Integrales Iteradas Dobles y Triples Como el caso de las derivadas de varias variables, en donde una variable se hacía constante, también se utiliza esto para integrar una función de varias variables.
Por ejemplo, si tenemos la derivada parcial:
Podemos integrar con respecto a x haciendo y constante y resolver la integral de la siguiente manera:
y) es una función de y . Esto quiere decir que al integrar solo con respecto a x solo se En donde C( y) puede reconstruir la función original parcialmente. Ahora para obtener la integral definida se puede aplicar el teorema fundamental de cálculo para evaluar la función.
También se puede integrar respecto de y haciendo x una constante. A continuación se muestran los procedimientos para ambas integrales.
Con respecto a x
Con respecto a y
Las integrales iteradas son integrales dobles, triples, etc. Dependiendo el número de variables, en general se les pueden llamar integrales múltiples. En estas integrales se integra primero con respecto a una variable, dejando las demás como constantes, y el resultado de esa integral, se vuelve a integrar con respecto a otra variable, v ariable, y así sucesivamente. Las integrales iteradas se escriben de la siguiente manera:
Los limites interiores de la integral pueden ser funciones de las variables exteriores de integración y lo limites exteriores deben de ser constantes respecto a las dos variables de integración. A continuación se mostrara un ejemplo de integrales iteradas:
En el ejemplo se puede observar que x está en el intervalo y y está en el intervalo . Estos dos intervalos forman la región de integración R de la integral iterada.
Integral Doble
Si f está definida en una región cerrada R del plano xy la integral doble de f sobre R viene dada de la siguiente manera:
Si el límite existe se dice que f es integrable sobre R. Propiedades de las integrales dobles. Sean f y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y c una constante
Donde R es la unión de dos regiones R1 , R2, sin solapamiento entre sí.
Teorema de Fubini
Sea f continua en una región plana R. 1. Si R está definida por [a, b] entonces
2.
y
, donde g1 y g2 son continuas en
Si R está definida por y , donde
h1
y
h2
son continuas en
[a, b] entonces
Ejemplo
Calcular
Donde R es la región dad por
.
En esta ocasión R representa a un cuadrado de 1x1, es por eso que se puede escoger cualquier orden de integración.
Aplicaciones
a áreas y solución de problemas
Área de una región en el plano
Para obtener el área de una región en el plano tenemos que primero saber cuáles va a ser el orden de integración, esto se puede determinar al graficar las funciones que se tienen como límites de la región R. Por ejemplo si se tienen como limites dos rectas verticales y dos funciones que cortan estas rectas, significa que esa es una región verticalmente simple, lo que implica que nuestros límites . Para una región que exteriores serán esas rectas, por lo tanto el orden de integración será d yd x es horizontalmente simple(tiene como límite rectas paralelas al eje x) el orden de integración . será d yd x
Para regiones vertical y horizontalmente simples sus áreas estarán dadas por
Ejemplo
, g( x)=cos( x) , entre x=/4 y x= 5/4. Calcular el área entre las graficas f ( x)=senx , Podemos ver que hay rectas que son paralelas al eje y, por lo tanto se utilizara el orden d yd x y en la parte inferior también es importante ver que en la parte superior del área estará f ( x) g( x).
Otra manera de saber qué orden de integración usar, es que las regiones verticalmente simples están acotadas superior e inferiormente por graficas de funciones de x . Volumen de una región sólida
,y)0 para todo ( x ,y) en R, el volumen de la Si f es integrable sobre una región plana R y f ( x región solida acotada inferiormente por R y superiormente por la grafica de f se define como
Ejemplo 2
2
Calcular el volumen de la región solida limitada por el paraboloide z=4-x -2y y el plano xy . 2
2
Haciendo z=0 se observa que la región en el plano xy es la elipse x +2y =4, ya que esta región plana es horizontal y verticalmente simple, se puede usar cualquier orden de integración.
Por lo tanto los límites de la región solida serán
y
Integral doble en coordenadas polares En algunos casos es mejor utilizar coordenadas polares para facilitar la resolución de los problemas, tal es el caso de las regiones circulares, en forma de cardioide o de pétalo de rosa, e 2 2 integrandos donde aparezca x +y . Hay que recordar que un punto en coordenadas rectangulares ( x ,y) se relaciona con las coordenadas polares de forma x=r cos , y=rsen. Cambio de variable a forma polar Sea R la región plana constituida por todos los puntos ( x ,y)=( rc os ,rsen) que satisfacen las condiciones 0 g1( )r g2( ) , donde 0 ( - ) 2. Si g1 y g2 son continuas en [,] y f es continua en R entonces
Ejemplo Usar
coordenadas polares para calcular el volumen del solido limitado por arriba por el hemisferio
Y por abajo por la región circular R dad por
Que muestra la figura
Los límites de R son
Se puede ver también que
y
. En coordenadas polares los límites son
Con altura de
Fuentes: Larson,Hosteler,Edwards. Calculo Volumen 2. Sexta Edición. Capitulo 13 Granville.Calculo Diferencial e Integral. Capitulo XXV
