x e x x 1 x 2 y p x3e x 2 x 2e x 2 xe x x 3e x x 2e x y p x 2e x 2xe x
Finalmente tenemos: y yc y p y C1x C2 x 2 x 2e x 2xe x
Relación con coeficientes constantes la semejanza entre las formas de las soluciones a las ecuaciones de Cauchy – Euler y a las ecuaciones lineales con coeficientes constantes no es mera coincidencia: por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares de ax2 y '' bxy ' cy 0
son distintas y reales, las soluciones respectivas
generales son: y C1e m1 x C2em2 x
y
y C1x m1 C2 x m2 , x 0
(1.15)
En vista de la identidad eln x x, x 0 , la segunda solución se puede expresar en la misma forma que la primera y C1e m1 ln x C2em2 ln x C1e m1t C2e m2t
(1.16)
Donde t ln x . Este último resultado ilustro que toda ecuación de Cauchy Euler. Siempre se puede escribir en la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustitución x et . La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t siguiendo los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general restituir t ln x . Este método que
Ecuaciones Diferenciales
Página 7
Cauchy – Euler y Variación Parámetros ilustramos en el último ejemplo requiere la aplicación de la regla de la cadena, de la diferenciación. Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación diferencial x
2
d2y dt
10x
dy
8y x2
dt
Solución x et y por la regla de la cadena se tiene que la primera y segunda derivada:
dy
dt
dy dt dt dx
Regla de la Cadena
x et ó t ln x dy
dx
d2y dx 2 d2y dx 2 d2y dx 2 d2y dx
2
dy 1 dt x
Primera Derivada
1 d dy dy 1 2 x dx dt dt x
1 d dy dy 1 x dt dx dt x 2
1 d dy 1 dy 1 x dt dt x dt x 2
1 d 2y
dy
2 Segunda Der ivada x dt dt 2
Sustituyendo la primera y segunda derivada tenemos:
Ecuaciones Diferenciales
Página 8
Cauchy – Euler y Variación Parámetros 1 d 2 y dy dy 1 t x 10 x 8y e x 2 dt 2 dt dx x
2
d2y dt 2 2
d y dt 2
dy dy dt
9
10
dy dt
dy
2
8 y e2t
dt
8 y e 2t
Puesto que la ultima ecuación obtiene coeficientes con stantes, su ecuación auxiliar es: m 2 9m 8 0 ó
m 8 m 1 0 Por consiguiente obtenemos: yc C1e
t
C2e8t
Usando coeficientes indeterminados suponemos que una solución particular es: y p Ae2t y ' p 2 Ae2t , y '' p 4 Ae2t
Por lo tanto sustituyendo en la ecuación diferencial en términos de t tenemos: 4 Ae2t 9(2 Ae2t ) 8 Ae2t e 2t 4 Ae2t 18 Ae2t 8 Ae2t e2t 30 Ae2t e 2t 30 A 1 A
1 30
Ecuaciones Diferenciales
Página 9
Cauchy – Euler y Variación Parámetros Luego tenemos: y yc y p y C1e t C2e 8t
1 30
e 2t
La ecuación de Cauchy – Euler puede ser reducida a una ecuación con coeficientes constantes por medio de la sustitución x et .
Ecuaciones Diferenciales
Página 10
