Integración de un binomio diferencial

Integración de un binomio diferencial

∫   Existen 3 casos para la resolución de esta integral:



1° caso: Cuando  es un número entero, se hace la sustitución:

  

común múltiplo de los denominadores de las fracciones ‘’m’’ y ‘’n’’. 2° caso: Cuando

 es un número entero, se hace la sustitución:      , donde  es el 

denominador de la fracción 3° caso: Cuando



 , donde  es el mínimo



 (los números r y s son pesi).

   es un número entero, se hace la sustitución:        o también   

se puede expresar como

    



Ejemplo

                    ∫     Factorizando el trinomio al cubo en el denominador:

                      

Tomando como término común



, donde  es el denominador de la fracción .

 en el numerador:

Reemplazando todo en la expresión original:

            ∫                 ∫   

Ahora se procede a resolver el binomio diferencial:

        Tenemos que

 , así que consideramos el primer caso.

   

Reemplazando:

∫    ∫  

  



∫   

Hacemos integración por partes:

Haciendo

√   



                  ] [  ∫                √  √  :

√  √      ( √ )  √   √  

Ejemplo

 (√ )     ∫     

Operando numerador:

 

  √    



Operando denominador:

      Volvemos a la expresión original:

Hacemos que



  √    ∫     ∫ √     ∫ √   

Procedemos con el binomio diferencial:



Notamos que  es una fracción, asi que comprobamos si

 es entero. 

       

Aplicamos el 2° caso de binomio diferencial:

√          Reemplazando:

∫ 

   √  Haciendo       

∫  

   √   

Ejemplo

    ∫ ( )   La expresión tiene la forma precisa de un binomio diferencial. Analizamos el caso:



Al  no ser entero, se analiza si

 es entero. 

     

Si esa expresión no es entera se le suma la fracción p para comprobar el último caso, sino el integrando no se puede separar en funciones elementales.

       

Para esto, aplicaremos el terce r caso de binomio diferencial:

             Reemplazando en la expresión original:

         ∫     

Haciendo

√  

   ∫   ∫      √             

Ejemplo

∫()  Haciendo sustitución:

     

∫          ∫

Analizamos el binomio diferencial, como p no es entero, ve rificamos si

      Hacemos la segunda sustitución:

    

      ∫   

  ∫   

Volviendo a la variable original:

√     √    

 es entero. 