Graficas en Coordenadas Rectangulares

Grafcas en coordenadas rectangulares

Un sistema de coordenadas rectangulares permite especifcar especifcar y localizar puntos en un plano además de proporcionar de manera geométrica la representación representación de ecuaciones con dos variables así como de unciones en general la intercepción de los ejes X y Y orman planos o cuadrantes que presentan propias características de ubicación de un par ordenado que permiten en si ubicar la positiva del mismo n general un punto ! cualquiera presenta coordenadas rectangulares rectangulares representadas representadas por el eje X o abscisa y el eje Y llamado también ordenada" de este modo cada punto en un plano coordenado puede asociar e#actamente e#actamente un par de n$meros reales es necesario también identifcar al valor de # como una variable independiente y al valor de y como una variable dependiente%

a.

Inte rcep tos

X&'  Y&' Un intercepto es el punto donde la gráfca interseca tanto en el eje # como en el eje y" por defnición los interceptos son X&'  Y&' Ceros reales Un cero real de una unción ( es cualquier valor de X para el cual )#*& ' en toda gráfca y en general el dominio de una unción consistía en todos los valores X que están incluidos en la gráfca y el rango constituye a todos los valores Y que están en la gráfca%

+,!-./0

2x + y = 1. Dibuja la

gráfica.

 y = −2 x + 1

 Al despejar se tiene:

Donde la pendiente (m es !2 y el intercepto en y es ("# 1.

Halla el dominio de defnición de las siguientes unciones: a)

y 

=

b)

y 

=

2 x 

( x  − 3)  2 1  x  −

2

Solución:

a

(  x − $ )

2

=

"

→

x  =

$

→

Dominio

=

1

−

{ $}

b

 x −

2>"

→

x  >

2

→

Dominio = ( 2# + ∞ )

jemplo a)

y 

=

1  x  +

2

Simetrías

#aminar el comportamiento grafco de una unción es importante a fn de observar si una gráfca es simétrica al eje #" eje y u origen" además de que acilitara la gráfca de una unción 2% Una gráfca es simétrica con respecto al eje y si y solo si el par ordenado )3X" Y* pertenece a la gráfca cuando )X" Y* está en ella%

4% Una gráfca es simétrica con respecto al eje X si y solo si )X"3Y* pertenece a la gráfca )X" Y* pertenece a ella%

5% Una gráfca es simétrica con respecto al origen si y solo si )3X" 3Y* pertenece a la gráfca cuando )X" Y* pertenece también a la gráfca%

Traslación y reexión de unciones

 6oda grafca que se basa en la ubicación de puntos y en el uso de cualquier simetría que e#ista pero esta no es necesariamente la estrategia $nica para grafcar una unción" sin embargo como algunas unciones y grafcas aparecen con muc7a recuencia e#isten grafcas base que sirven de propósito especial para la grafcacion de una unción" de las principales tenemos0 8rafcas base a% ()#* & X

b% ()#*& X94

c% ()#*& X95

d% ()#*& 2:X

e% ()#*& ; X ;

% ()#*& )X*94

Al modificar una función mediante una manipulación algebraica la gráfica de la nueva función puede obtenerse a partir de la gráfica base realizando una manipulación

geométrica, esto significa que la función es desplazada o trasladada c unidades, es decir la función sufre una transformación y se trasladara horizontal o verticalmente. as principales transformaciones se resumen as!"

1. 2. . /. . . 3. 6.

#cuación transformada $% f&'( ) c la gráfica se desplaza c unidades hacia arriba $% f&'( * c la gráfica se desplaza c unidades hacia aba+o $%f&-c( se desplaza c unidades hacia la izquierda $%f&'0c( se desplaza c unidades hacia la derecha $% 0f&'( se refle+a la función con respecto al e+e ' $%f&0'( se refle+a con respecto al e+e $ $%f&'( c 4 1 la gráfica se e5pande verticalmente con respecto al e+e ' las c unidades $% cf. &'( c 7 1la grafica se comprime verticalmente con respecto al e+e 5 las c unidades. #+emplos"

estas !ara"olas y Sistemas de ecuaciones


inclinacion denominada pendiente de la recta defnida por el cambio vertical y el cambio orizontal (ormas de la pendiente !en #$% ! cero ! indefnida ! positiva ! negativa

&ormas


'cuaciones de la recta

ntre las ormas mas importantes de un a ecuacion que represente una recta tenemos de manera general las siguientes0 a% !unto pendiente  Y2 = Y& m)X23 X* b% !endiente ordenada al origen  Y&m#>b c% (orma normal ?#>by>c&' d%
jemplos0 Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4

Tabla de valores X

y

(x, y)

2  1 ! "1

2  4 #

(2, 2) (1, ) (!, 4) ("1, #)

Gráfico

 Y

(plicaciones y unciones lineales

B

,uc7as situaciones antes de nivel de economía" administración y A carreras afnes pueden describirse utilizando rectas como niveles de 5 producción abricación de bienes demandas oertas entre otras" una de las principales aplicaciones que los consumidores demandaran" 4 esta situación y en general es la demanda y la oerta% 2

2

32 32

4

5

X

A -

!or lo general la" mayor proyección la cantidad demandada es menor cuando el precio baja la cantidad demandada aumenta" esta elación representa a la demanda% Dgual manera y por lo general cuando a mayor precio y unidad se presenta mayor es la cantidad que los productores están dispuestos a proveer" cuando el precio disminuye también lo 7ace la cantidad suministrada esta relación representa a la oerta% Eentremos entonces la atención en las curvas de oerta y demanda por la acilidad que representa en análisis de proyecciones y estados actuales de una situación económica sus relaciones grafcas están dadas por%

Eurva de demanda !

@

C

Eurva de oerta

! .

C

&unciones cuadr)ticas

Una unción es cuadrática si y solo si )#* puede escribirse  en donde a" b y c pertenecen a los
jemplos0 2

y = x  % &x + $.

jemplo 4%  f ( x )

/ea

= −

x

2

+

/x

−

,

%

Una representación tabular de esta unción es la siguiente0

n este caso las constantes son0 a = -1, b = 4, c = -3. sta parábola a = −1 abre 7acia abajo dado que I su vértice es el punto má#imo" cuya coordenada  x es0

V  x

= −

b

/ = −

2a

(

−/

2 −1

)

=

=

2

−2

n la representación tabular vemos que a este valor de  x le corresponde

 f  ( 2 )

= −

( 2)

= −/ +

2

+

( )

/ 2 −, =

6−, =1

!or lo que el vértice de la parábola es el punto ) 4" 2 *%

?l igual que en la recta" el término independiente indica el punto donde la parábola intersecta al eje y % n esta unción es el punto )'"35*%

& − ∞,

l dominio de esta unción es

∞

(

& − ∞, 18

 y el rango es

%