4.7 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER REPASO DE MATERIAL ●
Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3.
INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es encontrar una solución en forma de serie infi nita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar.
,
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma
− − − − ⋯ =
, −,...,
donde los coeficientes son constantes, se conoce como ecuación de CauchyEuler . La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado de los coeficientes monomiales
coincide con el orden
de la derivación :
=,1,...,1,0
− − − − ⋯
Al igual que en la sección 4.3, iniciamos el análisis con un examen detallado de las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden
= =..
= ′′ =0 NOTA 0 , ∞ ∞,0 = = MÉTODO DE SOLUCIÓN = 1 2 ….1− = 1 2 ….1.
La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También, podemos resolver la ecuación no homogénea por variación de parámetros, una vez que se ha determinado la función f unción complementaria . El coeficiente de es cero en . Por lo que, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1.1 sean aplicables a la ecuación de Cauchy-Euler, centramos nuestra atención en encontrar soluciones generales definidas en el intervalo . Las soluciones en el intervalo se obtienen al sustituir en la ecuación diferencial. Véanse los problemas 37 y 38 de los ejercicios 4.7. Se prueba una solución de la forma , donde es un valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando se sustituye en una ecuación lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye , cada término de una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en veces , puesto que
= =1 = [1 ]. = ecuación auxiliar 1 =0 = 0. 1 Por ejemplo, cuando sustituimos
Así
, la ecuación de segundo orden se transforma en
es una solución de la ecuación diferencial siempre que
sea una solución de la
Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado.
y las raíces reales de (1), tales que ≠ . Entonces = y = forman un conjunto fundamental de soluciones. Por tanto, la CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean solución general es
= .
2
EJEMPLO 1 Raíces distintas Resuelva
2 4=0.
SOLUCIÓN En lugar de memorizar la ecuación (1), algunas veces es preferible suponer
=
como la solución para entender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de ecuación auxiliar y la obtenida en la sección 4.3. Derive dos veces,
= − , = 1−, y sustituyendo esto en la ecuación diferencial
2 4=.1− 2.− 4
= [124] = 34 = 0 34 = 0 14=0 = =1, = 4 − CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS = = . = 0 = /2 = 0 si
. Ahora
implica que
, así que
.
Si las raíces de son repetidas (es decir, ), entonces se obtiene sólo una solución particular, Cuando las raíces de la ecuación cuadrática son iguales, el discriminante de los coeficientes necesariamente es cero. De la fórmula cuadrática se deduce que las raíces deben ser . Ahora se puede construir una segunda solución , con la ecuación (5) de la sección 4.2. Primero se escribe la ecuación de Cauchy-Euler en la forma estándar
=/ ∫/ = / −/ = = −/.− ← −/ = / = −/ = −/ .−/ ←2 =/ = = ln.
y haciendo las identificaciones
y
. Así
La solución general es entonces
= .
3
EJEMPLO 2 Raíces repetidas Resuelva
4 8 =0.
= 4 8 = [41 81] = [4 41] = 0 41=0 21 = 0 4 = , −/ −/ , , ln, ln,…, ln− CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS , =, = + − . SOLUCIÓN Sustituyendo
donde
se obtiene
o
. Puesto que
la solución general es
.
Para ecuaciones de orden superior, si demostrar que
es una raíz de multiplicidad
=
entonces se puede
son k soluciones linealmente independientes. En correspondencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de estas soluciones.
donde y
Si las raíces de (1) son el par conjugado 0 son reales, entonces una solución es
=
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las ecuaciones con coeficientes constantes, se desea escribir la solución sólo en términos de funciones reales. Observemos la identidad
= () = , que, por la fórmula de Euler, es lo mismo que
De forma similar,
=cosln ln. − =cosln ln.
Si se suman y restan los dos últimos resultados, se obtiene
− =2cosln − =2senln = =+= 1 − =1, = 1 = ( −) = ( −) = 2 cosln =2 senln , )=− ≠ 0 , > 0 ( 0, ∞ = cosln = senln y
respectivamente. Del hecho de que de las constantes, note, a su vez, para
o
y
es una solución para cualquier valor que
también son soluciones. Como intervalo , se concluye que
en el
constituyen un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial. Así la solución general es
= [ ].
4
EJEMPLO 3 Problema con valores iniciales
4 17=0,1 = 1, 1 = . ′ SOLUCIÓN 4 17=[4117] = 4 417 = 0 4 417=0 = 2 = = = /[ 2 2 ]. 1 =1,1 = = 1 = 0 =/ 2 →∞. Resuelva
El término
falta en la ecuación de Cauchy-Euler; sin embargo, la sustitución
produce
donde y
. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces son
. Con las identificaciones
y
=
= 2
se ve de (4) que la solución general de la
ecuación diferencial es
Aplicando las condiciones iniciales
la solución anterior y usando
1 = 0
,
se obtiene, a su vez, que y . Así la solución del problema con valores iniciales es . En la figura 4.7.1 se presenta la gráfica de esta función que se obtuvo con ayuda de un paquete de cómputo. Se observa que la solución particular es oscilatoria y no acotada conforme
a) solución para
0<≤1
a) solución para
0<≤100.
FIGURA 4.7.1 Curva solución del PVI del ejemplo 3. En el ejemplo siguiente se ilustra la solución de una ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden.
EJEMPLO 4 Ecuación de tercer orden Resuelva
5 7 8=0.
= SOLUCIÓN = − , = 1−, = 12− Las tres primeras derivadas de
son
así la ecuación diferencial dada se convierte en
5 7 8=12− 51− 7− 8
= [12 51 78] = 2 48 = 2 4. = = − 2 2 .
En este caso veremos que es una solución de la ecuación diferencial para y . Por tanto, la solución general es
2 =2
=2, =
El método de coeficientes indeterminados que se describió en las secciones 4.5 y 4.6 no se aplica, en general , a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Por tanto en el siguiente ejemplo se emplea el método de variación de parámetros.
EJEMPLO 5 Variación de parámetros Resuelva
3 3=2.
SOLUCIÓN Puesto que la ecuación es no homogénea, primero se resuelve la ecuación
13 = 0 = = = / = / , = 3 3 =2 = 2 =, = = |1 3|=2, = |20 3|=2 , = |1 20 |=2 .
homogénea asociada. De la ecuación auxiliar se encuentra . Ahora, antes de usar la variación de parámetros para encontrar una solución particular , recuerde que las fórmulas y , donde y , son los determinantes definidos en la página 158, que se dedujeron bajo la suposición de que la ecuación diferencial se escribió en la forma estándar . Por tanto, dividiendo entre la ecuación dada,
hacemos la identificación
. Ahora con
,y
Encontramos
= 2 = 2
2 = 2 = . La integral de la última función es inmediata, pero en el caso de se integra por partes dos veces. Los resultados son = 2 2 y = . Por tanto = es = 2 2 = 2 .2. Finalmente, = = 2 2 . REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES Las similitudes entre las formas de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con coeficientes constantes no sólo son una coincidencia. Por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares para y son distintas y reales, las soluciones generales respectivas son
=0 =0 = = , > 0. =, >0 = = , =ln = , =
5
Usando la identidad , la segunda solución dada en (5) puede expresarse en la misma forma que la primera solución:
donde . Este último resultado ilustra el hecho de que cualquier ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir de nuevo como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes sustituyendo . La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable usando los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general, sustituir nuevamente . Este método, que se ilustró en el último ejemplo, requiere el uso de la regla de la cadena de la derivación.
EJEMPLO 6 Cambio a coeficientes constantes
= . = = SOLUCIÓN Resuelva
Sustituyendo
o
, se tiene que
= = 1 ← = 1 1 ← 1 1 1 1 = = . Sustituyendo en la ecuación diferencial dada y simplifi cando se obtiene
2 =. 21= = = 2= = 2 = 1 = = 2, 0,∞ = 2 .
Como esta última ecuación tiene coeficientes constantes, su ecuación auxiliar es ,o . Así se obtiene . Usando coeficientes indeterminados se prueba una solución particular de la forma Esta suposición conduce a , por tanto y . Usando obtiene
0 1 = 0
así la solución general de la ecuación diferencial original en el intervalo
EJERCICIOS 4.7 En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada.
. 2=0 Solución:
. 4 = 0 Solución:
. ′=0 Solución:
. 3′=0 Solución:
. 4=0 Solución:
es
. , se
. 5 3=0 Solución:
. 3 2=0 Solución:
. 3 4=0 Solución:
. 25 25 = 0 Solución:
. 4 4 = 0 Solución:
. 5 4=0 Solución:
. 8 6=0 Solución:
. 3 6 = 0 Solución:
. 7 41=0 Solución:
. 6=0 Solución:
. = 0 Solución:
. 6′′′=0 Solución:
. 6 9 3 = 0 Solución:
En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial dada por variación de parámetros.
. 4 = Solución:
. 2 5 = Solución:
. =2 Solución:
. 2 2= Solución:
. =ln Solución:
1 . = 1 Solución:
En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Use una aplicación para graficar y obtenga la gráfica de la curva solución.
. 3 = 0, 1 = 0, 1 = 4 Solución:
. 5 8 = 0, 2 = 32, 2 = 0 Solución:
. = 0, 1 = 1, 1 = 2 Solución:
. 3 4 = 0, 1 = 5, 1 = 3 Solución:
. = , 1 = 1, 1 = 12 Solución:
. 5 8=8, 1/2 = 0, 1/2 = 0 Solución:
=
En los problemas 31 a 36 use la sustitución para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5.
. 9 20=0 Solución:
. 9 25=0 Solución:
. 10 8= Solución:
. 4 6=ln Solución:
. 3 13=43 Solución:
. 3 6 6=3ln Solución:
En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales dado en el intervalo
. 4 = 0, 1 = 2, 1 = 4 Solución:
∞,0
.
. 4 6 = 0, 2 = 8, 2 = 0 Solución:
Problemas para analizar 39. ¿Cómo podría utilizar el método de esta sección para resolver
2 2 =0? Lleve a cabo sus ideas. Exprese un intervalo en el cual esté definida la solución. Solución:
40. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de
2 1
coeficientes reales si se sabe que y ideas.
ℎ
de orden mínimo con son raíces de su ecuación auxiliar? Lleve a cabo sus
Solución:
41. Las condiciones iniciales ecuaciones diferenciales:
¿Para qué valores de Solución:
y
0 = ,0 = 2 = 0, 2 2=0, 4 6=0.
se aplican a cada una de las siguientes
cada problema con valores iniciales tiene una solución?
0<<1/2
42. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje 4.7.1? ¿Cuántas intersecciones con el eje Solución:
de la curva solución que se muestra en la figura hay en ?
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 43 al 46 resuelva la ecuación diferencial dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas) de la ecuación auxiliar.
. 2 10.98 8.5′1.3=0 Solución:
. 4 5 9=0 Solución:
. 6 3 3′4=0 Solución:
. 6 33 105′169=0 Solución:
47. Resuelva
2 6=
por variación de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados en (10) de la sección 4.6. Solución:
