E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
Tema: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Subtema: Integrales triples en coordenadas rectangulares Usamos las integrales triples para calcular los volúmenes de formas tridimensionales. Si F(x, y, z) es una función definida en una región cerrada D y acotada en el espacio, como la región ocupada por una bola sólida o un montón de arcilla, entonces la integral de F sobre sobre D se define de la siguiente manera. Partimos una región en forma de caja rectangular ue contiene a D en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados !figura 1".#$%. &umeramos las celdas ue est'n dentro de D desde 1 (asta n en algún orden, donde la k )*sima )*sima celda tiene las dimensiones + x k k por +y k k por +zk y un volumen +k - + x k k + y k k + zk . Seleccionamos un punto !/, y/, 0/% en cada celda y formamos la suma:
, , ∆
1
stamos interesados en lo ue pasa cuando D se parte en celdas cada ve0 m's peue2as, de manera ue + x k k, +y k k, +zk y la norma de la partición el valor m'imo entre + x k k, +y k k, +zk tienden a cero. 3uando se obtiene un único valor l4mite, sin importar la forma de elegir las particiones y puntos ! /, y/, 0/%, decimos ue F es es integrable sobre D. 3omo antes, se demuestra ue cuando F es es continua y la superficie de la frontera de D est' formada por un número finito de superficies regulares unidas a lo largo de un número finito de curvas regulares, entonces F es integrable. 3uando y el número de celdas n tiende a , las sumas Sn tienden a un l4mite. 5lamamos a este l4mite la integral triple de F sobre sobre D y la escribimos como
‖ ‖
‖‖ → 0
lim ,, ,, →
∞
‖li‖m→! ,, 1
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
5as regiones D sobre las ue las funciones continuas son integrables, son auellas ue tienen fronteras 6ra0onablemente suaves7. Volumen de una regin en el espacio Si F es una función constante cuyo valor es 1, entonces las sumas de la ecuación !1% se reducen a
,,∆ = 1∆ = ∆ 3uando + x k, +y k y +zk tienden a cero, las celdas + k se (acen cada ve0 m's peue2as y m's numerosas, y cubren una parte cada ve0 mayor de D. Por lo tanto, definimos el volumen de D como la integral triple
lim ∆ = → &E'INICIÓN
1l volumen de una región cerrada 9 y acotada en el espacio es
"
=
sta integral nos facilita el c'lculo de volúmenes de sólidos encerrados por superficies curvas. C!lculo de l"mites de integracin en el orden d# d$ d% Para evaluar una integral triple aplicamos una versión tridimensional del teorema de 8ubini para obtenerla por medio de tres iteraciones simples. 3omo en las integrales dobles, eiste un procedimiento geom*trico para calcular los l4mites de integración para estas integrales simples. Para evaluar
, , sobre una región D, integramos primero con respecto a z, luego con respecto a y , y al final con respecto a x . !Usted podr4a elegir un orden diferente de integración, pero el procedimiento es similar%.
#
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
1. Elaore un o!"ue#o. Trace la región D junto con su 6sombra7 R !proyección vertical% sobre el plano xy . ;arue las superficies de las fronteras superior e inferior de la región D y las curvas de las fronteras superior e inferior de R.
#. De$er%&ne lo! l'%&$e! de &n$erac&ón en z . Trace una recta , paralela al eje z, ue pase por un punto t4pico ! x, y % en R. 3uando z crece, entra a D en y sale en .
= #,
#$,
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
. De$er%&ne lo! l'%&$e! de &n$erac&ón en y . 9ibuje una recta * paralela al eje y ue pase por (x, y). 3uando y crece, * entra a R en y sale en .
= %
= %$
=. De$er%&ne lo! l'%&$e! de &n$erac&ón en x . Seleccione los l4mites en x ue incluyan todas las rectas paralelas al eje y ue pasen por R ! x + a y x + en la figura anterior%.
*. +-)* '()*,+ &*/ &+-* &'(*,+ ,, Siga procedimientos similares si cambia el orden de integración. 5a 6sombra7 de la región D se encuentra en el plano de las dos últimas variables con respecto a las ue se reali0a la integración iterada. l procedimiento anterior se aplica siempre ue una región sólida D est* acotada por arriba y por abajo por una superficie, y cuando la 6sombra7 de la región R est* acotada por una curva superior y una inferior. &o se aplica para regiones con agujeros ue las atraviesan, si bien algunas veces estas regiones se subdividen en regiones m's simples para las cuales s4 se aplica el procedimiento.
=
E12 – Cálculo Avanzado
E(EMPL) *
Alfredo Alán Rey Calderón
!o de d&!$&n$o! órdene! de &n$erac&ón .
+olucin, 3ada una de las siguientes integrales da el volumen del sólido ue aparece en la figura.
' $ &! &! &! $ ' &! &! &! $ + &! &! &!
a%
c%
e%
b%
d%
f%
+ $ &! &! &! $ ' &! &! &! $ + &! &! &!
3alculamos las integrales de las partes !b% y !c%: •
>ntegral de la parte !b%:
+ $ + '+ = &! &! &! = &! &! = &! 2 3'! = &! 14 •
5
>ntegral de la parte !c%:
*$ $ &! &! 14 &! 2 43*! &! 4
5 "
E12 – Cálculo Avanzado
E(EMPL) -
Alfredo Alán Rey Calderón
De$er%&nac&ón de lo! l'%&$e! de &n$erac&ón en el orden dy dz dx
ncuentre los l4mites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre el tetraedro D con v*rtices !@, @, @%, !1, 1, @%, !@, 1, @% y !@, 1, 1%.
+olucin, Tra0amos D junto con su 6sombra7 R en el plano xz !figura 1".1%. 5a frontera superior !a la derec(a% de D se encuentra en el plano y + 1. 5a frontera inferior !a la i0uierda% se encuentra en el plano y + x - z. 5a frontera superior de R es la recta z + 1 A x y la frontera inferior es la recta z + .. Primero obtenemos los l4mites de integración en y . 5a recta paralela al eje y ue pasa por un punto t4pico (x, z) en R entra a D en y + x - z y sale en y + 1. 5uego, obtenemos los l4mites de integración en z. 5a recta * paralela al eje z ue pasa por (x, z) entra a R en z + . y sale en z + 1 – x . 8inalmente, encontramos los l4mites de integración en x . 3uando * barre R, el valor de x var4a desde x + . (asta x + 1. 5a integral es
* &! &! &*6',, ?
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
Por ejemplo, si F(x, y, z) + 1, (allar4amos ue el volumen del tetraedro es
* * $ * = &! &! &*6' = &! &! 14 4 &! 7144 8! $ $ 14 1 1 $ $ &! 714144 8 &! 914 4 14 : &! 14 1 1 4 ; 214<3! 4 ; = 0 4140<> 4 1; 41 5? E(EMPL) .
Rev&!&ón del e#e%/lo 2 u!ando el orden dz dy dx
>ntegre F(x, y, z) + 1 sobre el tetraedro D del ejemplo # en el orden dz dy dx .
+olucin, Primero (allamos los l4mites de integración en z. Una recta paralela al eje z ue pasa por un punto t4pico (x, y) en la sombra del plano xy entra al tetraedro en z + . y sale por el plano superior donde z + y – x !figura 1".#%.
B
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
9espu*s, obtenemos los l4mites de integración en y . n el plano xy donde z + ., el lado inclinado del tetraedro cru0a el plano a lo largo de la recta y + x . Una recta * paralela al eje y ue pasa por (x, y) entra a la sombra en el plano xy en y + x y sale en y + 1 !figura 1".#%. Por último, determinamos los l4mites de integración en x . 3uando la recta * paralela al eje y del paso anterior barre la sombra, el valor de x var4a desde x + . (asta x + 1 en el punto !1, 1, @%. !*ase la figura 1".#%. 5a integral es
&! &* &!+*,, Si F(x, y, z) + 1, (allar4amos ue el volumen del tetraedro es
+ $ 4 :+* 1 1 1 1 1 $ $ < = &! @ 4 A B = 9 4 A ; :! = 5?
+* = &! &* &! = &! &* 4 = &! 91
E(EMPL) /
Cálculo de un volu%en .
3alcule el volumen de la región D encerrada entre las superficies .
= D4$ 4 $
= $ A C$
y
+olucin,
l volumen es
= , la integral de F(x, y, z) + 1 sobre D. Para obtener los l4mites de integración y evaluar la integral, primero graficamos la región. 5as superficies !figura 1".@% se cortan en el cilindro el4ptico o , z D @. 5a frontera de la región R, la proyección de D sobre el plano xy , es una elipse con la misma ecuación: . 5a frontera 6superior7 de R
$ A C$ = D 4$ 4 $ $ A $ = E = F E4$GH es la curva
$ A=$4F = EE4$G
5a frontera inferior es la curva
.
C
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
E(ora determinamos los l4mites de integración en z. 5a recta , paralela al eje z, ue pasa por un punto t4pico (x, y) en R, entra a D en y sale en .
= $ A C$
= D4 $ 4 $ = F E4 $G
n seguida obtenemos los l4mites de integración en y . 5a recta *, paralela al eje y ue pasa por (x, y) entra a R en
= 4F E4 $G
y sale en
.
Por último, (allamos los l4mites de integración en x . 3uando * barre R, el valor de var4a de x + –2 en !A#, @, @% (asta x + 2 en !#, @, @%. stos puntos representan las proyecciones en el plano xy de los puntos m'imos y m4nimos de la intersección de las dos funcionesF los m'imos y m4nimos se obtuvieron aplicando los multiplicadores de 5agrange !a manera de repaso se sugiere comprobar dic(os puntos%. l volumen de la región 9 es
= $
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
)G$ I0*)0+) $ F J0* = &0$ &0F J0*)G$ &*)6<+) )G$ $ F J0* = &0$ &0F J0*)G$D4$ 4 $ ) G$ +F J0* $ E $ < = &0$ 9D4 4 C :+0F J0*)G$ < O $ $ $ $ E4 D E4 $ = &0$ KD4 L 4 C M N P < O O $ $ $ $ $ E4 D E4 $ = &0$ KEE4 M N 4 C M N P
Gesolviendo mediante integración por sustitución trigonom*trica de epresiones ue
contienen
3omo
.
ocurre
Por lo anterior tenemos: , por lo tanto
,
('gase
.
.
n
efecto
. Hagamos
U=
1@
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
= ;EQ C &$ Z[$ $ $ = ;ECQ &$ @1AZ[ B$ $ ;ECQ \ 1E &$$ 1A Z[ A Z[$ 1;Q C &$ @1A Z[ A 1AZ[ EB $ 1;Q C &$ @1A Z[ A 1 A Z[ EB $ 1;CQ &$ @C A Z[ A 1 Z[ EB $ 1;Q C 9 C A\ 1 \ XY A 1 \ 1E \XY E :$ $ 1;CQ 9 C A XY Z[ A 1D \E XY Z[ :$
$
n efecto, puesto ue
XY ]/
, tr'cese un tri'ngulo rect'ngulo y m'ruense los lados
como se indica a continuación.
T
1 U
$ $
F T 4 U
F E 4
$
ntonces:
$ Q E4 ^_` XY , XY , Z[ 11
E12 – Cálculo Avanzado
Alfredo Alán Rey Calderón
= 1;CQ 7 C \ ^_` XY A \ \ QE4 $ A 1 \ \ QE4 $8$ 0$ = 1;CQ 9 C ^_` XY A aD F E 4 $:$0$ = 1;CQ \ C 9^_` XY 4 ^_` XY 4: = DQ ^_` XY14^_` XY41> = DQ b c 4 R4 cSd e = fQ g h REC)MEN&ACIÓN
Gepasar integración de formas elementales ordinarias, as4 como artificios de integración.
E0ercicios Propuestos
Evaluac&ón de &n$erale! $r&/le! con d&feren$e! órdene! de &$erac&ón0
1. valúe la integral del ejemplo # tomando F(x, y, z) + 1 para calcular el volumen del tetraedro en el orden d0 d dy. R0 10 #. olumen de un tetraedro. scriba seis diferentes integrales triples iteradas para el volumen del tetraedro determinado en el primer octante por el plano x - 3y - 2z + . valúe una de las integrales. R0 1 Evaluac&ón de &n$erale! $r&/le! &$erada0
valúe las integrales en los siguientes ejercicios:
CH EH
) ij 1 i i & & & kH; lOm < &! &! &0$ XY kH an4 E Q Co 1#
E12 – Cálculo Avanzado
aH
Alfredo Alán Rey Calderón
&! &! &! Z[U A p A q U p q
X[rT`s Upq kH0
Cálculo de vol4%ene! u!ando &n$erale! $r&/le!0
3alcule los volúmenes de las regiones de los siguientes ejercicios. ?. 5a región entre el cilindro y + –1, y + 1. R0 23.
= $
y el plano xy ue est' acotada por los planos x + ., x + 1,
B. 5a región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y - z + 2 y el cilindro . R0 2.3.
= E 4$
jercicio ?
jercicio B
1ibliogra2"a,
1
