Integrales Triples

INTEGRALES TRIPLES

DEFINICIONES: 

 Todas  Todas las consideraciones consideraciones hechas para la integración de func funcio ione nes s reale eales s de dos dos vari variab able les s reale eales s se extie xtiend nden en a funciones reales de tres variables reales a las ue lla!are!os integrales triples" #as #as integr integrale ales s triple triples s se calcu calculan lan sobr sobre e regio regiones nes espac espacial iales es $regione $regiones s tridi!ens tridi!ensiona ionales% les% & se integran integran funciones funciones reales de tres variables" Si



'na integral triple es una generali(ación de una integral doble en el !is!o sentido ue una doble es una generali(ación de una integral sencilla" Esto es) una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en ue F es una función de tres variables independientes cu&o do!inio es una región cerrada acotada en el espacio" En este este tipo tipo de espa espaci cio o los los conc concep epto tos s de con* con*un unto to abie abiert rto) o) con*unto cerrado) región) punto frontera) punto interior) región cer cerrada & regió egión n cerr errada acotada tada son son de+n de+nic icio ione nes s por por extensiones) con una adaptación de la ter!inolog,a"

-Có!o se calculan las integrales triples. /l igual ue las dobles se transfor!an en integrales si!ples sucesivas"

0ientras la integral doble se transfor!a para calcularse en dos integrales si!ples sucesivas" Cada una de esas integrales se reali(a respecto de una de las variables independientes en la función ue se integra" C/#C'#O DE 'N/ INTE12/# T2I3#E  Teore!a: $Calculo de una integral triple !ediante integrales sucesivas en una región rectangular%"

4a& seis órdenes posibles de integración) en todos ellos los seis l,!ites de integración son constantes" -Cu5les son. De+nición: 'na región D contenida en

 R

3

 se dice si!ple si toda paralela a los

e*es coordenados intersecta a la frontera de D en los puntos de un seg!ento rectil,neo de la frontera" regiones si!ples  Teore!a: $Calculo de la integral en un región no rectangular) cerrada) acotada & si!ple respecto al e*e

El teore!a ta!bi6n vale si D es si!ple respecto de uno cualuiera de los e*es coordenados" -Có!o se expresa la tesis en estos casos.

Si D es si!ple 7si!pe respecto de los tres e*es coordenados% ha& seis ordenes posibles de integración" En todos ellos los li!ites de la integral externa son constantes) los de la inter!edia dependen solo de las variable ue se integra en ulti!o ter!ino"

INTE2ECCION 1EO0ET2IC/

E*e!plo: Expresar !ediante una integral triple el volu!en del solido situado en el pri!er octante & li!itado por los planos coordenados & los planos de ecuaciones" 89a  ;9a  <9a En la +gura se !uestra al solido cu&o volu!en busca!os" Este se expresa !ediante la integral siguiente:

Sabe!os ue su resultado es

3

a

C/0=IO DE >/2I/=#ES DE INTE12/CION /l igual ue en las integrales dobles) el c5lculo de las integrales triples puede si!pli+carse introduciendo nuevas variables" El ca!bio de variables de integración en una integral triple se hace seg?n el siguiente teore!a"  Teore!a:

Cuando se cu!plen las hipótesis & utili(a!os el teore!a) deci!os ue la aplicación @gA es la ue reali(a el ca!bio de variables" Este teore!a ad!ite una i!portante generali(ación ue nos per!ite efectuar) entre otros) los ca!bios de las variables e!pleando las aplicaciones de coordenadas cil,ndricas & esf6ricas" Esta generali(ación !uestra ue la tesis del teore!a sigue siendo valida) aun cuando las dos ulti!as hipótesis para la aplicación @gA) fallan en un subconunto de volu!en nulo de '"