un curso de geometría diferencial

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CSIC

Un curso de

Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González

Textos Universitarios • 47 La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como Física, Biología, Arquitectura e Ingeniería; asimismo, está íntimamente ligada a los estudios de Cartografía y Geodesia para la representación geométrica de la Tierra. En este libro se presenta Un curso de Geometría Diferencial sobre curvas y superficies, enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de máster, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, los autores han elaborado un texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de problemas (incluyendo la resolución de éstos y el uso de un software específico). Se ha procurado, asimismo, abarcar los contenidos habituales en los cursos de Geometría Diferencial, sin olvidar aquellos otros temas directamente vinculados con ella. El estudiante y el especialista en la materia tienen así en estas páginas una buena herramienta para el aprendizaje y el análisis de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis.

ISBN 978-84-000991-54-5

María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

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Un curso de

Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

Geometría Diferencial

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Cubierta GeometrA??a Diferencial.qxd:Cubierta Geometría Diferencial

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Consejo Superior de Investigaciones Científicas

Petro Plancio, Orbis terrarum de integro multis in locis emendatus, 1594.

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Geometría Diferencial Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador

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Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por ningún medio ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito de la editorial. Las noticias, los asertos y las opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores. La editorial, por su parte, sólo se hace responsable del interés científico de sus publicaciones.

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© CSIC © María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González ISBN: 978-84-00-09154-5 NIPO: 472-10-158-2 Depósito Legal: M. 34.552-2010 Ediciones Doce Calles, S. L. Impreso en España - Printed in Spain En esta edición se ha utilizado papel ecológico sometido a un proceso de blanqueado ECF, cuya fibra procede de bosques gestionados de forma sostenible.

A Salvador, nuestro Maestro, quien nos mostró la belleza de la Geometr´ıa Diferencial

Sumario Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Terminolog´ıa básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Cap´ıtulo I Curvas en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1. Curvas parametrizadas. La longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.1. El cambio de parámetro y la longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2. Teor´ıa local de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.1. La curvatura y el diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.2. Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas planas . . . . 34 1.2.3. Evolutas, involutas y curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.4. Comparación de dos curvas en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3. Teor´ıa local de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.1. La curvatura, la torsión y el triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.2. Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en R3 . . . . 43 1.4. Teor´ıa global de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1. Curvas convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.4.2. La desigualdad isoperimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cap´ıtulo II Las superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1. Definición de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.1. Criterios prácticos para la determinación de superficies . . . . . . 64 2.1.2. Propiedades de las superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.3. El cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2. Funciones diferenciables definidas en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.1. Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies . . . . . . . 75 2.2.2. Difeomorfismos entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4. La diferencial de una aplicación entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4.1. La diferencial de una función real sobre una superficie . . . . . . . 81

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Sumario 2.4.2. La diferencial de una aplicación entre superficies . . . . . . . . . . . 83 2.5. La primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.1. Aplicaciones de la primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . 90 Midiendo longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Midiendo a´ ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Midiendo a´ reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Cap´ıtulo III El teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1. Orientación de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1.1. Otra forma de estudiar la orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.2. La estructura compleja de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1.3. Bases positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1.4. Sobre la orientabilidad en este texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.2. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. La aceleración de una curva: curvaturas geodésica y normal . . . . . . . . . 113 3.3.1. La curvatura geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.2. La curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3.3. Interpretación geométrica de la curvatura normal . . . . . . . . . . . 115 3.4. Las curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1. Puntos umbilicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.5. Expresión local de II p , K y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.6. La geometr´ıa de la curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7. Isometr´ıas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8. El teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.8.1. Las fórmulas de Gauss y de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.8.2. Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss . . 138 3.9. Aplicaciones conformes e isoareales. Cartograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Cap´ıtulo IV Integración en superficies. Las superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.1. Una aproximación intuitiva al concepto de a´ rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2. Integración de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Sumario 4.3. Las superficies minimales: un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.4. Las distintas definiciones de superficie minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4.1. Las superficies minimales como puntos cr´ıticos del a´ rea . . . . . 166 4.4.2. La aplicación de Gauss de una superficie minimal . . . . . . . . . . . 169 4.4.3. Parametrizaciones isotermas en superficies minimales . . . . . . . 170 4.5. Los primeros ejemplos de superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Cap´ıtulo V Geodésicas en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1. La derivada covariante y el transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.1. Campos de vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.1.2. El transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.2. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2.1. Existencia y unicidad de geodésicas en una superficie . . . . . . . 188 5.2.2. La curvatura geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3. La aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.1. El lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.2. Las coordenadas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3.3. Las coordenadas geodésicas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Cap´ıtulo VI El teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1. El teorema de Gauss-Bonnet (versión local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.1. El a´ ngulo de rotación de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 El a´ ngulo de rotación de una curva plana regular . . . . . . . . . . . . 217 El a´ ngulo de rotación de una curva plana regular a trozos . . . . 219 6.1.2. Holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Introducción: una pequeña historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 La geometr´ıa de la holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Una aplicación: el péndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.3. La curvatura geodésica en una parametrización ortogonal . . . . 226 La curvatura geodésica de las curvas coordenadas . . . . . . . . . . . 226 La curvatura geodésica de una curva arbitraria . . . . . . . . . . . . . . 227

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Sumario 6.1.4. El teorema de Green en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.1.5. El teorema de Gauss-Bonnet (versión local) . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versión global) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2.1. Triangulaciones. La caracter´ıstica de Euler-Poincaré . . . . . . . . 232 6.2.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versión global) . . . . . . . . . . . . . . 234 6.3. Consecuencias del teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.3.1. Una aplicación a la Geometr´ıa clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Cap´ıtulo VII Geometr´ıa Diferencial global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.1. Las fórmulas de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.1.1. La primera fórmula de variación para la longitud de arco . . . . . 249 7.1.2. La segunda fórmula de variación para la longitud de arco . . . . 253 7.2. Completitud. El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.2.1. Distancia intr´ınseca en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.2.2. El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Algunos resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Consecuencias del teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.3. El teorema de Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.3. El teorema de rigidez de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Apéndice Prácticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Apéndice A: Curvas. Prácticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.1. Geometr´ıa diferencial de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.1.1. La curvatura de una curva plana y la longitud de arco . . . . . . . . 285 A.1.2. Representación gráfica de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.1.3. Algunos ejemplos de curvas planas clásicas . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.1.4. Gráficas de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.1.5. Generación dinámica de algunas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.1.6. Evolutas y curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 A.2. Geometr´ıa diferencial de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

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Sumario A.2.1. Representación gráfica de curvas alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . 294 A.2.2. El triedro de Frenet, la curvatura y la torsión . . . . . . . . . . . . . . . 295 Apéndice B: Superficies. Prácticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 B.1. Ejemplos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 B.1.1. Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 B.1.2. Superficies no orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 B.1.3. Superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 B.2. La curvatura de gauss y la curvatura media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 B.3. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Apéndice C: Soluciones a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Índice terminológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

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´ Prologo Aceptar la realización del prefacio de una obra como e´ sta supone una ´ıntima satisfacción producto de la generosidad de sus autores, a quienes conozco desde hace años y de quienes sólo puedo tener palabras de agradecimiento por la deferencia con que me han obsequiado. Intentaré corresponderles de la mejor manera que sé: haciendo un juicio tan imparcial y objetivo como el libro merece. ´ Los doctores Mar´ıa de los Angeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González, primero investigadores y docentes en Geometr´ıa Diferencial y ahora autores de Un curso de Geometr´ıa Diferencial (teor´ıa, problemas, soluciones y prácticas con ordenador), a pesar de su juventud, ya gozan de un merecido reconocimiento en sus a´ mbitos de trabajo. Puesto que les triplico en el tiempo dedicado a estos menesteres universitarios, ellos pensaron que ser´ıa una buena razón para que les diera mi visión sobre su obra, es decir, quer´ıan contrastar mi larga experiencia con la suya, sobre todo, supongo, por los muchos textos que sobre esta materia han pasado por mis manos y cuyo contenido he evaluado en aras de lograr los mejores resultados docentes. Y, en efecto, as´ı ha sido, pues el campo de la Geometr´ıa Diferencial, quizá el de mayor reconocimiento internacional de la matemática española, ha tenido un desarrollo espectacular en las u´ ltimas tres décadas y quienes participamos activamente en la forja del e´ xito que ahora disfrutamos apenas dispon´ıamos del ((libro de tapas negras)) del profesor Vidal Abascal. La llegada a nuestras manos de la obra del profesor Do Carmo fue un acontecimiento tan excitante, como novedoso y eficaz, una especie de ruptura temporal que marcó un antes y un después en la enseñanza de la Geometr´ıa de las Curvas y Superficies. Un hito, digamos, que perdura en nuestros d´ıas y que sigue siendo referencia obligada para nuestros estudiantes. Después vinieron otras obras, como la excelente de Montiel y Ros, y otras muchas, producto de la gran vitalidad de este campo. Con todo, se hac´ıa dif´ıcil una nueva incursión en esta empresa, un reto, dir´ıa yo, pero el amor por la docencia y el trabajo bien hecho, unido a una fe ciega en lograr un producto final de calidad contrastada y suficientemente original, han conducido al e´ xito. Se trata de una obra sobre curvas y superficies, que no pretende ni más ni menos que eso, pero vistas desde un escalón superior: la geometr´ıa de Riemann. Existen muchos y buenos libros sobre esta materia, la mayor´ıa citados por los autores, pero como e´ ste es muy especial y, sin duda, se encuentra entre los mejores, me limitaré a destacar los aspectos más novedosos que introduce y que resumo en siete puntos. El concepto de superficie minimal, tanto desde el punto de vista teórico como aplicado, as´ı como por la gran actividad investigadora que genera, es de suma 15

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

importancia y as´ı lo han entendido los autores, que han tratado, extensamente y con esmero, al final del cap´ıtulo 4. La propiedad minimizante de las geodésicas (teorema 5.3.9) es otro detalle muy cuidado y digno de ser resaltado, pues la demostración suele quedar muy oscura, si no eliminada, en la mayor´ıa de los textos. Aqu´ı se ha atacado con valent´ıa y resuelto con mucha destreza. La holonom´ıa (6.1.2) es la sorpresa más deliciosa del texto. En efecto, la experiencia docente e investigadora de los autores les permite considerar este concepto, as´ı como sus implicaciones geométricas y aplicaciones, con una naturalidad y soltura que a buen seguro servirá de disfrute a los lectores. El Teorema de Gauss-Bonnet está muy bien tratado y sus consecuencias (6.3) nos introducen de lleno en la belleza misma del resultado, que no es otra que la propia de la Geometr´ıa. El u´ ltimo cap´ıtulo, la Geometr´ıa Diferencial Global, no tiene desperdicio alguno, pues es donde se aprecia la potente herramienta del binomio Geometr´ıaTopolog´ıa para lograr los resultados más redondos que uno puede encontrar en el universo matemático. La mejor forma de que la materia ((entre por los ojos)) es hacer que el estudiante vea los objetos que está considerando y clasificando y que sobre las gráficas analice sus propiedades. Para lograr ese objetivo los autores han elegido el programa Mathematicar , y sobre e´ l han construido unas prácticas muy bien diseñadas y u´ tiles para que el lector visualice todo lo estudiado y que al mismo tiempo le den libertad para ejercitar su imaginación con sus propios proyectos. La colección de ejercicios es la guinda que corona el pastel. Jamás se ha visto un texto de estas caracter´ısticas con todos los ejercicios resueltos. ¡Qué suerte la de los estudiantes que llegan ahora! Es fácil adivinar las alabanzas que dedicarán a los autores. En resumen, un excelente trabajo que muy pronto dará sus frutos y que perdurará en la mente de los matemáticos del futuro. Obras como esta, que ((hacen Matemática)) y crean vocaciones, bienvenidas sean. No comenzaré felicitando a los autores, pero s´ı a la Dirección de Publicaciones del CSIC, por el acierto de su nueva pol´ıtica editorial y de la selección de esta obra. ´ También al Area de Geometr´ıa y Topolog´ıa del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, quienes comparten el café de las once con los doctores Hernández-Cifre y Pastor, pues seguro que este libro ((huele un poquito a expreso)). Y muy especialmente a los estudiantes, ya f´ısicos, ya ingenieros, ya arquitectos, ya biólogos, ya cualesquiera que sean, pues enseguida apreciarán ((la Geometr´ıa bien hecha)). Mi felicitación a los autores irá a través de ellos. M ANUEL BARROS DÍ AZ Catedrático de Geometr´ıa y Topolog´ıa Universidad de Granada 16

´ Introduccion Para m´ı no hay emoción o satisfacción comparable a la que produce la actividad creadora, tanto en ciencia como en arte, literatura u otras ocupaciones del intelecto humano. Mi mensaje, dirigido sobre todo a la juventud, es que si sienten inclinación por la ciencia, la sigan, pues no dejará de proporcionarles satisfacciones inigualables. S EVERO O CHOA

La Geometr´ıa Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, as´ı como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como F´ısica, Biolog´ıa, Arquitectura e Ingenier´ıa. En este libro presentamos un Curso de Geometr´ıa Diferencial de Curvas y Superficies, que es el resultado de nuestra experiencia en dicho campo como docentes e investigadores. Para el estudio de esta disciplina se requiere un cierto grado de madurez cient´ıfica. Un primer aspecto a tener presente son los prerrequisitos de la asignatura: Topolog´ıa, ´ Cálculo, Algebra y Ecuaciones Diferenciales fundamentalmente. Conscientes de esta situación y de estos requerimientos previos, hemos pretendido elaborar un texto lo más didáctico y autocontenido posible, dentro de nuestras competencias como profesores de Geometr´ıa y Topolog´ıa. As´ı, con un lenguaje claro, directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de problemas (incluyendo también la resolución de e´ stos y el uso de un software espec´ıfico como instrumento para ayudar a comprender muchos de los contenidos), pensamos que el estudiante tiene en este libro una buena herramienta para encarar el aprendizaje de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comuni´ ca y relaciona diferentes disciplinas como la Topolog´ıa, el Algebra y el Análisis. En relación a los contenidos, hemos tenido que resolver el compromiso entre abarcar el mayor número de tópicos posibles por un lado y, por otro, desarrollar con suficiente claridad y detalle cada uno de los temas tratados. Creemos haber encontrado un equilibrio más o menos razonable: los contenidos son los estándares en la mayor´ıa de los cursos de Geometr´ıa Diferencial, y los tópicos cuyos desarrollos, por diversas razones, no han tenido cabida en el libro, son nombrados e interrelacionados con los que s´ı aparecen. Además, para estos temas proporcionamos una extensa bibliograf´ıa con objeto de satisfacer a los estudiantes más avanzados. Este curso se inspira en los dos mejores libros, a juicio de los autores, sobre Geometr´ıa de Curvas y Superficies que existen editados en castellano: el clásico libro de do Carmo [12] y el original Montiel y Ros [28]. Estos dos textos son radicalmente 17


distintos: el primero, mucho más longevo, ofrece un tratamiento clásico de la mayor parte de problemas (decimos clásico, aunque en su momento fue evidentemente novedoso). Se trata de un texto enfocado al alumno de nivel medio y hace referencia continuamente a aspectos y temas no contenidos expl´ıcitamente en el libro (resultados sobre ecuaciones diferenciales y tópicos sobre topolog´ıa de superficies). El segundo es un libro con un tratamiento más moderno y está inspirado directamente en la experiencia de los autores como investigadores de primera fila. Este hecho provoca que la manera de afrontar los distintos tópicos sea, con frecuencia, novedosa y audaz. Aún as´ı, tal aproximación se nos antoja en ocasiones ciertamente compleja para un alumno que está cursando sus primeros años como graduado, y la vemos más conveniente para estudios más avanzados. Inspirados en el esp´ıritu de ambos textos, y teniéndolos como referencia, hemos pretendido elaborar nuestra propuesta recogiendo las que, a nuestro juicio, consideramos que son las mejores caracter´ısticas de ambos. Es la ((ventaja)) de ir por detrás: que uno hereda todo lo bueno que hubo antes. Esperamos haberlo conseguido y, en cualquier caso, queremos remarcar de nuevo el hecho de que estamos ante un Curso de Geometr´ıa, esto es, un libro cuya u´ nica pretensión (como si fuera poca) es ser un buen libro de texto para que los estudiantes aprendan. No queremos terminar esta introducción sin hacer referencia al per´ıodo crucial en el que nos encontramos a nivel universitario, con una reforma pendiente de gran calado como resultado de la adaptación de nuestros estudios al a´ mbito europeo. En este sentido, e´ ste es un libro de texto enfocado a satisfacer tanto la demanda de los futuros graduados como las necesidades de los estudiantes de postgrado en Matemáticas. Recordemos que los contenidos de las nuevas titulaciones se organizan en materias y e´ stas, a su vez, se desglosan en asignaturas. A modo de ejemplo, tal y como recomienda el Libro Blanco para el T´ıtulo de Grado en Matemáticas, dentro de los contenidos obligatorios del grado debe figurar la materia ((Topolog´ıa y Geometr´ıa Diferencial)), con una carga lectiva que oscilará entre los 12,5 y los 17,5 créditos ECTS, según estipule cada universidad en sus proyectos de grado. A d´ıa de hoy, prácticamente todos los proyectos presentados para su verificación desglosan esta materia en dos o más asignaturas, en las que la Geometr´ıa Diferencial aparece como la protagonista indiscutible. As´ı pues, y sin temor a equivocarnos, podemos decir que se trata de una materia de ((paso obligado)) para todos los futuros graduados y estudiantes de postgrado, que jugará un papel decisivo en su formación como profesionales de las Matemáticas. Con independencia de su lógica ubicación dentro de los estudios de Matemáticas, este curso puede ser utilizado como libro de consulta en otras disciplinas cient´ıficas, debido al carácter transversal e interdisciplinar de la Geometr´ıa Diferencial. As´ı, en los estudios de F´ısica, una de las materias más frecuentes es la Teor´ıa de la Relatividad y sus diversas consecuencias e implicaciones. Las Matemáticas que se utilizan en estas disciplinas son fundamentalmente Geometr´ıa Diferencial, y los centros que imparten actualmente la licenciatura de F´ısica (y que impartirán también los futu18

Introducción

ros grados y másteres) introducen en sus curricula asignaturas con nombres dispares ´ (Métodos Matemáticos para la F´ısica, Algebra y Geometr´ıa, Geometr´ıa Diferencial, etc.) cuyo cuerpo central de estudio está ampliamente tratado en este libro. En este sentido, este curso de Geometr´ıa Diferencial es también una herramienta idónea, ya que el carácter básico del texto y sus numerosos ejemplos hacen de e´ l un eficaz instrumento para el estudiante de Ciencias F´ısicas. Finalmente, en lo que respecta a carreras como Biolog´ıa, Arquitectura e Ingenier´ıa, el libro trata algunos temas puntuales que aparecen en estas disciplinas como tópicos avanzados (la geometr´ıa del ADN, formas o´ ptimas de la naturaleza, configuraciones geométricas aplicadas a la arquitectura, geodesia, cartograf´ıa, topograf´ıa, etc.). As´ı, pensamos también que este curso puede tener una amplia utilidad para estudiantes avanzados de estas carreras técnicas que necesitan consultar, al menos puntualmente, un texto sobre Geometr´ıa. Con el deseo de que nuestra aportación signifique un acercamiento enriquecedor a la Geometr´ıa Diferencial por parte de los alumnos de Matemáticas y de todas estas otras disciplinas cient´ıficas, nos despedimos, no sin antes agradecer a nuestros com´ pañeros, los profesores Luis José Al´ıas Linares, Pascual Lucas Saor´ın, Miguel Angel Meroño Bayo y Pablo Mira Carrillo la ayuda prestada, los buenos consejos y las acertadas indicaciones, correcciones y sugerencias en la redacción de este libro. Muy ´ especialmente, queremos manifestar nuestra gratitud al profesor Angel Ferrández Izquierdo, pues apostó decididamente por este proyecto desde sus inicios, facilitándonos enormemente la tarea de convertir, lo que era un sueño sencillo, en un ambicioso proyecto editorial. ´ NGELES H ERN ANDEZ ´ M ARÍ A DE LOS A C IFRE ´ J OS E´ A NTONIO PASTOR G ONZ ALEZ

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´ Terminolog´ıa basica A lo largo de este texto Rn será el espacio eucl´ıdeo n-dimensional, esto es, el espacio vectorial Rn dotado del producto escalar usual h · , · i con su correspondiente norma eucl´ıdea | · |. Indistintamente veremos Rn como espacio af´ın o como espacio vectorial. En el primer caso, representaremos sus puntos (bien de Rn , bien de nuestras curvas y superficies), en general, con letras minúsculas, p, mientras que cuando veamos Rn como espacio vectorial, los vectores (de Rn o de planos tangentes a superficies) se denotarán en negrita, v. El producto vectorial de dos vectores se escribirá v ∧ w, el complemento ortogonal v⊥ , y el espacio generado por ellos span{v, w}. También representaremos por Sk (r) ⊂ Rk+1 la esfera eucl´ıdea k-dimensional de radio r, es decir, © ª 2 Sk (r) = (x1 , . . . , xk+1 ) ∈ Rk+1 : x12 + · · · + xk+1 = r2 , siendo N = (0, . . . , 0, r) y S = (0, . . . , 0, −r) los polos norte y sur de la misma, respectivamente. Cuando el radio sea unitario, escribiremos simplemente Sk . Consideremos ahora un espacio vectorial eucl´ıdeo V de dimensión 2 (el espacio V bien puede ser R2 o un plano tangente a una superficie) orientado por una base {v1 , v2 }. Sin pérdida de generalidad, podemos pensar que {v1 = e1 , v2 = e2 } es una base ortonormal. Consideremos la aplicación lineal Rθ cuya matriz respecto a {e1 , e2 } viene dada por ! Ã cos θ − sen θ . sen θ cos θ

Se puede demostrar sin dificultad que la aplicación Rθ es un isomorfismo lineal que además conserva el producto escalar. Más aún, Rθ es una isometr´ıa lineal que preserva la orientación y que, de forma intuitiva, rota el plano un a´ ngulo de θ radianes en el siguiente sentido: siguiendo el ((camino más corto)) que lleva el vector e1 al vector e2 . Otras propiedades básicas de sencilla verificación son las siguientes: Rθ tiene inas, Rθ1 ◦ Rθ2 = Rθ1 +θ2 , con R0 = 1V y Rπ = −1V . Por versa, siendo R−1 θ = R−θ ; adem´ u´ ltimo, es usual representar por J = Rπ /2 . Sea ahora u ∈ V un vector no nulo, que suponemos unitario. Expresamos u en la base {e1 , e2 } de suerte que u = u1 e1 + u2 e2 . Por ser u unitario se cumple que u21 + u22 = 1, luego existe un u´ nico a´ ngulo θ (salvo múltiplos enteros de 2π ) tal que u = cos θ e1 + sen θ e2 = Rθ (e1 ). Se define as´ı el a´ ngulo orientado de e1 a u, y lo denotamos por a´ ng(e1 , u), como cualquier determinación del a´ ngulo θ verificando la ecuación anterior. Además, si v 21


es otro vector (no nulo), que podemos tomar de nuevo unitario, se define el a´ ngulo (orientado) de u a v, y lo denotamos por a´ ng(u, v), como a´ ng(e1 , v), siendo e1 = u y e2 = J(u). Obsérvese que a´ ng(u, u) = 0 y a´ ng(u, v) = − a´ ng(v, u). A efectos prácticos, en la mayor´ıa de las ocasiones es irrelevante la elección de la determinación del a´ ngulo, ya que las conclusiones no se ven afectadas si, por ejemplo, en lugar de trabajar con θ lo hacemos con θ +2kπ , para k un entero arbitrario. No obstante, en momentos puntuales es necesario eliminar esta ambigüedad en la elección. En tales circunstancias, precisaremos en el texto el intervalo en el cual elegimos nuestra determinación. Dicho intervalo suele ser con frecuencia [0, 2π ), aunque también pueden aparecer otros como (−π , π ].

Para terminar, existen situaciones en las que en lugar de aparecer un u´ nico vector, tenemos una aplicación continua de la forma u : I −→ S1 de suerte que u(s) es un vector unitario para todo s. Podemos elegir as´ı, para cada s ∈ I, un a´ ngulo θ (s) tal que u(s) = cos θ (s)e1 + sen θ (s)e2 . La elección de la función θ (s) es tan arbitraria como se quiera, pero si le exigimos continuidad entonces siempre es posible construir una determinación continua del a´ ngulo, esto es, una función θ : I −→ R continua, verificando la ecuación anterior. Dicha función está un´ıvocamente determinada con la elección de un u´ nico valor del a´ ngulo en un punto concreto s0 ∈ I. Salvo que especifiquemos lo contrario, en las funciones reales supondremos que e´ stas tienen derivadas continuas de todos los o´ rdenes. Además, para una función f : Rn −→ R, escribiremos indistintamente ∂ f /∂ xi o fxi para representar la derivada parcial de f respecto a su variable xi . Como es usual en la literatura, utilizaremos ∆ f para denotar el laplaciano de f , esto es, n

∂2 f . 2 i=1 ∂ xi

∆f = ∑

Aunque no somos especialistas en el tema, nos permitimos sugerir, como referencias generales para el Cálculo de una y varias variables, [3, 4, 14] entre los muchos y excelentes textos existentes; para la Teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales, mencionamos [5, 22, 39]. En lo que respecta a la Topolog´ıa, dado un conjunto S ⊂ Rn , representaremos por cl S, int S, bd S y Rn \S su clausura, interior, frontera y complementario (en Rn ), respectivamente. En el caso de que el conjunto S sea un subconjunto de otro subconjunto mayor Se en Rn , entonces especificaremos en el texto si la clausura, interior, frontera y complementario se refieren a Se o Rn . Por u´ ltimo, dado un punto p ∈ Rn , escribiremos con frecuencia V (p) cuando queramos remarcar que el entorno V contiene a p. Nuestra referencia básica en lo que a Topolog´ıa se refiere será siempre [30]. Finalmente, y como es usual, denotaremos por SO(n) el subgrupo especial ortogonal, es decir, el subgrupo de las matrices reales A ∈ Rn×n con determinante 22

Terminolog´ıa básica

det A = 1. Si A ∈ SO(n), se dice que A es una transformación ortogonal positiva. As´ı, un movimiento r´ıgido directo es la composición de una transformación ortogonal positiva y una traslación: Mx = Ax + b, con A ∈ SO(n) y b ∈ Rn . Por otra parte, si A ∈ Rn×n es una matriz con det A = −1 se dice que A es una transformación ortogonal negativa, y los movimientos r´ıgidos que podemos obtener a partir de A, de la forma Mx = Ax + b, se llaman movimientos r´ıgidos inversos. Como referencias ´ generales para Algebra Lineal sugerimos [10, 27, 40].

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I

Curvas en el plano y en el espacio El estudio de las curvas arranca desde los comienzos del ((Calculus)), cuando se formalizan las nociones de función continua, l´ımite y derivada. Las curvas son el primer elemento de contacto con la Geometr´ıa Diferencial clásica y el conocimiento de las mismas ha sido de vital importancia para el desarrollo de esta disciplina con más de doscientos cincuenta años de antigüedad. En este cap´ıtulo nos ocupamos de introducir el concepto de curva como uno de los objetos de capital importancia en el estudio de la Geometr´ıa Diferencial. Comenzamos con una sección dedicada a las curvas parametrizadas que, en definitiva, pueden verse como trayectorias de part´ıculas. Introducimos además la noción de cambio de parámetro y definimos la longitud de arco de una curva como parámetro distinguido. En las dos secciones siguientes nos centramos en lo que se conoce como Teor´ıa Local de curvas en el plano y en el espacio. Aqu´ı, el concepto ((local)) se contrapone a la noción de ((Teor´ıa Global)) que se expone en la u´ ltima sección. Esta contraposición puede ser precisada en el siguiente sentido: cuando estudiamos aspectos locales de una curva, nos interesan exclusivamente las propiedades, objetos y caracter´ısticas de la curva en un entorno arbitrariamente pequeño. A modo de ejemplo, algunas caracter´ısticas locales ser´ıan la velocidad, la aceleración, la curvatura (que mide en qué magnitud y sentido se curva la curva, valga la redundancia), etc. As´ı, en estas dos secciones estudiamos tales conceptos para curvas en el plano y en el espacio. Asimismo, analizamos las diferencias existentes en ambos ambientes: una curva en el espacio tiene más libertad de movimiento y, por ende, su estudio es más complejo. Por otra parte, cuando nos referimos a los aspectos globales, cuando estudiamos la Teor´ıa Global de curvas, el objetivo es contemplar la curva como un todo e intentar relacionar aspectos locales de la curva con caracter´ısticas globales. Como botón de muestra, se puede demostrar que una curva plana y cerrada (propiedad topológica, no geométrica, global) con curvatura no nula (propiedad local, que depende de la curva en entornos arbitrariamente pequeños) encierra un dominio convexo en el plano (propiedad global). En la u´ ltima sección presentamos algunos resultados globales de gran importancia histórica como, por ejemplo, la desigualdad isoperimétrica. 1.1.

CURVAS PARAMETRIZADAS. LA LONGITUD DE ARCO

Una primera idea intuitiva que podr´ıamos tener de lo que es una curva ser´ıa, por ejemplo, el verla como la ((trayectoria de una part´ıcula)), lo cual nos ofrece una primera aproximación a una definición geométrica de curva. También podemos definir

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una curva como ((una aplicación que, en cada instante de tiempo, da una posición en el espacio)). Esta u´ ltima idea engloba algo más que la mera trayectoria o traza, pues encierra a su vez las nociones de curva orientada y de velocidad de la curva. Veámoslo con un ejemplo. Consideremos la aplicación que asocia, a cada t, el punto (cost, sent) ∈ R2 . Es bien conocido que la curva que se obtiene de esta forma es una circunferencia con ´ ser´ıa su traza. Pero la circunferencentro el origen de coordenadas 0 y radio 1. Esa cia as´ı definida nos proporciona mucha más información: partimos del punto (1, 0) (cuando t = 0), la recorremos en el sentido contrario a las agujas del reloj, y volvemos de nuevo al (1, 0) cuando t = 2π (esto nos indica, además de una orientación precisa, una cierta ((velocidad de movimiento))). Pensemos ahora en la aplicación que asocia, a cada t, el punto (sent, cost) ∈ R2 , lo que nos da de nuevo la circunferencia de centro 0 y radio 1. La traza es por tanto la misma, pero ahora partimos del punto (0, 1) y la recorremos en el sentido de las agujas del reloj: ha cambiado la orientación (además del punto inicial). Y un u´ ltimo ejemplo. Si tomamos la aplicación ¡ ¢ t ; cos(2t), sen(2t) , obtenemos otra vez la misma circunferencia, partiendo del mismo punto y con la misma orientación que en el primer caso. Sin embargo, algo ha cambiado: la velocidad con que recorremos la circunferencia es mucho mayor, pues, cuando t = π , la part´ıcula ya ha dado una vuelta completa.

En este sentido, presentamos la siguiente definición. Definición 1.1.1. Una curva parametrizada diferenciable en Rn es una aplicación α : I −→ Rn , con I ⊂ R abierto, que es C∞ , es decir, que admite derivadas continuas de todos los o´ rdenes. El adjetivo ((parametrizada)) hace referencia, precisamente, a que no sólo consideramos la traza de la curva, sino también la manera que tenemos de ((recorrerla)) mediante un determinado parámetro.1 ¢ ¡ Tenemos as´ı, en definitiva, una aplicación α (t) = α1 (t), . . . , αn (t) , donde las funciones αi (t) admiten derivadas continuas de todos los o´ rdenes. Además, t se denomina el parámetro de la curva, el subconjunto imagen α (I) ⊂ Rn la traza de α , y ¢ ¡ la aplicación α 0 : I −→ Rn definida de la forma α 0 (t) = α10 (t), . . . , αn0 (t) , su vector velocidad o vector tangente. ´ Figura 1.1: La helice cil´ındrica.

Ejemplo 1.1 (Curvas alabeadas). La curva α (t) = (a cost, a sent, bt), con a, b > 0 es la hélice cil´ındrica de paso 2π b construida sobre el cilindro x2 + y2 = a2 (véase la ´ es un ejemplo de curva alabeada, esto es, una curva que no está configura 1.1). Este tenida en un plano. ♦

Ejemplo 1.2 (Situaciones a considerar). La curva α (t) = (t 3 ,t 2 ), representada en la figura 1.2, es claramente diferenciable, pero α 0 (0) = (0, 0): el vector velocidad en Figura 1.2: α (t) = (t 3 ,t 2 ). 1

Esta situación contrastará con la definición de superficie regular que estudiaremos en el cap´ıtulo 2, donde nos interesará u´ nicamente la imagen como subconjunto del espacio, y no la forma en la que estemos parametrizando dicho objeto.

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Curvas en el plano y en el espacio

´ es una de las situaciones que excluiremos t = 0 existe, aunque no tiene dirección. Esta 2 en nuestro estudio de las curvas.

Figura 1.3: α (t) = (t 3 − 4t,t 2 − 4).

Otra situación que, en ocasiones, debe ser contemplada, la encontramos, por ejemplo, en la curva α (t) = (t 3 − 4t,t 2 − 4), véase la figura 1.3. Claramente α no es inyectiva, pues α (2) = α (−2) = (0, 0): se dice entonces que α (t) presenta una autointersección o que la curva no es simple (véase la definición 1.4.1 para una definición precisa).

Por supuesto, el ya conocido ejemplo de la función valor absoluto (véase la figura 1.4), nos muestra una curva parametrizada, α (t) = (t, |t|), que no es diferenciable y que, por tanto, nunca contemplaremos en nuestro estudio. ♦

¢ ¡ Figura 1.4: α (t) = t, |t| .

A la vista de estos ejemplos, nos podemos plantear algunas cuestiones: ¿por qué tenemos especial interés en que nuestra curva sea diferenciable? ¿Por qué queremos evitar que el vector tangente se anule en un punto? La respuesta está impl´ıcita en la siguiente definición. Definición 1.1.2. Se dice que una curva parametrizada diferenciable α : I −→ Rn es regular si α 0 (t) 6= 0, para todo t ∈ I. Si α : I −→ Rn es una curva parametrizada diferenciable con α 0 (t) 6= 0, podemos considerar la recta tangente a α en el punto α (t), es decir, la recta que pasa por α (t) y tiene como vector director α 0 (t) (aqu´ı es esencial que la curva sea regular). Si por el contrario t0 ∈ I es tal que α 0 (t0 ) = 0, se dice entonces que α presenta un punto singular en t0 . Nosotros, en este texto y salvo que precisemos lo contrario, estudiaremos u´ nicamente curvas simples y regulares, esto es, curvas que no presentan singularidades ni autointersecciones. 1.1.1.

´ El cambio de parametro y la longitud de arco

Tal y como ya hemos anticipado, una curva puede recorrerse de varias formas. Eso es lo que vamos a estudiar en este ep´ıgrafe, y recordemos que, desde nuestro punto de vista, la misma (imagen de una) curva recorrida de manera distinta, resulta ser una curva completamente diferente. Definición 1.1.3. Si α : I −→ Rn es una curva parametrizada, se denomina cambio de parámetro a cualquier difeomorfismo h : J −→ I, donde J es un intervalo abierto de R. La curva β = α ◦ h : I −→ Rn se llama reparametrización de α . ¡ ¢ Claramente, como β 0 (t) = α 0 h(t) h0 (t), si α es regular, entonces cualquier reparametrización de α también lo es, pues h0 (t) 6= 0 siempre. Además, de la conexión 2

Aunque el concepto de reparametrización lo vamos a presentar en el siguiente ep´ıgrafe, lo que está ocurriendo en este ejemplo es que es posible recorrer la curva de una manera en la que la aplicacio´ n no es diferenciable. Rec´ıprocamente, determinadas curvas no diferenciables en un punto admiten una ((reparametrización)) que las hace diferenciables, pero cuyo vector velocidad se anula precisamente en el punto en el que hemos ((corregido)) la diferenciabilidad.

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de I se tiene que, o bien h0 (t) > 0 para todo t ∈ J, o bien h0 (t) < 0 para todo t ∈ J. Diremos entonces que el cambio de parámetro h conserva la orientación si h0 (t) > 0, y que invierte la orientación si h0 (t) < 0. Obsérvese que un cambio de parámetro puede modificar tanto la orientación como la velocidad de una curva, pero nunca su trayectoria. Ejemplo 1.3. Si consideramos la ya conocida circunferencia α (t) = (cost, sent), el cambio de parámetro h(s) = 2s conserva la orientación, mientras que h(s) = −s la invierte. Además, el primero de ellos no preserva la velocidad, pues β 0 (s) = 2α 0 (2s); el segundo tampoco, aunque s´ı conserva su módulo. ♦

Es momento ahora de plantearnos cómo estudiar la longitud de una curva. Sean ¡ ¢ α : I −→ Rn una curva parametrizada, [a, b] ⊂ I y P [a, b] el conjunto de las par¡ ¢ ticiones del intervalo [a, b]. Dada P = {a = t0 < t1 < . . . < tm = b} ∈ P [a, b] , ª © tomamos la correspondiente familia de puntos de la traza α (t0 ), α (t1 ), . . . , α (tm ) , familia que determina una poligonal inscrita en la curva. La longitud de α asociada a ¯ ¯ ¯ ¯ ervese que, cuanla partición P viene dada por L(α , P) = ∑m i=1 α (ti ) − α (ti−1 ) . Obs´ to más fina es la partición (cuantos más puntos consideremos como vértices) más se ajusta la poligonal a la curva. Por lo tanto, resulta razonable definir la longitud de α entre α (a) y α (b) como

Lab (α ) = l´ım|P|→0,P∈P([a,b]) L(α , P), donde |P| = máx{ti −ti−1 , i = 1, . . . , m} es la norma de la partición. La siguiente proposición permitirá dar una definición más u´ til y operativa que la anterior de la longitud de una curva. Proposición 1.1.4. Sean α : I −→ Rn una curva parametrizada y [a, b] ⊂ I. Entonces l´ım

|P|→0 P∈P([a,b])

L(α , P) =

Z b¯ a

¯ ¯α 0 (t)¯ dt.

En consecuencia, podemos definir la longitud de α entre α (a) y α (b) como Lab (α ) =

Z b¯ ¯ ¯α 0 (t)¯ dt. a

(1.1)

Demostración de la proposición 1.1.4. Vamos a demostrar¯ que, dado ε > 0, existe ¯ ¯ ¯ R ¯ ¯ δ > 0 tal que, si |P| < δ , entonces ¯L(α , P) − ab ¯α 0 (t)¯ dt ¯ < ε . ¡ ¢ Supongamos que α (t) = x1 (t), . . . , xn (t) , y sea P = {a = t0 < t1 < . . . < tm = b} una partición del intervalo [a, b]. Entonces, m q m ¯ ¯ ¡ ¢2 ¯ ¯ L(α , P) = ∑ α (ti ) − α (ti−1 ) = ∑ ∑nj=1 x j (ti ) − x j (ti−1 ) . i=1

funciones C∞ ,

i=1

Como x j (t) son podemos aplicar el teorema de los valores intermedios en [ti−1 ,ti ]: para todo i = 1, . . . , m, existen ηi1 , . . . , ηin ∈ (ti−1 ,ti ) tales que ¡ ¢ x j (ti ) − x j (ti−1 ) = x0j ηij (ti − ti−1 ), para todo j = 1, . . . , n. 28


As´ı, definiendo f : Rn −→ R por f (s1 , . . . , sn ) := m

L(α , P) = ∑

i=1

q ∑nj=1 x0j (s j )2 , podemos escribir

q m ¡ ¢ ¡ j ¢2 ∑nj=1 x0j ηi (ti − ti−1 ) = ∑ f ηi1 , . . . , ηin (ti − ti−1 ). i=1

(1.2)

Por otro lado, m Z ¯ ¯α 0 (t)¯ dt = ∑

Z b¯ a

ti

i=1 ti−1

m ¡ m ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¢ ¯α (t)¯ dt = ∑ ¯α 0 (νi )¯ (ti −ti−1 ) = ∑ f νi , . . . , νi (ti −ti−1 ), i=1

i=1

(1.3) para ciertos νi ∈ (ti−1 ,ti ), aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral. En consecuencia, de (1.2) y (1.3) obtenemos que ¯ ¯ Z b¯ m ¯ ¡ ¯ ¯ ¯ ¢¯ ¢ ¡ ¯α 0 (t)¯ dt ¯ ≤ ∑ ¯¯ f ηi1 , . . . , ηin − f νi , . . . , νi ¯¯ (ti − ti−1 ). ¯L(α , P) − ¯ ¯ a

i=1

Además, f es una función continua en Rn , cuyo dominio de definición [a, b]n ⊂ I n es un compacto. Por tanto, f es uniformemente continua en [a, b]n . Esto implica que, ¯ ¯ dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que, si ¯s j − s0j ¯ < δ para todo j = 1, . . . , n, entonces ¯ ¢¯ ¡ ¢ ¡ ¯ f (s1 , . . . , sn ) − f s0 , . . . , s0n ¯ < ε . Eligiendo una partición P ∈ P [a, b] con |P| < δ , 1 ¯ ¯ j podemos asegurar que ¯ηi − νi ¯ < δ para todo j = 1, . . . , n, ya que ηij , νi ∈ (ti−1 ,ti ), j = 1, . . . , n. En consecuencia, ¯ ¯ Z b¯ m ¯ ¡ ¯ ¯ ¯ ¢¯ ¢ ¡ 0 ¯α (t)¯ dt ¯ ≤ ∑ ¯¯ f ηi1 , . . . , ηin − f νi , . . . , νi ¯¯(ti − ti−1 ) ¯L(α , P) − ¯ ¯ a

i=1 m

≤ ∑ ε (ti − ti−1 ) = ε (b − a), i=1

como se quer´ıa demostrar. Es un sencillo ejercicio probar el siguiente corolario. Corolario 1.1.5. La longitud de una curva parametrizada es independiente de su parametrización. De entre todas las parametrizaciones posibles para (la imagen de) una curva, existe una (salvo orientación) cuyas propiedades son especialmente importantes. Se trata de parametrizar la curva de modo que el módulo de la velocidad sea constante e igual a la unidad. Definición 1.1.6. Se dice que una curva parametrizada α : I −→ Rn está parametri¯ ¯ zada por la longitud de arco si ¯α 0 (t)¯ = 1 para todo t ∈ I.

¯ ¯ La razón de tal calificativo es clara: cuando ¯α 0 (t)¯ = 1, el parámetro t de la curva mide (salvo una constante) la longitud de la misma entre un punto fijo (o inicial, si suponemos t0 = 0) y α (t); en efecto, Lt0 (α ) = 29

Z t ¯ ¯α 0 (s)¯ ds = ds = t.

Z t¯ 0

0


En lo que sigue, utilizaremos p.p.a. como abreviatura para indicar que una curva α está parametrizada por la longitud de arco. Además, cuando esto sea as´ı, usaremos s como el parámetro arco de la curva, en lugar de t.

Desde una perspectiva f´ısica, la aceleración de una curva p.p.a. no posee componente tangencial (la velocidad no cambia en módulo y la part´ıcula no experimenta aceleración en la dirección del movimiento), por lo que, si existe aceleración, e´ sta es siempre perpendicular a la velocidad (y por ende, a su trayectoria). En términos matemáticos se tiene ¯2 ® d ¯ 0 = ¯α 0 (s)¯ = 2 α 0 (s), α 00 (s) , ds lo que prueba que la aceleración y la velocidad son ortogonales (obsérvese que no es necesario que el módulo de la velocidad sea unitario, basta con que sea constante). El siguiente teorema es fundamental para el desarrollo de toda la teor´ıa de curvas, tanto en el plano como en el espacio. Enseguida veremos por qué. Teorema 1.1.7. Toda curva parametrizada regular admite una reparametrización por la longitud de arco con un cambio de parámetro que conserva la orientación. Demostración. Sea α : I −→ Rn una curva parametrizada regular con parámetro arbitrario t. Fijamos t0 ∈ I y definimos g : I −→ R como la aplicación

α - n R

I

6

g

h J

?

β = α ◦h

g(t) =

Z t¯ t0

¯ ¯α 0 (u)¯ du = Ltt (α ), 0

que es una función diferenciable. Además, como α 0 (u) 6= 0, para todo u ∈ I, entonces ¯ ¯ g0 (t) = ¯α 0 (t)¯ > 0, para todo t ∈ I, siendo I ⊂ R abierto. El teorema de la función inversa nos asegura entonces que J = g(I) es también un intervalo abierto de R, y que g : I −→ J es un difeomorfismo. Representamos por h := g−1 , h : J −→ I. Claramente, ¡ ¢ (h ◦ g)(t) = t y (g ◦ h)(s) = s. Por tanto, h0 g(t) g0 (t) = 1, de donde se obtiene que ¡ ¢ h0 g(t) =

1 g0 (t)

1 = ¯¯ 0 ¯¯ > 0; α (t)

es decir, el cambio de parámetro h conserva la orientación. Finalmente, es fácil ver ¡ ¢ que la reparametrización β (s) = α h(s) es una curva p.p.a.: ¯ ¯ ¡ ¯ 0 ¯ ¯ 0¡ ¢¯ ¯ ¢¯ ¯β (s)¯ = ¯α h(s) ¯ ¯h0 (s)¯ = ¯α 0 h(s) ¯ ¯ ¡ 1 ¢¯ = 1. ¯α 0 h(s) ¯ Este teorema nos dice que toda curva parametrizada regular siempre puede reparametrizarse por la longitud de arco. El ((problema)) radica en que, en la práctica, encontrar la reparametrización no siempre es posible. Veamos algunos ejemplos.

Figura 1.5: La catenaria.

Ejemplo 1.4 (La catenaria). Tomemos la curva parametrizada α (t) = (t, cosht). ´ Esta recibe el nombre de catenaria, pues es la curva que adopta una cadena ideal perfectamente flexible, con masa, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme (véase la figura 1.5). 30


Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los diecisiete años, demostró que no lo era, aunque ´ no encontró la ecuación de la catenaria. Esta fue obtenida por Leibnitz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desaf´ıo planteado por Jakob Bernoulli. Si se desarrolla en serie de Taylor la función cosht, se obtiene cosht = 1 +t 2 /2 + O 4 (t), que corresponde a la ecuación de una parábola más un término de cuarto orden. Es por este motivo por el que las gráficas son tan parecidas en un entorno de cero. Una curva catenaria invertida es el trazado perfecto para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Gaud´ı, su descubridor. Un rápido cálculo permite obtener el que será el parámetro arco: s = g(t) =

Z t ¯ ¯α 0 (u)¯ du = cosh u du = senht;

Z t¯ 0

0

luego el cambio de parámetro que reparametriza α por la longitud de arco viene dado por t = h(s) = arg senh s. Por lo tanto, ´ p ¡ ¢ ¡ ¢ ³ β (s) = α h(s) = arg senh s, cosh(arg senh s) = arg senh s, 1 + s2 es la reparametrización por la longitud de arco de la catenaria.

♦

Ejemplo 1.5. Consideremos la circunferencia α (t) = p + (r cost, r sent). La reparametrización por la longitud de arco de esta curva es muy sencilla de obtener:

s = g(t) =

Z t Z t¯ ¯ ¯α 0 (u)¯ du = r du = rt, 0

0

luego el cambio de parámetro buscado es t = h(s) = s/r, y la reparametrización por ¡ ¢ ¡ ¢ ♦ la longitud de arco,3 β (s) = α h(s) = r cos(s/r), r sen(s/r) . Ejemplo 1.6. Sea α (t) = (2 cost, sent). En este caso, la integral que aparece a la hora de calcular el cambio de parámetro h no puede resolverse, pues es una integral el´ıptica, que no tiene solución: Z tq Z tp 2 2 4 sen u + cos u du = 2 1 − 34 cos2 u du. s = g(t) = 0

0

Luego no es posible dar expl´ıcitamente la reparametrización.

♦

Ejemplo 1.7. Consideremos la curva α (t) = (t,t 2 ). En este caso, la integral que define g(t) puede resolverse sin problemas:

s = g(t) =

Z tp 0

1 + 4u2 du =

´ tp p 1 ³ Ln 2t + 1 + 4t 2 + 1 + 4t 2 ; 4 2

sin embargo, es imposible despejar t en la ecuación anterior. Por tanto, tampoco puede darse expl´ıcitamente la reparametrización. ♦ 3

31

El mismo cambio de parámetro sirve para cualquier curva con velocidad constante.


Como hemos visto, no siempre es factible reparametrizar una curva por la longitud de arco (realmente, en la mayor´ıa de los casos no va a ser posible). Sin embargo, esto no plantea ningún inconveniente, pues es suficiente saber que, teóricamente, gracias al teorema 1.1.7, siempre podemos suponer la curva p.p.a., lo que permite desarrollar la llamada Teor´ıa de curvas, que pasamos a estudiar a continuación.4 1.2.

TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS

La Teor´ıa Local de curvas planas, tal y como indica su nombre, se ocupa del estudio de curvas que están contenidas en un plano. Desde una perspectiva puramente local, una curva plana p.p.a. tiene ((muy poca libertad para moverse)) en el sentido de que, o bien gira hacia la izquierda, o bien lo hace hacia la derecha. Este giro (y su intensidad) puede ser descrito con una función que llamaremos curvatura y que, esencialmente, caracteriza la curva salvo movimientos r´ıgidos dentro del plano. 1.2.1.

La curvatura y el diedro de Frenet

Si α : I −→ R2 es una curva regular p.p.a., su vector tangente t(s) = α 0 (s) es unitario. Esto permite construir una base ortonormal de R2 de la siguiente forma:

Definición 1.2.1. El vector normal a una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a., es ¡ ¢ el vector n(s) = J t(s) , donde J = Rπ /2 es la estructura compleja en R2 , esto es, la rotación positiva de a´ ngulo π /2 (para más detalles véase el ep´ıgrafe 3.1.2). © ª Por tanto, los vectores t(s), n(s) forman una base ortonormal positivamente orientada del plano eucl´ıdeo para cada s, que recibe el nombre de diedro de Frenet. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿cómo var´ıan los vectores tangente © ª y normal a una curva? Claramente, por ser t(s), n(s) una base ortonormal, ® ® t0 (s) = t0 (s), t(s) t(s) + t0 (s), n(s) n(s) y ® ® n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s) + n0 (s), n(s) n(s). ¯2 ¯ ¯ ¯2 ® ® Además, como ¯t(s)¯ = 1 = ¯n(s)¯ , es evidente que t0 (s), t(s) = 0 = n0 (s), n(s) . En definitiva, ® ® t0 (s) = t0 (s), n(s) n(s) y n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s). Por otro lado, la ortogonalidad de los vectores t(s) y n(s) nos permite asegurar que 0 ® ® t (s), n(s) = − t(s), n0 (s) , lo que conduce a la siguiente definición: 4

Es importante reseñar que, cuando parametrizamos una curva por el arco, estamos considerando un parámetro estándar que, de alguna manera, encaja la curva en el ((entramado métrico)) del espacio en el que está. Por ejemplo, si tenemos dos circunferencias y queremos compararlas, la estrategia consiste en tomar un parámetro homogéneo y ((común)) a ambas, en el sentido de que refleje la longitud de la curva en ambos casos. Eso es el parámetro arco, y es lo que permite hablar de curvatura.

32


Definición 1.2.2. Se llama curvatura de una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a. a la función k : I −→ R definida por ¡ ¢® (1.4) k(s) := α 00 (s), J α 0 (s) . ¯ ¯ Además, si k(s) > 0 se llama radio de curvatura al valor ρ (s) = 1/ ¯k(s)¯.

En definitiva, hemos obtenido que ( t0 (s) = k(s)n(s),

(1.5)

n0 (s) = −k(s)t(s), ecuaciones que reciben el nombre de fórmulas de Frenet de una curva plana.

Obsérvese que estas fórmulas nos aseguran que la componente tangencial del vector aceleración de la curva α , α 00 (s) = t0 (s) es cero. As´ı pues, la aceleración sólo tiene componente normal, y es el valor absoluto de la curvatura el que mide cuánto ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ vale: ¯k(s)¯ = ¯k(s)¯ ¯n(s)¯ = ¯t0 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯. Ahora bien, el signo de la curvatura k(s) también ofrece información sobre la curva: nos dice el sentido de giro, es decir, en qué sentido rota el vector velocidad α 0 (s) = t(s) conforme se recorre la curva. La figura 1.6 refleja claramente este hecho. Observemos además que un cambio de orientación cambia el signo de la curvatura pero no su magnitud. 6Jα

k<0

′

6α ′′

α′

-

6

Jα ′

Figura 1.6: El signo de la

-

curvatura permite conocer el sentido del movimiento

α ′′

en una curva.

k>0 ?

6 ′′ α

k>0

α ′

α′

Jα ′

?

α ′′ ?

α′

k<0 ?Jα

′

Observación 1.1. Otro modo de calcular la curvatura de una curva plana regular ¡ ¢ p.p.a. es el siguiente: si α : I −→ R2 tiene coordenadas α (s) = x(s), y(s) , un rápido cálculo muestra que ® ¡ ¢¡ ¢® k(s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = x00 (s), y00 (s) , −y0 (s), x0 (s) ¢ ¡ = −x00 (s)y0 (s) + y00 (s)x0 (s) = det α 0 (s), α 00 (s) ,

lo que nos da una fórmula para k(s), directamente en función de la curva α y sus derivadas. ♦ Ejemplo 1.8. Una parametrización por la longitud de arco de la circunferencia de ¡ ¢ centro p y radio r es α (s) = p + r cos(s/r), sen(s/r) (véase el ejemplo 1.5). Un ® sencillo cálculo demuestra que k(s) = t0 (s), n(s) = 1/r. Por tanto, la curvatura de una circunferencia es siempre constante, en valor absoluto coincide con el inverso de su radio y, tal y como la hemos parametrizado en este caso, es positiva. Esto se pod´ıa ¡ ¢ deducir rápidamente del hecho de que Jα 0 (s) = − cos(s/r), sen(s/r) es colineal ¡ ¢ ♦ con α 00 (s) = − cos(s/r), sen(s/r) /r, véase la figura 1.6. 33


√ ¡ ¢ Ejemplo 1.9. La curva α (s) = arg senh s, 1 + s2 es la parametrización por el arco de la catenaria, curva estudiada en el ejemplo 1.4. Es fácil ver que su curvatura vale k(s) = 1/(1 + s2 ), estrictamente positiva y con l´ımite (para s → ∞) cero. ♦ El problema que se plantea a continuación es cómo calcular la curvatura de una curva plana si e´ sta no está parametrizada por la longitud de arco, pues, como ya sabemos, en muchas ocasiones es materialmente imposible encontrar la parametrización por el arco de una curva.

α - 2 R

I

6

g

h J

?

β = α ◦h

Sea α : I −→ R2 una curva plana regular con parámetro arbitrario t, y consideremos β (s) = (α ◦ h)(s) su reparametrización por la longitud de arco. Recuérdese que h = g−1 , donde g : I −→ J es la aplicación dada por Z t¯ ¯ ¯α 0 (u)¯ du. g(t) = t0

Es evidente que la curvatura de una curva no debe depender de su parametrización (siempre y cuando e´ sta conserve la orientación) pues es un concepto geométrico que debe dar información sobre cómo es la traza de α y cuál es el sentido de movimiento. Por tanto, se define la curvatura de α , simplemente, como la curvatura de su repara¡ ¢ metrización por el arco: kα (t) := kβ g(t) . Proposición 1.2.3. Sea α : I −→ R2 una curva parametrizada regular. Entonces 00 ® α (t), Jα 0 (t) . (1.6) kα (t) = ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯3 D E ¡ ¢ Demostración. Como kα (t) = kβ g(t) , calculamos kβ (s) = tβ0 (s), nβ (s) . ¡ ¢ tβ (s) = β 0 (s) = α 0 h(s) h0 (s), ¡ ¢ nβ (s) = Jtβ (s) = h0 (s)Jα 0 h(s) , ¡ ¢ ¡ ¢ t0β (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 + h00 (s)α 0 h(s) . Sustituyendo en la fórmula de la curvatura se obtiene el resultado deseado: ¡ ¢ ¡ ¢® kβ (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 , h0 (s)Jα 0 h(s) 00 ¡ ¢ ¡ ¢® ¢ 0¡ ¢® ¡ 1 = h0 (s)3 α 00 h(s) , Jα 0 h(s) = ¯ ¡ ¢¯3 α h(s) , Jα h(s) . ¯α 0 h(s) ¯ A partir de ahora suprimiremos a menudo el parámetro de la curva en muchas expresiones, para evitar as´ı fórmulas excesivamente engorrosas, siempre y cuando no haya lugar a confusión. 1.2.2.

Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas planas

El llamado teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas planas establece que una curva plana regular viene determinada un´ıvocamente por su función curvatura (salvo movimientos r´ıgidos). Enunciémoslo con mayor precisión. 34


Teorema 1.2.4 (fundamental de curvas planas). Sea k : I −→ R una función diferenciable. Entonces, existe una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a. tal que kα (s) = k(s), para todo s ∈ I. Además, si β : I −→ R2 es otra curva regular p.p.a. con curvatura kβ (s) = k(s), para todo s ∈ I, entonces existe un movimiento r´ıgido directo M : R2 −→ R2 , Mx = Ax + b, tal que β = M ◦ α .

Demostración. Comenzamos demostrando la existencia de α , para lo cual construimos expl´ıcitamente la curva. E XISTENCIA : Sea s0 ∈ I fijo. Definimos la función ϕ : I −→ R

ϕ (s) =

Z s s0

k(u) du,

y construimos la curva (diferenciable, por serlo k(s) y, por tanto, ϕ (s)) µZ s ¶ Z s cos ϕ (u) du, sen ϕ (u) du . α (s) := s0

s0

(1.7)

Veamos que α (s) es la curva buscada. ¯ ¯ ¢ ¡ Como α 0 (s) = cos ϕ (s), sen ϕ (s) , claramente ¯α 0 (s)¯ = 1; luego α (s) está parametrizada por la longitud de arco y es regular. Además, su curvatura vale ® kα (s) = tα0 (s), nα (s) = ϕ 0 (s) sen2 ϕ (s) + ϕ 0 (s) cos2 ϕ (s) = ϕ 0 (s) = k(s). U NICIDAD : Supongamos que existen dos curvas α : I −→ R2 y β : I −→ R2 con la misma curvatura, kα (s) = k(s) = kβ (s). Fijamos de nuevo s0 ∈ I. Representamos por {tα , nα } y {tβ , nβ }, respectivamente, los diedros de Frenet de α y β . Consideramos los vectores tα (s0 ) y tβ (s0 ) de R2 . Entonces, existe una u´ nica transformación A ∈ SO(2), es decir, una u´ nica rotación, tal que Atα (s0 ) = tβ (s0 ). Claramente, por la ortogonalidad de los vectores de la base y por ser A una matriz ortogonal con determinante positivo, Anα (s0 ) = nβ (s0 ). Definimos b := β (s0 ) − Aα (s0 ) y tomamos el movimiento r´ıgido Mx := Ax + b. Sea γ = M ◦ α . Viendo que γ ≡ β , concluirá la demostración. Desde luego,

γ (s0 ) = M α (s0 ) = Aα (s0 ) + b = β (s0 ) y ¢0 ¡ 0 0 0 tγ (s0 ) = γ (s0 ) = Aα + b (s0 ) = Aα (s0 ) = Atα (s0 ) = tβ (s0 ), esto es, tanto las curvas como sus vectores tangentes coinciden en s0 . Además, ® ® ® ® kγ = γ 00 , Jγ 0 = Aα 00 , JAα 0 = Aα 00 , AJα 0 = α 00 , Jα 0 = kα . ¯2 ¯ Definimos ahora la función f (s) := ¯tβ (s) − tγ (s)¯ /2, que verifica f (s0 ) = 0. Un sencillo cálculo permite comprobar que E D ® ¡ ® ®¢ f 0 (s) = t0β − tγ0 , tβ − tγ = kβ nβ − kγ nγ , tβ − tγ = −k nβ , tγ + nγ , tβ = 0, 35


® ® ® ® pues nβ , tγ = Jtβ , tγ = − tβ , Jtγ = − tβ , nγ . En consecuencia, f es una función constante, y dado que f (s0 ) = 0, podemos concluir que f ≡ 0. Esto nos asegura a su vez que tβ (s) = tγ (s) para todo s ∈ I, es decir, que (β − γ )0 (s) = 0. Y de nuevo utilizamos el mismo argumento: como β − γ es constante y sabemos que β (s0 ) = γ (s0 ), podemos concluir finalmente que β ≡ γ . Observación 1.2 (Una interpretación geométrica de la curvatura). Obsérvese que la curva α , tal y como se define en la demostración del teorema, no es algo artificioso. Supongamos dada una curva regular α : I −→ R2 p.p.a. Si escribimos ¡ ¢ α 0 (s) = x0 (s), y0 (s) , se tiene que x0 (s)2 + y0 (s)2 = 1. En consecuencia, existe una función diferenciable ϕ ∈ C∞ (I) de modo que x0 (s) = cos ϕ (s) e y0 (s) = sen ϕ (s); ¢ ¡ esto es, el vector tangente t(s) es de la forma t(s) = cos ϕ (s), sen ϕ (s) . Es fácil 0 ® comprobar entonces que la curvatura de α vale k(s) = t (s), n(s) = ϕ 0 (s).

Este razonamiento permite dar una interpretación geométrica de la curvatura de una curva: para cada s ∈ I, el valor ϕ (s) no es otra cosa que el a´ ngulo que forma el vector tangente t(s) con el eje x; as´ı, la curvatura de α nos dice cómo var´ıa este a´ ngulo respecto al parámetro arco. Y aún más. Si elegimos un valor inicial s0 ∈ I y un incremento de e´ ste, s0 + h, se tiene que

ϕ (s0 + h) − ϕ (s0 ) . h→0 h

k(s0 ) = ϕ 0 (s0 ) = l´ım α (s0 )

z t(s0 )

x

α (s0 + h)

´ Figura 1.7: Interpretacion

z t(s0 )

R t(s + h) 0

´ geometrica de la curvatura

R

de una curva plana.

ϕ (s0 + h) − ϕ (s0 )

t(s0 + h)

Ahora bien, trasladando los vectores tangentes t(s0 ) y t(s0 + h) (unitarios) a la circunferencia unidad S1 (véase la figura 1.7) se observa que ϕ (s0 + h) − ϕ (s0 ) es, precisamente, la longitud de arco en S1 desde t(s0 ) a t(s0 + h), mientras que h es la longitud (de arco) de α entre tales valores. Luego

longitud de arco en S1 ; h→0 longitud de arco en α

k(s0 ) = l´ım

la curvatura es el l´ımite de un cociente de longitudes. 1.2.3.

(1.8) ♦

Evolutas, involutas y curvas paralelas

Definición 1.2.5. Un punto p ∈ R2 es un centro de curvatura de una curva regular α : I −→ R2 si existe una circunferencia γ centrada en p, que es tangente a α en un cierto punto p0 ∈ R2 , de tal modo que las curvaturas de α y γ coinciden en p0 . La circunferencia γ recibe el nombre de circunferencia osculatriz. 36


As´ı pues, si p es un centro de curvatura de α : I −→ R2 , entonces existe una recta que pasa por p y que corta ortogonalmente a la curva α en un cierto punto p0 = α (t0 ) de modo que la distancia de p a p0 es, precisamente, el radio de curvatura de α en α (t0 ) (véase la figura 1.8).

α

Definición 1.2.6. La evoluta de una curva α : I −→ R2 parametrizada regular es el lugar geométrico de los centros de curvatura de α , es decir, la curva

p

ρ (t0 ) p0 = α (t0)

αE (t) := α (t) +

(1.9)

Además, si αE es la evoluta de α , se dice que α es una involuta de αE .

Figura 1.8: El radio y el centro de curvatura de una curva.

1 Jα 0 (t) ¯. ¯ k(t) ¯α 0 (t)¯

Es sencillo demostrar que la definición de evoluta de una curva parametrizada regular plana es independiente de la parametrización (ejercicio 1.10); en consecuencia, a la hora de trabajar con la evoluta de una curva α siempre podremos suponer, si as´ı nos conviene, que la curva original α está p.p.a. Teorema 1.2.7. Sea α : I −→ R2 una curva parametrizada regular. La evoluta de α es la u´ nica curva de la forma αE (t) = α (t) + f (t)Jα 0 (t), donde f es una función real diferenciable, de modo que la normal a α coincide con la tangente a αE en cada valor t del parámetro. Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que α está p.p.a.; en tal caso, la ecuación de su evoluta es

αE (s) = α (s) +

1 1 Jα 0 (s) = α (s) + n(s), k(s) k(s)

siendo entonces su vector tangente tE (s) = αE0 (s) = t(s) +

k(s)n0 (s) − k0 (s)n(s) k0 (s) = − n(s). k(s)2 k(s)2

Por tanto, el tangente tE a la evoluta está en la dirección del normal n a la curva α .

Rec´ıprocamente, supongamos dada una curva de la forma β (s) = α (s)+ f (s)n(s), donde f es una función real diferenciable, de modo que la normal a α coincide con la tangente a β en cada valor s del parámetro. Calculemos la función f (s). Es sencillo comprobar que ¡ ¢ β 0 (s) = 1 − k(s) f (s) t(s) + f 0 (s)n(s). Como por hipótesis β 0 está en la dirección del vector normal n, podemos concluir que 1 − k(s) f (s) = 0; es decir, que f (s) = 1/k(s), lo que nos da la ecuación de la evoluta de α . Por tanto, β (s) = αE (s). Definición 1.2.8. Sea α : I −→ R2 una curva parametrizada regular. Se denomina curva paralela a α a distancia ρ a la curva

Jα 0 (t) αρP (t) = α (t) + ρ ¯¯ 0 ¯¯ . α (t) 37

(1.10)


Es un sencillo ejercicio demostrar que la curva paralela a α a distancia ρ es independiente de cualquier parametrización que conserve la orientación (ejercicio 1.10); en consecuencia, siempre que sea conveniente, podremos suponer que la curva original α está p.p.a., ya que este cambio de parámetro conserva la orientación.

Dada la similitud geométrica que tiene una curva paralela con la curva original, cabe preguntarse cómo se podr´ıa calcular la curvatura de αρP en función de la de α . Pensando en circunferencias nos damos cuenta de que dichas funciones no pueden coincidir, pues al tomar la circunferencia paralela a una cierta distancia ρ , el radio var´ıa. El siguiente resultado establece la relación precisa entre ambas curvaturas. Proposición 1.2.9. Sean α : I −→ R2 una curva parametrizada regular y αρP su curva paralela a distancia ρ , con curvaturas kα y kαρP , respectivamente. Entonces, kα (t) ¯. kαρP (t) = ¯¯ 1 − ρ kα (t)¯

(1.11)

Demostración. De nuevo, podemos suponer que la curva α está parametrizada por la longitud de arco s, en cuyo caso, αρP (s) = α (s) + ρ nα (s). Claramente, ¢ ¢0 ¡ αρP (s) = 1 − ρ kα (s) tα (s), ¢ ¡ ¡ ¢0 J αρP (s) = 1 − ρ kα (s) nα (s) y ¡ ¢ ¡ P ¢00 αρ (s) = −ρ kα0 (s)tα (s) + 1 − ρ kα (s) kα (s)nα (s). ¡

Por tanto, la curvatura de αρP vale D E ¡ ¢2 (αρP )00 (s), J(αρP )0 (s) 1 − ρ kα (s) kα (s) kα (s) ¯, = = ¯¯ kαρP (s) = ¯3 ¯3 ¯ ¯ ¯ P 0 ¯ ¯1 − ρ kα (s)¯ 1 − ρ kα (s)¯ ¯(αρ ) (s)¯ como quer´ıamos demostrar. 1.2.4.

´ de dos curvas en un punto Comparacion

En este apartado comenzamos considerando una u´ nica curva, que compararemos con su recta tangente en el punto de contacto. As´ı, sean α : I −→ R2 una curva regular p.p.a., y s0 ∈ I fijo. Representamos por p0 = α (s0 ) y por ` ≡ p0 + t α 0 (s0 ), t ∈ R, la recta tangente a α en α (s0 ). Finalmente, sean t0 = α 0 (s0 ) y n0 = n(s0 ). Dado p ∈ R2 arbitrario, el vector p − p0 puede escribirse, en función de la base {t0 , n0 }, como p − p0 = hp − p0 , t0 i t0 + hp − p0 , n0 i n0 , donde hp − p0 , n0 i = dist(p, `) no es más que la denominada distancia orientada (con signo) de p a la recta `: si H + (H − ) representa el semiplano determinado por ` hacia al que apunta n0 (−n0 ), entonces dist(p, `) > 0 si, y sólo si, p ∈ H + , dist(p, `) < 0 si, y sólo si, p ∈ H − , y dist(p, `) = 0 si, y sólo si, p ∈ ` = H + ∩ H − . 38


Ahora estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado. Proposición 1.2.10. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a., con curvatura k(s), y sea s0 ∈ I. Entonces:

i) Si k(s0 ) > 0 (respectivamente, k(s0 ) < 0), existe un entorno J(s0 ) ⊂ I tal que α (s) ∈ H + (respectivamente, α (s) ∈ H − ), para todo s ∈ J. ii) Si existe un entorno J(s0 ) ⊂ I con α (s) ∈ H + (respectivamente, α (s) ∈ H − ), para todo s ∈ J, entonces k(s0 ) ≥ 0 (respectivamente, k(s0 ) ≤ 0). Si k(s0 ) = 0, entonces no se puede asegurar nada; podr´ıa darse cualquier caso. ¢ ® ¡ Demostración. Sea f : I −→ R la función f (s) := dist α (s), ` = α (s) − p0 , n0 . ® Entonces f (s0 ) = 0, f 0 (s0 ) = ht0 , n0 i = 0 y f 00 (s0 ) = t0 (s0 ), n0 = k(s0 ), luego: i) Si k(s0 ) > 0, entonces f presenta un m´ınimo relativo en s0 ; en consecuencia, existe un entorno J(s0 ) ⊂ I donde f (s) ≥ f (s0 ), para todo s ∈ J, lo que se ¢ ¡ traduce en que dist α (s), ` ≥ 0, para todo s ∈ J. Por tanto, α (s) ∈ H + , para todo s ∈ J. Si suponemos que k(s0 ) < 0, deducir´ıamos de forma análoga que f presenta un máximo relativo en s0 , lo que conducir´ıa a la desigualdad contraria, ¢ ¡ dist α (s), ` ≤ 0, para todo s ∈ J; es decir, α (s) ∈ H − en J. ii) Supongamos ahora que, para todo s ∈ J, α (s) ∈ H + . Esto es equivalente a ¢ ¡ que dist α (s), ` ≥ 0, es decir, a que f (s) ≥ f (s0 ), para todo s ∈ J. Podemos deducir entonces que f presenta un m´ınimo relativo en s0 , lo cual implica que f 00 (s0 ) = k(s0 ) ≥ 0. De forma análoga se deduce, partiendo de la hipótesis contraria α (s) ∈ H − , que k(s0 ) ≤ 0. Finalmente, pasamos a estudiar el caso de dos curvas que se tocan en un punto, teniendo el mismo vector tangente en el mismo. Sean α , β : I −→ R2 dos curvas regulares p.p.a. con curvaturas kα y kβ , y sea s0 ∈ I donde

β

α

α (s0 ) = β (s0 ) =: p0

ℓ

0

α (s0 ) = β (s0 ) =: t0 .

n0

I

t0

p0

´ de dos Figura 1.9: Comparacion curvas.

y

0

De nuevo, representamos por ` la recta tangente (común) a α y β en p0 . Se dice que α está por encima de β en el punto p0 si existe un entorno J de s0 de modo ¢ ¡ ¢ ¡ que dist α (s), ` ≥ dist β (s), ` , para todo s ∈ J (véase la figura 1.9). Consideremos ahora f : I −→ R la función dada por ¢ ¡ ¢ ® ® ¡ f (s) : = dist α (s), ` − dist β (s), ` = α (s) − p0 , n0 − β (s) − p0 , n0 ® = α (s) − β (s), n0 . Entonces, f (s0 ) = 0, f 0 (s0 ) = 0 y f 00 (s0 ) = kα (s0 ) − kβ (s0 ). Un argumento análogo al utilizado en la demostración de la proposición 1.2.10, pero usando ahora la función definida arriba, permite probar el siguiente resultado: 39


Proposición 1.2.11. Sean α , β : I −→ R2 dos curvas regulares p.p.a., con curvaturas kα (s) y kβ (s), respectivamente, y sea s0 ∈ I. Entonces:

i) Si kα (s0 ) > kβ (s0 ), entonces α está por encima de β . ii) Si α está por encima de β , entonces kα (s0 ) ≥ kβ (s0 ). 1.3.

TEORÍA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO

El estudio de curvas en el espacio es, en bastantes aspectos, muy diferente al de curvas en el plano. El motivo principal es que una curva en el espacio tiene mucha más libertad para ((moverse)). De hecho, tiene una dirección adicional en la que puede curvarse, y su libertad está ((menos controlada)) que en el caso de una curva plana; recordemos que, esencialmente, e´ stas sólo pod´ıan curvarse hacia la izquierda o la derecha. Esta exposición es igualmente válida para curvas en dimensión superior: a mayor dimensión, mayor libertad, y el estudio de las curvas se complica cada vez más. Siendo exhaustivos, podr´ıamos apuntar tres diferencias fundamentales con respecto a la sección anterior: i) la curvatura de una curva en el espacio no tiene signo y ofrece menos información que en el caso de curvas planas; ii) la existencia de un vector normal a la curva no está garantizada; iii) es necesario contar con una función adicional (la torsión) para explicar y caracterizar cómo se comporta una curva en el espacio. 1.3.1.

´ y el triedro de Frenet La curvatura, la torsion

Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., de modo que el vector tangente t(s) = α 0 (s) es unitario. Vamos a ver que, de nuevo, esto permite construir una base ortonormal de ® ® R3 . Dado que t(s), t(s) = 1, se tiene que t0 (s), t(s) = 0. Luego t0 (s) es ortogonal al vector tangente a la curva, y mide cómo var´ıa e´ ste. Se define entonces la curvatura de α en α (s) como ¯ ¯ ¯ ¯ k(s) = ¯t0 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯ . Obsérvese que ahora, k(s) ≥ 0 siempre, mientras que en el caso de curvas planas la curvatura ten´ıa signo, y e´ ste nos ofrec´ıa una información adicional que aqu´ı no tenemos. Por lo tanto, el concepto de curvatura de una curva en R3 no depende de la orientación de la misma. Observación 1.3. Es sencillo demostrar que una curva α : I −→ R3 parametrizada regular es una l´ınea recta si, y sólo si, su curvatura k(s) ≡ 0. ♦ Definición 1.3.1. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Para todo s ∈ I tal que k(s) 6= 0, se define el vector normal (unitario) a α en α (s) como n(s) =

40

α 00 (s) t0 (s) = ¯¯ 00 ¯¯ . k(s) α (s)


Si α : I −→ R3 es una curva regular p.p.a. tal que k(s) 6= 0, para todo s ∈ I, se denomina plano osculador en α (s) al plano determinado por los vectores t(s) y n(s). Obsérvese también que una curva plana en el espacio es una curva cuyo plano osculador se mantiene fijo. A partir de ahora, y salvo que se indique lo contrario, supondremos siempre que k(s) 6= 0 en todo punto. ª © Definición 1.3.2. Dados t(s), n(s) relativos a una curva regular α : I −→ R3 p.p.a., se define el vector binormal (asociado a α ) como b(s) = t(s) ∧ n(s).

El vector binormal es, por definición, ortogonal al plano osculador. Además, ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ es unitario, pues ¯b(s)¯ = ¯t(s)¯ ¯n(s)¯ sen(π /2) = 1. Por tanto, para todo s ∈ I con © ª k(s) > 0, el conjunto t(s), n(s), b(s) es una base ortonormal de R3 positivamente orientada (esto es, su determinante es positivo), denominada triedro de Frenet. De nuevo estamos interesados en saber cómo var´ıan los vectores tangente, normal y binormal a una curva. Claramente, por la propia noción de vector normal, se tiene que t0 (s) = k(s)n(s). Por otro lado, si derivamos la expresión b(s) = t(s) ∧ n(s) que define el vector binormal, la relación anterior implica que b0 (s) = t(s) ∧ n0 (s), de donde se deduce que b0 (s) es ortogonal a t(s). Además, al ser b(s) unitario, también se obtiene que b0 (s) y b(s) son ortogonales. En consecuencia, b0 (s) y n(s) deben ser colineales, lo que nos permite escribir ® ® b0 (s) = b0 (s), n(s) n(s) = t(s) ∧ n0 (s), n(s) n(s). El factor que aparece en la fórmula anterior nos lleva a la siguiente definición. Definición 1.3.3. Se llama torsión de una curva regular α : I −→ R3 , p.p.a., con curvatura k(s) 6= 0, a la función τ : I −→ R definida por ® ® τ (s) := t(s) ∧ n0 (s), n(s) = b0 (s), n(s) . (1.12) Por lo tanto, b0 (s) = τ (s)n(s). Sólo resta calcular la derivada del vector normal © ª a α . Para ello, expresando n0 (s) en función de la base t(s), n(s), b(s) , esto es, ® ® ® n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s) + n0 (s), n(s) n(s) + n0 (s), b(s) b(s), y dado que 0 ® ® n (s), n(s) = 0 (derivando la relación n(s), n(s) = 1), 0 ® ® ® n (s), t(s) = − n(s), t0 (s) = −k(s) (derivando n(s), t(s) = 0) y ® 0 ® ® n (s), b(s) = − n(s), b0 (s) = −τ (s) (derivando n(s), b(s) = 0),

se tiene finalmente que n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s). En definitiva, hemos obtenido  0   t (s) = k(s)n(s), (1.13) n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s),   0 b (s) = τ (s)n(s), ecuaciones que reciben el nombre de fórmulas de Frenet para una curva del espacio eucl´ıdeo R3 . Por otra parte, y al igual que ocurr´ıa en el caso de curvas planas, las 41


dos funciones que aparecen en las fórmulas de Frenet también caracterizan (salvo movimientos r´ıgidos) las curvas en el espacio. La demostración de este hecho la presentaremos posteriormente. La torsión se puede expresar de manera sencilla en función de α y sus derivadas. ¯ ¯ Basta escribir t(s) como α 0 (s) y n(s) como α 00 (s)/ ¯α 00 (s)¯. Entonces, ® ¡ ¢ τ (s) = t(s) ∧ n0 (s), n(s) = det t(s), n0 (s), n(s) ! Ã ¸0 · 1 α 000 (s) α 00 (s) 0 00 = det α (s), ¯¯ 00 ¯¯ α (s) + ¯¯ 00 ¯¯ , ¯¯ 00 ¯¯ α (s) α (s) α (s) (1.14) ! Ã ¡ 0 ¢ det α (s), α 00 (s), α 000 (s) α 000 (s) α 00 (s) . = det α 0 (s), ¯¯ 00 ¯¯ , ¯¯ 00 ¯¯ = − ¯ ¯ ¯α 00 (s)¯2 α (s) α (s)

Proposición 1.3.4. Una curva α : I −→ R3 con curvatura k(s) 6= 0 es plana si, y sólo si, su torsión es nula. Obsérvese que, si la curvatura k(s) ≡ 0, entonces α es una recta, y por tanto siempre es una curva plana. Este caso se excluye en el enunciado de la proposición porque, si k(s) = 0, la torsión no puede definirse, y el resultado no tendr´ıa sentido. Demostración. Supongamos que α es plana, y sea Π el plano que la contiene. En tal caso, ambos vectores t(s) y n(s) están contenidos en Π, para todo s ∈ I, por lo que b(s) = t(s) ∧ n(s) es constante (Π es el plano osculador, que es constante para todo valor del parámetro s). En consecuencia, b0 (s) ≡ 0, lo que demuestra que τ (s) ≡ 0. Rec´ıprocamente: si τ (s) ≡ 0, entonces b0 (s) = τ (s)n(s) ≡ 0, es decir, el vector binormal b es constante. Esto implica que la curva α está contenida en un plano. ® ® En efecto, definiendo f (s) := α (s), b , se tiene que f 0 (s) = t(s), b = 0, es decir, ¡ ¢ f (s) ≡ c constante; escribiendo entonces b = (b1 , b2 , b3 ) y α (s) = x(s), y(s), z(s) , la condición anterior equivale a que α verifique x(s)b1 + y(s)b2 + z(s)b3 = c, que es la ecuación de un plano. Ejemplo 1.10. Sea α la hélice cil´ındrica α (s) = (a cos s, a sen s, bs), a, b > 0, que ¯2 ¯2 ¯ ¯ suponemos p.p.a. (luego, ¯α 0 (s)¯ = ¯(−a sen s, a cos s, b)¯ = a2 + b2 = 1). Es sen¯ ¯ 00 ¯ ¯ cillo ver que k(s) = ¯α (s)¯ = ¯(−a cos s, −a sen s, 0)¯ = a, y su triedro de Frenet es t(s) = (−a sen s, a cos s, b), n(s) = (− cos s, − sen s, 0), b(s) = (b sen s, −b cos s, a); ♦ finalmente, su torsión vale τ (s) = hn(s), b0 (s)i = −b.

A continuación nos planteamos de nuevo cómo calcular la curvatura y la torsión de una curva en R3 que no esté parametrizada por la longitud de arco, pues ya sabemos que, en general, no es posible encontrar su reparametrización por el arco. Sea α : I −→ R3 una curva parametrizada regular con parámetro t y consideremos β (s) = (α ◦ h)(s) su reparametrización por la longitud de arco. Se definen la curvatura y la torsión de α como la curvatura y la torsión, respectivamente, de su ¡ ¢ ¡ ¢ reparametrización por la longitud de arco: kα (t) := kβ g(t) y τα (t) := τβ g(t) , 42


donde, como es ya usual, representamos por g = h−1 . Buscamos entonces las expresiones adecuadas para kα (t) y τα (t) que sólo involucren a la propia curva α (véase también la proposición 1.2.3).

Proposición 1.3.5. Sea α : I −→ R3 una curva parametrizada regular. Entonces ¯ 0 ¯ ¯α (t) ∧ α 00 (t)¯ , (1.15) kα (t) = ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯3 ¡ ¢ det α 0 (t), α 00 (t), α 000 (t) . (1.16) τα (t) = − ¯ ¯ ¯α 0 (t) ∧ α 00 (t)¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ Demostración. Obsérvese que kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯β 0 (s) ∧ β 00 (s)¯ (β 0 y β 00 son ortogonales). Además, ¡ ¢ β 0 (s) = α 0 h(s) h0 (s), ¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 + h00 (s)α 0 h(s) , ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ β 000 (s) = α 000 h(s) h0 (s)3 + 3h0 (s)h00 (s)α 00 h(s) + h000 (s)α 0 h(s) . Sustituyendo en las fórmulas de la curvatura y la torsión, se obtienen las relaciones buscadas: ¯ 0 ¯ ¯¯ 0 ¡ ¢ 0 £ 00 ¡ ¢ 0 2 ¡ ¢¤¯¯ 00 00 0 ¯ ¯ kβ (s) = β (s) ∧ β (s) = ¯α h(s) h (s) ∧ α h(s) h (s) + h (s)α h(s) ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢¯ ¯ 0 00 h(s) ¯ ¯ ¯ ¡ α α h(s) ∧ ¯ ¢ ¡ ¢¯ ¯ ¯ , = h0 (s)3 ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯ = ¯ ¡ ¢¯3 ¯α 0 h(s) ¯ ¯ ¡ ¢¯ pues, recordemos, h0 (s) = 1/ ¯α 0 h(s) ¯ (véase la página 30); para la torsión, 0 ¡ ¢ ® det β 0 (s), β 00 (s), β 000 (s) β (s) ∧ β 00 (s), β 000 (s) =− ¯ τβ (s) = − ¯ ¯ ¯ ¯β 00 (s)¯2 ¯β 0 (s) ∧ β 00 (s)¯2 D ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢E h0 (s)3 α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) , h0 (s)3 α 000 h(s) =− ¯ ¢ ¡ ¢¤¯¯2 ¯ 0 3 £ 0¡ ¯h (s) α h(s) ∧ α 00 h(s) ¯ ³ ¡ D ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢E ¢ ¡ ¢ ¡ ¢´ det α 0 h(s) , α 00 h(s) , α 000 h(s) α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) , α 000 h(s) =− . =− ¯ ¡ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢¯ ¢ ¡ ¢¯ ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯2 ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯2 Esto concluye la demostración. 1.3.2.

Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en el espacio

El teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en el espacio establece que cualquier curva parametrizada regular en el espacio eucl´ıdeo R3 está determinada un´ıvocamente, salvo movimientos r´ıgidos, por su curvatura y su torsión. Antes de enunciar y demostrar este resultado, necesitamos el siguiente lema. 43


Lema 1.3.6. Sean α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., y Mx = Ax + b un movimiento r´ıgido. Sea β = M ◦ α . Entonces:

i) β está parametrizada por la longitud de arco; ii) kβ (s) = kα (s); iii) τβ (s) = ±τα (s) = (det A)τα (s) (dependiendo de que M sea directo o inverso). Demostración. Veamos i) y ii): como β 0 (s) = Aα 0 (s) y β 00 (s) = Aα 00 (s), se tiene que ¯ 0 ¯2 0 ® ® ® ¯β (s)¯ = β (s), β 0 (s) = Aα 0 (s), Aα 0 (s) = α 0 (s), α 0 (s) = 1, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯Aα 00 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯ = kα (s). Para demostrar el apartado iii), obsérvese que Atα (s) = Aα 0 (s) = β 0 (s) = tβ (s), µ 00 ¶ Aα 00 (s) β 00 (s) α (s) = = = nβ (s). Anα (s) = A kα (s) kα (s) kβ (s) ¿Qué vale entonces Abα (s)? Como A es una transformación ortogonal que conserva el producto escalar, llevará bases ortonormales a bases ortonormales; por lo tanto, ª © ª © Atα (s), Anα (s), Abα (s) = tβ (s), nβ (s), Abα (s) es también una base ortonormal, lo que implica que Abα (s) = ±bβ (s) = (det A)bβ (s) (vector unitario, ortogonal a tβ (s) y nβ (s)), dependiendo de que A sea directo o inverso. Luego D E ® ¡ ¢ ® τβ (s) = bβ0 (s), nβ (s) = ±Abα0 (s), nβ (s) = ± A τα (s)nα (s) , nβ (s) ® = ±τα (s) nβ (s), nβ (s) = ±τα (s). Teorema 1.3.7 (fundamental de curvas en R3 ). Sean k, τ : I −→ R funciones diferenciables, con k(s) > 0 para todo s ∈ I. Entonces existe una curva regular, p.p.a., α : I −→ R3 , cuya curvatura kα (s) = k(s) y cuya torsión τα (s) = τ (s), para todo s ∈ I. Además, si β : I −→ R3 es otra curva regular p.p.a. con curvatura kβ (s) = k(s) y torsión τβ (s) = τ (s), para todo s ∈ I, entonces existe un movimiento r´ıgido directo M : R3 −→ R3 , Mx = Ax + b, tal que β = M ◦ α .

Demostración. La prueba de la existencia de α no es constructiva, al contrario de lo que ocurr´ıa con el caso de curvas planas. Obsérvese que las fórmulas de Frenet (1.13) pueden verse como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en I × R9 , sin más que considerar como incógnitas las funciones coordenadas de los vectores ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ t(s) = t1 (s),t2 (s),t3 (s) , n(s) = n1 (s), n2 (s), n3 (s) , b(s) = b1 (s), b2 (s), b3 (s) . Fijadas entonces como condiciones iniciales s0 ∈ I y una base ortonormal positiª © vamente orientada t0 = (t10 ,t20 ,t30 ), n0 = (n01 , n02 , n03 ), b0 = (b01 , b02 , b03 ) , el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales asegura la existencia de una u´ nica aplicación diferenciable f : I −→ R9 , ¡ ¢ f (s) = t(s), n(s), b(s) , verificando (1.13) y tal que f (s0 ) = (t0 , n0 , b0 ) (obsérvese que el dominio de definición de f es el propio I, pues el sistema es lineal, véase [12]). 44


Veamos que la terna {t(s), n(s), b(s)} es una base ortonormal para todo s ∈ I. En efecto, utilizando las ecuaciones (1.13) podemos calcular las derivadas de los distintos productos escalares obtenidos con dichos vectores,

® ® ® ® d t(s), n(s) = k(s) n(s), n(s) − k(s) t(s), t(s) − τ (s) t(s), b(s) , ds ® ® ® d t(s), b(s) = k(s) n(s), b(s) + τ (s) t(s), n(s) , ds ® ® ® ® d n(s), b(s) = −k(s) t(s), b(s) − τ (s) b(s), b(s) + τ (s) n(s), n(s) , ds ® ® d t(s), t(s) = 2k(s) t(s), n(s) , ds ® ® ® d n(s), n(s) = −2k(s) t(s), n(s) − 2τ (s) n(s), b(s) , ds ® ® d b(s), b(s) = 2τ (s) n(s), b(s) , ds lo que vuelve a ser un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas incógnitas son ® ® ahora tales productos escalares. Es fácil ver que t(s), n(s) ≡ 0, t(s), b(s) ≡ 0, ® ® ® ® n(s), b(s) ≡ 0, t(s), t(s) ≡ 1, n(s), n(s) ≡ 1 y b(s), b(s) ≡ 1 es una solución de dicho sistema con condiciones iniciales 0, 0, 0, 1, 1, 1 en s0 . Por la unicidad de soluciones, obtenemos que la terna {t(s), n(s), b(s)} es una base ortonormal para todo s ∈ I, tal y como se quer´ıa demostrar. Finalmente, la curva buscada α : I −→ R3 se define trivialmente como µZ ¶ Z Z Z α (s) := t(s) ds = t1 (s) ds, t2 (s) ds, t3 (s) ds . Es claro que α 0 (s) = t(s) (y por tanto que α está p.p.a.) y que α 00 (s) = k(s)n(s) (utilizando el sistema (1.13)). En consecuencia, k(s) es la curvatura de α en s. Además, dado que α 000 (s) = k0 (s)n(s) − k(s)2 t(s) − k(s)τ (s)b(s), podemos utilizar la fórmula (1.14) y concluir que la torsión de α vale 0 ¢ ® ¡ α (s) ∧ α 00 (s), α 000 (s) det α 0 (s), α 00 (s), α 000 (s) =− − ¯ ¯ k(s)2 ¯α 00 (s)¯2 D ¢E ¡ ¢¡ t(s) ∧ k(s)n(s) , k0 (s)n(s) − k(s)2 t(s) − k(s)τ (s)b(s) =− k(s)2 ® ¡ ¢ = τ (s) t(s) ∧ n(s), b(s) = τ (s) det t(s), n(s), b(s) = τ (s). La demostración de la unicidad sigue las mismas pautas que en el caso de curvas planas. Supongamos por tanto que existen dos curvas α : I −→ R3 y β : I −→ R3 con igual curvatura, kα (s) = k(s) = kβ (s) e idéntica torsión, τα (s) = τ (s) = τβ (s). Fijamos s0 ∈ I. Representamos por {tα , nα , bα } y {tβ , nβ , bβ }, respectivamente, los triedros de Frenet de α y de β . Entonces, existe una u´ nica transformación ortogonal positiva A ∈ SO(3) del subgrupo especial ortogonal, tal que Atα (s0 ) = tβ (s0 ), Anα (s0 ) = nβ (s0 ) y Abα (s0 ) = bβ (s0 ). 45


Definimos el vector b := β (s0 ) − Aα (s0 ), y construimos el movimiento r´ıgido Mx := Ax + b. Sea γ = M ◦ α . Vamos a comprobar que γ ≡ β , lo que concluirá la demostración. Claramente, se satisfacen las siguientes igualdades:

γ (s0 ) = M α (s0 ) = Aα (s0 ) + b = β (s0 ), ¢0 ¡ t0γ (s0 ) = γ 0 (s0 ) = Aα + b (s0 ) = Aα 0 (s0 ) = Atα (s0 ) = tβ (s0 ), kγ (s) = kα (s) = kβ (s) = k(s)

τγ (s) = τα (s) = τβ (s) = τ (s) nγ (s0 ) =

γ 00 (s0 ) kγ (s0 )

=

Aα 00 (s0 ) kα (s0 )

=A

(lema 1.3.6), µ

α 00 (s0 ) kα (s0 )

¶

(lema 1.3.6, por ser M directo), = Anα (s0 ) = nβ (s0 ),

bγ (s0 ) = tγ (s0 ) ∧ nγ (s0 ) = tβ (s0 ) ∧ nβ (s0 ) = bβ (s0 ); esto es, tanto las curvas como sus triedros coinciden en s0 , además de coincidir las funciones curvatura y torsión. Definimos ahora la función ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯2 ´ 1 ³¯¯ tβ (s) − tγ (s)¯ + ¯nβ (s) − nγ (s)¯ + ¯bβ (s) − bγ (s)¯ , f (s) := 2 que verifica f (s0 ) = 0. Un sencillo cálculo permite comprobar que E D E D E D f 0 (s) = t0β − t0γ , tβ − tγ + nβ0 − nγ0 , nβ − nγ + bβ0 − bγ0 , bβ − bγ ® ® = knβ − knγ , tβ − tγ + −ktβ − τ bβ + ktγ + τ bγ , nβ − nγ ® + τ nβ − τ nγ , bβ − bγ = 0. En consecuencia, f es una función constante, y dado que f (s0 ) = 0, concluimos que f ≡ 0. Esto nos asegura a su vez que, en particular, tβ (s) = tγ (s) para todo s ∈ I, es decir, que (β − γ )0 (s) = 0. Y de nuevo utilizamos el mismo argumento: como β − γ es constante y β (s0 ) = γ (s0 ), podemos concluir finalmente que β ≡ γ . 1.4.

TEORÍA GLOBAL DE CURVAS PLANAS

En esta sección queremos describir algunos resultados que pertenecen a lo que se denomina la Geometr´ıa Diferencial global de curvas. Hasta ahora, las propiedades que hemos estudiado pueden aplicarse, no a toda la curva, sino a un entorno de un punto de la misma. Los resultados que veremos a continuación son globales: hacen referencia a toda la curva y a propiedades que afectan a la curva vista como un todo. Definición 1.4.1. Una curva parametrizada α : I −→ R2 es cerrada si es periódica, es decir, si existe un número real positivo a tal que α (t + a) = α (t), para todo t ∈ I. Se llama periodo de α al menor número positivo a que satisface dicha condición. Una curva es simple si, o bien es inyectiva, o bien es periódica de periodo a y, en este caso, verifica además que α (t1 ) = α (t2 ) si, y sólo si, t2 − t1 = na, n ∈ Z.

Figura 1.10: La figura ocho.

Ejemplo 1.11. La circunferencia α (t) = (cost, sent) es una curva cerrada y simple de periodo 2π . Por el contrario, la llamada figura ocho es una curva cerrada, con periodo también 2π , que no es simple. Su parametrización es α (t) = (sent, sen 2t), y su representación gráfica puede verse en la figura 1.10. ♦ 46


Uno de los teoremas globales de curvas planas más importantes (en realidad pertenece al a´ mbito de la Topolog´ıa) es el teorema de la curva de Jordan, cuya demostración, por su complejidad,5 no incluimos aqu´ı (puede consultarse en [30]). Teorema 1.4.2 (de la curva de Jordan). Sea α : I −→ R2 una curva cerrada y simple. Entonces, R2 \α (I) tiene, exactamente, dos componentes conexas, cuya frontera común es α (I).

Una de las dos componentes está siempre acotada (denominada interior de α ) y la otra no (llamada exterior de α ). As´ı, cuando hablemos del a´ rea acotada por una curva simple y cerrada α , estaremos refiriéndonos al a´ rea del interior de α . 1.4.1. Convexa

Curvas convexas

Definición 1.4.3. Se dice que una curva regular α : I −→ R2 es convexa si todas las rectas tangentes a α dejan su traza, α (I), totalmente contenida en uno de los dos semiplanos que dichas rectas determinan. Si representamos por R la componente interior de una curva α : I −→ R2 regular cerrada y simple, la definición anterior es equivalente a la siguiente:

No convexa

Definición 1.4.4. Una curva regular cerrada y simple α : I −→ R2 es convexa si, dados dos puntos cualesquiera de su componente interior R, el segmento que los une está totalmente contenido en R. Se dice entonces que R es un conjunto convexo.

Algunas de las medidas geométricas más importantes asociadas a una curva convexa y cerrada son el a´ rea, la longitud (o per´ımetro), el diámetro y la anchura. No convexa

Definición 1.4.5. Sea α : I −→ R2 una curva convexa y cerrada. Se define la anchura de α en la dirección u como la distancia entre las dos rectas paralelas tangentes a α , que son ortogonales a u. La mayor de todas estas anchuras es el diámetro de α .

Figura 1.11: Ejemplos de curvas convexas y no convexas.

Es sencillo comprobar que el diámetro de una curva convexa cerrada α coincide con la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera de α . Además, se dice que una curva tiene anchura constante si su anchura es la misma en cualquier dirección u. Existen muchas curvas de anchura constante; entre los ejemplos más conocidos nos encontramos con la circunferencia y los llamados pol´ıgonos de Reuleaux (éstos se obtienen a partir de los pol´ıgonos regulares con un número impar de lados, al sustituir cada arista por un arco de circunferencia, con centro el vértice opuesto, y radio la distancia de e´ ste a cualquiera de los vértices que determinan dicha arista). Vamos a calcular a continuación la longitud y el a´ rea de una curva α : I −→ R2 convexa y cerrada. Para ello, supongamos que el origen de coordenadas 0 es un punto interior a α . 5

Pese al enunciado sencillo, se trata de uno de los teoremas más profundos de una rama de la Topolog´ıa conocida como Topolog´ıa Algebraica.

47


Consideremos la recta tangente a α en un punto de la curva (x1 , x2 ) ∈ α (I), y la perpendicular a dicha recta que pasa por 0. Sea ϕ el a´ ngulo que forma esta perpendicular con el eje x (véase la figura 1.12). La distancia de 0 a la recta tangente es una función en ϕ periódica, y de periodo 2π ; representamos esta distancia por p(ϕ ). As´ı, siguiendo esta notación, la ecuación de la recta tangente a α en (x1 , x2 ) puede escribirse de la forma (1.17) x1 cos ϕ + x2 sen ϕ = p(ϕ ).

Derivando esta igualdad obtenemos −x1 sen ϕ +x2 cos ϕ = p0 (ϕ ), ecuación que, junto con (1.17), determina un sistema de ecuaciones del que podemos obtener las coordenadas x1 y x2 en función de ϕ y p(ϕ ). Esto nos da una representación paramétrica de la curva α , con parámetro ϕ : ( ¡ ¢ x1 (ϕ ) = p(ϕ ) cos ϕ − p0 (ϕ ) sen ϕ , (1.18) α (ϕ ) = x1 (ϕ ), x2 (ϕ ) con x2 (ϕ ) = p0 (ϕ ) cos ϕ + p(ϕ ) sen ϕ .

p(ϕ )

ϕ 0

α

Figura 1.12: Las coordenadas polares tangenciales.

¡ ¢ Por tanto, dados ϕ y p(ϕ ), queda determinado un u´ nico punto x1 (ϕ ), x2 (ϕ ) en la curva α . Y rec´ıprocamente, dado un punto (x1 , x2 ) ∈ α (I), existen ϕ y ¡ ¢ (x1 , x2 ) p(ϕ ) u´ nicos en las condiciones anteriores. El par ϕ , p(ϕ ) recibe el nombre de coordenadas polares tangenciales del punto (x1 , x2 ). Nos encontramos ya en disposición de calcular la longitud y el a´ rea de α . Sabemos que la longitud de una curva se obtiene integrando el módulo de su vector velocidad. As´ı pues, en el caso que nos ocupa, utilizando (1.18) obtenemos que Z 2π¯ Z 2πq Z 2π¡ ¯ ¢ ¯α 0 (ϕ )¯ d ϕ = p(ϕ )+p00 (ϕ ) d ϕ ; x10 (ϕ )2 + x20 (ϕ )2 d ϕ = L := L20π (α ) = 0

p0 ( ϕ )

0

0

una función periódica de periodo 2π (recuérdese que p(ϕ ) lo por u´ ltimo, al ser es), llegamos a la expresión final para la longitud de α , relación que se conoce como la fórmula de Cauchy: L=

Z 2π 0

p(ϕ ) d ϕ .

(1.19)

Observación 1.4. Si tenemos una curva convexa α cuya traza está contenida en la componente interior de otra curva α (esta u´ ltima, no necesariamente convexa), es claro que p(ϕ ) ≤ p(ϕ ); la fórmula de Cauchy nos asegura entonces que la longitud de la primera es siempre menor o igual que la longitud de la segunda. ♦ Calculemos finalmente el a´ rea de la curva α , la cual puede obtenerse como la integral de l´ınea (ds representa aqu´ı el elemento de l´ınea) Z Z Z ¯ 0 ¯ £ ¤ 1 2π 1 2π 1 ¯ ¯ p(ϕ ) α (ϕ ) d ϕ = p(ϕ ) p(ϕ ) + p00 (ϕ ) d ϕ . p(ϕ ) ds = A= 2 α 2 0 2 0 Resolviendo esta integral se llega finalmente a la llamada fórmula de Blaschke para el a´ rea de una curva cerrada: Z ¤ 1 2π £ p(ϕ )2 − p0 (ϕ )2 d ϕ . (1.20) A= 2 0 48


Ejemplo 1.12. Sea α : I −→ R2 convexa y cerrada. Vamos a calcular el a´ rea y la longitud de su curva paralela a distancia ρ (definición 1.2.8) en función del a´ rea A ¡ ¢ y la longitud L de α . Si las coordenadas polares tangenciales de α son ϕ , p(ϕ ) en ¡ ¢ ¡ ¢ un punto, las de la curva paralela αρP son ϕ , pρ (ϕ ) = ϕ , p(ϕ ) + ρ . Por tanto, un sencillo cálculo permite comprobar que la longitud y el a´ rea de αρP valen

Lρ =

Z 2π 0

pρ (ϕ ) d ϕ =

Z 2π £ 0

Z ¤ p(ϕ ) + ρ d ϕ =

2π

0

p(ϕ ) d ϕ + 2πρ = L + 2πρ ,

Z i i ¢2 1 2 π h¡ pρ (ϕ )2 − pρ0 (ϕ )2 d ϕ = p(ϕ ) + ρ − p0 (ϕ )2 d ϕ 2 0 0 Z 2π £ Z Z ¤ 1 1 2π 1 2π 2 2ρ p(ϕ ) d ϕ + p(ϕ )2 − p0 (ϕ )2 d ϕ + = ρ dϕ 2 0 2 0 2 0

Aρ =

1 2

Z 2π h

= A + ρ L + πρ 2 . Las relaciones obtenidas, Aρ = A + ρ L + πρ 2 ,

Lρ = L + 2πρ ,

(1.21)

se conocen con el nombre de fórmulas de Steiner.

♦

Vamos a demostrar un primer resultado global para curvas planas, el llamado teorema de Rosenthal y Szasz. Teorema 1.4.6 (de Rosenthal y Szasz). Toda curva convexa y cerrada, de longitud L y diámetro D, verifica L ≤ π D. La igualdad se alcanza si, y sólo si, la curva tiene anchura constante D. Demostración. Utilizando la fórmula de Cauchy (1.19), expresamos la longitud de la curva de la forma L=

Z 2π 0

p(ϕ ) d ϕ =

Z π 0

p(ϕ ) d ϕ +

Z 2π π

p(ϕ ) d ϕ =

Z π£ 0

¤ p(ϕ ) + p(ϕ + π ) d ϕ .

Obsérvese que p(ϕ ) + p(ϕ + π ) es, precisamente, la anchura de la curva en la dirección determinada por el a´ ngulo ϕ ; dado que el diámetro es la mayor de todas las anchuras, se tiene claramente que p(ϕ ) + p(ϕ + π ) ≤ D, luego L=

Z π£ 0

Z ¤ p(ϕ ) + p(ϕ + π ) d ϕ ≤

0

π

D d ϕ = π D.

La igualdad se alcanzará si, y sólo si, todas las anchuras son iguales (e iguales a D), esto es, si la curva es de anchura constante D. El siguiente resultado es un corolario inmediato al teorema anterior, aunque fue demostrado independientemente por Barbier, por lo que lleva su nombre. Corolario 1.4.7 (Teorema de Barbier). Todas la curvas convexas y cerradas de anchura constante D tienen la misma longitud: L = π D. 49


1.4.2.

´ La desigualdad isoperimetrica

Uno de los problemas más antiguos de la Geometr´ıa es el conocido problema isoperimétrico. Su origen es legendario, y se vincula a la fundación de la ciudad de Carthago (llamada por los fenicios Kart-Hadasht) en el siglo VIII a.C. Según el historiador griego Timaeus (356-260 a.C.), Carthago fue fundada en el año 814 a.C. por una expedición de fenicios de Tiro (L´ıbano) encabezados por una tal Elyssa quienes, tras desembarcar en Chipre (otra colonia fenicia) ponen rumbo al ´ norte de Africa, llegando a las costas de la actual Túnez. Sin embargo, la historia se confunde con la tradición y la leyenda, siendo la más conocida la romana, de la que tenemos conocimiento gracias a la Eneida de Virgilio: ... His commota fugam Dido sociosque parabat: conveniunt, quibus aut odium crudele tyranni aut metus acer erat; navis, quae forte paratae, corripiunt, onerantque auro: portantur avari Pygmalionis opes pelago; dux femina facti.

... Dido preparaba su fuga y reun´ıa los que hab´ıan de acompañarla, señalados entre los que más detestaban o tem´ıan al cruel tirano; apodéranse de unas naves que por dicha estaban aparejadas, y las cargan de oro; las riquezas del avaro Pigmalión van por el mar, y una mujer capitanea la empresa.

Devenere locos ubi nunc ingentia cernis Moenia surgentemque norae Carthaginis arcem, Mercatique solum, facti de nomine Bursam, Taurino quantum possent circumdare tergo...

Llegaron los fugitivos a estos sitios, donde ahora ves las altas murallas y el alcázar, ya comenzado a levantar, de la nueva Carthago, y compraron una porción de terreno, tal que pudiera toda ella cercarse con la piel de un toro, de donde le vino el nombre de Byrsa...

Virgilius, Aeneid I, 360-368

´ nos dice que tras una guerra civil en la ciudad fenicia de Tiro, el rey PigmaEsta lión (personaje histórico que gobernó dicha ciudad cerca de un siglo) vence dando 50


muerte al sumo sacerdote Acerbas (Siqueo, en la leyenda), apoderándose as´ı de sus enormes riquezas. Es entonces cuando la reina Elyssa (Dido, en la leyenda), hermana de Pigmalión y esposa de Acerbas, huye con sus partidarios y encabeza una expedición que atraviesa el Mediterráneo hasta llegar a las costas tunecinas, donde deciden establecerse, fundando as´ı la que fue capital del gran imperio cartaginés. Elyssa-Dido negocia con el rey de la tribu local libia la adquisición de tierras para fundar una ciudad, y e´ ste, reacio a la intrusión, les concede la porción de terreno que pudiesen abarcar con una piel de toro. La reina, haciendo gala de un gran ingenio, corta la piel en fin´ısimas tiras y forma una cinta de gran longitud (una curva), con la que consigue delimitar una extensa porción de tierra; para ello, tiene en cuenta además la privilegiada situación de la ciudad: su ubicación junto a las costas del Mediterráneo. ¿Qué curva dibujó Dido con la cinta de que dispon´ıa para abarcar un recinto de a´ rea máxima, considerando además que se encontraban junto a las costas del Mediterráneo? Los griegos ya conoc´ıan el hecho de que, en el plano, la curva que encierra a´ rea máxima entre todas las que tienen una longitud fija es la circunferencia, aunque no nos ha llegado a nosotros ninguna demostración de esa e´ poca. Esta afirmación es equivalente a decir que si α es una curva cerrada en el plano con a´ rea A y longitud L, entonces L2 ≥ 4π A, dándose la igualdad si, y sólo si, α es una circunferencia. Esta relación se conoce como la desigualdad isoperimétrica clásica. Si volvemos al problema de la fundación de Carthago, la solución dada por la reina Dido a la pregunta anterior fue una semicircunferencia con la costa africana como base, a la que corta ortogonalmente. Este tipo de problemas, en los que se fija una curva como parte de la frontera, se conocen como problemas de tipo Dido. ´ Figura 1.13: El problema clasico de Dido.

A mediados del siglo XIX, Jakob Steiner dio diversas demostraciones de la desigualdad isoperimétrica, aunque no eran rigurosas pues no resolv´ıan el problema en su totalidad; lo que en realidad probaba era que, en caso de existir una curva o´ ptima, deb´ıa ser una circunferencia. Weierstrass apuntó la necesidad de demostrar también la existencia de una solución o´ ptima, lo que no está siempre asegurado; de hecho, si se presupone siempre la existencia, se puede incurrir en contradicciones. La prueba que presentamos resuelve el problema isoperimétrico en el plano (la desigualdad tiene su análogo en dimensión arbitraria), y fue obtenida por Schmidt en 1939 (véase [37]). Obsérvese que no es necesario que la curva sea convexa. Teorema 1.4.8 (La desigualdad isoperimétrica). Entre todas las curvas simples y cerradas de longitud dada L, la que encierra mayor a´ rea es la circunferencia. En otras palabras; si A es el a´ rea de la región acotada por una curva simple y cerrada α de longitud L, entonces L2 ≥ 4π A,

alcanzándose la igualdad si, y sólo si, α es una circunferencia.

51


En su demostración, vamos a utilizar la siguiente fórmula6 para el a´ rea A acotada por una curva cerrada, simple y positivamente orientada α (t) = (x1 (t), x2 (t)), donde t ∈ [a, b] es un parámetro arbitrario:

A= α

ℓ1

ℓ2

p

6y

γ p 0

-

´ de Figura 1.14: Demostracion ´ la desigualdad isoperimetrica.

Z b£ a

Z b Z b ¤ x1 (t)x20 (t) − x2 (t)x10 (t) dt = x1 (t)x20 (t) dt = − x2 (t)x10 (t) dt. (1.22) a

a

Demostración. Sean e1 y e2 dos rectas paralelas que no intersecan a la curva α . Movemos estas rectas en la dirección ortogonal a las mismas, hasta que sean tangentes a α en dos puntos p0 y p; llamamos `1 y `2 , respectivamente, a tales rectas (véase la figura 1.14). Sea además γ una circunferencia que no corta a α y que es tangente a `1 y `2 en los puntos p0 y p, respectivamente. Representaremos por r el radio de dicha circunferencia y por 0 su centro.

p0

p0

1 2

x

Tomamos 0 como el origen de coordenadas de un sistema de referencia 0xy, para el cual el eje x es ortogonal a las rectas `1 y `2 . Suponemos además que α está orientada en el sentido de las agujas del reloj, y parametrizada por la longitud de arco, ¡ ¢ digamos α (s) = x(s), y(s) , de forma que α (0) = α (L) = p (la curva es cerrada) y α (s0 ) = p0 para un cierto valor del parámetro s0 ∈ (0, L). Entonces, parametrizamos ¡ ¢ la circunferencia γ de la siguiente forma: γ (s) = z(s), ω (s) , donde ( p − r2 − x(s)2 si 0 ≤ s ≤ s0 p z(s) = x(s), ω (s) = r2 − x(s)2 si s0 ≤ s ≤ L. El a´ rea encerrada por la circunferencia γ es, claramente, π r2 . Utilizando dos de las expresiones que aparecen en la fórmula (1.22), obtenemos que las a´ reas de las curvas α y γ se pueden escribir, respectivamente, de la forma

A=

Z L

0

x(s)y (s) ds,

0

Por lo tanto, A + π r2 = =

Z L¡ 0

2

πr = −

Z L 0

0

ω (s)z (s) ds = −

0

ω (s)x0 (s) ds.

Z L¯ ¯ ¢ ¯x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s)¯ ds x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s) ds ≤ 0

(1.23)

Z L ¯D¡ ¢E¯¯ ¢¡ ¯ ¯ x0 (s), y0 (s) , −ω (s), x(s) ¯ ds 0

Z L ¯¡ ¢¯¯ ¢¯¯¯¯¡ ¯ 0 ≤ ¯ x (s), y0 (s) ¯¯ −ω (s), x(s) ¯ ds 0

=

Z L

Z Lq 0

x0 (s)2 + y0 (s)2

(1.24)

q x(s)2 + ω (s)2 ds.

Como la curva α está p.p.a., se tiene que x0 (s)2 + y0 (s)2 = 1, y en consecuencia, Z Lq Z Lq q x0 (s)2 + y0 (s)2 x(s)2 + ω (s)2 ds = x(s)2 + ω (s)2 ds = rL. A + π r2 ≤ 0

6

0

La primera igualdad se obtiene usando la fórmula de Green en el plano (véase el teorema 6.1.8). ¡ ¢0 Las siguientes son consecuencia inmediata de que x1 (t)x2 (t) = x10 (t)x2 (t) + x1 (t)x20 (t), y de que la curva es cerrada.

52


Utilizando ahora la desigualdad existente entre las medias geométrica y aritmética de dos números positivos cualesquiera (la primera es menor o igual que la segunda, dándose la igualdad si, y sólo si, ambos números son iguales), tenemos que √ A + π r2 rL ≤ . A π r2 ≤ 2 2

(1.25)

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la relación anterior, se obtiene de forma inmediata la desigualdad isoperimétrica: Aπ r2 ≤ r2 L2 /4, esto es, L2 ≥ 4π A.

Para concluir la demostración es necesario probar que la igualdad se alcanza si, y sólo si, α es una circunferencia de longitud L. Supongamos que se verifica L2 = 4π A. Entonces, todas las desigualdades que aparecen en la demostración, esto es, (1.23), (1.24) y (1.25), deben ser igualdades. La igualdad en (1.25) implica que A = π r2 , en cuyo caso, L2 = 4π 2 r2 . Esto es, L = 2π r, lo que prueba que el radio r es constante, no dependiendo de la elección de las rectas `1 y `2 . La igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.24) se tiene si, y sólo si, los dos vectores son proporcionales. Luego existe una constante c tal que ¢ ¡ ¢ ¡ −ω (s), x(s) = c x0 (s), y0 (s) , de donde se deduce, tomando módulos, la re¯¡ ¯¡ ¢¯ ¢¯ lación ¯ −ω (s), x(s) ¯ = |c| ¯ x0 (s), y0 (s) ¯. En consecuencia, la constante c (su valor absoluto) es q

|c| =

ω (s)2 + x(s)2 = r.

Por otro lado, x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s) =

¯¡ ¢¯2 ¡ ¢¡ ¢® −ω (s), x(s) , x0 (s), y0 (s) = c¯ x0 (s), y0 (s) ¯

= c = ±r. La igualdad en (1.23) implica que x(s)y0 (s)− ω (s)x0 (s) > 0, y en consecuencia, por el apartado anterior, que c = r.

En particular se tiene que x(s) = ry0 (s). Finalmente, debido a que r es constante y no depende de las rectas `1 y `2 , será también independiente de la elección de los ejes coordenados. Podemos por tanto intercambiar x(s) e y(s) en la u´ ltima relación, obteniéndose as´ı que y(s) = rx0 (s). En consecuencia, ¡ ¢ x(s)2 + y(s)2 = r2 x0 (s)2 + y0 (s)2 = r2 , ¡ ¢ lo que prueba que α (s) = x(s), y(s) es una circunferencia. Esto concluye la demostración de la desigualdad isoperimétrica. Un excelente survey sobre el problema isoperimétrico puede encontrarse en [33]. La desigualdad isodiamétrica (o teorema de Bieberbach) se puede obtener como una sencilla consecuencia de la desigualdad isoperimétrica y del teorema 1.4.6 de Rosenthal y Szasz previamente demostrado: 53


Corolario 1.4.9 (Teorema de Bieberbach). Si A es el a´ rea de la región encerrada por una curva convexa y cerrada α de diámetro D, entonces

4A ≤ π D2 , alcanzándose la igualdad si, y sólo si, α es una circunferencia. Demostración. El teorema 1.4.6 nos asegura que π D ≥ L. Elevando ambos lados de la desigualdad al cuadrado y uniendo la relación resultante a la desigualdad isoperimétrica, obtenemos que π 2 D2 ≥ L2 ≥ 4π A, es decir, π D2 ≥ 4A. Para que se alcance la igualdad, e´ sta debe darse en las dos desigualdades que entran en juego; por tanto, sólo para la circunferencia.

54


EJERCICIOS Ejercicio 1.1 (La espiral logar´ıtmica). Sea α : R −→ R2 la curva parametrizada por α (t) = aebt (cost, sent), donde a > 0 y b < 1. Esta curva recibe el nombre de espiral logar´ıtmica (véase la figura 1.15). Calcular la función longitud de arco de α . Reparametrizar α por la longitud de arco.

Figura 1.15: Espiral logar´ıtmica.

No es de extrañar que esta espiral sea la forma elegida por la Naturaleza en muy diversas situaciones (véase la figura 1.16) pues, en lo que respecta a la dinámica de poblaciones y la evolución celular, debemos observar que la velocidad de crecimiento siempre es proporcional a la cantidad de efectivos de la población en el instante presente. De ah´ı resulta, en ausencia de factores que limiten el crecimiento, una sencilla ecuación diferencial cuya solución es la función exponencial que aparece en la fórmula de la espiral logar´ıtmica donde los números a y b son, sencillamente, las constantes de integración en esta ecuación diferencial.

Figura 1.16: La espiral

logarıtmica aparece en el ´ mundo vegetal, animal, en las borrascas, las galaxias...

Esta curva fue estudiada por primera vez por Descartes, y más tarde por Jakob Bernoulli, quien la bautizó como la Spira Mirabilis (((espiral maravillosa))). Bernoulli quiso que esta curva apareciese grabada en su lápida con la inscripción Eadem mutata resurgo (((resurjo igual pero cambiada))). Sin embargo, un error hizo que en su lugar se dibujase una espiral de Arqu´ımedes (véanse las figuras 1.17 y 1.18).

Figura 1.17: Detalle de la tumba de Jakob Bernoulli en el claustro de la catedral de Basilea, Suiza (foto original).

55


La espiral logar´ıtmica se diferencia de la de Arqu´ımedes en que las distancias entre su brazos aumentan en progresión geométrica, mientras que en la segunda, dichas distancias son constantes (véanse la figura 1.18 y la práctica A.17).

Figura 1.18: La espiral de Arqu´ımedes.

Ejercicio 1.2 (La tractriz). Sea α : (0, π /2) −→ R2 la curva tractriz, dada por ¡ ¢ α (t) = sent, cost + log tg(t/2) (véase la figura 1.19). Demostrar que la longitud del segmento de recta tangente a la tractriz entre el punto de tangencia y el eje y es constante. Reparametrizar esta curva por la longitud de arco.

La tractriz recibe también el nombre de curva de la persecución, pues describe la trayectoria seguida por un objeto que se desplaza a velocidad constante y que persigue de forma o´ ptima a otro objeto que se mueve en l´ınea recta a velocidad (distinta) también constante. Ejercicio 1.3. Sean α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a. y M : R2 −→ R2 , Mx = Ax + b, un movimiento r´ıgido. Sea β = M ◦ α . Demostrar que la curva β también está p.p.a., que su longitud Lab (β ) = Lab (α ), para cualesquiera a, b ∈ I, y que su curvatura kβ (s) = ±kα (s) = (det A)kα (s), para todo s ∈ I.

Figura 1.19: La tractriz.

Ejercicio 1.4. Determinar la curva plana p.p.a. cuya curvatura viene dada por la función k(s) = 1/s, s > 0. Ejercicio 1.5. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. Probar que α es un segmento de recta o un arco de circunferencia si, y sólo si, su curvatura es constante. Ejercicio 1.6. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. Probar que α es un segmento de recta si, y sólo si, todas sus rectas tangentes son paralelas, y que α es un arco de circunferencia si, y sólo si, todas sus rectas normales pasan por un punto común. Ejercicio 1.7. Demostrar que una curva regular α : I −→ R2 p.p.a. es un segmento de recta o un arco de circunferencia si, y sólo si, todas sus rectas tangentes equidistan de un punto fijo. Ejercicio 1.8. Sea α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a. Supongamos que existe ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ s ∈ I tal que ¯α (s)¯ ≤ ¯α (s0 )¯, para todo s ∈ I. Demostrar que ¯α (s0 )¯ > 0 y que ¯ ¯ ¯ ¯0 ¯k(s0 )¯ ≥ 1/ ¯α (s0 )¯. Ejercicio 1.9. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. con k(s) 6= 0 para todo s ∈ I. Probar que todas las rectas normales a α equidistan de un punto si, y sólo si, existen √ a, b ∈ R tales que k(s) = ±1/ as + b para todo s ∈ I. Ejercicio 1.10. Demostrar que la evoluta de una curva parametrizada regular plana es independiente de la parametrización, mientras que su curva paralela es independiente de cualquier parametrización que conserve la orientación. Ejercicio 1.11. Supongamos que una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a. tiene curvatura positiva y no decreciente. Si β : I −→ R2 es su evoluta, demostrar que Las (β ) = 1/k(a) − 1/k(s), donde a ∈ I es arbitrario y s ∈ I con s ≥ a. 56


Ejercicio 1.12 (La cicloide). La curva cicloide α (t) = (t − sent, 1 − cost) (véase la figura 1.20) es una de las curvas clásicas más importantes, por muy diferentes motivos. Se construye del siguiente modo: un c´ırculo de radio 1 en el plano gira sin deslizarse sobre el eje x; la figura descrita por un punto de la circunferencia es la cicloide (véase la práctica A.35).

Figura 1.20: La cicloide.

Entre otras muchas bellas propiedades de esta curva, cabe destacar: es la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad); resuelve el problema de la tautocrona (descubierto por Christian Huygens: si despreciamos el rozamiento e invertimos una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, e´ sta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida). Demostrar que la evoluta de la cicloide también es una cicloide. Ejercicio 1.13. Probar que la evoluta de la espiral logar´ıtmica es también una espiral logar´ıtmica (en realidad, la espiral logar´ıtmica es la u´ nica curva que verifica que su evoluta, su involuta, su cáustica y su podaria7 son, a su vez, una espiral logar´ıtmica –de ah´ı la inscripción elegida por Bernoulli, véase el ejercicio 1.1). Ejercicio 1.14. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Demostrar que α es un segmento de recta si, y sólo si, su curvatura k ≡ 0, mientras que α es un arco de circunferencia si, y sólo si, k > 0 es constante y τ ≡ 0.

Ejercicio 1.15. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. con curvatura k 6= 0. i) Demostrar que α es un arco de circunferencia si, y sólo si, k > 0 es constante y su traza está contenida en un esfera. ii) Sea α (t) = (2 cost, 2 sent,t). Calcular k(t). ¿Es α un arco de circunferencia? Ejercicio 1.16 (Curvas esféricas). Una curva regular α : I −→ R3 (p.p.a.) es una curva esférica si su gráfica está contenida en una esfera, esto es, si α (I) ⊂ S2 (r). i) Demostrar que una curva esférica tiene curvatura k ≥ 1/r. ii) Se llama recta binormal de α en s a la recta que pasa por α (s) con dirección b(s). Supongamos que todas las rectas binormales de α (curva esférica) son tangentes a S2 (r). Demostrar que α es un arco de circunferencia máxima. 7

La cáustica y la podaria son dos métodos de derivar una nueva curva a partir de una curva dada y un punto, véanse [8, 17].

57


Ejercicio 1.17 (Teorema de Lancret). Una curva regular α : I −→ R3 es una hélice generalizada si todas sus rectas tangentes forman un a´ ngulo constante con una dirección fija. Demostrar el teorema de Lancret (1802):

Una curva regular α : I −→ R3 p.p.a., con curvatura k > 0 es una hélice generalizada si, y sólo si, existe una constante c tal que τ (s) = ck(s) para todo s ∈ I. Ejercicio 1.18. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0. i) Demostrar que α es una hélice generalizada si, y sólo si, el vector normal n es ortogonal en todo punto a un vector fijo u (unitario). ii) Sea β (s) =

Z s 0

b(t) dt. Probar que β está p.p.a. y calcular su curvatura, torsión

y triedro de Frenet, en función de los correspondientes elementos de α . iii) Concluir que α es una hélice generalizada si, y sólo si, β también lo es. Ejercicio 1.19. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0, verificando además τ (s) 6= 0 para todo s ∈ I. Demostrar que α está contenida en una esfera de radio r > 0 si, y sólo si, k0 (s)2 1 = r2 . + k(s)2 k(s)4 τ (s)2

Ejercicio 1.20. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k positiva y torsión τ ≡ τ0 6= 0 constante. Probar que la traza de α está contenida en una esfera ¢ ¡ si, y sólo si, existen a, b ∈ R tales que k(s) = 1/ a cos(τ0 s) + b sen(τ0 s) . Ejercicio 1.21 (La velocidad angular). Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0. Probar que existe una curva ω : I −→ R3 tal que las fórmulas de Frenet de α se pueden expresar de la forma t0 (s) = ω (s) ∧ t(s),

n0 (s) = ω (s) ∧ n(s),

b0 (s) = ω (s) ∧ b(s).

El vector ω (s) se denomina la velocidad angular de α en s. Demostrar que α tiene velocidad angular constante si, y sólo si, su curvatura y su torsión son constantes. Ejercicio 1.22. Sea AB un segmento de recta, y sea ` un número fijo estrictamente mayor que la longitud del segmento AB. Demostrar que la curva α que une A y B de longitud `, tal que α junto con AB acota la mayor a´ rea posible, es un arco de circunferencia que pasa por A y B.

58

II

Las superficies regulares En este cap´ıtulo introducimos el concepto más importante del libro: el de superficie regular. Una superficie regular es, intuitivamente, un subconjunto de R3 que resulta de tomar trozos de planos, doblarlos de forma suave y pegarlos sin que se note dicha unión. La formulación matemática precisa no es trivial y su sofisticación excede, con mucho, a la definición que hemos presentado de curva regular. La primera sección de este cap´ıtulo está dedicada a presentar este nuevo concepto y a estudiar sus primeras propiedades. As´ı, después de definir una superficie regular, damos varios ejemplos que ilustran dicha definición. Posteriormente, proporcionamos algunos criterios para determinar si un cierto subconjunto de R3 es, o no, una superficie regular. La necesidad de estos criterios viene dada por la propia definición de superficie: e´ sta no es operativa si tuviéramos que utilizarla para comprobar si un determinado subconjunto es una superficie regular. A continuación, estudiamos algunas propiedades de las superficies regulares. Se demuestra que, localmente, toda superficie regular es difeomorfa a un abierto del plano. De hecho, este difeomorfismo puede tomarse como el grafo de una función diferenciable. Esta propiedad simplifica bastante todas las cuestiones para superficies que pueden plantearse localmente (en términos de un entorno suficientemente pequeño). El siguiente ep´ıgrafe plantea el problema de las coordenadas. Al contrario de lo que ocurre con las curvas (donde existe un parámetro distinguido, la longitud de arco) en superficies no existen parámetros preferentes, por lo que tenemos que dar cabida a toda una familia más o menos amplia de sistemas coordenados. Estos sistemas, pese a su diversidad, tienen la virtud de poder intercambiarse unos con otros sin mayor problema. En términos más precisos, el cambio de unas coordenadas a otras se efectúa mediante un difeomorfismo entre abiertos del plano de suerte que las propiedades más importantes (relativas a la diferenciabilidad, por ejemplo) definidas en términos de coordenadas se conservarán, con independencia de las coordenadas utilizadas. Las tres siguientes secciones del cap´ıtulo están dedicadas al estudio del Cálculo en superficies. Se define as´ı lo que se entiende por una función diferenciable entre superficies y se construye el plano tangente, para dar paso a la diferencial de una aplicación. Presentamos también en esta sección la generalización inmediata de los teoremas estándar del Cálculo en varias variables para superficies regulares. Finalizamos el cap´ıtulo con la sección quinta, que nos introduce de lleno en la Geometr´ıa Diferencial de Superficies. La manera de hacer geometr´ıa en una superficie consiste en inducir el producto escalar ordinario en los planos tangentes. A partir de aqu´ı puede construirse toda la geometr´ıa sobre la superficie: medir longitudes,

59


a´ ngulos y a´ reas. El producto escalar inducido sobre la superficie (o que hereda la superficie) se denomina ((primera forma fundamental)) y es la piedra angular sobre la que se va a construir el resto de la teor´ıa de este libro. 2.1.

´ DE SUPERFICIE DEFINICION

La noción más importante de este texto y de la Geometr´ıa Diferencial clásica es el de superficie regular. Una superficie regular es, en primera instancia, la generalización a dos dimensiones del concepto de curva regular. No obstante, debemos enfatizar que esta generalización no es directa, ya que requiere un punto de vista radicalmente opuesto al que hemos adquirido con relación a las curvas en el cap´ıtulo 1. As´ı, si en aquel contemplábamos una curva como una aplicación (curva parametrizada), en e´ ste veremos una superficie como un objeto dentro de R3 con una serie de propiedades más o menos restrictivas. Además, dicho objeto admitirá infinitas parametrizaciones siempre y cuando e´ stas cumplan ciertos requisitos. En otras palabras, si para una curva se hace especial e´ nfasis en que es importante la manera en la que e´ sta se ((recorre)) (es decir, la parametrización utilizada), para el caso de una superficie nos interesa primordialmente la ((traza)) o imagen como subconjunto en R3 de todas las parametrizaciones posibles.1 Definición 2.1.1. Un subconjunto no vac´ıo S ⊂ R3 es una superficie regular si para todo punto p de S existen un abierto U ⊂ R2 , un entorno V de p en S (con la topolog´ıa relativa de S ⊂ R3 ) y una aplicación X : U −→ R3 , tales que S1) X(U) = V y X : U −→ R3 es diferenciable en el sentido ordinario, S2) X : U −→ V es un homeomorfismo (es decir, la inversa X −1 : V −→ U también es continua) y S3) para todo q ∈ U, la diferencial dXq : R2 −→ R3 es inyectiva. La aplicación X se llama parametrización, carta o sistema de coordenadas. El entorno V se llama entorno coordenado. Observación 2.1. ¿Qué significan las condiciones anteriores? (véase la figura 2.1). i) La aplicación X : U −→ V es diferenciable. Esto significa que si escribimos ¡ ¢ X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , las funciones x, y, z : U −→ R son derivables con derivadas continuas de todos los o´ rdenes. ii) Al decir que V es un entorno de p en el subconjunto S con la topolog´ıa relativa, queremos decir que existe un abierto W de R3 tal que V = W ∩ S. 1

Esta diferencia puede plantear dificultades inicialmente para entender el concepto de superficie. As´ı, algunos textos optan por introducir en primer lugar el concepto de superficie parametrizada como una aplicación que extiende de forma natural la noción de curva regular. El problema de esta forma de proceder radica en que una superficie parametrizada es un objeto bastante restrictivo, y deja fuera muchas superficies regulares comunes como, por ejemplo, la esfera.

60

Las superficies regulares

iii) A diferencia de las curvas, que hemos definido como una aplicación, una superficie es un subconjunto de R3 con unas propiedades muy especiales. iv) La condición S1) nos permite asegurar que la superficie S es suave en el sentido de que no tiene aristas ni vértices. v) Con la condición S2) se evita que la superficie S tenga autointersecciones. Esto es muy importante con vistas a conseguir unicidad a la hora de definir el plano tangente a la superficie en un punto. vi) La condición S3) es esencial para asegurar la existencia del plano tangente en todos los puntos de S. Es una hipótesis similar a que α 0 (t) 6= 0 en el caso de una curva regular. ♦ z 6 V =W ∩S

W 6

X(q) = p

R2 X

U

-

S

(u, v)

-

U X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v)

q

y x

´ Figura 2.1: Definicion

=

de superficie regular.

-

R3

En definitiva, nos podr´ıamos preguntar: ¿qué es una superficie? De un modo informal, podemos decir que una superficie se obtiene tomando trozos de plano, deformándolos, doblándolos y encajándolos de forma que la figura resultante no tenga vértices, lados o autointersecciones. Pero indaguemos un poco más en la condición S3). ¿Cómo podemos interpretarla? Dada la parametrización X : U −→ V , su diferencial en un punto q de U es la aplicación dXq : R2 −→ R3 dada por     ∂x ∂x Ã ! Ã ! Ã ! x (q) x (q) ∂ u (q) ∂ v (q) u v   ∂y v1 v v1   1 , = yu (q) yv (q) = dXq (v) = JX(q) (q) ∂∂ yv (q)   ∂ u v2 v2 v2 ∂z ∂z zu (q) zv (q) (q) (q) ∂u

∂v

para cada vector v = (v1 , v2 ) de R2 . Al ser dXq una aplicación lineal, e´ sta queda completamente determinada si sabemos cómo actúa sobre los vectores de una base. As´ı, vamos a escribir ¡ ¢ ∂X (q) = dXq (e1 ) = xu (q), yu (q), zu (q) , ∂u ¡ ¢ ∂X (q) = dXq (e2 ) = xv (q), yv (q), zv (q) . Xv (q) = ∂v

Xu (q) =

61


(−ε , ε )

α - 2 R

@ @ β = X ◦ α@ @ @ R @

X ?

S ⊂ R3

Por tanto, la condición de que dXq sea inyectiva es equivalente a que el rango ¡ ¢ de la matriz jacobiana JX(q) sea máximo, es decir, que rg JX(q) = 2. Esto es lo © ª mismo que exigir que los vectores Xu (q), Xv (q) sean linealmente independientes, hecho que nos va a asegurar la existencia del plano tangente. La diferencial de X puede verse de modo alternativo. Dada una curva parametrizada α : (−ε , ε ) −→ R2 tal que α (0) = q y α 0 (0) = v, podemos tomar la curva en la ¡ ¢ superficie β = X ◦ α : (−ε , ε ) −→ S, para la cual β (0) = X α (0) = X(q). Aplicando la regla de la cadena se tiene ¯ ¡ ¢ d ¯¯ 0 0 β (0) = (X ◦ α ) (0) = ¯ (X ◦ α )(t) = dXα (0) α 0 (0) = dXq (v). dt t=0

Obsérvese que es indiferente la elección de la curva α , ya que sólo influye su valor en t = 0: solamente necesitamos que α sea una curva con condiciones iniciales α (0) = q y α 0 (0) = v. A efectos prácticos, podemos tomar como α la recta α (t) = q + tv. A continuación, vamos a ver algunos ejemplos de superficies regulares. Ejemplo 2.1 (El plano). Sea Π el subconjunto de R3 dado por © ª Π = (x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d , donde a, b, c no se anulan simultáneamente (véase la figura 2.2). Sin pérdida de generalidad, suponemos que c 6= 0; entonces, podemos despejar la coordenada z como z = (d − ax − by)/c. Tomamos ahora U = R2 , V = Π (el entorno coordenado va a ser, en este caso, toda la superficie), y sea X : U −→ V la aplicación dada por ¶ µ d − au − bv . X(u, v) = u, v, c Entonces se tiene claramente que: i) X es diferenciable pues es lineal. ii) X −1 : Π −→ U es la proyección ortogonal sobre el plano z = 0, que es claramente continua, y por tanto, X es un homeomorfismo. Figura 2.2: El plano.

iii) Los vectores Xu = (1, 0, −a/c) y Xv = (0, 1, −b/c) son linealmente independientes, y en consecuencia, dXq es inyectiva para todo q. ♦ Ejemplo 2.2 (La esfera). Sea S2 el siguiente subconjunto de R3 : © ª S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 (la esfera unidad, véase la figura 2.3). Definimos X1 : U −→ R3 como ´ ³ p X1 (u, v) = u, v, 1 − u2 − v2 , © ª donde U = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1 . 62


Figura 2.3: La esfera.

Es claro que X1 es diferenciable en U, por lo que se tiene S1). Además, X1−1 es la proyección ortogonal sobre el plano z = 0, que también es continua; luego X1 es un homeomorfismo sobre la imagen X1 (U) y se verifica S2). Por u´ ltimo, se tiene que ¶ µ ¶ µ −v −u , (X1 )v = 0, 1, √ (X1 )u = 1, 0, √ 1 − u2 − v2 1 − u2 − v2 son linealmente independientes, por lo que d(X1 )q es inyectiva y se cumple S3). En consecuencia X1 es una parametrización. Para ver que S2 es una superficie regular, hay que comprobar que existen parametrizaciones para todos los puntos de S2 . Con X1 se cubren todos los puntos que cumplen z > 0 pero... ¿cuántas necesitamos realmente? La respuesta se obtiene fácilmente. √ ¢ ¡ Si tomamos X2 (u, v) = u, v, − 1 − u2 − v2 , con (u, v) ∈ U, se comprueba de nuevo que X2 es una parametrización que cubre todos los puntos de S2 tales que z < 0; as´ı pues, con X1 y X2 tenemos cubiertos los hemisferios norte y sur (abiertos), pero no los puntos del ecuador. Para cubrir toda la esfera S2 todav´ıa necesitamos las pa√ ¢ ¢ ¡ ¡ √ rametrizaciones X3 (u, v) = u, 1 − u2 − v2 , v y X4 (u, v) = u, − 1 − u2 − v2 , v , que completan el cubrimiento de S2 salvo los dos puntos del ecuador que interse¢ ¡√ 1 − u2 − v2 , u, v y can al eje x. Finalmente, con las parametrizaciones X5 (u, v) = ¢ ¡ √ X6 (u, v) = − 1 − u2 − v2 , u, v cubrimos toda la esfera S2 . ♦ Como vemos, no resulta sencillo encontrar todas las parametrizaciones de una superficie cualquiera, incluso cuando e´ sta es tan conocida como la esfera. De hecho, una misma superficie puede ser parametrizada de muy distintas formas, y unas parametrizaciones serán más adecuadas que otras según el fin que estemos persiguiendo. Para ilustrar esta afirmación, veamos otras maneras de parametrizar la esfera. Ejemplo 2.3 (La esfera –coordenadas geográficas). Consideramos la aplicación X : U = (0, π ) × (0, 2π ) −→ S2 dada por

X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ). El a´ ngulo θ se denomina la colatitud y ϕ la longitud. Como ejercicio sencillo, proponemos comprobar que X es una parametrización de la esfera (véase la figura 2.4). No obstante, el abierto X(U) no cubre todo S2 , pues el meridiano ϕ = 0 no está incluido. Por ello es necesaria, al menos, una parametrización más, cuya expresión es muy similar a la de X y que, en este caso, deja fuera la mitad del ecuador. ♦ z 6 N

z 6

p

N

θ y

q

-

y

ϕ

Figura 2.4: Coordenadas ´ geograficas (izquierda) y

x

´ estereografica ´ proyeccion

=

(derecha).

63

-

π (q) x S

=

π (p)


Ejemplo 2.4 (La esfera –proyección estereográfica). Para finalizar con el estudio ´ de la esfera, vamos a definir a continuación la proyección estereográfica. Esta determina una parametrización de la esfera que excluye un u´ nico punto. Para construirla, consideremos la esfera S2 dada por la ecuación x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, de suerte que el polo sur S es el origen de coordenadas. Sea ahora π : S2 \{N} −→ R2 , con N = (0, 0, 2), la aplicación definida por

π (x, y, z) = intersección del plano z = 0 con la recta que pasa por (x, y, z) y N (véase la figura 2.4). Si llamamos π (x, y, z) = (u, v), entonces definimos X de la forma X = π −1 : R2 −→ S2 , que está dada por ¶ µ 4v 2(u2 + v2 ) 4u . , , X(u, v) = u2 + v2 + 4 u2 + v2 + 4 u2 + v2 + 4 Un ejercicio sencillo consiste en comprobar que X es una parametrización de la esfera. De forma análoga puede construirse la proyección estereográfica desde cualquier punto. De hecho, no es esencial trabajar con la esfera centrada en el punto (0, 0, 1), sino que es posible definir la proyección estereográfica para una esfera centrada en el origen, de cualquier radio y proyectando sobre el plano z = 0. ♦ 2.1.1.

´ ´ de superficies Criterios practicos para la determinacion

Como se aprecia en los ejemplos anteriores, puede resultar complicado comprobar si un determinado subconjunto S ⊂ R3 es una superficie. En este ep´ıgrafe vamos a estudiar algunos criterios para determinar si un cierto subconjunto S es una superficie regular o no, con independencia de las posibles parametrizaciones que admita. El primero de ellos establece que el grafo de una función diferenciable es siempre una superficie regular. Proposición 2.1.2 (Criterio 1: Grafos). Sea f : U −→ R una función diferenciable con U ⊂ R2 abierto. Entonces el conjunto formado por n¡ o ¢ G( f ) = u, v, f (u, v) : (u, v) ∈ U es una superficie regular de R3 . En otras palabras, cualquier grafo de una función diferenciable es una superficie regular. Demostración. La prueba es inmediata, pues una parametrización global para G( f ) ¡ ¢ viene dada por X(u, v) = u, v, f (u, v) (es claro que X es una parametrización). Con objeto de presentar el siguiente criterio, necesitamos una definición previa. Definición 2.1.3. Sea f : V ⊂ R3 −→ R una función diferenciable definida sobre un abierto V de R3 . Se dice que p ∈ V es un punto cr´ıtico de f si d f p no es sobreyectiva, es decir, si d f p ≡ 0. El valor f (p) se denomina valor cr´ıtico de f . Si a ∈ R no es un valor cr´ıtico, se dice que es un valor regular. 64


El siguiente resultado, cuya prueba se basa en el teorema de la función impl´ıcita, cubre un gran número de situaciones; por ejemplo, todas las superficies cuádricas. Proposición 2.1.4 (Criterio 2: Valores regulares). Sean f : V ⊂ R3 −→ R una función diferenciable y a un valor regular de f (es decir, d f p es sobreyectiva para todo p ∈ f −1 (a)). Entonces S = f −1 (a) es una superficie regular de R3 , denominada superficie de nivel. Demostración. Sea S = f −1 (a), donde a es un valor regular de f . Fijamos un punto p0 ∈ S (por tanto, f (p0 ) = a) con p0 = (x0 , y0 , z0 ). Como d f p0 es una aplicación lineal sobreyectiva, entonces las derivadas parciales

∂f (p0 ), ∂x

∂f (p0 ) y ∂y

∂f (p0 ) ∂z

no se anulan simultáneamente. Sin pérdida de generalidad, supongamos que la u´ ltima de ellas cumple (∂ f /∂ z)(p0 ) 6= 0. Utilizando el teorema de la función impl´ıcita (véase [14]), podemos asegurar la existencia de entornos U(x0 , y0 ) ⊂ R2 , I(z0 ) ⊂ R, y de una función diferenciable g : U −→ I, tales que i) g(x0 , y0 ) = z0 ,

¡ ¢ ii) para todo (x, y) ∈ U, f x, y, g(x, y) − a = 0, y n¡ o ¢ iii) (U × I) ∩ f −1 (a) = u, v, g(u, v) : (u, v) ∈ U . ¡ ¢ Definimos entonces la parametrización X(u, v) = u, v, g(u, v) , con (u, v) ∈ U. Se tiene entonces por iii) que X(U) = (U × I) ∩ S = V , que es abierto en S. Además, por la proposición anterior, X : U −→ V es un parametrización de S, pues es el grafo de la función diferenciable g. Ejemplo 2.5 (El elipsoide). Consideremos el subconjunto de R3 dado por ¾ ½ 2 y2 z2 3 x E = (x, y, z) ∈ R : 2 + 2 + 2 = 1 a b c

Figura 2.5: El elipsoide.

(véase la figura 2.5). Para probar que se trata de una superficie regular, definimos f : R3 −→ R como x2 y2 z2 f (x, y, z) = 2 + 2 + 2 , a b c y buscamos sus puntos cr´ıticos. Para ello, observemos que 2y 2z 2x , fy = 2 y fz = 2 , 2 a b c por lo que (x, y, z) es un punto cr´ıtico de f si, y sólo si, (x, y, z) = (0, 0, 0) (sólo hay un punto cr´ıtico, y e´ ste es el origen). Calculamos ahora los valores cr´ıticos correspondientes a dicho punto cr´ıtico, obteniendo f (0, 0, 0) = 0; en consecuencia, a = 0 es el u´ nico valor cr´ıtico de f . Para todo a 6= 0 tendremos que f −1 (a) es una superficie regular; en particular, para a = 1, obtenemos que el elipsoide E = f −1 (1) es una superficie regular. ♦ fx =

65


Ejemplo 2.6 (Los hiperboloides de una y dos hojas). Se ve fácilmente que los conjuntos (véase la figura 2.6) © ª H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1 (hiperboloide de una hoja) © ª 0 3 2 2 2 H = (x, y, z) ∈ R : x + y − z = −1 (hiperboloide de dos hojas) son superficies regulares sin más que utilizar el criterio anterior para la función f : R3 −→ R Hiperboloide de 1 hoja

dada por f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 .

El u´ nico valor regular de f es el 0, por lo que H = f −1 (1) y H 0 = f −1 (−1) son superficies regulares. Los hiperboloides de una y dos hojas son superficies de revolución (véase el ejercicio 2.1) que se obtienen al rotar la hipérbola y = 1/x alrededor de uno de sus dos ejes de simetr´ıa: o bien la recta y = x, lo que da lugar al hiperboloide de dos hojas, o y = −x, obteniéndose entonces el hiperboloide de una hoja. ♦ El criterio de los valores regulares no sólo sirve para demostrar que las cuádricas son superficies regulares. He aqu´ı un ejemplo de otra superficie de revolución que también admite la aplicación de dicho criterio.

Hiperboloide de 2 hojas Figura 2.6: Los hiperboloides de una y dos hojas.

Ejemplo 2.7 (El toro de revolución). Consideremos la circunferencia S1 (r) contenida en el plano x = 0 y centrada en el punto (0, a, 0) con a > r > 0. Un punto genérico de esta circunferencia viene dado por (0, y, z) y se tiene que r2 = z2 + d 2 (véase la figura 2.7). Si rotamos la circunferencia S1 (r) alrededor del eje z, vamos a obtener una superficie de revolución descrita por la circunferencia en cuestión. z 6

(x, 0, z) x

Figura 2.7: Generando el toro

a

- r

d

(0, y, z) -

y

a+d

=

´ de revolucion.

Para encontrar una ecuación que describa esta superficie, observemos que el punto (0, y, z) pasa a ser ahora un punto de la forma (x, y, z). Observemos también que, al mantenerse fijo el valor a + d (la distancia del punto alpeje de rotación), se cumple la relación (a + d)2 = x2 + y2 , y de ah´ı se tiene que d = x2 + y2 − a. Por otro lado, utilizando que r2 = z2 + d 2 y sustituyendo, se obtiene ´2 ³p x2 + y2 − a + z2 = r2 , 66


que es la ecuación del toro de revolución. Por tanto, podemos definir ´2 o n ³p x2 + y2 − a + z2 = r2 . T2 = (x, y, z) ∈ R3 : Para comprobar que T2 es, en efecto, una superficie regular, vamos a utilizar el criterio de los valores regulares. As´ı, definimos la función f : V −→ R dada por f (x, y, z) =

´ Figura 2.8: El toro de revolucion.

´2 ³p x2 + y2 − a + z2 ,

© ª siendo V = R3 \ (0, 0, z) : z ∈ R . Sus derivadas parciales resultan ser  ³p ´ x ∂f  2 + y2 − a p  = 2 x ,   2 ∂ x  x + y2    ³p ´ y ∂f =2 , x2 + y2 − a p 2 2  ∂ y x + y        ∂ f = 2z. ∂z

Los puntos cr´ıticos son aquellos puntos de V que anulan las tres parciales simultánea√ ¢ ¡ mente, es decir, los puntos de la forma x, ± a2 − x2 , 0 . Si evaluamos la función f √ ¢ ¡ en dichos puntos, obtenemos f x, ± a2 − x2 , 0 = 0, por lo que el u´ nico valor cr´ıtico es el 0. As´ı pues, para r > 0 se tiene que T2 = f −1 (r2 ) ⊂ V es una superficie regular (observemos que, para r = 0, lo que se obtiene es una circunferencia contenida en el plano z = 0, que no es una superficie regular). ♦ Cuando el criterio de los valores regulares no es aplicable, es imposible a priori asegurar si un cierto subconjunto es, o no, una superficie regular. Para ilustrar esta afirmación presentamos los siguientes ejemplos con distintos resultados finales. Ejemplo 2.8. Consideremos ahora el subconjunto S ⊂ R3 dado por © ª S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + 2xy = 0 . Vamos a comprobar si S es una superficie utilizando el criterio de los valores regulares. Para ello, tomamos la función f (x, y, z) = x2 + y2 + 2xy y calculamos sus parciales: fx = 2x + 2y y fy = 2y + 2x, por lo que los puntos cr´ıticos son de la forma (x, −x, z), con x, z ∈ R arbitrarios. Los valores cr´ıticos serán las imágenes de dichos puntos, por lo que se tiene f (x, −x, z) = 2x2 − 2x2 = 0; as´ı el u´ nico valor cr´ıtico es el 0. De esta forma, el criterio no nos garantiza que S sea una superficie regular (ni que no lo sea), ya que, precisamente, S viene dada por S = f −1 (0). No obstante, es sencillo comprobar que S es el plano de ecuación x + y = 0, por lo que, en este caso, s´ı se trata de una superficie regular. ♦ Ejemplo 2.9. Para terminar, sea ahora el subconjunto S ⊂ R3 dado por © ª S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = 0 . 67


Si tomamos la función f (x, y, z) = x2 − y2 y calculamos sus parciales, obtenemos fx = 2x y fy = −2y, por lo que los puntos cr´ıticos son de la forma (0, 0, z) con z arbitrario. De nuevo, el u´ nico valor cr´ıtico es f (0, 0, z) = 0 con lo que el criterio no nos sirve para determinar si S es una superficie regular. En este caso, y contrariamente a lo que ocurr´ıa en el ejemplo anterior, S es la unión de los planos x+y = 0 y x−y = 0, que se cortan, por lo que no es una superficie regular. ♦ 2.1.2.

Propiedades de las superficies regulares

Comenzamos este ep´ıgrafe con un lema técnico que será de mucha utilidad en los resultados posteriores. El lema afirma un hecho bastante intuitivo: cualquier superficie regular puede proyectarse mediante un homeomorfismo, al menos localmente, sobre un abierto de alguno de los planos coordenados. Lema 2.1.5. Sean S una superficie regular, p0 ∈ S y (U, X) una parametrización de S con q0 ∈ U, siendo X(q0 ) = p0 . Entonces, existen un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U y una proyección π : R3 −→ R2 sobre uno de los planos coordenados, de modo que (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un abierto de R2 y la aplicación π ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 .

Demostración. Vamos a llamar V = X(U). En primer lugar, observemos que la composición π ◦ X : U −→ R2 es una aplicación diferenciable por ser ambas aplicaciones diferenciables. Por otro lado, al ser X una parametrización, la diferencial dXq0 tiene rango 2 y la matriz   xu (q0 ) xv (q0 )   yu (q0 ) yv (q0 ) zu (q0 ) zv (q0 ) tiene un menor de orden 2 no nulo. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que dicho menor es el dado por la submatriz Ã ! xu (q0 ) xv (q0 ) . yu (q0 ) yv (q0 ) Esto significa, en términos geométricos, que el plano tangente a la superficie en el punto p0 no es perpendicular al plano z = 0 (¿qué pasar´ıa si lo fuera?). Por ello, elegimos como proyección π la proyección sobre el plano z = 0, de suerte que ¡ ¢ (π ◦ X)(u, v) = x(u, v), y(u, v) . De esta forma, la diferencial d(π ◦ X)q0 es inyectiva y, en particular, es un isomorfismo de espacios vectoriales. Aplicamos ahora el teorema de la función inversa:2 as´ı, existe un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U tal que (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un abierto de R2 y la aplicación π ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo. 2

Sean U ⊂ R2 un abierto y F : U −→ R2 una función diferenciable. Si q0 ∈ U es tal que dFq0 es un isomorfismo, entonces existe U 0 (q0 ) ⊂ U con F(U 0 ) = U 00 abierto en R2 y F : U 0 −→ U 00 un difeomorfismo.

68


La primera consecuencia de este lema es que toda superficie puede expresarse, localmente, como el grafo de una función diferenciable definida sobre (un abierto de) alguno de los planos coordenados. Proposición 2.1.6. Sean S una superficie regular y p0 ∈ S. Entonces existe un entorno V (p0 ) ⊂ S que es el grafo de una función diferenciable de alguno de los tipos z = f (x, y), x = g(y, z) o y = h(x, z) (es decir, es una función definida sobre un abierto contenido en alguno de los planos coordenados). Demostración. Por ser S una superficie regular, existe una parametrización (U, X) de S con q0 ∈ U, siendo X(q0 ) = p0 . El lema 2.1.5 nos asegura entonces la existencia de un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U y una proyección π : R3 −→ R2 tales que la aplicación π ◦ X : U 0 −→ (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un difeomorfismo. Podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad, que π ≡ πz es la proyección sobre el plano z = 0. X - ′ U′ ⊂ U V ⊂ V = X (U ) Entonces, llamando V = X(U 0 ), como πz ◦ X es un difeomorfismo, su inversa Q Q (πz ◦ X)−1 también es diferenciable; además, la proyección πz es inyectiva, Q πz Q ya que podemos escribirla de la forma πz = (πz ◦ X) ◦ X −1 , y es composición πz ◦ X Q Q ? Q Q s de aplicaciones inyectivas. U ′′ ⊂ R2 A continuación, consideremos la siguiente composición: (πz ◦X)−1

U0

U 00 −−−−−→ (x, y) −−−−→

¡

X

−−−−→

V

z

−−−−→

R ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u(x, y), v(x, y) −−−−→ x(u, v), y(u, v), z(u, v) −−−−→ z u(x, y), v(x, y)

¡ ¢ Llamamos entonces f (x, y) = z u(x, y), v(x, y) , y as´ı z = f (x, y). Además, es claro que f es diferenciable por ser composición de funciones diferenciables. Para ilustrar la utilidad de estos resultados presentamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.10 (El cono). Veamos que el cono C dado por © ª C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 no es una superficie regular. En primer lugar, vamos a identificar dónde está el pro© ª blema y, para ello, demostraremos que C\ 0 = (0, 0, 0) s´ı es una superficie regular (véase la figura 2.9). Sea f : R3 \{0} −→ R dada por f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 . Es claro que f es diferenciable y que sus parciales valen fx = 2x, fy = 2y y fz = −2z. Por tanto, el u´ nico punto cr´ıtico es el origen que, precisamente, no está contenido en C\{0}. As´ı, este conjunto es una superficie regular de R3 . Figura 2.9: El cono de dos hojas.

Obsérvese que si trabajamos con C, el argumento anterior no demuestra que C no es una superficie regular. Más bien, no nos permite demostrar que lo es. En este sentido, para poder encontrar una demostración de que C no es una superficie regular vamos a aplicar la proposición 2.1.6. As´ı, supongamos que C es una superficie regular. Tomamos 0 ∈ C y aplicamos dicho resultado: existe pues un entorno V ⊂ C del

69


origen 0 de manera que V es el grafo de una función diferenciable sobre alguno de los planos coordenados, es decir, V es el grafo de una función de la forma y = h(x, z), x = g(y, z) o z = f (x, y). Supongamos, por ejemplo, que V es un grafo de la forma y = h(x, z). Además, podemos suponer que V = B(0, ε ) ∩ C, donde B(0, ε ) representa la bola en R3 de centro 0 y radio ε . Sea (x, y, z) ∈ V arbitrario, cuya proyección sobre el plano y = 0 viene dada por πy (x, y, z) = (x, z). Ahora bien, el punto (x, −y, z) también pertenece a V , ya que está contenido en C y en la bola B(0, ε ). Por tanto, πy (x, −y, z) = (x, z), lo que nos dice que la aplicación πy no es inyectiva.

Análogamente, se puede demostrar que las proyecciones πx y πz no son inyectivas, lo cual contradice el lema 2.1.5. ♦ Observación 2.2. Si en lugar de considerar el cono de dos hojas nos quedamos u´ nicamente con el conjunto © ª C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 , z ≤ 0 (véase la figura 2.10), tampoco obtenemos una superficie regular (a menos que eliminemos el origen). Para demostrarlo se utiliza un argumento similar al anterior, resultando que las proyecciones πy , πx no son inyectivas. En relación a la proyección ♦ πz sobre el plano z = 0, e´ sta s´ı lo es, aunque resulta ser no diferenciable. Figura 2.10: El cono de una hoja.

Finalizamos este ep´ıgrafe con un resultado técnico que economiza esfuerzos a la hora de demostrar si una cierta aplicación es una parametrización de una superficie. Proponemos además un ejemplo para ilustrar esta situación. Proposición 2.1.7. Sean S una superficie regular y p0 ∈ S un punto arbitrario. Supongamos que X : U ⊂ R2 −→ S, U abierto, es una aplicación que cumple las condiciones S1) y S3) de la definición de superficie regular. Entonces, si X es inyectiva, se tiene que X −1 es continua (por tanto, X es un homeomorfismo y, finalmente, una parametrización de S).

U′

X

-

X −1

@ @ πz ◦ X @ @ @ R @

V′

πz ?

U ′′

Demostración. Tomamos q0 ∈ U tal que X(q0 ) = p0 . Como dXq0 es inyectiva, podemos suponer de nuevo que ¯ ¯ ¯ x (q ) x (q ) ¯ ¯ u 0 v 0 ¯ ¯ 6= 0. ¯ ¯ yu (q0 ) yv (q0 ) ¯ Por el lema 2.1.5, sabemos que la aplicación πz ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 con U 0 ⊂ U (observemos que sólo se necesitan las condiciones S1) y S3) para demostrar el lema, y no hace falta que X sea una parametrización). Como X es inyectiva, X es biyectiva en su imagen, que llamamos V 0 . Por tanto, existe su inversa X −1 : V 0 −→ U 0 , y queremos probar que es continua. Para ello, basta observar simplemente que X −1 = (πz ◦ X)−1 ◦ πz , y que X −1 es continua en p0 al ser composición de aplicaciones diferenciables y continuas. Como el punto p0 es arbitrario, se tiene que X −1 es continua en todo su dominio. 70


Ejemplo 2.11. Sea X : (0, 2π ) × (0, 2π ) −→ R3 dada por ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u ,

donde a > r. Vamos a ver que la aplicación X es una parametrización del toro T2 descrito en el ejemplo 2.7 (véase la figura 2.8), aplicando la proposición 2.1.7. Es claro que X es diferenciable, por lo que vamos a comprobar si se verifica la condición S3). Observemos que la matriz jacobiana de la diferencial en un punto q = (u, v) arbitrario viene dada por   −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v   (r cos u + a) cos v  . −r sen u sen v r cos u 0 El hecho de que r cos u + a 6= 0 implica que el menor Ã ! −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v −r sen u sen v (r cos u + a) cos v tiene determinante no nulo, salvo cuando sen u = 0. En tal caso, r cos u = ±r, por lo que el determinante de alguno de los menores ! ! Ã Ã −r sen u sen v (r cos u + a) cos v −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v o r cos u 0 r cos u 0 es distinto de cero. En consecuencia, el rango de la diferencial dXq es 2. Finalmente, y para demostrar S2), basta aplicar la proposición 2.1.7 y comprobar que X es inyectiva, ejercicio sencillo que dejamos propuesto para resolver. ♦ 2.1.3.

El cambio de coordenadas

Dada una superficie regular y un punto de dicha superficie sabemos que, en general, existen varias (en realidad, infinitas) parametrizaciones para cubrir dicho punto y un entorno suyo. Una pregunta razonable es qué ocurre cuando expresamos los puntos de este entorno en unas u otras coordenadas, as´ı como la relación que existe entre ambas expresiones. La respuesta se recoge en esta sección: unas coordenadas se expresan como función de las otras, siendo esta dependencia, naturalmente, diferenciable.3 Consideremos entonces S una superficie regular y sea p ∈ S. Dadas dos parametrizaciones (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) con p ∈ X1 (U1 ) ∩ X2 (U2 ) = V , podemos tomar q1 ∈ U1 y q2 ∈ U2 de modo que X1 (q1 ) = X2 (q2 ) = p (véase le figura 2.11). Además, X1−1 (V ) ⊂ U1 y X2−1 (V ) ⊂ U2 son dos abiertos del plano R2 , por lo que tiene sentido considerar la aplicación X2−1 ◦ X1 : X1−1 (V ) −→ X2−1 (V ). Esta aplicación 3

En otros contextos más amplios como, por ejemplo, para superficies abstractas, esta caracter´ıstica debe asumirse como un axioma, y no es una consecuencia de la definicio´ n de superficie, tal y como ocurre aqu´ı.

71


se denomina cambio de coordenadas. Claramente, el cambio de coordenadas es un homeomorfismo entre abiertos de R2 , pues X1 : X1−1 (V ) −→ V es un homeomorfismo al ser la restricción de un homeomorfismo a un abierto; también X2−1 : V −→ X2−1 (V ) lo es. Además, se tiene el siguiente resultado. V X1 (U1)

p

X2 (U2 ) I

7

X2

X1 U1 X1−1 (V )

X2−1 ◦ X1

U2 -

q2

q1

X2−1 (V )

´ Figura 2.11: La aplicacion cambio de coordenadas.

Teorema 2.1.8. La aplicación cambio de coordenadas dada por X2−1 ◦ X1 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 . Demostración. Vamos a demostrar que la aplicación X2−1 ◦ X1 es diferenciable en el abierto X1−1 (V ). Por simetr´ıa, se tendrá que la aplicación X1−1 ◦ X2 es también diferenciable, siendo entonces ambas difeomorfismos. Recordemos que tomamos qi ∈ Ui de modo que qi ∈ Xi−1 (V ) para i = 1, 2, y que además se tiene que X1 (q1 ) = X2 (q2 ) = p; luego (X2−1 ◦ X1 )(q1 ) = q2 . Ahora bien, como X2 es una parametrización, dado q2 ∈ X2−1 (V ) ⊂ U2 , existirán un entorno e2 (q2 ) ⊂ X −1 (V ) y una proyección π sobre alguno de los planos coordenados tales U 2 ¡ ¢ e2 −→ (π ◦ X2 ) U e2 es un difeomorfismo. Representamos por F el camque π ◦ X2 : U e2 , se tiene bio de coordenadas, esto es, F = X2−1 ◦ X1 . Entonces, como F(q1 ) = q2 ∈ U −1 −1 e2 ) =: U e1 que, claramente, es un abierto contenido en X (V ) ⊂ U1 , que q1 ∈ F (U 1 pues F es un homeomorfismo. A continuación, vamos a demostrar que ¯ (2.1) F|Ue1 = (π ◦ X2 )−1 ◦ (π ◦ X1 )¯Ue , 1

de donde se tendrá que, al ser composición de aplicaciones diferenciables, F|Ue1 también será diferenciable (observemos que, como esto es cierto para cualquier punto q1 ∈ X1−1 (V ), entonces F es diferenciable en todo su dominio). e1 . En tal caso, F(q) ∈ U e2 , pues por Veamos, por tanto, (2.1). Para ello, sea q ∈ U e1 = F −1 (U e2 ). Ahora bien, U e2 es el dominio de la aplicación π ◦ X2 , luego definición, U ¢ ¡ (π ◦ X2 ) ◦ F (q) = (π ◦ X2 ◦ X2−1 ◦ X1 )(q) = (π ◦ X1 )(q). e1 , dado que π ◦ X2 es un difeomorfismo, podemos De esta forma, para todo q ∈ U ¢ ¡ −1 asegurar que F(q) = (π ◦ X2 ) ◦ (π ◦ X1 ) (q), lo que concluye la prueba. 72


Observación 2.3. Una vez estudiado el concepto de superficie como un cierto subconjunto S de R3 con determinadas propiedades, podemos redefinir el concepto de curva de manera similar, esto es, atendiendo u´ nicamente a la curva como subconjunto del espacio y no como una aplicación. As´ı pues, una curva Γ es un subconjunto de R3 de modo que, para cada punto p ∈ Γ, existen un entorno V (p) de p en Γ con la topolog´ıa relativa, un intervalo abierto I ⊂ R y una aplicación α : I −→ V , tales que la diferencial de α es inyectiva para todo t ∈ I. La aplicación α se dice que es una parametrización (local) de la curva Γ.

Si fijamos un mismo punto y lo cubrimos con dos parametrizaciones, se puede demostrar (al igual que en el caso de superficies) que el cambio de parámetro es un difeomorfismo entre intervalos de la recta. A partir de aqu´ı se concluye que existe un parámetro distinguido (la longitud de arco), y que e´ ste se expresa de forma precisa en términos de cualquier parametrización (véase [12]). Finalmente, y gracias también al cambio de parámetro, podemos definir los conceptos de curvatura y torsión en términos de un parámetro arbitrario, y demostrar que e´ stos, en realidad, no dependen del parámetro en cuestión, sino que son caracter´ısticos de la curva con independencia de cómo la estemos recorriendo. ♦ 2.2.

FUNCIONES DIFERENCIABLES DEFINIDAS EN SUPERFICIES

Con vistas a efectuar cálculo en superficies necesitamos definir lo que se entiende como función diferenciable en una superficie. Para ello la táctica adoptada consiste en ((llevar)) los objetos al plano de coordenadas mediante una parametrización cualquiera y aplicar lo que s´ı conocemos de cálculo elemental en varias variables. Sean S una superficie regular y f : S −→ Rm , con m ≥ 1. Sea (U, X) una parametrización de S. Entonces, la composición fe = f ◦ X : U −→ Rm es la expresión en coordenadas de f respecto a la parametrización (U, X). Definición 2.2.1. Una función f : S −→ Rm es diferenciable (sobre S) si, para toda parametrización (U, X), la función f ◦ X es diferenciable sobre el abierto U. Naturalmente, esta definición no es operativa, pues necesitar´ıamos verificar la condición sobre todas las parametrizaciones de la superficie. Por ello, presentamos el siguiente lema que hace uso del cambio de coordenadas como aplicación diferenciable entre abiertos del plano. Lema 2.2.2. Una función f : S −→ Rm es diferenciable en S si, y sólo si, para todo p ∈ S, existe (U p , Xp ) parametrización de S, con p ∈ Xp (U p ), tal que f ◦ Xp es diferenciable en U p . Demostración. La implicación directa es obvia por la propia definición. Supongamos por tanto que, dado p ∈ S, existe una parametrización (Up , X p ), con p ∈ X p (U p ), tal que f ◦ X p es diferenciable en U p . 73


m * R

V X (U )

p

f X p(U p) I

7

Xp

X U X −1 (V )

Figura 2.12: Para estudiar la

X p−1 ◦ X

Up -

q

q′

X p−1 (V )

diferenciabilidad es suficiente ´ considerar una parametrizacion.

Vamos a demostrar que, si (U, X) es una parametrización cualquiera de S (cubriendo p), entonces la composición f ◦ X es una función diferenciable sobre U. Para ello, sea q ∈ U de modo que p = X(q). Elegimos un punto q0 ∈ Up tal que Xp (q0 ) = p, y sea V = X(U) ∩ Xp (Up ). Claramente, p ∈ V y q ∈ X −1 (V ). Entonces ¯ f ◦ X|X −1 (V ) = ( f ◦ Xp ) ◦ (Xp−1 ◦ X)¯X −1 (V ) , que es una composición de funciones diferenciables, ya que f ◦ Xp lo es por hipótesis, mientras que Xp−1 ◦ X lo es por ser un cambio de coordenadas.

Algunas propiedades de las funciones diferenciables definidas sobre una superficie se recogen en la siguiente proposición, cuya demostración proponemos como un sencillo ejercicio. Proposición 2.2.3. Sea S una superficie regular y f : S −→ Rm una función. i) Si existen W ⊂ R3 abierto y una función diferenciable f¯: W −→ Rm en sentido ordinario tales que S ⊂ W y la restricción f¯|S = f , entonces f es diferenciable. ii) Si f es diferenciable, entonces es continua. iii) Si escribimos f = ( f1 , f2 , . . . , fm ), entonces f es diferenciable si, y sólo si, lo es cada una de las funciones componentes f i , para i = 1, . . . , m. iv) La suma, el producto y el cociente (siempre que tenga sentido) de funciones diferenciables es también una función diferenciable. A continuación, veamos algunos ejemplos de funciones diferenciables. Ejemplo 2.12 (La función distancia). Sean p0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 y S una superficie regular. Definimos f : S −→ R como f (p) = |p − p0 |2 , esto es, la función distancia ´ puede verse como la restricción a S de g : R3 −→ R dada por al cuadrado. Esta g(q) = |q − p0 |2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 , 74


donde q = (x, y, z). Observemos que g es una función polinómica y, por tanto, diferenciable. De este modo, f también es diferenciable. Por otro lado, la función distancia (la ra´ız de f ) no ser´ıa diferenciable en S si el punto p0 ∈ S. ♦ Ejemplo 2.13 (La función altura). La función h : S −→ R, h(p) = hp, vi, donde p = (x, y, z) ∈ S y v = (v1 , v2 , v3 ) es un vector unitario de R3 , se denomina función altura, y representa la distancia de p al plano ortogonal al vector v, que pasa por el origen (véase la figura 2.13). Es claro que h(p) = h(x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3 es la restricción a S de una función diferenciable sobre todo R3 (la propia h), por lo que h también es diferenciable. ♦

p

hp, vi

6

v

0

´ altura. Figura 2.13: La funcion

2.2.1.

Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies

¿Qué ocurre con la definición de aplicación diferenciable si el espacio de llegada de la función es también una superficie regular? La respuesta a esta pregunta se recoge en este ep´ıgrafe. De modo análogo al caso de una función diferenciable f : S −→ Rm sobre una superficie regular, podemos dar una ((definición intr´ınseca)) para una aplicación diferenciable entre dos superficies (véase la definición 2.2.1): Definición 2.2.4. Sean S1 y S2 superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicación. Diremos que F es diferenciable si, para todo p ∈ S y cualesquiera parametrizaciones (U1 , X1 ) de S1 en p y (U2 , X2 ) de S2 en F(p), la expresión en coordenadas de F, Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 , es diferenciable en el sentido ordinario sobre un abierto U ⊂ R2 . S1

S2

F −1 (V2 )

F

p

X2 (U2 ) = V2

X1 (U1 ) = V1

6

6

X2

X1 U = X1−1 F −1 (V2 ) ∩V1

q U1

Figura 2.14: Diferenciabilidad

F(p)

-

-

U2

Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1

´ entre de una aplicacion superficies.

Como puede comprobarse fácilmente (véase la figura 2.14), el abierto U de la ¡ ¢ definición anterior es U = X1−1 F −1 (V2 ) ∩V1 , donde Vi = Xi (Ui ), i = 1, 2. Por otro lado, es posible definir la diferenciabilidad de una aplicación entre superficies de un modo extr´ınseco (obsérvese la analog´ıa con la proposición 2.2.3 i)). 75


Definición 2.2.5. Sean S1 y S2 dos superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicación. Diremos que F es diferenciable si la aplicación i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable, donde i : S2 −→ R3 representa la inclusión. Vamos a demostrar en primer lugar que ambas definiciones son equivalentes. Proposición 2.2.6. Las definiciones 2.2.4 y 2.2.5 son equivalentes. Demostración. Supongamos en primer lugar que F : S1 −→ S2 es una aplicación diferenciable en el sentido de la definición 2.2.4. Tenemos que demostrar que la función i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable, es decir, que para todo p ∈ S1 , existe una parametrización (Up , Xp ) de S1 en p tal que i ◦ F ◦ Xp : Up −→ R3 es diferenciable en el sentido ordinario. Sea entonces (U1 , X1 ) una parametrización de S1 en p, y sea (U2 , X2 ) una parametrización de S2 cubriendo F(p). Como F es diferenciable con la definición 2.2.4, su expresión en coordenadas Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el sentido ordinario en el abierto U de la definición 2.2.4, y por tanto, ¯ ¯ ¡ ¢¯ (i ◦ F ◦ X1 )¯U = (i ◦ X2 ◦ X2−1 ◦ F ◦ X1 )¯U = (i ◦ X2 ) ◦ Fe ¯U también lo es, pues es composición de dos funciones diferenciables, la primera de ellas entre abiertos de R2 y R3 (por definición de parametrización), y la segunda ¯ ¢ ¡ entre abiertos de R2 . Luego la parametrización buscada es Up = U, Xp = X1 ¯U . La demostración del rec´ıproco es más compleja. Supongamos que F : S1 −→ S2 es una aplicación diferenciable en el sentido de la definición 2.2.5, es decir, la función i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable (véase la definición 2.2.1). Vamos a demostrar el siguiente caso particular, a partir del cual se obtiene el resultado buscado fácilmente: Lema 2.2.7. Sea G : Ω ⊂ Rm −→ S, m ≥ 1, una aplicación en una superficie regular S. Si i◦G : Ω −→ R3 es diferenciable, entonces para cualquier parame/ la expresión en coordenadas trización (U, X) de S (con V = X(U) ∩ G(Ω) 6= 0), −1 2 X ◦ G : Ω0 −→ R es diferenciable en el abierto Ω0 = G−1 (V ). i◦F F

S1 6

X1

- S2 3 6

X2

F ◦ X1 U1

X2−1 ◦ F ◦ X1

- U2

Figura 2.15: Equivalencia entre las dos definiciones de diferenciabilidad.

i

-

q

R3

En efecto, sea (U1 , X1 ) una parametrización de S1 en un punto p ∈ S arbitrario y consideremos la composición (véase la figura 2.15) F ◦ X1 : U1 ⊂ R2 −→ S2 . Obsérvese que la función i ◦ F ◦ X1 : U1 −→ R3 es diferenciable en sentido ordinario ya que, por hipótesis, i ◦ F es una función diferenciable. El lema 2.2.7 aplicado a F ◦ X1 nos asegura entonces que, para cualquier parametrización (U2 , X2 ) de S2 en F(p), la expresión en coordenadas X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el abierto adecuado de U1 ⊂ R2 , lo que concluir´ıa la demostración.

Demostramos el lema 2.2.7. Supongamos que, dada G : Ω ⊂ Rm −→ S, la composición i ◦ G : Ω −→ R3 es diferenciable entre abiertos de Rm y R3 . Sea (U, X) una 76


parametrización cualquiera de S, para la cual, sin pérdida de generalidad y para simplificar la notación, podemos suponer que X(U) = G(Ω) (en caso contrario, bastar´ıa restringirse a los abiertos adecuados). Claramente, i ◦ G = (i ◦ X) ◦ (X −1 ◦ G) (véase la figura 2.16), i◦G de donde se tiene que X −1 ◦ G = (i ◦ X)−1 ◦ (i ◦ G). q i G Por hipótesis, i ◦ G es una función diferenciable entre abiertos - X (U ) ⊂ S - 3 Ω ⊂ Rm R de Rm y R3 ; sin embargo, no podemos asegurar lo mismo de > 6 (i ◦ X)−1 , ya que su dominio de definición es V = W ∩ S ⊂ R3 −1 X X (para un cierto abierto W de R3 ), que no es un abierto del i◦X X −1 ◦ G espacio eucl´ıdeo tridimensional. ? s Para solventar este problema, vamos a suponer en primer lugar U que (U, X) es una parametrización que denominaremos tipo Figura 2.16: Diferenciabilidad grafo, es decir, una parametrización de la forma ´ entre Rm de una aplicacion y una superficie. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = u, v, f (u, v) , o X(u, v) = u, f (u, v), v , o X(u, v) = f (u, v), u, v , con (u, v) ∈ U, y donde f : U −→ R2 es una función diferenciable.4 Podemos suponer, ¯ ¡ ¢ sin pérdida de generalidad, que X(u, v) = u, v, f (u, v) . En tal caso, (i ◦ X)−1 = πz ¯V , donde, como viene siendo habitual, πz representa la proyección sobre el plano z = 0. ¯ Como πz : W ⊂ R3 −→ R2 es diferenciable e (i ◦X)−1 = πz ¯V =W ∩S , podemos concluir que (i ◦ X)−1 también lo es, lo que prueba el resultado en este caso.

Finalmente, suponemos que (U, X) es una parametrización arbitraria, no necesariamente tipo grafo. Sea entonces (U0 , X0 ) una parametrización tipo grafo con U ∩ U0 6= 0, / que sabemos siempre existe. Podemos suponer que U = U0 (o bastar´ıa restringirse al abierto U ∩ U0 ). Entonces, X −1 ◦ G = (X −1 ◦ X0 ) ◦ (X0−1 ◦ G) es diferenciable en el sentido ordinario por ser composición de funciones diferenciables: X −1 ◦ X0 lo es entre abiertos de R2 (es un cambio de coordenadas) y X0−1 ◦ G es diferenciable entre abiertos de Rm y R2 , pues X0 es una parametrización tipo grafo, para las que ya hemos probado anteriormente que X0−1 ◦ G es diferenciable. Esto concluye la demostración del resultado. As´ı, cuando trabajemos con aplicaciones diferenciables entre superficies, podremos utilizar indistintamente las definiciones 2.2.4 o 2.2.5, según convenga. Por ejemplo, el siguiente resultado puede probarse fácilmente utilizando la definición intr´ınseca 2.2.4 de aplicación diferenciable. Proponemos su demostración como ejercicio. Corolario 2.2.8. Supongamos que F : S1 −→ S2 y G : S2 −→ S3 son aplicaciones diferenciables entre superficies regulares. Entonces la composición G ◦ F : S1 −→ S3 también es diferenciable. Por otro lado, y al igual que ocurr´ıa en el caso de funciones diferenciables (véase el lema 2.2.2), se puede demostrar de un modo sencillo, utilizando el cambio de coordenadas, que es suficiente con la existencia de dos cartas (una para cada superficie) 4 Obsérvese que una parametrizaci´ on de este tipo siempre existe para cualquier punto de la superficie, lo que está asegurado por la proposición 2.1.6.

77


que hagan diferenciable la expresión en coordenadas para asegurar que la aplicación original también lo es. El siguiente corolario as´ı lo establece. Corolario 2.2.9. Una aplicación F : S1 −→ S2 es diferenciable si, y sólo si, para todo p ∈ S1 , existen parametrizaciones (U1 , X1 ) de S1 en p y (U2 , X2 ) de S2 en F(p), tales que Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el abierto adecuado U de R2 . 2.2.2.

Difeomorfismos entre superficies

La noción de equivalencia entre objetos y estructuras es una constante en Matemáticas. En lo que respecta a las superficies regulares, la equivalencia se establece con la noción de difeomorfismo. As´ı, un difeomorfismo entre superficies no es otra cosa que un homeomorfismo diferenciable, esto es, una biyección continua y diferenciable, cuya inversa también es continua y diferenciable. Es claro que dos superficies difeomorfas son indistinguibles, no sólo desde el punto de vista topológico, sino también diferenciable. Vamos a formalizar estas palabras con la siguiente definición. Definición 2.2.10. Se dice que una aplicación F : S1 −→ S2 entre dos superficies regulares es un difeomorfismo si F es un homeomorfismo entre S1 y S2 , y además F y su inversa son diferenciables (vistas como aplicaciones entre superficies). También diremos que S1 es difeomorfa a S2 (y se escribirá S1 ≈ S2 ), si existe un difeomorfismo F : S1 −→ S2 entre ambas superficies. Ejemplo 2.14. Sean S ⊂ R3 una superficie regular y (U, X) una parametrización de S. Sea V = X(U) ⊂ S. Entonces X : U −→ V es un difeomorfismo entre superficies. Por tanto, los entornos coordenados de cualquier superficie regular son difeomorfos a los abiertos del plano. Esta situación se expresa también diciendo que toda superficie regular es localmente difeomorfa a un plano. Vamos a justificar esta afirmación. Una primera parte de la prueba (que dejamos como ejercicio) consiste en probar que un abierto S0 ⊂ S es también superficie regular. Entonces, observemos que i) U ⊂ R2 es una superficie (abierto de R2 ) y ii) V ⊂ S es una superficie (abierto de S). Además, X : U −→ V es un homeomorfismo, y por tanto, biyectiva. También sabemos que X es diferenciable. Sólo falta comprobar que X −1 : V −→ U es diferenciable como aplicación entre superficies de R3 . Para ello, utilizamos la definición: X −1 será diferenciable si i ◦ X −1 : V −→ R3 lo es, con i : U −→ R3 la inclusión dada por i(u, v) = (u, v, 0). Veamos entonces si i ◦ X −1 es diferenciable como aplicación que parte de una superficie hasta R3 : para ello tomamos como parametrización de V la propia X, y as´ı es claro que (i ◦ X −1 ) ◦ X = i : U −→ R3 es diferenciable. ♦ Terminamos este ep´ıgrafe apuntando dos observaciones muy sencillas de comprobar. La primera es que la relación ((ser difeomorfa a)) es de equivalencia. La segunda es que dos superficies difeomorfas son necesariamente homeomorfas, aunque el rec´ıproco, en general, no es cierto. 78


2.3.

EL PLANO TANGENTE

Una superficie, por el hecho de ((estar)) en el espacio, admite en cada uno de sus puntos un plano tangente en el sentido más intuitivo del término (como el plano que mejor se adapta a la forma ((local)) de la superficie en dicho punto). Como ya es habitual, el hecho de admitir una interpretación directa y sencilla contrasta con la complejidad de expresar formalmente esta situación. La manera de definir el plano tangente a una superficie en un punto concreto consiste en considerar todas las curvas que pasan por dicho punto. Estas curvas, al pasar por el punto, tienen una velocidad que es un vector tangente a la curva. Dado que la curva está dentro de la superficie, tal vector velocidad también será tangente a la superficie. Finalmente, el plano tangente se construye a partir de todos estos vectores velocidad. Posteriormente, dicho plano se dota de estructura de plano vectorial gracias a las parametrizaciones, y se precisan unas bases destacadas en términos de cada parametrización. Pasamos ahora a formalizar este esquema. Definición 2.3.1. Una curva diferenciable en una superficie regular S es una aplicación diferenciable α : I −→ S, donde I ⊂ R es un intervalo abierto.

/ Si Sean (U, X) una parametrización, V = X(U), y supongamos que α (I) ∩V 6= 0. ª © e : J −→ U dada por definimos J = t ∈ I : α (t) ∈ V , entonces la aplicación α ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = X −1 α (t) = u(t), v(t) α es la expresión en coordenadas de la curva α . Observemos que dicha aplicación es e. una curva en R2 que, en los puntos de J, cumple α = X ◦ α Definición 2.3.2. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y sea p ∈ S. Diremos que v ∈ R3 es un vector tangente a S en p, si existe una curva α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v. Observación 2.4. El hecho de tomar t = 0 no es restrictivo; se hace as´ı por comodidad. Observemos que, si α : I −→ S es diferenciable con v = α 0 (t0 ) tangente a S en p = α (t0 ), basta tomar β (s) = α (t0 + s) y entonces β 0 (s) = α 0 (t0 + s). De esta forma, se tiene que β (0) = α (t0 ) = p y β 0 (0) = α 0 (t0 ) = v. As´ı, siempre podemos tomar una curva tal y como se precisa en la definición. ♦ Vamos a representar por Tp S el conjunto de todos los vectores tangentes a la superficie S en el punto p. As´ı ª © Tp S = v ∈ R3 : existe α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v . Lema 2.3.3. Sean S una superficie regular y p ∈ S. Sea (U, X) una parametrización con X(q) = p y q ∈ U. Entonces, se tiene que Tp S = dXq (R2 ). 79


De esta forma, es claro que Tp S es un plano vectorial en R3 que llamaremos plano tangente a S en p. Veamos, a continuación, la demostración de este lema. Demostración. Veamos primero que Tp S ⊃ dXq (R2 ). Para ello sea v ∈ dXq (R2 ); entonces debe existir un vector w ∈ R2 tal que v = dXq (w). Tomamos la recta de R2 e (t) = q + tw, que es claramente diferenciable. A continuación, consideradada por α e , que va a ser una curva diferenciable en la superficie S. Además, se mos α = X ◦ α ¡ ¢ e (0) = X(q) = p. Por u´ ltimo, se cumple que tiene que α (0) = X α ¯ ¡ 0 ¢ d ¯¯ e )(t) = α 0 (0), e (0) = ¯ (X ◦ α v = dXq (w) = dXαe (0) α dt t=0

lo que demuestra que v ∈ Tp S. Demostremos ahora la inclusión contraria: Tp S ⊂ dXq (R2 ). Para ello tomamos v ∈ Tp S; entonces existe una curva α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Como necesitamos una curva en R2 , consideramos su expresión en coorde© ª e (t) = (X −1 ◦ α )(t), donde t ∈ J = t ∈ (−ε , ε ) : α (t) ∈ X(U) ; claramente, nadas, α ¡ ¢ e (0) = X −1 α (0) = X −1 (p) = q. Además, se tiene que α ¯ ¡ 0 ¢ d ¯¯ 0 e (0) , e )(t) = dXαe (0) α v = α (0) = ¯ (X ◦ α dt t=0 e (0) = q, es claro que v ∈ dXq (R2 ). y al ser α A continuación, nos planteamos encontrar una base del plano tangente Tp S. Para © ª ello, como (1, 0), (0, 1) es una base de R2 , entonces la inyectividad de dXq implica © ª © ª que dXq (1, 0), dXq (0, 1) = Xu (q), Xv (q) es una base de Tp S. Por lo tanto, © ª Tp S = aXu (q) + bXv (q) : a, b ∈ R , donde, como es habitual, (U, X) es una parametrización de S con X(q) = p. Sea ahora α : I −→ S una curva con α (I) ⊂ X(U) y tomemos su expresión en ¡ ¢ e (t) = (X −1 ◦ α )(t) = u(t), v(t) . Para cada t, α 0 (t) ∈ Tα (t) S y consicoordenadas α ¢ ¡ ¢ª © ¡ e (t) . Entonces, e (t) , Xv α deremos la base de este plano tangente Xu α

¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ e (t) . (2.2) e (t) +v0 (t)Xv α α 0 (t)=Xu u(t), v(t) u0 (t)+Xv u(t), v(t) v0 (t)=u0 (t)Xu α Si escribimos esta u´ ltima expresión en notación matricial llegamos a Ã ! ´ u0 (t) ³ ¡ ¡ 0 ¢ ¡ 0 ¢ ¢ ¢ ¡ 0 e (t) . e (t) e (t) Xv α u (t), v (t) = dX α 0 (t) = Xu α α = dX e e α (t) α (t) v0 (t) Observación 2.5. Es importante remarcar el hecho de que, en general, y salvo que se especifique lo contrario, nos interesa ver Tp S como un espacio vectorial 2-dimensional (un plano vectorial) y no como un espacio af´ın. Por otra parte, podemos considerar el complemento ortogonal a Tp S dentro de R3 , (Tp S)⊥ , como espacio vectorial 80


eucl´ıdeo, y as´ı obtenemos una recta vectorial que llamaremos recta normal a S en p. Por tanto, podemos escribir R3 = Tp S ⊕ (Tp S)⊥ . Además, para cada p ∈ S, podemos encontrar un vector unitario N(p) que genera la recta normal a S en p, lo que escribi© ª remos como (Tp S)⊥ = span N(p) . El vector N(p) está un´ıvocamente determinado (salvo el signo) y se denomina vector normal (unitario) a S en p. Finalmente, como © ª Xu (q), Xv (q) es una base de TX(q) S, entonces se tiene que ¡ ¢ Xu (q) ∧ Xv (q) ¯, N X(q) = ± ¯¯ Xu (q) ∧ Xv (q)¯ lo que va a permitir calcular este vector de forma expl´ıcita.

♦

Siempre y cuando no haya lugar a confusión, utilizaremos la notación del ((vector cero)) 0 para representar indistintamente el origen de coordenadas de cualquier plano tangente Tp S, p ∈ S. 2.4.

´ ENTRE SUPERFICIES LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACION

Tal y como ocurr´ıa con la noción de diferenciabilidad, en esta sección vamos a generalizar otra noción del cálculo en varias variables a nuestro ambiente de superficies regulares en el espacio. Para ello, haremos uso de la construcción que hemos hecho previamente de los vectores como velocidades de curvas dentro de la superficie. La clave en esta ocasión consiste en demostrar que la definición no depende de la curva escogida. Posteriormente veremos cómo los teoremas más importantes del cálculo en varias variables pueden generalizarse de forma casi directa para superficies regulares. 2.4.1.

´ real sobre una superficie La diferencial de una funcion

Sean S ⊂ R3 una superficie regular y p ∈ S. Consideramos f : S −→ R una función diferenciable y definimos la aplicación d f p : Tp S −−−−→ R ¯ d ¯¯ v −−−−→ ( f ◦ α )(t), dt ¯t=0

donde α : (−ε , ε ) −→ S es una curva diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v. La aplicación d f p recibe el nombre de diferencial de f en p. Lema 2.4.1. La aplicación d f p está bien definida (es decir, no depende de la curva α elegida) y es lineal. Demostración. Como es habitual, tomamos (U, X) una parametrización de la superficie S, q ∈ U con X(q) = p y α : I −→ S una curva diferenciable verificando α (0) = p y α 0 (0) = v ∈ Tp S (véase la figura 2.17). A continuación, consideramos la ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = X −1 α (t) = u(t), v(t) , de modo expresión en coordenadas de α , dada por α ¢ ¡ e es α −1 X(U) ∩ α (I) = J y e (0) = q. Observemos que el dominio de la curva α que α que 0 ∈ J. Claramente, f ◦ α = ( f ◦ X) ◦ (X −1 ◦ α ), composición que es diferenciable. 81


S X (U )

α

1

v p

f

α (J)

α (I)

-R

6

J⊂I

X e = X −1 ◦ α α

j

q U

Figura 2.17: La diferencial ´ de una funcion.

¯ e , que e , se verificará que f ◦ α ¯J = fe◦ α Por tanto, en J, dominio de definición de α es la composición de las expresiones en coordenadas de f y α . As´ı ¯ ¯ ¯ ¢ d ¯¯ d ¯¯ e¡ d ¯¯ e e )(t) = ¯ f u(t), v(t) . d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ ( f ◦ α dt t=0 dt t=0 dt t=0 Si aplicamos ahora la regla de la cadena se obtiene ¡ ¢ ¡ ¢ d f p (v) = d feαe (0) u0 (0), v0 (0) = d feq u0 (0), v0 (0) .

Observemos que la expresión d feq no depende de la curva α . Ahora bien, ¿podemos ¡ ¢ afirmar lo mismo para u0 (0), v0 (0) ? Para responder a esta pregunta, obsérvese que v = α 0 (0) = u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) por (2.2), por lo que los números u0 (0) y v0 (0) sólo dependen del vector v y de la parametrización (U, X), y no de la curva α elegida. Con esto hemos demostrado que la diferencial está bien definida. Además, utilizando la igualdad anterior se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ d f p u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) = d f p (v) = d feq u0 (0), v0 (0) ¶Ã 0 ! µ e e u (0) ∂ ∂ f f . = (q) (q) v0 (0) ∂u ∂v © ª En general, para un vector (v1 , v2 ) expresado en términos de la base Xu (q), Xv (q) se tiene que ¶Ã ! µ e e v1 ∂ ∂ f f , d f p (v1 , v2 ) = (q) (q) v2 ∂u ∂v y esto demuestra que d f p es una aplicación lineal cuya matriz asociada, con respecto © ª a la base Xu (q), Xv (q) , es ! Ã ∂ fe ∂ fe (q) (q) . ∂u ∂v

82


Veamos a continuación un ejemplo sobre cómo calcular la diferencial de una aplicación que ya hemos estudiado con anterioridad. Ejemplo 2.15 (La diferencial de la función altura). Consideremos la función altura h : S −→ R respecto al vector unitario v ∈ R3 , h(p) = hp, vi. Ya sabemos (véase el ejemplo 2.13) que h es diferenciable, y lo que queremos calcular ahora es su diferencial; esto es, nos preguntamos por la aplicación dh p : Tp S −→ R donde, dado un vector w ∈ Tp S, debemos encontrar dh p (w). Para ello, tomamos α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = w. Entonces ¯ ¯ ¯ ¢ ® ¡ d¯ d¯ d¯ α (t), v dh p (w) = ¯¯ (h ◦ α )(t) = ¯¯ h α (t) = ¯¯ dt t=0 dt t=0 dt t=0 ® 0 = α (0), v = hw, vi.

Por tanto, se tiene que dh p (·) = h ·, vi, que es la propia función h, lo cual tiene perfecto sentido ya que h es una aplicación lineal. Observemos además que, si Tp S y el plano Π = span{v}⊥ son paralelos, entonces hw, vi = 0 para todo w ∈ Tp S, y dh p ≡ 0. ♦ 2.4.2.

´ entre superficies La diferencial de una aplicacion

En este ep´ıgrafe seguimos la misma pauta que en el anterior. As´ı, sean S1 y S2 dos superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicación diferenciable. Si fijamos un punto arbitrario p ∈ S1 , vamos a definir su diferencial como dFp : Tp S1 −−−−→ TF(p) S2 ¯ d ¯¯ (F ◦ α )(t), v −−−−→ dt ¯t=0 donde α : I −→ S1 es cualquier curva en S1 con α (0) = p y α 0 (0) = v. Veamos cómo actúa dFp . Sean (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) dos parametrizaciones de S1 y S2 en p y F(p), respectivamente. Sea q1 ∈ U1 tal que X1 (q1 ) = p y sea q2 ∈ U2 tal que X2 (q2 ) = F(p). Representamos por (u, v) las coordenadas en U1 y por (u, v) las coordenadas en U2 (véase la figura 2.18). © ª Por tanto, una base para Tp S1 viene dada por (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) , mientras ª © que la correspondiente base para TF(p) S2 será (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) . Si v ∈ Tp S1 , existe una curva α : I −→ S1 con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v, y ¡ ¢ e (t) = (X1−1 ◦ α )(t) = u(t), v(t) , tomando su expresión en coordenadas, α ¯ ¡ ¢ d ¯¯ 0 e )(t) = d(X1 )q1 u0 (0), v0 (0) v = α (0) = ¯ (X1 ◦ α dt t=0 = u0 (0)(X1 )u (q1 ) + v0 (0)(X1 )v (q1 ). Ahora bien,

83

¯ d ¯¯ dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = β 0 (0), dt t=0


donde β (t) = (F ◦ α )(t) es una curva en S2 con β (0) = F(p). Claramente, su expre¡ ¢ sión en coordenadas viene dada por βe(t) = (X2−1 ◦ β )(t) = u(t), v(t) . Luego

β 0 (0) = u0 (0)(X2 )u (q2 ) + v0 (0)(X2 )v (q2 ). α

I

F

-S 2 6

X1

e = X1−1 ◦ α α

Figura 2.18: La diferencial

- S 1 6

´ entre de una aplicacion

R

superficies.

U1

X2

β = F ◦α

I

βe = X2−1 ◦ β

X2−1 ◦ F ◦ X1

- U2

Por lo tanto, la diferencial dFp : Tp S1 −→ TF(p) S2 es una aplicación que verifica ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ¢ ¡ dFp u (0), v0 (0) = u0 (0), v0 (0) , donde u0 (0), v0 (0) son las coordenadas de v res¢ © ª ¡ pecto a la base (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) , mientras que u0 (0), v0 (0) son las coordenaª © das de dFp (v) respecto a la base (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) . Consideremos la expresión en coordenadas de F, esto es, Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 : U1 −→ U2 . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ e (t) = Fe ◦ X1−1 ◦ α (t) = X2−1 ◦ F ◦ X1 ◦ X1−1 ◦ α (t) Fe u(t), v(t) = Fe α ¡ ¢ ¢ ¡ = X −1 ◦ F ◦ α (t) = (X −1 ◦ β )(t) = βe(t) = u(t), v(t) . 2

2

¢ ¡ e v) = u(u, v), v(u, v) , y u y v dependen a su vez de t, podemos Ahora bien, como F(u, ¡ ¢ ¡ ¢ escribir u(t) = u u(t), v(t) y v(t) = v u(t), v(t) ; por tanto, u0 (0) =

¢ ¢ ∂u¡ ∂u¡ u(0), v(0) u0 (0) + u(0), v(0) v0 (0), ∂u ∂v

¢ ¢ ∂v¡ ∂v¡ u(0), v(0) u0 (0) + u(0), v(0) v0 (0). ∂u ∂v ¡ ¢ Teniendo en cuenta que u(0), v(0) = q1 y que   ∂u ∂u  ∂u ∂v   J Fe =   ∂v ∂v , ∂u ∂v v0 (0) =

se llega finalmente a que  ∂u ! Ã (q1 ) 0  u (0)  ∂u =  ∂v v0 (0) (q1 ) ∂u

 ∂u Ã ! (q1 )  Ã 0 ! 0 (0) u (0) u ∂v  e  v0 (0) = J F(q1 ) v0 (0) . ∂v (q1 ) ∂v

Por tanto, la diferencial dFp es una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a ª © ª © las bases (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) y (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) es, precisamente, el jacoe 1 ). Además, dFp está bien definida, esto es, biano del cambio de coordenadas, J F(q no depende de la curva α . 84


Ejemplo 2.16 (La rotación de a´ ngulo θ respecto al eje z). Consideremos la aplicación F : S2 −→ S2 dada por

F(x, y, z) = (x cos θ − y sen θ , x sen θ + y cos θ , z), que es claramente diferenciable por ser la composición i ◦ F la restricción a S2 de un movimiento r´ıgido de R3 (una rotación). Vamos a calcular la diferencial de F en un punto p arbitrario. Para ello, tomamos una curva α : I −→ S2 , con α (0) = p y ¡ ¢ α 0 (0) = v ∈ Tp S2 , y escribimos α (t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces ¯ ¢ d ¯¯ ¡ x(t) cos θ − y(t) sen θ , x(t) sen θ + y(t) cos θ , z(t) dFp (v) = ¯ dt t=0 ¢ ¡ 0 = x (0) cos θ − y0 (0) sen θ , x0 (0) sen θ + y0 (0) cos θ , z0 (0) ¡ ¢ = F x0 (0), y0 (0), z0 (0) = F(v). Por tanto, la diferencial dFp (v) es la propia aplicación F, lo cual tiene perfecto sentido ya que F es una aplicación lineal. En ocasiones, el cálculo de la diferencial es conveniente efectuarlo utilizando coordenadas.5 En este ejemplo concreto, podemos tomar como X(u, v) las coordenadas geográficas de la esfera, siendo u la colatitud y v la longitud. En estos términos, e v) = (u, v + θ ), por lo que su jacobiano es la un cálculo sencillo demuestra que F(u, identidad, de suerte que para un punto X(u, v) = p llegamos a ¡ ¢ ¡ ¢ dFp Xu (u, v) = Xu (u, v + θ ) y dFp Xv (u, v) = Xv (u, v + θ ). Observemos que, pese a que el jacobiano es la matriz identidad, esto no significa que la actuación de la diferencial sea la propia identidad. ♦ Ejemplo 2.17. Sea S una superficie regular tal que 0 6∈ S y consideremos la aplicación F : S −→ S2 dada por F(p) = p/ |p|. Claramente, F es diferenciable, pues la composición i ◦ F es la restricción a S de la función F(p) = p/ |p|, definida e´ sta sobre el abierto R3 \{0} de R3 . Calculemos su diferencial. Para ello, tomemos una curva α : I −→ S, con α (0) = p y α 0 (0) = v ∈ Tp S. Entonces " # ® ¯ 0 (t) α (t), α hp, vi 1 1 α (t) d ¯¯ ¯= ¯ ¯ α 0 (t) − ¯ v− p. ♦ = dFp (v) = ¯ ¯¯ ¯3 α (t) ¯ ¯ ¯ dt t=0 α (t) |p| |p|3 ¯α (t)¯ α (t) t=0

A continuación vamos a ver algunos resultados estándar del Análisis en varias variables que se extienden sin dificultad para superficies regulares. Proposición 2.4.2 (Regla de la cadena). Sean F : S1 −→ S2 y G : S2 −→ S3 aplicaciones diferenciables entre superficies. Entonces, para cada p ∈ S1 , d(G ◦ F) p = dGF(p) ◦ dFp . 5

Esto es imprescindible cuando se trabaja con superficies abstractas, de lo que no nos ocuparemos en este libro.

85


Demostración. Ya sabemos que la composición G ◦ F es diferenciable (véase el corolario 2.2.8). Por tanto, sean p ∈ S1 y v ∈ Tp S1 , y tomemos una curva α : I −→ S1 con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces, ¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(G ◦ F) p (v) = ¯ (G ◦ F) α (t) = ¯ G F(α (t)) . dt t=0 dt t=0 ¡ ¢ Vamos a llamar β (t) = F α (t) , que es una curva en S2 con condiciones iniciales ¡ ¢ β (0) = F(p) y β 0 (0) = dFα (0) α 0 (0) = dFp (v). Por tanto, ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ d¯ d(G ◦ F) p (v) = ¯¯ G β (t) = dGβ (0) β 0 (0) = dGF(p) dFp (v) . dt t=0 Observación 2.6. Como la noción de espacio tangente en un punto p se basa en los vectores tangentes a las curvas cuando pasan por dicho punto y este concepto es completamente local, resulta sencillo demostrar que si S es una superficie regular y S0 ⊂ S es un abierto de S, entonces Tp S ≡ Tp S0 para cada p ∈ S0 . ♦ Teorema 2.4.3 (de la función inversa). Sea F : S1 −→ S2 una aplicación diferenciable entre superficies y supongamos que dFp es un isomorfismo lineal para un cierto p ∈ S1 . Entonces F es un difeomorfismo local en p, esto es, existe un entorno V (p) ⊂ S1 tal que F : V −→ F(V ) es un difeomorfismo entre superficies. Demostración. Consideremos (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) dos parametrizaciones de S1 y S2 en p y F(p), respectivamente. Sean V1 = X1 (U1 ) y q1 ∈ U1 tal que X1 (q1 ) = p. Por otra parte, sean V2 = X2 (U2 ) y q2 ∈ U2 tal que X2 (q2 ) = F(p). Si tomamos Fe la expresión en coordenadas de F respecto a estas parametrizaciones, es claro que el ¡ ¢ dominio de Fe viene dado por U := X1−1 F −1 (V2 ) ∩ V1 , donde U ⊂ U1 es abierto y q1 ∈ U (véase el diagrama de la figura 2.14). Obsérvese que d Feq1 es también un isomorfismo lineal, ya que su matriz jacobiana coincide con la de dFp . Por tanto, si aplicamos el teorema de la función inversa a la e e1 (q1 ) ⊂ U y U e2 (q2 ) de modo que aplicación Fe : U −→ F(U), deben existir abiertos U e1 −→ U e2 es un difeomorfismo entre abiertos del plano. Sea ahora V = X1 (U e1 ), Fe : U ¯ que es un abierto de S1 . Claramente, F ¯V : V −→ F(V ) es un difeomorfismo, ya que ¯ ¯ F ¯V = (X2 ◦ Fe ◦ X1−1 )¯V , que es una composición de tres difeomorfismos. A continuación probamos que el rec´ıproco de este resultado también se verifica. Teorema 2.4.4. Sea F un difeomorfismo local en p entre dos superficies S1 y S2 . Entonces la aplicación dFp : Tp S1 −→ TF(p) S2 es un isomorfismo lineal. Demostración. Como F : S1 −→ S2 es un difeomorfismo local en p, existen abiertos ¡ ¢ V1 (p) ⊂ S1 y V2 F(p) ⊂ S2 de modo que F : V1 −→ V2 es un difeomorfismo. Consideremos la inversa de F, dada por F −1 : V2 −→ V1 . Entonces F −1 ◦ F es la identidad, esto es, F −1 ◦ F = 1V1 . Si hacemos la diferencial en p se obtiene

1Tp S1 = 1TpV1 = d(F −1 ◦ F) p = d(F −1 )F(p) ◦ dFp . 86


Análogamente se prueba que dFp ◦ d(F −1 )F(p) = 1TF(p) S2 . Por tanto, dFp es invertible ¡ ¢ y es un isomorfismo lineal. Además, (dFp )−1 = d F −1 F(p) . Definición 2.4.5. Sea f : S −→ R una función diferenciable. Un punto p ∈ S se dice que es un punto cr´ıtico de f cuando d f p ≡ 0. Proposición 2.4.6. Siguiendo la notación anterior, se tiene que: i) Si f : S −→ R es constante, entonces d f p ≡ 0, para todo p ∈ S. ii) Si S es conexa y d f p ≡ 0 para todo p ∈ S, entonces f es constante. iii) Si f presenta un extremo relativo en p0 ∈ S, entonces d f p0 ≡ 0. Demostración. La demostración de i) es inmediata pues, para todo v ∈ Tp S, si α es una curva con condiciones iniciales p y v, se tiene que ¯ ¯ ¢ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d f p (v) = ¯ f α (t) = ¯ (constante) = 0. dt t=0 dt t=0 © ª Con respecto a ii), sea a ∈ R con a ∈ f (S) y sea A = p ∈ S : f (p) = a . Claramente, A 6= 0/ pues a ∈ f (S). Vamos a ver que A = S, lo que demostrará que f es una función constante cuyo u´ nico valor es a. Para ello utilizaremos el hecho bien conocido de que en un espacio topológico conexo, el u´ nico conjunto (no vac´ıo) que es abierto y cerrado a la vez es el espacio total (véase [30]). En primer lugar, observemos que A es cerrado por ser la imagen inversa de un cerrado en R, el conjunto unipuntual {a}. Por tanto, bastará comprobar que A es abierto. Sea entonces p ∈ A y sea (U, X) una parametrización con p ∈ V = X(U) y U conexo (esto no supone ninguna restricción). Si probamos que V ⊂ A habremos terminado. Para ello, sea q ∈ U; entonces d( f ◦ X)q = d fX(q) ◦ dXq ≡ 0 pues, por hipótesis, d f p ≡ 0 para todo p ∈ S. Como f ◦ X : U ⊂ R2 −→ R es una función real cuya diferencial se anula en todos los puntos del abierto conexo U, f ◦ X debe ser constante, por lo que f ◦ X ≡ a en U. En consecuencia, f ≡ a en X(U) = V y, por tanto, V ⊂ A, con lo que termina la prueba de ii). Para demostrar iii) supongamos, por ejemplo, que p0 es un máximo relativo de f (análogamente se har´ıa para un m´ınimo). Entonces, existe un entorno V (p0 ) ⊂ S de modo que f (p0 ) ≥ f (p), para todo p ∈ V . Nos planteamos estudiar la aplicación d f p0 . Para ello, sea v ∈ Tp0 S y as´ı ¯ d ¯¯ d f p0 (v) = ¯ ( f ◦ α )(t), dt t=0

donde α : I −→ V ⊂ S es una curva en la superficie con condiciones iniciales p0 y v. Si llamamos h(t) = ( f ◦ α )(t), entonces h : I −→ R es una función real de variable ¢ ¡ real verificando además que h(t) = f α (t) ≤ f (p0 ) = h(0), para todo t ∈ I. Por lo tanto, 0 es un máximo de h : I −→ R y, en consecuencia, h0 (0) = 0; luego d f p0 (v) = 0, para todo v ∈ Tp0 S. 87


2.5.

LA PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL

Hasta ahora nos hemos ocupado de las superficies regulares y de cuestiones que u´ nicamente atañen al a´ mbito de lo diferenciable. En esta sección vamos a introducirnos ya en el mundo de la Geometr´ıa de Superficies. Ahora bien, ¿cómo podemos hacer geometr´ıa, esto es, medir distancias, a´ ngulos y a´ reas dentro de una superficie? La respuesta a esta cuestión no puede ser más natural: podemos aprovechar que la superficie está a su vez dentro del espacio eucl´ıdeo y que este espacio tiene un ((entramado métrico)) que, por supuesto, también la afecta. A modo de ejemplo, si queremos definir la longitud de una curva de la superficie, podemos contemplar la curva dentro del espacio eucl´ıdeo y definir su longitud como la que tiene la propia curva en R3 . Este modo de proceder parece tan obvio que puede parecer superfluo e, incluso, redundante. No obstante, si ahora nos planteamos definir el a´ rea de un recinto contenido en la superficie, la situación no es tan clara, porque, aunque veamos dicho recinto dentro de R3 , la estructura eucl´ıdea no proporciona herramientas para computar dicha a´ rea. ¿Qué hacer entonces en esta situación? Para resolver el problema, la idea consiste en remontarnos a lo esencial de la estructura métrica de R3 . La pregunta ser´ıa: ¿qué es lo que permite hacer geometr´ıa dentro del espacio eucl´ıdeo? Evidentemente, es el producto escalar eucl´ıdeo el objeto a partir del cual pueden definirse longitudes, a´ ngulos, a´ reas y volúmenes. Pues bien, si el ingrediente fundamental de la Geometr´ıa Eucl´ıdea es el producto escalar, lo que haremos será ((inducir)) dicho producto en la superficie; esto es, usaremos el producto escalar para medir (hacer geometr´ıa) en la superficie. As´ı pues, consideremos una superficie regular S y un punto p ∈ S. Sabemos que Tp S es un plano vectorial contenido en el espacio vectorial R3 , luego, dados dos vectores v, w ∈ Tp S, vamos a representar por hv, wi p el producto escalar usual de R3 actuando sobre los vectores pertenecientes a Tp S. De esta forma, si v, w ∈ Tp S, se tiene que hv, wi p = hv, wi. Observemos que h · , · i p es una forma bilineal, simétrica y definida positiva. Vamos a representar por I p la forma cuadrática asociada a h · , · i p , es decir, la aplicación I p : Tp S −→ R dada por I p (v) = hv, vi p = hv, vi = |v|2 ≥ 0. Definición 2.5.1. La aplicación I p : Tp S −→ R dada por I p (v) = hv, vi p se denomina la primera forma fundamental de S. En lo que sigue, y salvo que queramos precisar con exactitud el punto sobre el que estamos trabajando, escribiremos simplemente h · , · i en lugar de h · , · i p . Sean v ∈ Tp S y α : I −→ S con condiciones iniciales p y v. Tomamos una parame¡ ¢ e (t) = u(t), v(t) la expresión en coordenadas trización (U, X) de S y consideramos α de α . Entonces v = α 0 (0) = u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) = aXu (q) + bXv (q), donde a, b son números reales y X(q) = p. Si ahora calculamos I p (v) obtenemos

I p (v) = |aXu + bXv |2 = a2 hXu , Xu i + 2ab hXu , Xv i + b2 hXv , Xv i , donde, por simplicidad, hemos suprimido el punto q en el que se evalúan la parametrización y sus parciales. A partir de ahora, y siempre que no haya lugar a confusión, omitiremos habitualmente las variables (u, v) en las fórmulas. 88


Denotamos por E = hXu , Xu i, F = hXu , Xv i y G = hXv , Xv i. Estas tres funciones (toman sus valores en U) son claramente diferenciables y se denominan los coeficientes de la primera forma fundamental. Observemos que las funciones E, F y G expresan, de algún modo, cómo var´ıa la manera de medir vectores conforme vamos cambiando de punto en la superficie. Por otra parte, remarcamos el hecho de que E, F y G son objetos dependientes de la parametrización que estemos considerando, tal y como pone de manifiesto la siguiente observación. Observación 2.7. Dada una superficie S, según la parametrización que estemos utilizando, los coeficientes de la primera forma fundamental serán de una forma u otra (mucho más tarde veremos que una especial combinación de e´ stos y sus derivadas s´ı es independiente de la parametrización). Como ejemplo sencillo para ilustrar esta afirmación, basta considerar el plano af´ın z = 0. Dicho plano admite como parametrización X(u, v) = (u cos v, u sen v, 0); sus coeficientes ser´ıan E = 1, F = 0 y G = u2 . Otra parametrización para este plano es X(u, v) = (u, v, 0) cuyos coeficientes son ahora E = 1, F = 0 y G = 1. ♦ A continuación vamos a presentar varias superficies y sus coeficientes respecto de algunas parametrizaciones. Ejemplo 2.18 (El plano). Sea Π el plano af´ın generado por una base arbitraria © ª v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) , que pasa por el punto p = (p1 , p2 , p3 ). Una parametrización para Π puede ser la dada por X : R2 −→ Π, X(u, v) = (p1 + uv1 + vw1 , p2 + uv2 + vw2 , p3 + uv3 + vw3 ); de esta forma, Xu = (v1 , v2 , v3 ) = v mientras que Xv = (w1 , w2 , w3 ) = w. Por tanto, E = hv, vi, F = hv, wi y G = hw, wi. Obsérvese que, si la base es ortonormal, entonces E = G = 1 y F = 0. ♦ © ª Ejemplo 2.19 (El cilindro). Sea C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2 = r2 el cilindro circular recto de radio r (véase la figura 2.19). Una parametrización para C ser´ıa X(u, v) = (r cos u, r sen u, v).

Figura 2.19: El cilindro.

Entonces Xu = (−r sen u, r cos u, 0) y Xv = (0, 0, 1). Luego E = r2 , F = 0 y G = 1 son los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a X. ♦ Ejemplo 2.20 (El helicoide). Consideremos la hélice (véase la figura 1.1) parametrizada mediante α (u) = (cos u, sen u, au), con a > 0. Observemos que esta curva se va enroscando alrededor del eje z, por lo que tiene sentido, para cada punto α (u), tomar la recta determinada por e´ ste y el punto del eje z con coordenadas (0, 0, au). La unión de dichas rectas es una superficie regular que se denomina el helicoide (véase la figura 2.20). Una parametrización para esta superficie es X(u, v) = (v cos u, v sen u, au), Figura 2.20: El helicoide.

con u, v ∈ R.

As´ı, Xu = (−v sen u, v cos u, a) y Xv = (cos u, sen u, 0), luego E = a2 + v2 , F = 0 y G = 1 son los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a X. ♦ 89


Veamos a continuación algunas propiedades elementales que verifican los coeficientes de la primera forma fundamental. Proposición 2.5.2. Sean S una superficie, (U, X) una parametrización de S y E, F, G los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a (U, X). Entonces, i) E, G > 0 y ii) EG − F 2 > 0. Demostración. La primera propiedad es evidente, ya que {Xu , Xv } forman una base del plano tangente y, en particular, son vectores no nulos, por lo que sus módulos son siempre positivos. Con respecto a la segunda, observemos que |Xu ∧ Xv |2 + hXu , Xv i2 = |Xu |2 |Xv |2 sen2 θ + |Xu |2 |Xv |2 cos2 θ = |Xu |2 |Xv |2 ,

donde θ = a´ ng(Xu , Xv ). Por tanto, EG − F 2 = |Xu |2 |Xv |2 − hXu , Xv i2 = |Xu ∧ Xv |2 > 0, siendo el u´ ltimo término positivo por ser Xu y Xv linealmente independientes. 2.5.1.

Aplicaciones de la primera forma fundamental: ´ ´ midiendo longitudes, angulos y areas

Tal y como ya hemos comentado con anterioridad, la primera forma fundamental tiene la cualidad de que con ella podemos efectuar geometr´ıa sobre la superficie, es decir, podemos hacer medidas de los objetos que están contenidos en la misma. Midiendo longitudes Sea α : I −→ S una curva parametrizada. Su longitud de arco viene dada por Z t q Z tq Z t¯ ¯ ¡ ® ¢ α 0 (r), α 0 (r) dr = Iα (r) α 0 (r) dr. s(t) = ¯α 0 (r)¯ dr = 0 0 0 ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) , siendo (U, X) una parametrización En particular, si α (t) = X u(t), v(t) = X α de S, la longitud de arco se puede expresar como Z tq ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ e (r) u0 (r)v0 (r) + G α e (r) v0 (r)2 dr. e (r) u0 (r)2 + 2F α E α s(t) = 0

Por lo tanto,

q ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) u0 (t)v0 (t) + G α e (t) v0 (t)2 , e (t) u0 (t)2 + 2F α s (t) = E α 0

es decir, µ µ ¶2 ¶2 ¶2 µ ¢ du ¢ du dv ¢ dv ¡ ¡ ¡ ds e (t) e (t) e (t) (t) = E α (t) + 2F α (t) (t) + G α (t) ; dt dt dt dt dt esto suele escribirse como (ds)2 = E(du)2 + 2Fdudv + G(dv)2 , y se dice que ds es el elemento de arco o elemento de l´ınea de S. 90


´ Midiendo angulos Sean α : I −→ S y β : I −→ S dos curvas parametrizadas regulares que se cortan en un punto α (t0 ) = β (t0 ), t0 ∈ I. El a´ ngulo θ que forman (es decir, el a´ ngulo que determinan sus vectores tangente en dicho punto) viene dado por 0 ® α (t0 ), β 0 (t0 ) cos θ = ¯¯ 0 ¯¯¯¯ 0 ¯¯ . α (t0 ) β (t0 )

En particular, dada una parametrización (U, X), si tomamos sus curvas coordenadas para v0 y u0 fijos, esto es, α (u) = X(u, v0 ), β (v) = X(u0 , v), entonces el a´ ngulo que forman en X(u0 , v0 ) vale

θ = arc cos

hXu , Xv i F (u0 , v0 ) = arc cos √ (u0 , v0 ). |Xu ||Xv | EG

Observemos que θ ≥ 0 y que las curvas coordenadas de X son ortogonales si, y sólo si, F ≡ 0. En tal caso, se dice que X es una parametrización ortogonal.

´ Midiendo areas Para medir a´ reas necesitamos definir lo que se entiende por una región de una superficie regular. Definición 2.5.3. Sea R ⊂ S un subconjunto de una superficie regular S. Diremos que R es una región de S si es un subconjunto conexo y relativamente compacto de S, cuya frontera (topológica, relativa a S), al descomponerse en (un número finito de) componentes conexas, debe verificar: cada componente conexa es una curva regular excepto, a lo sumo, en un número finito de puntos; cada componente conexa es homeomorfa a la circunferencia S1 . Como vemos, la definición de región es bastante técnica y, en realidad, para lo que vamos a exponer a continuación, sólo se precisa que R sea relativamente compacto. Sin embargo, hemos optado por establecerla de este modo pues, en cap´ıtulos posteriores, este concepto volverá a entrar en juego de forma relevante, y all´ı s´ı serán necesarias todas las condiciones que se han impuesto en la definición. As´ı pues, si R ⊂ S es una región de una superficie regular S, tal que existe una parametrización (U, X) con R ⊂ X(U), se define el a´ rea de R como Z

A(R) =

X −1 (R)

|Xu ∧ Xv | dudv.

El siguiente resultado de carácter técnico prueba que e´ sta es una buena definición. Lema 2.5.4. El número A(R) no depende de la parametrización escogida. 91


Demostración. Sea X : U −→ S otra parametrización de S con R ⊂ X(U). Conside−1 ramos el cambio de coordenadas h = X ◦ X, el cual podemos expresar de la forma ¢ ¡ h(u, v) = u(u, v), v(u, v) de suerte que ¡ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = X h(u, v) = X u(u, v), v(u, v) ; entonces,

∂u ∂v ∂u ∂v + X v , y Xv = X u + Xv . ∂u ∂u ∂v ∂v Multiplicando estos vectores (vectorialmente) y utilizando la antisimetr´ıa del producto vectorial, se tiene que ¶ µ ¢ ∂v ∂u¡ ¢ ¢ ∂u ∂v¡ ∂u ∂v ∂v ∂u ¡ − Xu ∧ Xv + Xv ∧ Xu = Xu ∧ Xv Xu ∧ Xv = ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ¢ ¡ = det(Jh) X u ∧ X v . Xu = X u

Luego

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det(Jh)¯−1 |Xu ∧ Xv | = ¯det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv |.

Por tanto, al introducir esta expresión bajo el signo de la integral, obtenemos ZZ ZZ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ dudv = |Xu ∧ Xv | ¯det(Jh−1 )¯ dudv −1 −1 X

X

(R)

ZZ

=

(R)

X −1 (R)

|Xu ∧ Xv | dudv,

donde en la u´ ltima igualdad hemos aplicado el teorema del cambio de variable. Esto concluye la demostración. Aunque hemos probado que la definición es buena, es decir, no depende de las coordenadas escogidas, habr´ıa que verificar si la definición se corresponde realmente con el concepto que deseamos definir. En otras palabras, deber´ıamos comprobar si el número A(R) ((es)) el a´ rea de la región R. Para ello, remitimos al lector al cap´ıtulo 4 de integración, donde se explica el sentido geométrico de la definición.6 Una consecuencia directa del lema 2.5.4 anterior es la siguiente: Corolario 2.5.5. El a´ rea de una región R ⊂ S viene dada por la expresión ZZ p EG − F 2 dudv, A(R) = X −1 (R)

donde (U, X) es cualquier parametrización de S tal que R ⊂ X(U). Desde luego, es natural preguntarse qué ocurre si queremos medir el a´ rea de una región R ⊂ S, y no podemos encontrar ninguna parametrización (U, X) de la superficie que la cubra, es decir, tal que R ⊂ X(U). Este caso necesita un tratamiento espec´ıfico, algo más complejo, que será estudiado en el cap´ıtulo 4 de este libro, donde remitimos al lector. 6

Suele ocurrir en Geometr´ıa que, si uno es capaz de definir un objeto independientemente de las coordenadas, entonces dicho objeto es susceptible de tener algún significado importante. Veremos posteriormente más ejemplos de esta situación.

92


Ejemplo 2.21 (El a´ rea del toro de revolución). Recordemos que el toro de revolución T2 es una superficie regular (véanse los ejemplos 2.7 y 2.11) que se puede parametrizar de la forma ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u , donde (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × (0, 2π ). Los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a esta parametrización vienen dados por E = r2 , F = 0, G = (a+r cos u)2 . √ As´ı, EG − F 2 = r(a + r cos u) y, para toda región R contenida en el entorno coordenado X(U), se tendrá que ZZ ZZ p EG − F 2 dudv = A(R) = r(a + r cos u) dudv. X −1 (R)

X −1 (R)

Obsérvese que, geométricamente, la parametrización X actúa como se muestra en la figura 2.21, identificando los lados opuestos de un cuadrado de lado 2π . D ≡ (0, 2π )

C ≡ (2π , 2π )

X

U

´ Figura 2.21: La parametrizacion

-

A↔D B↔C s

+

B ≡ (2π , 0)

A ≡ (0, 0)

´ del toro de revolucion.

X (U )

AB

AD

Como lo que queremos es calcular el a´ rea del toro nos fijamos, en primer lugar, en que la parametrización X no cubre todo T2 : un paralelo (el correspondiente a u = 0) y un meridiano (v = 0) no están en X(U). As´ı, siendo rigurosos, no podemos aplicar el corolario 2.5.5 para calcular su a´ rea. Sin embargo, en este caso podemos actuar del siguiente modo. Si consideramos el cuadrado (ε , 2π − ε ) × (ε , 2π − ε ) ⊂ U estrictamente, entonces su imagen ¡ ¢ Rε = X (ε , 2π − ε ) × (ε , 2π − ε ) es una región del toro (véase la figura 2.22) que queda cubierta totalmente por la parametrización X, por lo que podemos calcular su a´ rea: ZZ

r(a + r cos u) dudv = X −1 (Rε ) ¡ ¢ = 4r(π − ε ) a(π − ε ) − r sen ε .

A(Rε ) =

2π

ε

ε ε

ε

ε ε

´ Figura 2.22: Calculando el area

0

´ del toro de revolucion.

93

ε ε 2π

ε

ε

r(a + r cos u) dudv

Rε X

X −1 (Rε )

Z 2π −ε Z 2π −ε

-

zU 2ε


Finalmente, tomando l´ımites, ¡ ¢ A(R) = l´ım A(Rε ) = l´ım 4r(π − ε ) a(π − ε ) − r sen ε = 4arπ 2 , ε →0

ε →0

ya que, claramente, la función ε −→ A(Rε ) es continua.

♦

En la práctica no va a ser necesario recurrir a este ((truco)) a la hora de calcular el a´ rea de una región (en general, o de una superficie compacta) que se encuentre en una situación análoga, pues si el conjunto que queda sin cubrir por la parametrización tiene medida nula (como es el caso del ejemplo anterior), no va a tener influencia alguna en el resultado final de la integral. Como ya hemos comentado previamente, este tema se tratará con detalle en la sección 4.2. Aun as´ı, hemos querido incluir aqu´ı este ejemplo (véase [12]) por considerarlo muy ilustrativo.

94


EJERCICIOS Ejercicio 2.1 (Superficies de revolución). Sea α : I −→ R3 la curva parametrizada regular ¡ ¢ α (v) = f (v), 0, g(v)

α(v)

contenida en el plano y = 0, que no corta al eje z, con f , g : I −→ R. Sea S la figura obtenida al rotar su traza alrededor de dicho eje. Demostrar que S es una superficie regular, llamada superficie de revolución. En ella, los c´ırculos descritos por cada uno de los puntos de α se denominan paralelos de S, mientras que cada una de las posiciones de α en S recibe el nombre de meridiano. Demostrar que una superficie de revolución siempre se puede parametrizar de modo que E = E(v), F = 0 y G = 1.

f (v) g(v)

Figura 2.23: La superficie ´ generada por de revolucion ¡ ¢ la curva α (v) = f (v), 0, g(v) .

Ejercicio 2.2. Sean S una superficie regular y p0 ∈ R3 . Calcular, cuando sea posible, la diferencial de la función distancia a p0 , f : S −→ R, f (p) = |p − p0 |. Ejercicio 2.3. i) Demostrar que la aplicación ant´ıpoda A : S2 −→ S2 , dada por A(p) = −p, es un difeomorfismo y calcular su diferencial. √ ¢ ¡√ 1 + z2 x, 1 + z2 y, z es un difeoii) Demostrar que la aplicación F(x, y, z) = © ª morfismo entre el cilindro C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 y el hiperboloide © ª de una hoja H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1 .

6

-

=

´ Figura 2.24: Una aplicacion entre el hiperboloide y la esfera.

iii) Estudiar la diferenciabilidad de la aplicación F : S2 \{N, S} −→ H, definida entre la esfera unidad menos los polos y el hiperboloide de una hoja H, que a cada p ∈ S2 \{N, S} le asigna el punto intersección de H con la semirrecta que pasa por p y corta ortogonalmente al eje z (véase la figura 2.24). Ejercicio 2.4. Sean S una superficie regular y p0 6∈ S. Considérese la aplicación F : S −→ S2

dada por

F(p) =

p − p0 . |p − p0 |

Justificar por qué F es diferenciable y calcular su diferencial. Demostrar que un vector no nulo v ∈ Tp S está en el núcleo de dFp si, y sólo si, v = λ (p − p0 ) para un cierto λ ∈ R. Concluir que F es un difeomorfismo local si, y sólo si, no se puede trazar una recta tangente a S desde p0 . Ejercicio 2.5. Sea F : S2 \{N, S} −→ C la aplicación, definida entre la esfera unidad © ª menos los polos y el cilindro recto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , dada por ¶ µ y x ,√ ,z . F(x, y, z) = √ 1 − z2 1 − z2 ¡ ¢ i) Justificar que, en efecto, F S2 \{N, S} ⊂ C, y demostrar que es diferenciable. ii) Calcular la diferencial de F. ¿Tiene F puntos cr´ıticos? 95


Ejercicio 2.6. Sea S una superficie regular que no corta al eje z. Considérese la fun¯ ¯ ción f : S −→ R dada por f (p) = 1/¯ p ∧ (0, 0, 1)¯. i) Justificar por qué f es diferenciable y calcular su diferencial. ii) Demostrar que p ∈ S es un punto cr´ıtico de f si, y sólo si, el normal a la superficie en p está en la dirección de p. Ejercicio 2.7. Sea S una superficie regular y conexa. Demostrar que: i) todas sus rectas normales son paralelas a una recta fija L si, y sólo si, S está contenida en un plano ortogonal a L; ii) todas sus rectas normales cortan perpendicularmente al eje z si, y sólo si, S está contenida en un cilindro circular de la forma x2 + y2 = r2 ; iii) todas sus rectas normales pasan por un mismo punto fijo p0 , si, y sólo si, S está contenida en una esfera centrada en p0 . Ejercicio 2.8 (Loxodromas). Se denomina loxodroma o l´ınea de rumbo fijo a la curva contenida en una superficie de revolución S que forma un a´ ngulo constante con el meridiano de S en cada punto. Calcular las loxodromas de la esfera. Figura 2.25: Una loxodroma en la esfera.

Ejercicio 2.9. Calcular el a´ rea de la región R del catenoide (es decir, la superficie de revolución generada por la rotación de una catenaria, véase la figura 4.2) comprendida entre los planos z = −1 y z = 1. Ejercicio 2.10 (La pseudoesfera). La pseudoesfera7 (véase la figura 2.26) es una superficie de revolución cuya curva generatriz es la tractriz (véase el ejercicio 1.2). As´ı pues, una parametrización para esta superficie viene dada por ³ π´ ³ u´ , (u, v) ∈ 0, × (0, 2π ). X(u, v) = sen u cos v, sen u sen v, cos u + log tg 2 2

Figura 2.26: La pseudoesfera.

i) Calcular su primera forma fundamental. ii) Demostrar que, aun no siendo compacta, su a´ rea ((total)) es 2π . 7

Cuando en el cap´ıtulo 3 estudiemos la curvatura de Gauss, quedará justificado el porqué de su nombre: la esfera S2 es una superficie regular con curvatura de Gauss constante e igual a 1; la pseudoesfera tiene curvatura de Gauss constantemente igual a −1 (véase el ejercicio 3.3).

96


Ejercicio 2.11 (Tubo regular). Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Se denomina tubo regular de radio r alrededor de α a la superficie parametrizada ¡ ¢ X(s, θ ) = α (s) + r cos θ n(s) + sen θ b(s) ,

(s, θ ) ∈ I × (0, 2π ),

donde r > 0 es un valor constante adecuado para que 1 − rk(s) cos θ > 0. i) Calcular su primera forma fundamental. ii) Demostrar que su a´ rea es 2π r veces la longitud de la curva α .

Figura 2.27: Tubos regulares ´ alrededor de una helice cil´ındrica y una curva cerrada.

97

III

El teorema Egregium de Gauss Este tercer cap´ıtulo se adentra en los aspectos fundamentales de la Geometr´ıa clásica de superficies. Las primeras secciones se ocupan del estudio de la geometr´ıa de la aplicación de Gauss desde distintos puntos de vista. As´ı, la primera de ellas está dedicada al estudio de la orientabilidad y de la noción de superficie orientable como aquella en la que es posible definir de forma global y en cada punto un sentido de giro. Una primera formulación de este concepto se puede realizar en términos de la aplicación de Gauss (es decir, de un campo normal y unitario a la superficie). Esto puede hacer pensar que se trata de un concepto extr´ınseco y perteneciente al a´ mbito de lo diferenciable. Nada más lejos de la realidad, ya que la orientación es una caracter´ıstica intr´ınseca, de hecho, estrictamente topológica, de una superficie. No obstante, para nuestros fines esto no es importante. Nosotros nos limitamos a demostrar que se trata de un concepto intr´ınseco, que se puede definir en términos de las parametrizaciones y cambios de coordenadas. Por tanto, no es necesario recurrir a la aplicación de Gauss para su construcción. Finalmente, presentamos algunas propiedades de las superficies orientables, mostrando diversos ejemplos de superficies orientables y no orientables. En las siguientes secciones nos dedicamos al estudio de la variación de la aplicación de Gauss utilizando su diferencial. Resulta que la aplicación de Gauss describe cómo se ((encuentra)) la superficie dentro del espacio eucl´ıdeo y cómo se va ((curvando)) en las distintas direcciones. Aparece as´ı el concepto de curvatura normal, que explica cuánto y cómo se curva una superficie en una determinada dirección. Dado que una superficie tiene ((todo un plano)) de direcciones (el plano tangente), efectuamos un estudio de cuánto se curva en cada una de estas direcciones, llegando as´ı a la definición de las curvaturas principales como los valores extremos de la curvatura normal. Las curvaturas principales resultan ser los valores propios de la diferencial de la aplicación de Gauss. A partir de ellas es posible definir dos invariantes important´ısimos asociados a dicha aplicación: la curvatura de Gauss y la curvatura media, que se corresponden con el determinante y la traza de la diferencial, respectivamente. Por otra parte, resulta interesante preguntarnos por aquellas superficies que se ((doblan)) por igual en todas las direcciones y todo punto. Estas superficies se denominan totalmente umbilicales, y presentamos un resultado que caracteriza esferas y planos como las u´ nicas con tal propiedad. Evidentemente, estos conceptos se definen con independencia de la parametrización que estemos usando (o no ser´ıan conceptos relevantes). No obstante, y con fines operativos, dedicamos una sección al estudio, en términos de coordenadas, de la aplicación de Gauss, de la curvatura media y de la

99


curvatura de Gauss. Finalizamos este bloque de secciones dedicadas a la aplicación de Gauss con una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss análoga a la que se presentó para la curvatura de una curva plana. Las u´ ltimas tres secciones se centran en aspectos intr´ınsecos de las superficies relacionados con la aplicación de Gauss y los conceptos que de ella hemos derivado, de ah´ı su inclusión en este mismo cap´ıtulo. Presentamos en primer lugar la noción de isometr´ıa entre superficies como una aplicación que conserva la primera forma fundamental. Esto significa que la aplicación preserva todos los conceptos métricos definidos a partir de dicha primera forma, a saber, longitudes, a´ ngulos y a´ reas. El concepto de isometr´ıa surge de forma natural, como en otras muchas ramas de las Matemáticas, al estudiar conjuntos equipados con algún tipo de estructura. As´ı, para cada clase de estructura existe una noción de equivalencia (o isomorfismo) que no es más que una aplicación biyectiva que, en un sentido apropiado, preserva dicha estructura. Una clase particular de estructura determina una disciplina dentro de las Matemáticas: el estudio de los conceptos que se preservan bajo dicha equivalencia. A modo de ejemplo, un espacio topológico es un conjunto equipado con una estructura (su topolog´ıa), y el estudio de las propiedades que se preservan por homeomorfismos constituye la Topolog´ıa como disciplina. Análogamente, una superficie regular es un conjunto del espacio eucl´ıdeo con una estructura formada por parametrizaciones que cubren todos sus puntos. El estudio de las propiedades que se preservan por isometr´ıas constituye la Geometr´ıa Diferencial (intr´ınseca) de superficies. Precisamente, una de las secciones finales de este cap´ıtulo está dedicada a demostrar el teorema Egregium de Gauss, en el que se establece que la curvatura de Gauss es, precisamente, un objeto que se preserva por isometr´ıas. Este resultado es sorprendente desde muchos puntos de vista: recordemos que acabamos de definir la curvatura de Gauss como una función que codifica cómo y cuánto var´ıa la aplicación de Gauss, objeto extr´ınseco donde los haya, ya que depende de la ubicación de la superficie dentro del espacio. Pues bien, se demuestra entonces que la primera forma fundamental determina por completo dicha curvatura, y resulta ser un caso singular, ya que el resto de curvaturas que hemos definido s´ı dependen de aspectos extr´ınsecos. A partir del teorema de Gauss se obtienen consecuencias muy interesantes y que tienen profundas implicaciones en otras ramas de la ciencia. Un ejemplo muy descriptivo se da en la Cartograf´ıa. As´ı, en la u´ ltima sección del cap´ıtulo, justificamos la imposibilidad de construir proyecciones ((perfectas)) y analizamos las aplicaciones que conservan, al menos, alguna de las caracter´ısticas que toda buena proyección deber´ıa reflejar. Concretamente, introducimos las aplicaciones conformes (como aquellas proyecciones que conservan a´ ngulos) y las aplicaciones isoareales (preservan a´ reas). 3.1.

´ DE SUPERFICIES ORIENTACION

¿Qué quiere decir que una superficie sea orientable? Para introducir esta primera sección vamos a realizar un pequeño experimento mental. Supongamos que somos un 100

El teorema Egregium de Gauss

ser bidimensional que vive dentro de una superficie y que tenemos un reloj de agujas. Las agujas giran en cierto sentido y esto nos permite identificar una ((orientación)). As´ı, podemos convenir lo siguiente: ((cuando la aguja del segundero pasa por las 12 horas y yo tengo mi reloj bien situado enfrente de m´ı, entonces la aguja gira hacia la derecha)). Análogamente, es posible definir la ((izquierda)) como la dirección opuesta. En definitiva, tener una orientación bien definida en un punto es saber decir que algo (un remolino, una peonza) gira a favor de las agujas del reloj (o en contra), es saber decir dónde está la derecha y la izquierda. Esto es tener bien definida una orientación en un punto y, en términos puramente matemáticos, esto equivale a afirmar que es posible orientar el plano tangente del punto en el que nos encontramos.

=

Ahora bien, ¿qué ocurre si nos desplazamos a lo largo de la superficie? Parece razonable pensar: ((si mi reloj se mueve de esta manera aqu´ı, pues un poco más allá va a seguir haciendo lo mismo, y mi noción de derecha e izquierda no va a cambiar)). Esto es as´ı localmente, pues en puntos suficientemente próximos al de partida, el sentido de rotación de las agujas del reloj no va a sufrir cambios bruscos (no va a ser el opuesto).

´ Figura 3.1: Orientacion.

No obstante, si nos planteamos hacer un largo viaje sobre la superficie en la que vivimos, puede ocurrir que al volver al punto de partida nuestro reloj gire en sentido contrario, y que nuestra definición original para derecha e izquierda se haya invertido. Esto que parece un absurdo no lo es, y vamos a presentar un ejemplo de esta clase de superficies en las que no es posible determinar un ((sentido de giro)) coherente en todos sus puntos de forma global. Este u´ ltimo adjetivo hace referencia al hecho de que la orientación, en definitiva, es una propiedad no local de una superficie. As´ı, localmente, cada superficie regular es difeomorfa a un abierto del plano y, por tanto, es orientable (localmente, siempre está bien definida la derecha y la izquierda). Por el contrario, globalmente esto no está asegurado, ya que la orientación es una propiedad que involucra a la totalidad de la superficie. Veamos dos de los ejemplos más conocidos de superficies regulares no orientables: la banda de Möbius y la botella de Klein.

¨ Figura 3.2: La banda de Mobius no es orientable.

Ejemplo 3.1 (La banda de Möbius). La banda de Möbius fue co-descubierta de manera independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Es una superficie regular que puede obtenerse de la siguiente forma: tomamos un rectángulo de papel de base, por ejemplo, 4π y altura 2; entonces, podemos identificar los lados más pequeños del rectángulo, pero invirtiendo sus extremos (véase la figura 3.2). Una parametrización para esta superficie viene dada por ³¡ ´ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = 2 − v sen(u/2) sen u, 2 − v sen(u/2) cos u, v cos(u/2) , donde 0 < u < 2π y −1 < v < 1. Para encontrar otra parametrización que cubra por completo la banda de Möbius basta hacer variar el parámetro u entre −π y π . En estos términos se puede demostrar, utilizando la teor´ıa que vamos a presentar, que la banda de Möbius es una superficie no orientable. ♦ 101


D

C

-

A

/

U

B

´ Figura 3.3: Construccion de la botella de Klein.

Ejemplo 3.2 (La botella de Klein). La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein, y bautizada originalmente como la ((superficie de Klein)); una traducción errónea del alemán (Fläche = ‘superficie’ por Flasche = ‘botella’) hizo que sea conocida hoy en d´ıa como la ((botella de Klein)). Para ilustrar cómo es esta superficie, lo más u´ til es considerar un cuadrado en el plano (al igual que en la figura 2.21) con lados A, B, C y D. Si para obtener el toro la parametrización identificaba los lados AD y BC junto con los lados DC y AB, para construir la botella de Klein puede definirse una parametrización que identifica de nuevo los lados AD y BC, mientras que el lado DC ahora se identifica con el lado BA (obsérvese el orden de las letras) en una suerte de ((inversión)) (véase la figura 3.3). Esta ((inversión)) de los lados obliga a la superficie a retorcerse sobre s´ı misma, hasta el punto de que para cerrarse por AD y BC presenta finalmente autointersecciones (véase la figura 3.4). As´ı pues, la botella de Klein no va a tener cabida en el a´ mbito de este curso, ya que no cumple la condición S2) de la definición 2.1.1 de superficie regular. En este contexto, existe un teorema que demuestra que toda superficie regular y compacta en R3 es orientable (teorema de Brouwer-Samelson, véase [28]), por lo que la compacidad de la botella de Klein y su no orientabilidad implican que no puede ser una superficie regular en el sentido de nuestra definición 2.1.1.

Figura 3.4: La botella de Klein no es orientable.

La definición y construcción rigurosa de la botella de Klein puede consultarse en [12], donde también se recoge una parametrización de la misma. Las representaciones más usuales de esta superficie pueden verse en las prácticas B.14 y B.15; una de ellas se muestra en la figura 3.4. ♦ Para formalizar la noción de orientabilidad necesitamos algunas definiciones. Definición 3.1.1. Sea S una superficie regular. Un campo de vectores ξ sobre S es una función vectorial ξ : S −→ R3 , donde ξ (p) es un vector de R3 para cada p ∈ S. Diremos que ξ es diferenciable si lo es como función de S a R3 . Definición 3.1.2. Dado un campo de vectores ξ sobre S, se dice que ξ es un campo de vectores tangente si ξ (p) es tangente a S en p, para todo p ∈ S. Diremos que ξ es normal a S si ξ (p) es normal a S en p, para todo p ∈ S. Por u´ ltimo, diremos que ¯ ¯ ξ es unitario si ¯ξ (p)¯ = 1, para todo p ∈ S. Es usual representar por X (S) los campos de vectores diferenciables sobre S que son tangentes. Además, denotaremos por X (S)⊥ los campos de vectores diferenciables y normales sobre S. Definición 3.1.3. Sea S una superficie regular. Se dice que S es orientable si existe un campo (global) de vectores N sobre S que sea diferenciable, normal y unitario. Si S es orientable, cada campo de vectores N en las condiciones de la definición se llama una orientación de S. Una superficie orientable se dice que está orientada cuando se ha elegido una orientación concreta. 102


Esta definición requiere algunos comentarios. Si para cada punto p ∈ S tenemos un vector normal N(p), esto es equivalente a afirmar que el plano tangente Tp S está orientado y tiene un sentido de giro bien definido por el producto vectorial de R3 . Luego el hecho de tener un campo normal N globalmente definido en la superficie, permite determinar un sentido de giro en todos los puntos de la misma. Observación 3.1. Obsérvese que no es esencial que el módulo del campo normal sea unitario: una superficie regular S es orientable si, y sólo si, existe un campo (global) ξ normal y diferenciable, cumpliendo ξ (p) 6= 0, para todo p ∈ S. En efecto, basta ¯ ¯ ♦ tomar N(p) = ξ (p)/¯ξ (p)¯, que es diferenciable, normal y unitario. Observación 3.2. Si S es orientable, se pueden distinguir dos lados de la superficie: el lado hacia el que apunta N y el lado opuesto. Por ello, las superficies orientables también se denominan superficies de dos caras. Por el contrario, si una superficie no es orientable, tiene una sola cara, tal y como ocurre con la banda de Möbius (véase el ejemplo 3.1): un ser que anduviese sobre esta superficie, llegar´ıa a su posición original pero en el ((lado inferior)). ♦ Observación 3.3. Si queremos definir un campo normal globalmente definido para la banda de Möbius, veremos que es imposible. Podemos hacerlo de cualquier forma en cada uno de los entornos coordenados, pero ocurre que, en la intersección de e´ stos (que tiene dos componentes conexas), los normales no coinciden en todos los puntos, cualquiera que sea la elección que de ellos hagamos. ♦ 3.1.1.

Otra forma de estudiar la orientabilidad

La orientación puede definirse de forma alternativa, y es lo que nos proponemos en este ep´ıgrafe. Sea p ∈ S y sea (U, X) una parametrización con p ∈ V = X(U). Con¢ ¡ sideremos ahora otra parametrización U, X de S con p ∈ V = X(U). ¿Cuál es la relación entre las bases de Tp S que determinan ambas parametrizaciones? Observemos que esta relación viene dada por   ∂u ∂v Ã ! Ã !  ∂ u ∂ u  Xu Xu  =  ∂ u ∂ v  Xv . Xv ∂v ∂v Es un hecho bien conocido que ambas bases determinan la misma orientación sobre el plano tangente si, y sólo si, la matriz del cambio de base tiene determinante positivo. En este caso, la matriz de cambio es el jacobiano del cambio de coordenadas, por lo que ambas parametrizaciones inducen en el plano tangente Tp S una orientación que será la misma si, y sólo si, el determinante del jacobiano es positivo. Este razonamiento puede extenderse a cualquier punto de la intersección V ∩ V , por lo que las orientaciones inducidas por las parametrizaciones en cada uno de los puntos serán idénticas cuando el determinante de dicho jacobiano sea positivo. Desde este punto de vista, podemos dar la siguiente definición. 103


Definición 3.1.4. Una superficie regular S es orientable si existe una familia de parametrizaciones cubriendo S de modo que, siempre que dos de ellas se corten, el jacobiano del cambio de coordenadas tenga determinante positivo. Además, estas parametrizaciones determinan una orientación sobre S: para cada p ∈ S y una base {v, w} de Tp S, se dice que dicha base es positiva si tiene la misma orientación que la © ª base Xu (q), Xv (q) , siendo (U, X) una parametrización de S con X(q) = p. Teorema 3.1.5. Las definiciones 3.1.3 y 3.1.4 son equivalentes. Demostración. Veamos en primer lugar que la segunda definición implica la primera. Para ello, supongamos que S es orientable en el sentido de la definición 3.1.4 y sea (U, X) una de las parametrizaciones de la familia. Consideremos el campo ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v). N X(u, v) =: N(u, v) = |Xu ∧ Xv | Observemos que este campo está bien definido sobre X(U), es diferenciable, normal y unitario. Nuestra intención es extender este campo a toda la superficie, y para ello ¢ ¡ vamos a tomar otra parametrización U, X que se corte con la anterior. Definimos Xu ∧ Xv ¯ (u, v). N(u, v) = ¯¯ X u ∧ X v¯ La cuestión ahora es comprobar si N(u, v) = N(u, v). Para ello, observemos que, si ¢ ¡ representamos de nuevo por h(u, v) = u(u, v), v(u, v) el cambio de coordenadas, ¢ det(Jh−1 ) Xu ∧ Xv ¡ ¯ u(u, N(u, v) = ¯¯ v), v(u, v) . det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv | La hipótesis de que el jacobiano sea positivo se traduce en que la primera de las fracciones vale, precisamente, 1, lo que concluye la prueba. Demostremos finalmente que la definición 3.1.3 implica 3.1.4. As´ı, supongamos que en S está definido un campo vectorial N : S −→ R3 normal, unitario y diferenciable. Sea (U, X) una parametrización de S en p; sabemos entonces que, si p = X(q), N(p) = ±

Xu ∧ Xv (q). |Xu ∧ Xv |

¡ ¢ Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que N(p) = (Xu ∧ Xv )/|Xu ∧ Xv | (q) ya que, si el normal fuese el opuesto, bastar´ıa cambiar la parametrización X por X(u, v) := X(v, u) y aplicar la antisimetr´ıa del producto vectorial. En general, es claro que podemos cubrir toda la superficie S con parametrizaciones (U, X) de suerte que se tenga la igualdad Xu ∧ Xv (q) |Xu ∧ Xv | ¢ ¡ para todo p ∈ S. En esta situación, si (U, X) y U, X son dos parametrizaciones de S en un punto p ∈ X(U)∩X(U), con p = X(q) = X(q), nos planteamos estudiar el signo N(p) =

104


del determinante del jacobiano del cambio de coordenadas. Si e´ ste fuera negativo, se obtendr´ıa que Xu ∧ Xv ¯ (q) = N(p) = ¯¯ X u ∧ X v¯

Xu ∧ Xv det(Jh−1 ) Xu ∧ Xv ¯ ¯ ¯ det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv | (q) = − |Xu ∧ Xv | (q) = −N(p),

lo cual implicar´ıa que N(p) = 0, una contradicción, ya que N es unitario. As´ı, el determinante del cambio de coordenadas es positivo y la superficie es orientable en el sentido de la definición 3.1.4. Observación 3.4. A partir de ahora escribiremos frecuentemente N(u, v) para repre¡ ¢ sentar N X(u, v) cuando se esté trabajando con una parametrización X(u, v) de una superficie. As´ı, hablaremos, por ejemplo, de las ((parciales del normal)) Nu , Nv . Utilizaremos la misma notación con otras funciones definidas sobre una superficie que estudiaremos en breve (curvaturas de Gauss y media, curvaturas principales...). Observación 3.5. i) El concepto de orientabilidad es topológico y puede enunciarse exclusivamente en términos de continuidad. ii) Toda superficie orientable admite, al menos, dos orientaciones: si tiene una, también admite su contraria. iii) La orientabilidad es un concepto global; localmente, cualquier superficie es orientable. iv) Toda superficie que pueda cubrirse con una parametrización es orientable. ♦ A continuación, veamos algunos ejemplos de superficies orientables. Ejemplo 3.3 (El plano es orientable). Sea Π ⊂ R3 una plano af´ın de R3 y sea a un vector normal al plano y unitario. Entonces N(p) = a, para todo p ∈ Π, es un campo normal, global y unitario, por lo que el plano es orientable (observemos que otra elección posible ser´ıa N ≡ −a). ♦ Ejemplo 3.4 (La esfera es orientable). Parametricemos la esfera con las dos cartas de la proyección estereográfica, que representamos por (U, X) y (U, X). Como X(U) = S2 \{N} y X(U) = S2 \{S}, entonces X(U) ∩ X(U) = S2 \{N, S}, que es un subconjunto conexo de la esfera. Además, al tener dos parametrizaciones, el cambio de coordenadas es un difeomorfismo y su jacobiano no se anula en ningún punto, ¢ ¡ siendo su dominio X −1 X(U) ∩ X(U) un conexo de R2 . Luego podemos pensar que e´ ste es siempre positivo (en caso contrario, basta cambiar el orden de las variables (u, v) por (v, u) en alguna de las parametrizaciones). Por tanto, la esfera es orientable. Otra forma más directa de demostrar que la esfera es orientable es observando que N(p) = p es un campo normal, unitario y globalmente definido para la esfera S2 . Otro tanto se puede decir con N(p) = −p. ♦ Observación 3.6. El argumento expuesto en el ejemplo anterior se aplica a cualquier superficie regular S que se cubra con dos parametrizaciones, de forma que la intersección de los entornos coordenados sea un conexo de S. En estas condiciones, la superficie S siempre es orientable. ♦ 105


Ejemplo 3.5 (Las superficies de nivel son orientables). Sea S una superficie de © ª nivel, es decir, S = (x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = c = f −1 (c), donde f : R3 −→ R es una función diferenciable y c un valor regular de f . Consideramos ahora el gradiente de ¡ ¢ f en un punto p ∈ S, esto es, el vector de R3 dado por ∇ f (p) = fx (p), fy (p), fz (p) . Vamos a demostrar que ∇ f (p) es un vector normal a la superficie. Para ello, sean ¡ ¢ v ∈ Tp S y α (t) = x(t), y(t), z(t) una curva en S con condiciones iniciales p y v. ¢ ¡ ¢ ¡ Como f α (t) ∈ S, se tiene que f x(t), y(t), z(t) = c y, derivando, obtenemos ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ fx α (t) x0 (t) + fy α (t) y0 (t) + fz α (t) z0 (t) = 0. Por lo tanto,

³ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢´ ¡ ¢ fx α (t) , fy α (t) , fz α (t) ⊥ x0 (t), y0 (t), z0 (t) , ¡ ¢ y para t = 0, obtenemos que ∇ f (p) = fx (p), fy (p), fz (p) ⊥ v. Como esto es cierto para un v arbitrario, podemos concluir que ∇ f (p) ∈ (Tp S)⊥ . Por otro lado, observemos que ∇ f (p) 6= 0 para todo p ∈ S, ya que p ∈ f −1 (c) = S y c es un valor regular de f . Por tanto, podemos definir ∇ f (p) ¯, N(p) = ¯¯ ∇ f (p)¯ y N es un campo normal, unitario, diferenciable y globalmente definido sobre S. ♦ Ejemplo 3.6 (Los grafos son orientables). Sea S una superficie regular dada por el grafo de una función f : U ⊂ R2 −→ R. Una parametrización para X está dada por ¡ ¢ X(u, v) = u, v, f (u, v) y es claro que, al cubrirse por una u´ nica parametrización, S es orientable. ¿Cuál ser´ıa un campo normal? Si tenemos en cuenta que Xu = (1, 0, fu ) y que Xv = (0, 1, fv ), entonces 1 Xu ∧ Xv =p (− fu , − fv , 1). N(u, v) = ♦ |Xu ∧ Xv | 1 + fu2 + fv2 Proposición 3.1.6. Sea S una superficie regular, conexa y orientable. Entonces, existen exactamente dos campos normales, unitarios y diferenciables sobre S.

Demostración. Al ser S orientable, existe un campo normal, unitario y globalmente definido, N. Representamos por N1 = N y N2 = −N, y vamos a demostrar que no puede haber más posibilidades: supongamos que existe un campo normal N3 , unitario y globalmente definido. Como N3 es normal, entonces N3 = λ N1 , para una cierta función diferenciable λ = hN1 , N3 i. Por otra parte, como N1 y N3 son unitarios se tiene que 1 = |N3 | = |λ ||N1 | = |λ |, por lo que λ ≡ ±1. Finalmente, al estar definida la función λ sobre la superficie S que es conexa, se llega a que λ = 1 y N1 = N3 , o λ = −1 y N1 = N2 . Observación 3.7. La prueba de la proposición anterior puede extenderse al caso de una superficie con varias componentes conexas. Por ejemplo, si S = Π1 ∪ Π2 , siendo Π1 y Π2 dos planos paralelos, es evidente que es posible elegir 4 orientaciones distintas para S. En general, el número de orientaciones posibles para una superficie S es 2#S , siendo #S el número de componentes conexas de S. ♦ 106


3.1.2.

La estructura compleja de una superficie

Sean S una superficie regular orientable y N una orientación en S. Entonces, para cada p ∈ S podemos definir un sentido positivo para rotar vectores en Tp S: as´ı, definimos la rotación positiva de a´ ngulo θ en p como la aplicación Rθ : Tp S −→ Tp S dada por ¡ ¢ Rθ (v) = cos θ v + sen θ N(p) ∧ v . Claramente se verifican las siguientes propiedades: i) Rθ es lineal, ii) Rθ tiene inversa y R−1 θ = R−θ , iii) Rθ1 ◦ Rθ2 = Rθ1 +θ2 = Rθ2 ◦ Rθ1 . Algunos casos especiales de rotaciones son: i) si θ = 0, entonces R0 = 1Tp S ; ii) si θ = π , entonces Rπ = −1Tp S ; iii) si θ = π /2 entonces Rπ /2 (v) := J p v = N(p) ∧ v; J p se denomina la estructura compleja de S en p. Recibe este nombre porque (J p )2 = J p ◦ J p = −1Tp S . 3.1.3. Bases positivas y negativas Sea S una superficie orientable y sea N una orientación para S. Dado un punto p ∈ S, la orientación estándar para una base B = {v1 , v2 } del plano tangente Tp S es la siguiente: © ª diremos que B está positivamente orientada (o que es positiva) cuando v1 , v2 , N(p) ¡ ¢ sea una base positivamente orientada de R3 , esto es, si det v1 , v2 , N(p) > 0. En caso contrario, diremos que B es una base negativamente orientada (o negativa). Proposición 3.1.7. Sea v ∈ Tp S, v 6= 0. Entonces, {v, J p v} es una base ortogonal positiva de Tp S. Además, si |v| = 1, entonces también es una base ortonormal. Demostración. En primer lugar, como J p v = N(p) ∧ v, observemos que ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯J p v¯ = ¯N(p) ∧ v¯2 = ¯N(p)¯2 |v|2 sen π = |v|2 , 2 por lo que J p v es un vector no nulo con igual módulo que v. Además, v y J p v son vectores ortogonales, pues ® ¡ ¢ hv, J p vi = v, N(p) ∧ v = det v, N(p), v = 0; luego {v, J p v} es una base ortogonal de Tp S. En particular, si |v| = 1, la base es, además, ortonormal. © ª Por u´ ltimo, veamos que es positiva. Para ello basta comprobar si v, J p v, N(p) ¡ ¢ es una base positiva, esto es, nos preguntamos por el signo de det v, J p v, N(p) : ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ det v, J p v, N(p) = det v, N(p) ∧ v, N(p) = − det v, N(p), N(p) ∧ v ¯2 ¡ ¢ ¯ = det N(p), v, N(p) ∧ v = ¯N(p) ∧ v¯ > 0. 107


3.1.4.

Sobre la orientabilidad en este texto

Como ya hemos visto, la noción de orientabilidad es un concepto global pues, localmente, toda superficie es trivialmente orientable a través de las parametrizaciones. A lo largo del libro, y conforme se vayan exponiendo los diferentes conceptos, utilizaremos con frecuencia un campo normal (global) y unitario en la superficie. ¿Quiere esto decir que en las superficies no orientables tales nociones no tendrán sentido? Evidentemente no. Una gran parte de conceptos que vamos a definir, pese a requerir la existencia de dicho campo normal, no exigen el que e´ ste esté definido globalmente. No obstante, en nuestro afán por simplificar la redacción, las demostraciones y las hipótesis, asumiremos su existencia (global), a pesar de que pueden desarrollarse partiendo u´ nicamente de la existencia de un campo local. A modo de ejemplo, todos los conceptos relativos a la geometr´ıa intr´ınseca son válidos tanto para superficies orientables como no orientables. Aun as´ı, algunas de estas nociones las presentamos y construimos utilizando una aplicación de Gauss N globalmente definida. Se puede probar que, si la aplicación de Gauss sólo está localmente definida, entonces dichos conceptos también pueden ser construidos y no dependen de tal circunstancia. Insistimos en que nuestra forma de proceder es para simplificar la redacción y no afecta a lo sustancial. No olvidemos que, en la práctica, la mayor parte de superficies con las que trabajamos son orientables. Como criterio para determinar si la orientabilidad es imprescindible como hipótesis basta, por un lado, detectar en la construcción o en la prueba correspondiente si el concepto o las ((cuentas)) dependen del campo normal (de si es N o −N) y, por otro, verificar si la definición es global o no (si excede el a´ mbito de entornos pequeños). Si se dan estas dos circunstancias, entonces la orientabilidad es un requisito imprescindible. 3.2.

LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

La segunda forma fundamental es el objeto que nos va a permitir estudiar la relación que existe entre una superficie y el espacio en el que está contenida. Para entender mejor lo que nos proponemos hacer en esta sección, vamos a establecer una analog´ıa con lo que ya hemos estudiado para el caso de curvas (planas). Si fuéramos seres uno-dimensionales que viven en curvas planas, podr´ıamos plantearnos la siguiente cuestión: ¿cómo distinguimos si vivimos en una recta o en una circunferencia? En otros términos, ¿es posible diferenciar, haciendo medidas desde una ((perspectiva intr´ınseca)), unas curvas de otras? La respuesta a esta pregunta es negativa. Un ser uno-dimensional tiene muy poca libertad para moverse y su geometr´ıa se reduce a medir longitudes. Desde esta perspectiva ((intr´ınseca)), pues, es imposible distinguir un trozo de parábola de un segmento de l´ınea recta o de circunferencia. No obstante, es obvio que una parábola, una l´ınea recta y una circunferencia son objetos distintos. Lo son en tanto en cuanto estamos viendo estas curvas ((desde

108


fuera)), al menos, desde una perspectiva bidimensional (si fuéramos seres que viven en el plano que contiene dichas curvas). Ahora bien, ¿cómo podemos reflejar que estas curvas son distintas en lo que concierne a su geometr´ıa? La respuesta está dada ya en el primer cap´ıtulo. Una forma de explicar que estas curvas son diferentes1 es utilizar el concepto de curvatura: vemos cómo var´ıa el vector tangente y codificamos este cambio en la función curvatura. Vamos a remarcar aqu´ı que una manera análoga de definir la curvatura consiste en estudiar la variación del vector normal a la curva, tal y como se aprecia en las fórmulas de Frenet para curvas planas (véanse las ecuaciones (1.5)). As´ı pues, aunque desde una perspectiva ((intr´ınseca)) no podemos distinguir rectas de circunferencias, si apreciamos las curvas dentro del ((ambiente)) en el que se encuentran (dentro del plano), entonces s´ı somos capaces de distinguirlas: desde una perspectiva ((extr´ınseca)) esto s´ı es posible, por ejemplo, a través de su curvatura. Consideremos a continuación el caso de superficies. Imaginemos pues que somos seres bidimensionales que viven dentro de superficies y que nos planteamos de nuevo la cuestión análoga: ¿cómo distinguimos (en términos geométricos) si vivimos en un plano o en una esfera? De nuevo, se trata de saber si es posible diferenciar desde una ((perspectiva intr´ınseca)) unas superficies de otras. La respuesta a esta pregunta en el caso de superficies es bastante más compleja que para curvas, y en ella subyace la cuestión fundamental de la geometr´ıa de superficies. De hecho, sólo al final del cap´ıtulo estaremos en condiciones de responder con propiedad a esta cuestión. No obstante, todos sabemos que un plano es muy distinto a una esfera. Y esto lo sabemos porque vemos las cosas desde una perspectiva ((extr´ınseca)), desde fuera, desde nuestra posición privilegiada como habitantes de un espacio en tres dimensiones. Ahora bien, podemos plantearnos de nuevo la pregunta: ¿cómo reflejamos que estas dos superficies son diferentes? Para responder a esta cuestión vamos a estudiar, en clara analog´ıa al caso de curvas, cómo var´ıa el vector normal a la superficie. Ahora, el normal es una aplicación definida sobre la superficie, y el estudio de su variación es más rico y complejo, pues existe un grado más de libertad: en lugar de la derivada debemos usar la diferencial. La información proporcionada por esta diferencial es, en definitiva, una matriz cuadrada de orden 2, que constituye la segunda forma fundamental. En dicho objeto está codificada la ((forma de estar)) la superficie dentro del espacio.2 As´ı pues, consideremos una superficie regular S, orientada por un campo normal N : S −→ R3 . Como N es unitario, podemos verlo como una aplicación diferenciable entre dos superficies, de la forma N : S −→ S2 . Esta aplicación se denomina aplicación de Gauss de S. Su imagen, Im N = N(S) ⊂ S2 , es la imagen esférica de S, esto es, el conjunto de direcciones que son normales a la superficie (véase la figura 3.5). 1

Evidentemente, hay otras muchas formas de justificar que estas curvas son diferentes. Por ejemplo, un c´ırculo es una curva cerrada, mientras que la parábola y la recta no lo son. Pero insistimos en que aqu´ı nos centramos en un punto de vista muy particular: el geométrico. 2 Un ejemplo sencillo a esta observaci´ on lo encontramos en el plano y el cilindro: ((intr´ınsecamente)) son la misma superficie, aunque su ((forma de estar)) en R3 es obviamente diferente.

109


N(p)

N(p)

V (p)

N V (p)

p

´ de Gauss. Figura 3.5: Aplicacion

Ejemplo 3.7 (La imagen esférica de algunas superficies). Veamos varios ejemplos en los que es sencillo determinar la imagen esférica: ¡ ¢ i) Si S = Π = a⊥ es un plano, con |a| = 1, entonces N Π = {a} es un u´ nico punto de la esfera. ¡ ¢ ii) Si S = S2 (r), entonces, claramente, N S2 (r) = S2 . iii) Si S es un grafo dado por la función f (u, v), su aplicación de Gauss es de la forma 1 (− fu , − fv , 1), N(u, v) = p 1 + fu2 + fv2 y al ser la coordenada z de la aplicación de Gauss siempre positiva, entonces se tiene que N(S) está contenido en el hemisferio norte de S2 . iv) Si S es un cilindro, la imagen esférica N(S) es un c´ırculo máximo de la esfera (véase la figura 3.6). v) Si S es un catenoide (véase el ejercicio 2.9), entonces N(S) = S2 \{N, S} (véanse la figura 3.6 y el ejercicio 4.10). ♦

j z

-

-

s

´ de Gauss Figura 3.6: Aplicacion del cilindro y el catenoide.

Más que la propia aplicación N en s´ı, es mucho más interesante estudiar su variación conforme nos movemos por S, pues nos dice cómo se ((dobla)) la superficie en todas las direcciones. En otras palabras, nos interesa estudiar la diferencial ¯ d ¯¯ 2 dNp : Tp S −→ TN(p) S , dNp (v) = ¯ (N ◦ α )(t), dt t=0

donde p ∈ S, v ∈ Tp S y α es una curva con condiciones iniciales p y v. Ahora bien, observemos que, para un punto cualquiera p0 ∈ S2 , dado que N(p0 ) = ±p0 , se tiene © ª que Tp0 S2 = v ∈ R3 : hp0 , vi = 0 . De esta forma, n o ® TN(p) S2 = v ∈ R3 : N(p), v = 0 = Tp S. 110


Por tanto, podemos ver la diferencial dN p como un endomorfismo del plano tangente, dNp : Tp S −→ Tp S. En este sentido, damos la siguiente definición. Definición 3.2.1. Sea S una superficie regular orientada por la aplicación de Gauss N : S −→ S2 . Se llama operador forma o endomorfismo de Weingarten en p ∈ S a la aplicación lineal A p = −dNp : Tp S −→ Tp S, esto es, A p v = −dNp (v). Proposición 3.2.2. El operador forma A p es autoadjunto, es decir, para cualesquiera v, w ∈ Tp S se tiene que hA p v, wi = hv, A p wi. Demostración. Por linealidad, es suficiente demostrarlo para los vectores de una base del plano tangente. Si (U, X) es una parametrización y p = X(q) = X(u0 , v0 ), © ª ¡ ¢ tomamos la base Xu (q), Xv (q) de Tp S, y vamos a calcular dNp Xu (q) . Para ello, si consideramos la curva coordenada α (u) = X(u + u0 , v0 ), claramente se tiene que α es una curva en S con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = Xu (q). Entonces, ¯ ¡ ¢ d ¯¯ dNp Xu (q) = (N ◦ X)(u + u0 , v0 ) = (N ◦ X)u (u0 , v0 ) ≡ Nu (u0 , v0 ), du ¯u=0 donde, como ya hemos hecho otras veces, estamos identificando N ◦ X ≡ N. Análo¡ ¢ gamente, dN p Xv (q) = Nv (u0 , v0 ). Si probamos que hNu , Xv i = hNv , Xu i, entonces se tendrá el resultado. Para ello, sabemos que hN, Xu i = 0 = hN, Xv i; derivando la primera identidad respecto a v y la segunda respecto a u, se tiene que hNv , Xu i + hN, Xuv i = 0

y

hNu , Xv i + hN, Xvu i = 0.

De la igualdad Xuv = Xvu se llega finalmente a que hNu , Xv i = hNv , Xu i. Ejemplo 3.8. Veamos cuál es el operador forma para distintas superficies. i) Para un plano Π, el normal N es un vector fijo y unitario de suerte que N ≡ a. Entonces, A p ≡ 0 para todo punto p de Π. ii) En la esfera S2 (r) se tiene N(p) = ±(1/r)p, por lo que A p = ∓(1/r)1Tp S2 (r) . iii) Si C es el cilindro (circular recto) dado por la ecuación x2 +y2 = r2 , ya sabemos que una parametrización para C viene dada por X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) (véase el ejemplo 2.19); entonces, un cálculo sencillo nos lleva a que el3 vector normal a C en X(u, v) es N(u, v) ≡ (N ◦ X)(u, v) = (cos u, sen u, 0). Vamos a calcular ahora la aplicación lineal dNp , viendo simplemente cómo actúa sobre los vectores de la base {Xu , Xv }. Para ello, observemos que Nu = (− sen u, cos u, 0) = aXu + bXv = a(−r sen u, r cos u, 0) + b(0, 0, 1), de donde a = 1/r y b = 0. Análogamente, Nv = (0, 0, 0) = cXu + dXv , por lo que c = d = 0. As´ı, la matriz de A p = −dN p respecto a la base {Xu , Xv } es Ã ! −1/r 0 Ap ≡ . 0 0 3

Abusamos del art´ıculo determinado aun cuando es obvio que hablamos de ((un)) normal entre los dos posibles.

111


iv) Sea S el paraboloide hiperbólico, superficie también conocida con el nombre de silla de montar, que viene dada por el grafo de la función z = y2 − x2 (véase la figura 3.7). Trivialmente, una parametrización para esta superficie es X(u, v) = (u, v, v2 −u2 ). Entonces Xu = (1, 0, −2u) y Xv = (0, 1, 2v), y el normal viene dado por la expresión ¶ µ −2v 1 2u √ √ √ , , . N(u, v) = 1 + 4u2 + 4v2 1 + 4u2 + 4v2 1 + 4u2 + 4v2 Si ahora derivamos respecto a u obtenemos ¶ µ 8uv −4u 2(1 + 4v2 ) , , . Nu = (1 + 4u2 + 4v2 )3/2 (1 + 4u2 + 4v2 )3/2 (1 + 4u2 + 4v2 )3/2 As´ı, en el punto p = X(0, 0) = (0, 0, 0) se tiene que Nu (0, 0) = (2, 0, 0) = aXu (0, 0) + bXv (0, 0) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0),

Figura 3.7: El paraboloide ´ hiperbolico o silla de montar.

de donde se deduce que a = 2 y b = 0. Cálculos análogos demuestran que Nv (0, 0) = (0, −2, 0) = c(1, 0, 0) + d(0, 1, 0), por lo que c = 0 y d = −2. Finalmente, la matriz asociada al operador forma en el origen es ! Ã −2 0 . Ap ≡ 0 2 Obsérvese que las matrices obtenidas, tanto en este ejemplo como en los anteriores, son diagonales; en breve estudiaremos cuál es el significado que se esconde detrás de este hecho (véase la sección 3.4). ♦ Sean S una superficie regular orientada y p ∈ S, y consideremos el operador forma A p : Tp S −→ Tp S de S en p, que es un endomorfismo de espacios vectoriales, autoadjunto respecto al producto escalar definido en Tp S. Por lo tanto, esta aplicación lineal tiene asociada, de forma un´ıvoca, una forma bilineal simétrica

σ p : Tp S × Tp S −→ R

dada por

σ p (v, w) = hA p v, wi .

Además, a toda forma bilineal simétrica σ p : Tp S × Tp S −→ R se le asocia (también de forma un´ıvoca) una forma cuadrática

II p (v) = σ p (v, v) = hA p v, vi . La aplicación II p : Tp S −→ R dada por II p (v) = hA p v, vi se

II p : Tp S −→ R

dada por

Definición 3.2.3. denomina la segunda forma fundamental de S en p.

Observación 3.8. Tanto el operador forma A p , como σ p y II p , proporcionan la misma información. As´ı, es posible recuperar σ p a partir de II p utilizando la clásica identidad de polarización: ¤ 1£ σ p (v, w) = II p (v + w) − II p (v) − II p (w) . 2 A partir de σ p , está claro que también es posible obtener A p v para un vector fijo v, ya que conocemos el valor de hA p v, wi, para todo w ∈ Tp S. ♦ 112


´ DE UNA CURVA: CURVATURAS GEODESICA ´ 3.3. LA ACELERACION Y NORMAL Sean S una superficie regular orientada por la aplicación de Gauss N y α : I −→ S una curva en la superficie. Evidentemente α 0 (t) ∈ Tα (t) S, para cada t ∈ I, pero... ¿qué ocurre con la derivada segunda α 00 (t)? En general, α 00 (t) 6∈ Tα (t) S, esto es, el vector aceleración de la curva no es tangente a la superficie. Un ejemplo inmediato que ilustra tal situación es la curva α : I −→ S2 dada por α (t) = (cost, sent, 0): el vector aceleración de esta curva es normal a la superficie en los puntos correspondientes. En esta sección nos planteamos la siguiente cuestión: si somos un ser bidimensional que se está moviendo en una superficie, ¿qué tipo de aceleración experimentamos? Está claro que nuestra trayectoria se puede describir mediante una curva y que nuestra velocidad es el vector tangente a dicha curva. Ahora bien, la aceleración que experimentamos debe ser tangente a la superficie, porque nosotros, como seres estrictamente bidimensionales, no podemos experimentar sensación alguna en direcciones que no estén ((contenidas)) en la superficie. Para responder con precisión esta cuestión recordemos, en primer lugar, que po© ¡ ¢ª demos descomponer el espacio vectorial R3 como R3 = Tα (t) S⊕span N α (t) . Entonces, α 00 (t) ∈ R3 se escribe de forma u´ nica como α 00 (t) = α 00 (t)> + α 00 (t)⊥ . En estos términos, el vector α 00 (t)> se denomina aceleración tangencial o intr´ınseca de la curva α , y representa la aceleración que experimenta una part´ıcula bidimensional cuya trayectoria está descrita por α . Por otra parte, el vector α 00 (t)⊥ se denomina ¡ ¢ aceleración normal o extr´ınseca. En particular se tendrá α 00 (t)⊥ = λ (t)N α (t) , para una cierta función diferenciable λ (t). Ahora bien, ¿cuál es el valor de λ ? Obviamen ¢® ¡ te, e´ ste vendrá dado por el producto escalar λ (t) = α 00 (t), N α (t) , lo que permite ¢® ¡ ¢ ¡ escribir α 00 (t)⊥ = α 00 (t), N α (t) N α (t) . Por otro lado, es usual la notación Dα 0 (t), dt lo que quedará justificado cuando se estudie el cap´ıtulo 5 dedicado a las geodésicas de una superficie, por lo que podemos escribir

α 00 (t)> =

α 00 (t) =

¢® ¡ ¢ ¡ Dα 0 (t) + α 00 (t), N α (t) N α (t) . dt

(3.1)

A continuación, vamos a estudiar cada uno de los dos sumandos que aparecen en esta igualdad. El primero de ellos define una magnitud conocida como curvatura geodésica y el segundo determina la llamada curvatura normal. 3.3.1.

´ La curvatura geodesica

Sean α : I −→ S una curva p.p.a. y S una superficie regular orientada por N. Al calcular la derivada segunda de α acabamos de obtener la igualdad

α 00 (s) = 113

¢® ¡ ¢ ¡ Dα 0 (s) + α 00 (s), N α (s) N α (s) , ds


donde remarcamos que ahora el parámetro s es la longitud de arco. Esta restricción no es esencial en la discusión, pero s´ı conveniente (las razones son similares a la necesidad de parametrizar por el arco al definir la curvatura de una curva). Queremos expre© ¢ª ¡ sar el vector (Dα 0 /ds)(s) ∈ Tα (s) S en términos de la base α 0 (s), Jα 0 (s), N α (s) . ´ Esta es una base ortonormal positivamente orientada de R3 que se denomina el triedro de Darboux. Ahora bien, como (Dα 0 /ds)(s) es un vector tangente, Dα 0 (s) = a(s)α 0 (s) + b(s)Jα 0 (s), ds donde a y b son dos funciones definidas sobre I. Para calcularlas, multiplicamos escalarmente en ambos miembros de la ecuación: À D ¿ E ¢® ¡ ¢ ¡ Dα 0 0 a(s) = (s), α (s) = α 00 (s) − α 00 (s), N α (s) N α (s) , α 0 (s) ds ¢® ¡ ¢ ® ¡ ® 00 = α (s), α 0 (s) − α 00 (s), N α (s) N α (s) , α 0 (s) = 0. Esta u´ ltima igualdad se verifica porque la curva está parametrizada por el arco. As´ı, el vector (Dα 0 /ds)(s) es colineal con Jα 0 (s), y se puede escribir Dα 0 (s) = kg (s)Jα 0 (s), ds donde la función kg (s) se denomina curvatura geodésica de α en s. Concretamente, À ¿ ® Dα 0 0 kg (s) = (s), Jα (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) . ds Volveremos sobre este concepto en el cap´ıtulo 5; all´ı estudiaremos con mayor profundidad esta curvatura y veremos toda la información geométrica que encierra. Observación 3.9. La curvatura geodésica depende de la orientación de la superficie: su signo var´ıa según la elección que hagamos de N. ♦ 3.3.2.

La curvatura normal

Nos vamos a ocupar ahora de la componente normal de la aceleración en la descomposición dada en (3.1). Para ello veamos el siguiente resultado. Proposición 3.3.1. Sea S una superficie regular orientada por el normal N. Sean p ∈ S y v ∈ Tp S. Si α : I −→ S es una curva con condiciones iniciales p y v, entonces ® II p (v) = α 00 (0), N(p) . ¢® ¡ Demostración. Dado que α 0 (t) ∈ Tα (t) S, entonces α 0 (t), N α (t) = 0, para cada ¢® ® ¡ valor de t. Derivando, se tiene que α 00 (t), N α (t) + α 0 (t), (N ◦ α )0 (t) = 0. Como ¡ ¢ (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) , entonces ¢® ¡ ¡ ¢® ® 00 α (t), N α (t) = − α 0 (t), dNα (t) α 0 (t) = α 0 (t), Aα (t) α 0 (t) . (3.2) ® 00 En particular, para t = 0 se tendrá que α (0), N(p) = hv, A p vi = II p (v), como quer´ıamos demostrar. 114


Observemos también que la igualdad (3.2) se cumple para todo t ∈ I, por lo que, en general, ¡ ¢ ¢ ¡ Dα 0 α 00 (t) = (t) + IIα (t) α 0 (t) N α (t) . dt Dado v ∈ Tp S, el valor II p (v) es una medida de la aceleración en la dirección normal a S. Observemos que esta medida es independiente de la curva elegida: sólo depende del punto y la dirección, por lo que tiene sentido la siguiente definición. Definición 3.3.2. Sea v ∈ Tp S un vector unitario. El valor II p (v) se denomina curvatura normal de S en p en la dirección de v y se representa por kn (v, p). ® Por tanto, kn (v, p) = II p (v) = α 00 (0), N(p) , siendo α : I −→ S cualquier curva con condiciones iniciales p y v. Finalmente, si α : I −→ S es una curva parametrizada por la longitud de arco s, ¢ ¡ podemos escribir α 00 (s) = kg (s)Jα 0 (s) + kn (s)N α (s) , siendo ¢ ¢® ¡ ¡ kn (s) := kn α 0 (s), α (s) = IIα (s) (α 0 (s)) = α 00 (s), N α (s) la curvatura normal de la curva α en s y kg (s) su curvatura geodésica. Si ahora tomamos módulos, se obtiene la importante relación k(s)2 = kg (s)2 + kn (s)2 ,

(3.3)

la cual nos dice que la curvatura de una curva en el espacio se descompone como una suma de la curvatura geodésica (intr´ınseca) y la curvatura normal (extr´ınseca). 3.3.3.

´ geometrica ´ Interpretacion de la curvatura normal

¿Qué representa geométricamente la curvatura normal? Vamos a ver que el valor kn (v, p), donde p ∈ S y v ∈ Tp S, es, precisamente, la curvatura de la curva plana determinada por la intersección de S con el plano af´ın que pasa por p y que está generado © ª (y orientado) por los vectores v, N(p) . Para demostrar esta afirmación, vamos a © ª denotar por Πv = span v, N(p) dicho plano.

Πv N(p) 6 p

v

q

α ´ Figura 3.8: Interpretacion ´ geometrica de la curvatura normal.

115


Se define la sección normal Cv como la curva4 que resulta al intersecar la superficie S con el plano Πv (véase la figura 3.8, donde se ha representado una sección normal de la silla de montar en el origen de coordenadas). As´ı, Cv = Πv ∩ S, y podemos encontrar una parametrización (por la longitud de arco) de Cv dada por α : I −→ Cv ⊂ S de suerte que α (0) = p y α 0 (0) = v. Como v ∈ Tp S, entonces v ⊥ N(p) y la curva α tiene como vector normal n = JΠv v = N(p), donde JΠv representa la estructura compleja en el plano Πv . Entonces ® ® kn (v, p) = II p (v) = α 00 (0), N(p) = k(0)n(0), N(p) = k(0), siendo k la curvatura de α como curva plana dentro del plano vectorial Πv orientado © ª por la base ortonormal positivamente orientada v, N(p) . Observación 3.10. La curvatura normal depende de la orientación de la superficie: su signo var´ıa según la elección que hagamos de N. ♦ Ejemplo 3.9 (Secciones normales del plano). Si S = Π es un plano, entonces sabemos que el operador forma en un punto cualquiera p ∈ Π siempre es nulo (véase el ejemplo 3.8). Por lo tanto, kn (v, p) = II p (v) = hA p v, vi = 0, y esto es cierto para cualquier dirección v ∈ Tp S. El motivo por el que kn ≡ 0 en todo punto y dirección es que todas las secciones normales del plano son rectas, cuya curvatura, como curva plana, es cero. ♦ N(p)

6

Ejemplo 3.10 (Secciones normales de la esfera). Consideremos la esfera de radio r, S2 (r), que suponemos orientada por el normal exterior N(p) = (1/r)p (véase la figura 3.9). Si v ∈ Tp S2 (r), entonces À ¿ 1 1 −1 v, v = − |v|2 = − , kn (v, p) = hA p v, vi = r r r

v

p

ya que el vector v es unitario por definición y el operador forma es la aplicación A p ≡ (−1/r)1Tp S2 (r) . Por tanto, la curvatura normal en un punto arbitrario y en cualquier dirección del tangente a dicho punto toma el valor −1/r. Esto se debe a que las secciones normales son las circunferencias máximas de la esfera (véase la figura 3.9), esto es, circunferencias de radio r cuya curvatura, como curva plana, es −1/r. Obsérvese que el signo negativo se debe a la orientación escogida: la aceleración de las secciones normales siempre apunta hacia el interior, mientras que hemos elegido como orientación de la superficie la dada por el normal exterior. ♦

Figura 3.9: Secciones normales de la esfera S2 .

Observación 3.11. Observemos que la curvatura normal en estos dos ejemplos concretos (plano y esfera) cumple dos propiedades muy destacadas: i) fijado el punto p ∈ S, kn (v, p) no depende del vector v ∈ Tp S, y más aún, ii) la curvatura normal no depende de p y toma un valor constante en todo S. 4

116

Se demuestra que la intersección de dos superficies regulares es, en general, una curva regular.


Si en un punto p la curvatura normal verifica la primera propiedad,5 es porque todas sus secciones normales tienen la misma curvatura (como curvas planas) en ese punto. Intuitivamente, esto significa que la superficie se curva por igual en todas las direcciones que salen de p; o en otras palabras: la superficie es ((la misma)) en todas direcciones (vista desde dicho punto p). La segunda propiedad es aún más restrictiva: la curvatura normal se mantiene constante en todo punto. Esto significa que la superficie se curva por igual en todas direcciones y en todo punto, y que la forma de la superficie no cambia en ninguna dirección y en ningún sitio.6 Las u´ nicas superficies con esta propiedad son las (porciones de) esferas y planos. ♦ Veamos un ejemplo en el cual la curvatura normal cambia según la dirección. Ejemplo 3.11 (Secciones normales del cilindro). Sea C el cilindro dado por la ecuación x2 + z2 = r2 (el cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje y) y vamos a considerar el punto p = (r, 0, 0). El plano tangente TpC está generado por los vectores v1 = (0, 1, 0) y v2 = (0, 0, 1), mientras que el normal es N(p) = (1, 0, 0), donde estamos escogiendo la orientación hacia fuera. El plano Πv1 no es más que el plano z = 0, por lo que su intersección con C es © ª © ª Πv1 ∩C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = r2 , z = 0 = (x, y, z) ∈ R3 : x = ±r, z = 0 , que son dos rectas paralelas (véase la figura 3.10). Ahora bien, la u´ nica que pasa por p es {x = r, z = 0} y as´ı, kn (v1 , p) = 0, ya que la curvatura de una recta es 0.

6

v1

p v2 /

N(p) -

v

3

-

N(p)

Figura 3.10: Secciones normales del cilindro.

Por otra parte, el plano Πv2 no es otro que y = 0, de modo que su intersección con el cilindro viene dada por © ª Πv2 ∩C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = r2 , y = 0 , que es una circunferencia de radio r en el plano y = 0 (véase la figura 3.10). En consecuencia, kn (v2 , p) = −1/r (el signo negativo se debe a que el vector normal al cilindro apunta en dirección contraria a la aceleración de la circunferencia). 5

Se dice entonces que la superficie es isótropa en dicho punto. Hay superficies que no se curvan por igual en todas direcciones y, no obstante, el comportamiento de la curvatura normal es el mismo en todo punto. Estas superficies se llaman ((homogéneas)), pues la geometr´ıa es idéntica en todos los puntos, no hay lugares distinguidos. Un ejemplo es el cilindro. 6

117


Para terminar, si tomamos v3 = av1 +bv2 con a, b 6= 0, entonces un sencillo cálculo demuestra que Πv3 ∩C es una elipse (véase la figura 3.10). Su curvatura está comprendida entre −1/r y 0. Como ya hemos comentado, esta discusión es la misma para cualquier otro punto del cilindro: todos sus puntos son indistinguibles desde el punto de vista geométrico.7 ♦ En el ejemplo anterior, para el punto p = (r, 0, 0) hemos visto que la curvatura normal kn (v, p), con v unitario, depende, evidentemente, del vector v. Como la función kn (·, p) : S1 −→ R está definida sobre un compacto, e´ sta alcanza un máximo y un m´ınimo en dicho conjunto. En el caso del cilindro, y con la orientación elegida, el m´ınimo es −1/r y el máximo es 0. Esta situación no es exclusiva del cilindro, sino que se da en cualquier superficie. Lo vemos a continuación. 3.4.

LAS CURVATURAS PRINCIPALES

Sean S una superficie regular orientada por N y p ∈ S un punto arbitrario. El operador A p : Tp S −→ Tp S es una aplicación lineal autoadjunta. Por tanto, su matriz respecto a cualquier base ortonormal es simétrica y, en consecuencia, diagonalizable. Sean entonces e1 , e2 dos vectores propios que diagonalizan A p . Si en la diagonalización los valores propios son distintos, es un ejercicio inmediato probar que los dos vectores son ortogonales (si los valores propios son idénticos, todos los vectores son propios, y siempre podemos escoger dos ortogonales) y, sin pérdida de generalidad, supondremos que son unitarios. Si k1 (p) y k2 (p) son los valores propios asociados a dichos vectores propios, entonces A p e1 = k1 (p)e1 , y A p e2 = k2 (p)e2 . Estos dos números se denominan las curvaturas principales de S en p y, por convenio, supondremos que k1 (p) ≤ k2 (p). ¿Tienen estos valores algún significado preciso? Observemos que ® kn (e1 , p) = II p (e1 ) = hA p e1 , e1 i = k1 (p)e1 , e1 = k1 (p), y kn (e2 , p) = k2 (p), por lo que k1 (p) y k2 (p) son las curvaturas normales en las direcciones e1 y e2 . Además, se puede demostrar (y lo veremos posteriormente, página 120) que k1 (p) y k2 (p) son los extremos de la función real kn (·, p) : S1 −→ R. Los vectores e1 y e2 que determinan las curvaturas principales se denominan direcciones principales (cuando k1 (p) = k2 (p) todas las direcciones son direcciones principales). Observación 3.12. Las curvaturas principales están determinadas salvo el signo, pues e´ ste depende de la orientación escogida para la superficie. ♦ Ejemplo 3.12 (Direcciones principales en el plano y la esfera). Si S = Π, ya hemos visto que kn (v, p) ≡ 0, por lo que k1 (p) = k2 (p) = 0 también. Por tanto, todas las direcciones son principales, ya que todas son autovectores del operador forma. Si S = S2 (r), entonces kn (v, p) ≡ −1/r (tomando el normal hacia el exterior). Por ´ tanto, k1 (p) = k2 (p) = −1/r, y de nuevo todas las direcciones son principales. Estas 7

Un simple movimiento r´ıgido coloca cualquier cilindro y un punto suyo en la misma configuración geométrica que la presentada en este ejemplo.

118


son las u´ nicas dos superficies en las que todas las direcciones son principales en todo punto (hay superficies en las que esto ocurre para un punto concreto).8 ♦ Ejemplo 3.13 (Direcciones principales en el cilindro). Si S = C es el cilindro del ejemplo 3.11 con el normal apuntando hacia el exterior, obtenemos que una dirección principal viene dada por v1 y que la otra está dada por v2 , siendo k1 (p) = −1/r y k2 (p) = 0. As´ı, las direcciones principales son tangentes a las generatrices del cilindro (rectas verticales) y a los paralelos (circunferencias). ♦ Ejemplo 3.14 (Direcciones principales en la silla de montar). Consideremos la silla de montar parametrizada por X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ), y vamos a estudiar sus direcciones principales en el punto p = X(0, 0) = (0, 0, 0). La matriz asociada al © ª operador forma en el origen, respecto a la base Xu (0, 0), Xv (0, 0) , es Ã ! −2 0 Ap ≡ 0 2 © ª (véase el ejemplo 3.8). En consecuencia, Xu (0, 0), Xv (0, 0) son las direcciones principales, siendo sus autovalores correspondientes −2 y 2. ♦ En ocasiones, resulta conveniente ((integrar)) las direcciones principales para obtener una curva en la superficie cuyos vectores velocidad sean todos direcciones principales. De esta forma, se llega a la siguiente definición. Definición 3.4.1. Sea S una superficie regular orientada y sea α : I −→ S una curva de forma que α 0 (t) es una dirección principal en α (t), para todo t ∈ I. Se dice entonces que α es una l´ınea de curvatura de S. Evidentemente, si α : I −→ S es una l´ınea de curvatura, cualquier reparametrización de α sigue siendo l´ınea de curvatura de S. De hecho, si en un abierto V ⊂ S las curvaturas principales no coinciden, entonces por cada punto p de V pasan dos y u´ nicamente dos l´ıneas de curvatura, y además e´ stas se cortan de forma ortogonal. Esto permite considerar en V dos familias de curvas correspondientes a cada una de las direcciones principales (véase [12] para una justificación precisa). Utilizando herramientas de ecuaciones diferenciales y hechos que escapan a las pretensiones de este libro, es posible demostrar que existe una parametrización en un entorno de p de modo que las dos familias de curvas coordenadas coinciden con las l´ıneas de curvatura.9 Podemos encontrar una exposición de estos resultados en [12, 28]. Insistimos también en que es esencial tener determinadas exactamente dos direcciones en cada punto. A continuación vamos a probar que, esencialmente, las curvaturas principales determinan por completo la curvatura normal en cualquier dirección, siempre y cuando conozcamos el a´ ngulo que forma dicho vector con una de las direcciones principales. 8

Considérese la rotación de la curva z = y4 alrededor del eje z. En el punto (0, 0, 0) de esta superficie de revolución todas las direcciones son principales, y el valor de las dos curvaturas principales es 0 (véase el ejemplo 3.15). 9 En realidad, lo u ´ nico que se puede asegurar es que la traza de las curvas coordenadas coincide con la de las l´ıneas de curvatura.

119


Teorema 3.4.2 (La fórmula de Euler). Sea S una superficie regular orientada por N, sean k1 (p) ≤ k2 (p) las curvaturas principales de S en un punto p ∈ S y sean e1 , e2 las direcciones principales asociadas a dichas curvaturas, respectivamente. Si vθ ∈ Tp S, (3.4) kn (vθ , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ , donde θ es el a´ ngulo tal que cos θ = he1 , vθ i. Demostración. Como {e1 , e2 } es una base ortonormal del plano tangente, entonces podemos expresar vθ = cos θ e1 + sen θ e2 . Ahora bien, ® kn (vθ , p) = II p (vθ ) = hA p vθ , vθ i = A p (cos θ e1 + sen θ e2 ), cos θ e1 + sen θ e2 . Aplicando la linealidad de A p nos queda ® kn (vθ , p) = k1 (p) cos θ e1 + k2 (p) sen θ e2 , cos θ e1 + sen θ e2 = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ . En este teorema se refleja claramente que © ª k1 (p) = m´ın kn (v, p) : |v| = 1

y

© ª k2 (p) = máx kn (v, p) : |v| = 1 ,

pues observemos que kn (v, p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p)(1 − sen2 θ ) + k2 (p) sen2 θ ¡ ¢ = k1 (p) + k2 (p) − k1 (p) sen2 θ ≥ k1 (p), ya que k2 (p) − k1 (p) ≥ 0. Análogamente, y por el mismo motivo, se tiene que ¡ ¢ kn (v, p) = k1 (p) cos2 θ +k2 (p)(1−cos2 θ ) = k2 (p)− k2 (p)−k1 (p) cos2 θ ≤ k2 (p). Definición 3.4.3. Sea S una superficie regular orientada por N. Se denomina curvatura de Gauss de S en p ∈ S al valor K(p) = det A p = det(−dNp ).

(3.5)

En definitiva, K(p) = k1 (p)k2 (p). Además, se llama curvatura media de S en p ∈ S al valor H(p) =

1 1 tr A p = tr(−dN p ). 2 2

En otros términos, H(p) =

(3.6)

k1 (p) + k2 (p) . 2

Proposición 3.4.4. La curvatura de Gauss no depende de la orientación escogida para la superficie. La curvatura media cambia de signo al cambiar la orientación. 120


Demostración. Al cambiar la orientación estamos cambiando N por −N, por lo que el signo de las curvaturas principales var´ıa. Entonces, el producto de e´ stas no cambia de signo, pero su suma s´ı. Dependiendo del signo de la curvatura de Gauss, los puntos de una superficie se clasifican de la siguiente forma. Definición 3.4.5. Sea S una superficie regular orientada y sea p ∈ S. Entonces, i) se dice que p ∈ S es el´ıptico si K(p) > 0; ii) se dice que p ∈ S es hiperbólico si K(p) < 0; iii) se dice que p ∈ S es parabólico si K(p) = 0 pero A p 6≡ 0, esto es, cuando una de las dos curvaturas principales en p se anula y la otra es distinta de cero; iv) se dice que p ∈ S es plano cuando A p ≡ 0, esto es, si k1 (p) = k2 (p) = 0. Ejemplo 3.15. Veamos ejemplos de cómo son los puntos de algunas superficies: i) Todos los puntos de una esfera son el´ıpticos, pues K ≡ 1/r2 > 0. ii) En la silla de montar parametrizada por X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ) (véase la figura 3.7) el punto p = (0, 0, 0) es hiperbólico, ya que k1 (p) = −2 y k2 (p) = 2, y por tanto, K(p) = −4 < 0. iii) Todos los puntos del cilindro son parabólicos, pues k1 ≡ −1/r y k2 ≡ 0. Por lo tanto, K ≡ 0, pero A p 6≡ 0 para todo p. iv) Todos los puntos del plano son planos, aunque no son los u´ nicos ejemplos de puntos planos: si tomamos la superficie de revolución generada por z = y4 (revolución alrededor del eje z, véase la figura 3.11), entonces el origen de coordenadas es un punto plano en una superficie que no es un plano. ♦ Figura 3.11: La superficie ´ generada de revolucion por z = y4 .

Además de clasificar los puntos de una superficie en términos del signo de la curvatura de Gauss, podemos plantearnos qué pasa cuando las dos curvaturas principales coinciden. De ello nos ocupamos en el siguiente ep´ıgrafe. 3.4.1.

Puntos umbilicales

Definición 3.4.6. Se dice que un punto p de una superficie regular orientada S es un punto umbilical si k1 (p) = k2 (p). Una superficie S se dice que es totalmente umbilical si todos sus puntos son umbilicales. Observación 3.13. Ya hemos presentado anteriormente esta propiedad. Un punto umbilical es aquel en el que la superficie se curva por igual en todas las direcciones: la superficie es isótropa en p. Por otra parte, las superficies totalmente umbilicales resultan ser, a la postre, superficies homogéneas e isótropas. Veremos que, esencialmente, sólo hay dos superficies que cumplen ambas condiciones: el plano y la esfera (véase el teorema 3.4.7). ♦ 121


Ejemplo 3.16. El plano es una superficie totalmente umbilical, pues todos sus puntos satisfacen k1 = k2 ≡ 0. La esfera S2 (r) también tiene la misma propiedad, y ocurre que k1 = k2 ≡ ±1/r (en función del normal escogido). ♦ Ejemplo 3.17. Consideremos el paraboloide de revolución dado por z = x2 + y2 (véase la figura 3.12). Veamos que el punto p = (0, 0, 0) es umbilical. Para ello, tomamos la parametrización X(u, v) = (u, v, u2 + v2 ), cuyo normal está dado por 1 (−2u, −2v, 1) = h(u, v)(−2u, −2v, 1). N(u, v) = √ 1 + 4u2 + 4v2

Figura 3.12: El paraboloide ´ de revolucion.

Un sencillo cálculo muestra que Nu (0, 0) = (−2, 0, 0) y Nv (0, 0) = (0, −2, 0). Luego k1 (p) = k2 (p) = 2 y el operador forma se escribe Ã ! 2 0 Ap ≡ . 0 2 Por u´ ltimo, observemos que K(p) = 4: p es un punto el´ıptico.

♦

Observación 3.14. Ningún punto parabólico o hiperbólico puede ser umbilical. El primero por definición; el segundo porque, si fuera umbilical, el producto de sus curvaturas principales ser´ıa no negativo. ♦ Teorema 3.4.7 (Caracterización de las superficies totalmente umbilicales). Sea S una superficie regular, orientable, conexa y totalmente umbilical. Entonces S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Demostración. Como todos los puntos son umbilicales, k1 (p) = k2 (p) para todo p ∈ S. En particular, H(p) = k1 (p) = k2 (p), y el operador forma A p puede escribirse de la forma ! Ã H(p) 0 Ap ≡ 0 H(p) en un punto p ∈ S arbitrario. En otras palabras, se tiene que A p = H(p)1Tp S , donde H : S −→ R es una función diferenciable. Nuestro objetivo ahora es demostrar que H es constante. Sean p ∈ S un punto arbitrario y (U, X) una parametrización de S en p © ª con X(q) = p y q = (u0 , v0 ). Consideremos la base Xu (q), Xv (q) ; entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ (H ◦ α )(u), dHp Xu (q) = du ¯u=0 donde α (u) = X(u + u0 , v0 ) (es decir, una curva en S con condiciones iniciales p y Xu (q)). De esta forma, ¯ ¡ ¢ d ¯¯ dH p Xu (q) = (H ◦ X)(u + u0 , v0 ) = (H ◦ X)u (q). du ¯u=0 ¡ ¢ Análogamente, dHp Xv (q) = (H ◦ X)v (q). Como A p = H(p)1Tp S , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ (H ◦ X)(q)Xu (q) = H(p)Xu (q) = A p Xu (q) = −dN p Xu (q) = −(N ◦ X)u (q). 122


Dado que esto es cierto para todo q ∈ U, entonces se tendrá que −(H ◦ X)Xu = (N ◦ X)u en los puntos de U. De la misma forma, se demuestra que −(H ◦ X)Xv = (N ◦ X)v . Derivando la primera igualdad respecto a v y la segunda respecto a u obtenemos (N ◦ X)uv = −(H ◦ X)v Xu − (H ◦ X)Xuv

y

(N ◦ X)vu = −(H ◦ X)u Xv − (H ◦ X)Xvu . Y dado que las segundas derivadas (cruzadas) coinciden, restando ambas igualdades se obtiene que, en los puntos del abierto U, se verifica −(H ◦ X)v Xu + (H ◦ X)u Xv = 0. Como los vectores Xu y Xv forman una base de Tp S, los coeficientes de esta combinación lineal deben ser idénticamente nulos. As´ı, (H ◦ X)u = (H ◦ X)v ≡ 0 en U, y por ¡ ¢ ¡ ¢ tanto, se llega a que dHp Xu (q) = dHp Xv (q) = 0 para todo p ∈ X(U). En consecuencia, dH p ≡ 0 y, al ser S conexa, podemos concluir que la función H es constante, esto es, H ≡ c para un cierto valor real c. Distinguimos ahora dos casos: i) Si c = 0, entonces H ≡ 0 y el operador forma se escribe ! Ã 0 0 , Ap ≡ 0 0 por lo que dN p ≡ 0. Como S es conexa, se tiene que N : S −→ S2 es constante, es decir, el normal a la superficie viene dado por N ≡ a, un vector fijo (unitario) de R3 . Definimos a continuación la función φ (p) = hp, ai, para p ∈ S. Si demostramos que φ es constante, podremos concluir que S está contenida en un plano ortogonal al vector a. Para ello, sea v ∈ Tp S y observemos que ¯ ¯ ® ® d ¯¯ d ¯¯ α (t), a = α 0 (0), a = hv, ai = 0, d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 donde α es una curva con condiciones iniciales p y v; la u´ ltima igualdad se tiene ya que v es tangente y a es normal. Por tanto, S es un (trozo de) plano. ii) Si c 6= 0, definimos la función φ : S −→ R3 dada por φ (p) = p + (1/c)N(p), que es diferenciable. Si probamos que φ ≡ a para un vector fijo a, entonces tendremos que, para todo punto p ∈ S se verificará p−a = −(1/c)N(p), lo cual implica, tomando módulos, que |p−a|2 = 1/c2 ; en definitiva, se habrá probado que todos los puntos p ∈ S están contenidos en una esfera de centro a y radio 1/|c| = 1/|H|, como se quer´ıa demostrar. Veamos pues que φ es constante. Para ello, calculamos su diferencial: ¯ ¯ µ ¶ ¢ d ¯¯ d ¯¯ 1 ¡ α (t) + N α (t) d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 c 1 = α 0 (0) + (N ◦ α )0 (0), c 123


donde, como es habitual, α es una curva con condiciones iniciales p y v. As´ı, ¡ ¢ 1 1 1 d φ p (v) = α 0 (0) + dNα (0) α 0 (0) = v + dNp (v) = v − A p v. c c c Ahora bien, A p = H(p)1Tp S y H ≡ c, por lo que 1 d φ p (v) = v − c v = 0. c De nuevo, usando la conexión de S, se deduce que φ es constante, lo que concluye la demostración. Observación 3.15. El resultado que acabamos de demostrar puede resumirse en los siguientes términos: si una superficie se curva por igual en todas las direcciones en cada uno de sus puntos (si una superficie es isótropa en cada uno de sus puntos), entonces la superficie es un plano o una esfera (esto es, la superficie es homogénea). Por otro lado, también se puede demostrar, utilizando estas técnicas, que el vértice de una superficie de revolución (cualquier punto de la curva que rota, que corte al eje de revolución) siempre es umbilical. ♦ 3.5.

´ LOCAL DE LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL, EXPRESION LA CURVATURA DE GAUSS Y LA CURVATURA MEDIA

En esta sección nos vamos a ocupar de encontrar expresiones expl´ıcitas para los objetos que hemos definido en las secciones anteriores, en términos de una parametrización y sus coeficientes. La mayor parte de las fórmulas que aqu´ı aparecen son dif´ıciles de recordar, pero resultan imprescindibles a la hora de estudiar la geometr´ıa de cualquier superficie. En la práctica, y salvo que la superficie sea muy simple, es necesario aplicarlas para alguna parametrización adecuada. Sean S una superficie regular orientada, p ∈ S y (U, X) una parametrización en p. Dado un vector v ∈ Tp S, nos preguntamos por el valor de la segunda forma fundamental II p (v) en términos de dicha parametrización. Para responder a esta cuestión, consideremos una curva α en S con condiciones iniciales p y v, de modo que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v = α 0 (0) = u0 (0)Xu u(0), v(0) +v0 (0)Xv u(0), v(0) y p = X u(0), v(0) . En lo que ¡ ¢ sigue, Xu , Xv y demás funcionales estarán evaluados en el punto u(0), v(0) , aunque lo omitiremos por brevedad. Entonces, ¢ ¡ dN p (v) = dN p α 0 (0) = u0 (0)dNp (Xu ) + v0 (0)dNp (Xv ) = u0 (0)Nu + v0 (0)Nv . Como Nu y Nv son vectores tangentes a S en p, podemos escribir Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv , y de esta forma, dNp (v) = u0 (0)(a11 Xu + a21 Xv ) + v0 (0)(a12 Xu + a22 Xv ). Es decir, ¡ ¢ ¡ ¢ dN p (v) = a11 u0 (0) + a12 v0 (0) Xu + a21 u0 (0) + a22 v0 (0) Xv . 124


Como v = u0 (0)Xu + v0 (0)Xv , la matriz de dNp respecto a la base {Xu , Xv } es Ã ! a11 a12 dNp ≡ . a21 a22 Nuestro objetivo es calcular de forma expl´ıcita los coeficientes ai j de esta matriz. Para ello, observemos que ® II p (v) = hA p v, vi = − hdNp (v), vi = − u0 (0)Nu + v0 (0)Nv , u0 (0)Xu + v0 (0)Xv , y la bilinealidad del producto escalar nos lleva a

II p (v) =−u0 (0)2 hNu , Xu i−u0 (0)v0 (0) hNu , Xv i−u0 (0)v0 (0) hNv , Xu i−v0 (0)2 hNv , Xv i . Por otro lado, sabemos que hN, Xu i = hN, Xv i = 0. Si derivamos ambas expresiones respecto a u y v obtenemos hNu , Xu i + hN, Xuu i = 0,

hNv , Xu i + hN, Xuv i = 0,

hNu , Xv i + hN, Xvu i = 0,

hNv , Xv i + hN, Xvv i = 0.

As´ı, despejando los primeros sumandos de estas cuatro igualdades se tiene que − hNu , Xu i = hN, Xuu i := e, − hNv , Xu i = hN, Xuv i := f , − hNu , Xv i = hN, Xvu i := f , − hNv , Xv i = hN, Xvv i := g. Las funciones e, f , g están definidas sobre el abierto U, y se denominan los coeficientes de la segunda forma fundamental. As´ı, en términos de estos coeficientes, la segunda forma fundamental se expresa de la forma ¢ ¡ II p (v) = II p α 0 (0) = u0 (0)2 e + 2u0 (0)v0 (0) f + v0 (0)2 g. Observación 3.16. En relación a las l´ıneas de curvatura, ya hemos comentado la posibilidad, siempre que no hayan puntos umbilicales, de encontrar una parametrización X(u, v) de suerte que las curvas coordenadas sean l´ıneas de curvatura. Estas curvas coordenadas son entonces ortogonales, por lo que F = 0. Además, al ser Xu una dirección principal, el vector Nu = dNp (Xu ) = −A p (Xu ) = λ Xu es colineal con Xu , de donde f = − hNu , Xv i = 0. Es por ello que estas parametrizaciones también se llaman doblemente ortogonales. ♦ En general, si v = v1 Xu + v2 Xv , se tendrá II p (v) = v21 e + 2v1 v2 f + v22 g. Además, −e = hNu , Xu i = ha11 Xu + a21 Xv , Xu i = a11 E + a21 F, − f = hNv , Xu i = ha12 Xu + a22 Xv , Xu i = a12 E + a22 F, − f = hNu , Xv i = ha11 Xu + a21 Xv , Xv i = a11 F + a21 G, −g = hNv , Xv i = ha12 Xu + a22 Xv , Xv i = a12 F + a22 G. 125


Si escribimos el sistema anterior en forma matricial obtenemos Ã ! Ã !Ã ! −e − f a11 a21 E F = . − f −g a12 a22 F G La matriz de los coeficientes de la primera forma fundamental es invertible, ya que su determinante, EG − F 2 , es siempre estrictamente positivo. Por tanto, podemos despejar la matriz de las variables, y se tiene que Ã ! Ã a11 a21 e =− f a12 a22

f g

Ã !−1 −1 e E F = 2 EG − F F G f

!Ã

f g

!Ã

! G −F . −F E

Haciendo las operaciones oportunas en estas matrices, e igualando coeficiente a coeficiente, se llega finalmente a que f F − eG , EG − F 2 eF − f E , a21 = EG − F 2 a11 =

gF − f G , EG − F 2 f F − gE a22 = . EG − F 2 a12 =

(3.7)

Recordemos que los ai j son los coeficientes de la matriz de la aplicación dNp respecto a la base {Xu , Xv }. Por tanto, podemos calcular su determinante (la curvatura de Gauss K(p) = det(−dNp ) = det(dNp )) y su traza (que dará la curvatura media) en términos de los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales. As´ı, K(p) = det(dNp ) =

£ ¤ 1 ( f F − eG)( f F − gE) − (gF − f G)(eF − f E) . 2 2 (EG − F )

Simplificando esta expresión se llega a que la curvatura de Gauss viene dada por K(p) =

eg − f 2 . EG − F 2

(3.8)

Por otra parte, la curvatura media es 1 a11 + a22 1 eG + gE − 2 f F = H(p) = − tr(dNp ) = − . 2 2 2 EG − F 2

(3.9)

Ahora nos preguntamos: ¿es posible calcular las curvaturas principales a partir de K(p) y de H(p)? Observemos que λ es un valor propio del operador forma A p si, y sólo si, −dNp (v) = λ v, lo que equivale a su vez a que dN p (v) + λ v = 0; en definitiva si, y sólo si, ¢ ¡ (3.10) dN p + λ 1Tp S (v) = 0, para un cierto v ∈ Tp S. Pero existirá v = (v1 , v2 ) en tales condiciones si, y sólo si, el sistema (3.10), con incógnitas v1 , v2 , admite solución no trivial; esto es, si ¯ ¯ ¢ ¯¯ a11 + λ ¡ a12 ¯¯ det dN p + λ 1Tp S = ¯ ¯ = 0. ¯ a21 a22 + λ ¯ 126


Desarrollando el determinante anterior se llega a que 0 = (a11 + λ )(a22 + λ ) − a12 a21 = λ 2 + (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 . Ahora, recordando que a11 + a22 = −2H(p) y a11 a22 − a12 a21 = K(p), la ecuación anterior se reescribe λ 2 − 2H(p)λ + K(p) = 0, (3.11) p siendo sus soluciones λ = H(p) ± H(p)2 − K(p). Por lo tanto, las curvaturas principales son q q k1 (p) = H(p) − H(p)2 − K(p) y k2 (p) = H(p) + H(p)2 − K(p). (3.12) Finalmente, observemos que un punto p es umbilical si, y sólo si, H(p)2 = K(p). Ejemplo 3.18 (Las curvaturas del toro). Consideremos la parametrización del toro T2 ya usual para nosotros, ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u , para la cual E = r2 , F = 0 y G = (r cos u + a)2 . Un sencillo cálculo muestra que Xuu = (−r cos u cos v, −r cos u sen v, −r sen u), Xuv = (r sen u sen v, −r sen u cos v, 0), ¡ ¢ Xvv = −(r cos u + a) cos v, −r(r cos u + a) sen v, 0 . Entonces, se ve fácilmente que 1 1 hXu ∧ Xv , Xuu i = √ e = hN, Xuu i = √ det(Xu , Xv , Xuu ) = r, EG − F 2 EG − F 2 1 det(Xu , Xv , Xuv ) = 0, f = hN, Xuv i = √ EG − F 2 1 g = hN, Xvv i = √ det(Xu , Xv , Xvv ) = cos u(r cos u + a). EG − F 2 Aplicando las fórmulas (3.8) y (3.9) se llega a que la curvatura de Gauss vale K(u, v) =

cos u eg − f 2 , = 2 EG − F r(r cos u + a)

mientras que la curvatura media es H(u, v) =

1 2r cos u + a 1 eG + gE − 2 f F . = 2 2 EG − F 2 r(r cos u + a)

¡ ¢ Aqu´ı, K(u, v) = K X(u, v) (análogamente para H(u, v), véase la observación 3.4). A modo de ejemplo, nos podemos preguntar cuáles son los puntos parabólicos del toro. Esto ocurre cuando K ≡ 0, es decir, cuando cos u ≡ 0. Por tanto, los puntos situados en los paralelos u = π /2 y u = 3π /2 (los paralelos superior e inferior) son parabólicos; no son planos pues H 6≡ 0 en dichos paralelos (véase la figura 3.13). 127


6

K = 0: parabólicos

u = π /2

M

K > 0: el´ıpticos

K < 0: hiperbólicos k

u=π

3 -

u=0 u = 3π /2

=

Figura 3.13: Tipos de puntos

- K = 0: parabólicos

en el toro.

Por otro lado, si π /2 < u < 3π /2, entonces cos u < 0 y la curvatura de Gauss verifica K < 0. As´ı, todos los puntos de la cara interior del toro son hiperbólicos. ♦ Finalmente, si u < π /2 o u > 3π /2, entonces K > 0; los puntos son el´ıpticos. El ejemplo anterior nos sirve también para introducir el siguiente resultado. Observemos que, al considerar el plano tangente (visto como plano af´ın) en un punto hiperbólico del toro, hay partes de T2 que quedan a uno y otro lado del plano. Sin embargo, cuando tomamos el plano tangente en un punto el´ıptico, la superficie queda contenida a un lado de dicho plano. Esto siempre es cierto (al menos localmente), tal y como demuestra el siguiente teorema. Teorema 3.5.1. Sea S una superficie regular y orientable. Si p0 ∈ S es el´ıptico, existe un entorno V (p0 ) ⊂ S tal que V está totalmente contenido en uno de los semiespacios determinados por el plano tangente Tp0 S. Si p0 ∈ S es hiperbólico, para todo entorno V (p0 ) ⊂ S existen puntos de V a ambos lados de Tp0 S. Demostración. Sea (U, X) una parametrización de S en p0 y supongamos, por simplicidad, que p0 = X(0, 0). Sea p = X(u, v) otro punto de la superficie en X(U). Entonces, si N(p0 ) = N0 , definimos la función ¯ ® ¯ d(u, v) = hp − p0 , N0 i = X(u, v) − X(0, 0), N0 = ¯X(u, v) − X(0, 0)¯ cos ϕ ,

ϕ

d p

3

p0 Tp0 S

ϕ ?

N(p0 ) 0 Figura 3.14: La distancia al plano tangente.

donde ϕ representa el a´ ngulo determinado por los vectores p − p0 y N0 ; en definitiva, esta función d(u, v) no es más que la distancia (con signo) del punto p = X(u, v) al plano tangente Tp0 S (véase la figura 3.14). Por otro lado, como X(u, v) es una función diferenciable, si hacemos el desarrollo de Taylor hasta el segundo orden en el punto (0, 0), obtenemos ¡ ¢ X(u, v) =X(0, 0) + Xu (0, 0)u + Xv (0, 0)v ¢ 1¡ + Xuu (0, 0)u2 + 2Xuv (0, 0)uv + Xvv (0, 0)v2 + R(u, v), 2 donde la función R(u, v) verifica l´ım(u,v)→(0,0) R(u, v)/(u2 + v2 ) = 0.

128


Introduciendo finalmente la expresión anterior para X(u, v) en la función distancia d previamente definida, obtenemos que ® ® 1 ® 1 d(u, v) = u2 Xuu (0, 0), N0 + uv Xuv (0, 0), N0 + v2 Xvv (0, 0), N0 + R(u, v) 2 2 ¢ 1¡ 2 1 2 = u e(0, 0) + 2uv f (0, 0) + v g(0, 0) + R(u, v) = II p0 (w) + R(u, v), 2 2 ® siendo R(u, v) = R(u, v), N0 y w = uXu (0, 0) + vXv (0, 0) ∈ Tp0 S. Supongamos ahora que p0 es el´ıptico; entonces K(p0 ) > 0, y las dos curvaturas principales tienen el mismo signo. As´ı, II p0 (w) = k1 (p0 ) cos2 θ + k2 (p0 ) sen2 θ también tiene signo fijo (es siempre positivo o siempre negativo), para todo w ∈ Tp0 S. Por otro lado, observemos que R es un infinitésimo de orden 2, y en consecuencia, para (u, v) suficientemente próximo a (0, 0), II p0 (w) determina el signo de la función d(u, v), ya que II p0 (w) es un polinomio en u y v de segundo grado. As´ı pues, el signo de d es siempre positivo o siempre negativo en un entorno de (0, 0), y esto implica que un entorno de la superficie está enteramente contenido en uno de los semiespacios que determina el plano tangente Tp0 S. El mismo razonamiento puede aplicarse en un punto hiperbólico p0 para probar que la función d(u, v) toma valores positivos y negativos en puntos arbitrariamente próximos a (0, 0), con lo que se demuestra que hay puntos de la superficie a ambos lados del plano tangente. Para puntos planos y parabólicos no se puede asegurar nada, tal y como ilustramos en los siguientes ejemplos.

Figura 3.15: La silla de montar del mono.

Ejemplo 3.19. Consideremos la superficie conocida como silla de montar del mono, dada por el grafo X(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2 ) (véase la figura 3.15). Entonces se tiene que X(0, 0) = (0, 0, 0) es un punto plano, su plano tangente es precisamente el plano af´ın z = 0 y, obviamente, existen puntos de la silla de montar del mono a ambos lados de dicho plano en cualquier entorno del origen. Por otro lado, si tomamos la superficie de revolución generada por la rotación de la curva z = y4 alrededor del eje z (véase la figura 3.11), se tiene que el punto (0, 0, 0) es plano, y su plano tangente es z = 0. En este caso, la superficie está enteramente contenida en el semiespacio z ≥ 0. ♦ z=1

Figura 3.16: La superficie de ´ generada por z = y3 . revolucion

129

Ejemplo 3.20. Si nos centramos ahora en el caso de puntos parabólicos, un ejemplo inmediato lo encontramos en el cilindro: se trata de una superficie cuyos puntos son todos parabólicos y, para uno de ellos en concreto, la superficie queda enteramente contenida en uno de los semiespacios que determina su plano tangente. Por otra parte, si consideramos la cúbica z = y3 , con −1 < z < 1, contenida en el plano yz, y la hacemos rotar alrededor de la recta z = 1 (véase la figura 3.16), todos los puntos generados por la rotación del (0, 0) son parabólicos. Y en cualquiera de ellos, existen puntos de la superficie a ambos lados de su plano tangente. ♦


3.6.

LA GEOMETRÍA DE LA CURVATURA DE GAUSS

En esta sección damos una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss en términos de la aplicación de Gauss N : S −→ S2 , que fue, en realidad, la forma en la que Gauss introdujo ((su curvatura)). Para ello, vamos a establecer el siguiente convenio. Sean S y S dos superficies regulares orientadas. Se dice que una aplicación diferenciable F : S −→ S conserva la orientación en un punto p ∈ S si, dada una base © ª positiva {v1 , v2 } de Tp S, entonces dFp (v1 ), dFp (v2 ) es una base positiva de TF(p) S. En caso contrario se dice que F invierte la orientación en p. Sea S una superficie regular orientada por N : S −→ S2 , donde consideramos la esfera S2 orientada por el normal ((exterior)), NS2 (p) = p. Si {v1 , v2 } es una base ortonormal positivamente orientada de Tp S (véase también el ejercicio 3.27), dN p (v1 ) ∧ dN p (v2 ) = det(dN p )(v1 ∧ v2 ) = K(p)N(p);

(3.13)

en consecuencia, la aplicación de Gauss conserva la orientación si K(p) > 0 (si p es el´ıptico) y la invierte si K(p) < 0 (para p hiperbólico) ya que, por definición, © ª dNp (v1 ), dNp (v2 ) es una base positivamente orientada de TN(p) S2 si, y sólo si, © ¡ ¢ ª dNp (v1 ), dNp (v2 ), NS2 N(p) = N(p) es una base positivamente orientada de R3 . Intuitivamente, esto significa lo siguiente. Sean p ∈ S el´ıptico y α : I −→ S una curva cerrada en S tal que p está contenido en el interior de la región que α determina. Tomemos puntos p1 , p2 , p3 , p4 ∈ α (I) y sus imágenes por la aplicación de Gauss, N(p1 ), N(p2 ), N(p3 ), N(p4 ), los cuales se encuentran sobre la curva imagen N ◦ α en la esfera (véase la figura 3.17). Si elegimos una orientación para α , entonces podemos ver que la curva imagen se recorre de la misma forma: N conserva la orientación. 4

3

]

O 1 j

>2

4 z o

N

1 3 M

s

>

2

Figura 3.17: En un punto ´ de Gauss el´ıptico la aplicacion ´ conserva la orientacion.

Por el contrario, si el punto p es hiperbólico, al tomar los puntos imagen de p1 , p2 , p3 , p4 ∈ α (I) sobre la curva N ◦ α , N(p1 ), N(p2 ), N(p3 ), N(p4 ), podemos ver claramente cómo la orientación se invierte: la curva N ◦ α se recorre en el sentido opuesto a α . Luego, en este caso, N invierte la orientación (véase la figura 3.18). 4

7

o

M

3

Figura 3.18: En un punto

1

´ ´ de hiperbolico la aplicacion ´ Gauss invierte la orientacion.

130

2 2 > *

N j

]

4

Y

M

>1

3


As´ı, se establece el siguiente convenio: si N conserva la orientación en p (es decir, si p es el´ıptico), se elige el signo + para la curvatura de Gauss en p; si por el contrario N invierte la orientación en p (esto es, si p es hiperbólico), entonces se elige el signo − para K(p). Siguiendo esta notación, vamos a demostrar el siguiente teorema, el cual proporciona una bonita interpretación geométrica del valor de la curvatura de Gauss en un punto. Teorema 3.6.1 (Interpretación geométrica de la curvatura de Gauss). Sean S una superficie regular orientada, con aplicación de Gauss N : S −→ S2 , y p ∈ S tal que K(p) 6= 0. Entonces, ¡ ¢ A N(Vε ) , K(p) = ± l´ım ε →0 A(Vε ) © ª donde Vε = X(Bε ), siendo Bε = q0 ∈ R2 : |q0 − q| < ε ⊂ U y (U, X) una parametrización de S que cubre a p = X(q). Demostración. Como det(dNp ) = K(p) 6= 0, sabemos que N es un difeomorfismo ¡ ¢ local. Luego existe un abierto U 0 ⊂ U tal que N|X(U 0 ) : X(U 0 ) −→ N X(U 0 ) es un difeomorfismo (global). En tal caso, (U 0 , N ◦ X) es una parametrización de la esfera ¡ ¢ S2 . Además, Bε = (N ◦ X)−1 N(Vε ) para ε > 0 suficientemente pequeño. Luego, claramente, las a´ reas de Vε y N(Vε ) vienen dadas por ZZ ¯ ¢ ZZ ¯ ¡ ¯(N ◦ X)u ∧ (N ◦ X)v ¯ dudv. |Xu ∧ Xv | dudv y A N(Vε ) = A(Vε ) = Bε

Bε

La fórmula (3.13) aplicada a los vectores de la base Xu y Xv permite escribir ZZ ¯ ¢ ZZ ¯ ¡ ¯ ¯ (K ◦ X) |Xu ∧ Xv | dudv, dNp (Xu ) ∧ dNp (Xv ) dudv = A N(Vε ) = Bε

Bε

y utilizando el teorema del valor medio para las integrales dobles, podemos concluir finalmente que existen ciertos q0 , q0 ∈ Bε de modo que ¡ ¢ A N(Vε ) = l´ım l´ım ε →0 A(Vε ) ε →0

ZZ

Bε

(K ◦ X) |Xu ∧ Xv | dudv

ZZ Bε

|Xu ∧ Xv | dudv

(K ◦ X)(q0 ) |Xu ∧ Xv | (q0 )A(Bε ) = (K ◦ X)(q) = K(p). ε →0 |Xu ∧ Xv | (q0 )A(Bε )

= l´ım 3.7.

ISOMETRÍAS LOCALES

En el cap´ıtulo anterior hemos considerado la primera forma fundamental como la herramienta que nos permite hacer geometr´ıa en una superficie regular. Una pregunta natural en este contexto ser´ıa la siguiente: dadas dos superficies regulares, ¿cómo podemos comparar las geometr´ıas de ambas? En otras palabras, ¿es posible precisar si dos superficies tienen, o no, la misma geometr´ıa? Para que esta discusión tenga sentido debemos clarificar qué entendemos por ((la misma geometr´ıa)). Evidentemente, nos estamos refiriendo a que las medidas, relaciones y propiedades que se 131


dan en una superficie, se presentan de forma idéntica en la otra. De un modo más preciso, nos referimos a la posibilidad de si somos capaces de construir una aplicación entre ambas superficies, que relacione los objetos y que conserve las propiedades métricas de e´ stos. Si tal cosa es factible, entonces ambas superficies tendrán la ((misma geometr´ıa)) y las mismas propiedades geométricas. Estas aplicaciones serán las ((isometr´ıas)), que dan t´ıtulo a la sección que nos ocupa. Observemos que, si una isometr´ıa es una aplicación que conserva las propiedades métricas de los objetos, el quid de la cuestión radica en identificar qué determina las propiedades métricas de una superficie. La respuesta a esta pregunta la conocemos ya: la primera forma fundamental es lo que nos permite construir y hablar de geometr´ıa en una superficie. Por tanto, una isometr´ıa será una aplicación entre superficies que conserve la primera forma fundamental. Antes de explicitar tal definición con rigor, vamos a ilustrar esta situación con un ejemplo que trataremos con detalle un poco más adelante. Es un hecho bien conocido que es posible tomar una hoja de papel y doblarla de modo que se obtenga un cilindro. Si previamente hemos dibujado sobre el papel cualquier cosa, las propiedades de dicho dibujo no se ven alteradas: el a´ rea encerrada, los a´ ngulos con los que se cortan las curvas, las longitudes de e´ stas... En este sentido, el plano y el cilindro son, como superficies regulares, métricamente equivalentes. De hecho, la primera forma fundamental para ambas superficies es idéntica (siempre y cuando se utilicen parametrizaciones apropiadas). Ahora bien, ¿quiere esto decir que las geometr´ıas del cilindro y del plano son la misma en todos los aspectos? ¿Realmente se tiene esta identificación para todas las cuestiones geométricas? La respuesta a esta pregunta es negativa. El cilindro y el plano son ((casi)) idénticos desde el punto de vista métrico. Pero, ¿qué es lo que falta para una equivalencia total? Sencillamente, que en geometr´ıa no sólo intervienen los aspectos métricos, sino también una serie de propiedades que pueden modificar y alterar la geometr´ıa, y que para nada son caracter´ısticas geométricas. En el caso que nos ocupa, el hecho de que el plano y el cilindro no sean homeomorfos (que no tengan la misma topolog´ıa) implica la ruptura de la equivalencia en determinadas propiedades muy concretas. A modo de ejemplo, es bien sabido que por dos puntos del plano pasa una u´ nica l´ınea de m´ınima longitud (una u´ nica recta). Pero esta propiedad, que es plenamente métrica, no se tiene en el cilindro, pues por dos puntos ((opuestos)) (situados en generatrices opuestas y a la misma altura) pasan dos l´ıneas (curvas) con longitud m´ınima; este hecho se estudiará con detalle más adelante, en el cap´ıtulo 5. No obstante, si nos restringimos a entornos suficientemente pequeños en el cilindro, entonces todos los aspectos geométricos de ambas superficies s´ı son idénticos. En resumen: la noción de equivalencia geométrica entre dos superficies regulares viene dada por las aplicaciones que conservan la primera forma fundamental. Ahora bien, esta equivalencia sólo se da de ((forma local)). Para poder encontrar una identificación total entre dos superficies es necesario además que ambas sean idénticas desde el punto de vista topológico y diferenciable. Se requiere, pues, efectuar una distinción entre lo ((local)) y lo ((global)). Precisemos estas ideas con rigor. 132


Definición 3.7.1. Una isometr´ıa local entre dos superficies regulares S1 y S2 es una aplicación diferenciable φ : S1 −→ S2 que conserva la primera forma fundamental, es decir, que conserva el producto escalar: para cada p ∈ S1 y cualesquiera v, w ∈ Tp S1 , ® d φ p (v), d φ p (w) = hv, wi . As´ı, φ es una isometr´ıa local si, y sólo si, es una aplicación diferenciable cuya diferencial d φ p : Tp S1 −→ Tφ (p) S2 es una isometr´ıa lineal. Como las isometr´ıas locales conservan el producto escalar, también conservan los a´ ngulos, longitudes y a´ reas (al menos localmente) de los objetos correspondientes por la aplicación. Un matiz importante a reseñar en la definición anterior es que la existencia de una isometr´ıa local φ : S1 −→ S2 no garantiza la existencia de otra aplicación, digamos ψ : S2 −→ S1 que sea también una isometr´ıa local. Esto motiva el siguiente concepto, mucho más restrictivo, que implica el que acabamos de ver, y que involucra no sólo los aspectos locales, sino también los globales, tal y como hemos apuntado al comienzo de la sección. Definición 3.7.2. Una isometr´ıa (global) entre dos superficies regulares S1 y S2 es una isometr´ıa local que es, a su vez, un difeomorfismo global. En esta situación se dice que S1 y S2 son (globalmente) isométricas. Además, S1 y S2 son localmente isométricas si, para todo p ∈ S1 , existen un entorno V ⊂ S1 de p y una isometr´ıa global φ : V −→ φ (V ) ⊂ S2 , y análogamente para S2 . Por lo tanto, si dos superficies regulares son (globalmente) isométricas, entonces son ((iguales)) desde los puntos de vista topológico, diferenciable y métrico. Desde luego, existen superficies localmente isométricas que no lo son globalmente. Veamos el ejemplo que propon´ıamos al comienzo de la sección. Ejemplo 3.21. Demostraremos que existe una isometr´ıa local entre el plano y el cilindro (lo que implica, en particular, que son localmente isométricos), y que ambas superficies no son globalmente isométricas. Comenzamos por la u´ ltima afirmación: el cilindro y el plano no pueden ser globalmente isométricos ya que ni siquiera son homeomorfos, pues tienen grupos fundamentales distintos. Una demostración intuitiva de este hecho es la siguiente: en el plano, toda curva cerrada y simple puede deformarse de modo continuo hasta convertirse en un punto. Sin embargo, en el cilindro hay curvas cerradas y simples (como los paralelos –circunferencias ortogonales a las generatrices) que no pueden deformarse continuamente en un punto. Para probar que plano y cilindro son localmente isométricos, consideramos el © ª © ª plano Π = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 y el cilindro C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 . Definimos la aplicación

φ : Π −→ C

dada por

φ (x, y, 0) = (cos x, sen x, y),

que es claramente diferenciable. El cálculo de su diferencial es muy sencillo: dado p = (x, y, 0) ∈ Π, como Tp Π ≡ Π, entonces cualquier vector v ∈ Tp Π es de la forma 133


v = (v1 , v2 , 0); tomando como curva α : I −→ Π la recta α (t) = p + tv (que verifica α (0) = p, α 0 (0) = v), la diferencial d φ p : Π −→ Tφ (p)C viene dada por ¯ ¯ ¢ d ¯¯ ¡ d ¯¯ d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ cos(x + tv1 ), sen(x + tv1 ), y + tv2 dt t=0 dt t=0 = (−v1 sen x, v1 cos x, v2 ). Ahora, ver que φ conserva el producto escalar es equivalente a comprobar que conser¯2 ¯ va módulos: ¯d φ p (v)¯ = v21 sen2 x + v21 cos2 x + v22 = v21 + v22 = |v|2 , lo que demuestra ♦ que φ es una isometr´ıa local. Si dos superficies S1 , S2 son localmente isométricas, es posible elegir parametrizaciones para cada una de ellas, con dominio común, y con la particularidad de que los coeficientes de la primera forma fundamental coinciden en ambas. Veámoslo. Teorema 3.7.3. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre superficies regulares. Entonces, para todo p ∈ S1 , existen parametrizaciones X : U −→ S1 , X : U −→ S2 cubriendo p ∈ S1 y φ (p) ∈ S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G. Demostración. Dada X : U −→ S1 una parametrización cualquiera de S1 , consideremos la composición X = φ ◦ X : U −→ S2 que, tomando U suficientemente pequeño, es claramente una parametrización10 para la superficie S2 . Vamos a demostrar que, dado p = X(u0 , v0 ) ∈ S1 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ d φ p Xu (u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ) y d φ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ). Para ello, observemos que

¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ X u (u0 , v0 ) = X(u + u0 , v0 ) = (φ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 du ¯u=0 ¡ ¢ ¡ ¢ = d φX(u0 ,v0 ) Xu (u0 , v0 ) = d φ p Xu (u0 , v0 ) , ¡ ¢ utilizando la regla de la cadena. Análogamente, X v (u0 , v0 ) = d φ p Xv (u0 , v0 ) . De esta forma, utilizando el hecho de que φ es una isometr´ıa local, se tiene ® ® E = X u , X u = d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = hXu , Xu i = E, ® ® F = X u , X v = d φ p (Xu ), d φ p (Xv ) = hXu , Xv i = F, ® ® G = X v , X v = d φ p (Xv ), d φ p (Xv ) = hXv , Xv i = G (en el par (u0 , v0 ), que omitimos por brevedad), como se que quer´ıa demostrar. Una suerte de rec´ıproco para este resultado es el siguiente. Teorema 3.7.4. Sean S1 , S2 superficies regulares y X : U −→ S1 , X : U −→ S2 parametrizaciones de S1 y S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G. Entonces, la aplicación φ = X ◦X −1 : X(U) ⊂ S1 −→ X(U) ⊂ S2 es una isometr´ıa (global) entre los abiertos X(U) y X(U) de las superficies S1 y S2 . 10

134

Demuéstrese como ejercicio esta afirmación.


Demostración. Supongamos que X : U −→ S1 y X : U −→ S2 son parametrizaciones de S1 y S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G, y consideremos la composición φ = X ◦ X −1 : X(U) −→ X(U). Por ser las parametrizaciones difeomorfismos, es claro que la aplicación φ también es un difeomorfismo entre superficies. Por tanto, sólo nos queda demostrar que se trata de una isometr´ıa. Consideremos p = X(u0 , v0 ) ∈ S1 y Xu (u0 , v0 ) ∈ Tp S1 . Claramente, la curva coordenada X(u + u0 , v0 ) tiene como condiciones iniciales p y Xu (u0 , v0 ); entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d φ p Xu (u0 , v0 ) = (φ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 ¯ d ¯¯ = (X ◦ X −1 ◦ X)(u + u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ). du ¯u=0 ¡ ¢ Análogamente, se tiene que d φ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ). Por tanto, ® ® d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = X u , X u = E = E = hXu , Xu i (en el par (u0 , v0 ), omitido por brevedad), y la diferencial d φ p conserva el módulo del vector Xu (u0 , v0 ). Utilizando ahora que F = F y G = G, se demuestra que ® ® d φ p (Xv ), d φ p (Xv ) = hXv , Xv i d φ p (Xu ), d φ p (Xv ) = hXu , Xv i y (estas dos u´ ltimas expresiones evaluadas también en (u0 , v0 )). De estas tres igualda® des, y por tratarse {Xu , Xv } de una base, se deduce que d φ p (v), d φ p (v) = hv, vi para todo vector v ∈ Tp S, por lo que φ es una isometr´ıa local. 3.8.

EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS

En esta sección presentamos el resultado fundamental de la Geometr´ıa clásica de Superficies en el espacio. En pocas palabras, lo que afirma este teorema es que la curvatura de Gauss es un objeto intr´ınseco, es decir, depende exclusivamente de la primera forma fundamental. Recordemos que, para definir la curvatura de Gauss, hemos recorrido un camino más o menos largo en el que la principal protagonista ha sido la aplicación de Gauss N : S −→ S2 . A partir de ella, calculamos su diferencial y definimos dicha curvatura como el determinante de esta diferencial. Todo hace pensar que un concepto definido en términos de algo extr´ınseco como el normal N y su diferencial, también debe ser, evidentemente, extr´ınseco. Sin embargo, se puede probar, usando las expresiones en coordenadas que hemos encontrado para la segunda forma fundamental y las fórmulas de Gauss y Weingarten (que veremos a continuación), que la especial combinación de factores dada por eg − f 2 K= EG − F 2 admite una expresión en términos, u´ nicamente, de (los coeficientes de) la primera forma fundamental y sus derivadas sucesivas. Esto demuestra que K sólo depende de 135


dichos coeficientes y, por tanto, de la primera forma fundamental. Por extensión, una isometr´ıa local (que conserva la primera forma fundamental) preserva la curvatura de Gauss en puntos correspondientes. Un corolario interesant´ısimo del resultado de Gauss es que si dos superficies tienen funciones curvatura de Gauss distintas,11 no es posible encontrar una isometr´ıa (local) entre ambas. Por ejemplo, el plano y la esfera no pueden ser localmente isométricos, ya que las curvaturas de Gauss son constantes y distintas (en el plano es nula y en la esfera estrictamente positiva). Este ejemplo nos remite a la u´ ltima sección de este cap´ıtulo, donde trataremos el problema de la representación de la superficie terrestre en un plano, que es el problema fundamental de la Cartograf´ıa. Un u´ ltimo comentario en relación a estos temas que estamos tratando es el siguiente. El teorema Egregium de Gauss supuso el cierre a un debate abierto durante decenas de años por identificar la curvatura primordial de una superficie. As´ı, entre los defensores de la curvatura de Gauss K por un lado y los partidarios de la curvatura media H por otro, se prolongó un discusión analizando los pros y los contras de cada una de ellas hasta el advenimiento del resultado de Gauss. El hecho de que K fuera intr´ınseca, terminó por decantar la balanza hacia el determinante de la aplicación de Gauss. La traza tendr´ıa otras particularidades también muy interesantes, que estudiaremos en los próximos cap´ıtulos.12 3.8.1.

´ Las formulas de Gauss y de Weingarten

Sea S una superficie regular orientada por N y sea X : U −→ V una parametrización de S positivamente orientada, es decir, tal que {Xu , Xv , N} es una base de R3 positivamente orientada. Queremos expresar las derivadas de estos vectores en función de la propia base {Xu , Xv , N}. Recordemos que (véase (3.7), en la sección 3.5) ( Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv , a11 = 11

donde

f F − eG gF − f G eF − f E f F − gE , a12 = , a21 = , a22 = . 2 2 2 EG − F EG − F EG − F EG − F 2

(3.14)

La precisión de esta hipótesis no está aqu´ı suficientemente detallada, pero basta señalar como ejemplo que una superficie con curvatura de Gauss constante no puede ser isométrica a otra que tenga curvatura de Gauss no constante. 12 No s´ olo el teorema Egregium de Gauss dio la razón a los partidarios de la curvatura de Gauss como la curvatura más importante. La entrada en juego de las geometr´ıas no eucl´ıdeas vino a poner de manifiesto la posibilidad de definir superficies abstractas en términos de conjuntos más o menos ((buenos)), dotados de una primera forma fundamental o métrica. Esta métrica pod´ıa tomarse tan ((extraña)) como se quisiera, hasta el punto de que algunas de tales métricas no eran concebibles como el resultado de superficies dentro del espacio eucl´ıdeo que heredan el producto escalar usual. Sin embargo, siempre y cuando dichas métricas estuvieran formalmente bien definidas, daban lugar a geometr´ıas sumamente interesantes y a curvaturas de Gauss nunca vistas como, por ejemplo, el caso del plano hiperbólico: superficie con curvatura de Gauss constante y negativa. Hablaremos más sobre ello posteriormente.

136


Las ecuaciones (3.14) se conocen con el nombre de fórmulas de Weingarten. Estudiemos a continuación los vectores Xuu , Xuv , Xvu , Xvv . Como son vectores de R3 , los podemos expresar como combinación lineal de la base {Xu , Xv , N}. Entonces,  Xuu = Γ111 Xu + Γ211 Xv + L1 N,       Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + L2 N, 12 12   Xvu = Γ121 Xu + Γ221 Xv + L3 N,     Xvv = Γ122 Xu + Γ222 Xv + L4 N, para ciertos coeficientes Γkij y Lm , con i, j, k ∈ {1, 2} y m ∈ {1, 2, 3, 4}. Ahora bien, es evidente que el coeficiente L1 = L1 hN, Ni = hXuu , Ni = e y, análogamente, que L2 = hXuv , Ni = f , L3 = hXvu , Ni = f y L4 = hXvv , Ni = g. Las relaciones  Xuu = Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN,       Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f N, 12 12 (3.15)   Xvu = Γ121 Xu + Γ221 Xv + f N,     Xvv = Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN, reciben el nombre de fórmulas de Gauss, y los coeficientes Γkij , los s´ımbolos de Christoffel. Los s´ımbolos de Christoffel dependen de la parametrización respecto a la cual se calculen, y son simétricos respecto a los sub´ındices (Γ112 = Γ121 y Γ212 = Γ221 ), ya que Xuv = Xvu . Pero existe una propiedad mucho más importante de estos coeficientes, y es que, a pesar de aparecer en unas relaciones donde intervienen tanto el propio vector normal como los coeficientes de la segunda forma fundamental, van a depender exclusivamente de la primera forma fundamental de la superficie. Veámoslo. Si multiplicamos escalarmente las ecuaciones de (3.15) por Xu y Xv , obtenemos hXuu , Xu i = Γ111 E + Γ211 F,

hXuu , Xv i = Γ111 F + Γ211 G,

hXuv , Xu i = Γ112 E + Γ212 F,

hXuv , Xv i = Γ112 F + Γ212 G,

hXvv , Xu i = Γ122 E + Γ222 F,

hXvv , Xv i = Γ122 F + Γ222 G.

Por otro lado, derivando E = hXu , Xu i, F = hXu , Xv i y G = hXv , Xv i respecto a u y v de forma adecuada, obtenemos que 1 hXuu , Xv i = Fu − hXu , Xvu i = Fu − Ev , 2 1 hXuv , Xv i = Gu , 2 1 1 hXvv , Xu i = Fv − hXuv , Xv i = Fv − Gu y hXvv , Xv i = Gv , 2 2

1 hXuu , Xu i = Eu y 2 1 hXuv , Xu i = Ev y 2

lo que finalmente permite escribir los s´ımbolos de Christoffel como solución a un sistema lineal de seis ecuaciones con seis incógnitas, en el que coeficientes y términos 137


independientes dependen exclusivamente de la primera forma fundamental:  1   Γ111 E + Γ211 F = Eu ,   2    1  1 2  Γ11 F + Γ11 G = Fu − Ev ,    2    1   Γ112 E + Γ212 F = Ev , 2 1   Γ112 F + Γ212 G = Gu ,    2    1  1 2  Γ22 E + Γ22 F = Fv − Gu ,   2      Γ1 F + Γ2 G = 1 Gv . 22 22 2

(3.16)

En efecto, los s´ımbolos de Christoffel sólo dependen de la primera forma fundamental de la superficie. Escribiendo la solución a este sistema en forma matricial,  Ev Gu  Eu Ã Ã ! ! Fv − 1 1 1 1 G −F  Γ11 Γ12 Γ22 2 2 2  = .  2 2 2 2 Gv Ev Gu EG − F −F Γ11 Γ12 Γ22 E Fu − 2 2 2 3.8.2.

Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss

Las fórmulas de Gauss y Weingarten se han deducido estudiando las derivadas parciales primeras de los vectores de la base {Xu , Xv , N}. Las ecuaciones de compatibilidad se obtienen a partir de sus segundas derivadas; más concretamente, estudiando las identidades (Xuu )v = (Xuv )u , (Xvv )u = (Xvu )v y Nuv = Nvu . As´ı, para la primera de ellas, si sustituimos Xuu y Xuv por las fórmulas de Gauss (3.15) correspondientes y operamos, obtenemos 0 = (Xuu )v − (Xuv )u = (Γ111 )v Xu + Γ111 Xuv + (Γ211 )v Xv + Γ211 Xvv + ev N + eNv − (Γ112 )u Xu − Γ112 Xuu − (Γ212 )u Xv − Γ212 Xvu − fu N − f Nu . Sustituyendo de nuevo y utilizando las fórmulas de Weingarten (3.14), llegamos a una expresión en la que u´ nicamente aparecen los vectores de la base {Xu , Xv , N}, lo que nos permite reagrupar los coeficientes convenientemente y obtener una combinación lineal de tales vectores igualada a cero: ¡ ¢ ¡ ¢ 0 = (Γ111 )v Xu + Γ111 Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N + (Γ211 )v Xv + Γ211 Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN ¡ ¢ ¡ ¢ − (Γ112 )u Xu − Γ112 Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN − (Γ212 )u Xv − Γ212 Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N + ev N + e(a12 Xu + a22 Xv ) − fu N − f (a11 Xu + a21 Xv ) = A1 Xu + B1 Xv +C1 N. Dado que {Xu , Xv , N} es una base de R3 , podemos concluir que los tres coeficientes A1 = B1 = C1 = 0. Detengámonos primero en la identidad B1 = 0, esto es, Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 + ea22 − f a21 = 0. 138


Un rápido cálculo permite deducir la llamada ecuación de Gauss de una superficie: Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 = f

eF − f E f F − gE −e , 2 EG − F EG − F 2

es decir, Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 = EK.

(3.17)

Esta ecuación supuso uno de los grandes avances de la Geometr´ıa Diferencial de superficies, pues con ella se está diciendo, impl´ıcitamente, que la curvatura de Gauss sólo depende de los s´ımbolos de Christoffel y, por lo tanto, exclusivamente de la primera forma fundamental. En otras palabras, K es un concepto intr´ınseco, lo cual resulta bastante sorprendente, tal y como ya hemos comentado, si tenemos en cuenta que la curvatura de Gauss se define a partir de la aplicación de Gauss, esto es, del normal a la superficie. La ecuación de Gauss permite además demostrar uno de los grandes teoremas de la Geometr´ıa Diferencial, el llamado teorema Egregium de Gauss. Este resultado fue probado por Gauss en 1828, y apareció publicado por primera vez en su gran obra ((Disquisitiones generales circa superficies curva)) (véase [16]). Teorema 3.8.1 (Egregium de Gauss). La curvatura de Gauss de una superficie regular es invariante por isometr´ıas locales. Es decir, si φ : S1 −→ S2 es una isometr´ıa ¢ ¡ local, entonces K1 (p) = K2 φ (p) , para todo p ∈ S1 , donde K1 y K2 representan, respectivamente, las curvaturas de Gauss de S1 y S2 . Demostración. Si φ : S1 −→ S2 es una isometr´ıa local, en particular es un difeomorfismo local. Sean p ∈ S1 y (U, X) una parametrización de S1 , p ∈ X(U) = V , de forma que φ : V −→ φ (V ) es un difeomorfismo. Entonces, X = φ ◦ X : U −→ S2 es una parametrización de S2 en φ (p). Como es usual, representamos por E, F, G, Γkij k

y E, F, G, Γi j , los coeficientes de la primera forma fundamental y los s´ımbolos de Christoffel de las parametrizaciones X y X, respectivamente. El teorema 3.7.3 nos asegura que, para las parametrizaciones X y X, E = E, k F = F y G = G; por tanto, Γi j = Γkij (los s´ımbolos de Christoffel sólo dependen de la primera forma fundamental). Finalmente, utilizando la ecuación de Gauss (3.17), podemos concluir que las curvaturas de Gauss coinciden punto a punto. El rec´ıproco del teorema Egregium de Gauss no es cierto en general (aunque existen situaciones particulares en las que s´ı lo es, véase el teorema 5.3.11). Basta considerar las superficies S1 y S2 parametrizadas por X(u, v) = (u cos v, u sen v, log u)

y

X(u, v) = (u cos v, u sen v, v).

Es sencillo ver que ambas superficies tienen igual curvatura de Gauss en los puntos X(u, v) y X(u, v); concretamente, K1 (u, v) = K2 (u, v) = − 139

1 . (1 + u2 )2


Sin embargo, la composición φ = X ◦ X −1 no va a ser una isometr´ıa local; en efecto, si calculamos el módulo de los vectores Xu y d φ p (Xu ) = X u , e´ stos no coinciden: ¯ ¯ ¯X u ¯ = 1 6= 1 + 1/u2 = |Xu |. Este hecho demuestra que el rec´ıproco del teorema Egregium de Gauss no es cierto. Retomemos el cálculo de las ecuaciones de compatibilidad, de las cuales la ecua´ ción de Gauss (3.17) forma parte. Esta se obten´ıa estudiando la identidad B1 = 0. Si escribimos A1 = 0, se tiene la relación (Γ111 )v + Γ211 Γ122 − (Γ112 )u − Γ212 Γ112 = −FK, que es una variante de la ecuación de Gauss. Sin embargo, esta nueva relación proporciona mucha menos información que la ecuación de Gauss, pues ya sabemos que F puede anularse, mientras que E no. Por tanto, no forma parte de las ecuaciones de compatibilidad. Finalmente, si escribimos C1 = 0, s´ı que obtenemos una nueva relación de gran importancia: ¡ ¢ ev − fu = eΓ112 + f Γ212 − Γ111 − gΓ211 . (3.18) Razonando de manera análoga con la identidad (Xvv )u − (Xvu )v = 0, se llega a una expresión de la forma A2 Xu + B2 Xv + C2 N = 0, de donde se deduce de nuevo que A2 = B2 = C2 = 0. Las igualdades A2 = 0 y B2 = 0 no proporcionan información relevante; C2 = 0 s´ı permite escribir una nueva ecuación: ¢ ¡ (3.19) fv − gu = eΓ122 + f Γ222 − Γ112 − gΓ212 . Las ecuaciones (3.18) y (3.19) se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi que, junto con la ecuación de Gauss (3.17) reciben el nombre de ecuaciones de compatibilidad. La identidad Nuv = Nvu no proporciona información adicional. Una pregunta natural es si existen más relaciones de compatibilidad entre la primera y segunda formas fundamentales que aporten una información relevante. La respuesta es negativa, tal y como demuestra el siguiente teorema.13 Teorema 3.8.2 (de Bonnet). Sean E, F, G, e, f , g : V −→ R funciones diferenciables definidas sobre un abierto V ⊂ R2 , verificando las ecuaciones de compatibilidad (3.17), (3.18), (3.19) y las relaciones E > 0, G > 0, EG − F 2 > 0. Entonces, existen un abierto U ⊂ V y un difeomorfismo X : U −→ X(U) ⊂ R3 , de forma que X(U) es una superficie regular, parametrizada por X, tal que los coeficientes de su primera y segunda formas fundamentales asociadas son E, F, G y e, f , g, respectivamente. Además, si U es conexo y X : U −→ X(U) es otro difeomorfismo que satisface también las condiciones anteriores, entonces existe una transformación ortogonal A y una traslación T de forma que X = T ◦ A ◦ X (en otras palabras, existe un movimiento r´ıgido que lleva una superficie a la otra). 13

Por información relevante queremos decir alguna caracter´ıstica que determine la superficie frente a otras. Lo que se demuestra en este resultado es que, con las relaciones de compatibilidad que hemos presentado, una superficie queda determinada por completo, por lo que el resto de posibles relaciones no aportan información alguna: son redundantes.

140


Este teorema ser´ıa el resultado correspondiente, para superficies, a los teoremas fundamentales de la Teor´ıa Local de curvas en el plano y en el espacio: aquéllos afirmaban que una curva queda determinada, salvo movimientos r´ıgidos, por su curvatura (caso plano, teorema 1.2.4), o por su curvatura y su torsión (en R3 , teorema 1.3.7); el teorema de Bonnet prueba que una superficie está determinada, de nuevo salvo movimientos r´ıgidos, por su primera y segunda formas fundamentales. La demostración de este resultado requiere de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo que excede del nivel del curso donde se ubica esta materia. Por tanto, la omitimos aqu´ı, pudiendo consultarse, por ejemplo, en [12]. Ejemplo 3.22. Un caso particular de especial interés aparece cuando el entorno coordenado no contiene puntos umbilicales y las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, esto es, cuando F = f = 0 (véase la observación 3.16). Por ser F = 0, los s´ımbolos de Christoffel tienen una expresión muy sencilla, 1 Ev 1 1 Ev 2 1 Gu 1 1 Gu 2 1 Gv 1 Eu 2 , Γ11 = − , Γ12 = , Γ12 = , Γ22 = − , Γ22 = , 2E 2G 2E 2 G 2 E 2 G y las ecuaciones de Mainardi-Codazzi toman la forma g ´ Ev Gu ³ e g ´ Gu Ev ³ e + = (k1 + k2 ), gu = + = (k1 + k2 ). (3.20) ev = 2 E G 2 2 E G 2 En definitiva, se tiene que ev = Ev H y gu = Gu H. ♦ Γ111 =

3.9.

APLICACIONES CONFORMES E ISOAREALES. CARTOGRAFÍA

Ya sabemos qué es una isometr´ıa local: una aplicación diferenciable que conserva el producto escalar, y por tanto, longitudes, a´ ngulos y a´ reas (al menos, localmente). Durante muchos años, uno de los problemas más atractivos para los geómetras estaba relacionado directamente con la Cartograf´ıa, es decir, la representación de una porción R del globo terráqueo (idealizado como la esfera unidad) en una superficie plana (un mapa); o equivalentemente, la búsqueda de una aplicación φ : R ⊂ S2 −→ R2 inyectiva y diferenciable, con inversa diferenciable, llamada proyección. Aqu´ı, identificamos R2 con el plano z = 0 de R3 . Desde luego, la proyección ideal ser´ıa aquella para la cual todas las medidas geométricas relevantes sobre la esfera fuesen preservadas en la imagen: longitudes, a´ ngulos y a´ reas sobre la esfera deber´ıan ir, por una proyección ideal, a idénticas longitudes, a´ ngulos y a´ reas sobre el mapa. Necesitar´ıamos, por tanto, una isometr´ıa; pero ya sabemos que esto es imposible: en 1828, Gauss demostró con su famoso teorema que una esfera (curvatura de Gauss constante y estrictamente positiva) y un plano (curvatura de Gauss constante y nula) nunca pueden ser localmente isométricas. En consecuencia, los esfuerzos se dirigieron a la búsqueda de proyecciones que se acercasen a lo ((ideal)) tanto como fuese posible, en el sentido de que conservasen alguna de las medidas que interesaban en navegación (ángulos, para mantener un rumbo fijo), o en topograf´ıa y agrimensura (áreas de recintos). En esta sección estudiamos este tipo de proyecciones que se acercan a lo ideal. Comenzamos con aquellas que conservan los a´ ngulos. 141


Definición 3.9.1. Se dice que un difeomorfismo local φ : S1 −→ S2 entre superficies es una aplicación conforme si existe una función diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula en ningún punto, tal que, para cualesquiera p ∈ S1 y v, w ∈ Tp S1 , ® d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi . Por tanto, una isometr´ıa local es una aplicación conforme con función λ ≡ 1. Teorema 3.9.2. Un difeomorfismo local φ : S1 −→ S2 es una aplicación conforme si, y sólo si, conserva a´ ngulos; esto es, si dadas dos curvas regulares α , β : I −→ S1 tales que α (0) = β (0) = p, entonces el a´ ngulo entre α 0 (0) y β 0 (0) en Tp S1 es el ¡ ¡ ¢ ¢ mismo que el determinado por d φ p α 0 (0) y d φ p β 0 (0) en Tφ (p) S2 . Demostración. Supongamos en primer lugar que φ : S1 −→ S2 es una aplicación conforme, y sean α , β : I −→ S1 dos curvas regulares en S1 que se cortan en t = 0: α (0) = β (0) = p. El a´ ngulo θ ∈ (0, π ) que forman sus vectores tangentes en dicho punto viene dado por 0 ® α (0), β 0 (0) cos θ = ¯¯ 0 ¯¯ ¯¯ 0 ¯¯ . α (0) β (0) Si ahora consideramos las curvas φ ◦ α , φ ◦ β : I −→ S2 , imágenes por φ de α y β , respectivamente, e´ stas son curvas en la superficie S2 que también se cortan en t = 0, ¢ ¢ ¡ ¡ φ α (0) = φ β (0) = φ (p), formando un a´ ngulo ϕ dado por ¡ ¡ ¢ ¢® ® d φ p α 0 (0) , d φ p β 0 (0) λ (p)2 α 0 (0), β 0 (0) ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯ = cos θ . ¡ ¡ ¢¯ ¯ ¢¯ = ¯ cos ϕ = ¯¯ d φ p α 0 (0) ¯ ¯d φ p β 0 (0) ¯ ¯λ (p)¯ ¯α 0 (0)¯ ¯λ (p)¯ ¯β 0 (0)¯ Luego una aplicación conforme conserva los a´ ngulos, de ah´ı su nombre. Supongamos ahora que la aplicación φ : S1 −→ S2 conserva a´ ngulos. Queremos demostrar que existe una función diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula nunca, ® tal que d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera p ∈ S1 y v, w ∈ Tp S1 . Dado p ∈ S1 arbitrario, tomamos {e1 , e2 } una base ortonormal de Tp S1 . Claramente, basta probar la relación anterior para los vectores de la base {e1 , e2 }, pues cualquier otro elemento de Tp S1 se expresa como combinación lineal de ambos. Como φ es un ª © difeomorfismo local, los vectores d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) (no necesariamente unitarios) determinan una base de Tφ (p) S2 , que es, además, ortogonal, pues por hipótesis ® d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) λ (p)2 he1 , e2 i ¯¯ ¯=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯d φ p (e1 )¯ ¯d φ p (e2 )¯ ¯λ (p)¯ |e1 | ¯λ (p)¯ |e2 | = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ® lo que implica d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) = 0. Si c1 = ¯d φ p (e1 )¯ y c2 = ¯d φ p (e2 )¯, entonces, ® d φ p (e1 ), d φ p (e1 + e2 ) he , e + e2 i c21 1 ¯¯ ¯= 1 1 q = ¯¯ =√ , ¯ ¯ ¯ |e1 | |e1 + e2 | d φ p (e1 ) d φ p (e1 + e2 ) 2 c1 c21 + c22 lo cual es equivalente a que c21 = c22 ; o de forma más precisa, a que c1 = c2 , pues ambos c1 , c2 > 0. Esto demuestra que la aplicación φ es conforme en p, siendo el 142


factor de conformidad, precisamente, el valor c1 ; obsérvese que c1 no depende de la base ortonormal escogida. Para concluir la demostración, tenemos que definir la función λ : S1 −→ R y ver que, en efecto, es diferenciable y no se anula. Para ello, sea X : U −→ S1 una parametrización de S1 . Consideremos la base ortonormal ) ( √ ¶ µ E Xu F E1 (u, v) = √ (u, v), E2 (u, v) = √ Xv − Xu (u, v) , E E EG − F 2 obtenida al aplicar la ortogonalización de Gram-Schmidt a la base de las parciales {Xu , Xv }. Entonces, por lo visto anteriormente, el factor de conformidad en cada punto p = X(u, v) de X(U) viene dado por la función λ : S1 −→ R definida por ¯ Ã !¯ ¯ ¡ ¢¯ Xu (u, v) ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯d φ p E1 (u, v) ¯¯. λ (p) := ¯d φ p ¯¯ ¯ Xu (u, v)¯ ¯ Claramente λ es una función diferenciable, ya que E1 es un campo diferenciable en X(U), que además nunca se anula, lo que concluye la prueba. Veamos cómo traducir esto en el caso particular de un mapa del globo terráqueo. Consideremos la parametrización X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) de la es´ fera dada por las coordenadas geográficas (véase el ejemplo 2.3). Esta permite localizar un punto de la Tierra por su longitud ϕ , medida desde el meridiano ϕ = 0,14 y su colatitud θ que, tal y como está definida, mide la distancia angular del punto al polo norte, y no al plano ecuatorial, como es habitual (la llamada latitud). Esta representación terráquea data del siglo II a.C., y es estándar en Geograf´ıa. Un rápido cálculo permite comprobar que los coeficientes de la primera forma fundamental en esta parametrización son E = 1,

F = 0,

G = sen2 θ .

Si φ : S2 −→ R2 es un difeomorfismo local, X = φ ◦ X es una parametrización del plano. Entonces, si φ es una aplicación conforme, con factor de conformidad λ , ® ® E = X θ , X θ = d φ p (Xθ ), d φ p (Xθ ) = λ (p)2 hXθ , Xθ i = λ (p)2 E = λ (p)2 , F = λ (p)2 F = 0

y

2

G = λ (p) G = λ (p)2 sen2 θ , para p = X(θ , ϕ ). Y rec´ıprocamente, si E = λ (p)2 , F = 0 y G = λ (p)2 sen2 θ para alguna función diferenciable no nula λ : S2 −→ R, entonces φ es una aplicación conforme. Hemos establecido as´ı el siguiente resultado: Corolario 3.9.3. Sean φ : S2 −→ R2 un difeomorfismo local, X(θ , ϕ ) la parametrización de S2 dada por las coordenadas geográficas y X = φ ◦ X. Entonces, φ es una aplicación conforme si, y sólo si, E = λ 2 , F = 0 y G = λ 2 sen2 θ , para alguna función diferenciable λ : S2 −→ R que no se anula en ningún punto. 14

143

Este meridiano es el de Greenwich por razones históricas.


Ejemplo 3.23. La proyección estereográfica (véase el ejemplo 2.4) ¶ µ 2y 2x 2 2 , ,0 , π : S \{N} −→ R , dada por π (x, y, z) = 1−z 1−z es una aplicación conforme. En efecto, basta considerar la composición X = π ◦ X, con X(θ , ϕ ) las coordenadas geográficas de la esfera, y aplicar el corolario 3.9.3: µ ¶ 2 sen θ cos ϕ 2 sen θ sen ϕ X(θ , ϕ ) = (π ◦ X)(θ , ϕ ) = , ,0 1 − cos θ 1 − cos θ y sus derivadas parciales son µ ¶ −2 cos ϕ −2 sen ϕ Xθ = , ,0 1 − cos θ 1 − cos θ

µ y Xϕ =

¶ −2 sen θ sen ϕ 2 sen θ cos ϕ , ,0 , 1 − cos θ 1 − cos θ

por lo que los coeficientes de la primera forma fundamental valen E=

4 , (1 − cos θ )2

F = 0,

G=

4 sen2 θ ; (1 − cos θ )2

¢ ¡ la función λ X(θ , ϕ ) = 4/(1 − cos θ )2 es diferenciable (para θ 6= 0, el polo norte) ♦ y no se anula nunca, lo que demuestra que π es conforme. Ejemplo 3.24. Usando este criterio puede verse que el difeomorfismo de las coorde♦ nadas geográficas (con φ = X −1 ) no conserva a´ ngulos; sólo en el ecuador. A continuación vamos a ocuparnos de las aplicaciones que conservan el a´ rea de recintos en una superficie. Definición 3.9.4. Sea ϕ : S1 −→ S2 un difeomorfismo entre superficies. Se dice que ϕ es una aplicación isoareal si conserva a´ reas, es decir, si para toda región R ⊂ S1 , ¢ ¡ se verifica que AS1 (R) = AS2 ϕ (R) . En lo que al diseño de mapas se refiere, generalmente, la navegación necesita aplicaciones conformes (entre la esfera y el plano), mientras que para diversas facetas gubernamentales son más u´ tiles las isoareales. Lo que nunca podrá darse es una aplicación entre la esfera y el plano que sea, simultáneamente, conforme e isoareal: en tal caso, ser´ıa una isometr´ıa, como pone de manifiesto el siguiente resultado. Proposición 3.9.5. Un difeomorfismo φ : S1 −→ S2 entre dos superficies regulares es conforme e isoareal si, y sólo si, es una isometr´ıa. Demostración. Sólo hay que probar la implicación directa, pues el rec´ıproco es inmediato: toda isometr´ıa conserva a´ ngulos y a´ reas. Sean φ : S1 −→ S2 una aplicación conforme e isoareal, p ∈ S1 y (U, X) una parametrización de S1 cubriendo p. Entonces, (U, X = φ ◦ X) es una parametrización para S2 . Representamos por E, F, G y E, F, G los coeficientes de la primera forma fundamental de X y X, respectivamente. Como φ es conforme, existe una función diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula, 144


® tal que d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera vectores v, w ∈ Tp S1 . En particular, se tiene que, para p = X(u, v), ® ® E = X u , X u = d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = λ (p)2 hXu , Xu i = λ (p)2 E, y análogamente, que F = λ (p)2 F y G = λ (p)2 G. Sean ¡ ¢ p f (p) = f X(u, v) = EG − F 2 (u, v), ¡ ¢ ¡ ¢ p ¡ ¢ f φ (p) = f X(u, v) = EG − F 2 X(u, v) , ¡ ¢ ¡ ¢ y supongamos que f (p) 6= f φ (p) ; podemos asumir, por ejemplo, f (p) > f φ (p) . Como f y f son funciones continuas, existe un entorno V de p donde se verifica la ¡ ¢ misma desigualdad en todo punto, es decir, f (q) > f φ (q) , para todo q ∈ V . Repree := X −1 (V ), y vamos a calcular las a´ reas de V y de φ (V ). Claramente, sentamos por U ¡ ¢ e = X −1 (V ) = X −1 φ (V ) , luego U A(V ) =

ZZ p e U

EG − F 2 dudv

ZZ

=

e U

¡ ¢ f X(u, v) dudv,

ZZ ¡ ¢ ZZ p ¢ ¡ EG − F 2 dudv = f X(u, v) dudv. A φ (V ) = e U

e U

¡ ¢ ¢ ¡ ¡ ¢ e entonces A(V ) > A φ (V ) , lo Como f X(u, v) > f X(u, v) para todo (u, v) ∈ U, ¡ ¢ que contradice el hecho de que φ sea isoareal. En consecuencia, f (p) = f φ (p) y, por tanto, se tiene que q p p p 2 2 EG − F = EG − F = λ (p)2 E λ (p)2 G − λ (p)4 F 2 = λ (p)2 EG − F 2 . As´ı, obtenemos λ (p)2 = 1, y como el punto p era arbitrario, esto es cierto para todo p ∈ S1 , lo que demuestra que φ es una isometr´ıa. Finalizamos esta sección presentando algunos ejemplos más de proyecciones.

p

φ (p)

C ´ Figura 3.19: La proyeccion cil´ındrica de Lambert.

Ejemplo 3.25 (La proyección cil´ındrica de Lambert). Es un ejemplo clásico de proyección cil´ındrica, es decir, aquella en la que la Tierra se proyecta sobre un cilindro, el cual se corta longitudinalmente, y que una vez desplegado ser´ıa el mapa. La proyección cil´ındrica de Lambert se debe a J. H. Lambert (1772). Consideremos la esfera unidad S2 centrada en el origen de coordenadas y sea C el cilindro dado por C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}. Sea φ la aplicación φ : S2 \{N, S} −→ C definida como sigue: para cada p ∈ S2 \{N, S} se considera la (única) recta perpendicular al eje z que pasa por p. Sea ` la semirrecta que empieza en dicho punto del eje y que pasa por p (véase la figura 3.19). Entonces, definimos φ (p) = C ∩ `. Es sencillo comprobar que ¶ µ y x ,√ ,z . φ (x, y, z) = √ 1 − z2 1 − z2 Obsérvese que φ (p) = p sólo en los puntos del ecuador de la esfera, donde el cilindro es tangente a la misma. 145


Finalmente, la composición de φ con la inversa de la parametrización del cilindro nos da la proyección de Lambert: ´ ³ y φ : S2 \{N, S} −→ R2 , φ (x, y, z) = arc tg , z, 0 . x Geométricamente, lo que se está haciendo es ((cortar)) el cilindro C longitudinalmente para obtener el mapa (véase la figura 3.20). Además, esta proyección lleva los meridianos a rectas verticales y los paralelos a rectas horizontales.

Figura 3.20: Mapa obtenido ´ mediante la proyeccion de Lambert.

Además, se puede demostrar que φ es un difeomorfismo (sobre la imagen) que conserva las a´ reas. Para ello, basta tomar una parametrización X de la esfera y considerar a continuación la parametrización X = φ ◦ X sobre R2 . Si calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental de ambas parametrizaciones se llega a que EG − F 2 = EG − F 2 , donde la notación es la misma que la utilizada en la demostración anterior. A partir de esta igualdad es claro que la aplicación φ es isoareal (véase también el ejercicio 3.40). ♦ Ejemplo 3.26 (La proyección cil´ındrica de Mercator). Otra proyección cil´ındrica de gran importancia es la llamada proyección de Mercator, llamada as´ı en honor ´ al geógrafo flamenco Gerardus Mercator (1512-1594). Esta es la proyección más conocida, pues da lugar a los mapas habituales a los que estamos acostumbrados. Su aparición en 1569 marca el principio de una nueva era en Cartograf´ıa.

Figura 3.21: Mapa obtenido ´ mediante la proyeccion de Mercator.

De forma no rigurosa, la proyección de Mercator podr´ıa explicarse como aquella que trata a la Tierra como un globo hinchable que se introduce en un cilindro y que 146


empieza a inflarse, imprimiendo el mapa en su interior al contacto con el mismo. Su expresión precisa es la siguiente: ¶ µ 1 1+z x √ , log ,0 . φ (x, y, z) = arc cos 1−z 1 − z2 2 Obsérvese que, de nuevo, esta proyección no está definida en toda la esfera, pues hay que excluir los polos de su dominio: φ : S2 \{N, S} −→ R2 . La proyección de Mercator verifica las siguientes importantes propiedades: es una aplicación conforme (véase el ejercicio 3.38); los meridianos (ϕ = ϕ0 ) se proyectan en segmentos de recta verticales, y los paralelos (θ = θ0 ) en segmentos horizontales, que se cortan ortogonalmente: en efecto, aplicando φ a las curvas α (θ ) = (sen θ cos ϕ0 , sen θ sen ϕ0 , cos θ ) y β (ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ), con θ0 , ϕ0 constantes, se obtienen parametrizaciones de rectas verticales y horizontales, respectivamente. las loxodromas (véase el ejercicio 2.8) se proyectan en segmentos de recta: en efecto, las loxodromas de la esfera son las curvas parametrizadas por ¡ ¢ α (t) = sen θ (t) cost, sen θ (t) sent, cos θ (t) , con θ (t) = 2 arc tg eb(t+c) , donde b 6= 0, c son constantes (véase la solución del ejercicio 2.8); un sencillo cálculo muestra que ¢ ¡ ¢ ¡ φ α (t) = t, −b(t + c), 0 , es decir, una recta. Como los meridianos determinan las direcciones norte-sur, si un navegante quiere seguir una ruta determinada por la dirección constante que le marca su brújula, debe seguir una loxodroma. En general, las loxodromas no marcan el camino más corto entre dos puntos sobre la esfera, pero s´ı el más sencillo a la hora de navegar. Siguiendo la ruta determinada por una loxodroma (que no sea un paralelo), se construye un camino en espiral que termina en uno de los polos (véase la figura 2.25). Obsérvese que, como los meridianos sobre el mapa no convergen como lo hacen sobre la esfera, la relación apropiada entre los a´ ngulos se mantiene, incrementando la distancia entre los paralelos hacia los polos. Esto causa una distorsión notable en el tamaño al aproximarse a los polos; basta echar un rápido vistazo a Alaska para darnos cuenta de ello: aunque en el mapa parece tener una superficie aproximadamente igual a la de Brasil, su tamaño real es 1/5 de este u´ ltimo. ♦ Existen otros muchos tipos de proyecciones, tanto cil´ındricas, como las llamadas proyecciones azimutales (obtenidas proyectando una parte del globo terráqueo en un disco plano que es tangente a e´ ste), o las proyecciones cónicas (una porción de esfera es proyectada en una región del cono, que posteriormente se corta y despliega). Es también digna de mención la llamada proyección central, similar a la estereográfica, 147


pero que sólo proyecta la semiesfera inferior, siendo ahora el ((foco)) de la proyección el centro de la esfera (en lugar del polo norte). Hemos querido destacarla aqu´ı porque jugó un papel especialmente importante en el descubrimiento de uno de los modelos de la Geometr´ıa Hiperbólica (véase también el ejemplo 6.6). Para el lector interesado, un estudio más detallado sobre diversos tipos de proyecciones puede consultarse en [26].

148


EJERCICIOS Ejercicio 3.1. Sean S1 y S2 dos superficies regulares difeomorfas. Demostrar que S1 es orientable si, y sólo si, S2 es orientable. Ejercicio 3.2 (La tercera forma fundamental). Sean S una superficie regular sin puntos umbilicales y N : S −→ S2 su aplicación de Gauss. Haciendo un abuso de notación, escribiremos I p (v, w) = hv, wi y II p (v, w) = hA p v, wi. Se define la tercera forma fundamental de S en p como

III p (v, w) = hA p v, A p wi. Demostrar que III p = 2H(p)II p − K(p)I p . Ejercicio 3.3. Calcular las curvaturas de Gauss y media de la esfera, el cilindro, el cono, el helicoide, el catenoide, el toro, la pseudoesfera, los paraboloides el´ıptico e hiperbólico, los hiperboloides de una y dos hojas y la silla de montar del mono. Ejercicio 3.4 (Direcciones asintóticas). Dada una superficie regular orientada S se dice que v ∈ Tp S es una dirección asintótica de S en p si kn (v, p) = 0. Probar que H(p) = 0 si, y sólo si, existen dos direcciones asintóticas ortogonales en p. Ejercicio 3.5. Demostrar que en un punto hiperbólico de una superficie regular orientada S hay exactamente dos direcciones asintóticas linealmente independientes, y que las direcciones principales las bisectan. ¿Qué ocurre si el punto es el´ıptico? ¿Existen direcciones asintóticas en un punto umbilical? Ejercicio 3.6. Demostrar que toda superficie regular compacta tiene, al menos, un punto el´ıptico. Ejercicio 3.7. Probar que si una superficie regular contiene una recta, entonces todos los puntos de esa recta tienen curvatura de Gauss menor o igual que cero. Sea α : I −→ S una curva contenida en una superficie regular S. Si Tα (t) S ≡ Π para todo t ∈ I, con Π un plano fijo de R3 , ¿cómo son los puntos α (t) ∈ S? Ejercicio 3.8 (Curvas asintóticas). Sea S una superficie regular y orientada, y sea α : I −→ S tal que α 0 (t) es una dirección asintótica en α (t), para todo t ∈ I. Se dice entonces que α es una curva asintótica de S. Sea (U, X) una parametrización de S. Demostrar que, en un entorno de un punto hiperbólico, las curvas coordenadas de X(u, v) son curvas asintóticas si, y sólo si, e = g ≡ 0. Ejercicio 3.9 (Teorema de Beltrami-Enneper). Sean S una superficie regular orientada y α : I −→ S una curva asintótica con curvatura k(t) 6= 0 para todo t ∈ I. En¡ ¢ tonces su torsión τ verifica τ (t)2 = −K α (t) . Ejercicio 3.10 (Teorema de Olinde-Rodrigues). Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular contenida en una superficie regular orientada S. Entonces α es una l´ınea de curvatura si, y sólo si, existe una función escalar diferenciable λ : I −→ R tal que (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t), para todo t ∈ I. 149


Ejercicio 3.11 (Teorema de Joachimstahl). Sean S1 , S2 superficies regulares orientadas que se cortan a lo largo de α : I −→ S1 ∩S2 , que es l´ınea de curvatura de S1 . Sea ¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢ θ (t) = a´ ng N1 α (t) , N2 α (t) , siendo N1 , N2 los vectores normales a S1 , S2 , respectivamente. Entonces α es l´ınea de curvatura de S2 si, y sólo si, θ (t) es constante. Ejercicio 3.12. Calcular las curvaturas de Gauss, media y principales de una superficie de revolución. ¿Son sus meridianos y paralelos l´ıneas de curvatura? Ejercicio 3.13. Sea (U, X) una parametrización de una superficie regular orientada. Demostrar que, en un entorno de un punto no umbilical, las curvas coordenadas de X(u, v) son l´ıneas de curvatura si, y sólo si, F = f ≡ 0. Ejercicio 3.14. Sean α : I −→ S una curva regular contenida en una superficie regular ¡ ¢ e (t) = u(t), v(t) su expresión en coordenadas respecto a una cierta orientada S, y α parametrización X(u, v). Demostrar que α es l´ınea de curvatura de S si, y sólo si, ¯ ¯ ¯ v0 (t)2 −u0 (t)v0 (t) u0 (t)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (3.21) F G ¯ = 0. ¯ E ¯ ¯ ¯ e ¯ f g Ejercicio 3.15. Calcular las l´ıneas de curvatura, curvas asintóticas, curvaturas principales, y curvaturas media y de Gauss de la superficie parametrizada por ¶ µ 1 3 1 3 2 2 2 2 X(u, v) = u − u + uv , v − v + u v, u − v . 3 3 Clasificar sus puntos. Esta superficie se denomina superficie de Enneper. © ª Ejercicio 3.16. Considérese la superficie regular S = (x, y, z) ∈ R3 : x + y = z2 . Calcular sus curvaturas de Gauss y media, y clasificar sus puntos. Determinar las l´ıneas de curvatura y las curvas asintóticas. ¿Cuánto vale la curvatura normal de la curva α (t) = (t 2 , 0,t) en un valor cualquiera de t? Ejercicio 3.17. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., que suponemos contenida en un plano. Considérese el tubo regular alrededor de α (véase el ejercicio 2.11). Calcular sus curvaturas de Gauss y media. ¿Qué tipo de puntos tiene esta superficie? Ejercicio 3.18. Sea α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a., con curvatura k 6≡ 0 y sea a, |a| = 1, el vector normal al plano donde α está contenida. Considérese la superficie S parametrizada por X(s, v) = α (s) + va, con (s, v) ∈ I × R. i) Calcular sus curvaturas de Gauss y media, y clasificar sus puntos. ii) La curva α , como curva que es de S, ¿es: a) l´ınea de curvatura, b) curva asintóti¢ ¡ ca? ¿Cuánto vale la curvatura normal kn α (s), α 0 (s) ? iii) ¿Es S isométrica a alguna superficie conocida? Justificar la respuesta. Ejercicio 3.19. Sea α : I −→ S una curva p.p.a. de una superficie regular orientada S. ¿Qué se puede decir de α si es, a la vez, l´ınea de curvatura y curva asintótica? 150


Ejercicio 3.20 (Direcciones conjugadas). Sean S una superficie regular orientada y p ∈ S. Dos vectores v1 , v2 ∈ Tp S (unitarios) se dice que son conjugados si ® ® dNp (v1 ), v2 = v1 , dNp (v2 ) = 0. Las direcciones que determinan se llaman direcciones conjugadas. Demostrar: i) Cualquier par de direcciones principales son conjugadas y cualquier dirección asintótica es conjugada respecto de s´ı misma. ii) Si p es umbilical cualquier par de direcciones ortogonales son conjugadas. iii) Si {e1 , e2 } es la base ortonormal de direcciones principales y v1 , v2 ∈ Tp S son dos direcciones conjugadas que forman con e1 a´ ngulos θ y ϕ , respectivamente, entonces k1 (p) cos θ cos ϕ = −k2 (p) sen θ sen ϕ . Ejercicio 3.21. Sean S una superficie regular, N : S −→ S2 su aplicación de Gauss y α : I −→ S una curva regular p.p.a. que no pasa por ningún punto parabólico o plano de S. Demostrar las siguientes afirmaciones: i) Los vectores tangentes a α y N ◦ α son ortogonales si, y sólo si, α es una curva asintótica, mientras que son paralelos si, y sólo si, α es l´ınea de curvatura. ii) Sean kα y kN α , respectivamente, las curvaturas de α y N ◦ α , vistas como curvas ¯ ¯ de R3 . Si α es una l´ınea de curvatura, entonces kα (t) = ¯kn (t)¯kN α (t), donde ¢ ¡ kn (t) es la curvatura normal kn (t) = kn α 0 (t), α (t) . iii) Si α es una l´ınea de curvatura plana, entonces N ◦ α es una circunferencia. iv) La suma de las curvaturas normales en cualquier par de direcciones ortogonales (en un punto p ∈ S) es constante. Ejercicio 3.22. Representemos por kn (θ ) = kn (vθ , p) la curvatura normal de un punto p ∈ S en la dirección vθ ∈ Tp S que forma un a´ ngulo θ con un determinado vector fijo. Demostrar que Z 1 2π kn (θ ) d θ . H(p) = 2π 0 Ejercicio 3.23 (Superficies regladas). Una superficie reglada es una superficie15 parametrizada de la forma X(t, s) = α (t) + sω (t), donde α , ω : R −→ R3 son funciones diferenciables. La curva α (t) se denomina directriz de la superficie y cada una de las rectas α (t) + sω (t), generatriz de la misma. i) Demostrar que el hiperboloide de una hoja, el cono y el cilindro son regladas. ¯ ¯ ii) Supongamos que ¯ω (t)¯ = 1 y ω 0 (t) 6= 0. Probar que existe una curva parame ® trizada β (t), denominada l´ınea de estricción, verificando β 0 (t), ω 0 (t) = 0. 15

Una superficie reglada no tiene por qué ser una superficie regular en el sentido de nuestra definición 2.1.1, pues puede presentar autointersecciones o, en general, puntos donde el plano tangente no está bien definido. Por ello, hablaremos de puntos regulares de una superficie reglada como aquellos en los que esto no ocurre: el plano tangente existe y es u´ nico.

151


iii) Ahora tómese como curva directriz de la superficie la l´ınea de estricción β (t), con lo que X(t, s) = β (t) + sω (t), y supóngase que β 0 (t) y ω (t) no son colineales para todo t. Calcular su curvatura de Gauss y clasificar sus puntos. Ejercicio 3.24 (Superficies desarrollables). Sea X(t, s) = α (t) + sω (t) una super¯ ¯ ficie reglada con ¯ω (t)¯ = 1. Se dice que S es desarrollable si det(α 0 , ω , ω 0 ) = 0. Demostrar que una superficie reglada es desarrollable si, y sólo si, su curvatura de Gauss K ≡ 0 en todo punto. Ejercicio 3.25. Sea X(t, s) = α (t) + sω (t) una superficie desarrollable. Demostrar que en un punto regular se verifica hNs , Xs i = hNs , Xt i = 0. Concluir que el plano tangente de una superficie desarrollable es constante a lo largo de los puntos regulares de una generatriz Lt (s) = α (t) + sω (t). Ejercicio 3.26. Sean α : I −→ S una curva en una superficie regular S, y N el normal a la superficie. Demostrar que α es una l´ınea de curvatura de S si, y sólo si, la super¡ ¢ ficie parametrizada X(t, s) = α (t) + sN(t) es desarrollable, donde N(t) = N α (t) representa el normal a la superficie en los puntos de la curva α . Ejercicio 3.27. Sean S1 y S2 dos superficies regulares y φ : S1 −→ S2 un difeomorfismo. Demostrar que si (U, X) es una parametrización de S1 y escribimos X = φ ◦ X, ¯ ¯ ¡ ¯ ¢¯ entonces ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det d φX(·) ¯|Xu ∧ Xv |. Ejercicio 3.28 (Teorema de Hadamard). Sea S una superficie regular, compacta, conexa y orientada, con curvatura de Gauss K 6= 0 en todo punto. Entonces la aplicación de Gauss N : S −→ S2 es un difeomorfismo. Ejercicio 3.29. Sea S una superficie regular orientada, con aplicación de Gauss N. ® Dado p0 6∈ S, definimos f : S −→ R por f (p) = p − p0 , N(p) , para p ∈ S. i) Demostrar que f es diferenciable y calcular su diferencial en un punto p ∈ S. ii) Demostrar que si p ∈ S es un punto el´ıptico o hiperbólico, entonces p es un punto cr´ıtico de f si, y sólo si, la recta pp0 es ortogonal a S en p. Ejercicio 3.30 (Puntos focales). Sea S una superficie regular orientada, con aplicación de Gauss N. Para cada λ ∈ R, sea ψλ : S −→ R3 la aplicación diferenciable dada por ψλ (p) = p + λ N(p). Dado p ∈ S, sea ` p la recta ortogonal a S que pasa por p, ª © esto es, ` p = p + λ N(p) : λ ∈ R . i) Un punto q ∈ ` p es un punto focal de S a lo largo de ` p si q = p + λ0 N(p), para λ0 ∈ R tal que la aplicación d(ψλ0 ) p : Tp S −→ R3 no es inyectiva. Probar que ¡ ¢ los puntos focales de S a lo largo de ` p son de la forma q = p + 1/ki (p) N(p), donde las curvaturas principales ki (p) son no nulas en p. ¿Cuántos puntos focales tiene S a lo largo de ` p si p es hiperbólico? ¿Y si es parabólico? ii) El conjunto de todos los puntos focales de S a lo largo de todas las rectas normales a S se llama el lugar focal de S. ¿Depende el lugar focal de la orientación elegida? Calcular el lugar focal de un plano, una esfera de radio r y el cilindro de ecuación x2 + y2 = r2 . 152


Ejercicio 3.31. Demostrar que si (U, X) es una parametrización ortogonal de una superficie regular S, entonces se verifica ·µ ¶ µ ¶¸ Ev Gu 1 √ + √ . (3.22) K=− √ 2 EG EG v EG u Ejercicio 3.32 (Caracterización de las isometr´ıas). Sea f : S −→ S una aplicación diferenciable entre dos superficies regulares. Demostrar que f es una isometr´ıa local si, y sólo si, f conserva la longitud de la curvas. Ejercicio 3.33. Dada f : R2 −→ R diferenciable, consideremos la superficie regular © ª S = (x, y, z) : z = f (x, y) . Sea entonces φ : Π −→ S la aplicación natural entre el ¡ ¢ plano Π ≡ {z = 0} y el grafo S dada por φ (x, y, 0) = x, y, f (x, y) . i) Justificar que φ es diferenciable. ¿Es φ un difeomorfismo? ii) ¿Bajo qué condiciones será φ una isometr´ıa local? iii) ¿Podemos asegurar entonces que si un grafo no verifica las condiciones del apartado ii), no será isométrico al plano? Ejercicio 3.34. Sea S una superficie regular cuyos coeficientes de la primera forma fundamental (respecto a una parametrización X) valen E = 1, F = 0 y G = u2 + 1, y sea S otra superficie regular de forma que E = (1 + 4u2 )2 , F = 0 y G = u2 (respecto a otra parametrización X). ¿Pueden ser isométricas? Ejercicio 3.35. Demostrar que el helicoide y el catenoide son superficies regulares localmente isométricas. Ejercicio 3.36. ¿Existen superficies regulares X(u, v) tales que: i) E = G = 1, F = 0, e = 1, f = 0, g = −1, ii) E = 1, F = 0, G = cos2 u, e = cos2 u, f = 0, g = 1? Ejercicio 3.37. Sean X : U −→ S y X : U −→ S parametrizaciones de S y S de forma que E = λ 2 E, F = λ 2 F y G = λ 2 G, donde λ : U −→ R es una función diferenciable, distinta de cero en todo punto. Demostrar que, entonces, la aplicación ϕ = X ◦ X −1 es una aplicación (localmente) conforme entre S y S. Ejercicio 3.38 (La proyección de Mercator). Considérense la proyección cil´ındrica de Mercator, ¶ µ 1 1+z x , log ,0 , φ (x, y, z) = arc cos √ 1−z 1 − z2 2 y la parametrización X(θ , ϕ ) de S2 dada por las coordenadas geográficas. Calcular los coeficientes de la primera forma fundamental de la parametrización del plano X = φ ◦ X. Demostrar que la proyección de Mercator φ es una aplicación conforme. Ejercicio 3.39. Sea (U, X) una parametrización (positivamente orientada) de una superficie regular S con curvatura de Gauss K, y sea N : S −→ S2 su aplicación de Gauss. Demostrar, utilizando la relación (3.13), que si N es una aplicación isoareal, entonces K ≡ ±1. 153


Ejercicio 3.40 (Proyectando de forma isoareal el globo terráqueo en un mapa). Consideremos la parametrización X(θ , ϕ ) de la esfera dada por las coordenadas geográficas. Sea φ : S2 −→ R2 un difeomorfismo (sobre la imagen) y sea X = φ ◦ X la correspondiente parametrización del plano (véase el corolario 3.9.3). Demostrar que: i) φ es una aplicación isoareal si, y sólo si, EG − F 2 = sen2 θ . ¡ ¢ ii) La proyección cil´ındrica de Lambert φ (x, y, z) = arc tg(y/x), z, 0 es una aplicación isoareal.

154

IV

´ en superficies. Las superficies minimales Integracion En este cap´ıtulo vamos a estudiar las técnicas de integración en superficies para, a continuación, aplicarlas al estudio de las superficies minimales. En la primera sección definimos el elemento de a´ rea métrico como una función que determina el a´ rea de una porción infinitesimal de superficie, en términos de la parametrización escogida. Este elemento de a´ rea tiene una interpretación geométrica muy clara, y permitirá definir el a´ rea de una superficie con total propiedad. En la siguiente sección introducimos la integral de una función real definida sobre una superficie. Se trata de una generalización natural del concepto de integral para dominios en el plano, y presentamos algunos resultados relacionados con estas técnicas, como por ejemplo, la interpretación de la curvatura de Gauss como razón entre a´ rea de superficie y a´ rea esférica. Las superficies minimales constituyen una clase muy especial desde diversos puntos de vista, y a ellas dedicamos la u´ ltima parte de este cap´ıtulo. As´ı, desde una perspectiva histórica, surgen como o´ ptimos del funcional a´ rea asociado a variaciones de un dominio de la superficie con borde prefijado. Una superficie minimal admite varias definiciones y, en esta sección, además de presentarlas y demostrar su equivalencia, efectuamos una revisión histórica de los principales avances y pruebas relacionados con ellas. En la u´ ltima sección mostramos algunos ejemplos de superficies minimales cuya construcción está estrechamente relacionada con las definiciones dadas en la sección previa. 4.1.

´ INTUITIVA AL CONCEPTO DE AREA ´ UNA APROXIMACION

Sea S una superficie regular parametrizada por (U, X). Fijado q = (u0 , v0 ) ∈ U, con X(q) = p, consideremos el rectángulo R = [u0 , u0 + ∆u] × [v0 , v0 + ∆v] ⊂ U y sea Re = X(R). Claramente, el a´ rea de R es ∆u∆v. Dado que Re es una región de S, podemos calcular su a´ rea. Para ello, tomamos la diferencial dXq : R2 −→ Tp S y la imagen por la misma de R, digamos R0 = dXq (R), que es un paralelogramo en Tp S, uno de cuyos vértices es p = X(q), con lados dXq (∆u, 0) y dXq (0, ∆v) (véase la figura 4.1).

X ∆v q ´ Figura 4.1: Una aproximacion ´ intuitiva al concepto de area.

155

6

R ∆u

R′ z

-

p

Xu

: X v

Re


Un sencillo cálculo muestra que el a´ rea de R0 vale ¯ ¯ ¯ ¯ A(R0 ) = ¯dXq (∆u, 0) ∧ dXq (0, ∆v)¯ = ∆u∆v¯dXq (1, 0) ∧ dXq (0, 1)¯ p ¯ ¯ = ∆u∆v ¯Xu (q) ∧ Xv (q)¯ = ∆u∆v EG − F 2 (q). El a´ rea de Re se puede aproximar a partir del a´ rea de R0 (para una demostración rigurosa de este hecho véase [12]): p e = A(R0 ) + ∆u∆v δ (∆u, ∆v) = ∆u∆v EG − F 2 (q) + ∆u∆v δ (∆u, ∆v), A(R) donde l´ım∆u,∆v→0 δ (∆u, ∆v) = 0. Por lo tanto, p e e A(R) A(R) = = EG − F 2 (q) + δ (∆u, ∆v), A(R) ∆u∆v y finalmente,

p e A(R) = EG − F 2 (q), ∆u,∆v→0 A(R) por lo que, en el l´ımite, el cociente entre el a´ rea en la superficie y el a´ rea en el plano √ de coordenadas es, precisamente, EG − F 2 (q). Esto motiva la siguiente definición. l´ım

Definición 4.1.1. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y orientada, con aplicación de Gauss N. Se denomina elemento de a´ rea de S en un punto p ∈ S a la aplicación ¡ ¢ dA(p) : Tp S × Tp S −→ R dada por dA(p)(v, w) = det v, w, N(p) . Observación 4.1. El elemento de a´ rea dA(p) es una forma bilineal antisimétrica, es decir, dA(p)(v, w) = −dA(p)(w, v). ♦ Supongamos que la parametrización (U, X) es positivamente orientada. ¿Cómo actúa el elemento de a´ rea sobre los vectores de la base {Xu , Xv }? ¶ µ ¡ ¢ ¡ ¢ Xu ∧ Xv (q) dA(p) Xu (q), Xv (q) = det Xu (q), Xv (q), N(p) = det Xu (q), Xv (q), |Xu ∧ Xv | p 1 hXu ∧ Xv , Xu ∧ Xv i (q) = |Xu ∧ Xv | (q) = EG − F 2 (q). = |Xu ∧ Xv | As´ı pues, el elemento de a´ rea actuando sobre los vectores {Xu , Xv } nos proporciona, √ precisamente, el valor EG − F 2 en q y, por tanto, el l´ımite en q de la razón entre el a´ rea (arbitrariamente pequeña) en la superficie y la correspondiente por la parametrización en el plano de coordenadas. De ah´ı su importancia: para conocer el a´ rea en la superficie es suficiente saber qué a´ rea medimos en el plano (cosa sencilla) y, en función de los puntos en los que estemos trabajando, el valor del elemento de a´ rea aplicado a los vectores de la base dada por la parametrización. Por tanto, tiene sentido la siguiente definición, que ya hemos presentado en el apartado 2.5.1: Definición 4.1.2. El a´ rea de una región R ⊂ S viene dada por la expresión ZZ p EG − F 2 dudv, A(R) = X −1 (R)

donde (U, X) es cualquier parametrización tal que X(U) contiene la región R. 156

Integración en superficies. Las superficies minimales

Observemos que esta definición no puede aplicarse a regiones que exceden el dominio de las parametrizaciones. As´ı pues, a priori, no es posible utilizar esta definición en una región del cilindro acotada por dos paralelos a distintas alturas, pues no se puede encontrar una parametrización que contenga dicha región por completo. Este problema lo vamos a subsanar en la siguiente sección, donde no sólo vamos a definir el a´ rea para cualquier tipo de regiones, sino también la integral de una función real definida sobre una superficie. ´ DE FUNCIONES INTEGRACION

4.2.

Si sabemos medir a´ reas en superficies, deber´ıamos ser capaces de construir la integral de una función real definida sobre una superficie. Veremos que esto es as´ı, aunque el problema de encontrar definiciones buenas depende del uso adecuado de las parametrizaciones y de la utilización de las particiones diferenciables de la unidad como herramienta que permite ((pegar)) objetos definidos en términos locales. Sea f : S −→ R una función real definida sobre una superficie regular orientada S. El soporte de f es el conjunto sop( f ) = cl{p ∈ S : f (p) 6= 0} que, en general, supondremos compacto por razones técnicas (fundamentalmente, para poder integrar y que el valor de estas integrales no se haga infinito). Supongamos que (U, X) es una parametrización de S de forma que sop( f ) ⊂ X(U). Desde luego, la composición f ◦ X : U −→ R es una función real en dos variables que s´ı sabemos integrar, por lo que lo más natural es expresar la integral de f en función de f ◦ X. As´ı, si queremos encontrar una definición plausible de integral, lo más lógico ser´ıa definirla como Z ZZ f dA := ( f ◦ X)(u, v) dudv. S

X −1 (sop( f ))

Veamos si es una buena definición, es decir, si el valor de la integral no depende de la parametrización elegida para calcularla. Para ello, sea (U, X) otra parametrización de S tal que sop( f ) ⊂ X(U). En tal caso, sop( f ) ⊂ X(U) ∩ X(U). Representamos −1 por φ = X ◦ X el cambio de coordenadas, φ (u, v) = (u, v). Entonces, realizando el cambio de variable dado por φ , ZZ

ZZ X

−1

( f ◦ X)(u, v) dudv =

(sop( f ))

φ −1 (X

ZZ

=

−1

¯ ¡ ¢¯ ( f ◦ X) φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

(sop( f )))

X −1 (sop( f ))

¯ ¯ ( f ◦ X)(u, v)¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

ZZ

6=

X −1 (sop( f ))

( f ◦ X)(u, v) dudv.

Luego no es una buena definición, ya que depende de la parametrización escogida. En este sentido, ni siquiera merece la pena preguntarnos si es una medida razonable del a´ rea. Vamos a proponer una definición alternativa que s´ı resultará ser la apropiada. 157


Definición 4.2.1. Sea f : S −→ R una función con soporte compacto, definida sobre una superficie regular orientada S, tal que existe una parametrización (U, X) de S de forma que sop( f ) ⊂ X(U). Se define la integral de f en S como Z S

ZZ

f dA :=

U

p ( f ◦ X)(u, v) EG − F 2 (u, v) dudv,

(4.1)

siempre y cuando la integral sobre U ⊂ R2 esté definida. Vamos a ver que e´ sta s´ı es una buena definición. Supongamos que (U, X) es otra parametrización de S, con sop( f ) ⊂ X(U). Luego sop( f ) ⊂ X(U) ∩ X(U) =: V . Sea −1 −1 también φ = X ◦ X : X −1 (V ) ⊂ U −→ X (V ) ⊂ U el cambio de coordenadas, φ (u, v) = (u, v). Entonces, ZZ p ( f ◦ X)(u, v) EG − F 2 (u, v) dudv −1 X

(V )

=

ZZ φ −1 (X

−1

ZZ

=

X −1 (V )

(V ))

¯ ¡ ¢p ¡ ¢¯ ( f ◦ X) φ (u, v) EG − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

p ¯ ¡ ¢¯ ( f ◦ X)(u, v) EG − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv.

Tenemos por tanto que demostrar que p ¯ p ¡ ¢¯ EG − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ = EG − F 2 (u, v). (4.2) ¡ ¢ Veámoslo. Sea q = (u, v) ∈ X −1 (V ) ⊂ U. Entonces p = X(q) = X φ (q) . Dispo¢ ¡ ¢ª © ª © ¡ nemos de dos bases de Tp S, Xu (q), Xv (q) y X u φ (q) , X v φ (q) , y podemos expresar los elementos de una de ellas como combinación lineal de los de la otra: ¢ ¢∂u ¢∂v ¡ ¡ ¢ ¡ ∂ ¡ + X v φ (q) , X u(u, v), v(u, v) = X u φ (q) Xu (q) = X ◦ φ u (q) = ∂u ∂u ∂u ¢∂u ¢∂v ¡ ¡ + X v φ (q) . Xv (q) = X u φ (q) ∂v ∂v Por tanto, ¯ Ã !¯ ∂u ∂u ¯¯ ¯ p ¯¡ ¢ ¯ ¯ EG − F 2 (q) = |Xu ∧ Xv | (q) = ¯det ∂∂ uv ∂∂ vv ¯ ¯X u ∧ X v ¯ φ (q) ¯ ¯ ∂u ∂v p ¯ ¡ ¢¯ = EG − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯; luego es una buena definición, ya que no depende de la parametrización escogida.1 Más aún, si pensamos en el significado geométrico de esta integral, resulta ser una generalización de la integral para funciones reales definidas en dominios de R2 . Lo que estamos haciendo es llevar la integral sobre la superficie a una integral sobre un dominio plano (donde s´ı sabemos calcular integrales por el análisis estándar en varias 1

En l´ıneas generales, y como ya hemos comentado previamente, cuando se tiene una cantidad que no depende de las coordenadas escogidas, dicha cantidad suele tener significado geométrico.

158


variables). Ahora bien, la manera de ((llevar)) la integral al plano es importante: no es lo mismo utilizar una parametrización que otra, y esto debe quedar reflejado en nues√ ´ es el sentido de introducir el factor EG − F 2 en el integrando, y tra definición. Ese lo que provoca que dicha integral sea una medida en el sentido natural del término. Una vez definida la integral de una función en el caso particular de que su soporte (compacto) esté contenido en el entorno coordenado de una parametrización, tenemos que plantearnos la situación más general de que esto no ocurra. Supongamos, por tanto, que existe una cantidad finita (U1 , X1 ), . . . , (Un , Xn ) de parametrizaciones, tales S que sop( f ) ⊂ ni=1 Xi (Ui ) (esto siempre es posible por la compacidad del soporte). Comenzamos con una definición. Definición 4.2.2. Una partición diferenciable de la unidad en una superficie regular S es una colección de funciones diferenciables fi : S −→ R, i = 1, . . . , n, tales que i) 0 ≤ fi ≤ 1, i = 1, . . . , n, y ii) ∑ni=1 fi ≡ 1. Se dice además que la partición { fi }ni=1 está subordinada a un cubrimiento abierto de S, {V1 , . . . ,Vn }, si se cumple que sop( fi ) ⊂ Vi , i = 1, . . . , n. Dado cualquier cubrimiento finito {V1 , . . . ,Vn } por abiertos de S, siempre existe una partición (diferenciable) de la unidad { fi }ni=1 subordinada al mismo. Por ejemplo, en el caso de no diferenciabilidad, basta tomar  si p 6∈ Vi ,  0 fi (p) = 1  si p ∈ Vi , m(p) donde m(p) es el número de abiertos del cubrimiento a los que pertenece p. Volvamos al problema inicial. Claramente, para nuestra superficie S y nuestra © ª función f : S −→ R, la colección S\ sop( f ),V1 := X1 (U1 ), . . . ,Vn = Xn (Un ) es un cubrimiento finito por abiertos de S. Sea {g, g1 , . . . , gn } una partición (diferenciable o no) de la unidad subordinada al cubrimiento anterior. En tal caso, se verifica que sop(g) ⊂ S\ sop( f ) y sop(gi ) ⊂ Vi , para i = 1, . . . , n. Entonces, si p ∈ S, Ã ! n

f (p) = f (p) · 1 = f (p) g(p) + ∑ gi (p) i=1

n

= ∑ f (p)gi (p), i=1

ya que f (p)g(p) = 0 por satisfacerse la condición sop(g) ⊂ S\ sop( f ). En definitiva, si representamos por fi := f gi , para i = 1, . . . , n, se tiene que f = ∑ni=1 fi . Además, sop( fi ) = sop( f gi ) = sop( f ) ∩ sop(gi ) ⊂ Vi = Xi (Ui ), i = 1, . . . , n. As´ı: Definición 4.2.3. Con la notación anterior, se define la integral de f en S como Z S

159

n

f dA := ∑

Z

i=1 S

fi dA.

(4.3)


Se puede demostrar de nuevo que e´ sta es una buena definición, en el sentido de que no depende de la partición de la unidad elegida, aunque omitiremos esta prueba porque estimamos que su interés queda fuera de los objetivos de este libro; una demostración de este hecho puede consultarse en [9] o [24]. Si R ⊂ S es una región arbitraria (véase la definición 2.5.3), podemos ahora definir su a´ rea de la siguiente forma: consideremos la aplicación ( 1 si p ∈ R, χ R (p) = 0 si p 6∈ R, cuyo soporte sop(χ R ) = cl R es compacto; se define el a´ rea de R como la integral Z

A(R) =

S

χ R dA,

(4.4)

que completa la que ya hemos presentado para a´ reas de regiones contenidas en el dominio de una parametrización (véase la definición 4.1.2). En el caso particular de que S sea compacta, tomando R = S podemos calcular su a´ rea como Z

A(S) =

S

χ S dA =

Z

S

dA.

Ejemplo 4.1. Calculemos el a´ rea de la esfera S2 (r). Tomamos la parametrización X(θ , ϕ ) = (r sen θ cos ϕ , r sen θ sen ϕ , r cos θ ) de las coordenadas geográficas, donde U = (0, π ) × (0, 2π ). ¡ 2 ¢ Z A S (r) = dA. S2 (r)

Obsérvese que, como la función a integrar es la constantemente igual a 1, su soporte compacto es toda la esfera: sop(1) = cl{p ∈ S2 (r) : 1(p) = 1 6= 0} = S2 (r). Ya sabemos que no es posible cubrir S2 (r) con una u´ nica parametrización, luego V = X(U) ⊂ S2 (r), lo que, en principio, nos obligar´ıa a emplear la definición de integral en la que se utilizan las particiones de la unidad. Sin embargo, esto no va a ser necesario, pues el conjunto que queda sin cubrir por la parametrización tiene medida nula, lo que no afecta al resultado final (obsérvese que la imagen inversa por la parametrización de dicho conjunto también tiene medida nula en U ⊂ R2 ). As´ı pues, ¡ ¢ A S2 (r) = A(V ), que podemos calcular fácilmente: Z π Z 2π ZZ p ¡ ¢ Z r2 sen θ d ϕ d θ = 4π r2 . ♦ EG − F 2 (θ , ϕ ) d ϕ d θ = A S2 (r) = dA = V

U

0

0

Finalizamos la sección introduciendo un teorema de cambio de variable para integración sobre superficies, que aplicaremos para probar de nuevo la interpretación que hemos dado en el cap´ıtulo anterior sobre la curvatura de Gauss en términos de a´ reas. Obsérvese que, dada una aplicación φ : S1 −→ S2 entre superficies, podemos considerar la función det(d φ ) : S1 −−−−→ R p −−−−→ det(dφ p ), que a cada p ∈ S1 le asocia el valor del determinante de la aplicación lineal asociada d φ p . En tales términos, enunciamos el resultado antes mencionado. 160


Teorema 4.2.4 (del cambio de variable). Sean S1 y S2 dos superficies regulares, conexas y orientadas, cuyos elementos de a´ rea representamos por dA1 y dA2 , respectivamente. Sea f : S2 −→ R una función con soporte compacto. Si φ : S1 −→ S2 es un difeomorfismo, entonces Z Z Z ¯ ¯ f dA2 = ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 = ± ( f ◦ φ ) det(d φ ) dA1 , S2

S1

S1

donde el signo ± depende de si φ conserva o invierte la orientación. Demostración. Supongamos en primer lugar que existe una parametrización (U, X) de la superficie S2 tal que sop( f ) ⊂ X(U). Como φ es un difeomorfismo, podemos considerar la composición X = φ −1 ◦ X. Ya sabemos que, entonces, (U, X) es una parametrización de S1 y vamos a demostrar que, en tal caso, sop( f ◦ φ ) ⊂ X(U). En ¡ ¢ efecto, si p ∈ sop( f ◦ φ ), por definición f φ (p) 6= 0, y en consecuencia se tiene que ¡ ¢ φ (p) ∈ sop( f ) ⊂ X(U) = φ X(U) ; luego p ∈ X(U). Entonces Z ZZ p f dA2 = ( f ◦ X) EG − F 2 (u, v) dudv S2

U

ZZ

= Z

=

U

S1

¯ ¡ ¢¯p ( f ◦ φ ◦ X)¯det d φX(·) ¯ EG − F 2 (u, v) dudv

¯ ¯ ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 ,

ya que (véase el ejercicio 3.27) ¯ ¯ ¡ ¯ ¢¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det d φX(·) ¯|Xu ∧ Xv |. Supongamos ahora que no existe ninguna parametrización (U, X) de S2 tal que sop( f ) ⊂ X(U). Sean entonces (Ui , X i ), i = 1, . . . , n, parametrizaciones de S2 de forª © S ma que sop( f ) ⊂ ni=1 V i , donde V i = X i (Ui ). Claramente, S2 \ sop( f ),V 1 , . . . ,V n es un cubrimiento finito por abiertos de S2 . Tomamos entonces una partición (diferenciable) de la unidad {g, g1 , . . . , gn } subordinada a dicho cubrimiento, esto es, tal que sop(g) ⊂ S2 \ sop( f )

y

sop(gi ) ⊂ V i

para todo i = 1, . . . , n. Sean finalmente fi = f gi , i = 1, . . . , n, para las cuales se tiene que f = ∑ni=1 fi y sop( fi ) ⊂ V i , i = 1, . . . , n. Aplicando el caso anterior a cada una de las funciones fi obtenemos Z

S2

n

f dA2 = ∑

i=1 S2 n

Z

=

Z

n

fi dA2 = ∑

Z

i=1 S1

¯

¯ ¯ ( fi ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 ¯

∑ ( fi ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 =

S1 i=1

pues, claramente, para todo p ∈ S1 , ! Ã

Z S1

¯ ¯ ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1

n ¡ ¢ ¡ ¢ φ ) (p) = ( f ◦ i ∑ fi φ (p) = f φ (p) = ( f ◦ φ )(p), ∑ n

i=1

lo que concluye la demostración. 161

i=1


Teorema 4.2.5. Sean S una superficie regular orientada, N su aplicación de Gauss y p ∈ S con K(p) 6= 0. Si V ⊂ S es un entorno de p donde N|V : V −→ N(V ) es un difeomorfismo, ¡ ¢ Z A N(V ) = |K| dA, (4.5) V

siempre y cuando esta integral, conocida como la curvatura total del entorno V , tome un valor finito. Demostración. Obsérvese que el entorno V del enunciado del teorema siempre existe, ya que, al ser det(dNp ) = K(p) 6= 0, la aplicación de Gauss N es un difeomorfismo local. Además, N(V ) ⊂ S2 es un abierto de la esfera. Entonces, por el teorema 4.2.4 del cambio de variable en superficies, se tiene que Z ¯ Z ¯ ¡ ¢ Z ¯ ¯ A N(V ) = dAS2 = det(dN) dAS = |K| dAS . N(V )

V

V

Como corolario de este resultado se puede obtener una nueva demostración del teorema 3.6.1 que daba una interpretación geométrica de la curvatura de Gauss como l´ımite de un cociente de a´ reas: ¡ ¢ ¯ ¯ ¯K(p)¯ = l´ım A N(Vε ) . ε →0 A(Vε ) Nueva demostración del teorema 3.6.1. Sea Vε = X(Bε ), donde (U, X) es una pa© ª rametrización que cubre a p = X(q) y Bε = q0 ∈ R2 : |q0 − q| < ε ⊂ U. Tomamos además Bε de modo que sop(K) ⊂ X(Bε ). ZZ ¯ ¡ ¢ Z ¢¯p ¡ ¯K X(u, v) ¯ EG − F 2 (u, v) dudv |K| dA = A N(Vε ) = Bε

Vε =X(Bε )

¯ ¡ ¯ ¡ ¢¯ ZZ p ¢¯ ¯ EG − F 2 (u, v) dudv = ¯K X(qε ) ¯A(Vε ), = K X(qε ) ¯ Bε

para un cierto qε ∈ Bε . En consecuencia, ¡ ¢ ¯ ¡ ¯ ¢¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯ A N(Vε ) = l´ım ¯K X(qε ) ¯ = ¯K X(q) ¯ = ¯K(p)¯. l´ım ε →0 A(Vε ) ε →0 4.3.

LAS SUPERFICIES MINIMALES: UN POCO DE HISTORIA

En el cap´ıtulo anterior ya hemos hablado acerca de la controversia que existió durante decenas de años por determinar cuál de las dos curvaturas (curvatura media y curvatura de Gauss) de una superficie era la más importante. La aparición del teorema Egregium de Gauss supuso el cierre de este debate, al demostrarse que K era una cantidad intr´ınseca y su significado, de alguna forma, conten´ıa información sobre la geometr´ıa de la propia superficie, con independencia de su inclusión en el espacio eucl´ıdeo. No obstante, cabe preguntarse por qué el debate se mantuvo abierto durante tantos años. Este cap´ıtulo viene a responder dicha cuestión, ilustrando la importancia de la curvatura media H de una superficie. 162


Recordemos que los años en los que se desarrolla la Geometr´ıa Diferencial se corresponden fundamentalmente con el siglo XVIII. En esta e´ poca, las Matemáticas gozan de una edad dorada con la consolidación del Calculus de Newton y Leibnitz, as´ı como las aportaciones imprescindibles de Euler y Lagrange y el nacimiento del Cálculo de Variaciones. Más aún, exist´ıa entre los cient´ıficos en general (y los matemáticos en particular) la creencia de que las formas perfectas de la naturaleza y las leyes más deseables desde un punto de vista cient´ıfico eran aquellas que, de algún modo, optimizaban alguna cantidad distinguida (esta tendencia se mantiene y ha dado fruct´ıferos resultados). A este respecto, cabe recordar el Principio de Fermat, a partir del cual se pueden deducir las leyes básicas sobre la propagación de la luz en lo que concierne a la reflexión y la refracción.2 Otro enunciado en los mismos términos es el Principio de M´ınima Acción de Maupertuis, en el que se afirma que ((en todo cambio que se produzca en la naturaleza, la cantidad de acción necesaria para tal cambio ha de ser la m´ınima posible)). En definitiva, Maupertuis sosten´ıa que la ((naturaleza es económica en todas sus acciones)). En este contexto de búsqueda de o´ ptimos y m´ınimos para cualquier configuración, adquiere un auge especial el problema de estudiar aquellas superficies verificando la siguiente propiedad, que es, en estricto sentido, la primera definición de superficie minimal: Definición (I). Una superficie regular S es minimal si, para cada punto de la misma, existe un entorno Ω de modo que e´ ste es la superficie de menor a´ rea entre todas aquellas que tienen como frontera la frontera de Ω. De esta definición se deriva el adjetivo minimal, pues en definitiva, las superficies minimales son aquellas que, de alguna manera, ((minimizan)) el a´ rea. Desde luego, el plano satisface esta definición: si la curva que se fija como frontera está contenida en un plano, la solución es el propio plano. Por otra parte, Euler, en 1740, ya hab´ıa resuelto este problema para las superficies de revolución: ((la u´ nica superficie minimal de revolución no plana es el catenoide)) (véase la figura 4.2). Figura 4.2: Una superficie minimal: el catenoide.

El problema de minimizar el a´ rea se aborda también desde el punto de vista del Cálculo Variacional, rama de las Matemáticas desarrollada principalmente por Lagrange en 1760. Lagrange estudia grafos, esto es, superficies que globalmente pueden expresarse como gráfica de una función diferenciable z = f (x, y), e introduce una nueva definición de superficie minimal, a la postre equivalente a las anteriores: Definición (II). Se denomina superficie minimal aquella cuya función diferenciable f que determina su gráfica (esto siempre existe localmente) verifica la ecuación fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0. 2

(4.6)

Este principio afirma que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es m´ınimo. No obstante, este principio se mejora con un enunciado más general, que permite explicar fenómenos que el original no admit´ıa. Tal generalización afirma que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria (no se exige tiempo m´ınimo, sino que sea un punto cr´ıtico, algo mucho más general). Curiosamente, la definición de superficie minimal también se ha refinado en el mismo sentido, como se verá en este cap´ıtulo.

163


La relación (4.6) anterior recibe el nombre de ecuación de Euler-Lagrange, y es una ecuación en derivadas parciales, no lineal y el´ıptica. Por lo tanto, si se quieren encontrar superficies minimales, hay que resolver (4.6). En 1770, Meusnier da una interpretación geométrica de la ecuación (4.6), lo que da lugar a una nueva definición, que es la que ha perdurado hasta nuestros d´ıas en todos los a´ mbitos: Definición (III). Una superficie es minimal si su curvatura media se anula en todo punto, esto es, si H ≡ 0. Además, Meusnier encuentra una nueva superficie minimal que ni es un grafo ni es de revolución: el helicoide (véase la figura 2.20). Era el tercer ejemplo de superficie minimal que se conoc´ıa. Entre otros aspectos, la dificultad a la hora de resolver la ecuación (4.6) tuvo como consecuencia el que no se pudiesen descubrir nuevas superficies minimales hasta mucho tiempo después. Hay que esperar hasta 1835, cuando Scherk encuentra otros dos ejemplos (véase la figura 4.3): la primera superficie de Scherk: {(x, y, z) ∈ R3 : ez cos x − cos y = 0} y la segunda superficie de Scherk: {(x, y, z) ∈ R3 : sen z − senh x senh y = 0}.

Figura 4.3: La primera y segunda superficies de Scherk.

El propio Scherk proporcionó infinitas soluciones: una familia uniparamétrica de deformaciones isométricas por superficies minimales del helicoide en el catenoide (luego precisaremos con detalle lo que esto significa; véase también la figura 4.4).

Figura 4.4: Una familia ´ de deformaciones isometricas del helicoide en el catenoide.

164


Por otro lado, en 1863, Christoffel observó que la aplicación de Gauss de una su ® perficie minimal era conforme, esto es, verificaba dNp (v), dNp (w) = λ (p)2 hv, wi, para una función diferenciable λ , y que este hecho, además, las caracterizaba junto con las esferas (recordemos que el normal a una esfera es esencialmente el vector posición, por lo que su diferencial es un múltiplo constante de la identidad; evidentemente, esta aplicación es conforme). As´ı, tenemos una nueva definición: Definición (IV). Se llama superficie minimal a aquella cuya aplicación de Gauss es conforme y no es una esfera. Posteriormente, una definición adicional abrió otro camino para poder encontrar nuevas superficies minimales: ¡ ¢ Definición (V). Sea X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) una parametrización isoterma, es decir, tal que E = G y F = 0. Entonces, la superficie determinada por X es minimal si las funciones coordenadas son armónicas, esto es, si ∆x = ∆y = ∆z = 0. Esta u´ ltima definición abrió el camino para encontrar una fruct´ıfera relación entre las superficies minimales y el Análisis Complejo. Dicha interrelación se ha mantenido hasta nuestros d´ıas, y todav´ıa hoy se siguen presentando art´ıculos de investigación en los que se hace un uso extensivo de esta propiedad. Finalmente, en 1847, el f´ısico belga J. Plateau observó que las superficies minimales (compactas y con borde) se pod´ıan conseguir sumergiendo, en una disolución jabonosa, un alambre doblado o bastidor que formase una curva cerrada (y simple) en R3 . El fundamento f´ısico de este experimento estriba en la relación que se da entre las diferencias de presiones δ p en las dos caras de una pel´ıcula jabonosa y la curvatura media H de dicha superficie. As´ı, se tiene la fórmula de Laplace, δ p µ H, donde la constante de proporcionalidad depende del l´ıquido en cuestión. Como una pel´ıcula jabonosa experimenta la misma presión en ambas caras,3 entonces δ p = 0 y, por tanto, H = 0 en todo punto de la superficie. Esto da lugar al conocido problema de Plateau, consistente en demostrar que, para cada curva cerrada y simple Γ en R3 , existe una superficie S de a´ rea m´ınima que tiene a Γ como frontera. El problema de Plateau dio origen a la definición, digamos, ((experimental)) de superficie minimal: Definición (VI). Se denomina superficie minimal aquella que se puede reproducir mediante una membrana jabonosa. Sin embargo, Plateau carec´ıa de todo el bagaje matemático que se necesita para abordar los aspectos teóricos de este problema. Las primeras formulaciones precisas, as´ı como las primeras soluciones parciales de dicho problema, se debieron a Schwarz, Riemann y Weierstrass; aunque no ser´ıa resuelto satisfactoriamente hasta 1931 por J. Douglas y T. Radó (véanse [13, 36]). 3

Nos referimos a la presión atmosférica, idéntica a ambos lados de la pel´ıcula. Una situación similar y muy ilustrativa se da con las pompas de jabón (véase la observación 7.10). En ellas, el aire encerrado tiende a escapar, pues está a mayor presión que la presión atmosférica ambiente (del exterior). Sólo la tensión superficial de la pel´ıcula jabonosa evita que esto ocurra. Como la presión se reparte por igual en todos los puntos, las superficies de las pompas de jabón tienen curvatura media constante.

165


4.4.

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE SUPERFICIE MINIMAL

A continuación, vamos a demostrar las equivalencias entre las distintas definiciones que se han dado históricamente para una superficie minimal (definiciones (I)–(V)); por su mayor complejidad, omitimos aqu´ı la equivalencia con la definición (VI), para la cual nos remitimos a [13, 36]. Posteriormente, estudiaremos las propiedades mencionadas en este recorrido histórico. 4.4.1.

´ Las superficies minimales como puntos cr´ıticos del area

Comenzamos estudiando las nociones (I) y (III), para lo que necesitamos definir lo que se entiende por una variación normal. Definición 4.4.1. Sean U ⊂ R2 un abierto y X : U −→ R3 una aplicación tales que X(U) es una superficie regular. Si D ⊂ R2 es un disco abierto cuya clausura cl D ⊂ U, entonces X(D) es una superficie regular para la cual X|D es una parametrización. Sea h : cl D −→ R una función diferenciable que se anula en la frontera de D. Se llama variación normal de X(D) determinada por h a la aplicación φ : cl D × (−ε , ε ) −→ R3 definida por ¡ ¢ φ (u, v,t) = X(u, v) + th(u, v)N X(u, v) , donde N es el vector normal unitario y ε > 0 es suficientemente pequeño para que la aplicación X t : D −→ R3 dada por X t (u, v) = φ (u, v,t) sea una parametrización de la superficie regular X t (D), para todo t ∈ (−ε , ε ). En definitiva, lo que se está haciendo es deformar el fragmento de superficie X(D), sin mover su frontera, obteniéndose as´ı una familia continua de superficies con el mismo borde. Antes de enunciar y demostrar el teorema de caracterización de las superficies minimales como puntos cr´ıticos del funcional a´ rea, necesitamos un lema previo, que establece la existencia de lo que se conocen usualmente como funciones meseta. Si q ∈ R2 , representaremos por D(q, r) el disco en R2 de centro q y radio r > 0. Lema 4.4.2 (Existencia de funciones meseta). Sean D un disco abierto de R2 y q ∈ D. Entonces, para todo ε > 0 tal que D(q, ε ) ⊂ D, existe una función diferenciable e h : D −→ R, llamada función meseta, verificando que ¡ ¢ sop e h ⊂ D(q, ε ), e 0 ≤ h ≤ 1, e h ≡ 1 en el disco D(q, ε /2). Demostración. Vamos a construir la función meseta expl´ıcitamente. Para ello, definimos en primer lugar una función ge : R −→ R, dada por ( 0 si t ≤ 0, ge(t) = −1/t e si t > 0. 166


Es sencillo ver que ge es diferenciable. Sea ahora g : R2 −→ R la función dada por ¢ ¡ ge ε 2 − |x|2 g(x) = ¡ ¢ ¡ ¢. ge ε 2 − |x|2 + ge |x|2 − 14 ε 2 Obsérvese, por un lado, que el denominador de g(x) nunca se anula, pues para ello deber´ıan satisfacerse a la vez las desigualdades ε 2 − |x|2 ≤ 0 y |x|2 − ε 2 /4 ≤ 0, lo que implicar´ıa que ε 2 ≤ |x|2 ≤ ε 2 /4, un absurdo. Por lo tanto, g es diferenciable. Además, g(x) = 0 si, y sólo si, ε 2 − |x|2 ≤ 0, es decir, cuando x 6∈ D(0, ε ). En consecuencia, si x ∈ D(0, ε ), g(x) es positivo. Esto demuestra que sop(g) ⊂ D(0, ε ), verificándose además que 0 ≤ g ≤ 1. Por otro lado, si 0 ≤ |x| ≤ ε /2, es decir, si x ∈ D(0, ε /2), entonces g(x) ≡ 1. Finalmente, dado que la función g anterior cumple todas las condiciones de una función meseta, pero referidas al disco D(0, ε ), basta tomar como la función meseta buscada una simple traslación de g: definimos e h : R2 −→ R

dada por

e h(x) = g(x − q).

Esto concluye la demostración. Teorema 4.4.3 (Caracterización de las superficies minimales como puntos cr´ıticos del funcional a´ rea). Sean U ⊂ R2 abierto y X : U −→ R3 una aplicación tal que X(U) es una superficie regular. Sea D un disco abierto en R2 cuya clausura cl D ⊂ U. Entonces, X(D) es superficie minimal si, y sólo si, A0 (0) = 0 para cualquier variación normal φ de X(D), donde A(t) representa el a´ rea de la superficie X t (D). Demostración. El a´ rea A(t) de la superficie X t (D) viene dada por Z ZZ q Et Gt − Ft2 (u, v) dudv. A(t) = dA = X t (D)

D

Tenemos por tanto que calcular Et , Ft y Gt para la parametrización X t , ¡ ¢ X t (u, v) = φ (u, v,t) = X(u, v) + th(u, v)N X(u, v) . Dado que

Xut = Xu + thu N + thNu

y

Xvt = Xv + thv N + thNv ,

es sencillo comprobar que ¢ ¡  2 h2 + h2 hN , N i = E − 2the + t 2 R , E = E − 2the + t u u 1 t  u  ¡ ¢ 2 2 2 Ft = F − 2th f + t hu hv + h hNu , Nv i = F − 2th f + t R2 ,  ¢ ¡  Gt = G − 2thg + t 2 h2v + h2 hNv , Nv i = G − 2thg + t 2 R3 , para ciertas funciones R1 , R2 , R3 . Agrupando sumandos convenientemente se tiene Et Gt − Ft2 = EG − F 2 − 2ht(gE + eG − 2 f F) + t 2 R4 µ ¶ gE + eG − 2 f F 2 = (EG − F ) 1− 2ht + t 2 R4 = (EG − F 2 )(1 − 4htH + t 2 R), EG − F 2 167


con R = R4 /(EG − F 2 ). En definitiva,

¢ ¡ Et Gt − Ft2 = (EG − F 2 ) 1 − 4htH + R ,

donde R = t 2 R satisface que l´ımt→0 (R/t) = 0. Por tanto, sustituyendo esta expresión en la fórmula del a´ rea, ZZ p ZZ p p Et Gt − Ft 2 dudv = EG − F 2 1 − 4htH + R dudv, A(t) = D

D

y derivando a continuación, obtenemos que ZZ p −4hH + Re dudv, EG − F 2 p A0 (t) = D 2 1 − 4htH + R donde ahora, l´ımt→0 Re = 0. En particular, si t = 0, ZZ p A0 (0) = −2 hH EG − F 2 dudv. D

Una vez obtenida la fórmula anterior para A0 (0), la implicación directa del teorema es evidente: si X(D) es una superficie minimal, entonces H ≡ 0, por lo que A0 (0) = 0. Veamos por tanto el rec´ıproco. Supongamos que A0 (0) = 0, para cualquier variación normal de X(D), pero que existe un punto p ∈ X(D) para el cual H(p) 6= 0. Sea p = X(q). Entonces, existe un cierto disco abierto D(q, r1 ) ⊂ D de forma que (H ◦ X)|D(q,r1 ) 6≡ 0, manteniendo además el mismo signo que H(p) en todos los puntos. Podemos suponer, sin pérdida alguna de generalidad y cambiando la orientación si es necesario, que H(p) > 0. Sea ahora e h : D −→ R una función meseta para el disco D(q, r1 ) (que sabemos siempre existe, véase el lema 4.4.2), es decir, verificando que e h es diferenciable, ¡ ¢ sop e h ⊂ D(q, r1 ), 0≤e h ≤ 1, existe r2 < r1 tal que e h|D(q,r2 ) ≡ 1. Como A0 (0) = 0 para cualquier variación normal de X(D), en particular se anulará para la variación determinada por la función e h previamente definida; además, como ¡ ¢ e sop h ⊂ D(q, r1 ), podemos escribir ZZ ZZ p p e e 0 = A0 (0) = −2 hH EG − F 2 dudv hH EG − F 2 dudv = −2 ZZ

= −2

D

D(q,r1 )\D(q,r2 )

D(q,r1 )

ZZ p 2 e hH EG − F dudv − 2

D(q,r2 )

e hH

p EG − F 2 dudv.

√ Obsérvese que, en la suma anterior, tanto H como EG − F 2 son estrictamente positivos (en los dominios respectivos para cada una de las dos integrales); pero, mientras que en la primera integral e h ≥ 0, en la segunda e h ≡ 1, lo que implica que esta u´ ltima nunca se anula. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción: 0 = A0 (0) < 0 estrictamente, lo que concluye la demostración. 168


4.4.2.

´ de Euler-Lagrange. La aplicacion ´ de Gauss La ecuacion de una superficie minimal

Veamos a continuación la equivalencia de la definición (III) con (II) y (IV). Proposición 4.4.4. Sea S una superficie regular que, localmente, puede expresarse como la gráfica de una función diferenciable f : R2 −→ R. Entonces, S es minimal si, y sólo si, la función f verifica la ecuación de Euler-Lagrange, fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0. ¡ ¢ Demostración. Parametrizamos S de la forma X(u, v) = u, v, f (u, v) . Es fácil calcular los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales de X(u, v): E = 1 + fu2 , fuu , e= p 1 + fu2 + fv2

F = fu fv ,

fuv f=p , 1 + fu2 + fv2

G = 1 + fv2 , fvv g= p . 1 + fu2 + fv2

Por tanto, la curvatura media se expresa como H=

1 fuu (1 + fv2 ) + fvv (1 + fu2 ) − 2 fuv fu fv ; 2 (1 + fu2 + fv2 )3/2

luego H = 0 si, y sólo si, fuu (1 + fv2 ) + fvv (1 + fu2 ) − 2 fuv fu fv = 0. Vamos a probar finalmente que las definiciones (III) y (IV) son equivalentes. Proposición 4.4.5. Sea S una superficie regular sin puntos umbilicales, con aplicación de Gauss N. Entonces S es minimal si, y sólo si, existe λ : S −→ R diferenciable ® y no nula tal que dN p (v), dN p (w) = λ (p)2 hv, wi, para todo p ∈ S y v, w ∈ Tp S. Demostración. Sean p ∈ S y {e1 , e2 } la base (ortonormal) de direcciones principales en Tp S. Si H(p) = 0, entonces k1 (p) = −k2 (p), y por tanto, k1 (p)2 = k2 (p)2 . Sean v y w dos vectores de Tp S, con v = v1 e1 + v2 e2 y w = w1 e1 + w2 e2 . Un sencillo cálculo permite comprobar que ® ® dN p (v), dN p (w) = − v1 k1 (p)e1 − v2 k2 (p)e2 , −w1 k1 (p)e1 − w2 k2 (p)e2 = v1 w1 k1 (p)2 + v2 w2 k2 (p)2 = (v1 w1 + v2 w2 )k1 (p)2 = k1 (p)2 hv, wi . Desde luego, λ (p) = k1 (p) es una función diferenciable y no nula, pues si k1 (p) = 0, entonces k2 (p) = 0, y el punto ser´ıa plano y, por tanto, umbilical. Para demostrar el rec´ıproco supongamos que existe una función diferenciable no nula λ : S −→ R tal ® que dN p (v), dN p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera v, w ∈ Tp S. En particular, trabajando con las direcciones principales e1 y e2 , se tiene que ® ® λ (p)2 = λ (p)2 he1 , e1 i = dNp (e1 ), dNp (e1 ) = − k1 (p)e1 , −k1 (p)e1 = k1 (p)2 , ® ® λ (p)2 = λ (p)2 he2 , e2 i = dNp (e2 ), dNp (e2 ) = − k2 (p)e2 , −k2 (p)e2 = k2 (p)2 . Luego k1 (p)2 = λ (p)2 = k2 (p)2 , es decir, k1 (p) = ±k2 (p). Ahora bien, como p no es umbilical, necesariamente k1 (p) = −k2 (p), lo cual implica que H(p) = 0. 169


La función λ del resultado anterior verifica que λ 2 = k12 = −k1 k2 = −K; por lo tanto, en una superficie minimal sin puntos umbilicales, la curvatura de Gauss K < 0 ® y además dNp (v), dNp (w) = −K(p) hv, wi. 4.4.3.

Parametrizaciones isotermas en superficies minimales

Definición 4.4.6. Se dice que una parametrización X(u, v) es isoterma si los coeficientes de su primera forma fundamental verifican E = G y F = 0. Proposición 4.4.7. Sean S una superficie regular, X(u, v) una parametrización isoterma de S y N su vector normal. Entonces, Xuu + Xvv = 2EHN. Demostración. Como X es isoterma, hXu , Xu i = hXv , Xv i y hXu , Xv i = 0. Derivando respecto a u la primera igualdad y respecto a v la segunda, obtenemos hXuu , Xu i = hXvu , Xv i

y

hXuv , Xv i = − hXu , Xvv i ,

de donde se deduce que hXuu + Xvv , Xu i = 0. Análogamente se demuestra la identidad hXuu + Xvv , Xv i = 0. En definitiva, estamos diciendo que el vector Xuu + Xvv es ortogonal a la base {Xu , Xv }, lo que nos asegura que se encuentra en la dirección del normal N a la superficie. Luego Xuu + Xvv = λ N. Pero, ¿qué vale λ ? Un sencillo cálculo permite comprobar que

λ = λ hN, Ni = hλ N, Ni = hXuu + Xvv , Ni = e + g. Por otro lado, como E = G y F = 0, la curvatura media se reduce a una expresión mucho más sencilla, e+g ; H= 2E en consecuencia, λ = e + g = 2EH, lo que concluye la demostración. ¡ ¢ Proposición 4.4.8. Sea X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) una parametrización isoterma de una superficie regular. Entonces, X es minimal si, y sólo si, las funciones coordenadas son armónicas, esto es, si, y sólo si, ∆x = ∆y = ∆z = 0. Demostración. Como X es isoterma, Xuu + Xvv = 2EHN (proposición 4.4.7). Entonces, X es minimal si, y sólo si, Xuu + Xvv = 0, condición que, en términos de las ¢ ¢ ¡ ¡ coordenadas x, y, z, se escribe xuu , yuu , zuu + xvv , yvv , zvv = 0; es decir, xuu + xvv = ∆x = 0,

yuu + yvv = ∆y = 0

y

zuu + zvv = ∆z = 0.

Observación 4.2. La condición dada en la proposición 4.4.8 para caracterizar las superficies minimales es extremadamente u´ til. Se puede probar que, dada una superficie regular S, siempre existe una parametrización isoterma de la misma. La demostración de este resultado es muy complicada, por lo que no entraremos aqu´ı en ella (ésta puede consultarse en [7]), aunque haremos uso de e´ l cuando sea conveniente. Por lo tanto, una superficie S es minimal si, y sólo si, Xuu + Xvv = 0, para una parametrización isoterma X de S que, sabemos, siempre existe. ♦ 170


4.5.

LOS PRIMEROS EJEMPLOS DE SUPERFICIES MINIMALES

Tras el ejemplo trivial del plano, la primera superficie minimal encontrada fue el catenoide (Euler, 1740). En este sentido, se tiene el siguiente resultado de unicidad. Proposición 4.5.1. Si S es una superficie de revolución minimal, no plana, entonces es un trozo de catenoide. ¡ ¢ Demostración. Sea α (v) = f (v), 0, g(v) , con f , g : I −→ R, la curva que genera la superficie S, que suponemos contenida en el plano y = 0. Como S no es un plano, g(v) no puede ser una función constante, luego existe un abierto I ⊂ R donde g0 (v) 6= 0. Entonces, por el teorema de la función inversa, podemos reparametrizar α mediante el cambio de parámetro v = g−1 (s) en dicho abierto. As´ı, tomamos como punto ¡ ¢ ¡ ¢ de partida una curva β (s) = f (g−1 (s)), 0, s = ϕ (s), 0, s (definida en un entorno adecuado). Parametrizamos la superficie de revolución S generada por β de la forma ¡ ¢ X(θ , s) = ϕ (s) cos θ , ϕ (s) sen θ , s , siendo las curvaturas principales ¢ ¡ −ϕ 00 (s) k1 β (s) = ¡ ¢3/2 1 + ϕ 0 (s)2

y

¡ ¢ k2 β (s) =

1 ¡ ¢1/2 . ϕ (s) 1 + ϕ 0 (s)2

Por lo tanto, S es minimal si, y sólo si, H = (k1 + k2 )/2 = 0, lo que equivale a 1 −ϕ 00 (s) ¡ ¢3/2 + ¢1/2 = 0. ¡ ϕ (s) 1 + ϕ 0 (s)2 1 + ϕ 0 (s)2 Esta ecuación diferencial es la misma que la más sencilla ϕ (s)ϕ 00 (s) − ϕ 0 (s)2 = 1, ¡ ¢ cuya solución se obtiene fácilmente: ϕ (s) = a cosh (s + b)/a , con a > 0, b ≥ 0. ¡ ¡ ¢ ¢ As´ı pues, la curva β que genera nuestra superficie es β (s) = a cosh (s + b)/a , 0, s , una catenaria. S es, por tanto, un (trozo de) catenoide. Como se ha comentado en la introducción histórica, tras el plano y el catenoide las siguientes superficies minimales que se encontraron fueron el helicoide y las ´ probó además que es posible encontrar una familia unipasuperficies de Scherk. Este ramétrica de deformaciones isométricas, mediante superficies minimales, del helicoide en el catenoide (véase la figura 4.4). Vamos a demostrar un resultado más general, del que se podrá obtener, como consecuencia, la mencionada familia de deformaciones isométricas por superficies minimales. Comenzamos con una sencilla definición. Definición 4.5.2. Dos funciones diferenciables f , g : R2 −→ R verificando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, fu = gv y fv = −gu , son siempre armónicas, y reciben el nombre de armónicas conjugadas. Se dice que dos superficies regulares minimales son minimales conjugadas si existen parametrizaciones isotermas de las mismas de forma que sus funciones coordenadas son armónicas conjugadas dos a dos. Proposición 4.5.3. Sean S, S superficies minimales conjugadas y X, X las parametrizaciones isotermas que as´ı lo determinan. Entonces, la superficie parametrizada por Zt (u, v) = costX(u, v) + sentX(u, v) es minimal para todo t ∈ R. Además, todas las superficies de esta familia tienen la misma primera forma fundamental. 171


Demostración. Dado que S y S son minimales conjugadas (lo cual implica que, para las parametrizaciones X, X, se tiene que Xu = X v y Xv = −X u ), las derivadas parciales de la parametrización Zt = costX(u, v) + sentX(u, v) son (Zt )u = costXu + sentX u = costXu − sentXv

y

(Zt )v = costXv + sentX v = costXv + sentXu ; entonces, utilizando que X y X son isotermas, se obtiene que los coeficientes de su primera forma fundamental valen Et = cos2 tE + sen2 t G = E, 2

Ft = cost sent(E − G) = 0,

2

Gt = cos t G + sen tE = E. Luego todas las superficies Zt (u, v) tienen la misma primera forma fundamental (por tanto, todas son localmente isométricas), siendo además parametrizaciones isotermas. Además, (Zt )uu = costXuu − sentXuv y (Zt )vv = costXvv + sentXuv . Entonces, (Zt )uu + (Zt )vv = cost(Xuu + Xvv ) = 0, pues S es una superficie minimal y X es isoterma. En definitiva, hemos demostrado que Zt es una parametrización isoterma que verifica (Zt )uu + (Zt )vv = 0; podemos concluir as´ı que la superficie parametrizada por Zt (u, v) también es minimal. El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de esta proposición. Corolario 4.5.4. Dos superficies minimales conjugadas pueden ((unirse)) siempre mediante una familia uniparamétrica de superficies minimales, todas ellas localmente isométricas entre s´ı. Es sencillo ver que el helicoide X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au) y el catenoide X(u, v) = (−a cosh v sen u, a cosh v cos u, av) son superficies minimales conjugadas. Por lo tanto, la familia Zt (u, v) = costX(u, v) + sentX(u, v) nos da la familia uniparamétrica buscada de deformaciones isométricas, mediante superficies minimales, entre ambas superficies. Las superficies minimales son, quizá, las superficies más estudiadas en Geometr´ıa Diferencial, siendo todav´ıa uno de los campos más atractivos de la investigación actual en Geometr´ıa. La belleza de los problemas que aqu´ı se plantean, normalmente de sencillo enunciado, contrasta con la enorme dificultad que, en muchos casos, entraña su resolución. La teor´ıa de las superficies minimales tiene profundas conexiones con las funciones anal´ıticas de variable compleja y con las ecuaciones en derivadas parciales. Valga como ejemplo el siguiente resultado, que no demostraremos por su gran dificultad (su demostración, as´ı como otros resultados sobre superficies minimales, puede consultarse en el excelente survey [32]): Teorema 4.5.5 (de Osserman, 1959). Sea S una superficie regular, cerrada (como subconjunto de R3 ) y minimal, que no es un plano. Entonces, la imagen de la aplicación de Gauss N : S −→ S2 es un conjunto denso en la esfera S2 . 172


Sin embargo, todos los ejemplos conocidos de superficies regulares minimales cerradas, aparte del plano, ten´ıan como imagen por la aplicación de Gauss toda la esfera excepto cuatro puntos. Osserman se planteó entonces la siguiente pregunta: ¿pueden los normales a una superficie minimal cerrada, no plana, omitir más de cuatro direcciones? Esta cuestión se mantuvo sin respuesta durante un largo periodo de tiempo. Tras varios resultados parciales intermedios (del propio Osserman, Xavier, López, Ros...), en los que se fue reduciendo el número de puntos de la esfera que no se encuentran en la imagen N(S), H. Fujimoto responde afirmativamente a la pregunta en 1988 (véase [15]): Teorema 4.5.6 (de Fujimoto, 1988). La aplicación de Gauss N de una superficie minimal, cerrada y no plana de R3 omite, a lo sumo, cuatro puntos distintos de la esfera S2 . La cota en el teorema de Fujimoto es la mejor posible pues, por ejemplo, la aplicación de Gauss de la primera superficie de Scherk omite exactamente 4 puntos.

173


EJERCICIOS Ejercicio 4.1. Calcular la integral sobre la esfera de la función f : S2 −→ R dada por f (x, y, z) = z. Ejercicio 4.2. Sea X(u, v) = (u cos v, u sen v, u2 ), con U = (0, 1) × (0, 2π ), una para© ª metrización de la superficie S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , 0 < z < 1 (un abierto del paraboloide de revolución). Calcular la integral Z √ 1 + 4z dA. S

Ejercicio 4.3. Demostrar que el catenoide, el helicoide, las dos superficies de Scherk ¡ ¢ y la superficie de Enneper X(u, v) = u − u3 /3 + uv2 , v − v3 /3 + u2 v, u2 − v2 (véase el ejercicio 3.15) son superficies minimales. Ejercicio 4.4. Sea S una superficie regular que viene dada por el grafo de una función diferenciable z = f (x, y) definida sobre un abierto Ω ⊂ R2 . Sabemos que S es una superficie minimal si, y sólo si, satisface la ecuación de Euler-Lagrange (4.6). i) Sea f una solución de (4.6) definida sobre Ω. Demostrar que las curvas de nivel 4 de f son rectas si, y sólo si, f es armónica, es decir, ∆ f = 0, sobre Ω. ii) Demostrar que las u´ nicas soluciones de (4.6) cuyas curvas de nivel son rectas están dadas por ¶ µ y − y0 + b, f (x, y) = a arc tg x − x0 donde a, b, x0 e y0 son constantes. Ejercicio 4.5. Demostrar que no existen superficies minimales compactas en R3 . Ejercicio 4.6. Sea S una superficie minimal. Demostrar que su curvatura de Gauss verifica K(p) ≤ 0 en todo punto p ∈ S. ¿Qué se puede decir de un punto p ∈ S en el que K(p) = 0? Ejercicio 4.7. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local. Supongamos que S1 es minimal. ¿Lo es también S2 ? Ejercicio 4.8. Sea (U, X) una parametrización ortogonal de una superficie regular cuyas curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, verificando además que los coeficientes e, g de su segunda forma fundamental son constantes. Demostrar que, o bien X(U) es minimal, o existe un abierto V ⊂ X(U) que es isométrico al plano. 4

Sea f : Ω −→ R una función diferenciable definida sobre un abierto Ω ⊂ R2 y sea c ∈ R. Se © ª denomina curva de nivel determinada por c al conjunto Γc = f −1 (c) = (x, y) ∈ Ω : f (x, y) = c . Adm´ıtase, sin necesidad de demostración que si c ∈ R es tal que se verifica la condición fx2 + fy2 > 0 para todo (x, y) ∈ Γc , entonces Γc es una curva regular plana (en el sentido generalizado, véase la observación 2.3) cuya curvatura viene dada por k=

174

− fxx fy2 + 2 fxy fx fy − fyy fx2 . ¡ ¢3/2 fx2 + fy2


Ejercicio 4.9. Demostrar que una superficie regular sin puntos umbilicales es minimal si, y sólo si, existe una función diferenciable λ : S −→ R tal que la tercera forma fundamental III p (véase el ejercicio 3.2) verifica

III p = λ (p)I p , para todo punto p ∈ S. Ejercicio 4.10. Demostrar que la aplicación de Gauss del catenoide omite exactamente 2 puntos.

175

V

´ Geodesicas en superficies Como ya hemos puesto de manifiesto en cap´ıtulos anteriores, cuando hablamos de la ((geometr´ıa intr´ınseca)) de una superficie, nos estamos refiriendo al estudio de las propiedades y conceptos que, como la curvatura de Gauss, se conservan por isometr´ıas locales, es decir, por aquellas aplicaciones diferenciables que conservan la longitud de las curvas. As´ı pues, otros objetos que, de forma lógica, deber´ıan permanecer invariantes por tales aplicaciones, ser´ıan, en caso de existir, las curvas de menor longitud que uniesen dos puntos dados. Tales curvas van a ser las geodésicas, y a su estudio está dedicado este cap´ıtulo. En la primera sección estudiamos la derivada covariante a lo largo de una curva. Se trata de un concepto muy amplio y con entidad propia, por lo que su estudio puede abordarse desde diferentes perspectivas. Nosotros definimos aqu´ı la derivada covariante de un campo de vectores a lo largo de una curva como la ((derivada intr´ınseca)) de dicho campo. En el caso de superficies en R3 , su definición es particularmente sencilla, pues basta derivar de forma usual y tomar la proyección sobre el plano tangente. Se demuestra entonces que la derivada covariante es un operador con propiedades muy naturales, que extienden las de la derivada usual de campos en el espacio. Un caso particular de campos son aquellos cuya derivada covariante es nula. Este tipo de campos se llaman ((paralelos)), pues generalizan precisamente la noción de paralelismo, en el sentido de que son campos que mantienen una dirección constante con respecto a un ((rumbo)) o ((dirección fija)) de la superficie. Los campos paralelos son aquellos que no experimentan variación desde una perspectiva ((intr´ınseca)) y, por tanto, permanecen invariantes (o sea, paralelos) con respecto a los habitantes de la superficie. Un campo paralelo está completamente determinado por su valor en un punto concreto. Dicha propiedad (que se deduce de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales) nos permite definir el transporte paralelo como un modo de construir campos de vectores paralelos con un valor prefijado. Intuitivamente, el transporte paralelo consiste en trasladar de la forma ((más r´ıgida y estática posible)) un vector a lo largo de una curva. Curiosamente, esto siempre es posible hacerlo en cualquier superficie regular: siempre se puede encontrar una manera de mover un vector tangente a una superficie de forma que la variación de e´ ste con respecto a la superficie sea nula. En la siguiente sección introducimos el concepto de geodésica. Observemos que, de todos los campos a lo largo de una curva, el más interesante de estudiar es su propia velocidad. De esta forma, la derivada covariante de la velocidad resulta ser la aceleración intr´ınseca, o la aceleración tal y como la perciben los habitantes de la superficie. Por otra parte, cuando este campo es paralelo, lo que se tiene es que 177


la curva tiene aceleración ((intr´ınseca)) nula (la variación de su velocidad es cero) y se dice entonces que la curva es una geodésica. Recordemos que esta propiedad caracteriza las l´ıneas rectas del plano, por lo que las geodésicas son ((las l´ıneas rectas)) de una superficie o, al menos, las ((más rectas posibles)). Finalizamos el cap´ıtulo introduciendo el concepto de aplicación exponencial. Una de las propiedades más destacadas y notables de una geodésica es que está totalmente determinada por un punto (por el que pasa la geodésica) y por su dirección (su velocidad) en dicho punto. Esta propiedad es análoga a la que se da en el plano, pues es obvio que una recta está dada por un punto y una dirección. As´ı pues, con estos dos datos se puede describir completamente la geodésica con tales ((condiciones iniciales)). Dicha construcción nos permite definir la aplicación exponencial en un punto determinado como una función que asigna, a cada vector del plano tangente, otro punto en la trayectoria de la geodésica que parte del primero con la dirección de dicho vector. ¿Qué punto en concreto? La respuesta viene dada por un sencillo experimento mental: supongamos que el vector fuera flexible y que lo extendemos a lo largo de la geodésica. Precisamente, el punto de la curva donde termina el vector es el punto imagen de e´ ste por la aplicación exponencial. La aplicación exponencial tiene propiedades muy importantes que la convierten en una herramienta indispensable para estudiar determinadas cuestiones. Por ejemplo, se puede demostrar que una geodésica es también una l´ınea recta en el sentido métrico: minimiza la distancia entre dos puntos dados (cuando están suficientemente próximos). Asimismo, la aplicación exponencial nos permite introducir sistemas de coordenadas distinguidos, a partir de los cuales se demuestran resultados de especial relevancia, como el teorema de Minding, que también presentamos en esta sección. 5.1.

La derivada covariante y el transporte paralelo

Ya hemos estudiado los campos de vectores definidos sobre una superficie (véase la sección 3.1). Veamos ahora lo que se entiende por un campo de vectores a lo largo de una curva α . A partir de ahora, utilizaremos la notación N(t) para representar la ¢ ¡ composición N α (t) . Definición 5.1.1. Sea S una superficie regular orientada con aplicación de Gauss N : S −→ S2 . Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular. Un campo de vectores a lo largo de α es una aplicación V : I −→ R3 , con V (t) ∈ R3 = Tα (t) S ⊕ span{N(t)}. Se dice que V diferenciable si lo es como aplicación de I a R3 , V ∈ C∞ (I, R3 ); y se dice que es tangente en S a lo largo de α si V (t) ∈ Tα (t) S, para todo t ∈ I. La familia de los campos de vectores diferenciables y tangentes a lo largo de una curva α se representa por X (α ). En general, dado un campo de vectores V a lo largo de una curva α , podemos ® tomar su descomposición V (t) = V (t)> + V (t)⊥ = V (t)> + V (t), N(t) N(t) para cada t ∈ I. Por tanto, siempre V > = V − hV, Ni N ∈ X (α ). 178

Geodésicas en superficies

Ejemplo 5.1. Sea α : I −→ S una curva regular p.p.a. i) El campo velocidad, α 0 : I −→ R3 , es un campo tangente: α 0 ∈ X (α ). ii) Consideremos, para cada t ∈ I, el vector ¢ ¡ J α 0 (t) = N(t) ∧ α 0 (t) ∈ Tα (t) S. ´ es claramente un campo diferenciable, que forma con α 0 (t) una base ortoEste normal de Tα (t) S positivamente orientada. Luego Jα 0 ∈ X (α ), y cualquier campo tangente a lo largo de α se expresa como combinación lineal de α 0 y Jα 0 . iii) La aceleración α 00 no es, necesariamente, un campo tangente a lo largo de α . iv) Si V ∈ X (α ), podemos considerar su derivada V 0 , que siempre es un campo ♦ diferenciable a lo largo de α , aunque no necesariamente tangente. Definición 5.1.2. Sea V ∈ X (α ) un campo de vectores tangente y diferenciable a lo largo de una curva α : I −→ S. Se define la derivada covariante (o intr´ınseca) de V como la parte tangente de V 0 , es decir, ® DV (t) := V 0 (t)> = V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t). (5.1) dt Desde luego, DV /dt ∈ X (α ). Además, para una curva fija α , la derivada covariante puede verse como un operador, D/dt, de la forma D : dt

X (α )

−→

X (α )

V

;

DV : dt

I t

−→

;

R3

® V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t).

Este operador es independiente de la orientación elegida para la superficie, pues estamos tomando sólo la parte tangente de V 0 (obsérvese que si cambiamos N por −N en la fórmula, el resultado es el mismo). Por otro lado, sólo depende de los coeficientes de la primera forma fundamental, afirmación que vamos a probar a continuación. Para ello, sea (U, X) una parametrización de la superficie S y, como viene siendo ha¡ ¢ bitual, α (t) = X u(t), v(t) . Si V ∈ X (α ), entonces V (t) ∈ Tα (t) S, por lo que puede expresarse de la forma ¡ ¢ ¡ ¢ V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) . Ahora, calculamos V 0 (t), utilizando las fórmulas de Gauss (3.15) para expresar Xuu , Xuv y Xvv en términos de la base {Xu , Xv , N}: V 0 = a0 Xu + a(Xuu u0 + Xuv v0 ) + b0 Xv + b(Xvu u0 + Xvv v0 ) h¡ ¢ ¡ ¢ i = a0 Xu + a Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN u0 + Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N v0 h¡ ¢ ¡ ¢ i + b0 Xv + b Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N u0 + Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN v0 ¡ ¢ = a0 + au0 Γ111 + av0 Γ112 + bu0 Γ112 + bv0 Γ122 Xu ¡ ¢ ¡ ¢ + b0 + au0 Γ211 + av0 Γ212 + bu0 Γ212 + bv0 Γ222 Xv + aeu0 + a f v0 + b f u0 + bgv0 N. 179


En consecuencia, la derivada covariante DV /dt = (V 0 )> se escribe como ´ DV ³ 0 = a + au0 Γ111 + (av0 + bu0 )Γ112 + bv0 Γ122 Xu dt ³ ´ + b0 + au0 Γ211 + (av0 + bu0 )Γ212 + bv0 Γ222 Xv .

(5.2)

Obsérvese que DV /dt depende sólo de los s´ımbolos de Christoffel y, por tanto, de la primera forma fundamental exclusivamente. En otras palabras, la derivada covariante1 es algo intr´ınseco; sus propiedades permanecen invariantes por isometr´ıas. Es sencillo comprobar que X (α ) tiene estructura de módulo respecto a la suma y al producto por funciones de C∞ (I, R); es decir, si V,W ∈ X (α ) y f ∈ C∞ (I, R), entonces V +W ∈ X (α ) y fV ∈ X (α ). Además, la derivada covariante satisface las siguientes propiedades: Proposición 5.1.3. Sean V,W ∈ X (α ) y sea f ∈ C∞ (I, R). Entonces, D DV DW (V +W ) = + , dt dt dt À ¿ À ¿ DW DV 0 . ,W + V, iii) hV,W i = dt dt i)

ii)

DV D ( fV ) = f 0V + f , dt dt

Demostración. Las tres propiedades se demuestran trivialmente: £ ¤> D DV DW (V +W ) = (V +W )0 = (V 0 +W 0 )> = (V 0 )> + (W 0 )> = + . i) dt dt dt £ ¤> D DV ii) ( fV ) = ( fV )0 = ( f 0V + fV 0 )> = ( f 0V )> + ( fV 0 )> = f 0V + f , dt dt pues V > = V , ya que V ∈ X (α ). Finalmente, la propiedad iii) se prueba de forma ® ® similar: como V,W ∈ X (α ), entonces (V 0 )⊥ ,W = V, (W 0 )⊥ = 0, de donde E D E ® ® D hV,W i0 = V 0 ,W + V,W 0 = (V 0 )> + (V 0 )⊥ ,W + V, (W 0 )> + (W 0 )⊥ ¿ À ¿ À DV DW = ,W + V, . dt dt 5.1.1.

Campos de vectores paralelos

De especial relevancia son los campos que cumplen la siguiente condición. Definición 5.1.4. Se dice que un campo de vectores V ∈ X (α ) es paralelo a lo largo de α si DV /dt = 0. 1

El nombre ((covariante)) se enmarca en el contexto de superficies abstractas, esto es, superficies que no están contenidas en ningún espacio. En tal situación, es imposible derivar un campo tomando la ((parte tangente)), pues ((todo es tangente)) y no hay dirección normal. Se define entonces la derivada en términos de coordenadas como en la expresión (5.2). Posteriormente, se demuestra, con bastante esfuerzo, que dicha definición no depende de las coordenadas. Es decir, que la expresión ((covar´ıa)) según las coordenadas que estemos utilizando (es lo que en otras ocasiones hemos afirmado cuando decimos que la definición no depende de la parametrización).

180


El siguiente ejemplo justifica, en primera instancia, el porqué de este nombre para tal clase de campos. Ejemplo 5.2. Estudiemos el caso de un plano Π. Sea α : I −→ Π una curva del mismo. Como Tα (t) ≡ Π para todo t ∈ I, entonces (V 0 )> = V 0 . Luego DV /dt = V 0 no es más que la derivada usual en R3 , y as´ı, el campo V será paralelo, si, y sólo si, DV /dt = V 0 = 0, esto es, sólo si V es constante. El vector V (t) es el mismo en todos los puntos de la curva α (t) (véase la figura 5.1).

Π

V (t0) V (t1) 7

α

α (t0) α (t1)

Figura 5.1: Un campo de vectores paralelo en el plano.

En definitiva, en un plano, un campo paralelo está formado por vectores paralelos propiamente dichos. En particular, si consideramos V = α 0 el campo velocidad de una curva α , podemos preguntarnos para qué curvas su campo velocidad α 0 es paralelo. Por lo observado previamente, para que esto sea as´ı α 0 (t) debe ser constante; es decir, α tiene que ser una recta. Esto demuestra que, en el plano, las u´ nicas curvas a lo largo de las cuales su campo de vectores velocidad es paralelo, son las rectas. ♦

En general, se tiene el siguiente resultado que ilustra un poco más por qué estos campos son ((paralelos)): Proposición 5.1.5. Sean V,W ∈ X (α ) campos paralelos a lo largo de α : I −→ S. i) Si a, b ∈ R, entonces aV + bW es un campo paralelo. ii) El producto hV,W i es constante. En particular |V |, a´ ng(V,W ) son constantes. Demostración. La parte i) es trivial. Veamos ii). Al ser DV /dt = 0, sabemos que V 0 (t) está en la dirección del normal a la superficie, y análogamente W 0 (t). En consecuencia, como V,W ∈ X (α ), se tiene que hV,W 0 i = hV 0 ,W i = 0 y, por tanto, hV,W i0 = hV 0 ,W i + hV,W 0 i = 0. Esto demuestra que hV,W i es constante. As´ı pues, si un campo es paralelo, su módulo se mantiene constante. Pero, ¿sólo su módulo? Evidentemente no; también su ((dirección)) permanece constante en cierto sentido, aunque habr´ıa que precisar con mayor claridad qué significa ((dirección)). Observemos que, siempre que se habla de ((dirección)), hay que fijar previamente una ((dirección cero)) o ((norte)) con respecto a la cual comparar cómo var´ıa la nuestra (esto lo hacemos en el plano de forma automática con los ejes coordenados). En una superficie, podr´ıamos convenir que una ((dirección cero)) (o rumbo fijo) es la dirección que nos marca un campo paralelo arbitrario V0 . As´ı pues, cualquier otro campo paralelo V mantiene fijo el a´ ngulo con respecto a la ((dirección cero)) determinada por V0 , y en este sentido se generaliza la situación que se daba en el plano. Vamos a ilustrar estos comentarios con el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.3. Consideremos la esfera S2 , en la que elegimos el normal N(p) = p. Sea α (t) = (cost, sent, 0) el ecuador de S2 (con lo cual, N(t) = (cost, sent, 0)), y tomemos el campo de vectores (constante) V0 (t) = (0, 0, 1). Claramente V0 ∈ X (α ), pues 181


® ¡ ¢ V0 (t), N(t) = 0, y (DV0 /dt)(t) = V00 (t) > = 0, para todo t (véase la figura 5.2). Luego V0 es un campo paralelo a lo largo de α (este campo podr´ıa servirnos para determinar una dirección en la esfera: precisamente es la dirección ((norte)) usual hacia la que apuntar´ıa la brújula de un habitante que caminase por el ecuador).

β 6

6 6

V0

6

6

6

α

W ? N

Figura 5.2: Campos paralelos en la esfera.

Sea ahora V (t) = (− sent, cost, 1), que evidentemente también cumple V ∈ X (α ). ¡ ¢ Entonces (DV /dt)(t) = V 0 (t) > = (− cost, − sent, 0)> = 0, por lo que V también es un campo paralelo a lo largo del ecuador. El ((rumbo fijo)) que marca este campo ser´ıa, en términos geográficos, el ((noreste)), tal y como lo apreciar´ıa un habitante que se mueve por el ecuador. Por u´ ltimo, consideremos el campo velocidad a lo largo de una circunferencia máxima cualquiera, por ejemplo, la dada por β (t) = (cost, 0, sent) (véase la figura 5.2). El campo velocidad de β es W (t) = β 0 (t) = (− sent, 0, cost). Luego, ¢> ¡ ¢> ¡ DW (t) = W 0 (t) = β 00 (t) = (− cost, 0, − sent)> ; dt ¡ ¢ como (− cost, 0, − sent) = −β (t) = −N β (t) , es claro que (DW /dt)(t) = 0: el campo W es paralelo. Hemos probado as´ı que el campo velocidad a lo largo de cualquier circunferencia máxima es siempre paralelo (y en este caso concreto, apunta de forma constante hacia el ((sur))). ♦ La pregunta que se plantea de forma natural al ver la definición de campo paralelo ser´ıa: dada una curva α en una superficie regular S, ¿cuántos campos paralelos existen a lo largo de la misma? La respuesta es que un campo paralelo está totalmente determinado por el valor de e´ ste en un punto concreto (y arbitrario) de la curva sobre la que está definido, tal y como se demuestra en el siguiente resultado.2 Teorema 5.1.6 (existencia y unicidad de campos paralelos). Sea α : I −→ S una curva parametrizada en una superficie regular S, y sea V0 ∈ Tα (t0 ) S para un cierto t0 ∈ I. Entonces existe un u´ nico campo paralelo V ∈ X (α ) con V (t0 ) = V0 . Vamos a presentar dos demostraciones muy ilustrativas de este teorema: una primera intr´ınseca, en la cual no entra en juego el modo en que la superficie se encuentra dentro del ambiente, siendo entonces necesario trabajar con parametrizaciones de la misma; y una segunda extr´ınseca, donde no se necesitan las parametrizaciones, pero donde el normal (la manera en que la superficie ((vive)) en R3 ) resulta fundamental. Demostración intr´ınseca. Hay que encontrar V ∈ X (α ) tal que DV /dt = 0. Sea ¡ ¢ (U, X) una parametrización de S con α (t0 ) ∈ X(U), y sea α (t) = X u(t), v(t) . Utilizando la expresión (5.2) para la derivada covariante de un campo V ∈ X (α ), como DV /dt = 0, los coeficientes de los vectores Xu y Xv tienen que anularse; luego si re¡ ¢ ¡ ¢ presentamos V como V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) , se verificará que ( a0 + au0 Γ111 + (av0 + bu0 )Γ112 + bv0 Γ122 = 0, (5.3) b0 + au0 Γ211 + (av0 + bu0 )Γ212 + bv0 Γ222 = 0. 2

En otras palabras, se prueba que siempre es posible ((fijar un rumbo)) en la superficie. Una vez fijado, ya se puede hablar de si se mantiene o no constante la dirección de cualquier otro campo.

182


Tenemos por tanto un sistema de ecuaciones diferenciales cuya condición inicial es ¡ ¢ V (t0 ) = V0 = a(t0 ), b(t0 ) . El teorema de existencia y unicidad de soluciones para tales sistemas establece el resultado buscado (además, se puede obtener la solución de forma expl´ıcita al resolverlo, siempre y cuando esto sea posible). Demostración extr´ınseca. Debemos encontrar un campo V ∈ X (α ) de manera que ® DV /dt = 0. Dado que (DV /dt)(t) = V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t) (véase (5.1)), la de ® rivada covariante DV /dt = 0 si, y sólo si, V 0 (t) = V 0 (t), N(t) N(t). Por otro lado, ® como V y N son ortogonales, V (t), N(t) = 0, y derivando esta expresión obtenemos 0 ® ® V (t), N(t) = − V (t), N 0 (t) . Luego DV /dt = 0 si, y sólo si, ® V 0 (t) + V (t), N 0 (t) N(t) = 0. (5.4) Escribiendo V = (V1 ,V2 ,V3 ) y N = (N1 , N2 , N3 ), la ecuación (5.4) se traduce en Ã ! 0 = Vi0 (t) +

3

∑ V j (t)N 0j (t)

j=1

3

Ni (t) = Vi0 (t) + ∑ N 0j (t)Ni (t)V j (t), j=1

i = 1, 2, 3.

¡ ¢3 Si representamos por M(t) la matriz M(t) = N 0j (t)Ni (t) i, j=1 , la expresión anterior se reescribe V 0 + MV = 0. Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden garantiza la existencia de un u´ nico campo de vectores diferenciable V , solución de dicha ecuación (y por tanto de (5.4)) con condición inicial V (t0 ) = V0 . Desde luego, V es un campo paralelo ya que satisface (5.4). Para concluir la demostración tenemos que probar que V es tangente a S a ® lo largo de α ; es decir, hay que ver que V (t), N(t) = 0 para todo t ∈ I. ® Como V0 ∈ Tα (t0 ) S, claramente V0 , N(t0 ) = 0. Por otro lado, dado que V verifica ® ® ® (5.4), se tiene que V 0 (t), N(t) + V (t), N 0 (t) = 0. Derivando entonces V (t), N(t) y utilizando dicha expresión obtenemos ®0 ® ® V (t), N(t) = V 0 (t), N(t) + V (t), N 0 (t) = 0. ® En consecuencia, V (t), N(t) es constante y se anula en t0 , lo que demuestra que, en ® efecto, V (t), N(t) = 0. 5.1.2.

El transporte paralelo

Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular y sean t0 ,t1 ∈ I con α (t0 ) = p y α (t1 ) = q. Acabamos de demostrar que, dado un vector V0 ∈ Tp S, existe un u´ nico campo paralelo V ∈ X (α ) de forma que V (t0 ) = V0 . Esta propiedad motiva la siguiente definición. Definición 5.1.7. Siguiendo la notación anterior, se define el transporte paralelo de V0 a lo largo de α en el punto q como el vector V1 = V (t1 ) ∈ Tq S. El transporte paralelo determina as´ı una aplicación Ptt01 (α ) : Tp S −→ Tq S, dada por Ptt01 (α )(V0 ) = V1 . Además, se verifica la siguiente propiedad. 183


Proposición 5.1.8. La aplicación transporte paralelo Ptt01 (α ) : Tp S −→ Tq S es una isometr´ıa lineal. Demostración. Veamos en primer lugar que es una aplicación lineal. Para ello, sean V0 ,W0 ∈ Tp S, y sean V,W ∈ X (α ) los u´ nicos campos paralelos tales que V (t0 ) = V0 y W (t0 ) = W0 . Entonces Ptt01 (α )(V0 ) = V (t1 ) y Ptt01 (α )(W0 ) = W (t1 ). Queremos calcular Ptt01 (α )(V0 + W0 ). Consideremos el campo V + W ∈ X (α ), que también es paralelo. Además (V +W )(t0 ) = V0 +W0 . Entonces, por el teorema 5.1.6 sabemos que V +W es el u´ nico campo paralelo que en t0 vale V0 +W0 . Por tanto, Ptt01 (α )(V0 +W0 ) = (V +W )(t1 ) = V (t1 ) +W (t1 ) = Ptt01 (α )(V0 ) + Ptt01 (α )(W0 ). Finalmente, demostrar que Ptt01 (α ) es una isometr´ıa es sencillo: ® ® ® t1 Pt0 (α )(V0 ), Ptt01 (α )(W0 ) = V (t1 ),W (t1 ) = V (t0 ),W (t0 ) = hV0 ,W0 i , ya que, por ser V y W paralelos, su producto escalar es constante. Observación 5.1. Sea α : I −→ R2 una curva plana. En el ejemplo 5.2 ya vimos que, en el caso del plano, si V ∈ X (α ) es paralelo, entonces V es constante. Luego el ♦ transporte paralelo en un plano es la aplicación identidad, Ptt01 (α )(V ) = V . Dos sencillas e interesantes propiedades que tiene el transporte paralelo son las siguientes. Proposición 5.1.9. Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular. Entonces, el transporte paralelo a lo largo de α no depende de la parametrización de la curva. ¡ ¢ Demostración. Supongamos que β : J −→ S, β (s) = α h(s) , es una reparametrización de la curva α . Sean t0 ,t1 ∈ I y s0 , s1 ∈ J, con h(s0 ) = t0 y h(s1 ) = t1 . Representamos por p = α (t0 ) = β (s0 ), y tomamos V0 ∈ Tp S. Queremos demostrar que Ptt01 (α )(V0 ) = Pss01 (β )(V0 ). En primer lugar, Ptt01 (α )(V0 ) = V (t1 ), donde V ∈ X (α ) es el u´ nico campo paralelo para el cual V (t0 ) = V0 . Consideremos entonces el campo ¡ ¢ (V ◦ h) ∈ X (β ). Claramente, V h(s0 ) = V (t0 ) = V0 . Además, D DV dh (V ◦ h) = , ds dt ds y como dh/ds 6= 0 (al ser h un difeomorfismo), se tiene que V es paralelo (nuestra hipótesis) si, y sólo si, V ◦ h es paralelo. De nuevo, el teorema 5.1.6 nos asegura que V ◦ h es el u´ nico campo paralelo a lo largo de β que en s0 vale V0 . Por lo tanto, Pss01 (β )(V0 ) = (V ◦ h)(s1 ) = V (t1 ) = Ptt01 (α )(V0 ). Un sencillo argumento, basado en la definición de derivada covariante como la proyección sobre el plano tangente, nos demuestra también la siguiente proposición; proponemos su demostración como ejercicio. Proposición 5.1.10. Si S1 y S2 son dos superficies regulares que son tangentes a lo largo de una curva α , entonces el transporte paralelo a lo largo de α es independiente de la superficie, S1 o S2 ; esto es, es el mismo para ambas superficies. 184


5.2.

´ GEODESICAS

Cuando trabajamos en un plano (o en general, en cualquier superficie que contenga una recta) las rectas son un tipo de curvas que presentan una serie de caracter´ısticas muy particulares. Por ejemplo, i) minimizan la distancia entre dos puntos, ii) tienen curvatura constantemente nula y iii) son las u´ nicas curvas en el plano cuyo campo de vectores velocidad es paralelo. Cabe preguntarse entonces si, cuando trabajamos en una superficie arbitraria S, siempre podemos encontrar curvas con caracter´ısticas similares. La respuesta, como veremos en breve, es afirmativa, y tales curvas se denominan las geodésicas de S. Definición 5.2.1. Sea γ : I −→ S una curva parametrizada. Se dice que γ es una geodésica de S si su campo velocidad γ 0 es paralelo, es decir, si Dγ 0 /dt = 0. Como vemos, la propia definición de geodésica ya establece una de las propiedades buscadas para este tipo de curvas: a lo largo de ellas, su campo de vectores velocidad es paralelo. De hecho, e´ sta es la propiedad (de las tres que hemos enunciado) más sencilla de generalizar para curvas en superficies, gracias a que hemos construido la derivada covariante. Veamos otras propiedades de las geodésicas que se deducen directamente de la definición (posteriormente veremos qué ocurre entre las geodésicas y la distancia, por un lado, y las geodésicas y la curvatura, por otro). Observación 5.2 (Propiedades de las geodésicas). Sea γ : I −→ S una geodésica de una superficie regular S. ¯ ¯ i) Como el campo velocidad γ 0 es paralelo, entonces ¯γ 0 (t)¯ es constante. a la longitud de ii) Si γ no está p.p.a., estará parametrizada proporcionalmente Z t¯ ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯γ (u)¯ du = ct. arco; en efecto, como ¯γ (t)¯ = c constante, entonces

0 ¯ ¯ iii) Si suponemos que γ 0 (t0 ) = 0 en un cierto t0 ∈ I, entonces, al ser ¯γ 0 (t)¯ cons¯ ¯ ¯ ¯ tante, se tendrá que ¯γ 0 (t)¯ = ¯γ 0 (t0 )¯ = 0, para todo t ∈ I; luego γ 0 (t) = 0 para todo t, de donde se deduce que γ (t) es constante. Por lo tanto, las geodésicas parametrizadas son, bien curvas regulares, bien una curva constante.

iv) Las geodésicas se conservan por isometr´ıas locales, ya que sólo dependen de la derivada covariante y, por tanto, de los s´ımbolos de Christoffel. El concepto de geodésica es un concepto intr´ınseco. v) En principio, una geodésica puede admitir autointersecciones (no hay nada en la definición que prevenga esta situación). vi) Sea h : J −→ I un cambio de parámetro, y consideremos la reparametrización de nuestra geodésica original, β = γ ◦ h : J −→ S. Vamos a calcular la deriva¡ ¢ da covariante del campo velocidad de β . Claramente, β 0 (s) = γ 0 h(s) h0 (s) y 185


¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = γ 00 h(s) h0 (s)2 + γ 0 h(s) h00 (s), de donde se tiene que ¢> £ ¡ ¢¤> £ ¡ ¢¤> ¡ Dβ 0 + h00 (s) γ 0 h(s) (s) = β 00 (s) = h0 (s)2 γ 00 h(s) ds ¡ ¢ ¢ Dγ 0 ¡ = h0 (s)2 h(s) + h00 (s)γ 0 h(s) . dt

¡ ¢ Como γ es una geodésica, Dγ 0 /dt = 0, por lo que (Dβ 0 /ds)(s) = h00 (s)γ 0 h(s) . ¡ ¢ Luego β será geodésica si, y sólo si, h00 (s)γ 0 h(s) = 0, lo cual ocurrirá, suponiendo que γ no es constante, si, y sólo si, h00 (s) = 0, pues γ 0 (t) 6= 0, para todo t. En definitiva, la reparametrización β de una geodésica (no constante) será también geodésica si, y sólo si, h(s) = as+b, con a, b ∈ R, es decir, cuando el cambio de parámetro es af´ın. Lo afirmado aqu´ı se puede parafrasear diciendo que el parámetro de una geodésica tiene significado geométrico, ya que el hecho de ser geodésica depende de la forma en que se recorre dicha curva, y no sólo de su traza (o imagen). 6 0 para todo s. Sabemos vii) Supongamos que la curva γ está p.p.a. y que γ 00 (s) = ¡ 00 ¢> 0 que γ es geodésica si, y sólo si, (Dγ /ds)(s) = γ (s) = 0, es decir, si, y sólo si, γ 00 (s) = kγ (s)nγ (s) está en la dirección del vector normal a la superficie (en ♦ el punto γ (s)). Luego γ es una geodésica si, y sólo si, nγ (s) = ±N(s). Ejemplo 5.4 (Geodésicas en el plano). Dado un vector a unitario, consideremos el © ª plano Π = p ∈ R3 : ha, pi = c , y tomemos como vector normal N(p) = a, para todo p ∈ Π. Sea γ : I −→ Π una curva en el plano. Por un lado, tenemos la descomposición (véase la demostración extr´ınseca del teorema 5.1.6) ® Dγ 0 (t) + γ 00 (t), N(t) N(t); dt ® ® ® 0 además, como γ (t), N(t) = 0, se tiene γ 00 (t), N(t) = − γ 0 (t), N 0 (t) . Luego

γ 00 (t) =

® Dγ 0 (5.5) (t) = γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t). dt ® Por tanto γ es geodésica si, y sólo si, γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) = 0. En nuestro caso N 0 (t) = (N ◦ γ )0 (t) = a0 = 0. Luego γ es geodésica si, y sólo si, γ 00 (t) = 0, esto es, γ (t) = p + tv. Las u´ nicas geodésicas del plano son, como cab´ıa esperar, las rectas. ♦ Ejemplo 5.5 (Geodésicas en la esfera). Sean p ∈ S2 (r) y v ∈ Tp S2 (r). Supongamos que el normal a la esfera es N(p) = (1/r)p. Si tomamos el plano determinado por v y por N(p), su intersección con la esfera es una circunferencia máxima, que es, además, una sección normal. Por lo tanto, el vector normal de esta curva es n = ±N(p), lo que demuestra que es una geodésica. Todas las circunferencias máximas son geodésicas en la esfera, y son las u´ nicas. Veámoslo con más detalle. Sea γ : I −→ S2 (r) una geodésica con condiciones iniciales γ (0) = p y γ 0 (0) = v. ¯ ¯ Entonces, en particular, el módulo de su velocidad es constante, ¯γ 0 (t)¯ = |v|. Usando 186


la relación (5.5) obtenida en el ejemplo anterior, sabemos que γ es geodésica si, y ® ¡ ¢ sólo si, γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) = 0. Como N(t) = N γ (t) = (1/r)γ (t), entonces N 0 (t) = (1/r)γ 0 (t), y la condición anterior se traduce en ¯ 0 ¯2 ¿ À ¯γ (t)¯ |v|2 1 0 1 00 0 00 00 γ (t) = γ (t) + γ (t) = γ γ (t). (t) + 0 = γ (t) + γ (t), γ (t) r r r2 r2 Es sencillo3 comprobar que la u´ nica solución a esta ecuación diferencial es ¶ ¶ µ µ |v| |v| r t p+ t v, sen γ (t) = cos |v| r r es decir, una circunferencia máxima.

(5.6) ♦

Ejemplo 5.6 (Geodésicas en el cilindro). Para calcular las geodésicas del cilindro podemos seguir el proceso anterior, aunque ahora debemos trabajar con las compo¢ ¡ nentes de γ . Sea γ : I −→ C, γ (t) = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , una geodésica del cilindro © ª circular recto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = r2 , cuyas condiciones iniciales son γ (0) = p = (p1 , p2 , p3 ) y γ 0 (0) = v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ TpC. Tomamos como vector normal al cilindro C el dado por ¶ µ ¢ ¡ γ1 (t) γ2 (t) , ,0 . N(t) = N γ (t) = r r Utilizando de nuevo la igualdad (5.5), sabemos que γ es una geodésica si, y sólo si, ® 0 = γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) ¶Àµ ¶ ¿ µ ¢ ¡ 0 ¢ γ10 (t) γ20 (t) ¡ 00 γ1 (t) γ2 (t) 00 00 0 0 , ,0 , ,0 = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) + γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , r r r r ¢ ¢ γ 0 (t)2 + γ20 (t)2 ¡ ¡ γ1 (t), γ2 (t), 0 ; = γ100 (t), γ200 (t), γ300 (t) + 1 2 r en definitiva, γ es una geodésica si, y sólo si,  0 2 0 2  00 (t) + γ1 (t) + γ2 (t) γ (t) = 0,   γ 1  1  r2  0 2 0 2 γ (t) + γ2 (t) γ200 (t) + 1 γ2 (t) = 0 y   r2     γ300 (t) = 0. Desde luego, γ300 (t) = 0 es equivalente a γ30 (t) = v3 , y por tanto, a γ3 (t) = p3 + v3t. Además, como ¯2 ¯ |v|2 = ¯γ 0 (t)¯ = γ10 (t)2 + γ20 (t)2 + γ30 (t)2 = γ10 (t)2 + γ20 (t)2 + v23 , entonces se tiene que γ10 (t)2 + γ20 (t)2 = |v|2 − v23 , un número constante que no depende de t. Luego las ecuaciones diferenciales anteriores se traducen de nuevo en unas sencillas ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes,

γi00 (t) + 3

187

|v|2 − v23 γ i (t) = 0, r2

para i = 1, 2.

Es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.

(5.7)


Obsérvese que la solución de (5.7) depende de si el vector v = (0, 0, v3 ), es decir, si |v| 6= v3 , o no. As´ı, es sencillo comprobar que dicha solución viene dada por  pi + vit si v = (0, 0, v3 )    Ãq ! ! Ãq γi (t) = (5.8) |v| 2 − v23 |v| 2 − v23 r vi  q sen t + t si v = 6 p cos 0, v ) (0,  i 3  r r 2 2 |v| − v3

para i = 1, 2. En definitiva, γ es una geodésica del cilindro si, y sólo si, es una curva ¢ ¡ de la forma γ (t) = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , donde γ1 (t) y γ2 (t) vienen dadas por (5.8) y γ3 (t) = p3 + v3t. En el primer caso, esto es, si γi (t) = pi + vit, i = 1, 2, 3, es evidente que γ (t) = p + vt, es decir, γ (t) es una recta con vector director v = (0, 0, v3 ). En el segundo caso, v 6= (0, 0, v3 ), obtenemos la ecuación de una hélice cil´ındrica en su forma más general. Obsérvese que, como un caso particular de estas curvas, aparecen las circunferencias cuando v = (v1 , v2 , 0). Luego en un cilindro existen tres tipos de geodésicas (véase la figura 5.3): las hélices (no degeneradas, en sentido estricto), las circunferencias (paralelos del cilindro) y las rectas (sus meridianos). ´ Figura 5.3: Las geodesicas en el cilindro.

Otro modo de calcular las geodésicas en un cilindro es el siguiente (método que puede ser muy u´ til en muchos casos): sabemos que el plano y el cilindro son superficies localmente isométricas, y que las geodésicas se conservan por isometr´ıas locales; calculemos pues las geodésicas en la superficie más sencilla (en este caso, el plano), y obtengamos su imagen en la superficie deseada mediante la isometr´ıa local. Sabemos que la aplicación © ª φ : (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 −→ C dada por φ (x, y, 0) = (r cos x, r sen x, y) es una isometr´ıa local entre el plano y el cilindro. Las geodésicas del plano son las rectas, que parametrizamos, por ejemplo, de la forma γe(t) = (at, bt, 0). Por lo tanto, las geodésicas del cilindro son las curvas parametrizadas por ¡ ¡ ¢ ¢ γ (t) = φ ◦ γe (t) = φ (at, bt, 0) = r cos(at), r sen(at), bt , es decir, hélices. De nuevo se obtienen, dependiendo del vector director (a, b, 0) de la recta original, o bien hélices no degeneradas (si ambos a, b 6= 0), o bien circunferencias (cuando b = 0), o bien rectas (si a = 0). ♦ 5.2.1.

´ Existencia y unicidad de geodesicas en una superficie

Sea γ : I −→ S una geodésica de una superficie regular S. Sean t0 ∈ I y (U, X) una parametrización de S con γ (t0 ) ∈ X(U). Como ya viene siendo habitual, escribimos ¡ ¢ γ (t) = X u(t), v(t) . Entonces, usando las ecuaciones (5.3), que establecen la condición para que un campo de vectores sea paralelo, tendremos que γ es una geodésica si, y sólo si, su campo velocidad γ 0 es paralelo, es decir, si, y sólo si, sus funciones coordenadas satisfacen las ecuaciones ( u00 + (u0 )2 Γ111 + 2u0 v0 Γ112 + (v0 )2 Γ122 = 0, (5.9) v00 + (u0 )2 Γ211 + 2u0 v0 Γ212 + (v0 )2 Γ222 = 0. 188


As´ı pues, la resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales conduce a la determinación de todas las geodésicas de una superficie regular S. Teorema 5.2.2 (de existencia y unicidad de geodésicas maximales). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ Tp S. Entonces, existe una u´ nica geodésica γv : Iv −→ S, con Iv abierto, verificando las siguientes condiciones: i) 0 ∈ Iv , γv (0) = p y γv0 (0) = v; ii) si α : J −→ S es otra geodésica con α (0) = p y α 0 (0) = v, entonces J ⊂ Iv y α ≡ γv |J . La geodésica γv se denomina la geodésica maximal con condiciones iniciales p y v, e Iv es el intervalo maximal de existencia. Demostración. Para p ∈ S y v ∈ Tp S fijos, definimos el conjunto ª © J p,v = γ : I −→ S geodésica : 0 ∈ I, γ (0) = p, γ 0 (0) = v . Vamos a dividir la demostración en tres partes. PASO 1. Veamos en primer lugar que J p,v 6= 0. / Sean (U, X) una parametrización de S con p = X(u0 , v0 ) ∈ X(U) y v = (v1 , v2 ) en la base de las parciales: v = v1 Xu (u0 , v0 ) + v2 Xv (u0 , v0 ). Para esta parametrización (U, X), consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales (5.9) sobre el abierto U ⊂ R2 , con condiciones iniciales ( ( u(0) = u0 , u0 (0) = v1 , y v(0) = v0 , v0 (0) = v2 . Por el teorema de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuacio¡ ¢ nes diferenciales, sabemos que existe una u´ nica curva γe(t) = u(t), v(t) en el abierto U, que es solución de (5.9) con las condiciones iniciales fijadas. Enton¡ ¢ ¡ ¢ ces, γ (t) = X γe(t) = X u(t), v(t) es una geodésica en S, ya que su expresión en coordenadas satisface el sistema (5.9). Además, ¡ ¢ γ (0) = X γe(0) = X(u0 , v0 ) = p y

γ 0 (0) = u0 (0)Xu (u0 , v0 ) + v0 (0)Xv (u0 , v0 ) = v1 Xu (u0 , v0 ) + v2 Xv (u0 , v0 ) = v. Por lo tanto, γ ∈ J p,v , que no es vac´ıo. PASO 2. Ya sabemos lo que sucede en el entorno coordenado X(U). Pero, ¿qué pasa fuera de e´ l? Vamos a demostrar que esta geodésica γ puede ((extenderse)) más allá de X(U), sin que tengan lugar situaciones, digamos, ((extrañas)). Supongamos que γ1 : I1 −→ S y γ2 : I2 −→ S son dos geodésicas de J p,v . Entonces, 0 ∈ I1 ∩ I2 , γ1 (0) = γ2 (0) = p y γ10 (0) = γ20 (0) = v. Vamos a probar que γ1 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t) en todo t ∈ I1 ∩ I2 . Para ello, definimos ª © A = t ∈ I1 ∩ I2 : γ1 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t) . 189


Claramente, A 6= 0, / pues 0 ∈ A. Si demostramos además que A es abierto y cerrado, como I1 ∩ I2 es conexo, entonces podremos concluir que A = I1 ∩ I2 . Probar que A es cerrado es fácil; basta usar un sencillo argumento topológico: ¢ ¡ definimos las funciones f , g : I1 ∩ I2 −→ R6 dadas por f (t) = γ1 (t), γ10 (t) , ¢ © ª ¡ g(t) = γ2 (t), γ20 (t) ; entonces A = t ∈ I1 ∩ I2 : f (t) = g(t) , que es cerrado. Demostremos ahora que A es abierto. Para ello, sea t0 ∈ A, y buscamos ε > 0 tal que (t0 − ε ,t0 + ε ) ⊂ A. Como t0 ∈ A, entonces γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) =: p ∈ S y γ10 (t0 ) = γ20 (t0 ) =: w ∈ Tp S. Elegimos una parametrización (U, X) de S de forma que p = X(u0 , v0 ) ∈ X(U), y sean ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ −1 ¡ −1 ¡ γe1 (t) = X γ1 (t) = u1 (t), v1 (t) , γe2 (t) = X γ2 (t) = u2 (t), v2 (t) . ¡ ¢ ¡ ¢ As´ı, tenemos dos soluciones u1 (t), v1 (t) y u2 (t), v2 (t) del sistema (5.9) con las mismas condiciones iniciales, pues ( ( u01 (t0 ) = u02 (t0 ) = w1 , u1 (t0 ) = u2 (t0 ) = u0 , y v1 (t0 ) = v2 (t0 ) = v0 , v01 (t0 ) = v02 (t0 ) = w2 , donde w = w1 X u (u0 , v0 ) + w2 X v (u0 , v0 ). Por la unicidad de soluciones para este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales, podemos asegurar que existe ε > 0 tal que u1 (t) = u2 (t) y v1 (t) = v2 (t) para todo t ∈ (t0 − ε ,t0 + ε ). Luego ¡ ¢ ¡ ¢ γ1 (t) = X u1 (t), v1 (t) = X u2 (t), v2 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t) si t ∈ (t0 − ε ,t0 + ε ). Esto prueba que (t0 − ε ,t0 + ε ) ⊂ A; es decir, A es abierto. PASO 3. Finalmente, construimos la geodésica maximal y su intervalo maximal de existencia. Sea [ I. Iv = γ :I−→S γ ∈J p,v

Desde luego, 0 ∈ Iv , pues 0 ∈ I para todo I, por la definición de J p,v . Definimos la curva γv : Iv −→ S del siguiente modo: dado t ∈ Iv , existe una geodésica ´ γ : I −→ S, γ ∈ J p,v , tal que t ∈ I; entonces, tomamos γv (t) := γ (t). Esta es una buena definición, pues si hubiese otra geodésica γ : I −→ S, γ ∈ J p,v , con t ∈ I, entonces, por lo demostrado en el PASO 2, γ ≡ γ en la intersección de sus dominios, I ∩ I. Además, cumple las propiedades requeridas en el teorema. En resumidas cuentas, este resultado expresa que, en cada dirección del plano tangente Tp S, existe una u´ nica geodésica que pasa por p con la dirección prefijada, y que dicha geodésica está completamente determinada por tales condiciones iniciales. Esta demostración también es un ejemplo de la clase de dificultades que se pueden encontrar a la hora de demostrar resultados para superficies cuando e´ stos están apoyados en lo local: la extensión a la globalidad de la superficie puede presentar problemas inesperados que no se dan a nivel local. Otro concepto relacionado con el resultado anterior es el de completitud (geodésica), que presentamos a continuación. 190


Definición 5.2.3. Se dice que una superficie regular S es geodésicamente completa en un punto p ∈ S si Iv = R para todo v ∈ Tp S. Se dice además que S es geodésicamente completa cuando lo es en todos sus puntos. As´ı pues, podr´ıamos decir que una superficie regular en el espacio eucl´ıdeo es geodésicamente completa cuando no tiene ((agujeros)) ni ((bordes)) que ((entorpezcan)) el avance de una geodésica. En la sección 7.2 estudiaremos con mayor profundidad este concepto de completitud y sus implicaciones topológicas. Algunos ejemplos inmediatos son los siguientes. Ejemplo 5.7. Claramente, el plano, la esfera o el cilindro son superficies geodésicamente completas: en los ejemplos 5.4, 5.5 y 5.6 están calculadas expl´ıcitamente las geodésicas de estas superficies (rectas, circunferencias máximas y hélices, respectivamente), que están definidas en todo R. Por el contrario, superficies como el plano agujereado o el cono no son, de forma obvia, geodésicamente completas. ♦ 5.2.2.

´ La curvatura geodesica

Volvemos ahora sobre un concepto que ya hemos tratado anteriormente (véase la sección 3.3): el de curvatura geodésica. Si S es una superficie regular y α : I −→ S es una curva p.p.a., en cada punto α (s) podemos considerar el triedro de Darboux ¯ ¯ ª © t(s) = α 0 (s), Jα 0 (s) = N(s) ∧ α 0 (s), N(s) . Recordemos que, como ¯t(s)¯ = 1, en© ª tonces α 00 (s) = t0 (s) es ortogonal a t(s), y por tanto, α 00 (s) ∈ span Jα 0 (s), N(s) . En ¢ ® ¡ consecuencia, α 00 (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) Jα 0 (s) + kn α 0 (s), α (s) N(s), siendo el coeficiente de Jα 0 (s) la curvatura geodésica de α en α (s): ® ® kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = α 00 (s), N(s) ∧ α 0 (s) . El siguiente resultado justifica el nombre asignado a dicha curvatura. Proposición 5.2.4. Sea α : I −→ S una curva p.p.a. en una superficie regular S. Entonces, α es una geodésica si, y sólo si, kg (s) = 0, para todo s ∈ I. ® Demostración. La curvatura geodésica kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = 0 si, y sólo si, ® α 00 (s) y Jα 0 (s) son ortogonales. Ahora bien, como α 00 (s), t(s) = 0 siempre, la condición anterior es equivalente a su vez a que el vector aceleración α 00 (s) se encuentre en la dirección del normal a la superficie N(s). Y esto se verifica si, y sólo si, α 00 (s)> = (Dα 0 /ds)(s) = 0. Es decir, si, y solamente si, α es una geodésica. Por tanto, curvatura geodésica nula caracteriza las geodésicas de una superficie y, en muchos sentidos, generaliza la noción de curvatura (con signo) de una curva plana. Una caracter´ıstica común con e´ sta es que, como ya se comentó previamente, la curvatura geodésica de una curva α : I −→ S depende de la orientación elegida en la superficie (recordemos que esta caracter´ıstica es la misma que posee la curvatura de una curva plana en relación a la orientación del plano que la contiene). 191


® Obsérvese que la definición de curvatura geodésica, kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) , es válida sólo si α está parametrizada por el arco. ¿Qué ocurre si no es as´ı? Supongamos que α : I −→ S no está p.p.a. y consideremos su reparametrización por la longitud de arco, digamos β = α ◦ h : J −→ S. Entonces, como ya es habitual, se define la ¢ β¡ curvatura geodésica de α como kgα (t) = kg h−1 (t) . Un sencillo cálculo (véanse las proposiciones 1.2.3 y 1.3.5) permite comprobar que 00 ® 00 ® α (t), Jα 0 (t) α (t), N(t) ∧ α 0 (t) α = . (5.10) kg (t) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯3 ¯α 0 (t)¯3 Concluimos la sección con un ejemplo de cálculo de la curvatura geodésica. Ejemplo 5.8 (Curvatura geodésica de un paralelo de la esfera). Parametrizamos S2 con las coordenadas geográficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), con (θ , ϕ ) ∈ (0, π ) × (0, 2π ). Entonces, el paralelo de la esfera correspondiente a un a´ ngulo θ0 viene dado por α (ϕ ) = X(θ0 , ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ). Un sencillo cálculo permite comprobar que

α 0 (ϕ ) = (− sen θ0 sen ϕ , sen θ0 cos ϕ , 0), α 00 (ϕ ) = (− sen θ0 cos ϕ , − sen θ0 sen ϕ , 0), N(ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ). Por tanto

00 ® α (ϕ ), N(ϕ ) ∧ α 0 (ϕ ) = cotg θ0 . kg (ϕ ) = ¯ ¯ ¯α 0 (ϕ )¯3

En el caso de la esfera (y otros muchos), la curvatura geodésica puede calcularse de otro modo, usando la conocida fórmula kα2 = kg2 + kn2 . El paralelo α (ϕ ) en cuestión es una circunferencia de radio r = sen θ0 ; luego su curvatura es kα = 1/ sen θ0 . Como la curvatura normal en la esfera unidad es constante e igual a ±1 (según la orientación del normal), kg (ϕ )2 = kα (ϕ )2 − kn (ϕ )2 = (1/ sen2 θ0 ) − 1 = cotg2 (θ0 ): la curvatura geodésica vale kg (ϕ ) = ± cotg θ0 , dependiendo de la orientación elegida. Finalmente, obsérvese que la curvatura geodésica de un paralelo es cero si, y sólo ♦ si, θ0 = π /2, esto es, si el paralelo es el ecuador (circunferencia máxima). 5.3.

´ EXPONENCIAL LA APLICACION

Sea S una superficie regular. Sabemos que, para cada p ∈ S y cada v ∈ Tp S, existe una u´ nica geodésica maximal γv : Iv −→ S cuyas condiciones iniciales son γv (0) = p y γv0 (0) = v. Representamos por D p el conjunto D p = {v ∈ Tp S : 1 ∈ Iv },

(5.11)

que va a ser el dominio de la aplicación exponencial, la cual definimos a continuación. Definición 5.3.1. Se define la aplicación exponencial en p ∈ S como la aplicación ( expp (v) = γv (1), (5.12) expp : D p ⊂ Tp S −→ S dada por expp (0) = p. 192


Observación 5.3. Obsérvese que si la superficie S es geodésicamente completa, entonces 1 ∈ Iv para cualquier v ∈ Tp S. Por lo tanto, el dominio de la aplicación exponencial es todo el plano tangente: D p ≡ Tp S. ♦ Antes de estudiar propiedades interesantes de la aplicación exponencial, vamos a probar un lema de gran utilidad: el lema de homogeneidad de las geodésicas. Lema 5.3.2 (de homogeneidad de las geodésicas). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ Tp S. Sea γv : Iv −→ S la geodésica maximal con γv (0) = p y γv0 (0) = v, y sea ¡ ¢ λ 6= 0 un número real arbitrario. Si (−ε , ε ) ⊂ Iv , entonces −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iλ v , y ¡ ¢ además γλ v (t) = γv (λ t), para todo t ∈ −ε / |λ | , ε / |λ | , donde γλ v : Iλ v −→ S es la u´ nica geodésica maximal con condiciones iniciales γλ v (0) = p y γλ0 v (0) = λ v. Demostración. Definimos una nueva curva α : Iα −→ S de la forma α (t) := γv (λ t), donde el intervalo de definición Iα = {t ∈ R : λ t ∈ Iv }. Entonces, α (0) = γv (0) = p y α 0 (0) = λ γv0 (0) = λ v. Además, ¤> ¢> £ ¡ Dγ 0 Dα 0 (t) = α 00 (t) = λ 2 γv00 (λ t) = λ 2 v (λ t) = 0, dt dt ya que γv es una geodésica. En consecuencia, α es también una geodésica en la superficie S con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = λ v, y por el teorema de existencia y unicidad de geodésicas maximales (véase el teorema 5.2.2), podemos asegurar que Iα ⊂ Iλ v y que α ≡ γλ v |Iα ; luego

γλ v (t) = α (t) = γv (λ t). ¢ ¡ Falta demostrar que −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iλ v . Concretamente, vamos a probar que ¢ ¡ −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iα , y como ya sabemos que Iα ⊂ Iλ v , tendremos el resultado. ¢ ¡ Sea t ∈ −ε / |λ | , ε / |λ | , lo cual implica que −ε / |λ | < t < ε / |λ |, es decir, que −ε < |λ |t < ε . Entonces, −ε < λ t < ε , independientemente de que λ sea positivo o negativo, lo que demuestra que λ t ∈ (−ε , ε ) ⊂ Iv . Por lo tanto, t ∈ Iα . Veamos algunas propiedades importantes que verifica la aplicación exponencial. Teorema 5.3.3 (Propiedades de la aplicación exponencial). Sean S una superficie regular y p ∈ S. Se verifican las siguientes propiedades: i) Para cualesquiera v ∈ Tp S y t ∈ Iv , tv ∈ D p y, además, expp (tv) = γv (t). i.a) D p es estrellado respecto a 0. i.b) Para todo v ∈ Tp S, existe λ > 0 tal que λ v ∈ D p ; es decir, todas las direcciones están en D p , para el módulo adecuado. ii) D p ⊂ Tp S es un abierto, y expp : D p −→ S es una aplicación diferenciable. iii) La aplicación expp es un difeomorfismo local en 0, es decir, existe un entorno U(0) ⊂ D p de 0 tal que expp (U) = V es un entorno de p es S para el cual expp : U −→ V es un difeomorfismo. 193


Demostración. Veamos i). Sean v ∈ Tp S y t ∈ Iv , con γv : Iv −→ S la correspondiente geodésica maximal. Si t = 0, entonces 0v = 0 ∈ D p (por convenio); luego expp (0v) = expp (0) = p = γv (0). Supongamos por tanto que t 6= 0. Como t ∈ Iv , el lema de homogeneidad 5.3.2 nos asegura que 1 = t/t ∈ Itv , donde γtv : Itv −→ S es la u´ nica geodésica maximal con condiciones iniciales γtv (0) = p y γtv0 (0) = tv. Esto demuestra que tv ∈ D p . Además, por el citado lema, expp (tv) = γtv (1) = γv (t). Los subapartados i.a), i.b) son consecuencias de i). Para ver i.a), sea v ∈ D p . Queremos demostrar que [0, v] = {λ v : 0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ D p . Como v ∈ D p , por definición 1 ∈ Iv , y dado que 0 ∈ Iv siempre, podemos concluir que [0, 1] ⊂ Iv . Luego si λ ∈ [0, 1] ⊂ Iv , el apartado i) nos asegura que λ v ∈ D p , como quer´ıamos demostrar. Tomemos ahora v ∈ Tp S para probar i.b). Dado que siempre se verifica que 0 ∈ Iv , entonces va a existir λ > 0 con λ ∈ Iv . Por i), λ v ∈ D p . Con respecto a la demostración de ii), vamos a omitir su inclusión en el texto por su longitud y complejidad, y por basarse fundamentalmente en resultados técnicos de ecuaciones diferenciales y en la dependencia de sus soluciones con respecto a las ´ condiciones iniciales, que no aportan nada significativo a los objetivos del libro. Esta puede consultarse, por ejemplo, en [28]. As´ı pues, pasemos a demostrar iii). Para ello, calculamos la diferencial en el origen de la aplicación expp : D p ⊂ Tp S −→ S, esto es, ¯ d ¯¯ d(expp )0 : T0 D p ≡ Tp S −→ Tp S dada por d(expp )0 (v) = ¯ (expp ◦α )(t), dt t=0

donde α : I −→ D p es una curva en D p con α (0) = 0 y α 0 (0) = v. Tomemos, por ejemplo, α (t) = tv, curva que está contenida en D p . Entonces, ¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )0 (v) = ¯ expp (tv) = ¯ γv (t) = γv0 (0) = v. dt dt t=0

t=0

En consecuencia, d(expp )0 = 1Tp S es la aplicación identidad en el plano tangente, y por tanto, es un isomorfismo lineal. El teorema de la función inversa nos asegura entonces que expp es un difeomorfismo local en 0, como se quer´ıa demostrar.4 Geométricamente, la aplicación exponencial nos dice, para cada v ∈ D p , cuál es el punto de la geodésica maximal γv que parte de p, con velocidad v, que se obtiene cuando la recorremos una distancia |v|. En efecto, como expp (v) = γv (1), la longitud de γv entre p = γv (0) y expp (v) = γv (1) es Z 1¯ Z 1¯ Z 1 ¯ ¯ ¯γv0 (t)¯ dt = ¯γv0 (0)¯ dt = |v| dt = |v| . L01 (γv ) = 0

0

0

Ejemplo 5.9 (La aplicación exponencial en la esfera). Consideremos la esfera S2 (r). Sabemos que sus geodésicas son los c´ırculos máximos (véase el ejemplo 5.5), cuya ecuación viene dada por (5.6). Luego expp : Tp S2 (r) −→ S2 (r) es µ ¶ µ ¶ |v| |v| r p+ v. (5.13) sen expp (v) = γv (1) = cos |v| r r 4

Intuitivamente, este ep´ıgrafe prueba que las geodésicas que parten de un punto fijo ((rellenan)) toda la superficie en un entorno de dicho punto: no dejan ((huecos vac´ıos)).

194


v1

0

p 6

v

9

expp (v1 )

Consideremos ahora el ecuador de la esfera (con respecto a p), que puede expre© ª sarse como el conjunto de puntos E = q ∈ S2 (r) : hp, qi = 0 . Nos preguntamos entonces: ¿para qué vectores v ∈ Tp S2 (r) su imagen por la aplicación exponencial ® está sobre el ecuador? Es evidente que expp (v) ∈ E si, y sólo si, p, expp (v) = 0, es ¡ ¢ decir, sólo si cos |v| /r = 0 (utilizando (5.13), ya que hp, vi = 0). Por tanto, expp (v) ∈ E si, y sólo si, |v| = (π /2)r. Además, fijado q ∈ E, el vector v está determinado de forma u´ nica: expp (v) = q si, y sólo si, µ ¶ µ ¶ v2 |v| |v| r w =0 y v = q; sen cos |v| r r exp (v ) p

q

−p ´ Figura 5.4: La aplicacion exponencial en la esfera S2 .

2

la primera condición es equivalente a que se cumpla |v| = (π /2)r, y sustituyendo en la segunda, obtenemos el u´ nico vector que verifica ambas condiciones: v = (π /2)q. Ahora nos preguntamos por el punto ant´ıpoda: ¿para qué vectores la aplicación exponencial llega a −p? De nuevo, usando (5.13), sabemos que expp (v) = −p si, y sólo si, µ ¶ µ ¶ |v| |v| r sen p+ v = −p, expp (v) = cos |v| r r ¡ ¢ ¡ ¢ lo cual se satisface si, y sólo si, sen |v| /r = 0 y cos |v| /r = −1, es decir, cuando |v| = π r. Existen, por tanto, infinitos vectores cuya imagen por la aplicación exponencial es el punto −p: expp no es inyectiva. En particular, ª © U = v ∈ Tp S2 (r) : |v| < π r = D(0, π r) ⊂ Tp S2 (r) es el mayor entorno de 0 donde expp |U : U −→ S2 (r)\{−p} es un difeomorfismo.♦ Esta situación puede trasladarse a una superficie arbitraria S; se trata por tanto de buscar el mayor entorno de cada punto donde la aplicación exponencial sea un difeomorfismo. Esto motiva la siguiente definición. Definición 5.3.4. Un entorno V de p ∈ S es un entorno normal de p si V es la imagen, por la aplicación exponencial, de un entorno U de 0 ∈ Tp S verificando i) U es estrellado respecto a 0 y ii) expp |U : U −→ V es un difeomorfismo. El punto p es el centro del entorno normal. Por el apartado iii) del teorema 5.3.3, estos entornos siempre existen para todo punto de una superficie y, como iremos viendo en el desarrollo de este cap´ıtulo y posteriores, son esenciales en el estudio de las cuestiones métricas en una superficie. El resultado que presentamos a continuación es una primera aplicación de los entornos normales. Es bien conocido que, en el plano, si fijamos un punto y cogemos cualquier otro, entonces existe una u´ nica l´ınea recta que pasa por ambos. Esto también es cierto para superficies en el a´ mbito de un entorno normal. 195


Teorema 5.3.5 (Existencia y unicidad de geodésicas radiales). Sea V un entorno normal de p0 ∈ S. Entonces, para todo p ∈ V , existe un u´ nico segmento de geodésica γ p : [0, 1] −→ V con γ p (0) = p0 , γ p (1) = p y γ p (t) ∈ V para todo t ∈ [0, 1]. El segmento de geodésica γ p se denomina segmento de geodésica radial5 que une p0 con p. En general, e inspirados por la misma situación en el plano, cualquier entorno V verificando las condiciones del teorema se dice estrellado respecto a p0 . Demostración. Veamos primero la existencia. Como V es un entorno normal de p0 , entonces V = expp0 (U), siendo U ⊂ D p0 un entorno estrellado del origen 0 de Tp0 S, y verificándose además que expp0 |U : U −→ V es un difeomorfismo. Por lo tanto, si p ∈ V , existe un u´ nico v ∈ U tal que expp0 (v) = p. Además, por definición, p = expp0 (v) = γv (1), donde γv : Iv −→ S es la geodésica maximal con γv (0) = p0 y γv0 (0) = v. Definimos entonces el segmento de geodésica radial como γ p := γv |[0,1] . Claramente, γ p (0) = γv (0) = p0 y γ p (1) = γv (1) = p. Por otro lado, si t ∈ [0, 1], γ p (t) = γv (t) = expp0 (tv); además, como U es estrellado respecto a 0 y t ∈ [0, 1], entonces tv ∈ U, lo que prueba que γ p (t) = expp0 (tv) ∈ expp0 (U) = V . Veamos la unicidad. Sea α : [0, 1]−→V otro segmento de geodésica con α (0) = p0 y α (1) = p. Tenemos que probar que α ≡ γ p , siendo γ p = γv |[0,1] el segmento de geodésica radial que se ha construido en el párrafo anterior. Sea w := α 0 (0) ∈ Tp0 S, y consideremos la geodésica maximal γw : Iw −→ S, con γw (0) = p0 y γw0 (0) = w. Por la unicidad de las geodésicas maximales, [0, 1] ⊂ Iw y α ≡ γw |[0,1] . En particular,

α (t) = γw (t) = expp0 (tw)

para todo t ∈ [0, 1] y

p = α (1) = γw (1) = expp0 (w) ∈ V. ¡ ¢ Vamos a demostrar que w ∈ U. Como α [0, 1] es un compacto, podemos encon¡ ¢ trar un abierto V0 verificando que α [0, 1] ⊂ V0 y la clausura clV0 ⊂ V . Tomemos entonces expp0 −1 (V0 ) := U0 ⊂ U (véase la figura 5.5) y la curva ¡ ¢ e (t) := expp0 −1 α (t) . e : [0, 1] −→ U0 dada por α α Tp0 S

S

U0 0 t0 w ? U Figura 5.5: Unicidad

e α

expp0

e (t0 ) α

expp0 −1

V

-

p0

γp

V0 p

α

? w

´ del segmento de geodesica radial.

¢ ¡ ¢ ¡ e (0) y además α e [0, 1] ⊂ U0 , Claramente, 0 = expp0 −1 (p0 ) = expp0 −1 α (0) = α ¡ ¢ ya que α [0, 1] ⊂ V0 . Obsérvese por otro lado que, como expp0 −1 es una aplicación 5

196

Observemos que, en general, este segmento de geodésica no está parametrizado por el arco.


continua (en V , donde es un difeomorfismo), expp0 −1 (clV0 ) es un cerrado verificando U0 ⊂ expp0 −1 (clV0 ) ⊂ expp0 −1 (V ) = U, y por tanto, clU0 ⊂ expp0 −1 (clV0 ) ⊂ U. Si w 6∈ U0 , dado que clU0 ⊂ U, ambos U0 ,U son conexos y U es estrellado respecto a 0, podr´ıamos asegurar la existencia de t0 ≤ 1 tal que t0 w 6∈ U0 pero t0 w ∈ U. En tal caso, expp0 (t0 w) = γw (t0 ) = α (t0 ). Ahora bien, tal y como hemos definido la ¡ ¢ e (t0 ) , donde α e (t0 ) ∈ U0 por la construcción e , sabemos que α (t0 ) = expp0 α curva α ¢ ¡ e (t0 ), lo e (t0 ) = expp0 (t0 w) con t0 w 6= α de U0 . Habr´ıamos llegado as´ı a que expp0 α que contradir´ıa la inyectividad de expp0 (dentro de U). Por lo tanto, w ∈ U0 ⊂ U. Tenemos entonces que expp0 (v) = p = expp0 (w), con v, w ∈ U, lo que nos permite concluir que v = w por la inyectividad de expp0 . En consecuencia, α = γw |[0,1] = γv |[0,1] = γ p , tal y como se quer´ıa demostrar. 5.3.1.

El lema de Gauss

Sean S una superficie regular y p ∈ S. Elegimos un vector cualquiera v ∈ D p , para el que vamos a estudiar la diferencial d(expp )v : Tv D p ≡ Tp S −→ Texpp (v) S. Sea w ∈ Tp S. Nos preguntamos entonces qué se puede decir de d(expp )v (w). El lema de Gauss nos da la respuesta. Desde luego, si v = 0, ya sabemos que d(expp )0 = 1Tp S , por lo que vamos a suponer que v 6= 0. Lema 5.3.6 (de Gauss –primera versión). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ D p , con v 6= 0. Sea además w ∈ Tp S. ¯ ¯ i) Si w y v son colineales, entonces ¯d(expp )v (w)¯ = |w|. ii) Si w y v son ortogonales, entonces d(expp )v (v), d(expp )v (w) son ortogonales.

6

donde, como es usual, γv : Iv −→ S es la geodésica maximal con γv (0) = p, γv0 (0) = v. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Tomando módulos, ¯d(expp )v (w)¯ = |λ | ¯γv0 (1)¯ = |λ | ¯γv0 (0)¯ = |λ | |v| = |w|.

v+w v+ ε w* 0 D p ⊂ Tp S

v

εw

6

-

−ε w v− ε w

Figura 5.6: Dominio de ϕ .

w

Demostración. Supongamos primero que w y v son colineales, esto es, w = λ v para un cierto λ > 0. Entonces, tomando la curva α (t) = v + tw = (1 + λ t)v, que está contenida en D p y verifica α (0) = v, α 0 (0) = w, se tiene que ¯ ¯ ¢ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )v (w) = ¯ expp (1 + λ t)v = ¯ γv (1 + λ t) = λ γv0 (1), dt t=0 dt t=0

j?

Estudiemos ahora el segundo caso, y supongamos por tanto que w y v son orto¡ ¢ gonales. Definimos ϕ (s,t) = expp s(v + tw) . ¿Cuál es su dominio de definición? Sea α (t) = v + tw. Claramente, existe ε > 0 tal que, si t ∈ (−ε , ε ), entonces α (t) = v + tw ∈ D p (véase la figura 5.6). En consecuencia, al ser D p estrellado respecto al origen 0 ∈ Tp S, si s ∈ [0, 1], se tiene que sα (t) = s(v + tw) ∈ D p . Ahora bien, como D p es un abierto, podemos asegurar la existencia de un ε 0 > 0 (independiente de t), verificando que para todo s ∈ (−ε 0 , 1 + ε 0 ), sα (t) ∈ D p . En efecto, si D p = Tp S el resultado es trivial. Si D p ⊂ Tp S estrictamente y representamos 197


por τ el triángulo con vértices 0, v + ε w y v − ε w, que es un compacto (véase la figura 5.6), es evidente que la distancia (eucl´ıdea, en Tp S) ρ = dist(τ , Tp S\D p ) > 0; basta tomar entonces ε 0 > 0 verificando ε 0 < ρ /2. As´ı pues, la aplicación ¡ ¢ ϕ : (−ε 0 , 1 + ε 0 ) × (−ε , ε ) −→ S, dada por ϕ (s,t) = expp sα (t) está bien definida. Además, es claro que,

∂ϕ (1, 0) = d(expp )v (w) ∂t

∂ϕ (1, 0) = d(expp )v (v), ∂s ¯ y por lo tanto, es suficiente demostrar que h∂ ϕ /∂ t, ∂ ϕ /∂ si ¯(t,s)=(1,0) = 0. Para ello, definimos la función À ¿ ∂ϕ ∂ϕ (s, 0), (s, 0) , con s ∈ (−ε 0 , 1 + ε 0 ). f (s) := ∂t ∂s y

Claramente se tiene que f (0) = 0, ya que (∂ ϕ /∂ t)(0, 0) = d(expp )0 (0) = 0, siendo además su derivada À ¿ À ¿ 2 ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ ϕ ∂ϕ 0 (s, 0), (s, 0) + (s, 0), 2 (s, 0) . (5.14) f (s) = ∂ t∂ s ∂s ∂t ∂s Estudiemos los dos sumandos de (5.14) separadamente, comenzando por el segundo. Por un lado, ¢ d2 ¡ ∂ 2ϕ (s, 0) = expp (sv) = γv00 (s). 2 2 ∂s ds Como γv es una geodésica, el campo velocidad γv0 es paralelo, y por tanto, γv00 (s) está en la dirección del normal a la superficie en el punto ϕ (s, 0). Por otro lado, si βs : (−ε , ε ) −→ S representa la curva βs (t) = ϕ (s,t), entonces ¯ d ¯¯ ∂ϕ (s, 0) = ¯ ϕ (s,t) = βs0 (0) ∈ Tβs (0) S = Tϕ (s,0) S ∂t dt t=0 ® es un vector tangente a S. En consecuencia, (∂ ϕ /∂ t)(s, 0), (∂ 2 ϕ /∂ s2 )(s, 0) = 0. ¿

Finalmente, estudiamos el primer sumando de (5.14). ¯ À À ¿ ¯ µ ¶ ¯ ∂ 2ϕ ∂ϕ ∂ ¯¯ ∂ϕ ∂ϕ (s, 0), (s, 0) = (s,t) , (s,t)¯¯ ¯ ∂ t∂ s ∂s ∂ t t=0 ∂ s ∂s t=0 ¯ ¿ ¯ ¯ ¯2 À ¯ 1 ∂ ¯¯ ¯¯ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ ¯¯ ¯ . (s,t), (s,t) = (s,t) = ¯ 2 ∂ t ¯t=0 ∂ s ∂s 2 ∂ t ¯t=0 ¯ ∂ s

Ahora bien, ¡ ¢´ ¢ ∂ϕ ∂ ³ ∂ ¡ (s,t) = expp sα (t) = γα (t) (s) = γα0 (t) (s), ∂s ∂s ∂s por lo que ¯2 ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯∂ϕ ¯ = ¯γ (s)¯¯ = ¯¯γ 0 (0)¯¯ = ¯α (t)¯2 = |v + tw|2 = |v|2 +2t hv, wi+t 2 |w|2 . ¯ (s,t) α (t) α (t) ¯ ¯ ∂s 198


Entonces, se tiene finalmente que À ¿ 2 ´¯ 1³ ∂ ϕ ∂ϕ ¯ (s, 0), (s, 0) = 2 hv, wi + 2t |w|2 ¯ = hv, wi = 0, ∂ t∂ s ∂s 2 t=0 ya que, por hipótesis, los vectores v y w son ortogonales. En resumen, dado que ambos sumandos en la expresión (5.14) se anulan, entonces f 0 (s) = 0, lo cual implica que f es constante. Como además f (0) = 0, podemos concluir que f ≡ 0, lo que termina la demostración. El lema de Gauss admite una segunda versión, que no es más que la interpretación geométrica del resultado ya demostrado. Para enunciarlo, necesitamos algunas definiciones previas. Definición 5.3.7. Sea S una superficie regular y sean p ∈ S y r > 0 de forma que D(0, r) ⊂ D p . Se denomina disco geodésico de centro p y radio r al conjunto ³© ª´ ¡ ¢ D(p, r) := expp v ∈ Tp S : |v| < r = expp D(0, r) . © ª Si r > 0 es tal que S(0, r) = v ∈ Tp S : |v| = r ⊂ D p , se define la circunferencia geodésica de centro p y radio r como ³© ª´ ¡ ¢ S(p, r) := expp v ∈ Tp S : |v| = r = expp S(0, r) . Finalmente, se denomina radio geodésico que parte de p a la imagen, por la aplicación exponencial expp , de una semirrecta en Tp S que parte de 0. Observación 5.4. Las siguientes propiedades son inmediatas: i) Claramente, S(0, r) = bd D(0, r). ii) Sea r > 0 suficientemente pequeño para que cl D(0, r) ⊂ U, donde U ⊂ D p es un abierto tal que expp |U es un difeomorfismo. Entonces ³ ¡ ¢´ ¡ ¢ ¡ ¢ S(p, r) = expp S(0, r) = expp bd D(0, r) = bd expp D(0, r) = bd D(p, r). iii) Siempre existen discos geodésicos centrados en cualquier punto p: como D p es abierto, queda asegurada la existencia de r > 0 tal que D(0, r) ⊂ D p . ♦ Lema 5.3.8 (de Gauss –versión geométrica). En una superficie regular las circunferencias geodésicas y los radios geodésicos se cortan ortogonalmente. Demostración. Demostrar que radio geodésico y disco geodésico se cortan ortogonalmente en un punto es equivalente a probar que los vectores tangentes a tales curvas en dicho punto son ortogonales. Vamos a ver que los vectores d(expp )v (v) y d(expp )v (w) son los vectores tangentes del radio geodésico y la circunferencia geodésica, respectivamente, cuando v y w son ortogonales. Por definición, ¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )v (v) = ¯ expp α (t) y d(expp )v (w) = ¯ expp β (t) , (5.15) dt t=0 dt t=0 199


donde α y β son curvas en D p ⊂ Tp S verificando que α (0) = v, α 0 (0) = v, β (0) = v y β 0 (0) = w ⊥ v. As´ı, si α (t) = v + tv es la semirrecta en Tp S que parte de v con ¢ ¡ velocidad v, entonces expp α (t) es el radio geodésico en S que parte de p con velocidad, precisamente, su derivada en el cero, es decir, d(expp )v (v) (véanse la primera igualdad en (5.15) y la figura 5.7). d(expp )v (v)

3

0 S(0, r)

-

?w

v

-

q radio

expp

p

-

S(p, r)

geodésico

w

d(expp )v (w)

´ geometrica ´ Figura 5.7: Version del lema de Gauss.

De modo similar, si tomamos como β (t) la circunferencia en Tp S centrada en 0 y con radio |v|, que en t = 0 pasa por el punto v con velocidad w (véase la figura ¢ ¡ 5.7), entonces expp β (t) es la circunferencia geodésica en S de centro p y radio |v|, siendo el vector velocidad en t = 0 de esta curva, precisamente, su derivada en el cero, es decir, d(expp )v (w) (véanse la segunda igualdad en (5.15) y la figura 5.7). La primera versión del lema de Gauss (lema 5.3.6) concluye la demostración. Este resultado generaliza lo que sucede en el plano eucl´ıdeo: una circunferencia y sus radios siempre se cortan ortogonalmente. Por otra parte, también expresa el hecho intuitivo de que la dirección en la que más rápidamente aumenta la distancia con respecto a un punto fijo es la dirección radial. El siguiente resultado nos remite de nuevo a una de las propiedades de las rectas en el plano. Recordemos que hemos definido las geodésicas como generalizaciones de las rectas, en el sentido de que su aceleración intr´ınseca (es decir, la derivada covariante de su velocidad) es nula. También hemos efectuado una generalización en términos de su curvatura ((intr´ınseca)), ya que son las curvas de una superficie cuya curvatura geodésica es nula. Falta comprobar si las geodésicas también extienden el concepto de l´ınea recta en el plano como curvas de longitud m´ınima que unen dos puntos dados. Esto es as´ı, pero sólo localmente y con bastantes matices: el hecho de que una superficie regular tenga, en general, una ((forma)) más o menos complicada, nos impide extender directamente este resultado al a´ mbito de lo global. Teorema 5.3.9 (Propiedad minimizante de las geodésicas). Sean S una superficie regular, V (p0 ) un entorno normal centrado en p0 ∈ S y p ∈ V . El segmento de geodésica radial γ p : [0, 1] −→ V que une p0 = γ p (0) y p = γ p (1) es la u´ nica curva contenida en V de menor longitud uniendo p0 y p; es decir, si α : [a, b] −→ V es otra curva en V con α (a) = p0 y α (b) = p, entonces L01 (γ p ) ≤ Lab (α ), dándose la igualdad si, y sólo si, α es una reparametrización de γ p . Además, si r > 0 es tal que D(p0 , r) ⊂ V (p0 ), dado p ∈ D(p0 , r) se tiene que ≤ Lab (α ), para toda curva α : [a, b] −→ S verificando α (a) = p0 y α (b) = p.

L01 (γ p ) 200


Demostración. Veamos la primera parte. Dado p ∈ V , sabemos que, si t ∈ [0, 1], γ p (t) = γv (t) = expp0 (tv) es la geodésica maximal para el (único) vector v tal que expp0 (v) = p. Sea α : [a, b] −→ V con α (a) = p0 y α (b) = p otra curva cualquiera. Z 1¯ Z 1¯ Z 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯γ p0 (t)¯ dt = ¯γv0 (t)¯ dt = ¯γv0 (0)¯ dt = |v| . L01 (γ p ) = 0

Vamos a demostrar que

0

Lab (α )

0

≥ |v|. Para ello, distinguimos dos casos.

i) Supongamos en primer lugar que p = p0 . En tal caso, v = 0, por lo que, trivialmente, Lab (α ) ≥ 0 = |v|. Además, si Lab (α ) = 0, entonces α es constante; y como α (a) = p0 , podemos concluir que α ≡ p0 ≡ γ p .

[0, 1]

α V ⊂S

6 @ @ expp0 |U expp0 |U @ e @ α ? @ R U ⊂D @

ii) Supongamos por tanto que p 6= p0 . Por comodidad, reparametrizamos α de manera que α (0) = p0 y α (1) = p. Como α (0) = p0 6= p = α (1), existirá un t0 ≥ 0 tal que α (t0 ) = p0 y α (t) 6= p0 , para todo t > t0 . Tomamos entonces α |[t0 ,1] . Cla¡ ¢ ramente, L01 (α ) ≥ Lt10 α |[t0 ,1] , por lo que es suficiente trabajar con el trozo de ¡ ¢ curva α |[t0 ,1] y ver que Lt10 α |[t0 ,1] ≥ |v| = L01 (γ p ). Hemos ((suprimido)) as´ı un posible intervalo en el que, o bien α es constantemente igual a p0 , o bien α es un lazo, esto es, sale de p0 y vuelve a pasar por dicho punto más adelante. Volvemos entonces a reparametrizar α |[t0 ,1] para que α (0) = p0 y α (1) = p. Ahora se verifica además la condición adicional de que α (t) 6= p0 , para todo t > 0. Como V es entorno normal de p0 , sabemos que V = expp0 (U), siendo U ⊂ D p0 el entorno estrellado del origen 0 de Tp0 S para el cual expp0 |U : U −→ V es un −1 difeomorfismo. Tomamos entonces la curva en el tangente ¡ ¢−1 ¡ ¢ e (t) = expp0 |U α α (t) ∈ U ⊂ D p0 .

p0

e (t) = 0 para e (t) 6= 0 si t > 0; en efecto, si α Obsérvese en primer lugar que α algún t > 0, se tendr´ıa que α (t) = expp0 (0) = p0 , una contradicción. Definimos entonces las funciones ( ¯ ¯ e (t)¯ > 0 si t > 0, r(t) := ¯α e (t) e (t) α α ¯= si t > 0. y V (t) = ¯¯ e (t)¯ r(t) α r(0) := 0, ¯ ¯ ® Claramente, ¯V (t)¯ = 1, por lo que V 0 (t),V (t) = 0; esto es, V (t) y V 0 (t) son ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = expp0 r(t)V (t) . Derivando esta ortogonales. Además, α (t) = expp0 ¯U α expresión se tiene ¡ ¢ α 0 (t) = d(expp0 )r(t)V (t) r0 (t)V (t) + r(t)V 0 (t) ¡ ¢ ¡ ¢ = r0 (t)d(expp0 )r(t)V (t) V (t) + r(t)d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) , y finalmente, tomando módulos y aplicando el lema de Gauss 5.3.6, obtenemos ¯ ¯ ¯ 0 ¯2 ¡ ¢¯ ¡ ¢¯ ¯α (t)¯ = r0 (t)2 ¯d(expp )r(t)V (t) V (t) ¯2 + r(t)2 ¯d(expp )r(t)V (t) V 0 (t) ¯2 0 0 ¡ ¢ ¡ ¢® + 2r(t)r0 (t) d(expp0 )r(t)V (t) V (t) , d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ ¯2 ¯ ¡ ¢¯2 = r0 (t)2 ¯V (t)¯ + r(t)2 ¯d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ + 0 ¯ ¡ ¢¯2 = r0 (t)2 + r(t)2 ¯d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ ≥ r0 (t)2 , para todo t ∈ (0, 1]. 201


¯ ¯ ¯ ¯ Por tanto, ¯α 0 (t)¯ ≥ ¯r0 (t)¯ ≥ r0 (t) para todo t ∈ (0, 1]. Si ahora calculamos la longitud de α , usando la desigualdad anterior se obtiene el resultado buscado: Z 1¯ Z 1 Z 1¯ ¯ ¯ ¡ ¢ 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ α (t) dt = l´ım α (t) dt ≥ l´ım r0 (t) dt = l´ım r(1) − r(ε ) L0 (α ) = ε →0 ε ε →0 ε ε →0 0 ¯ ¯¯¡ ¯ ¢−1¡ ¢¯¯ ¯¯¡ ¢−1 ¯¯ ¯ ¯ e α (1) ¯ = ¯ expp0 |U (p)¯ = |v| . = r(1)− r(0) = α (1) = ¯ expp0 |U Para concluir la demostración de la primera parte del teorema falta caracterizar la igualdad. Si L01 (α ) = L01 (γ p ) = |v|, debe darse la igualdad en todas las ¯ ¯ desigualdades anteriores. As´ı, L01 (α ) = L01 (γ p ) si, y sólo si, ¯r0 (t)¯ = r0 (t) y ¯ ¡ ¢¯ ¯d(expp )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ = 0, lo cual es equivalente a su vez a que r0 (t) > 0 y 0 ¡ ¢ d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) = 0 para todo t ∈ (0, 1]. Como expp0 |U es un difeomorfismo en U y r(t)V (t) ∈ U, entonces d(expp0 )r(t)V (t) es un isomorfismo lineal. ¡ ¢ Luego d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) = 0 si, y sólo si, V 0 (t) = 0 para todo t ∈ (0, 1], es ¯ ¯ e (1)¯ = v/ |v|. As´ı, e (1)/ ¯α decir, si V (t) es constante, siendo V (t) = V (1) = α ¶ ¶ ¶ µ µ µ ¡ ¢ r(t) r(t) v = γv = γp , α (t) = expp0 r(t)V (t) = expp0 r(t) |v| |v| |v| ¯ ¯ e (1)¯ = |v|. Por tanto, α (t) es una repadonde, recordemos, r(0) = 0 y r(1) = ¯α rametrización monótona (pues r0 (t) ≥ 0) del segmento de geodésica γ p . α p

γp γ p∗ p0 D(p0 , r∗ )

D(p0 , r) Figura 5.8: γ p minimiza la longitud en los discos ´ geodesicos.

p∗

Probamos ahora la segunda parte del teorema. Sea r > 0 de forma que el disco D(p0 , r) ⊂ V (p0 ), y sea p ∈ D(p0 , r). Tenemos que demostrar que L01 (γ p ) ≤ Lab (α ), para α : [a, b] −→ S uniendo p0 y p. Reparametrizamos de nuevo la curva α para ¡ ¢ que α (0) = p0 y α (1) = p. Si α [0, 1] ⊂ D(p0 , r) ⊂ V , entonces la primera parte del teorema nos asegura que L01 (α ) ≥ L01 (γ p ). Vamos a suponer, por tanto, que la imagen de la curva α se sale del disco D(p0 , r). Sea de nuevo v ∈ U el (único) vector verificando que p = expp0 (v). ¡ ¢ Como el punto p ∈ D(p0 , r) = expp0 D(0, r) , se tiene que v ∈ D(0, r), es decir, |v| < r. Sea entonces r∗ > 0 tal que |v| < r∗ < r, lo que nos asegura que p ∈ D(p0 , r∗ ). Representamos por t0 el primer valor del parámetro en el que la curva α se sale del disco D(p0 , r∗ ), esto es, ª © t0 = inf t ∈ [0, 1] : α (t) 6∈ D(p0 , r∗ ) . ¡ ¢ Entonces, α [0,t0 ] ⊂ D(p0 , r) ⊂ V , y además, en los extremos α verifica α (0) = p0 y α (t0 ) =: p∗ ∈ S(p0 , r∗ ) ⊂ D(p0 , r) (véase la figura 5.8). Bajo tales condiciones, ¢ ¡ la primera parte del teorema asegura que Lt00 α |[0,t0 ] ≥ L01 (γ p∗ ), donde, como ya es habitual, γ p∗ representa el segmento de geodésica radial que une p0 = γ p∗ (0) con p∗ = γ p∗ (1), (véase la figura 5.8). Denotemos por v∗ = γ p0 ∗ (0). Entonces, Z 1¯ Z 1 ¯¡ ¯ ¢ ¢−1 ∗ ¯¯ ¯ t0 ¡ 1 0 ¯ ¯ |v∗ | dt = |v∗ | = ¯ expp0 |U γ p∗ (t) dt = (p )¯ = r∗ ; L0 α |[0,t0 ] ≥ L0 (γ p∗ ) = 0

por lo tanto,

¡ ¢ L01 (α ) ≥ Lt00 α |[0,t0 ] ≥ r∗ > |v| = L01 (γ p ),

como se quer´ıa demostrar. 202

0


Este teorema nos dice, en resumen, que los segmentos de geodésica radial en un entorno normal minimizan la longitud respecto a todas las curvas contenidas en dicho entorno. Si queremos además que un segmento de geodésica radial minimice la longitud respecto a todas las curvas de la superficie, debemos trabajar en un disco geodésico (que sea también entorno normal). En el siguiente ejemplo mostramos la necesidad de restringirnos a un disco, en lugar de sólo a un entorno normal. Ejemplo 5.10. Consideremos el cilindro C de radio 1, y la parametrización del mismo dada por X(u, v) = (cos u, sen u, v), con (u, v) ∈ (0, 2π ) × R. Observemos que X puede verse, no sólo como una parametrización de C, sino también como la aplicación exponencial basada en cualquier punto del cilindro (evidentemente, siempre que e´ ste esté cubierto por X). El motivo de tal afirmación es que X es una isometr´ıa local y conserva las geodésicas: una recta en el plano se aplica por X en la geodésica correspondiente del cilindro, y e´ sta es, precisamente, la definición de aplicación exponencial. Un detalle a tener en cuenta para que X ((pase)) de ser parametrización a aplicación exponencial es que su dominio, al ser C geodésicamente completa, debe extenderse a todo R2 . En consecuencia, X deja de ser un difeomorfismo, ya que se pierde la inyectividad. As´ı pues, en lo que sigue, veremos X como aplicación exponencial. Sea ª © U = (u, u + s) ∈ R2 : (u, s) ∈ R × (−π /2, π /2) √ la banda infinita de anchura 2/2π que se extiende en la dirección de la recta u = v en R2 (véase la figura 5.9).

6

π U

?

p

X

-

expp0

-

α V

γp

p0

Figura 5.9: Fuera de un entorno ´ normal las geodesicas radiales no minimizan la longitud.

u=v

Es sencillo ver que la aplicación X restringida a U es un difeomorfismo global. Por tanto, al ser U un abierto estrellado (respecto a cualquiera de sus puntos) se tiene que X(U) = V es un entorno normal para cualquier punto de V (véase la figura 5.9). Sea ahora p0 = X(u0 , u0 + s0 ) un punto arbitrario de V , que consideramos el centro del entorno normal. Si tomamos p = X(u0 + 2π , u0 + 2π + s0 ), es claro que p ∈ V , situándose además sobre la misma generatriz del cilindro que p0 . El teorema 5.3.9 asegura que el segmento de geodésica radial γ p que une p0 con p minimiza la longitud entre todas las curvas que unen dichos puntos y que están contenidas en V . La √ longitud entre p0 y p de dicha geodésica es exactamente 2 2 π . 203


No obstante, se puede ver fácilmente que existen curvas de menor longitud uniendo ambos puntos p0 y p: basta tomar la recta α (s) = (cos u0 , sen u0 , u0 + s0 + s), con s ∈ [0, 2π ] (o cualquier ((pequeña variación)) de la misma, véase la figura 5.9). Esta √ curva une p0 con p y su longitud es 2π < 2 2 π . Evidentemente, α no está contenida en V , como puede comprobarse fácilmente. ♦ Por otro lado, la aplicación exponencial va a permitir introducir sistemas de coordenadas (parametrizaciones) distinguidos en una superficie, que serán de gran utilidad frecuentemente, y a partir de los cuales se demuestran resultados de especial relevancia. De ello nos ocupamos en los dos u´ ltimos ep´ıgrafes de este cap´ıtulo. 5.3.2.

Las coordenadas normales

Sea p0 ∈ S un punto de una superficie regular S, y sea V un entorno normal de p0 . Como ya es usual, representamos por U el abierto estrellado para el cual expp0 : U −→ V es un difeomorfismo. Queremos encontrar una parametrización del entorno V lo más parecida a un referencial cartesiano local en la superficie. Con tal fin, sean {e1 , e2 } una base ortonormal del plano tangente Tp0 S y φ : R2 −→ Tp0 S la aplicación dada por φ (u, v) = ue1 + ve2 ; obsérvese que φ (0, 0) = 0 ∈ U. En consecuencia, podemos encontrar un abierto U0 ⊂ R2 , entorno del (0, 0), de forma que φ : U0 −→ U sea un difeomorfismo, abierto que podemos identificar con el propio U, U0 ≡ U. Entonces, la aplicación X : U ≡ U0 ⊂ R2 −→ V ⊂ S, dada por ¢ ¡ (5.16) X(u, v) = expp0 φ (u, v) = expp0 (ue1 + ve2 ) es composición de difeomorfismos y, por tanto, un difeomorfismo. En definitiva, es una parametrización de V , llamada sistema de coordenadas normales en p0 . As´ı, si p ∈ V , al ser expp0 un difeomorfismo, existe un u´ nico v ∈ D p0 ⊂ Tp0 S tal que expp0 (v) = p, vector que podemos expresar en la base {e1 , e2 }: v = v1 e1 + v2 e2 . El par (v1 , v2 ) recibe el nombre de coordenadas normales del punto p. La parametrización dada por el sistema de coordenadas normales verifica algunas propiedades interesantes: i) X(0, 0) = expp0 (0) = p0 . ii) Las derivadas parciales de la parametrización en ciertos puntos concretos son: ¢ ¢ ¢ d ¡ d ¡ d ¡ γe1 (u) = γe0 1 (u). Xu (u, 0) = X(u, 0) = expp0 (ue1 ) = du du du 0 Análogamente, Xv (0, v) = γe2 (v). iii) En particular, Xu (0, 0) = e1 y Xv (0, 0) = e2 . iv) Respecto a los coeficientes de la primera forma fundamental: ® E(u, 0) = hXu , Xu i (u, 0) = γe0 1 (u), γe0 1 (u) = he1 , e1 i = 1, F(0, 0) = hXu , Xv i (0, 0) = he1 , e2 i = 0, ® G(0, v) = hXv , Xv i (0, v) = γe0 2 (v), γe0 2 (v) = he2 , e2 i = 1. 204


Obsérvese que sólo en el punto (0, 0) podemos dar el valor preciso de los tres coeficientes simultáneamente, a saber, E = 1, F = 0 y G = 1.6 5.3.3.

´ Las coordenadas geodesicas polares

Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y V un entorno normal de p0 . De nuevo, representamos por U el abierto estrellado tal que expp0 : U −→ V es un difeomorfismo. Sea además {e1 , e2 } una base ortonormal del plano tangente Tp0 S. Entonces, todo vector v ∈ Tp0 S tiene asociadas unas coordenadas polares respecto a dicha base, es decir, existe un par (r, θ ) tal que v = r cos θ e1 + r sen θ e2 . De ahora en adelante, denotaremos por vr,θ el vector cuyas coordenadas polares son (r, θ ) (respecto a la base ortonormal prefijada {e1 , e2 }), y simplemente por vθ = v1,θ . Sea L = {λ e1 : λ ≥ 0} la semirrecta cerrada que parte del origen en la dirección positiva del vector e1 , y sea φ la aplicación φ : (0, ∞) × (0, 2π ) −→ Tp0 S\L dada por φ (r, θ ) = vr,θ = r cos θ e1 + r sen θ e2 , que es un difeomorfismo global (ya que suprimimos L del conjunto imagen, donde no existe inversa). Dado que el conjunto U\L ⊂ Tp0 S\L es un abierto en el tangente, su imagen inversa U0 := φ −1 (U\L) también es abierto, e´ ste en (0, ∞) × (0, 2π ); as´ı como V0 := expp0 (U\L), que será un abierto de V . Por lo tanto, la aplicación X : U0 −→ V0 , dada por ¡ ¢ (5.17) X(r, θ ) = expp0 φ (r, θ ) = expp0 (vr,θ ) = expp0 (r cos θ e1 + r sen θ e2 ) es un difeomorfismo entre U0 y V0 , y, en particular, una parametrización de V0 , que se denomina sistema de coordenadas geodésicas polares centradas en p0 . As´ı, si p ∈ V0 , al ser expp0 un difeomorfismo, existe un u´ nico v ∈ D p0 ⊂ Tp0 S tal que expp0 (v) = p. El par (r, θ ) tal que v = vr,θ = r cos θ e1 + r sen θ e2 , recibe el nombre de coordenadas geodésicas polares del punto p centradas en p0 . Obsérvese que p0 6∈ V0 , ya que 0 6∈ U\L, por lo que esta parametrización no cubre al propio punto p0 . Teorema 5.3.10. Sea X(r, θ ) el sistema de coordenadas geodésicas polares centradas en p0 . Entonces se verifica que E(r, θ ) = 1, F(r, θ ) = 0, G(r, θ ) > 0 y además, ¡√ ¢ l´ımr→0 G = 0 y l´ımr→0 G r = 1. Demostración. Obsérvese que X(r, θ ) = expp0 (vr,θ ) = expp0 (rvθ ) = γvθ (r). En con ® secuencia, Xr = γv0 θ (r) y E = hXr , Xr i = γv0 θ (r), γv0 θ (r) = hvθ , vθ i = 1. ¢ ¡ Ahora bien, Xθ = d(expp0 )rvθ rv0θ (θ ) , mientras que Xr se puede escribir como ¢ ® ¡ Xr = d(expp0 )rvθ vθ (θ ) . Además, al ser |vθ | = 1, entonces v0θ (θ ), vθ (θ ) = 0, es decir, vθ y v0θ son ortogonales. Por lo tanto, el lema de Gauss nos asegura que ¢ ¢® ¡ ¡ F = hXr , Xθ i = d(expp0 )rvθ vθ (θ ) , d(expp0 )rvθ rv0θ (θ ) = 0. 6

Se puede demostrar también que en el (0, 0) se anulan las primeras derivadas de E, F y G (véase el ejercicio 5.26). Intuitivamente, esto puede interpretarse en el sentido de que la métrica de una superficie, en entornos suficientemente pequeños, es ((casi)) eucl´ıdea.

205


¯ ¢¯2 ¡ Finalmente, G = hXθ , Xθ i = r2 ¯d(expp0 )rvθ vθ0 (θ ) ¯ > 0. Tan sólo resta calcular el ¡√ ¢ G r cuando r → 0. Por la dependencia diferenciable l´ımite de las funciones G y respecto a las condiciones iniciales de las geodésicas como soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, podemos calcular el l´ımite ¯ ¯ ¢¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯ ¡ l´ım ¯d(expp0 )rvθ v0θ (θ ) ¯ = ¯d(expp0 )0 v0θ (θ ) ¯ = ¯v0θ (θ )¯ r→0

= |− sen θ e1 + cos θ e2 | = 1. ¯ ¢¯ ¡ En consecuencia, ¯d(expp0 )rvθ vθ0 (θ ) ¯ es una función acotada, por lo que ¯ ¢¯2 ¡ l´ım G = l´ım r2 ¯d(expp0 )rvθ v0θ (θ ) ¯ = 0.

r→0

r→0

¡√ ¢ Por u´ ltimo, para calcular el l´ımite l´ımr→0 G r , vamos a utilizar las coordenadas normales ya estudiadas en la sección anterior. Elegimos pues la parametrización dada por un sistema de coordenadas normales X(u, v) en p0 de suerte que el cambio de coordenadas φ (r, θ ) = (u, v) viene dado por u = r cos θ , v = r sen θ . Si representamos por E, F, G los coeficientes de su primera forma fundamental, entonces p p √ ¯ ¡ ¢¯ G(r, θ ) = EG − F 2 (r, θ ) = EG − F 2 φ (r, θ ) ¯det(J φ )(r, θ )¯ ¯ ¯ p p ¡ ¢ ¯¯ cos θ −r sen θ ¯¯ ¡ ¢ = EG − F 2 φ (r, θ ) ¯ ¯ = r EG − F 2 φ (r, θ ) ¯ sen θ r cos θ ¯ (véase (4.2)), y un sencillo cálculo muestra que p ¡ ¢ ¡ ¢´ ¡√ ¢ ∂ ³p G r (r, θ ) = EG − F 2 φ (r, θ ) + r EG − F 2 φ (r, θ ) ∂r p ¡ ¢ = EG − F 2 φ (r, θ ) +r

(G ◦ φ )(E ◦ φ )r + (E ◦ φ )(G ◦ φ )r − 2(F ◦ φ )(F ◦ φ )r (r, θ ). ¡p ¢ 2 EG − F 2 ◦ φ

Obsérvese que (u, v) → (0, 0) cuando r → 0, por lo que en el l´ımite obtenemos el punto p0 = X(0, 0), en el que las coordenadas normales están bien definidas y valen E(0, 0) = G(0, 0) = 1 y F(0, 0) = 0. Además, las primeras derivadas de E, F y G (respecto a u y v) también se anulan en el (0, 0) (véase el ejercicio 5.26). Luego · ¸ ¡ ¢∂u ¡ ¢∂v ¢ ¡ (r, θ ) + E v φ (r, θ ) (r, θ ) l´ım E ◦ φ r (r, θ ) = l´ım E u φ (r, θ ) r→0 r→0 ∂r ∂r = E u (0, 0) cos θ + E v (0, 0) sen θ = 0. ¡ ¢ ¢ ¡ Análogamente l´ımr→0 F ◦ φ r (r, θ ) = l´ımr→0 G ◦ φ r (r, θ ) = 0 y, en consecuencia, se obtiene que p ¡ ¢ ¡√ ¢ l´ım G r = l´ım EG − F 2 φ (r, θ ) = 1, r→0

lo que concluye la prueba. 206

r→0


Obsérvese que, para las coordenadas geodésicas polares, se tiene E = 1 y F = 0. Si además se tuviera G = 1, podr´ıamos concluir que tal superficie y el plano son localmente isométricos. Por tanto, el coeficiente G mide, de alguna forma, lo ((apartada)) que está la superficie de ser plana. En la siguiente observación ilustramos precisamente este hecho: dentro de la propia función G está codificada toda la geometr´ıa de la superficie, pues a partir de G se puede recuperar la curvatura de Gauss K. Observación 5.5 (La curvatura de Gauss para las coordenadas geodésicas polares). La parametrización en coordenadas geodésicas polares es ortogonal (esto es, F = 0). En tal caso, la fórmula (3.17) para la curvatura de Gauss se reduce a (véase el ejercicio 3.31) ·µ ¶ µ ¶¸ Gr −1 Eθ √ + √ K= √ . 2 EG EG θ EG r Como E = 1, entonces Eθ = 0, y la expresión para K se reduce a la más sencilla µ ¶ µ ¶ G −1 Gr −1 ³√ ´ −1 √ √r =√ =√ G . K= √ rr 2 G G r G 2 G r G En consecuencia, la curvatura de Gauss satisface la relación √ ¡√ ¢ G K + G rr = 0 en la parametrización dada por las coordenadas geodésicas polares.

(5.18) ♦

Ejemplo 5.11 (Cálculo de E, F y G, cuando K es constante, en coordenadas geodésicas polares). La relación (5.18) permite recuperar, de forma expl´ıcita, los coeficientes de la primera forma fundamental para la parametrización dada por las coordenadas geodésicas polares, cuando la curvatura de Gauss es constante. As´ı, si suponemos K constante, podemos distinguir tres casos, dependiendo de que K sea estrictamente positiva, estrictamente negativa o nula. ¡√ ¢ G rr = 0, en cuyo C ASO 1: K = 0. La ecuación (5.18) se reduce simplemente a ¡√ ¢ G r = B(θ ), una cierta función que sólo depende de θ . Ahora bien, caso, ¡√ ¢ ¡√ ¢ G r = 1. 1 = l´ımr→0 G r = l´ımr→0 B(θ ) = B(θ ), para todo θ . Luego √ Entonces, integrando respecto a r, se deduce que G = r + A(θ ), y utilizando √ √ ¢ ¡ que 0 = l´ımr→0 G = l´ımr→0 r + A(θ ) = A(θ ), concluimos que G = r, esto es, G = r2 . As´ı pues, los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1,

F = 0,

G = r2 .

(5.19)

C ASO 2: K > 0. La solución de la ecuación diferencial (5.18) (su polinomio asociado es x2 + K = 0, que tiene ra´ıces complejas por ser K > 0) toma la forma √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G(r, θ ) = A(θ ) cos K r + B(θ ) sen K r , √ con A(θ ), B(θ ) funciones diferenciables. Como l´ımr→0 G = 0, A(θ ) = 0; lue√ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G r = B(θ ) K cos K r , y go G = B(θ ) sen K r . Derivando en r, 207


√ √ ¡√ ¢ tomando de nuevo l´ımites, 1 = l´ımr→0 G r = B(θ ) K. As´ı, B(θ ) = 1/ K, constante. Los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1,

F = 0,

G=

¡√ ¢ 1 sen2 K r . K

(5.20)

C ASO 3: K < 0. La solución general de la ecuación diferencial (5.18) (el polinomio asociado tiene ra´ıces reales, por ser K < 0) toma la forma √ ¡√ ¡√ ¢ ¢ G(r, θ ) = A(θ ) cosh −K r + B(θ ) senh −K r , con A(θ ), B(θ ) funciones diferenciables. De modo análogo al caso anterior, √ √ ¡√ ¢ como l´ımr→0 G = 0, A(θ ) = 0; luego G = B(θ ) senh −K r . Derivando ¡√ ¡√ ¢ ¢ √ G r = B(θ ) −K cosh −K r , y tomando de nuevo l´ımites, en r se tiene ¡√ ¢ √ √ se deduce que 1 = l´ımr→0 G r = B(θ ) −K. Por tanto, B(θ ) = 1/ −K, constante. Los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1,

F = 0,

G=

¡√ ¢ −1 senh2 −K r . K

(5.21)

Obsérvese que, en los tres casos, los coeficientes de la primera forma fundamental ♦ nunca dependen del a´ ngulo θ . Tan sólo G depende, exclusivamente, de r. El cálculo realizado en la observación anterior va a permitir probar un rec´ıproco al teorema Egregium de Gauss 3.8.1, en el caso particular de superficies regulares con curvatura de Gauss constante. Este resultado fue demostrado por Minding en 1839, una década después de que Gauss publicase su famoso teorema. Teorema 5.3.11 (de Minding). Sean S y S dos superficies regulares con igual curvatura de Gauss constante. Entonces, S y S son localmente isométricas. Demostración. Sean p ∈ S y p ∈ S cualesquiera. Tenemos que demostrar que existen entornos V (p) ⊂ S de p, V (p) ⊂ S de p y un difeomorfismo ϕ : V −→ V , tal que ϕ es una isometr´ıa. Tomemos para ello {e1 , e2 } y {e1 , e2 } bases ortonormales de los planos tangentes Tp S y Tp S, respectivamente y construimos una isometr´ıa lineal entre los espacios vectoriales Tp S y Tp S de la manera natural:

ϕe : Tp S −→ Tp S

ϕe(ue1 + ve2 ) = ue1 + ve2 ,

dada por

para la que, claramente, ϕe(e1 ) = e1 , ϕe(e2 ) = e2 . Consideremos el diagrama ϕe

Tp S −−−−→  expp  y

Tp S  expp y

S −−−−→ S Sean V0 y V 0 entornos normales de p y p, respectivamente, y denotemos por U0 ⊂ D p y U 0 ⊂ D p los abiertos estrellados, entornos de 0 p ∈ Tp S y 0 p ∈ Tp S, respectivamente, 208


tales que expp : U0 −→ V0 y expp : U 0 −→ V 0 son difeomorfismos. Tomemos además ¡ ¢ los abiertos U := ϕe−1 U 0 ∩ ϕe(U0 ) ⊂ U0 y U := U 0 ∩ ϕe(U0 ) ⊂ U 0 (obsérvese que U = ϕe(U), véase la figura 5.10). Finalmente, representamos por V y V los entornos (de p y p, respectivamente) V := expp (U) ⊂ V0 y V := expp (U) ⊂ V 0 , y definimos la aplicación ϕ como la composición

ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 : V −→ V . Tp S

Tp S U U0

ϕe

0p

U

-

0p

U0

expp

expp ?

?

S

S p

V

ϕ

V0 V

-

V0

Figura 5.10: Construyendo

ϕe(U0 )

p

la isometr´ıa ϕ entre V y V .

Vamos a demostrar que ϕ es una isometr´ıa (global) entre V y V . Desde luego, ϕ es un difeomorfismo, pues es composición de difeomorfismos. Para ver que es una isometr´ıa, utilizaremos el teorema 3.7.4: construiremos dos parametrizaciones X y X = ϕ ◦ X, de S y S, respectivamente, con los mismos coeficientes de la primera forma fundamental. Para ello, sean φ : R2 −→ Tp S y φ : R2 −→ Tp S las aplicaciones dadas por

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2

y

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 ,

−1 ´ es una buena definición pues, si el par y consideremos U 0 := φ −1 (U) = φ (U). Esta (r, θ ) ∈ φ −1 (U), o lo que es lo mismo, si φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 ∈ U, entonces

U′ X

φ

U

V

X

φ R - U

ϕe

expp U ?

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 = r cos θ ϕe(e1 ) + r sen θ ϕe(e2 )

expp

ϕ

? - V

= ϕe(r cos θ e1 + r sen θ e2 ) ∈ ϕe(U) = U, −1

de donde se deduce que (r, θ ) ∈ φ (U); el rec´ıproco es análogo. Construimos finalmente las parametrizaciones buscadas para nuestras superficies S y S (véase la figura 5.11): X = expp ◦ φ

y

X = expp ◦ φ ,

respectivamente (en definitiva, no estamos haciendo otra cosa que considerar los sistemas de coordenadas geodésicas polares para cada una de las superficies).

Figura 5.11: Construyendo las parametrizaciones X y X = ϕ ◦X.

209


Es muy sencillo comprobar que el nuevo diagrama (véase la figura 5.11) es conmutativo, es decir, que X = ϕ ◦ X. En efecto: X(r, θ ) = (expp ◦ φ )(r, θ ) = expp (r cos θ e1 + r sen θ e2 ) = (expp ◦ ϕe)(r cos θ e1 + r sen θ e2 ) = (ϕ ◦ expp )(r cos θ e1 + r sen θ e2 ) = (ϕ ◦ expp ◦ φ )(r, θ ) = (ϕ ◦ X)(r, θ ). Por lo tanto, ϕ = X ◦ X −1 . El teorema 3.7.4 nos asegura entonces que si los coeficientes de la primera forma fundamental de X y X coinciden, la aplicación ϕ es una isometr´ıa. Ahora bien, en el ejemplo 5.11 hemos calculado los coeficientes E, F y G correspondientes a los sistemas de coordenadas geodésicas polares, cuando la curvatura de Gauss es constante, relaciones (5.19), (5.20) y (5.21). As´ı, se tiene que E = 1 = E y F = 0 = F. Además, como por hipótesis K = K,   2   K = 0 r si K =         √   1 ¡√ ¡ ¢ ¢ 1 2 2 sen sen K K K > 0 r = r si K = = G. G= K K       p ¡√ ¡ ¢ −1 ¢   −1    senh2 −K r = senh2 −K r si K = K < 0  K K Luego ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 es una isometr´ıa. Observación 5.6. Obsérvese que, para la aplicación ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 definida en la demostración del teorema de Minding, se tiene además que d ϕ p ≡ ϕe: ³ ¡ ´ ¢ ¢ ¡ d ϕ p (v) = d expp ◦ ϕe ◦ expp −1 p (v) = d(expp )(ϕe◦expp −1 )(p) d ϕe ◦ expp −1 p (v) ³ ¢ ¡ ¢´ ¡ = d(expp )0 p d ϕeexpp −1 (p) d(expp −1 ) p (v) = d ϕe0 p ◦ d(expp −1 ) p (v) ³ ¡ ¢−1 ´ (v) = ϕe(v), = ϕe ◦ d(expp )0 p para todo v ∈ Tp S. En particular, d ϕ p (ei ) = ei , para i = 1, 2.

210

♦


EJERCICIOS Ejercicio 5.1. Sea V ∈ X (α ) un campo tangente, unitario y diferenciable a lo largo de una curva α : I −→ S contenida en una superficie regular S. Demostrar que existe una función diferenciable λ tal que DV /dt = λ (N ∧V ). Además, si α está p.p.a. y el campo V = α 0 , entonces la función λ es, precisamente, la curvatura geodésica de α . Ejercicio 5.2. Sean V,W ∈ X (α ) dos campos vectoriales tangentes, unitarios y diferenciables, a lo largo de una curva α . Supongamos que V es paralelo. Demostrar que si W (t) es ortogonal a V (t) para todo t, entonces W también es paralelo. Ejercicio 5.3. Sean S1 y S2 dos superficies regulares tales que S1 ∩ S2 es una curva, y sea α : I −→ S1 ∩ S2 una parametrización de dicha curva. Si V ∈ X (α ) respecto a ambas superficies, demostrar con un ejemplo que V puede ser paralelo a lo largo de α considerada como curva de S1 , pero no serlo si se considera como curva de S2 (comparar este resultado con la proposición 5.1.10). Ejercicio 5.4. Sean φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre dos superficies regulares y α : I −→ S1 una curva regular en S1 . Sea V ∈ X (α ) un campo de vectores paralelo. ¡ ¢ Probar que d φα (·) V (·) es un campo de vectores paralelo a lo largo de φ ◦ α . Ejercicio 5.5. Sean S ⊂ R3 una superficie regular orientada y γ : I −→ S una curva en la superficie (no constante). i) Demostrar que

µ 0¶ Dγ D(Jγ 0 ) =J . dt dt

ii) Si γ es una geodésica, probar que V ∈ X (γ ) es paralelo a lo largo de γ si, y sólo si, tanto su módulo |V |, como el a´ ngulo a´ ng(γ 0 ,V ), son constantes. Ejercicio 5.6. Demostrar que: i) Si una geodésica es l´ınea de curvatura, entonces es una curva plana. ii) Si una geodésica es una curva plana, entonces es una l´ınea de curvatura. iii) Dar un ejemplo de una l´ınea de curvatura plana que no sea una geodésica. Ejercicio 5.7. Demostrar que si todas las geodésicas de una superficie S conexa son curvas planas, entonces S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Ejercicio 5.8. Demostrar que una curva γ : I −→ S es a la vez asintótica y geodésica si, y sólo si, es un segmento de recta. Ejercicio 5.9. Sea S una superficie regular que es tangente a un plano Π a lo largo de una curva α ⊂ S. ¿Es α una geodésica? Ejercicio 5.10. Estudiar si los paralelos y los meridianos de una superficie de revolución son geodésicas. Calcular todas sus geodésicas. 211


Ejercicio 5.11. Considérese el toro de revolución generado por el giro de la circunferencia (x − a)2 + z2 = r2 , y = 0, alrededor del eje z (con a > r > 0). Los paralelos generados por los puntos (a + r, 0), (a − r, 0) y (a, r) se denominan, respectivamente, paralelo máximo, paralelo m´ınimo y paralelo superior. ¿Cuáles de estos paralelos son a) geodésicas, b) curvas asintóticas, c) l´ıneas de curvatura? Ejercicio 5.12. Calcular la curvatura geodésica del paralelo superior del toro. Ejercicio 5.13. Sean S una superficie regular orientada con aplicación de Gauss N y α (s) una l´ınea de curvatura de S. Construimos una nueva superficie S parametriza¡ ¢ da por X(s, v) = α (s) + vN α (s) (en un abierto adecuado). Calcular las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas X(s, v0 ) y X(s0 , v). Concluir que X(s, v0 ) es geodésica si, y sólo si, Tα (s) S es constante a lo largo de toda la curva α . Ejercicio 5.14. Considérese la catenaria y = cosh x contenida en el plano z = 0, y sea S el cilindro recto construido sobre dicha curva. Dar una parametrización de esta superficie y calcular sus geodésicas. Ejercicio 5.15. Sean S una superficie regular y Π un plano que corta a S en una curva α . Demostrar que si Π es un plano de simetr´ıa, entonces α es una geodésica. ¿Es cierto el rec´ıproco? © ª Ejercicio 5.16 (Las fórmulas de Darboux). Sea t(s), Jt(s), N(s) el triedro de Darboux de una curva regular α : I −→ S p.p.a. Demostrar que  0   t (s) = kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s) (5.22) (Jt)0 (s) = −kg (s)t(s) + τg (s)N(s)   N 0 (s) = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s), ® donde la función τg (s) = Aα (s) t(s), Jt(s) se denomina la torsión geodésica de α . Las relaciones anteriores reciben el nombre de fórmulas de Darboux. Ejercicio 5.17. Sea α : I −→ S una curva regular p.p.a. en una superficie regu© ª lar S. Considérense el triedro de Darboux t(s), Jt(s), N(s) y el triedro de Frenet © ª © ª t(s), n(s), b(s) de la curva α . Sea e1 (s), e2 (s) una base de direcciones principales en Tα (s) S, s ∈ I. Demostrar: i) La torsión geodésica toma el valor h ¡ ¢ ¡ ¢i τg (s) = cos ϕ (s) sen ϕ (s) k2 α (s) − k1 α (s) , ¡ ¢ donde ϕ (s) = a´ ng e1 (s), t(s) . ® ® ® ii) Si cos θ (s) = N(s), n(s) , entonces N(s), b(s) = Jt(s), n(s) = sen θ (s) y θ 0 (s) = τ (s) + τg (s). iii) Las l´ıneas de curvatura se caracterizan por tener torsión geodésica nula. iv) Si α es una geodésica con curvatura normal no nula, entonces τg ≡ −τ . 212


Ejercicio 5.18 (Referencia de Frenet intr´ınseca). Sea γ : I −→ S una geodésica contenida en una superficie regular y orientada S. Consideremos los campos de vec¯ ¯ © ª tores e1 (t) = γ 0 (t)/¯γ 0 (t)¯ y e2 (t) = N(t) ∧ e1 (t). El par e1 (t), e2 (t) es una base ortonormal del plano tangente Tγ (t) S denominada referencia de Frenet intr´ınseca, y cualquier campo de vectores tangente V (t) a lo largo de γ se expresa de la forma ® ® V (t) = V (t), e1 (t) e1 (t) + V (t), e2 (t) e2 (t). ® i) Demostrar que V (t) es paralelo si, y sólo si, los productos V (t), e1 (t) y ® V (t), e2 (t) son constantes. ii) Calcular el transporte paralelo del vector v = (0, 1, 1) tangente a la superficie x2 + y2 − z2 = 1 en p = (1, 0, 0), a lo largo de la curva z = 0, hasta el punto q = (0, 1, 0). Ejercicio 5.19. Calcular la longitud de una circunferencia geodésica en la esfera de radio R, as´ı como el a´ rea del correspondiente disco geodésico. Ejercicio 5.20. Sea D(p, r) un disco geodésico en una superficie regular S, y sea α : I −→ S1 (r0 ) ⊂ Tp S una parametrización por el arco de la circunferencia de radio r0 en Tp S (r0 < r). Consideremos la parametrización X : (0, ε ) × I −→ S, para ε > 0 ¢ ¡ suficientemente pequeño, dada por X(t, s) = expp t α (s) . Calcular los coeficientes de su primera forma fundamental y demostrar que, en los puntos X(t, s), la curvatura de Gauss toma el valor ¡ ¢ −|Xs |tt (t, s). K X(t, s) = 2 r0 |Xs | Ejercicio 5.21. Sean S una superficie regular y p ∈ S. Sea V : R −→ Tp S diferenciable ¯ ¯ ¡ ¢ con ¯V (t)¯ = 1 para todo t, y consideremos X(u,t) = expp uV (t) definida en un abierto adecuado U ⊂ R2 para que X sea un homeomorfismo. i) Probar que X es una parametrización de S si, y sólo si, V no es constante. ii) En tal caso, calcular los coeficientes de la primera forma fundamental de X. ¡ ¢ ¡ ¢ iii) Sea α : [a, b] −→ D(p, ε ) ⊂ S la curva α (t) = X u(t),t = expp u(t)V (t) , para una cierta función u(t), 0 < u(t) < ε . Demostrar que Z b¯ a

¯ ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯ dt ≥ ¯u(b) − u(a)¯,

dándose la igualdad si, y sólo si, u(t) es monótona y V (t) es constante. Ejercicio 5.22. Sea X(r, θ ) el sistema de coordenadas geodésicas polares centrado en un punto p ∈ S. Demostrar que: √ i) La curvatura de Gauss K(p) se puede calcular como K(p) = − l´ımr→0 ( G)rrr . √ ii) G = r − Kr3 /3! + R, donde l´ımr→0 R/r3 = 0. iii) K(p) = l´ımr→0 (3/π )(2π r − L)/r3 , donde L es la longitud de S(p, r). 213


Ejercicio 5.23. Dado p ∈ S, demostrar que K(p) = l´ımr→0 (12/π )(π r2 − A)/r4 , donde A es el a´ rea delimitada por S(p, r). Ejercicio 5.24. Justificar por qué en superficies con un punto el´ıptico no se verifica la desigualdad isoperimétrica. Ejercicio 5.25. Demostrar que en una superficie con curvatura de Gauss constante, las circunferencias geodésicas tienen curvatura geodésica constante. Ejercicio 5.26. Sea X(u, v) la parametrización dada por las coordenadas normales en una superficie regular S. Demostrar que en (0, 0) se anulan las primeras derivadas de E, F y G. Ejercicio 5.27. Demostrar que una curva regular γ : I −→ R3 p.p.a. con curvatura k > 0 es una hélice generalizada (véase el ejercicio 1.17) si, y sólo si, es una geodésica de algún cilindro construido sobre una curva plana.

214

VI

El teorema de Gauss-Bonnet En este cap´ıtulo estudiamos el teorema de Gauss-Bonnet como el primer y más importante ejemplo de un resultado global en Geometr´ıa Diferencial de Superficies. A grandes rasgos, este teorema describe la estrecha relación que existe entre la geometr´ıa de una superficie y su topolog´ıa. Se trata de un resultado sorprendente toda vez que la curvatura de Gauss es una cantidad que se define localmente en términos geométricos. De esta forma, pese a ser un objeto que depende de la geometr´ıa, y pese a ser un objeto definido localmente, su ((promedio)) es estrictamente topológico. A modo de ejemplo, dos superficies compactas y homeomorfas siempre tienen la misma curvatura total (integral de la curvatura de Gauss), con independencia de que sus ((formas)) sean arbitrariamente distintas, que coincide con un invariante topológico: la caracter´ıstica de Euler-Poincaré. Por otra parte, el teorema de Gauss-Bonnet no sólo es importante por establecer esta curiosa relación entre la Geometr´ıa y la Topolog´ıa. Su relevancia también se debe a que supone un especial hito en el camino que conduce hacia las geometr´ıas no eucl´ıdeas. Por un lado, generaliza el teorema de Thales clásico sobre los a´ ngulos interiores de un triángulo; por otro, supone una elegante extensión de resultados clásicos de la trigonometr´ıa esférica. Si, además, recordamos que las geometr´ıas no eucl´ıdeas resultan de negar el quinto postulado de Euclides (que está directamente relacionado con el teorema de Thales y con la Geometr´ıa Esférica), parece evidente que la aparición en escena del teorema de Gauss-Bonnet supuso un aliciente más que impulsó el advenimiento y la aceptación de dichas geometr´ıas no convencionales. El cap´ıtulo comienza con una versión ((sencilla)) y local del teorema, donde se simplifican al máximo las hipótesis de trabajo y se elabora el material esencial de una demostración válida para regiones suficientemente pequeñas y con topolog´ıa trivial. La siguiente sección demuestra la versión global del resultado, donde se hace uso de ´ las técnicas implicadas en el caso local, para regiones arbitrarias. Estas se reducen al caso sencillo mediante el uso de las llamadas triangulaciones. La aditividad de las integrales y un argumento de conteo resultan esenciales para que la demostración del caso global sea factible. Finalmente, se presentan, en la u´ ltima sección, algunas consecuencias de dicho teorema, as´ı como la ya comentada interrelación existente entre el resultado y las geometr´ıas no eucl´ıdeas. 6.1.

´ LOCAL) EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET (VERSION

En esta sección presentamos el teorema de Gauss-Bonnet en su versión local, cuyo dominio de validez son las regiones simples de una superficie regular contenidas 215


en el entorno coordenado de una parametrización ortogonal. Podr´ıa parecer que esta situación es restrictiva en exceso. No obstante, la versión global del teorema (para cualquier tipo de regiones) se reduce a la local utilizando una serie de hechos topológicos y geométricos. Comenzamos definiendo el concepto de a´ ngulo de rotación para una curva en el plano. El a´ ngulo de rotación es una función que mide el ((rumbo)) de una curva con respecto a una dirección fija del plano. Si sabemos medir el rumbo en cada punto, podemos calcular la variación total de e´ ste entre dos instantes dados: se llega as´ı al concepto de a´ ngulo de rotación total, que expresa ((cuántas direcciones hemos abarcado)) a lo largo de la curva entre ambos puntos. Si la curva es cerrada (esto es, si volvemos al punto de partida) lo que tenemos entonces es el número de vueltas que hemos dado con respecto a un rumbo fijo, valor (con signo) que se conoce también como el ´ındice de rotación, y que aparece en otras muchas a´ reas de las Matemáticas (como la teor´ıa del grado y el Análisis Complejo, por ejemplo). Todos estos conceptos se pueden generalizar al caso de superficies y curvas contenidas en superficies. Se llega as´ı a un resultado fundamental conocido como el teorema de rotación de las tangentes: el ´ındice de rotación (número de vueltas) para una curva que determina en la superficie una región simple es, salvo orientación, 1. Este resultado sigue siendo válido para un tipo de curvas más general: las curvas regulares a trozos. Intuitivamente, esta clase de curvas presentan un número finito de ((vértices)) o ((esquinas)) en los que la derivada (la tangente) deja de ser continua. El siguiente ingrediente de esta sección lo constituye el estudio de las parametrizaciones ortogonales y, más concretamente, el cálculo de la curvatura geodésica de sus curvas coordenadas. A partir de ah´ı, se obtiene una fórmula para la curvatura geodésica de una curva arbitraria, en términos de la curvatura geodésica de las curvas coordenadas de la parametrización y del a´ ngulo que forma la curva con la curva coordenada. Tal expresión se conoce como la fórmula de Liouville. Dicho estudio está además estrechamente relacionado con la llamada holonom´ıa de una curva, que tratamos en esta sección, y de la que veremos una interesante aplicación en el conocido problema del péndulo de Foucault. Lo más relevante en esta parte técnica es que la expresión de la curvatura geodésica que hemos obtenido es una uno-forma, cuya diferencial (una dos-forma) da como resultado la curvatura de Gauss de la superficie. Por tanto, la integral de l´ınea de la curvatura geodésica puede transformarse en una integral de a´ rea de la curvatura de Gauss si la topolog´ıa es apropiada. Aún as´ı, la transformación no es exacta, y la diferencia entre ambas formas está relacionada con el a´ ngulo de rotación. Además, este u´ ltimo término también podemos expresarlo de manera conveniente gracias al teorema de rotación de las tangentes, obteniendo as´ı la fórmula local de Gauss-Bonnet. Antes de entrar propiamente en la sección, comentamos que esta fórmula fue introducida por Gauss para regiones simples contenidas en un entorno coordenado y cuya frontera estaba formada por segmentos de geodésica. La generalización para cualquier tipo de frontera fue llevada a cabo por Bonnet. 216

El teorema de Gauss-Bonnet

6.1.1.

´ ´ de una curva plana El angulo de rotacion

Definición 6.1.1. Una curva regular a trozos es una aplicación α : [a, b] −→ Rn continua, para la cual existe una partición a = t0 < t1 < . . . < tk = b tal que, para cada i = 1, . . . , k, αi := α |[ti−1 ,ti ] es una curva regular.1 A partir de ahora, vamos a representar por

α−0 (ti ) = l´ım α 0 (t) = l´ım αi0 (t) = αi0 (ti ), t→ti t
t→ti

0 0 α+0 (ti ) = l´ım α 0 (t) = l´ım αi+1 (t) = αi+1 (ti ). t→ti t>ti

t→ti

Diremos entonces que α (ti ) es un vértice de la curva α si α−0 (ti ) 6= α+0 (ti ). Observación 6.1. i) En t = a y t = b sólo existe una derivada, excepto si la curva es cerrada, esto es, si α (a) = α (b). En tal caso, tendr´ıamos dos posibilidades: o bien α+0 (a) = α−0 (b), en cuyo caso la curva se cierra ((regularmente)), o bien α+0 (a) 6= α−0 (b), apareciendo entonces un vértice en α (a) = α (b). ¯ ¯ ii) ¯α 0 (t)¯ es una función continua, excepto en los vértices, donde no está definida. ¿Cómo podemos entonces reparametrizar α por la longitud de arco? Tomemos ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯αi (ti )¯ = l´ım ¯α 0 (t)¯ < ∞, t→ti ,t
¯ ¯ que serán los puntos de discontinuidad de ¯α 0 (t)¯, función acotada. As´ı, calculamos el parámetro arco como s = g(t) =

Z t¯ a

¯ ¯α 0 (u)¯ du si t 6= ti

y

si = g(ti ) = l´ım

Z t¯

t→ti a t
¯ ¯α 0 (u)¯ du,

para i = 1, . . . , k, y la reparametrización viene dada, como ya es usual, por t = h(s) = g−1 (s) si s 6= si , mientras que en los valores si se define h(si ) := ti . En definitiva, cualquier curva regular a trozos siempre puede tomarse p.p.a. ♦ A partir de ahora, y sin pérdida de generalidad, cada vez que la curva α esté p.p.a. escribiremos su intervalo de definición como [0, `], en lugar del genérico [a, b]. El motivo de utilizar esta notación es puramente estético, pues de este modo, la longitud de la curva viene representada, precisamente, por `. ´ ´ de una curva plana regular El angulo de rotacion Sea α : [0, `] −→ R2 una curva regular, p.p.a., que no tiene vértices, y sea {e1 , e2 } una base ortonormal de R2 . En tal caso, t(s) = α 0 (s) = λ (s)e1 + µ (s)e2 , para ciertas 1

Nuestra definición de curva regular se ha hecho para intervalos abiertos. En esta situación, una curva definida sobre un intervalo cerrado se dice que es regular cuando existen sus derivadas (de cualquier orden), y e´ stas se extienden por continuidad en los extremos del intervalo.

217


¡ ¢ funciones λ , µ ∈ C∞ [0, `] que satisfacen λ (s)2 + µ (s)2 = 1, para todo s ∈ [0, `]. ¡ ¢ Fijado s0 ∈ [0, `], sea θ0 = a´ ng e1 , t(s0 ) ∈ [0, 2π ), el cual satisface λ (s0 ) = cos θ0 y µ (s0 ) = sen θ0 . Definimos entonces

θ (s) = θ0 +

Z s¡ s0

¢ λ µ 0 − µλ 0 (u) du,

(6.1)

que es una función diferenciable verificando además λ (s) = cos θ (s), µ (s) = sen θ (s) y θ (s0 ) = θ0 . Veamos que se cumplen las tres propiedades. Claramente, θ (s0 ) = θ0 . Para demostrar las otras dos condiciones, es suficiente comprobar que la expresión ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢ ¡ λ (s) − cos θ (s) + µ (s) − sen θ (s) = 2 − 2 λ (s) cos θ (s) + µ (s) sen θ (s) es idénticamente nula. Sea f (s) = λ (s) cos θ (s) + µ (s) sen θ (s). Es evidente que f (s0 ) = λ (s0 ) cos θ0 + µ (s0 ) sen θ0 = cos2 θ0 + sen2 θ0 = 1, y su derivada vale f 0 (s) = λ 0 (s) cos θ (s) − λ (s)θ 0 (s) sen θ (s) + µ 0 (s) sen θ (s) + µ (s)θ 0 (s) cos θ (s) h h ¡ ¡ ¢ i ¢ i = cos θ (s) λ 0 (s)+ µ (s) λ µ 0− µλ0 (s) + sen θ (s) µ 0 (s)−λ (s) λ µ 0− µλ 0 (s) ¡ ¡ ¢ ¢ = cos θ (s) λ 0 + λ µ µ 0 − µ 2 λ 0 (s) + sen θ (s) µ 0 − λ 2 µ 0 + µλ λ 0 (s) ¡ ¡ ¢ ¢ = cos θ (s) λ 0 − λ 2 λ 0 − µ 2 λ 0 (s) + sen θ (s) µ 0 − λ 2 µ 0 − µ 2 µ 0 (s) ¡ ¡ ¢ ¢ = cos θ (s) λ 0 − λ 0 (s) + sen θ (s) µ 0 − µ 0 (s) = 0, usando λ (s)2 + µ (s)2 = 1, lo que implica a su vez λ (s)λ 0 (s) + µ (s)µ 0 (s) = 0. Por tanto f (s) ≡ 1, como quer´ıamos demostrar. Hemos probado as´ı el siguiente resultado: Proposición 6.1.2. Sean α : [0, `] −→ R2 una curva regular p.p.a. y {e1 , e2 } una base ortonormal de R2 . Dado s0 ∈ [0, `], existe una función diferenciable θ (s) de forma que, para todo s ∈ [0, `], α 0 (s) = cos θ (s)e1 + sen θ (s)e2 . La función diferenciable θ (s) a la que hace referencia esta proposición viene dada por la fórmula (6.1), y se denomina el a´ ngulo de rotación de la curva regular α . Observación 6.2. Evidentemente, el a´ ngulo de rotación θ (s) no está determinado de modo u´ nico. Cualquier función de la forma θe(s) = θ (s) + 2π m, con m ∈ Z, también satisface dicha propiedad. Además, si θ (s) y θe(s) son a´ ngulos de rotación de una curva regular α , entonces se tiene, para todo s, cos θ (s) = cos θe(s) y sen θ (s) = sen θe(s) simultáneamente, lo cual implica que θe(s) = θ (s) + 2π m(s), para una cierta función m(s) que sólo toma valores enteros; pero, como θ (s) y θe(s) son funciones continuas, necesariamente m(s) ≡ m0 ∈ Z. En definitiva, cualquier a´ ngulo de rotación es de la ♦ forma θ (s) + 2π m, con m ∈ Z, donde θ (s) es la función definida en (6.1). Aunque no existe una forma u´ nica para determinar el a´ ngulo de rotación de una curva, la diferencia del a´ ngulo entre los dos extremos de una curva s´ı está un´ıvocamente determinada, ya que el término extra 2π m se cancela. As´ı, tiene sentido la siguiente definición. 218


Definición 6.1.3. Se define el a´ ngulo de rotación total de una curva regular, p.p.a., α : [0, `] −→ R2 , como Rot(α ) := θ (`) − θ (0). Por otra parte, si α es una curva cerrada, entonces α 0 (0) = α 0 (`), y por tanto, cos θ (0) = cos θ (`) y sen θ (0) = sen θ (`). Finalmente, θ (`) = θ (0) + 2π m, m ∈ Z, por lo que Rot(α ) = 2π m es siempre un múltiplo entero de 2π . Ejemplo 6.1. El a´ ngulo de rotación total para cada una de las curvas de la figura 6.1 es Rot(α ) = 0, Rot(α ) = 2π y Rot(α ) = 4π , respectivamente.

6

6

6

´ Figura 6.1: El angulo =

´ para algunas curvas de rotacion cerradas.

-

?

-

?

6 6 -

En particular, se puede demostrar que cualquier curva cerrada y simple tiene ♦ a´ ngulo de rotación total ±2π (este hecho es consecuencia del teorema 6.1.5). Definición 6.1.4. Se define el ´ındice de rotación de una curva α : [0, `] −→ R2 plana y cerrada como Rot(α ) θ (`) − θ (0) = . iα = 2π 2π El ´ındice de rotación es simplemente el número total de vueltas que da la curva con respecto a una dirección fija. ´ ´ de una curva plana regular a trozos El angulo de rotacion

α+′ (si )

?

Jα ′ M :

α′

K

Supongamos ahora que α : [0, `] −→ R2 es una curva regular a trozos, p.p.a., y sea 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` una partición de [0, `] de forma que α (si ) son los vértices de α . Supongamos además que α es cerrada (esto es, α (0) = α (`)) y simple. En tal ¡ ¢ caso, la imagen de α , α [0, `] , recibe el nombre de pol´ıgono curvado, y determina una región Ω que es simplemente conexa (por estar la curva contenida en un plano). Diremos entonces que la parametrización de α está positivamente orientada si Jα 0 (s) apunta al interior de Ω, para todo s ∈ [0, `]. © ª αi+1 En cada vértice α (si ), tomamos los vectores α−0 (si ), Jα−0 (si ) , que forman una base ortonormal de Tα (si ) R2 ≡ R2 (véase la figura 6.2). ′ Jα− (si ) Por tanto, existe un u´ nico εi ∈ (−π , π ] tal que 6 εi

:

αi

z

α−′ (si )

´ Figura 6.2: Angulos externos en una curva regular a trozos.

219

α+0 (si ) = cos εi α−0 (si ) + sen εi Jα−0 (si ). En definitiva, εi es el a´ ngulo que forman los ((dos vectores tangentes)) a la curva α en cada vértice α (si ), y se denomina el a´ ngulo externo en α (si ). Obsérvese que, si εi = 0, entonces α+0 (si ) = α−0 (si ) y α (si ) no ser´ıa un vértice. Luego εi 6= 0, para todo i = 1, . . . , k. Cuando εi = π , el vértice α (si ) recibe el nombre de cúspide.


Un primer hecho que asumiremos sin detenernos en su demostración (ésta puede consultarse, por ejemplo, en [21]) es el llamado teorema de rotación de las tangentes: Teorema 6.1.5 (de rotación de las tangentes). Sea α : [0, `] −→ R2 una curva regular a trozos, p.p.a., cerrada, simple, con vértices α (si ), 0 = s0 < s1 < . . . < sk = `. Sean además εi los correspondientes a´ ngulos externos y θi el a´ ngulo de rotación de la curva regular αi = α |[si−1 ,si ] , i = 1, . . . , k. Entonces, ¢ k ¡ θ θ (s ) − (s ) ∑ i i i i−1 + ∑ εi = ±2π , k

i=1

i=1

(6.2)

donde el signo ± depende de la orientación de α . Este teorema (probado originalmente por H. Hopf) establece el hecho intuitivo de que, al cerrar una vuelta, el vector tangente a la curva completa un giro de 2π radianes, bien avanzando ((suavemente)) por los trozos diferenciables de la curva, bien ((saltando)) de un trozo a otro en cada uno de los vértices donde se rompe la regularidad. Al llegar a este punto podemos preguntarnos: ¿se puede extender este resultado al caso de curvas cerradas y simples en una superficie arbitraria? La respuesta es afirmativa, aunque hay que añadir algunas hipótesis adicionales ya que, por un lado, la topolog´ıa de una superficie puede ser mucho más complicada que la del plano y, por otra parte, en principio no está muy claro con respecto a qué dirección se puede determinar el a´ ngulo de la curva. As´ı pues, sean S una superficie regular y orientada, y (U, X) una parametrización positiva de S de modo que U es homeomorfo a un disco abierto del plano. Sea ahora α : I −→ S una curva regular a trozos en la superficie, p.p.a., cerrada, simple y tal que α (I) ⊂ X(U). Bajo tales condiciones el teorema de rotación de las tangentes sigue siendo cierto, y la fórmula (6.2) se verifica, pero matizando que: los a´ ngulos externos se definen igual que en el plano, aunque ahora J es la estructura compleja de la superficie; ¡ ¢ los a´ ngulos de rotación θi (s) miden el a´ ngulo que forman el vector Xu α (s) y el vector velocidad α 0 (s) en cada s ∈ I. El paso clave para generalizar el resultado del plano a superficies consiste en conservar la topolog´ıa de la curva: e´ sta debe encerrar una región homeomorfa a un disco en la superficie. El resto es un argumento de continuidad que no presentaremos aqu´ı por exceder las pretensiones de este texto. 6.1.2.

Holonom´ıa

´ una pequena ˜ historia Introduccion: En lo que respecta al t´ıtulo de esta sección, una explicación es pertinente: holonom´ıa no existe como palabra en el diccionario de la Real Academia Española. Sin embargo, 220


s´ı es un concepto geométrico de lo más interesante. En cualquier espacio (entiéndase con total libertad lo que significa esta vaga afirmación) podemos considerar una curva cerrada y recorrerla en uno de los dos sentidos que nos permite. Si transportamos con nosotros una pistola láser y apuntamos en una determinada dirección, podemos proponernos el desaf´ıo de mantener esa dirección fija conforme avanzamos. Esto no parece tarea ardua ni compleja, as´ı que, desde nuestro especial punto de vista, vamos apuntando siempre en la misma dirección. No obstante, algún habitante privilegiado que nos pueda observar ((desde fuera)) de nuestro espacio, apreciará que la dirección de nuestro láser es cambiante (con ´ observará este fenómeno mientras nosotros caminamos, igrespecto a la inicial). El norándolo, a través de nuestra curva cerrada, hasta que... hasta que finalmente volvemos al punto de partida. ¿Y qué ocurre a la vuelta? Sucede que nuestro láser ya no apunta en la misma dirección que al principio (esto lo sabemos porque cuando comenzamos a caminar, el láser dejó una marca chamuscada en un muro que ten´ıamos enfrente, y ahora apunta a otro sitio completamente distinto). El habitante privilegiado (porque tiene el privilegio de vivir en una dimensión más) ha escudriñado con atención nuestro periplo y sabe que, en nuestro viaje, hemos ido cambiando la dirección hacia la que apuntábamos, de forma imperceptible para nosotros. A ese cambio se le llama holonom´ıa. Si la curva cerrada sobre la que viajamos es un paralelo (como ocurre cada d´ıa que transcurre en nuestro planeta Tierra, o cada año alrededor del Sol), nosotros no necesitamos vivir en una dimensión más para darnos cuenta de lo que sucede, pues disponemos de las herramientas geométricas necesarias para entenderlo. La geometr´ıa de la holonom´ıa Sean S una superficie regular orientada y α : I −→ S una curva regular contenida en la superficie (no necesariamente p.p.a.). A lo largo de α , siempre es posible definir dos campos de vectores e1 (t) y e2 (t) formando una base ortonormal (positiva) del plano tangente Tα (t) S. Una manera sencilla de definir estos campos ser´ıa tomando ¯ ¯ e1 (t) = α 0 (t)/ ¯α 0 (t)¯ y e2 (t) = Je1 (t). Otra podr´ıa ser la siguiente: si α (I) ⊂ X(U), siendo (U, X) una parametrización de S, consideramos ¢ Xu ¡ e2 (t) = Je1 (t), e1 (t) = √ u(t), v(t) , E ¡ ¢ siendo u(t), v(t) la expresión en coordenadas de la curva. En cualquier caso, debe quedar claro que esta elección es arbitraria y que siempre se puede efectuar. El par © ª e1 (t), e2 (t) se dice que es un referencial ortonormal a lo largo de α . Consideremos ahora V ∈ X (α ) un campo diferenciable, tangente y unitario, a lo largo de la curva α . Como V (t) ∈ Tα (t) S para todo t ∈ I, entonces V (t) = cos θV (t)e1 (t) + sen θV (t)e2 (t), 221


donde θV (t) es una determinación del a´ ngulo que forman los vectores e1 (t) y V (t). Calculemos la derivada covariante del campo V a lo largo de α : De1 DV (t) = −θV0 (t) sen θV (t)e1 (t) + cos θV (t) (t) dt dt (6.3) De2 0 + θV (t) cos θV (t)e2 (t) + sen θV (t) (t). dt Para poder continuar necesitamos conocer el valor de la derivada covariante de los ¯ ¯2 ¯ ¯2 ® vectores del referencial ortonormal. Como ¯e1 (t)¯ = 1 = ¯e2 (t)¯ y e1 (t), e2 (t) = 0, ® ® ® derivando se obtiene e0i (t), ei (t) = 0, i = 1, 2, y e01 (t), e2 (t) = − e1 (t), e02 (t) , de donde se deduce que ® ® ® De1 (t) = e01 (t), e1 (t) e1 (t) + e01 (t), e2 (t) e2 (t) = e01 (t), e2 (t) e2 (t) =: ω (t)e2 (t), dt ® ® De2 (t) = e02 (t), e1 (t) e1 (t) + e02 (t), e2 (t) e2 (t) = −ω (t)e1 (t). dt Introduciendo estas expresiones en la fórmula (6.3) de la derivada covariante de V , obtenemos que ¡ ¢ ¢ ¡ DV (t) = −θV0 (t) − ω (t) sen θV (t)e1 (t) + θV0 (t) + ω (t) cos θV (t)e2 (t) dt (6.4) ¢ ¢¡ ¡ = θV0 (t) + ω (t) − sen θV (t)e1 (t) + cos θV (t)e2 (t) . donde, como ya sabemos, θV0 (t) mide la variación del a´ ngulo que determinan e1 (t) y ® ® V (t), mientras que ω (t) = e01 (t), e2 (t) = (De1 /dt)(t), e2 (t) . Observemos que ambas son funciones que dependen del referencial ortonormal escogido. Sin embargo, nosotros sabemos que la derivada covariante de un campo es un concepto geométrico (no depende de ninguna elección). Por tanto, el módulo de la derivada covariante también es algo geométrico y dicho módulo es, precisamente, ¯ ¯ ¯ ¯ DV ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt (t)¯ = θV (t) + ω (t) . En consecuencia, pese a que cada una de las funciones (por separado) depende del referencial escogido, no ocurre as´ı con la suma de ambas. A continuación, observemos que el seno y el coseno no pueden anularse simultáneamente. Entonces, podemos afirmar lo siguiente: el campo V es paralelo si, y sólo si, θV0 (t) = −ω (t). En otras palabras, V es paralelo si, y sólo si,

θV (t) = θV (t0 ) −

Z t t0

ω (s) ds,

para t0 ∈ I. Observemos en primer lugar que la función t;

Z t t0

ω (s) ds

es independiente de la determinación del a´ ngulo θV . Además, es muy importante reseñar lo siguiente: la función anterior no depende del campo paralelo V de partida. Esta observación puede justificarse fácilmente si pensamos que ω sólo depende del referencial ortonormal escogido. Podemos establecer as´ı la siguiente definición: 222


Definición 6.1.6. Con la notación anterior, se denomina holonom´ıa a lo largo de α a la función dada por Z Ht0 (t) = −

t

t0

ω (s) ds.

(6.5)

Obsérvese que si W ∈ X (α ) es otro campo paralelo a lo largo de α , según la construcción anterior u´ nicamente se va a distinguir de V en la condición inicial θW (t0 ) (la constante de integración); as´ı, cualquier campo W ∈ X (α ) se va a poder expresar como ¢ ¡ ¢ ¡ W (t) = cos θW (t0 ) + Ht0 (t) e1 (t) + sen θW (t0 ) + Ht0 (t) e2 (t). Esto supone una prueba alternativa al hecho ya demostrado de que dos campos paralelos a lo largo de una curva determinan un a´ ngulo constante (proposición 5.1.5). La holonom´ıa expresa por tanto cuánto var´ıa el a´ ngulo que determina cualquier campo paralelo (es la misma cantidad para todos) con respecto a un referencial ortonormal dado. Observemos que esta variación, en principio, sólo puede apreciarse desde una ((perspectiva extr´ınseca)) pues, desde el punto de vista intr´ınseco, el campo, al ser paralelo, no cambia de dirección a lo largo de la curva. ¿Quiere esto decir que la holonom´ıa no puede observarse desde ((dentro))? La respuesta a esta cuestión es negativa. La holonom´ıa es un concepto intr´ınseco, pero u´ nicamente se pone de manifiesto si podemos comparar nuestra situación final con la situación de partida. Esto puede hacerse cuando la curva sobre la que estamos trabajando es una curva cerrada. As´ı, en el caso especial de que α : [a, b] −→ S sea una curva cerrada, la holonom´ıa Ha (b) nos dice cuál es el cambio que experimenta un campo paralelo V a lo largo de la curva cuando se regresa al punto de partida. Y este cambio, evidentemente, s´ı puede apreciarse desde una perspectiva intr´ınseca: comparando el valor del campo de salida con el de llegada. Supongamos ahora que la curva cerrada α es además una geodésica que se cierra regularmente. Entonces es fácil ver que el campo paralelo vuelve al punto de partida en la misma posición inicial, es decir, el a´ ngulo θV (t) que determinan los vectores V (t) y e1 (t) verifica θV (b) = θV (a) + 2π k. En efecto, dado que la holonom´ıa no depende del campo paralelo elegido, podemos tomar, para calcularla, el propio campo velocidad de la curva, α 0 , que es paralelo ya que α es una geodésica. En consecuencia, ω (t) = −θα0 0 (t) y, de forma obvia, Ha (b) = −

Z b a

ω (t) dt =

Z b a

θα0 0 (t) dt = θα 0 (b) − θα 0 (a) = 2π k,

ya que α se cierra de forma regular. Luego θV (b) = θV (a) + Ha (b) = θV (a) + 2π k. El número k ∈ Z depende, entre otras cosas, de la elección que se haga del referencial ortonormal. Si e´ ste proviene de una parametrización (U, X) y conocemos la topolog´ıa de U, entonces puede determinarse con precisión el valor del entero k. En cualquier caso, obsérvese el hecho de que un campo paralelo regresa en la misma posición cuando e´ ste se desplaza a lo largo de una geodésica, ya que esto sólo depende de la geometr´ıa intr´ınseca. 223


Puede probarse (véase el ejercicio 6.1) que la holonom´ıa a lo largo de una curva cerrada arbitraria (entendida e´ sta como el cambio que experimenta un campo paralelo al desplazarse a lo largo de la curva) no depende del referencial ortonormal escogido. Ejemplo 6.2 (Holonom´ıa en un paralelo de la esfera). Consideremos la esfera S2 (r) y su parametrización X(u, v) = (sen u cos v, sen u sen v, cos u) dada por las coordenadas geográficas, que es una parametrización ortogonal. Consideremos un paralelo de la misma α (v) = X(u0 , v). Un rápido cálculo muestra que e1 (v) = (cos u0 cos v, cos u0 sen v, − sen u0 ),

e2 (v) = (− sen v, cos v, 0)

forman un referencial ortonormal a lo largo del paralelo u = u0 , de donde se obtiene ® ω (v) = e01 (v), e2 (v) = cos u0 . En consecuencia, la holonom´ıa a lo largo del paralelo u = u0 viene dada por la función2 H0 (v) = −

Z v 0

ω (t) dt = −v cos u0 .

En particular, H0 (2π ) = −2π cos u0 . Obsérvese que si α (v) es el paralelo u = π /2, es decir, el ecuador (una geodésica), © ª H0 (2π ) = 0. Si hubiésemos elegido otro referencial ortonormal e1 (s), e2 (s) a lo ♦ largo del paralelo, se obtendr´ıa H0 (2π ) = 2π k, para un cierto k ∈ Z. ´ el pendulo ´ Una aplicacion: de Foucault En el año 1851, con vistas a demostrar la rotación de la Tierra, Jean Foucault (18191868) realizó el siguiente experimento en el Panteón de Par´ıs (también conocido como iglesia de Santa Genoveva):3 construyó un péndulo que consist´ıa en una bala de caño´ n de 28 kilogramos suspendida de un alambre de 67 metros de longitud, y acabado en una punta que dibujaba sus oscilaciones sobre un lecho de arena; apartó el péndulo de la posición de equilibrio estable, sosteniéndolo inmóvil mediante una cuerda, a la que se aplicó una llama, hasta que e´ sta se rompió y el péndulo comenzó a oscilar. Foucault observó que el plano en el que el péndulo oscilaba rotaba alrededor de la vertical y completaba una vuelta después de 24/ cos u0 horas, siendo u0 la colatitud en la que el péndulo estaba situado (o 24/ sen u0 horas, si lo expresamos en términos de la latitud u0 ). La gran altura del techo en el Panteón de Par´ıs, que permite colocar un péndulo de grandes dimensiones, propició una observación perfecta del fenómeno. En la actualidad, y desde 1995, el péndulo se encuentra de nuevo situado en su ubicación original (véase la fotograf´ıa de la figura 6.3). 2

Recuérdese que, aqu´ı, la variable u representa la colatitud (distancia angular al polo norte), y no la latitud (distancia angular al plano ecuatorial), como suele ser habitual. Si queremos expresar la fórmula para la holonom´ıa en términos de la latitud (que representamos por u) para el paralelo u = u0 , como u0 = π /2 − u0 , se obtiene trivialmente que H0 (v) = −v sen u0 . 3 Foucault ya hab´ıa construido previamente dos péndulos: uno de dos metros en su taller y algo más tarde, en 1850, uno de once metros en la sala central del observatorio de Par´ıs.

224


´ Figura 6.3: Pendulo de Foucault ´ de Par´ıs en el Panteon (foto original).

Nuestra intención en este ep´ıgrafe es analizar dicho experimento desde el punto de vista de la Geometr´ıa Diferencial. Para ello, vamos a suponer que el péndulo está colocado en un punto del globo terráqueo con una colatitud u0 . Además, en lugar de considerar que es la Tierra la que está rotando, vamos a pensar que se encuentra estacionaria y que es el péndulo el que se mueve con velocidad constante alrededor del paralelo, completando una vuelta cada 24 horas. Observemos que esta situación es totalmente equivalente a la que se da en la realidad, en virtud de la simetr´ıa rotacional de la Tierra (lo importante en el experimento no es que la Tierra rote, sino que la estructura que sostiene al péndulo –y el propio péndulo– complete un giro alrededor de la Tierra cada 24 horas). Tomando de nuevo X(u, v) la parametrización dada por las coordenadas geográficas, en cada punto X(u0 , v) del paralelo u = u0 podemos definir un campo de vectores W , donde W (v) es un vector tangente a la Tierra que apunta en la siguiente dirección: cada vez que el péndulo alcanza su punto más bajo, su vector velocidad es tangente a la superficie terrestre; definimos entonces W (v) como dicho vector velocidad. Observemos entonces que el vector W (v) junto con el normal a la superficie terrestre (la vertical) determinan, precisamente, el plano en el que está oscilando el péndulo. El campo W (v) depende de la posición X(u0 , v) y, en u´ ltima instancia, del valor v, que es la longitud en la que se encuentra el péndulo de Foucault en la Tierra. Ahora bien, el parámetro v también nos sirve como una medida del tiempo, ya que el péndulo completa una vuelta a velocidad constante cada 24 horas. De hecho, al moverse el péndulo a velocidad constante por el paralelo, la variable v es proporcional al tiempo T , digamos v = aT . As´ı pues, el vector velocidad V (T ) = W (aT ) = W (v), y podemos calcular la aceleración a la que está sometida el péndulo como dW dV (v). (T ) = a dv dT 225


Por otra parte, la u´ nica fuerza que está actuando sobre el péndulo es la gravitatoria.4 Ahora bien, la gravedad es una fuerza central, y actúa siempre en la dirección vertical (la del normal). En consecuencia, aplicando la segunda ley de Newton5 podemos asegurar que la componente horizontal de la aceleración (su parte tangente) debe ser cero, o lo que es lo mismo, que DW (v) = 0. dv Este argumento demuestra que W es un campo paralelo a lo largo de la curva considerada, es decir, el paralelo u = u0 de la Tierra. Ya sabemos (véase el ejemplo 6.2) que la holonom´ıa a lo largo de dicha curva vale H0 (2π ) = −2π cos u0 , lo cual nos asegura que el campo W rota un a´ ngulo de −2π cos u0 radianes cada vuelta completa, esto es, cada 24 horas. As´ı pues, la velocidad angular del péndulo es 2π cos u0 radianes/hora, w= 24 completando una vuelta cuando han transcurrido 24 2π radianes = horas. T= w radianes/hora cos u0 ´ Este es el mismo periodo observado en los experimentos y deducido por los f´ısicos utilizando otros medios alternativos. En el caso del experimento original, la colatitud de la ciudad de Par´ıs es aproximadamente u0 = 0,718 radianes (su latitud es u0 ≈ 48,862222 grados). Por tanto, el péndulo de Foucault completa una vuelta después de 24/ cos u0 ≈ 31,867 horas. Obsérvese además que un péndulo situado en el polo norte (u0 = 0) completar´ıa una vuelta en 24 horas, mientras que si e´ ste se encuentra en el ecuador (u0 = π /2), entonces no rota pues, como ya sabemos, la holonom´ıa es cero. 6.1.3.

´ ´ ortogonal La curvatura geodesica en una parametrizacion

En esta sección vamos a expresar la curvatura geodésica de una curva arbitraria de forma apropiada, en términos de las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas y del a´ ngulo de rotación que hemos estudiado en el apartado anterior. ´ La curvatura geodesica de las curvas coordenadas ´ ortogonal en una parametrizacion Sean (U, X) una parametrización ortogonal positivamente orientada de una superficie regular orientada S, y α1 (u) = X(u, v0 ), α2 (v) = X(u0 , v) sus curvas coordenadas. Sean kg1 (u) y kg2 (v) las curvaturas geodésicas de α1 (u) y α2 (v), respectivamente. 4

En realidad, existe una fuerza centr´ıpeta resultante de la rotación alrededor del paralelo, pero es del orden de 1/290 veces la fuerza de la gravedad, y no interfiere significativamente en los resultados. 5 La segunda ley de Newton afirma que la fuerza resultante que act´ ua sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración a la que e´ ste se encuentra sometido.

226


Los vectores {Xu , Xv } son ortogonales, ya que F = hXu , Xv i = 0, pero no necesa√ ª √ © riamente unitarios. Tomamos entonces e1 = Xu / E, e2 = Xv / G , que s´ı es una base ortonormal del plano tangente. Además, por ser X positivamente orientada, se tiene que Je1 = e2 y Je2 = −e1 . Por tanto, √ ¢ ¢ ¡√ ¡√ E 0 E e2 (u, v0 ) = √ Xv (u, v0 ), Jα1 (u) = JXu (u, v0 ) = J E e1 (u, v0 ) = G y la curvatura geodésica es E D √ √ E Xv Xuu , √G E 1 (u, v0 ) = √ ¡√ ¢3 hXuu , Xv i (u, v0 ). kg (u) = 3 |Xu | G E Como las derivadas parciales de E y F valen Ev = hXu , Xu iv = 2 hXuv , Xu i

y

0 = Fu = hXu , Xv iu = hXuu , Xv i + hXu , Xuv i ,

sustituyendo en la expresión anterior se obtiene finalmente que kg1 (u) =

−Ev −1 √ hXu , Xuv i (u, v0 ) = √ (u, v0 ). E G 2E G

(6.6)

Análogamente se calcular´ıa la curvatura geodésica de la segunda curva coordenada: kg2 (v) =

Gu √ (u0 , v). 2G E

(6.7)

´ ´ ortogonal La curvatura geodesica de una curva en una parametrizacion Sea α : I −→ S una curva regular, p.p.a., contenida en una superficie regular y orientada S, y supongamos que existe una parametrización ortogonal (U, X) positivamente orientada tal que α (I) ⊂ X(U) (localmente, siempre existe). Representamos por ¡ ¢ e (s) = (X −1 ◦ α )(s) = u(s), v(s) la expresión en coordenadas de α . Por comodiα ¢ ¡ e (s) , as´ı como para cualquier otro funcional que se dad, escribiremos X(s) := X α e (s). Como la parametrización X es ortogonal, los vectores evalúe en α ) ( Xu (s) Xv (s) , e2 (s) = p e1 (s) = p E(s) G(s) son una base ortonormal de Tα (s) S, verificándose de nuevo que Je1 = e2 y Je2 = −e1 . El a´ ngulo de rotación θ (s) de la curva α respecto a la parametrización X satisface

α 0 (s) = cos θ (s)e1 (s) + sen θ (s)e2 (s), y por tanto, Jα 0 (s) = cos θ (s)e2 (s) − sen θ (s)e1 (s). Además, basta considerar el campo V = α 0 en la expresión (6.4) para obtener que ¢¡ ¢ ¡ Dα 0 (s) = θ 0 (s) + ω (s) − sen θ (s)e1 (s) + cos θ (s)e2 (s) , ds 227


® donde ω (s) = e01 (s), e2 (s) . As´ı, un rápido cálculo permite comprobar que la curvatura geodésica de α (curva que está p.p.a.) vale ® ® kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = (Dα 0 /ds)(s), Jα 0 (s) = θ 0 (s) + ω (s). ® Por tanto, sólo resta calcular el valor de la función ω (s) = e01 (s), e2 (s) de forma expl´ıcita. Dado que ! Ã ´ d 1 ³ 1 p Xu (s) + p Xuu (s)u0 (s) + Xuv (s)v0 (s) e01 (s) = ds E(s) E(s) y usando

se tiene que

1 hXuu , Xv i = − hXu , Xuv i = − Ev 2

y

1 hXuv , Xv i = Gu , 2

h ® ®i 1 ω (s) = p u0 (s) Xuu (s), Xv (s) + v0 (s) Xuv (s), Xv (s) EG(s) ¸ · 1 1 0 1 0 =p − u (s)Ev (s) + v (s)Gu (s) . 2 2 EG(s)

As´ı, la curvatura geodésica vale

h i 1 kg (s) = θ 0 (s) + p −u0 (s)Ev (s) + v0 (s)Gu (s) . 2 EG(s)

(6.8)

Como consecuencia directa de (6.8), se obtiene la llamada fórmula de Liouville para la curvatura geodésica, un análogo a la fórmula de Euler (3.4) para la curvatura normal que ya estudiamos en la sección 3.4. Teorema 6.1.7 (La fórmula de Liouville). Sean α : I −→ S una curva regular p.p.a. y (U, X) una parametrización ortogonal de S de forma que α (I) ⊂ X(U). Entonces, siguiendo la notación anterior, se verifica que ¡ ¢ ¡ ¢ kg (s) = kg1 u(s) cos θ (s) + kg2 v(s) sen θ (s) + θ 0 (s). Demostración. Sustituyendo en (6.8) las fórmulas correspondientes a las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas dadas en (6.6) y (6.7), se obtiene que la curvatura geodésica vale h i 1 0 0 0 p θ (s) + kg (s) = −u (s)Ev (s) + v (s)Gu (s) 2 EG(s) p p 0 (s)G (s) 0 (s)E (s) E(s) G(s) v u u v p p + p = θ 0 (s) − p 2 EG(s) E(s) 2 EG(s) G(s) p p ¡ ¢ ¡ ¢ = θ 0 (s) + kg1 u(s) u0 (s) E(s) + kg2 v(s) v0 (s) G(s). Ahora bien, dado que

p p α 0 (s) = u0 (s)Xu (s) + v0 (s)Xv (s) = u0 (s) E(s)e1 (s) + v0 (s) G(s)e2 (s), p p necesariamente se tiene que u0 (s) E(s) = cos θ (s) y v0 (s) G(s) = sen θ (s), lo que concluye la demostración de la fórmula de Liouville. 228


6.1.4.

El teorema de Green en R2

El u´ ltimo ingrediente que necesitamos para poder demostrar el teorema de GaussBonnet, en su versión local, es el teorema de Green en el plano (véase, por ejemplo, [14]). Recordemos rápidamente su enunciado. ¡ ¢ Teorema 6.1.8 (de Green). Sea α : [0, `] −→ R2 , α (s) = u(s), v(s) , una parametrización positivamente orientada de un pol´ıgono curvado en R2 , y sea Ω el subconjunto abierto acotado por e´ ste. Sean ahora P, Q : cl Ω −→ R funciones diferenciables, P = P(u, v), Q = Q(u, v). Entonces, ZZ µ Ω

¶ i k Z si h ∂Q ∂P (u, v) − (u, v) dudv = ∑ P(s)u0 (s) + Q(s)v0 (s) ds, ∂u ∂v i=1 si−1

donde 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` es una partición de [0, `] tal que α |[si−1 ,si ] es diferen¡ ¢ ¡ ¢ ciable para todo i = 0, . . . , k, y P(s) = P u(s), v(s) , Q(s) = Q u(s), v(s) . 6.1.5.

´ local) El teorema de Gauss-Bonnet (version

El a´ mbito de aplicación de este resultado local es el de las regiones simples de una superficie, es decir, regiones R ⊂ S simplemente conexas (véase la definición 2.5.3). La frontera de una región simple es lo que hemos definido como un pol´ıgono curvado. Si Γ ⊂ S es un pol´ıgono curvado y α : [0, `] −→ Γ ⊂ S es una parametrización por la longitud de arco de Γ, positivamente orientada, vamos a representar por Z Γ

k

kg ds = ∑

Z si

i=1 si−1

kg (s) ds,

donde s es el parámetro arco y 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` es una partición del intervalo [0, `] de forma que αi = α |[si−1 ,si ] es una curva regular. Otra hipótesis necesaria para este resultado local es que la región R verifique que R ⊂ X(U), siendo (U, X) una parametrización ortogonal de la superficie. Posteriormente justificaremos que esta hipótesis, a priori muy restrictiva, resulta ser no esencial en la prueba global. Teorema 6.1.9 (de Gauss-Bonnet (versión local)). Sea R ⊂ S una región simple de una superficie regular y orientada S, de modo que R ⊂ X(U), siendo (U, X) una parametrización ortogonal de S. Entonces, Z R

Z

K dA +

bd R

k

kg ds + ∑ εi = 2π , i=1

donde εi representan los a´ ngulos externos en los vértices del pol´ıgono curvado bd R. Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que (U, X) es una parametrización positivamente orientada de S. Sea α : [0, `] −→ S una parametrización 229


por la longitud de arco, positivamente orientada, de bd R, de forma que α (0) = α (`) sea un vértice (no trivial). Finalmente, sea 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` una partición del intervalo [0, `] tal que α (si ) son los vértices de α . Obsérvese que, en el punto α (0) = α (`), el vector α+0 (`) no existe, aunque s´ı los vectores α−0 (`), α+0 (0) ∈ Tα (0) S. ª © Por lo tanto, si consideramos la base α−0 (`), Jα−0 (`) , el a´ ngulo externo εk (correspondiente al valor del parámetro sk = `) es el u´ nico a´ ngulo en (−π , π ] que satisface α+0 (0) = cos εk α−0 (`) + sen εk Jα−0 (`). Dado que αi = α |[si−1 ,si ] es una curva regular, la fórmula (6.8) nos asegura que, en el intervalo [si−1 , si ], su curvatura geodésica vale h i 1 kg (s) = θi0 (s) + p −u0 (s)Ev (s) + v0 (s)Gu (s) , 2 EG(s) ¡ ¢ ¡ ¢ e (s) = X −1 α (s) = u(s), v(s) , donde E, G, Ev , Gu están evaluadas en la curva6 α ¡ ¢ y donde, siguiendo la notación que viene siendo habitual, θi (s) = a´ ng e1 (s), αi0 (s) , p para e1 (s) = Xu (s)/ E(s) y s ∈ (si−1 , si ). Obsérvese que, en los extremos de ca¡ ¢ da porción αi de la curva α , el a´ ngulo θi vale θi (si−1 ) = a´ ng e1 (si−1 ), α+0 (si−1 ) y ¡ ¢ θi (si ) = a´ ng e1 (si ), α−0 (si ) . As´ı, Z bd R

k

kg ds = ∑

Z si

i=1 si−1 k Z si

kg (s) ds

=∑

i=1 si−1

h i k Z si 1 p θi0 (s) ds. −u0 (s)Ev (s) + v0 (s)Gu (s) ds + ∑ 2 EG(s) i=1 si−1

Calculamos el valor de ambos sumandos: el segundo es k

∑

Z si

i=1 si−1

k k ¡ ¢ θi0 (s) ds = ∑ θi (si ) − θi (si−1 ) = 2π − ∑ εi , i=1

i=1

gracias a la fórmula (6.2) que nos da el teorema de rotación de las tangentes (véase el teorema 6.1.5); utilizando ahora el teorema de Green 6.1.8, podemos deducir que el primero vale Ã ! i k Z si k Z si h −Ev (s) 0 Gu (s) 0 0 0 p p u (s) + v (s) ds = ∑ P(s)u (s) + Q(s)v (s) ds ∑ 2 EG(s) 2 EG(s) i=1 si−1 i=1 si−1 ¶ ·µ ¶ µ ¶¸ µ ZZ ZZ 1 ∂Q ∂P Ev Gu √ √ − dudv = + dudv = ∂u ∂v X −1 (R) 2 X −1 (R) EG u EG v ZZ Z √ = −K EG dudv = − K dA R

X −1 (R)

(véase el ejercicio 3.31). En definitiva, hemos obtenido que Z bd R

Z

kg ds = −

R

k

K dA + 2π − ∑ εi , i=1

de donde se deduce inmediatamente el resultado. 6

Observemos que esta curva determina una región simple en el plano, pues X es un homeomorfismo. As´ı, podremos aplicar posteriormente el teorema de Green en el plano.

230


´ GLOBAL) EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET (VERSION

6.2.

El teorema de Gauss-Bonnet admite una versión para regiones con topolog´ıa arbitraria y no necesariamente contenidas en un entorno coordenado. Su demostración se basa en la versión local y se lleva a cabo gracias a una serie de hechos topológicos cuya prueba omitiremos por exceder las pretensiones de este libro. Un esquema de la prueba para la versión global del teorema de Gauss-Bonnet puede ser el siguiente: dada una región arbitraria, siempre podemos dividirla en regiones más sencillas (concretamente, triángulos) de suerte que estas nuevas regiones se encuentren en las condiciones de la versión local ya demostrada previamente. A continuación, aplicamos la versión local a cada uno de dichos triángulos, sumamos y obtenemos que: Las integrales 2-dimensionales de la curvatura de Gauss sobre cada uno de los triángulos se suman sin más, lo que determina la integral de la curvatura de Gauss sobre la región global. Análogamente, se suman las integrales 1-dimensionales de las curvaturas geodésicas sobre los lados de cada uno de los triángulos. En esta suma, los lados ((interiores)) se recorren dos veces con sentidos opuestos, y las integrales se anulan, por lo que u´ nicamente queda la integral 1-dimensional de la curvatura geodésica sobre la frontera de la región original. Finalmente, y mediante técnicas de conteo, se analiza la información disponible sobre los a´ ngulos en cada uno de los vértices de los triángulos, apareciendo un invariante topológico de gran importancia conocido como la caracter´ıstica de Euler-Poincaré. Pasamos ya a precisar los conceptos necesarios para esta demostración. Obsérvese antes de nada que, en una región R, cada uno de los pol´ıgonos curvados Γi que delimitan su frontera se puede parametrizar mediante una curva p.p.a., regular a trozos y positivamente orientada αi : [0, ì ] −→ Γi . -

q

6] Γ3 Jα1′

N 6 Γ2

?

α - 1

´ de una Figura 6.4: Una region superficie delimitada por tres

′

z

*

K

Γ1

pol´ıgonos curvados.

Esta parametrización positiva significa de nuevo, geométricamente, que el vector debe ((apuntar)) hacia el interior de la región (véase la figura 6.4). Obsérvese que, en tal caso, los pol´ıgonos ((de dentro)) siempre están orientados en sentido contrario a los ((de fuera)). Jαi0 (s)

231


6.2.1.

Triangulaciones. La caracter´ıstica de Euler-Poincare´

Definición 6.2.1. Dado un pol´ıgono curvado parametrizado por una curva (p.p.a.) α , con vértices α (s0 ), . . . , α (sk ), llamaremos aristas del pol´ıgono a cada uno de los trozos del mismo en los que α es regular, esto es, αi := α |[si−1 ,si ] , para i = 1, . . . , k. Definición 6.2.2. i) Un triángulo en una superficie regular S es una región simple R ⊂ S tal que bd R es un pol´ıgono curvado con tres vértices. ii) Sea R una región de S. Una triangulación T = {τ1 , . . . , τn } de R es una colección finita de triángulos τi verificando las siguientes condiciones: ii.a) cl R =

Sn

i=1 cl τi ;

/ o bien cl τi ∩ cl τ j es una arista ii.b) si i 6= j, entonces, o bien cl τi ∩ cl τ j = 0, común (completa), o bien cl τi ∩ cl τ j es un vértice común. iii) Dada una triangulación T de una región R, se denominan caras de T a cada uno de los triángulos τi que la componen. iv) Dada una triangulación T de una región R, se define la caracter´ıstica de Euler-Poincaré como χ (R, T) = C − A +V, donde C, A y V representan, respectivamente, el número de caras, aristas y vértices de la triangulación. Ejemplo 6.3. La familia de triángulos que cubre la región de la izquierda en la figura 6.5 no es una triangulación, pues una arista de uno de los triángulos es sólo parte de la arista de otro que es adyacente.

Figura 6.5: La familia ´ de triangulos de la izquierda no ´ s´ı lo es es una triangulacion; la familia de la derecha.

En la figura de la derecha s´ı tenemos una triangulación T de R. Su caracter´ıstica de ♦ Euler-Poincaré es χ (R, T) = 0, pues C(T) = 10, A(T) = 20 y V (T) = 10. A continuación, enumeramos una serie de resultados de Topolog´ıa de Superficies que nos serán de gran utilidad, aunque no demostraremos por salirse fuera de las ´ pretensiones de este libro. Estos pueden consultarse, por ejemplo, en [30]. Toda región de una superficie S admite una triangulación (véase también [1]). La caracter´ıstica de Euler-Poincaré de una región R no depende de la triangulación elegida, luego escribiremos χ (R) en lugar de χ (R, T); más aún, se tiene que es un invariante topológico. Podemos afirmar por tanto que dos regiones R y R0 son homeomorfas si, y sólo si, χ (R) = χ (R0 ) (véase también [25]). 232


Si S es una superficie regular orientada, siempre es posible7 cubrir S con una familia de parametrizaciones ortogonales (Ui , Xi ), compatibles con la orientación de S. Más aún, si R es una región de S, existe una triangulación T de R tal que cada τ ∈ T está contenido en algún entorno coordenado Xi (Ui ). Al orientar los triángulos de una triangulación positivamente, cada par de triángulos adyacentes determinan orientaciones opuestas en la arista común. Vamos a representar por Aext y Aint , respectivamente, el número de aristas exteriores (es decir, aristas que pertenecen a la frontera de la región R) e interiores (aristas que no componen la frontera bd R) de una triangulación T. El siguiente resultado puede probarse fácilmente por inducción sobre el número de caras de T, y será de gran utilidad en la demostración del teorema de Gauss-Bonnet. Lema 6.2.3. Sea R una región sobre la que se efectúa una triangulación T. Entonces se verifica que 3C = 2Aint + Aext . Demostración. Desde luego, si C = 1, entonces Aext = 3 y Aint = 0. Luego la fórmula se verifica trivialmente. Supongamos entonces que el resultado es cierto para C triángulos: 3C = 2Aint + Aext . Si añadimos un nuevo triángulo a T, obtenemos una nueva triangulación T0 en la que el número de caras es siempre C0 = C + 1, pudiendo aparecer tres posibilidades, que se muestran en la figura 6.6:

Figura 6.6: Distintas ˜ posibilidades al anadir un

Caso (i)

´ ´ triangulo en una triangulacion.

Caso (ii.a)

Caso (ii.b)

Caso (iii)

i) El nuevo triángulo comparte una arista. En tal caso, la arista común pasa a ser una arista interior de la nueva triangulación, por lo que A0int = Aint + 1 y A0ext = Aext − 1 + 2 = Aext + 1 (véase la figura 6.6, caso (i)). Un rápido cálculo permite comprobar que la fórmula también se verifica. ii) El nuevo triángulo comparte dos aristas. Esto puede suceder de dos formas distintas, representadas en los casos (ii.a) y (ii.b) de la figura 6.6: ii.a) o bien 2 aristas externas pasan a ser internas, en cuyo caso se tiene que A0int = Aint + 2 y A0ext = Aext − 2 + 1 = Aext − 1, ii.b) o bien uno de los triángulos originales se divide en dos por una nueva arista, siendo entonces A0int = Aint + 1 y A0ext = Aext + 1. Un rápido cálculo permite comprobar que la fórmula 3C0 = 2A0int + A0ext se verifica en ambos casos. 7

Una prueba de este resultado excede las pretensiones de este texto, aunque puede consultarse en [7]. De hecho, lo que se demuestra en esta referencia es incluso más fuerte: podemos cubrir una ´ superficie con parametrizaciones ortogonales (F = 0) para las que además E = F. Estas son las llamadas parametrizaciones isotermas, que ya aparecieron en el contexto de las superficies minimales.

233


iii) El nuevo triángulo comparte tres aristas. Para ello, la u´ nica posibilidad es que pueda añadirse un triángulo que formaba parte de la frontera (interior) de la región, como se muestra en la figura 6.6, caso (iii). En tal caso, las tres aristas externas se convierten en internas, por lo que A0int = Aint + 3 y A0ext = Aext − 3. La fórmula también se verifica.

Figura 6.7: El 2-toro T2 #T2 .

Obsérvese por otro lado que, si S es una superficie regular compacta, entonces S puede verse como una región en s´ı misma (con frontera vac´ıa), y por tanto, podemos calcular su caracter´ıstica de Euler-Poincaré. No es dif´ıcil comprobar que, por ejemplo, la caracter´ıstica de Euler-Poincaré de la esfera es χ (S2 ) = 2 (tomando tan sólo tres puntos de la esfera que no estén situados sobre una circunferencia máxima, tendremos 2 caras –triángulos, 3 aristas y 3 vértices); la caracter´ıstica del toro es χ (T2 ) = 0, la del 2-toro, véase la figura 6.7, χ (T2 #T2 ) = −2, la del 3-toro χ (T2 #T2 #T2 ) = −4, y as´ı sucesivamente. En general, se tiene el siguiente resultado de clasificación de superficies compactas (véase, por ejemplo, [25]): Teorema 6.2.4. Sea S una superficie regular, conexa, orientable y compacta. Entonces, su caracter´ıstica de Euler-Poincaré χ (S) toma uno de los siguientes valores: 2, 0, −2, −4, . . . , −2n, . . . En definitiva, como sabemos que dos superficies regulares compactas S y S0 son homeomorfas si, y sólo si, χ (S) = χ (S0 ), podemos asegurar que todas las superficies regulares compactas son homeomorfas, o bien a la esfera, o al toro, o al 2-toro, o al 3-toro..., dependiendo de que su caracter´ıstica de Euler-Poincaré sea 2, 0, −2, −4, . . . 6.2.2.

´ global) El teorema de Gauss-Bonnet (version

Teorema 6.2.5 (de Gauss-Bonnet (versión global)). Sea R ⊂ S una región de una superficie regular y orientada S, y sean Γ1 , . . . , Γn los pol´ıgonos curvados que determinan su frontera. Supongamos que cada Γi está positivamente orientado, y sea {ε1 , . . . , ε p } el conjunto de los a´ ngulos externos de las curvas Γi . Entonces, Z R

n

K dA + ∑

Z

p

i=1 Γi

kg ds + ∑ ε j = 2π χ (R). j=1

(6.9)

Demostración. Sea T = {τ1 , . . . , τC } una triangulación de R tal que cada triángulo τi está contenido en algún entorno coordenado de una familia de parametrizaciones orS togonales, positivamente orientadas. Entonces, cl R = Ci=1 cl τi . Cada τi es una región simple con tres vértices, cuyos a´ ngulos externos denotaremos por {ε ij : j = 1, 2, 3}. El teorema de Gauss-Bonnet en su versión local (teorema 6.1.9) asegura entonces que Z

Z τi

234

K dA +

bd τi

3

kg ds + ∑ ε ij = 2π , j=1


para cada τi , i = 1, . . . ,C, y sumando en i, se tiene que Ã Z Z C

∑

i=1 τi

C

C

K dA + ∑

i=1 bd τi

Claramente, por ser cl R =

SC

i=1 cl τi , C

∑

kg ds + ∑

∑

i=1

j=1

!

ε ij

= 2π C.

(6.10)

el primer sumatorio vale Z

Z

i=1 τi

3

K dA =

R

K dA.

(6.11)

Estudiemos los dos sumandos restantes de la relación (6.10). Si representamos por {Aij : j = 1, 2, 3} las aristas del triángulo τi , podemos agruparlas en dos familias, según pertenezcan o no a la frontera de la región R (esto es, dependiendo de que sean aristas exteriores o interiores, véase la figura 6.8). Entonces, C

∑

Z

C

i=1 bd τi

3

kg ds = ∑ ∑

Z

i i=1 j=1 A j

kg ds =

Aij

∑

i exterior A j

kg ds +

Aij

Z

∑

i interior A j

kg ds.

Γ2

Γ3

Γ1

A

Figura 6.8: Tipos de aristas y

Z

B

´ ´ vertices en una triangulacion.

Ahora bien, obsérvese que todas las aristas interiores aparecen duplicadas en el sumatorio anterior, pues cada una de ellas pertenece a dos triángulos. Sabemos que, en una arista común a dos triángulos adyacentes, las orientaciones son opuestas, por lo que las curvaturas geodésicas correspondientes tienen igual valor pero signos contrarios; en definitiva, el segundo sumando se anula. Por tanto, C

∑

Z

i=1 bd τi

kg ds =

∑

Z

i Aij exterior A j

n

kg ds = ∑

Z

i=1 Γi

Z

kg ds =:

bd R

kg ds.

(6.12)

Estudiemos finalmente el u´ ltimo sumando de (6.10), el correspondiente a los a´ ngulos externos, que vamos a agrupar también en dos familias. En primer lugar, representamos por φ ji = π − ε ij el a´ ngulo suplementario de ε ij , y distinguimos dos tipos, dependiendo de que el a´ ngulo corresponda a un vértice externo (es decir, aquel situado sobre la frontera de R) o a un vértice interno (situado en el interior de R). As´ı pues, Ã ! C

3

C

3

C

3

∑ ∑ ε ij = ∑ ∑ (π − φ ji ) = 3πC − ∑ ∑ φ ji = 3πC −

i=1 j=1

i=1 j=1

i=1 j=1

∑

vért. int.

φ ji +

∑

vért. ext.

φ ji .

Además, los vértices externos pueden ser a su vez de dos tipos, que denominaremos de tipo A y de tipo B, respectivamente, según sean vértices originales del pol´ıgono 235


curvado que delimita R, o se hayan añadido en la frontera al efectuar la triangulación (véase la figura 6.8). Vamos a representar por Vint , VextA y VextB el número de vértices internos, externos de tipo A y externos de tipo B, respectivamente. Obsérvese que, en un vértice interno, la suma de los a´ ngulos que se apoyan en e´ l es siempre 2π ; en un vértice externo de tipo B, los a´ ngulos sumarán π ; finalmente, en un vértice externo de tipo A, la suma de los a´ ngulos será, precisamente, el suplementario φk del a´ ngulo externo εk correspondiente al susodicho vértice del pol´ıgono original (véase de nuevo la figura 6.8). As´ı,

∑

∑

φ ji + φ ji vért. ext. vért. int.

=

∑

vért. int.

φ ji +

∑

tipo B

φ ji +

∑

tipo A

φ ji

= 2π Vint + π VextB +

VextA

∑ (π − εk ).

k=1

Finalmente, usando la identidad obvia Aext = Vext , la relación 3C = 2Aint + Aext demostrada en el lema 6.2.3 y operando de forma adecuada, podemos concluir que # " V C

3

∑ ∑ ε ij = 3πC − 2πVint + πVextB + πVextA −

i=1 j=1

extA

∑ εk

k=1

= π (2Aint + Aext ) − 2π Vint − π VextB − π VextA − π Aext + π Aext + VextA

VextA

∑ εk

k=1

VextA

= 2π (Aint + Aext ) − 2π Vint − π Vext − π Vext + ∑ εk = 2π A − 2π V + ∑ εk . (6.13) k=1

k=1

Sustituyendo (6.11), (6.12) y (6.13) en (6.10), se obtiene la fórmula buscada (con VextA = p en el enunciado del teorema): Z R

Z

KdA+

bdR

VextA

VextA

k=1

k=1

kg ds = 2π C−∑ ε ij = 2π C−2π A+2π V − ∑ εk = 2π χ (R)− ∑ εk . i, j

Como un corolario inmediato de este resultado se obtiene el teorema de GaussBonnet en su versión local, pues al ser R una región simple, χ (R) = 1. Para concluir esta sección, vamos a ver en un ejemplo detallado cómo aplicar el teorema de Gauss-Bonnet a una cierta región de una superficie regular. Ejemplo 6.4. Sea S una superficie regular orientada con curvatura de Gauss constante K > 0. Vamos a probar que se verifica el teorema global de Gauss-Bonnet para la región R (simple) de S limitada por dos circunferencias geodésicas concéntricas de radios r0 < r1 y dos radios geodésicos correspondientes a los a´ ngulos θ0 < θ1 (véase la figura 6.9). Si representamos por X la parametrización dada por las coordenadas geodési¢ ¡ cas polares (véase el apartado 5.3.3), nuestra región es R = X (r0 , r1 ) × (θ0 , θ1 ) . Además, como K > 0 es constante, los coeficientes de la primera forma fundamen¡√ ¢ tal de X son E = 1, F = 0 y G = (1/K) sen2 Kr (ejemplo 5.11), y consideramos la orientación inducida por la base {Xr , Xθ }. Ahora parametrizamos cada uno de los segmentos (regulares) Γi , i = 1, . . . , 4, del pol´ıgono curvado que determina la frontera 236


de R mediante una curva αi p.p.a., regular y positivamente orientada: ya sabemos que esto significa que el vector Jαi0 (s) debe ((apuntar)) hacia el interior de R, y para ello no tenemos más que orientar el rectángulo X −1 (R) positivamente (pues la parametrización X conserva la orientación, véase la figura 6.9). N

θ

Γ3

p

θ0

X

X −1 (Γ3 )

θ1

X −1 (Γ4 ) ? X −1 (R) -

6X −1 (Γ2 )

r0

del teorema de Gauss-Bonnet.

i

s

z

R

Γ1

Γ2

θ ≡ θ1

r ≡ r0

X −1 (Γ1 )

´ Figura 6.9: Una aplicacion

Γ4

r1

r ≡ r1

r

θ ≡ θ0

As´ı, podemos tomar como parametrizaciones de los arcos de circunferencia geodésica Γ2 y Γ4 , respectivamente,

α2 : [θ0 , θ1 ] −→ Γ2

α4 : [−θ1 , −θ0 ] −→ Γ4

α2 (θ ) = X(r1 , θ ), α4 (θ ) = X(r0 , −θ ), ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 siendo entonces ¯α2 (θ )¯ = ¯Xθ ¯ (r1 , θ ) y ¯α4 (θ )¯ = ¯Xθ ¯ (r0 , −θ ). Representamos por kgi la curvatura geodésica de αi , i = 1, . . . , 4. Como los radios geodésicos son geodésicas, kg1 , kg3 ≡ 0; por otro lado, con un cálculo análogo al realizado en el ejercicio 5.25 obtenemos que la curvatura geodésica de las circunferencias geodésicas α2 , α4 es kg2 (θ ) = Gr /(2G) y kg4 (θ ) = −Gr /(2G), respectivamente (no depende de θ ). Obsérvese también que los radios geodésicos y las circunferencias geodésicas se cortan ortogonalmente (lema de Gauss 5.3.8), y por la orientación elegida, εi = π /2 para i = 1, . . . , 4. As´ı, Z R

Z

K dA +

4

bd R

Z θ1 Z r1

kg ds + ∑ εi i=1

Z −θ0 ¯ ¯ Gr ¯¯ 0 Gr ¯¯ 0 ¯ α2 (θ ) d θ − α4 (θ )¯ d θ + 2π = θ0 r0 θ0 2G −θ1 2G Z θ1 Z r1 √ Z Z −θ0 θ 1 ¡√ ¡√ ¡√ ¢ ¢ ¢ cos Kr1 d θ − cos Kr0 d θ + 2π = K sen Kr drd θ + θ0

Z p 2 K EG − F drd θ +

r0

θ1

θ0

−θ1

= 2π = 2π χ (R). 6.3.

♦

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE GAUSS-BONNET

Veamos algunas consecuencias inmediatas del teorema de Gauss-Bonnet que ilustran la estrecha interrelación entre la topolog´ıa y la geometr´ıa de una superficie. Consecuencia 1. Si S es una superficie regular compacta, entonces S es una región en s´ı misma cuya frontera es vac´ıa. En tal caso, los sumandos de la relación (6.9) que 237


se evalúan en la frontera se anulan: Z bd R

kg ds = 0

y

p

∑ ε j = 0.

j=1

En consecuencia, se obtiene la fórmula Z S

K dA = 2π χ (S).

(6.14)

As´ı por ejemplo, si S es una superficie regular homeomorfa a la esfera, su curvatura total es 4π . Esta afirmación resulta sorprendente: sea cual fuere la forma de una superficie, si e´ sta es homeomorfa a S2 , la integral de su curvatura de Gauss es 4π . Consecuencia 2. Si S es una superficie regular compacta, cuya curvatura de Gauss es estrictamente positiva, entonces podemos asegurar, gracias a la fórmula (6.14), que χ (S) > 0, lo que implica que S es homeomorfa a la esfera. Pero, desde luego, el rec´ıproco no es cierto. La superficie representada en la figura 6.10 es homeomorfa a la esfera, pero tiene puntos con curvatura de Gauss negativa. Figura 6.10: Una superficie homeomorfa a la esfera, con puntos donde K < 0.

Consecuencia 3. Sea S una superficie regular con curvatura de Gauss K ≤ 0, y sean γ1 , γ2 dos geodésicas de S con γ1 (0) = γ2 (0) = p ∈ S. Supongamos que γ1 y γ2 se cortan en otro punto, digamos γ1 (`) = γ2 (`) = q, con q 6= p. Entonces, la región R que determinan ambas curvas no puede ser una región simple. Veámoslo. Supongamos para ello que R es simple, y sean ε1 , ε2 los a´ ngulos externos de R en los vértices p, q, respectivamente. Como la frontera de R está formada por geodésicas, la curvatura geodésica se anula, y el teorema de Gauss-Bonnet asegura que Z R

K dA + ε1 + ε2 = 2π .

En consecuencia, 2π − ε1 − ε2 ≤ 0 (al ser K ≤ 0). Obsérvese además que las geodésicas γ1 , γ2 no pueden ser mutuamente tangentes, es decir, εi 6= π para i = 1, 2. En efecto, si, por ejemplo, ε2 = π , estar´ıamos diciendo que los vectores tangentes a ambas geodésicas en el punto q verifican γ10 (`) = −γ20 (`); efectuando un simple cambio de parámetro en una de ellas (t = −s), los vectores velocidad coincidir´ıan en dicho punto, y el teorema 5.2.2 de existencia y unicidad de geodésicas maximales nos asegurar´ıa entonces que γ1 ≡ γ2 en el dominio común, una contradicción. Por tanto, como ε1 , ε2 ∈ (−π , π ), se tiene que ε1 + ε2 < 2π , lo cual implica que 2π − ε1 − ε2 > 0, un absurdo. Luego R no es simple. Este resultado asegura además que en una superficie regular con curvatura de Gauss K ≤ 0 no existen geodésicas cerradas encerrando una región simple. Consecuencia 4. Cualesquiera dos geodésicas cerradas y simples, γ1 , γ2 , en una superficie regular compacta S, con curvatura de Gauss K > 0, se cortan. Para demostrarlo, supongamos que γ1 y γ2 no se cortan. Dado que la superficie es compacta con K > 0 y, por tanto, homeomorfa a la esfera (consecuencia 2), las 238


geodésicas γ1 y γ2 determinan en S una región R que es homeomorfa a una corona circular, siendo por tanto su caracter´ıstica de Euler-Poincaré χ (R) = 0. Además, no hay a´ ngulos, por lo que el teorema de Gauss-Bonnet nos asegura entonces que Z

0 = 2π χ (R) =

R

K dA > 0

(por ser K > 0), una contradicción. Consecuencia 5 (La indicatriz normal. Teorema de Jacobi). Sea α : [0, `] −→ R3 una curva regular, cerrada y p.p.a., con curvatura k(s) > 0. Consideremos la función n : I −−−−→ S2 s −−−−→ n(s) =

α 00 (s) , k(s)

dada por el vector normal a α . La curva n(s) as´ı definida sobre la esfera se denomina la indicatriz normal de α . Entonces, si n(s) es una curva simple, divide a S2 en dos regiones con igual a´ rea. Este resultado se conoce como el teorema de Jacobi (1842). Para calcular el a´ rea de cualquiera de las regiones delimitadas por n(s), vamos a utilizar el teorema de Gauss-Bonnet. Dado que la curva n(s) no tiene a´ ngulos, y que la curvatura de Gauss de la esfera unidad es constantemente igual a 1, Z

2π =

Z

R

K dA +

bd R

Z

kg ds =

R

Z

dA +

bd R

Z

kg ds = A(R) +

bd R

kg ds.

Por tanto, el problema se reduce a calcular la curvatura geodésica de la curva indicatriz normal. Como viene siendo habitual, representamos por t(s), b(s) los otros dos vectores que componen, junto con n(s), el triedro de Frenet de α , y por τ (s) su torsión. Entonces, usando las fórmulas de Frenet (1.13), es sencillo ver que n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s), N(s) ∧ n0 (s) = n(s) ∧ n0 (s) = k(s)b(s) − τ (s)t(s), ¢ ¡ n00 (s) = −k0 (s)t(s) − k(s)2 + τ (s)2 n(s) − τ 0 (s)b(s), y por tanto,

00 ® n (s), N(s) ∧ n0 (s) k0 (s)τ (s) − k(s)τ 0 (s) = ¡ kg (s) = ¯ ¯3 ¢3/2 . ¯n0 (s)¯ k(s)2 + τ (s)2

Dado que n(s) es una curva cerrada, podemos suponer sin pérdida de generalidad que n(0) = n(`). Entonces, tanto la curvatura k(s) como la torsión τ (s) toman iguales valores en 0 y `. Luego Z bd R

Z ` 0 ¯ ¯ k (s)τ (s) − k(s)τ 0 (s) ds kg (s) ¯n0 (s)¯ ds = k(s)2 + τ (s)2 0 0 ¸ ¸ · Z `· τ (s) 0 τ (s) ` ds = arc tg = 0. =− arc tg k(s) k(s) 0 0

kg ds =

Z `

En definitiva, el a´ rea de cualquiera de las dos regiones delimitadas por la indicatriz normal n(s) vale A(R) = 2π , como se quer´ıa demostrar. 239


Consecuencia 6 (El teorema de Gauss-Bonnet y la holonom´ıa: una nueva interpretación de la curvatura de Gauss). Sea S una superficie regular y considérese una parametrización X : U −→ X(U) = V de la misma con U ⊂ R2 homeomorfo a un disco. Suponemos V orientado y X, como parametrización de V , positivamente orientada. Sea α : [0, `] −→ V una curva regular p.p.a., cerrada y simple, tal que Jα 0 (s) apunta al interior de la región (simple) R determinada por α , para todo s ∈ [0, `] (es decir, α está positivamente orientada). Finalmente consideramos el referencial ortonorp © ª mal e1 (s) = Xu (s)/ E(s), e2 (s) = Je1 (s) , el cual permite expresar la velocidad de ¡ ¢ α como α 0 (s) = cos θα 0 (s)e1 (s) + sen θα 0 (s)e2 (s), donde θα 0 (s) = a´ ng e1 (s), α 0 (s) . Entonces, la fórmula (6.4) para V = α 0 nos asegura que ¢¡ ¢ ¡ Dα 0 (s) = θα0 0 (s) + ω (s) − sen θα 0 (s)e1 (s) + cos θα 0 (s)e2 (s) , ds ® con ω (s) = e01 (s), e2 (s) . Además, al ser Jα 0 (s) = cos θα 0 (s)e2 (s) − sen θα 0 (s)e1 (s), ® se tiene que kg (s) = (Dα 0 /ds)(s), Jα 0 (s) = θ 0 (s) + ω (s). Aplicando el teorema de Gauss-Bonnet obtenemos Z

2π =

R

Z

K dA +

Z

=

R

K dA +

Z

bd R

Z ` 0

kg ds =

R

K dA +

Z ` 0

θα0 0 (s) ds +

ω (s) ds + θα 0 (`) − θα 0 (0) =

Z `

Z R

0

ω (s) ds

K dA +

Z ` 0

ω (s) ds + 2π ,

donde la u´ ltima igualdad es consecuencia del teorema 6.1.5 de rotación de las tangentes. Por lo tanto, se tiene que Z R

K dA = −

Z ` 0

ω (s) ds = H0 (`);

la curvatura total de la región R coincide pues con la holonom´ıa a lo largo de la curva α que la determina. En particular, dado un campo (cualquiera) V ∈ X (α ) diferenciable, unitario y tangente a lo largo de α , que es paralelo, si representamos, como ya ¡ ¢ viene siendo habitual, por θV (s) = a´ ng e1 (s),V (s) , para todo s ∈ [0, `], entonces la curvatura total de la región R es Z R

K dA = H0 (`) = θV (`) − θV (0).

Esto nos va a permitir dar una nueva interpretación de la curvatura de Gauss. Sean p ∈ V y q ∈ U tales que p = X(q). Tomando como región R = Vε = X(Bε ) y como curva α : [0, `] → V una parametrización de su frontera, donde Bε es el disco plano © ª Bε = q0 ∈ R2 : |q0 − q| < ε ⊂ U, el teorema del valor medio nos permite concluir que existe un pε ∈ Vε tal que Z

K dA K(pε )A(Vε ) θV (`) − θV (0) Vε = l´ım = l´ım = K(p). l´ım ε →0 ε →0 A(Vε ) ε →0 A(Vε ) A(Vε ) Obsérvese que en cualquier superficie con curvatura de Gauss K = 0, el transporte paralelo a lo largo de una curva cerrada es la identidad, pues θV (`) − θV (0) = 0. 240


6.3.1.

´ a la Geometr´ıa clasica ´ Una aplicacion

El famoso teorema de Thales establece que si φ1 , φ2 , φ3 son los a´ ngulos interiores de un triángulo en el plano eucl´ıdeo, entonces φ1 + φ2 + φ3 = π . Este resultado puede obtenerse como una sencilla consecuencia del teorema de Gauss-Bonnet: en el plano eucl´ıdeo, superficie con curvatura de Gauss K = 0, las rectas son geodésicas, por lo que el teorema de Gauss-Bonnet se reduce a 3

3

i=1

i=1

2π = ∑ εi = ∑ (π − φi ) = 3π − (φ1 + φ2 + φ3 ),

φ1

φ3

φ2

φ1 Figura 6.11: El teorema de Thales y el 5o postulado de Euclides.

lo que demuestra el resultado. La demostración clásica del teorema de Thales utiliza uno de los principales axiomas de la Geometr´ıa Eucl´ıdea: el quinto postulado de Euclides; e´ ste afirma que, dados una recta en el plano eucl´ıdeo y un punto exterior a ella, existe una u´ nica recta que pasa por dicho punto sin cortar a la primera (se dice que esta recta es φ2 su paralela por ese punto). De esta afirmación se deduce, de forma inmediata, que φ1 + φ2 + φ3 = π (véase la figura 6.11). Luego el quinto postulado de Euclides implica el teorema de Thales, y por tanto, si se trabaja en una geometr´ıa donde no se cumpla el teorema de Thales y se tienen como axiomas el resto de postulados de Euclides, el quinto no se verificará, entendido e´ ste de la siguiente forma general: dada una geodésica y un punto exterior a ella, existe una u´ nica geodésica que pasa por dicho punto y que no corta a la primera (su paralela). Esto hace razonable el considerar las llamadas Geometr´ıas no Eucl´ıdeas, donde la Geometr´ıa Esférica y la Hiperbólica son sus ejemplos más representativos. Ejemplo 6.5 (La Geometr´ıa Esférica). Un triángulo esférico es un pol´ıgono curvado en la esfera formado por tres arcos de geodésica (circunferencias máximas). ε3 φ3 T

φ1 ε1

´ Figura 6.12: El area de un

φ2

ε2

q

?

´ ´ triangulo esferico.

Calculemos la suma de los a´ ngulos (internos) de un triángulo esférico T utilizando el teorema de Gauss-Bonnet (véase la figura 6.12): Z

2π =

T

3

3

3

i=1

i=1

i=1

1 dA + ∑ εi = A(T ) + ∑ (π − φi ) = A(T ) + 3π − ∑ φi ;

luego

φ1 + φ2 + φ3 = π + A(T ). 241

(6.15)


En general, trabajando en la esfera de radio r, S2 (r), el resultado que se obtiene es φ1 + φ2 + φ3 = π + (1/r2 )A(T ), es decir,

φ1 + φ2 + φ3 = π + KA(T ). As´ı, en la esfera, la suma de los a´ ngulos internos de un triángulo (esférico) es estrictamente mayor que π , y ese exceso es (proporcional a) el a´ rea del triángulo8 (siendo el factor de proporcionalidad, precisamente, la curvatura de Gauss de la esfera). Esto demuestra que, en la esfera, el teorema de Thales no se verifica. Por tanto, el quinto postulado de Euclides no es cierto en S2 ; en efecto, dada una circunferencia máxima (geodésica) en la esfera y un punto cualquiera exterior a ella, todas las circunferencias máximas que pasan por dicho punto cortan a la primera. As´ı pues, no existen ((paralelas)) en la Geometr´ıa Esférica. ♦ Ejemplo 6.6 (La Geometr´ıa Hiperbólica). Un triángulo hiperbólico es un pol´ıgono curvado en el plano hiperbólico H2 formado por arcos de geodésica. Existen varias representaciones del plano hiperbólico,9 siendo una de las más usuales el llamado semiplano de Poincaré, que no es otra cosa que un semiplano en el que las distancias están ((distorsionadas)) de suerte que su curvatura de Gauss es constante con K < 0. En esta superficie (abstracta), las geodésicas resultan ser rectas ortogonales a la l´ınea base que delimita el semiplano y semicircunferencias que cortan ortogonalmente a la misma (véase la figura 6.13). Consideremos entonces un triángulo hiperbólico T en el plano hiperbólico H2 de curvatura K = −1 (véase la figura 6.13), y calculemos la suma de sus a´ ngulos (internos) utilizando el teorema de Gauss-Bonnet: Z

2π =

T

3

3

3

i=1

i=1

i=1

(−1) dA + ∑ εi = −A(T ) + ∑ (π − φi ) = −A(T ) + 3π − ∑ φi ;

luego en este caso,

φ1 + φ2 + φ3 = π − A(T ). 8

(6.16)

Este teorema era ya bien conocido por los griegos, que presentaron una demostración utilizando a´ ngulos triedros. El teorema de Gauss-Bonnet y, más concretamente, la primera versión dada por Gauss, generalizaba este resultado clásico. 9 El plano hiperb´ olico es, esencialmente, la u´ nica superficie cuya curvatura de Gauss es constante y negativa. En el espacio eucl´ıdeo, la u´ nica superficie que cumple esta condición es la pseudoesfera (véanse los ejercicios 2.10 y 3.3). Ahora bien, esta realización del plano hiperbólico adolece de un defecto: tiene un borde (circular) y sus geodésicas no se pueden prolongar de manera indefinida porque ((tropiezan)) con el borde (es ((incompleta)) como veremos más tarde). Esta propiedad ((deseable)) (que las geodésicas puedan prolongarse sin problemas) s´ı la tienen el plano y la esfera como modelos de curvatura constante, por lo que durante mucho tiempo se buscó un modelo de superficie regular con curvatura de Gauss constante y negativa, que además permitiera prolongar sus geodésicas de forma indefinida. Finalmente, Hilbert demostró que esto es imposible dentro del espacio eucl´ıdeo: los modelos ((completos)) para la Geometr´ıa Hiperbólica deb´ıan construirse de forma abstracta, sin necesidad de ((ver)) la superficie dentro del espacio eucl´ıdeo usual. Este ((inconveniente)) retrasó aún más, si cabe, la implantación de las geometr´ıas no eucl´ıdeas como geometr´ıas consistentes.

242


T ´ Figura 6.13: El area de un ´ ´ triangulo hiperbolico.

En general, si trabajamos en un plano hiperbólico de curvatura constante K < 0, se tiene que φ1 + φ2 + φ3 = π + KA(T ). As´ı pues, en el hiperbólico, la suma de los a´ ngulos internos de un triángulo (hiperbólico) es estrictamente menor que π , y ese defecto es (proporcional a) el a´ rea del triángulo (de nuevo, el factor de proporcionalidad viene dado por la curvatura de Gauss). Esto demuestra que, en el plano hiperbólico, el teorema de Thales tampoco se verifica, lo cual implica que el quinto postulado de Euclides no es válido en H2 ; en efecto, dada una geodésica en el hiperbólico y un punto exterior a ella, existen infinitas geodésicas (existen infinitas ((paralelas))) que pasan por dicho punto y que no cortan a la primera (véase la figura 6.13), lo que contradice ahora la unicidad del postulado. ♦

243


EJERCICIOS Ejercicio 6.1. Sea α : I −→ S una curva regular en una superficie regular y orientada ª © ª © S, y sean e1 (s), e2 (s) y e1 (s), e2 (s) referenciales ortonormales positivos sobre α . 0 ® ® Consideremos las funciones ω (s) = e1 (s), e2 (s) y ω (s) = e01 (s), e2 (s) . Demos¡ ¢ trar que ω (s) = ω (s) + λ 0 (s), donde λ (s) = a´ ng e1 (s), e1 (s) es una determinación continua del a´ ngulo que forman los vectores e1 (s) y e1 (s). Deducir que, a lo largo de una curva cerrada, la holonom´ıa no depende del referencial escogido. Ejercicio 6.2. ¿Dónde está el error en el siguiente razonamiento?: Consideremos, en la esfera unitaria, las dos regiones R1 y R2 determinadas por un paralelo distinto del ecuador (dos casquetes esféricos). Si aplicamos el teorema de Gauss-Bonnet a ambas regiones obtenemos: Z

Z

A(R1 ) +

bd R1

kg ds = 2π

y

A(R2 ) +

bd R2

kg ds = 2π .

Como la curva que delimita ambas regiones,Z el paralelo de la esfera, es la misma, es Z decir, bd R1 = bd R2 , entonces

bd R1

kg ds =

bd R2

kg ds; por tanto, A(R1 ) = A(R2 ). De

aqu´ı se deduce que cualquier paralelo de una esfera divide a e´ sta en dos regiones que tienen la misma a´ rea. Ejercicio 6.3. Sea S una superficie regular, orientable y compacta, que no es homeomorfa a una esfera. Demostrar que existen puntos en S en los que la curvatura de Gauss es positiva, negativa y nula. Ejercicio 6.4. Considérese la parametrización de la esfera dada por las coordenadas geográficas, X(u, v) = (r sen u cos v, r sen u sen v, r cos u). Comprobar que se verifica el teorema de Gauss-Bonnet para la región R limitada por los meridianos de longitudes v = 0 y v = π /4, y un paralelo genérico de colatitud u = u0 . Ejercicio 6.5. Comprobar el teorema de Gauss-Bonnet para la región del toro limitada por los paralelos superior y máximo y los meridianos v = 0, v = π /2, considerando ¡ ¢ la parametrización X(u, v) = (a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u . Ejercicio 6.6. Comprobar que se verifica el teorema de Gauss-Bonnet para la región del cono X(u, v) = (u cos v, u sen v, u) delimitada por el paralelo u = 1. Ejercicio 6.7 (Pol´ıgonos geodésicos). Sea P ⊂ S2 (r) un pol´ıgono geodésico (esto es, las curvas que lo forman son trozos de geodésica) en la esfera con n lados. Si φi son sus a´ ngulos interiores, demostrar que ´ ³n A(P) = r2 ∑ φi − (n − 2)π . i=1

Ejercicio 6.8. Sean α una curva regular, cerrada y simple de una superficie regular S y R ⊂ S la región que e´ sta determina. Sea p ∈ S tal que R ⊂ expp (D p ) y expp es una Z isometr´ıa local. Justificar que 244

bd R

kg ds es constante.


Ejercicio 6.9. Demostrar que la curvatura total del toro de revolución T2 es 0. Ejercicio 6.10. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. no plana. Para cada s ∈ I considérese la recta que pasa por α (s) con dirección su vector binormal, b(s). Representamos por S el subconjunto de R3 obtenido como la unión de todas estas rectas, y suponemos α tal que S es una superficie regular. Una parametrización obvia para dicha superficie viene dada por X(t, s) = α (s) + tb(s), (t, s) ∈ R × I. i) Calcular las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas. ii) Supóngase que α tiene torsión constante, y considérese la región simple R determinada por las curvas coordenadas correspondientes a los valores s = 0, Z s = s0 , t = 0 y t = t0 , para t0 , s0 > 0. Calcular

R

K dA.

Ejercicio 6.11 (Superficies tangentes). Sea S una superficie regular y sea α una curva p.p.a. contenida en S, con curvatura k 6= 0 en todo punto. Supongamos que X(s, v) = α (s) + vα 0 (s) es una parametrización de S, con (s, v) ∈ R × (0, ∞). Este tipo de superficie recibe el nombre de superficie tangente. i) Calcular su curvatura de Gauss. ii) Sea α (s) = (cos s, sen s, 1). ¿Cuál es, en este caso, la superficie S? Comprobar que se verifica el teorema de Gauss-Bonnet para la región de S determinada por las curvas coordenadas v = v0 y v = v1 , con 0 < v0 < v1 . Ejercicio 6.12. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Considérese el tubo regular (véase el ejercicio 2.11) £ ¤ X(s, θ ) = α (s) + r cos θ n(s) + sen θ b(s) , donde r > 0 es un valor constante adecuado para que 1 − rk(s) cos θ > 0. i) Determinar la matriz del operador forma y su curvatura de Gauss. Calcular la curvatura geodésica de las curvas coordenadas s = s0 . Si α : I −→ R2 es una curva plana, ¿son geodésicas las curvas coordenadas θ = θ0 ? ii) Comprobar que se verifica el teorema de Gauss-Bonnet para la región R comprendida entre las curvas coordenadas s = 0 y s = s0 , con s0 > 0. Ejercicio 6.13. Sea γ una geodésica cerrada y simple en una superficie regular S compacta, conexa y orientada, con K 6= 0 en todo punto. Sean R1 , R2 las regiones de ¡ ¢ ¡ ¢ S que tienen a γ como frontera común. Demostrar que A N(R1 ) = A N(R2 ) . Ejercicio 6.14. Sea S una superficie regular y orientada, con K < 0, que es homeomorfa a un cilindro. Demostrar que, a lo sumo, existe una u´ nica geodésica simple y cerrada en S. Ejercicio 6.15. Si α1 y α2 son dos semic´ırculos máximos en la esfera unidad, que se cortan formando un a´ ngulo (interior) de θ radianes, demostrar que el a´ rea de la región que determinan vale, precisamente, 2θ . 245


© ª Ejercicio 6.16. Sea C el cilindro circular recto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 ¡ ¢ y considérese la curva regular α : [0, 2π ] −→ C dada por α (t) = cost, sent, z(t) , donde z(t) es una función diferenciable 2π -periódica arbitraria. Demostrar que su Z curvatura geodésica verifica

α

kg ds = 0.

Ejercicio 6.17. Sea R la región (simple) en la esfera S2 determinada por tres segmentos de loxodroma que se cortan y que no pasan por los polos. Demostrar que el a´ rea de dicha región vale ¯Z ¯ ¯ ¯ A(R) = ¯¯ kg ds¯¯ . bd R

246

VII

Geometr´ıa Diferencial global En este cap´ıtulo presentamos algunos resultados para superficies que reflejan los métodos y la forma habitual de trabajar en Geometr´ıa Diferencial de superficies a nivel global. Se llaman as´ı porque estos resultados relacionan propiedades locales de la superficie con otras de carácter global. La elección que hemos realizado de e´ stos ha sido arbitraria, pero pensamos que ilustran fielmente la potencia de estas técnicas en Geometr´ıa Diferencial. En la primera sección se plantea lo que se conoce como un problema variacional: dada una curva, consideramos una variación de e´ sta dada por curvas ((próximas)) en la superficie, y nos preguntamos cómo va cambiando la longitud de estas curvas vecinas. Formalmente, lo que estamos haciendo es estudiar el funcional longitud asociado a la variación de una curva. A continuación, obtenemos la primera derivada del citado funcional y se demuestra que la longitud de la curva de partida es un punto cr´ıtico (por tanto, un posible candidato a optimizarlo) si dicha curva es una geodésica. Una vez conocida la naturaleza de la curvas ((cr´ıticas)), nos centramos en el estudio de la segunda derivada. Aqu´ı es donde aparece con total naturalidad la geometr´ıa de la superficie, de modo que, según sea e´ sta, (la longitud de) una geodésica puede ser un máximo, un m´ınimo, o simplemente no se puede decir nada sobre ella en relación a la longitud de sus curvas próximas. La siguiente sección está dedicada al teorema de Hopf-Rinow y al estudio de las propiedades de una superficie como espacio métrico en el que hemos definido una ´ distancia natural. Este es un resultado en el que se relacionan propiedades métricas de la superficie y su geometr´ıa intr´ınseca en términos de geodésicas. En concreto, se demuestra que, en una superficie sin ((agujeros)) ni ((bordes)), siempre es posible prolongar las geodésicas de forma indefinida, y que esta cualidad geométrica es equivalente a la siguiente propiedad métrica: las sucesiones de Cauchy convergen. Un aspecto sorprendente de la demostración es que, si es posible prolongar las geodésicas indefinidamente desde un punto fijo, también lo es desde cualquier otro punto. La sección finaliza con la demostración del teorema de Bonnet, un resultado notable que relaciona una caracter´ıstica local (la curvatura de Gauss) con una propiedad global (si la superficie está acotada como espacio métrico). Para terminar el cap´ıtulo presentamos el teorema de rigidez de la esfera como uno de los puntos de partida de la moderna Geometr´ıa Diferencial del u´ ltimo siglo. Dicho teorema establece que la esfera es ((r´ıgida)), en el sentido de que no es posible deformarla si está fabricada con un material flexible e inelástico. Presentamos una prueba posterior al resultado en s´ı, que nos sirve para adentrarnos en teoremas más

247


generales, como el de Cohn-Vossen y el teorema para ovaloides de curvatura media constante de Liebmann. Finalmente, apuntamos algunas generalizaciones de los mismos, que han constituido desarrollos notables de la Geometr´ıa Diferencial en los u´ ltimos tiempos. 7.1.

´ ´ LAS FORMULAS DE VARIACION

En esta sección estudiamos lo que se conoce como un problema variacional, algo que no es una situación nueva en este texto puesto que, cuando presentamos las superficies minimales, e´ stas también pod´ıan caracterizarse como puntos cr´ıticos del funcional a´ rea con respecto a variaciones normales a la superficie. En este caso vamos a tomar una curva en una superficie, y consideraremos una variación de dicha curva. El problema natural que surge consiste en estudiar el funcional longitud asociado a la variación y analizar su comportamiento. Un primer paso consiste en calcular la primera derivada e identificar sus puntos cr´ıticos. As´ı, se demuestra que las geodésicas son los puntos cr´ıticos del funcional longitud con respecto a variaciones que dejan fijos los extremos de la curva.1 Observemos que esto es completamente natural, pues ya conocemos una propiedad esencial de las geodésicas: sabemos que, localmente, minimizan la longitud. Lo que estamos probando aqu´ı es que, a nivel global,2 y pese a no poder demostrarse (porque no es cierto) que minimizan la longitud, s´ı constituyen un punto cr´ıtico del citado funcional. El siguiente paso es calcular la derivada segunda del funcional longitud. Aparece entonces involucrada, como es natural, la curvatura de Gauss, pues observemos que la forma de la superficie influye decisivamente en que la variación suponga un aumento o un decremento de la longitud. Como las geodésicas son los puntos cr´ıticos del funcional, el estudio de la segunda derivada se efectúa exclusivamente para variaciones de una geodésica. Las fórmulas de variación (primera y segunda derivadas del funcional longitud) se usarán para demostrar el teorema de Hopf-Rinow, que veremos en la sección siguiente, as´ı como un resultado sorprendente, que también interrelaciona la geometr´ıa de la superficie con su estructura como espacio métrico: el teorema de Bonnet. Como hemos anticipado, el concepto central en esta sección es el siguiente. Definición 7.1.1. Sean α : [a, b] −→ S una curva regular a trozos en una superficie regular S y a = s0 < s1 < . . . < sk = b una partición de [a, b] tal que, para cada i = 1, . . . , k, αi := α |[si−1 ,si ] es una curva regular. Una variación de α es una aplicación continua φ : [a, b] × (−ε , ε ) −→ S, que es diferenciable en cada uno de los rectángulos [si−1 , si ] × (−ε , ε ), y tal que: i) φ (s, 0) = φ0 (s) = α (s), para todo s ∈ [a, b]; 1 2

248

Si no se fijan los extremos, el problema carece de interés. No sólo en relación con ((curvas vecinas)), sino respecto a todas las curvas que unen ambos puntos.

Geometr´ıa Diferencial global

ii) para todo t ∈ (−ε , ε ), αt = φ ( ·,t) : [a, b] −→ S es una curva parametrizada regular a trozos, llamada la curva de la variación. Además se dice que φ es una variación propia (o que tiene extremos fijos) cuando αt (a) = φ (a,t) = α (a) y αt (b) = φ (b,t) = α (b), para todo t ∈ (−ε , ε ). Obsérvese que una variación de una curva es lo análogo a pensar que la curva es como una cuerda que se mueve o que vibra en función del tiempo. Dada una variación φ de una curva α regular a trozos, en cada uno de los segmentos αi donde la curva es regular se pueden definir los campos de vectores tangentes (y diferenciables) (∂ φ /∂ t)(s,t) y (∂ φ /∂ s)(s,t). De hecho, ∂ φ /∂ t es siempre continua sobre el rectángulo completo [a, b] × (−ε , ε ): en efecto, por un lado, su valor a lo largo del segmento de recta {si } × (−ε , ε ) depende exclusivamente del valor de φ sobre dicho segmento, pues la derivada se calcula sólo con respecto a la variable t; por otro lado, es continua (de hecho, diferenciable) sobre cada uno de los (sub)rectángulos [si−1 , si ] × (−ε , ε ) y [si , si+1 ] × (−ε , ε ), lo cual implica que los l´ımites por la derecha e izquierda en s = si deben coincidir. Desde luego, (∂ φ /∂ s)(s,t) no tiene por qué ser continua en s = si . Esto permite definir lo que se conoce como el campo variacional de una variación. Definición 7.1.2. Sea φ una variación de una curva regular a trozos. Se define el campo variacional de φ como Z(s) = ∂∂φt (s, 0). Si consideramos la variación φ como una función de t, βs (t) = φ (s,t), el campo variacional Z(s) = βs0 (0) ∈ Tβs (0) S = Tα (s) S. Luego Z ∈ X (α ). Además es continuo en todo [a, b] y diferenciable en cada uno de los segmentos [si−1 , si ] donde la curva α es regular. Este campo proporciona información muy valiosa y resume bastante bien cómo var´ıan la curvas respecto a la curva inicial α . Si la variación es propia, Z(a) = 0 = Z(b), ya que φ (a,t), φ (b,t) son constantes en t. En el caso de que α sea una curva regular, esta situación, evidentemente, se corresponde al modelo de una cuerda que vibra y tiene los extremos ((atados)). En resumen, una variación φ de una curva α proporciona una familia uniparamétrica {αt }t∈(−ε ,ε ) de curvas en la superficie (regulares a trozos), y podemos calcular la longitud de e´ stas. As´ı, representamos por L(t) la siguiente función: ¯ ¯ k k Z si ¯ k Z si ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ∂ φ si 0 b ¯αt (s)¯ ds = ∑ ¯ (s,t)¯ ds. L(t) := La (αt ) = ∑ Lsi−1 αt |[si−1 ,si ] = ∑ ¯ ¯ i=1 i=1 si−1 i=1 si−1 ∂ s Obsérvese que, en la expresión anterior, en cada uno de los extremos si se está considerando la correspondiente derivada lateral, (αt )0− o´ (αt )0+ . La función L(t) mide la longitud de la curva αt en el intervalo [a, b]. 7.1.1.

´ ´ para la longitud de arco La primera formula de variacion

Una vez que hemos definido el funcional longitud de arco L(t), nos preguntamos cómo var´ıa e´ ste en la proximidad de la curva α , esto es, en las cercan´ıas de t = 0. 249


Una respuesta (parcial) viene dada en el siguiente resultado. Teorema 7.1.3 (Primera fórmula de variación). Sean α : [0, `] −→ S una curva regular a trozos p.p.a., φ una variación de α y Z su campo variacional. Entonces, ¿ À h ®i` k−1 ® Z` Dα 0 0 0 0 Z(s), L (0) = Z(s), α (s) − ∑ Z(si ), ∆i α − (7.1) (s) ds, ds 0 0 i=1 donde ∆i α 0 = α+0 (si ) − α−0 (si ). En particular, si la variación φ es propia, ¿ À k−1 ® Z` Dα 0 0 0 Z(s), L (0) = − ∑ Z(si ), ∆i α − (s) ds. ds 0 i=1 En (7.1), cuando hablamos de la derivada de α en los extremos de la curva, nos referimos desde luego a α 0 (0) = α+0 (0) y α 0 (`) = α−0 (`), mientras que con la integral del u´ ltimo término estamos representando una suma de integrales: À À Z `¿ k Z si ¿ Dα 0 Dα 0 Z(s), Z(s), (s) ds = ∑ (s) ds ds ds 0 i=1 si−1 (en si sólo existen las derivadas laterales de α ); lo escribimos as´ı por brevedad. Demostración. Consideremos el segmento de curva regular αi = α |[si−1 ,si ] . En este intervalo la función Li : (−ε , ε ) −→ R que da la longitud de las curvas αt |[si−1 ,si ] , ¯ ¯ À Z si ¿ ¯ ¢ Z si ¯ ∂ φ ¡ ∂ φ ∂ φ 1/2 si ¯ ¯ , (s,t) ds, Li (t) = Lsi−1 αt |[si−1 ,si ] = ¯ (s,t)¯ ds = s ∂s ∂s si−1 ∂ s i−1 es diferenciable. As´ı, podemos calcular su derivada: D 2 D 2 E E E D 2 ∂ φ ∂φ Z si ∂ φ , ∂ φ Z si ∂ φ , ∂ φ (s,t) Z si , ∂ s∂ t ∂ s ∂ s∂ t ∂ s ∂ s∂ t ∂ s ¯ ¯ ¯ (s,t) ds = ¯ ds. Li0 (t)= E1/2 (s,t) ds = D ¯ ¯ ¯αt0 (s)¯ ∂φ si−1 si−1 si−1 ∂ φ ∂ φ ¯ ¯ ∂s ∂s , ∂s Ahora bien, d ds

¿

∂φ ∂φ , ∂t ∂s

À

¿ (s,t) =

∂ 2φ ∂ φ , ∂ t∂ s ∂ s

À

¿

∂ φ ∂ 2φ (s,t) + , ∂ t ∂ s2

À (s,t),

de donde, utilizando que las segundas derivadas conmutan, se deduce que À ¿ À¸ · ¿ Z si d ∂φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ 1 0 ¯ ¯ , − , (s,t) ds. Li (t) = 0 ∂t ∂s ∂ t ∂ s2 si−1 ¯αt (s)¯ ds Sustituyendo en t = 0 (obsérvese que α00 (s) = α 0 (s), vector que es unitario ya que α está p.p.a.), ¸ Z si · ® ® d 0 00 0 Li (0) = Z(s), α (s) − Z(s), α (s) ds si−1 ds ® ® Z si ® 0 0 Z(s), α 00 (s) ds = Z(si ), α− (si ) − Z(si−1 ), α+ (si−1 ) − si−1

® ® = Z(si ), α−0 (si ) − Z(si−1 ), α+0 (si−1 ) − 250

Z si ¿ si−1

À Dα 0 Z(s), (s) ds, ds


® pues como Z es un campo tangente, entonces Z(s), α 00 (s)⊥ = 0. Finalmente, sumando en i y reagrupando convenientemente, obtenemos el resultado buscado: ¿ À k ® k ® k Z si Dα 0 0 0 0 Z(s), (s) ds L (0) = ∑ Z(si ), α− (si ) − ∑ Z(si−1 ), α+ (si−1 ) − ∑ ds i=1 i=1 si−1 i=1 ® k−1 ® ® k−1 ® = Z(`), α−0 (`) + ∑ Z(si ), α−0 (si ) − Z(0), α+0 (0) − ∑ Z(si ), α+0 (si ) k

−∑

Z si ¿

i=1 si−1

i=1

Z(s),

Dα 0 ds

À (s) ds

i=1

¿ À h ®i` k−1 ® Z` Dα 0 0 0 Z(s), (s) ds. = Z(s), α (s) − ∑ Z(si ), ∆i α − ds 0 0 i=1 La segunda afirmación es evidente. Observemos que, fijada una curva α , la magnitud de la variación es máxima cuando e´ sta tiene la misma dirección que la aceleración intr´ınseca y que su signo depende de si apunta en el mismo sentido, o no, que la aceleración. Por otro lado, cuando α es una geodésica, con independencia de la variación propia, siempre se verificará L0 (0) = 0, por lo que tendremos un punto cr´ıtico del funcional. El rec´ıproco de esta situación también se cumple; para demostrarlo necesitamos presentar el siguiente resultado. Proposición 7.1.4. Sean α : [0, `] −→ S una curva regular a trozos p.p.a. en una superficie regular S, y 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` una partición de [0, `] tal que α |[si−1 ,si ] es regular para cada i = 1, . . . , k. Sea Z un campo de vectores tangente a lo largo de α , continuo en [0, `] y diferenciable en cada subintervalo [si−1 , si ]. i) Entonces existe una variación φ de α cuyo campo variacional es Z. ii) Si Z(0) = Z(`) = 0, se puede elegir φ de forma que sea variación propia. Demostración. Para todo s ∈ [0, `], Z(s) ∈ Tα (s) S. Luego podemos tomar la geodésica γ (t) con condiciones iniciales γ (0) = α (s) y γ 0 (0) = Z(s), que verifica ¡ ¢ γ (t) = γZ(s) (t) = γtZ(s) (1) = expα (s) tZ(s) . Además, para cada s ∈ [0, `], existe ε (s) > 0 tal que expα (s) está definida (o lo que es © ª lo mismo, γ (t) está definida) si |t| < ε (s). Sea entonces ε = m´ın ε (s) : s ∈ [0, `] (el m´ınimo existe al ser [0, `] un compacto), y definimos

φ : [0, `] × (−ε , ε ) −−−−→ S (s,t)

¡ ¢ −−−−→ φ (s,t) = expα (s) tZ(s) ,

(7.2)

que es una aplicación continua en [0, `] y diferenciable en cada intervalo [si−1 , si ], siendo φ (s, 0) = expα (s) (0) = α (s). Luego φ es una variación de la curva α . Además, para cada s ∈ [0, `] fijo, ¡ ¢ ¡ ¢¯¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ∂φ (s, 0) = d expα (s) tZ(s) Z(s) ¯ = d expα (s) 0 Z(s) = Z(s), ∂t t=0 251


lo que demuestra que Z es el campo variacional de la variación construida φ . Finalmente, si Z(0) = 0, entonces ¡ ¢ αt (0) = φ (0,t) = expα (0) tZ(0) = expα (0) (0) = α (0), para todo t, y, análogamente, αt (`) = α (`) para todo t, si Z(`) = 0; luego φ ser´ıa propia. As´ı pues, dar una variación y dar un campo variacional son, en lo que respecta al estudio en t = 0, cosas equivalentes. En esta situación, se prueba que las geodésicas son los puntos cr´ıticos del funcional longitud. Vamos a presentar aqu´ı una demostración de este resultado bajo la hipótesis, algo más restrictiva, de trabajar con curvas regulares. El caso general de una curva regular a trozos se obtendrá como un sencillo corolario de un resultado que estudiaremos en la sección siguiente (véase el corolario 7.2.4). Teorema 7.1.5 (Caracterización variacional de las geodésicas). Sean S una superficie regular y α : [0, `] −→ S una curva regular p.p.a. Entonces, α es un segmento de geodésica de S si, y sólo si, L0 (0) = 0 para toda variación propia φ de α . Demostración. Si α es una geodésica, entonces, en particular, es una curva regular (no tiene vértices). Además, Dα 0 /ds = 0, y por tanto, la primera fórmula de variación (7.1) se reduce a ¿ À h h ®i` Z ` ®i` Dα 0 0 0 Z(s), L (0) = Z(s), α (s) − (s) ds = Z(s), α 0 (s) ; ds 0 0 0 como además la variación φ es propia, Z(0) = Z(`) = 0, de donde L0 (0) = 0. Rec´ıprocamente, suponemos que L0 (0) = 0 para toda variación propia φ de α . Si α no fuese geodésica, existir´ıa s0 ∈ (0, `) con (Dα 0 /ds)(s0 ) 6= 0. Sea f : [0, `] −→ R una función diferenciable verificando f (0) = f (`) = 0, f ≥ 0 y f (s0 ) > 0, y consideremos el campo vectorial tangente dado por Z(s) = f (s)(Dα 0 /ds). Para dicho Z ∈ X (α ), tomamos una variación φ de α de forma que Z sea su campo variacional (la definida mediante la aplicación (7.2)). Como Z(0) = Z(`) = 0, la variación φ es propia, y utilizando la primera fórmula de variación se tiene que À À Z `¿ Z `¿ Dα 0 Dα 0 Dα 0 0 0 = L (0) = − Z(s), f (s) (s) ds = − (s), (s) ds ds ds ds 0 0 ¯ ¯ Z ` ¯ Dα 0 ¯2 ¯ (s)¯¯ ds. =− f (s) ¯ ds 0 Dado que el integrando en la ecuación anterior es siempre positivo, podemos asegurar que L0 (0) = 0 si, y sólo si, f (Dα 0 /ds) ≡ 0. En particular, deber´ıa verificarse f (s0 )(Dα 0 /ds)(s0 ) = 0; pero (Dα 0 /ds)(s0 ) 6= 0 y f (s0 ) > 0, una contradicción. La siguiente cuestión que surge de forma natural después de ver este resultado es si podemos decir algo más sobre la naturaleza del punto cr´ıtico. Para ello, necesitamos estudiar la segunda derivada del funcional L(t), que es lo que hacemos a continuación. 252


7.1.2.

´ ´ para la longitud de arco La segunda formula de variacion

Antes de calcular la segunda variación, veamos una nueva definición. Definición 7.1.6. Sea α : [0, `] −→ S una curva regular a trozos en una superficie regular S. Una variación de α se dice normal si su campo variacional Z es normal ® a α , esto es, Z(s), α 0 (s) = 0. Obsérvese que el teorema 7.1.5 que nos da la caracterización variacional de las geodésicas podr´ıa enunciarse también para variaciones normales de α ; esto es, se puede probar que: Corolario 7.1.7. Sea α : [a, b] −→ S una curva regular p.p.a. en una superficie regular S. Entonces α es un segmento de geodésica de S si, y sólo si, L0 (0) = 0 para toda variación normal φ de la curva α . Para demostrarlo, basta observar que, en la prueba del rec´ıproco, la variación φ construida es, de hecho, una variación normal: en efecto, como α es una curva p.p.a., ® ® ® 0 α (s), (Dα 0 /ds)(s) = 0, y por tanto, α 0 (s), Z(s) = α 0 (s), f (s)(Dα 0 /ds)(s) = 0. Vamos a presentar ya el cálculo de la segunda derivada para este tipo de variaciones. Resulta conveniente precisar que no es restrictivo suponer que la variación es normal cuando además suponemos que es propia. El motivo es el siguiente: si los extremos están fijos y Z es el campo variacional de una variación cualquiera, entonces la parte tangente de Z no contribuye a cambiar la longitud de la curva α , sino que sólo lo hace su parte normal. Por tanto, basta considerar variaciones normales para estudiar el comportamiento del funcional longitud.3 Teorema 7.1.8 (Segunda fórmula de variación). Sea φ una variación propia y normal de un segmento de geodésica γ : [0, `] −→ S que está p.p.a., y sea Z su campo variacional. Entonces # " ¯2 Z ` ¯¯ ¯2 ¯ ¢¯ ¡ DZ 00 ¯ ¯ ds ¯ ¯ (7.3) L (0) = ¯ ds (s)¯ − K γ (s) Z(s) 0 donde, como ya es habitual, K representa la curvatura de Gauss de la superficie. Demostración. En lo que sigue, y para una mayor brevedad en la notación, vamos a suprimir el par (s,t) de las sucesivas expresiones cuando las funciones que aparezcan estén evaluadas en un punto genérico. Como γ es geodésica, en particular es regular, por lo que la primera derivada de la función L(t) se escribe (véase la demostración del teorema 7.1.3) À ¿ À Z `¿ ∂ φ ∂ φ −1/2 ∂ 2 φ ∂ φ 0 , , ds. L (t) = ∂s ∂s ∂ s∂ t ∂ s 0 3

Esta sección es análoga a la caracterización variacional de las superficies minimales. En aquella tomábamos directamente variaciones normales a la superficie. La razón era la misma: una variación tangente a la superficie no modifica su a´ rea y no tiene consecuencias en el funcional a´ rea, que era el estudiado en dicha ocasión.

253


Entonces, 00

Z `

L (t) =

0

" ¿ À ¿ À2 ¿ À À# ¿ ∂ φ ∂ φ −3/2 ∂ 2 φ ∂ φ ∂ φ ∂ φ −1/2 d ∂ 2 φ ∂ φ , , + , , ds. − ∂s ∂s ∂ s∂ t ∂ s ∂s ∂s dt ∂ s∂ t ∂ s

¯ ¯ En t = 0, (∂ φ /∂ s)(s, 0) = γ 0 (s), por lo que ¯(∂ φ /∂ s)(s, 0)¯ = 1. Además, À¯ · ¿ À ¿ À¸ d ∂φ ∂φ ∂ 2 φ ∂ φ ¯¯ ∂ φ ∂ 2φ , = , − , ∂ s∂ t ∂ s ¯t=0 ds ∂ t ∂ s ∂ t ∂ s2 t=0 ® ® d 0 00 = Z(s), γ (s) − Z(s), γ (s) = 0 ds ® pues, por un lado, al ser φ una variación normal, Z(s), γ 0 (s) = 0, y por otro, al ser ® γ geodésica, Z(s), γ 00 (s) = 0. As´ı, ¯ ¿ 2 À À ¿ 2 À¸ Z ` ·¿ 3 Z ` ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ d ¯¯ 00 , ds = , + , ds L (0) = ¯ ∂ s∂ t 2 ∂ s ∂ s∂ t ∂ s∂ t t=0 0 0 dt t=0 ∂ s∂ t ∂ s Z `h ¯ ¯ i = (A)¯t=0 + (B)¯t=0 ds. (7.4) ¿

0

Calculemos el valor del integrando anterior, para lo cual, comenzamos estudiando el segundo sumando, (B). Desde luego, (∂ φ /∂ t)(s,t) ∈ Tφ (s,t) S y, en consecuencia, ¡ ¢® (∂ φ /∂ t)(s,t), N φ (s,t) = 0. Por lo tanto, d ds

µ

∂φ ∂t

¶

¶

¿

À ∂ 2φ + , N ◦ φ (N ◦ φ ) ∂ t∂ s À µ ¶ ¿ ∂ φ ∂ (N ◦ φ ) D ∂φ − , (N ◦ φ ), = ds ∂ t ∂t ∂s D = ds

µ

∂φ ∂t

® pues (∂ 2 φ /∂ t ∂ s), N ◦ φ + h∂ φ /∂ t, ∂ (N ◦ φ )/∂ si = 0. Como además se tiene que ∂ (N ◦ φ )/∂ s = dNφ (s,t) (∂ φ /∂ s), entonces µ ¶À µ ¶ µ ¶ ¿ D ∂φ ∂φ ∂φ d ∂φ = + , Aφ (s,t) (N ◦ φ ). ds ∂ t ds ∂ t ∂t ∂s En definitiva, ¯ 2 ¯2 ¯ µ ¶¯2 ¿ µ ¶À2 ¯ D ∂φ ¯ ¯∂ φ ¯ ∂ φ ∂φ ¯ =¯ ¯ + , Aφ (s,t) , (B) = ¯¯ ¯ ¯ ¯ ∂ s∂ t ds ∂ t ∂t ∂s y evaluando en t = 0, ¯ ¯ ¯ DZ ¯2 ¯ ¡ ¢®2 ¯ ¯ (B) t=0 = ¯ (s)¯¯ + Z(s), Aγ (s) γ 0 (s) . ds Estudiamos a continuación el primer sumando, (A), de (7.4). Claramente, À À ¿ 2 À ¿ 3 ¿ d ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ , = , − , . (A) = ∂ s∂ t 2 ∂ s ds ∂ t 2 ∂ s ∂ t 2 ∂ s2 254


® Veamos cuánto vale el producto escalar ∂ 2 φ /∂ t 2 , ∂ 2 φ /∂ s2 en t = 0. Un cálculo análogo al realizado en el estudio de (B) permite concluir que µ ¶À µ ¶ ¿ D ∂φ ∂ 2φ ∂φ ∂φ = + , Aφ (s,t) (N ◦ φ ), 2 ∂t dt ∂ t ∂t ∂t que, evaluado en t = 0, da

¯ µ ¶ ¢ ¡ ¢® ¡ D ¯¯ ∂ 2φ ∂φ (s, 0) = ¯ (t, s) + Z(s), Aγ (s) Z(s) N γ (s) . 2 ∂t dt t=0 ∂ t

Ahora bien, ¢® ¡ ¢ ¡ ∂ 2φ Dγ 0 00 (s, 0) = γ (s) = (s) + γ 00 (s), N γ (s) N γ (s) 2 ∂s ds ¡ ® ¡ ¢ ¢ ¢® ¡ 0 = − γ (s), (N ◦ γ )0 (s) N γ (s) = − γ 0 (s), dNγ (s) γ 0 (s) N γ (s) ¡ ¢ ¢® ¡ = γ 0 (s), Aγ (s) γ 0 (s) N γ (s) , vector que está en la dirección del normal a la superficie. Por lo tanto, À¯ ¿ 2 ¡ ¢® 0 ¡ ¢® ∂ φ ∂ 2 φ ¯¯ , 2 ¯ = Z(s), Aγ (s) Z(s) γ (s), Aγ (s) γ 0 (s) . 2 ∂t ∂s t=0 ¯ ¯ Sustituyendo los valores obtenidos para (A)¯t=0 y (B)¯t=0 en (7.4), llegamos a que " ¿ À¯ Z ` ¡ ¢® 0 ¡ 0 ¢® d ∂ 2 φ ∂ φ ¯¯ 00 , − Z(s), A Z(s) γ γ (s) (s), A L (0) = γ (s) γ (s) ¯ ds ∂ t 2 ∂ s t=0 0 # ¯ ¯ ¯ DZ ¯2 ¡ 0 ¢®2 ds + ¯¯ (s)¯ + Z(s), Aγ (s) γ (s) ds ¯ " ¯ Z ` ¯¯ ¡ ¢® 0 ¡ ¢® DZ ¯¯2 ³ ¯ γ (s), Aγ (s) γ 0 (s) = (s)¯ − Z(s), Aγ (s) Z(s) ¯ ds 0 # À ¸` ·¿ 2 ¡ 0 ¢®2 ´ ∂ φ ∂φ , (s, 0) ds + − Z(s), Aγ (s) γ (s) ∂ t2 ∂ s 0 " # ¯2 À ¸` ·¿ 2 Z ` ¯¯ ¯ ∂ φ ∂φ ¯ DZ (s)¯ − (C) ds + , (s, 0) . = ¯ ¯ ds ∂ t2 ∂ s 0 0 Obsérvese que, como la variación φ es propia, φ (`,t) = γ (`) para todo t, luego ¯ µ ¯ µ ¶ ¶ d ¯¯ d ¯¯ ∂ 2φ ∂φ d (`, 0) = (`,t) = γ (`) = 0; ∂ t2 dt ¯t=0 ∂ t dt ¯t=0 dt análogamente, (∂ 2 φ /∂ t 2 )(0, 0) = 0. Luego el u´ ltimo sumando en la expresión anterior se anula. Sólo resta calcular el valor del término que hemos denominado (C). ® Para ello, tengamos en cuenta que, como Z ∈ X (γ ) y Z(s), γ 0 (s) = 0, entonces Z(s) está en la dirección de Jγ 0 (s) para todo s. Luego Z = |Z| Jγ 0 . Por otro lado, © ª podemos calcular la matriz de Aγ (s) en función de la base γ 0 (s), Jγ 0 (s) : dado que ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ® ¢ ® Aγ (s) γ 0 (s) = Aγ (s) γ 0 (s) , γ 0 (s) γ 0 (s) + Aγ (s) γ 0 (s) , Jγ 0 (s) Jγ 0 (s), ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ® ¢ ® Aγ (s) Jγ 0 (s) = Aγ (s) Jγ 0 (s) , γ 0 (s) γ 0 (s) + Aγ (s) Jγ 0 (s) , Jγ 0 (s) Jγ 0 (s), 255


se tiene que ¡ ¡ ¢ ® ¢ ® ! Ã Aγ (s) γ 0 (s) , γ 0 (s) Aγ (s) Jγ 0 (s) , γ 0 (s) Aγ (s) ≡ ¡ ¡ ¢ ® ¢ ® . Aγ (s) Jγ 0 (s) , Jγ 0 (s) Aγ (s) γ 0 (s) , Jγ 0 (s) As´ı, reescribiendo (C) como un determinante, concluimos finalmente que ¯ ¯ ¯ Z(s), A ¡Z(s)¢® Z(s), A ¡γ 0 (s)¢® ¯ γ (s) γ (s) ¯ ¯ (C) = ¯ ¡ ¡ 0 ¢® ¯ ¢® 0 ¯ Z(s), Aγ (s) γ 0 (s) γ (s), Aγ (s) γ (s) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Z(s)¯¯2 Jγ 0 (s), A ¡Jγ 0 (s)¢® ¯¯Z(s)¯¯ Jγ 0 (s), A ¡γ 0 (s)¢® ¯ γ (s) γ (s) =¯ ¯ ¯ ¡ ¡ 0 ¢® ¢® 0 ¯ ¯Z(s)¯ Jγ 0 (s), Aγ (s) γ 0 (s) γ (s), Aγ (s) γ (s) ¯ ¡ ¡ ¢® ¢® ¯ ¯ ¯2 ¯¯ Jγ 0 (s), Aγ (s) Jγ 0 (s) Jγ 0 (s), Aγ (s) γ 0 (s) ¯¯ = ¯Z(s)¯ ¯ 0 ¡ ¡ ¢® 0 ¢® ¯ ¯ ¯ γ (s), Aγ (s) Jγ 0 (s) γ (s), Aγ (s) γ 0 (s)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯2 ¡ ¯ ¯2 ¡ ¢ ¯ ¢ = ¯Z(s)¯ det Aγ (s) = ¯Z(s)¯ K γ (s) . Observación 7.1. Si la superficie es llana (K ≡ 0), entonces toda variación de una geodésica (con Z no paralelo) da como resultado L00 (0) > 0, y la geodésica es un m´ınimo del funcional longitud. 7.2.

COMPLETITUD. EL TEOREMA DE HOPF-RINOW

Hasta ahora hemos hablado de medidas en la superficie en lo que se refiere a longitudes de curvas, a´ ngulos y a´ reas. No obstante, todav´ıa está en el aire la siguiente pregunta: ¿es una superficie un espacio topológico metrizable? Esto es, ¿es posible definir una distancia en una superficie regular que sea ((coherente)) con la topolog´ıa que tenemos como subespacio del espacio eucl´ıdeo? La respuesta a esta cuestión es afirmativa. La manera de construir dicha función distancia no es trivial, y consiste en definirla mediante la curva que ((mejor)) conecta dos puntos dados, donde por ((mejor)) entendemos la curva de menor longitud (usualmente se dice que esta curva ((realiza)) la distancia entre esos dos puntos; obsérvese también que dicha curva puede no existir, aunque esto no será problema en nuestra definición). Se demuestra entonces que esta función es una distancia y que, además, la topolog´ıa que generan sus bolas métricas coincide con la topolog´ıa de la superficie como subespacio eucl´ıdeo. En cap´ıtulos previos hemos estudiado la relación entre el concepto de geodésica y sus propiedades como curva que minimiza la longitud. De esta forma, parece natural pensar que las curvas que ((realizan la distancia)) entre dos puntos, puesto que son claramente un m´ınimo del funcional longitud, deben estar relacionadas de alguna manera con el concepto de geodésica. As´ı es, y se puede demostrar que, si una curva es, lo que denominaremos en breve minimizante, entonces es una geodésica. Este resultado, junto con un lema técnico que presentamos posteriormente, constituyen la base para la prueba del teorema de Hopf-Rinow. En e´ ste se relacionan propiedades 256


puramente intr´ınsecas de la superficie en lo que se refiere a la geometr´ıa (la posibilidad de prolongar indefinidamente una geodésica) con otras esencialmente métricas (que la superficie sea un espacio completo) o topológicas (que se verifique el teorema de Heine-Borel). El teorema de Hopf-Rinow demuestra el hecho intuitivo siguiente: si una superficie tiene ((agujeros)), ((bordes)) o trozos ((incompletos)), al menos una de sus geodésicas ((choca)) precisamente contra e´ stos en un tiempo finito. Es un teorema de gran importancia, pues permite utilizar en superficies la topolog´ıa y el análisis en espacios métricos completos con un gran abanico de resultados y aplicaciones. Finalmente, veremos cómo las fórmulas de variación estudiadas en la sección anterior se utilizan para demostrar un resultado sorprendente, que interrelaciona la geometr´ıa de una superficie con su estructura como espacio métrico, en la misma l´ınea que el ya mencionado teorema de Hopf-Rinow. En concreto, presentaremos el teorema de Bonnet, el cual afirma, esencialmente, que una superficie que consta u´ nicamente de puntos el´ıpticos, de modo que e´ stos no se ((hacen suficientemente planos o parabólicos)) es, necesariamente, compacta. Además, se ofrece una estimación de su diámetro ((intr´ınseco)) que depende, exclusivamente, de una cota en términos de la curvatura de Gauss. 7.2.1.

Distancia intr´ınseca en una superficie

¢ ¡ Sea S una superficie regular y conexa. Consideremos el espacio métrico R3 , | · | y sea τu la topolog´ıa usual en R3 inducida por la distancia eucl´ıdea | · |. Entonces, la superficie S ⊂ R3 hereda la topolog´ıa de R3 como subespacio topológico de (R3 , τu ). ´ la denotaremos por (S, τu ). Esta Dados dos puntos p, q ∈ S, definimos el conjunto ª © Ω(p, q) = α : [a, b] −→ S : α regular a trozos, α (a) = p, α (b) = q . Definición 7.2.1. La función distancia intr´ınseca en la supercicie S es la aplicación d : S × S −→ R dada por ª © (7.5) d(p, q) := inf Lab (α ) : α ∈ Ω(p, q) . En lo que sigue, y siempre y cuando no sea relevante, escribiremos simplemente L(α ) en lugar de Lab (α ), por comodidad, omitiendo los valores a y b del parámetro. Demostramos, antes de nada, que la función d está bien definida y que, de hecho, es una distancia en el sentido usual del término. Para ello, tenemos que ver: 1) Ω(p, q) 6= 0, / esto es, cualesquiera dos puntos pueden unirse mediante una curva regular a trozos: ª © / pues Sean p ∈ S fijo y A = q ∈ S : existe α ∈ Ω(p, q) . Desde luego, A 6= 0, p ∈ A. Como A ⊂ S conexa, si demostramos que A es abierto y cerrado, entonces podremos asegurar que A ≡ S, con lo que se tendrá que Ω(p, q) 6= 0. / 257


i) Veamos que A es abierto. Para ello, sean q ∈ A y (U, X) una parametrización de S tal que X(u0 , v0 ) = q. Vamos a probar que el entorno coordenado V = X(U), que es un entorno de q, está en A. En efecto, si q0 ∈ V , sea (u0 , v0 ) ∈ U tal que X(u0 , v0 ) = q0 , y consideremos la curva en R2 dada por βe(t) = (u0 , v0 ) + t(u0 − u0 , v0 − v0 ). Claramente, βe(0) = (u0 , v0 ) y ¡ ¢ βe(1) = (u0 , v0 ). Por tanto, la curva en la superficie β (t) = X βe(t) une q con q0 . Por otro lado, como q ∈ A, por definición del conjunto A, existe una curva α ∈ Ω(p, q), que une p con q. Basta tomar entonces la yuxtaposición α ∧ β , que es una curva en S, regular a trozos, que une p con q0 ; luego q0 ∈ A. Esto demuestra que V ⊂ A, y por tanto, que A es abierto. ii) Veamos que A es cerrado. Para ello, probaremos que S\A es abierto. Sea q ∈ S\A, es decir, q 6∈ A. Tomamos de nuevo una parametrización (U, X) tal que X(u0 , v0 ) = q. Denotando de nuevo por V = X(U), si demostramos que V ∩ A = 0, / entonces tendremos que V ⊂ S\A, por lo que S\A será abierto. Para ello, supongamos que existe q0 ∈ V ∩ A. Como q0 ∈ A, por definición existe una curva α ∈ Ω(p, q0 ) que une p y q0 . Por otro lado, dado que q0 ∈ V , siguiendo un razonamiento análogo al paso i) podemos construir una curva β en la superficie uniendo q0 con q. Entonces, la yuxtaposición α ∧ β ∈ Ω(p, q), lo que prueba que q ∈ A, una contradicción. 2) Existe el ´ınfimo en la definición de distancia dada en (7.5): © ª Desde luego, L(α ) ≥ 0 para toda α ∈ Ω(p, q). Por tanto, L(α ) : α ∈ Ω(p, q) es un conjunto de números reales acotado inferiormente, lo que nos asegura que tiene un ´ınfimo que es, además, no negativo. 3) La distancia intr´ınseca es una distancia: Para demostrarlo, tenemos que probar que d cumple las tres propiedades que caracterizan una distancia. Veámoslo. i) Como L(α ) es siempre un número no negativo, se verifica trivialmente que d(p, q) ≥ 0. Veamos ahora que d(p, q) = 0 si, y sólo si, p = q. Supongamos que p = q. Entonces, la curva constante α (t) ≡ p ∈ Ω(p, p) © ª y su longitud es L(α ) = 0. Luego d(p, p) = inf L(α ) : α ∈ Ω(p, p) = 0. Y rec´ıprocamente. Supongamos que d(p, q) = 0. Vamos a representar por ª © e q) = α : [a, b] −→ R3 : α regular a trozos, α (a) = p, α (b) = q . Ω(p, e q). Entonces, Claramente, como S ⊂ R3 , se tiene que Ω(p, q) ⊂ Ω(p, ª © ª © e q) ≤ inf L(α ): α ∈ Ω(p, q) = d(p, q) = 0, |p − q| = inf L(α ): α ∈ Ω(p, ya que la distancia más corta entre dos puntos, en R3 , la da el segmento de recta que los une. Luego |p − q| = 0, de donde se deduce que p = q. ii) Para probar que d(p, q) = d(q, p) es suficiente demostrar que a cada curva de Ω(p, q) le corresponde una u´ nica curva en Ω(q, p) (y viceversa): la que 258


se recorre en sentido contrario. Como la longitud no depende del sentido, se tendrá la igualdad en las distancias. As´ı, sea α ∈ Ω(p, q), es decir, una curva regular a trozos con α (a) = p, α (b) = q. Tomamos la reparametrización de α dada por α (t) = α (a − t + b). Claramente, α (a) = α (b) = q y α (b) = α (a) = p. Por tanto, α ∈ Ω(q, p), y además, Lab (α ) = Lab (α ), lo que concluye la prueba. iii) Sean α ∈ Ω(p, r) y β ∈ Ω(r, q). Entonces, la curva α ∧ β ∈ Ω(p, q), y además es evidente que d(p, q) ≤ L(α ∧ β ) = L(α ) + L(β ); o lo que es lo mismo, d(p, q) − L(β ) ≤ L(α ), para toda curva α ∈ Ω(p, r). Luego, en particular, se tendrá que © ª d(p, q) − L(β ) ≤ inf L(α ) : α ∈ Ω(p, r) = d(p, r). En consecuencia, se tiene que d(p, q) − d(p, r) ≤ L(β ), para cualquier curva β ∈ Ω(r, q). Por tanto, podemos afirmar de nuevo que ª © d(p, q) − d(p, r) ≤ inf L(β ) : β ∈ Ω(r, q) = d(r, q). Esto demuestra que d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q). Una vez comprobado que d es una distancia, podemos considerar la bola (abierta) © ª en la distancia intr´ınseca de centro p y radio r, Bd (p, r) = q ∈ S : d(p, q) < r . Dado que tenemos definida una estructura ((similar)) sobre la superficie, el disco geodésico, resulta natural preguntarse cuándo Bd (p, r) y D(p, r) coinciden. Para conocer la respuesta a esta cuestión, necesitamos estudiar aún alguna propiedad más de las geodésicas, aunque podemos adelantar que ambos coincidirán siempre y cuando el disco esté definido (véase la proposición 7.2.6). De momento, realizamos la siguiente observación, que será de utilidad en algunas demostraciones que veremos en breve. Observación 7.2.

i) Dado p0 ∈ S, siempre se verifica que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r). ¡ ¢ Si p ∈ D(p0 , r) = expp0 D(0, r) , podemos escribir p = expp0 (v), con |v| < r. Consideremos la geodésica γv (t) = expp0 (tv), que une p0 = γv (0) y p = γv (1). Claramente Z 1¯ ¯ ¯γv0 (t)¯ dt = |v| < r, d(p0 , p) ≤ L01 (γv ) = 0

de donde se deduce que p ∈ Bd (p0 , r). ii) Dados p0 ∈ S y R > 0, existe r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R). La demostración de esta afirmación se recoge en el ejercicio 7.2. iii) Sean p0 ∈ S y R > 0 tales que D(p0 , R) es entorno normal de p0 . Entonces para todo r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R) se tiene que D(p0 , r) = Bd (p0 , r). Si p ∈ Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R), entonces (teoremas 5.3.5 y 5.3.9) el segmento de geodésica radial γ p : [0, 1] −→ D(p0 , R), γ p (t) = expp0 (tv), es la u´ nica curva de menor longitud uniendo p0 y p, con v = γ p0 (0). Luego d(p0 , p) = L01 (γ p ) = |v|. Como p ∈ Bd (p0 , r), se tiene que |v| = d(p0 , p) < r, de donde se deduce que ¡ ¢ p = expp0 (v) ∈ expp0 D(0, r) = D(p0 , r). La otra inclusión siempre se da. ♦ 259


La distancia d permite considerar el espacio topológico (S, τd ), donde τd es la topolog´ıa inducida por la distancia intr´ınseca d. Vamos a demostrar que las topolog´ıas τu y τd coinciden, lo que, en cualquier caso, es un ejercicio de Topolog´ıa. Teorema 7.2.2. Sobre el conjunto S, las topolog´ıas τu y τd coinciden. Demostración. Obsérvese que las intersecciones de abiertos de R3 con la propia superficie son abiertos de τu ; en particular, si (U, X) es una parametrización de S, entonces V = X(U) es abierto en τu . As´ı, los abiertos básicos para la topolog´ıa τu son las intersecciones de las bolas eucl´ıdeas con la superficie. Por otra parte, al cumplirse que d(p, q) ≥ |p − q| para dos puntos cualesquiera p, q ∈ S, se demuestra que la bola en la distancia intr´ınseca Bd (p, r) de centro p y radio r está siempre contenida en la intersección de S con la bola eucl´ıdea de centro p y radio r, B| · | (p, r) ∩ S. Esto implica que τu ⊂ τd , es decir, la topolog´ıa τd es más fina que τu . Veamos que coinciden. Dados un punto p ∈ S y un disco geodésico D(p, R) que es entorno normal de p, la observación 7.2 ii) nos asegura que siempre podemos encontrar una bola Bd (p, r) ⊂ D(p, R), para r > 0 suficientemente pequeño. Entonces, Bd (p, r) = D(p, r) (véase la observación 7.2 iii)), lo que permite considerar la parametrización X de S (en p) dada por las coordenadas normales (5.16), para la cual ¡ ¢ ¡ ¢ X D(0, r) = expp D(0, r) = D(p, r) = Bd (p, r). En consecuencia, Bd (p, r) es un entorno coordenado de una parametrización, y por tanto, un abierto en S con la topolog´ıa inducida: Bd (p, r) = W ∩S, siendo W un abierto eucl´ıdeo. Esto demuestra que la bola en la distancia d es un abierto en la topolog´ıa τu , lo que concluye la prueba. 7.2.2.

El teorema de Hopf-Rinow

Algunos resultados previos Antes de enunciar y demostrar el teorema de Hopf-Rinow, vamos a probar dos lemas previos que son la base de su demostración. A partir de ahora, diremos que una curva α ∈ Ω(p, q) es minimizante, si minimiza la longitud entre todas las curvas de la superficie que unen p y q. En tal caso diremos además que α realiza la distancia entre esos dos puntos. Por tanto, si α ∈ Ω(p, q) es minimizante, entonces d(p, q) = L(α ). Observación 7.3. La existencia y unicidad de esta clase de curvas es una cuestión que admite una amplia casu´ıstica. Con respecto a la existencia, si consideramos el plano agujereado R2 \{(0, 0)}, no existe una curva minimizante uniendo (1, 0) y (−1, 0). Por otro lado, y en relación a la unicidad, también pueden presentarse diferentes situaciones. En un plano es claro que, dados dos puntos, existe una u´ nica curva minimizante, la recta, que los une. Si consideramos un toro y dos puntos, el primero de ellos situado en el paralelo superior y el segundo en el inferior y en la misma vertical, existen dos curvas minimizantes uniendo ambos puntos. Por u´ ltimo, en una esfera, dados dos puntos antipodales, existen infinitas curvas minimizantes que los unen: todos los semic´ırculos máximos que pasan por ellos. ♦ 260


Como vemos, la existencia y unicidad de curvas minimizantes no es una cuestión sencilla. No obstante, toda curva minimizante es un tipo especial de curva que ya conocemos bien, tal y como se demuestra en el primero de los lemas fundamentales para la prueba del teorema de Hopf-Rinow. Lema 7.2.3. Sean S una superficie regular y α : [a, b] −→ S una curva regular a trozos uniendo p = α (a) con q = α (b). Si α es minimizante, entonces α es un segmento de geodésica (salvo reparametrizaciones). En particular, α es diferenciable en todos sus puntos, esto es, no tiene vértices. Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que α : [0, `] −→ S está p.p.a. Sea 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` una partición de [0, `] tal que α |[si−1 ,si ] es una curva regular para i = 1, . . . , k, y sea φ : [0, `] × (−ε , ε ) −→ S una variación propia de α . Como α es minimizante (y dado que las curvas αt = φ (·,t) tienen como extremos p y q por ser φ propia), el funcional longitud L(t) = L0` (αt ) presenta un m´ınimo en s = 0. Entonces L0 (0) = 0, y aplicando la primera fórmula de variación (7.1), ¿ À k−1 ® Z` Dα 0 0 0 Z(s), 0 = L (0) = − ∑ Z(si ), ∆i α − (s) ds, (7.6) ds 0 i=1 para cualquier campo Z que sea el campo variacional de una variación propia de α . El primer paso consiste en probar que Dα 0 /ds ≡ 0 en cada subintervalo [si−1 , si ], de donde podremos concluir que α es una geodésica a trozos (esto es, una curva regular a trozos cuyos arcos regulares, α |[si−1 ,si ] son geodésicas). Para demostrarlo, elegimos un subintervalo [si−1 , si ] cualquiera, y consideramos una función diferenciable f : [0, `] −→ R verificando f > 0 en (si−1 , si ) y f ≡ 0 en el resto. Tomamos el campo tangente Z = f (Dα 0 /ds) ∈ X (α ); obsérvese que Z es un campo diferenciable en todo su dominio, pues f es una función diferenciable que se anula fuera del intervalo (si−1 , si ), y sobre e´ ste, Dα 0 /ds es un campo diferenciable. Para dicho Z ∈ X (α ), tomamos una variación φ de α de forma que Z sea su campo variacional (la definida mediante la aplicación (7.2)). Como Z(si−1 ) = Z(si ) = 0, la variación φ es propia, y utilizando (7.6) se tiene ¯ ¯ À Z si ¿ Z si ¯ Dα 0 ¯2 Dα 0 ¯ 0=− Z(s), f (s) ¯ (s) ds = − (s)¯¯ ds. ds ds si−1 si−1 Dado que el integrando es siempre no negativo, podemos concluir que Dα 0 /ds ≡ 0 sobre cada subintervalo [si−1 , si ], como se quer´ıa demostrar. Para finalizar la demostración del lema, es decir, para probar que α es realmente geodésica, hay que ver que α no tiene vértices; o lo que es lo mismo, que el vector ∆i α 0 = α+0 (si ) − α−0 (si ) = 0, para todo i = 1, . . . , k − 1. Fijamos i ∈ {1, . . . , k − 1}. Si construimos un campo de vectores tangente Z ∈ X (α ) a lo largo de α verificando Z(si ) = ∆i α 0 y Z(s j ) = 0 para todo j 6= i, entonces (7.6) se reducir´ıa a k−1 ¯2 ® ® ¯ 0 = − ∑ Z(s j ), ∆ j α 0 = ∆i α 0 , ∆i α 0 = ¯∆i α 0 ¯ , j=1

261


de donde se tendr´ıa que ∆i α 0 = 0. Dado que los vectores velocidad por la izquierda y por la derecha de α coinciden en cada valor si del parámetro, se deduce de la unicidad de las geodésicas que α |[si ,si+1 ] es la ((continuación)) de α |[si−1 ,si ] y, por tanto, que α es diferenciable, es decir, no tiene vértices. As´ı, para concluir la demostración del lema, tan sólo resta construir el mencionado campo de vectores tangente Z a lo largo de α , verificando Z(si ) = ∆i α 0 y Z(s j ) = 0 para todo j 6= i. Para ello, sea (U, X) una parametrización de la superficie S en el punto pi = α (si ), con X(qi ) = pi , y sea V = X(U) (véase la figura 7.1). Consideremos e es die = X −1 ◦ α en U, expresión en coordenadas de α . Obsérvese que α la curva α e (si ); en caso contrario, ferenciable a trozos, y más aún, presenta un vértice en qi = α si fuese diferenciable en qi entonces por la diferenciabilidad de la parametrización X se tendr´ıa que α lo es en pi , donde sabemos que presenta un vértice. Sea ahora v = dXq−1 (∆i α 0 ) ∈ Tqi U ≡ R2 , y sea ε > 0 suficientemente pequeño de forma que i ¢ ¡ e [si − ε , si + ε ] ⊂ U. si−1 < si − ε , si + ε < si+1 y además, α α− (si ) ′

V

α α (si−1)

Figura 7.1: Construyendo

S

∆i α ′

U

pi = α (si ) N

? α+′ (si )

α (si+1)

X

qi e α

dXqi

?

v ? ?

?

?

?

un campo Z tal que Z(si ) = ∆i α 0 .

Tomemos de nuevo una función diferenciable f : [0, `] −→ R tal que f (si ) = 1, f > 0 en (si − ε , si + ε ) y f ≡ 0 en el resto, y consideremos el campo (en U) a lo largo e = f (s)v. Claramente, la aplicación e dado por Z(s) de la curva α ( ¡ ¢ e si s ∈ (si − ε , si + ε ), dXαe (s) Z(s) Z(s) := 0 en el resto, define un campo diferenciable (por la construcción) y tangente en la superficie, a lo largo de (toda la curva) α , verificando además que ¡ ¢ ¡ ¢ e i ) = dXqi v = ∆i α 0 y Z(si ) = dXαe (si ) Z(s Z(s j ) = 0

si i 6= j,

tal y como se quer´ıa demostrar. Esto concluye la demostración del lema. Observación 7.4. Si α ∈ Ω(p, q) fuese una curva (regular a trozos) minimizante, y no fuese una geodésica, el razonamiento anterior nos permitir´ıa concluir que L0 (0) < 0, es decir, la función L(t) ser´ıa estrictamente decreciente en t = 0. Un argumento análogo al utilizado en la demostración del lema 7.2.3 permite probar la versión más general del teorema 7.1.5, que establec´ıa la caracterización variacional de las geodésicas cuando trabajábamos con curvas regulares. 262


Corolario 7.2.4 (Caracterización variacional de las geodésicas). Consideremos una curva regular a trozos α : [0, `] −→ S p.p.a. Entonces, α es un segmento de geodésica de S si, y sólo si, L0 (0) = 0 para toda variación propia φ de α . El segundo lema que vamos a probar está relacionado con las propiedades de los discos geodésicos. Recordemos que, en un disco geodésico de radio suficientemente pequeño, todo punto puede unirse a su centro mediante una u´ nica curva minimizante: el segmento de geodésica radial (véase el teorema 5.3.9). Esta propiedad no tiene sentido para radios arbitrarios, tal y como ponen de manifiesto los ejemplos de la esfera y el cilindro. No obstante, en el siguiente lema se prueba que, sea cual sea el radio del disco geodésico, dado un punto en el interior de e´ ste, existe al menos una curva (segmento de geodésica radial) minimizante uniendo el centro con dicho punto. La diferencia con lo que ya sab´ıamos es que, para radios arbitrarios, quizá haya ((distintas maneras)) de alcanzar un punto en el interior del disco (incluso infinitas formas de hacerlo). El hecho de que el radio sea arbitrario y no se tenga inyectividad en la aplicación exponencial, complica la demostración hasta extremos insospechados. Ciertamente, el teorema de Hopf-Rinow se apoya de forma esencial en este lema. Lema 7.2.5. Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y r > 0 de forma que la aplicación expp0 está definida en D(0, r) ⊂ Tp0 S. Entonces, todo punto p ∈ D(p0 , r) puede unirse con p0 mediante (al menos) un segmento de geodésica minimizante. Obsérvese que el segmento de geodésica minimizante que asegura el teorema no tiene por qué ser u´ nico; basta tomar un punto y su ant´ıpoda en la esfera para darnos cuenta: existen infinitos segmentos de geodésica minimizante que los unen. Demostración. Sabemos que, dado p0 ∈ S, existe U abierto estrellado respecto a 0 ∈ Tp0 S tal que expp0 : U −→ V es un difeomorfismo, con V el correspondiente entorno normal. Sea ε > 0 suficientemente pequeño para que cl D(p0 , ε ) ⊂ V , y sea p ∈ D(p0 , r). Distinguimos dos casos, según p ∈ D(p0 , ε ) o´ p 6∈ D(p0 , ε ). Para hacer más sencilla la demostración la dividimos en varios pasos. PASO 1: Si p ∈ D(p0 , ε ) ⊂ V , el teorema 5.3.9 nos asegura que el segmento de geodésica radial γ p es la curva de menor longitud entre todas las que unen dichos puntos: d(p0 , p) = L(γ p ). PASO 2: Supongamos, a partir de ahora, que p 6∈ D(p0 , ε ). Claramente, la función d( ·, p) : S −→ R que da la distancia al punto p es continua. Además, la circunferen¡ ¢ cia geodésica S(p0 , ε ) es un compacto en S, ya que S(p0 , ε ) = expp0 bd D(0, ε ) y bd D(0, ε ) es compacto. Si consideramos la función continua d( ·, p) definida sobre el compacto S(p0 , ε ), entonces podemos asegurar la existencia de un m ∈ S(p0 , ε ) donde d( ·, p) alcanza el m´ınimo. Como m ∈ cl D(p0 , ε ) ⊂ V entorno normal de p0 , sabemos que existe w ∈ cl D(0, ε ) de forma que expp0 (w) = m; además, en este caso, |w| = ε . Definimos entonces v = w/ |w| = w/ε , y consideramos la geodésica maximal γv (t) con condiciones iniciales γv (0) = p0 y γv0 (0) = v. Observemos las siguientes dos propiedades que presenta el punto m: 263


(a) La geodésica γv pasa por m: γv (ε ) = γε v (1) = expp0 (ε v) = expp0 (w) = m. (b) Al ser m ∈ S(p0 , ε ) el punto de m´ınima distancia a p, entonces d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p).

(7.7)

Veámoslo. Por la desigualdad triangular, d(p0 , p) ≤ d(p0 , m) + d(m, p). Supongamos entonces que d(p0 , p) < d(p0 , m)+d(m, p), lo que implica que debe existir una curva α ∈ Ω(p0 , p), es decir, α : [0, b] −→ S regular a trozos, uniendo p0 y p, cuya longitud L0b (α ) es estrictamente menor que d(p0 , m) + d(m, p) (véase la figura 7.2). Como α es continua y p 6∈ D(p0 , ε ), existe t0 ∈ (0, b) tal que α (t0 ) ∈ S(p0 , ε ). En consecuencia, d(p0 , m)+d(m, p)> L0b (α ) =Lt00 (α )+Ltb0 (α )≥ ε +Ltb0 (α ) = d(p0 , m)+Ltb0 (α ), ¢ ¡ luego d α (t0 ), p ≤ Ltb0 (α ) < d(m, p). Hemos encontrado un α (t0 ) ∈ S(p0 , ε ) cuya distancia a p es estrictamente menor que d(m, p), una contradicción. S(p0 , ε ) p0

Figura 7.2: Igualdad en la desigualdad triangular si

α

α |[t0,b] m

α |[0,t0 ]

p

γv

α (t0 )

d(m,p)=m´ın{d(q,p):q∈S(p0 , ε )}.

Por otro lado, como γv (t) = expp0 (tv) y expp0 está definida en D(0, r), la geodésica γv estará definida siempre y cuando |tv| < r, es decir, si |t| < r. Luego podemos considerar γv : [0, r) −→ S, que está bien definida. Sea δ = d(p0 , p). Obsérvese que, al verificarse siempre (observación 7.2) que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r), entonces p ∈ Bd (p0 , r); por tanto d(p0 , p) < r. Afirmamos que γv (δ ) = p, lo cual tiene sentido pues, al ser δ = d(p0 , p) < r, la geodésica γv está definida en δ . Si esto es as´ı, habr´ıamos demostrado el resultado buscado, pues L0δ

¡ ¢ Z γv |[0,δ ] =

0

δ

Z ¯ 0 ¯ ¯γv (t)¯ dt =

0

δ

Z ¯ 0 ¯ ¯γv (0)¯ dt =

0

δ

|v| dt = δ = d(p0 , p),

lo que implica que γv es un segmento de geodésica minimizante uniendo p0 y p. PASO 3: El problema se ha reducido a demostrar que γv (δ ) = p. Consideremos el conjunto o n ¡ ¢ T = t ∈ [0, δ ] : d γv (t), p = δ − t . ¡ ¢ Si probamos que δ ∈ T , entonces se verificará que d γv (δ ), p = 0, lo cual equivale a que γv (δ ) = p, y habremos concluido. / pues 0 ∈ T ; PASO 4: Veamos que δ ∈ T . Obsérvese, en primer lugar, que T 6= 0, ¢ ¡ en efecto, d γv (0), p = d(p0 , p) = δ = δ − 0. Por otro lado, si definimos la función ¢ ¡ f : [0, δ ] −→ R dada por f (t) = d γv (t), p + t (que es continua), es claro que o © ¡ ¢ ª n f −1 (δ ) = t ∈ [0, δ ] : f (t) = δ = t ∈ [0, δ ] : d γv (t), p + t = δ = T. 264


¡ ¢ Como {δ } es un cerrado, entonces T = f −1 {δ } también lo es; además, T es un cerrado contenido en [0, δ ] compacto, lo cual implica que T es compacto. Si demostramos que δ = sup T , al ser T compacto podremos concluir que δ ∈ T . PASO 5: El problema se ha reducido a probar que δ = sup T . Como T ⊂ [0, δ ] es un subconjunto compacto y no vac´ıo de [0, δ ], tendrá un supremo, que vamos a representar por a := sup T . Desde luego, a ∈ T , esto es, a ≤ δ , y además a > 0: en efecto, las propiedades (a) y (b) demostradas en el PASO 2 permiten deducir que ¢ ¡ d γv (ε ), p = d(m, p) = d(p0 , p) − d(p0 , m) = δ − ε , es decir, ε ∈ T ; por lo tanto, a ≥ ε > 0. Queremos demostrar que a = δ , para lo cual vamos a suponer que a < δ . Esto nos llevará a una contradicción que concluirá la prueba. Veámoslo en el siguiente (y u´ ltimo) paso. PASO 6: Supongamos, por tanto, que a < δ . Como a ∈ T , entonces ¢ ¡ d γv (a), p = δ − a > 0,

(7.8) ¡ ¢ es decir, p 6= γv (a). Sea ε 0 > 0 suficientemente pequeño tal que p 6∈ D γv (a), ε 0 y, ¢ ¡ además, D γv (a), ε 0 ⊂ Va , donde Va es un entorno normal centrado en γv (a). Sea ¢ ¡ m0 el punto de la circunferencia geodésica S γv (a), ε 0 cuya distancia a p es m´ınima (véase la figura 7.3), es decir, ¢ª © ¡ d(m0 , p) = m´ın d(p0 , p) : p0 ∈ S γv (a), ε 0 . S(γv (a), ε ′)

p0

Figura 7.3: Igualdad en la desigualdad triangular si

d(m0,p)

p

γv (a)

S(p0 , ε ) m

γv

m′

α (t0)

α

= m´ın{d(p0 ,p) : p0 ∈ S(γv (a), ε 0 )}.

Un argumento totalmente análogo al utilizado en la demostración de (7.7) permite probar de nuevo la igualdad en la desigualdad triangular, ahora para los puntos γv (a), m0 , p (véase la figura 7.3): ¢ ¡ ¢ ¡ (7.9) d γv (a), p = d γv (a), m0 + d(m0 , p). Sea ahora γm0 : [0, 1] −→ S el segmento de geodésica radial que une γv (a) con dentro del entorno normal Va , y consideremos la curva γv |[0,a] ∧ γm0 , que une los puntos p0 y m0 . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¡ (7.10) d(p0 , m0 ) ≤ L γv |[0,a] ∧ γm0 = L0a γv |[0,a] + L01 γm0 = a + ε 0 .

m0

Ahora bien, utilizando las relaciones (7.8) y (7.9) se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ δ − a = d γv (a), p = d γv (a), m0 + d(m0 , p) = ε 0 + d(m0 , p), 265

(7.11)


o lo que es lo mismo, a + ε 0 = δ − d(m0 , p) = d(p0 , p) − d(m0 , p), igualdad que, junto con (7.10), permite afirmar que d(p0 , m0 ) ≤ d(p0 , p) − d(m0 , p). Por otro lado, la desigualdad triangular nos dice que d(p0 , m0 ) ≥ d(p0 , p) − d(m0 , p) y, en consecuencia, se tiene la identidad d(p0 , m0 ) = d(p0 , p) − d(m0 , p). Esto implica que, en particular, se tiene que dar la igualdad en la desigualdad (7.10), ¢ ¡ es decir, d(p0 , m0 ) = L γv |[0,a] ∧ γm0 , lo cual nos asegura que la curva regular a trozos γv |[0,a] ∧ γm0 es minimizante. Por el lema 7.2.3, γv |[0,a] ∧ γm0 es un segmento de geodésica y, por tanto, diferenciable; es decir, γv (a) no es un vértice, y los dos segmentos de geodésica γv |[0,a] y γm0 se ((pegan)) en γv (a) de forma diferenciable, de lo que se deduce que, realmente, γv |[0,a] y γm0 son la ((misma)) geodésica: γm0 ≡ γv entre los puntos γv (a) y m0 . Entonces, γm0 (1) = m0 = γv (a + ε 0 ) y, en consecuencia, utilizando (7.11), ¢ ¡ d γv (a + ε 0 ), p = d(m0 , p) = δ − a − ε 0 = δ − (a + ε 0 ). Esto prueba que a + ε 0 ∈ T , lo que contradice el hecho de que a sea el supremo del conjunto T . As´ı concluye la demostración. Como dijimos al comienzo de la sección, resulta natural preguntarse cuándo la bola Bd (p, r) y el disco geodésico D(p, r) coinciden. Ya vimos que esto ocurre en el caso particular de que Bd (p, r) esté contenida en un disco geodésico que sea a su vez entorno normal (observación 7.2). El lema 7.2.5 que acabamos de demostrar permite suprimir la hipótesis que involucra al entorno normal: basta con que el disco geodésico esté definido. Proposición 7.2.6. Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y r > 0 de forma que D(0, r) ⊂ D p , es decir, tal que la aplicación expp0 está definida en el disco D(0, r) ⊂ Tp0 S. Entonces D(p0 , r) = Bd (p0 , r). Demostración. Ya sabemos (véase la observación 7.2) que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r). Para demostrar la igualdad, vamos a suponer que existe p ∈ Bd (p0 , r)\D(p0 , r), lo que llevará a una contradicción que probará el resultado. Dado p ∈ Bd (p0 , r)\D(p0 , r), podemos asegurar la existencia de ε > 0 tal que p ∈ Bd (p0 , r − ε )\D(p0 , r); en efecto, si representamos por δ = d(p0 , p), como (S, d) es un espacio métrico, basta tomar ε = (r − δ )/2 > 0, para el que claramente se verifica que d(p0 , p) = δ = r − 2ε < r − ε , es decir, p ∈ Bd (p0 , r − ε ). Además, S(p0 , r − ε ) ⊂ D(p0 , r) estrictamente y p 6∈ cl D(p0 , r − ε ). Como ya sabemos, la función d( ·, p) : S −→ R que da la distancia al punto p es continua. Además, la circunferencia geodésica S(p0 , r − ε ) es un compacto. As´ı pues, si consideramos d( ·, p) restringida sobre S(p0 , r − ε ), podemos asegurar la existencia de m ∈ S(p0 , r − ε ) donde d( ·, p) alcanza el m´ınimo. Por otro lado, como m ∈ S(p0 , r − ε ) ⊂ D(p0 , r), el lema 7.2.5 asegura la existencia de un segmento de geodésica minimizante γ : [0, 1] −→ S uniendo p0 = γ (0) y ¯ ¯ m = γ (1), lo que implica además que d(p0 , m) = L01 (γ ) = ¯γ 0 (0)¯ = r − ε . 266


Un argumento totalmente análogo al utilizado en la demostración de la igualdad (7.7) en el lema 7.2.5, permite probar que, al ser m ∈ S(p0 , r − ε ) el punto de m´ınima distancia a p, entonces d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p). Esto conduce a la contradicción deseada, pues obtenemos que r − ε > d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p) = r − ε + d(m, p), siendo además d(m, p) > 0 ya que m ∈ S(p0 , r − ε ) y p 6∈ cl D(p0 , r − ε ). Observación 7.5. En esta propiedad radica la ventaja que, en muy diversas ocasiones, presentan las bolas en la distancia intr´ınseca frente a los discos geodésicos: estos u´ ltimos pueden no estar definidos para ciertos valores del radio, mientras que los primeros s´ı que pueden estarlo (verificando también excelentes propiedades). Veamos un sencillo ejemplo.

r p = (−1, 0)

Figura 7.4: Bd (p, r) en el plano agujereado.

Basta considerar el plano agujereado R2 \{(0, 0)} y en e´ l, el punto p = (−1, 0) y cualquier valor r > 1. En tal situación, el disco geodésico D(p, r) no está definido, ya que D(0, r) 6⊂ D p . Por el contrario, la bola en la distancia intr´ınseca es © ª © ª Bd (p, r) = (x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y2 < r \ (0, 0) , © ª ¡ ¢ pues cualquier punto en (x, 0) : 0 < x < r − 1 verifica d (x, 0), p < r: obsérvese que, aunque la recta que une p y (x, 0) no está contenida en la superficie, la distancia intr´ınseca es el ´ınfimo –no m´ınimo– de las longitudes de las curvas uniendo ambos ¯ ¡ ¢ ¯ puntos, esto es, d p, (x, 0) = ¯ p − (x, 0)¯ (véase la figura 7.4). ♦ Una vez demostrado el lema 7.2.5, nos encontramos en condiciones de abordar la prueba del teorema de Hopf-Rinow. El teorema de Hopf-Rinow Teorema 7.2.7 (de Hopf-Rinow). Sea S una superficie conexa. Las siguientes propiedades son equivalentes: i) El espacio métrico (S, d) es completo. ii) S es geodésicamente completa. iii) S es geodésicamente completa en un punto. iv) Se verifica el teorema de Heine-Borel: los conjuntos cerrados (en S) y acotados (en la distancia intr´ınseca d) son compactos. Si se cumple una de las condiciones anteriores (y por tanto, todas ellas), diremos simplemente que la superficie S es completa. En tal caso, dos puntos cualesquiera de S pueden unirse mediante un segmento de geodésica minimizante. Muchos autores enuncian este resultado como el propio teorema de Hopf-Rinow. 267


Demostración. Veamos que i) implica ii). Supongamos que el espacio métrico (S, d) es completo, pero que S no es geodésicamente completa. Entonces, existen p0 ∈ S y v ∈ Tp0 S, tales que γv (1) no está definida; podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que γv está definida en el intervalo [0, 1). Sea {tn }n∈N una sucesión en [0, 1) con l´ımn→∞ tn = 1. Como {tn }n∈N es convergente, en particular es una sucesión de Cauchy. Por tanto, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces |tm − tn | < ε . Ahora bien, Z tm ¢ ¡ ¢ Z tm ¯ 0 ¯ ¡ ¯γv (t)¯ dt = |v| dt = |v| (tm − tn ) d γv (tn ), γv (tm ) ≤ Lttnm γv |[tn ,tm ] = tn

tn

(suponiendo, por ejemplo, tn < tm ). En consecuencia, dado ε > 0, para el N > 0 anterior, si n, m ≥ N, entonces se cumple que ¢ ¡ d γv (tn ), γv (tm ) ≤ |v| (tm − tn ) ≤ |v| ε . ª © Luego γv (tn ) n∈N es una sucesión de Cauchy en (S, d). Como este espacio métrico ª © es completo, γv (tn ) n∈N es convergente, por lo que podemos asegurar que existe un punto p ∈ S tal que p = l´ımn→∞ γv (tn ). Hay que demostrar que p = l´ımt→1− γv (t). Para ello, sea {sn }n∈N una sucesión cualquiera del intervalo [0, 1) con l´ımn→∞ sn = 1. Con un razonamiento análogo al ª © anterior podemos deducir de nuevo que la sucesión de puntos γv (sn ) n∈N ⊂ (S, d) es de Cauchy, y por tanto, convergente. Sea p0 = l´ımn→∞ γv (sn ). Dado que ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ≤ d γv (sn ), γv (tn ) ≤ Ltsnn γv |[sn ,tn ] = |v| |tn − sn | , tomando l´ımites cuando n → ∞ se tiene 0 ≤ d(p0 , p) ≤ |v| l´ımn→∞ |tn − sn | = 0, de donde se deduce que d(p0 , p) = 0, es decir, p0 = p. Esto prueba que l´ımt→1− γv (t) = p. Podemos definir entonces γv (1) := p, ((extendiendo)) as´ı γv hasta t = 1 de forma continua. Pero esto no prueba que γv sea una geodésica en p. Para demostrarlo, sea a < 1 (suficientemente próximo a 1) tal que existe un entorno normal V de γv (a) con γv (1) = p ∈ V . Esto nos asegura la existencia del segmento de geodésica radial que une γv (a) con p ∈ V . Por la unicidad de las geodésicas en entornos normales, este segmento de geodésica radial coincide con γv , luego γv ((llega)) a p ((como geodésica)). La condición ii) implica iii) trivialmente. Veamos que de iii) se deduce iv). Sea A un subconjunto de S cerrado y d-acotado, y sea p0 ∈ S un punto donde S es geodésicamente completa. Esto implica que expp0 está definida en todo Tp0 S. Por otro lado, como A es d-acotado, existe M > 0 tal que A ⊂ Bd (p0 , M). Además, al ser S conexa y estar expp0 definida en todo Tp0 S, el lema 7.2.5 nos asegura que, dado p ∈ A, existe un segmento de geodésica minimizante γ uniendo p0 = γ (0) con p = γ (a). Sea v = γ 0 (0) (lo cual implica que γ ≡ γv ). Entonces, Z a ¢ Z a¯ 0 ¯ ¡ a ¯ ¯ |v| dt = a |v| , γ (t) dt = M > d(p0 , p) = L0 γ |[0,a] = 0

0

de donde se deduce que |av| < M, o lo que es lo mismo, av ∈ D(0, M). Luego ¡ ¢ p = γ (a) = γv (a) = γav (1) = expp0 (av) ∈ expp0 D(0, M) . 268


¡ ¢ ¡ ¢ Por tanto, A ⊂ expp0 D(0, M) ⊂ expp0 cl D(0, M) , siendo este u´ ltimo compacto (imagen por la aplicación continua expp0 de un compacto). En consecuencia, tenemos A cerrado contenido en un compacto, lo que implica que A es compacto. Rec´ıproca© ª mente, sea A ⊂ S un compacto. Si Bd (p0 , n) : n ∈ N es un cubrimiento de A (compacto), existe un subcubrimiento finito, lo que prueba que A es d-acotado. Además, todo compacto contenido en un Hausdorff (S lo es) es cerrado. Veamos finalmente que iv) implica i). Sea {pn }n∈N una sucesión de Cauchy en S, y sea A = {pn : n ∈ N} el conjunto de tales puntos. Por ser una sucesión de Cauchy, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces d(pn , pm ) < ε . Fijamos un punto p ∈ S y un número natural n > N. Entonces, d(p, pn ) ≤ d(p, pN ) + d(pN , pn ) < d(p, pN ) + ε . Como pN es un punto fijo, existe r0 > 0 tal que r0 > d(p, pN ) + ε . En consecuencia, d(p, pn ) < r0 , para todo n ≥ N. Obsérvese que sólo queda una cantidad finita de puntos en A que no tienen por qué cumplir esta condición: p1 , . . . , pN−1 . Basta tomar © ª entonces r = máx r0 , d(p, p1 ), . . . , d(p, pN−1 ) para asegurar que d(p, pm ) < r, para todo pm ∈ A; es decir, A es d-acotado, ya que A ⊂ Bd (p, r). En particular, su clausura cl A es d-acotado y cerrado, lo que implica, por hipótesis (teorema de Heine-Borel), que cl A es compacto. Como {pn }n∈N ⊂ cl A es una sucesión contenida en un compacto, existe una subsucesión convergente; ahora bien, dado que la sucesión original es de Cauchy y tiene una subsucesión convergente, podemos asegurar que la propia sucesión {pn }n∈N es convergente, lo que demuestra que (S, d) es completo. Consecuencias del teorema de Hopf-Rinow En este apartado vamos a ver que, pese a ser un resultado intr´ınseco, el teorema de Hopf-Rinow está relacionando de alguna manera propiedades intr´ınsecas de la superficie (el ser geodésicamente completa) con otras que tienen que ver con cómo la superficie está incluida dentro de R3 . Una primera consecuencia es que, si como subespacio topológico la superficie es cerrada, entonces también es completa. Proposición 7.2.8. Toda superficie regular y cerrada en R3 es completa. Demostración. Supongamos que S es una superficie regular cerrada. Para ver que es completa, probamos que el espacio métrico (S, d) es completo. Sea {pn }n∈N una sucesión de Cauchy en (S, d). Como |pn − pm | ≤ d(pn , pm ), entonces {pn }n∈N tam¡ ¢ bién es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico R3 , | · | . Luego existe l´ımite ¡ ¢ en R3 , | · | . Sea p = l´ımn→∞ pn este l´ımite. Dado que S es cerrada (en R3 ), podemos ¡ ¢ asegurar que p ∈ S. En definitiva, tenemos que p = l´ımn→∞ pn en S, | · | , lo cual implica que p = l´ımn→∞ pn en (S, d), pues ambas topolog´ıas son equivalentes. En particular, también se tiene que: Corolario 7.2.9. Toda superficie regular y compacta es completa. 269


Podemos afinar un poco más y añadir una nueva definición que, como veremos más tarde, introduce una clase nueva de superficies ((comprendida)) entre las superficies regulares y las superficies completas. Definición 7.2.10. Una superficie regular S es extendible si existe otra superficie regular S con igual número de componentes conexas,4 tal que S ⊂ S estrictamente. Se puede probar entonces el siguiente resultado: Proposición 7.2.11. Toda superficie regular y completa es no extendible. Demostración. Supongamos que S es conexa (lo que no supone restricción alguna en la demostración; en caso contrario, bastar´ıa argumentar con el número de componentes conexas de S), completa y extendible. Entonces, por definición, existe otra superficie regular y conexa S tal que S ⊂ S estrictamente. Además, la frontera de S no es vac´ıa: en efecto, como S = int(S\S) ∪ S ∪ bd S (que es una unión disjunta), si bd S = 0, / entonces S = int(S\S) ∪ S podr´ıa expresarse como unión disjunta de dos abiertos, lo que contradir´ıa la conexión de S. Por tanto, existe p0 ∈ bd S ∩S, con p0 6∈ S (ya que S es abierta en S y S 6= S). Como p0 ∈ S, podemos tomar un entorno normal V de p0 en S. Ahora bien, p0 ∈ bd S, lo que / luego existe p ∈ V ∩ S. Consideremos el segmento de geodésica implica V ∩ S 6= 0; radial γ p : [0, 1] −→ V tal que γ p (0) = p0 y γ p (1) = p. Dado que γ p (0) = p0 ∈ S y γ p (1) = p ∈ S, existirá un t0 ∈ [0, 1] tal que γ p |(t0 ,1] no se sale de V ∩ S, es decir, © ª t0 = inf t ∈ [0, 1] : γ p (t) ∈ V ∩ S para todo t > t0 . As´ı, podemos construir γ (t) = γ p (1 − t), con t ∈ [0, 1 − t0 ], que es un segmento de geodésica uniendo γ (0) = γ p (1) = p ∈ S y γ (1 − t0 ) = γ p (t0 ) ∈ bd S 6⊂ S, contenido en S. Esto nos dice que en S, la geodésica γ : [0,t0 ) −→ S no puede extenderse a p0 , y no está definida en todo R, lo que contradice la completitud de S. Tenemos por tanto la siguiente cadena de inclusiones estrictas:

Â

(

Superficies regulares

)

( ⊃

Superficies no extendibles

)

( ⊃

Superficies completas

)

( ⊃

Superficies cerradas

)

( ⊃

¿

Superficies compactas

Á

)

À

Los siguientes ejemplos demuestran que, en efecto, las inclusiones son estrictas: i) Superficie regular extendible: un hemisferio (abierto) de la esfera. ii) Superficie no extendible y no completa: el cono de una hoja (sin el vértice); no es completa pues los meridianos (geodésicas) no están definidos en todo R; es no extendible ya que, si se añade el vértice, deja de ser una superficie regular. 4

270

Para evitar situaciones triviales.


iii) Superficie completa y no cerrada: el cilindro recto construido sobre una espiral asintótica a una circunferencia (véase la figura 7.5, izquierda). Claramente, esta superficie es completa, pero no es cerrada; en efecto, si tomamos la sucesión de puntos en S obtenidos como intersección de S con una recta ortogonal al eje del cilindro, el punto l´ımite, que está en la circunferencia, no pertenece a la superficie (véase la figura 7.5, derecha).

Figura 7.5: Una superficie completa y no cerrada.

iv) Una superficie cerrada y no compacta: el cilindro. 7.2.3.

El teorema de Bonnet

La segunda fórmula de variación establecida en el teorema 7.1.8 permite probar un teorema sorprendente, conocido como el teorema de Bonnet. Para enunciarlo, necesitamos la siguiente definición: Definición 7.2.12. Se define el diámetro de una superficie regular y compacta S como © ª D(S) := máx d(p, q) : p, q ∈ S . Observemos que la distancia eucl´ıdea siempre es menor o igual que la intr´ınseca. As´ı pues, el diámetro de una superficie está acotado inferiormente por el diámetro ¢ ¡ de S como subconjunto del espacio métrico R3 , | · | . En este contexto, se tiene el siguiente resultado. Teorema 7.2.13 (de Bonnet). Sea S una superficie regular y completa, tal que su curvatura de Gauss K satisface la condición K(p) ≥ δ > 0, para todo p ∈ S. Entonces S es compacta y su diámetro D(S) verifica

π D(S) ≤ √ . δ Demostraci´ que √on. Procedamos por reducción al absurdo. As´ı pues, supongamos √ D(S) > π / δ . Entonces, existen puntos p, q en S tales que d(p, q) =: ` > π / δ . Por otro lado, como la superficie es completa, podemos asegurar la existencia de un γ : [0, `] −→ S de forma que γ (0) = p y γ (`) = q, segmento de geodésica minimizante √ ` cuya longitud L0 (γ ) = ` > π / δ . Consideremos el vector velocidad de la geodésica 271


® en p, γ 0 (0) ∈ Tp S, y sea v0 ∈ Tp S tal que |v0 | = 1 y v0 , γ 0 (0) = 0. Tomamos entonces el transporte paralelo a lo largo de γ de v0 , P0s (γ )(v0 ) = V (s), el cual verifica ¯ ¯ que ¯V (s)¯ = |v0 | para todo s, siendo V (0) = v0 . Además, como γ es una geodési® ® ca, su campo velocidad es paralelo, por lo que V (s), γ 0 (s) = v0 , γ 0 (0) = 0. En consecuencia, V (s) y γ 0 (s) son ortogonales, para todo s ∈ [0, `]. Consideremos ahora el campo de vectores tangente Z ∈ X (γ ) dado por ³π ´ s V (s), Z(s) = sen ` el cual verifica que ® Z(s), γ 0 (s) = 0. Z(0) = 0, Z(`) = sen π V (`) = 0 y En consecuencia, Z determina una variación propia y normal φ de la geodésica γ , de la cual Z es su campo variacional. Se satisfacen entonces las condiciones del teorema 7.1.8, por lo que podemos utilizar la segunda fórmula de variación; como V es paralelo (y por tanto, unitario), ³π ´ ³π ´ ³ π ´ DV π π DZ s V (s) + sen s s V (s); (s) = cos (s) = cos ds ` ` ` ds ` ` luego se tiene que # " ¯2 Z ` ¯¯ ¯2 ¯ ¢¯ ¡ DZ 00 ¯ ¯ ¯ ¯ L (0) = ¯ ds (s)¯ − K γ (s) Z(s) ds 0 ¸ Z `· 2 ³ ´ ¡ ¢ 2 ³π ´ π 2 π cos s − K γ (s) sen s ds. = `2 ` ` 0 √ Ahora bien, como estamos suponiendo que ` > π / δ , lo cual es equivalente a que ¢ ¡ δ > π 2 /`2 , tenemos la desigualdad estricta K γ (s) ≥ δ > π 2 /`2 . Entonces, Z Z ` 2h ³ ´ ³ í ³ π ´ π π2 ` 2 π 2 π 00 cos s − sen s ds cos 2 s ds = 0, L (0) < = 2 ` ` `2 0 ` 0 ` una contradicción, ya que al ser γ un segmento de geodésica minimizante, su longitud va a ser menor (o igual) que la de cualquier otra curva que una p con q, y por tanto, cualquier variación de γ debe verificar que L0 (0) = 0 y L00 (0) ≥ 0. √ Hemos demostrado as´ı que el diámetro D(s) ≤ π / δ . Esto implica además que la superficie es d-acotada. Como, de forma obvia, S es cerrada en S y estamos suponiendo que es completa, el teorema de Hopf-Rinow nos asegura que S es compacta, lo que concluye la prueba. Observación 7.6. La hipótesis K ≥ δ > 0 no puede debilitarse suponiendo sólo que la curvatura de Gauss verifica K > 0: consideremos, por ejemplo, el paraboloide de © ª revolución dado por S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , superficie que, desde luego, no es compacta; un rápido cálculo permite comprobar que su curvatura de Gauss vale K = 4/(1 + 4z)2 > 0, y que l´ımz→∞ 4/(1 + 4z)2 = 0, por lo que es imposible encontrar un δ > 0 tal que K ≥ δ > 0. La curvatura de Gauss K debe estar acotada inferiormente por un número estrictamente positivo. ♦ 272


√ Observación 7.7. La cota π / δ establecida para el diámetro es la mejor posible, pues existen superficies para las que se da la igualdad: considérese la esfera S2 (r), cuya curvatura de Gauss es K = 1/r2 ; tomando δ = 1/r2 (que satisface trivialmente la condición K ≥ δ > 0), se tiene que ¡ ¢ π √ = π r = D S2 (r) , δ pues en la esfera, d(p, q) ≤ π r, dándose la igualdad si, y sólo si, p y q son puntos antipodales. ♦ Observación 7.8. Como |p − q| ≤ d(p, q), el diámetro de una superficie S en la distancia eucl´ıdea es siempre menor o igual que el diámetro en la distancia √ intr´ınseca; as´ı, si se dan las condiciones del teorema de Bonnet, D| · | (S) ≤ D(S) ≤ π / δ , lo que prueba que este resultado también se cumple para la distancia eucl´ıdea. ♦ 7.3.

EL TEOREMA DE RIGIDEZ DE LA ESFERA

En esta sección vamos a estudiar otro ejemplo t´ıpico de lo que se conoce como un resultado global. Se trata de demostrar que la esfera es r´ıgida en el siguiente sentido: si φ : S2 (r) −→ S es una isometr´ıa global de una esfera de radio r en una superficie regular S, entonces S también es una esfera del mismo radio. ¿Qué significa geométricamente este resultado? En pocas palabras, lo que estamos afirmando es que no es posible deformar una esfera fabricada con un material flexible e inelástico. Para ilustrar esta respuesta, vamos a estudiar, en primer lugar, y de un modo intuitivo, qué tipos de aplicaciones se dan entre dos superficies arbitrarias S y S0 . En un primer nivel, podemos considerar un difeomorfismo entre S y S0 . Dos superficies difeomorfas son idénticas desde el punto de vista de la diferenciabilidad (y por supuesto, de la topolog´ıa). As´ı, podemos ver S0 como una deformación de S, donde entendemos que S está fabricada con un material elástico y flexible que permite dicha deformación. En un segundo nivel, tenemos una isometr´ıa (global) entre S y S0 . Claramente este nivel engloba al primero (toda isometr´ıa es un difeomorfismo), aunque ahora, lo que podemos es ver S0 como una deformación de S, donde S está fabricada con un material flexible e inelástico (si tuviera elasticidad, se modificar´ıan las longitudes de las curvas dentro de la superficie, y no tendr´ıamos isometr´ıa). Finalmente, en un tercer nivel, se tiene un movimiento r´ıgido entre S y S0 . Si queremos dar una interpretación análoga a las anteriores podemos concluir que, en realidad, lo u´ nico que estamos haciendo es cambiar la posición en el espacio de la superficie S, que no puede ser flexible ni elástica. Como ya hemos anticipado al comienzo de la sección, vamos a demostrar que la esfera es r´ıgida, lo que se obtendrá como una consecuencia del siguiente resultado (véase el corolario 7.3.3): 273


Teorema 7.3.1 (Liebmann, 1899). Sea S una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss K constante. Entonces S es una esfera. Para la demostración del teorema de Liebmann 7.3.1 necesitamos el siguiente lema previo, cuya prueba se debe a S. S. Chern [6]. Lema 7.3.2. Sea S una superficie regular y sea p ∈ S tal que i) K(p) > 0, ii) p es un máximo de k2 y iii) p es un m´ınimo de k1 . Entonces p es un punto umbilical. Demostración. Recordemos que, por convenio, siempre suponemos que k1 ≤ k2 . Además, las curvaturas principales son funciones diferenciables, excepto en los puntos umbilicales. En lo que sigue, suprimiremos por comodidad las variables (u, v) de todas las expresiones. Una vez hecha esta aclaración, supongamos que p no es umbilical, y vamos a llegar a una contradicción. En tal caso, k1 (p) 6= k2 (p) y, en consecuencia, existen dos direcciones principales en p. Además, siempre es posible encontrar una parametrización X : U ⊂ R2 −→ V (p) en p doblemente ortogonal, es decir, tal que las curvas coordenadas u ; X(u, v), v ; X(u, v) son l´ıneas de curvatura (véase la observación 3.16). Ya sabemos que, para dicha parametrización X, se verifica F = f = 0 (observación 3.16), por lo que 2H =

eG + gE EG

y

K=

eg . EG

En consecuencia, las curvaturas principales toman los valores k1 = e/E y k2 = g/G (si fuese necesario, podemos intercambiar u y v para que k1 ≤ k2 ). Recordemos además que las ecuaciones de Mainardi-Codazzi en este caso (véase el ejemplo 3.22) se reducen a las expresiones g´ Gu ³ e g´ Ev ³ e + , gu = + , ev = 2 E G 2 E G por lo que

Gu Ev (k1 + k2 ) y gu = (k1 + k2 ). 2 2 Si derivamos k1 = e/E respecto a v se obtiene ev =

(k1 )v =

(7.12)

ev E − eEv , E2

de donde E(k1 )v = ev − (e/E)Ev = ev − k1 Ev . Sustituyendo la expresión para ev recogida en (7.12) en esta u´ ltima igualdad, se llega a que E(k1 )v = 274

Ev Ev (k1 + k2 ) − k1 Ev = (−k1 + k2 ), 2 2


es decir, Ev = 2E

(k1 )v . −k1 + k2

(7.13)

Análogamente, si derivamos k2 = g/G respecto a u obtenemos (k2 )u =

gu G − gGu , G2

de donde G(k2 )u = gu − (g/G)Gu = gu − k2 Gu . De nuevo, sustituyendo la expresión para gu que aparece en (7.12), se llega a que G(k2 )u =

Gu Gu (k1 + k2 ) − k2 Gu = (k1 − k2 ), 2 2

es decir,

(k2 )u . (7.14) k1 − k2 Recordemos que la curvatura de Gauss en una parametrización ortogonal, como la que nos ocupa, se escribe en los siguientes términos (véase el ejercicio 3.31): ·µ ¶ µ ¶ ¸ Ev Gu −1 √ + √ . K= √ 2 EG EG v EG u Gu = 2G

Desarrollando las derivadas que aparecen en dicha fórmula se llega a la expresión √ ¡√ ¢ i Evv + Guu 1 h ¡√ ¢ −2K EG = √ Ev EG v + Gu EG u , − EG EG y sustituyendo en ella las relaciones (7.13) y (7.14) se obtiene # " ¡√ ¢ ¡√ ¢ 2E EG v 2G EG u 1 (k1 )v − (k2 )u . −2KEG = Evv + Guu − √ k2 − k1 k2 − k1 EG Vamos a reescribir esta igualdad de la forma −2KEG = Evv + Guu + M(u, v)(k1 )v + N(u, v)(k2 )u , donde

¡√ ¢ 1 2E EG v M(u, v) = − √ EG k2 − k1

y

(7.15)

¡√ ¢ 1 2G EG u N(u, v) = √ . EG k2 − k1

Obsérvese que, al estar trabajando en un punto p que no es umbilical, las funciones M(u, v) y N(u, v) están bien definidas, y son diferenciables en un entorno de dicho punto. A continuación, vamos a calcular Evv y Guu . De (7.13) se obtiene que ¶ µ 2E 2E (k1 )v + (k1 )vv , Evv = k2 − k1 v k2 − k1 mientras que, partiendo de (7.14), se llega a que ¶ µ 2G 2G (k2 )u + (k2 )uu . Guu = k1 − k2 u k1 − k2 275


Introduciendo estas dos expresiones en (7.15) se tiene que −2KEG = donde ahora e v) = M(u,

µ

2G 2E e v)(k1 )v + N(u, e v)(k2 )u , (k1 )vv + (k2 )uu + M(u, k2 − k1 k1 − k2 2E k2 − k1

¶ v

µ + M(u, v)

y

e v) = N(u,

2G k1 − k2

¶ u

+ N(u, v).

Finalmente, multiplicando la ecuación por (k2 − k1 ), se obtiene −2KEG(k2 − k1 ) = 2E(k1 )vv − 2G(k2 )uu + M(u, v)(k1 )v + N(u, v)(k2 )u ,

(7.16)

e v) y N(u, v) = (k2 − k1 )N(u, e v), siendo cierta la igualdad con M(u, v) = (k2 − k1 )M(u, para todos los puntos de un entorno de p. Si evaluamos esta expresión en dicho punto p = X(q), entonces, sabemos por hipótesis que i) el punto p es el´ıptico, luego K(p) > 0; ii) el punto p es un máximo de k2 , luego (k2 )u (q) = 0 y (k2 )uu (q) ≤ 0; iii) el punto p es un m´ınimo de k1 , luego (k1 )v (q) = 0 y (k1 )vv (q) ≥ 0. En consecuencia, el primer miembro de la ecuación (7.16) cumple ¡ ¢ −2K(p)E(q)G(q) k2 (p) − k1 (p) < 0, pues k1 ≤ k2 por hipótesis, y sólo se da la igualdad si p es umbilical, que no es el caso. Por otra parte, el lado derecho de (7.16) verifica 2E(q)(k1 )vv (q) − 2G(q)(k2 )uu (q) ≥ 0, ya que (k1 )v (q) = (k2 )u (q) = 0. Hemos llegado as´ı a una contradicción, lo que demuestra que el punto p debe ser umbilical. Estamos ya en disposición de demostrar el teorema de Liebmann 7.3.1. Demostración del teorema 7.3.1. Como S es compacta, existe un punto el´ıptico p0 (véase el ejercicio 3.6), de modo que K(p0 ) > 0. As´ı, K ≡ c, siendo c una constante positiva. Por otro lado, dado que k2 es una función continua definida en S, que es compacto, existe un punto p donde k2 alcanza el máximo (recordemos que, por convenio, k2 ≥ k1 ). Ahora bien, como K = k1 k2 = c, entonces k1 = c/k2 , por lo que k1 alcanza el m´ınimo en el punto p. Luego se cumplen las tres hipótesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que el punto p es umbilical, es decir, k1 (p) = k2 (p). Además, para todo p0 ∈ S, al ser p el máximo y el m´ınimo de k2 y k1 , respectivamente, se tiene que k2 (p) ≥ k2 (p0 ) ≥ k1 (p0 ) ≥ k1 (p), y como los números en los extremos de esta cadena de desigualdades coinciden, se tiene k1 (p0 ) = k2 (p0 ), para todo p0 ∈ S; en consecuencia, S es totalmente umbilical. 276


Pero sabemos (teorema 3.4.7) que las u´ nicas superficies totalmente umbilicales son aquellas formadas exclusivamente por trozos de planos o de esferas. Del hecho de que K > 0 y de que S sea conexa, se tiene que S ⊂ S2 (r), donde r2 = 1/K. Finalmente observemos que, al ser S compacta, entonces es cerrada (en S2 (r)), y que por ser S superficie regular, es abierta (en S2 (r)); luego S es toda la esfera S2 (r). Corolario 7.3.3 (Teorema de rigidez de la esfera). Sean S una superficie regular y φ : S2 (r) −→ S una isometr´ıa. Entonces S es una esfera de radio r. Demostración. La ((rigidez de la esfera)) se deduce de forma inmediata a partir del teorema de Liebman 7.3.1: si φ : S2 (r) −→ S es una isometr´ıa entonces: la superficie S tiene curvatura de Gauss constante K y la superficie S es conexa y compacta, pues φ es un difeomorfismo. Por tanto, la superficie S se encuentra en las condiciones del teorema, y resulta ser una esfera del mismo radio. Observación 7.9. En la demostración del lema 7.3.2 no se llega a contradicción alguna si se supone que k1 tiene un máximo local en p y k2 un m´ınimo local en dicho punto. De hecho, existen ejemplos de superficies con curvatura de Gauss positiva y constante, donde se da esta situación en un punto p, sin ser e´ ste umbilical. Mostramos uno de ellos a continuación. ♦ Ejemplo 7.1. Consideremos la superficie de revolución parametrizada por ¡ ¢ X(u, v) = c cos v cos u, c cos v sen u, g(v) , ¡ ¢ donde (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × − arc sen(1/c), arc sen(1/c) , siendo c > 1 y g(v) =

Z vp 0

1 − c2 sen2 t dt

(véase la figura 7.6, para distintos valores de c > 1).

Figura 7.6: La superficie de ´ X(u, v) para c = 1,5 revolucion (izquierda) y c = 2 (derecha).

Los coeficientes de su primera forma fundamental son E = c2 cos2 v, F = 0 y G = 1, mientras que los de su segunda forma fundamental son p c cos v . e = −c 1 − c2 sen2 v cos v, f = 0 y g = − √ 1 − c2 sen2 v 277


Al tratarse de una parametrización para la cual F = f = 0 (es decir, una parametrización ortogonal cuyas curvas coordenadas son además l´ıneas de curvatura, véase el ejercicio 3.13), se tiene que √ e c cos v 1 − c2 sen2 v g y k2 = = − , k1 = = − √ G E c cos v 1 − c2 sen2 v pues, al ser c > 1, entonces k1 ≤ k2 . Además, la curvatura de Gauss es estrictamente positiva y constante: K = k1 k2 ≡ 1 > 0. Por otro lado, es sencillo ver que k1 < k2 ; en efecto, k1 = k2 si, y sólo si, c2 = 1, lo cual es imposible pues c > 1 por hipótesis. Luego S no tiene puntos umbilicales. Más aún, √ 1 1 − c2 sen2 v > − = k2 (u, 0), k2 (u, v) = − c cos v c lo que nos asegura que k2 alcanza el m´ınimo en los puntos del paralelo v = 0. De esta forma, al ser K constante, k1 alcanza el máximo en dichos puntos. Observemos, por u´ ltimo, que esta superficie no es compacta. ♦ Una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss positiva en todos sus puntos, se denomina un ovaloide. Existe un resultado de rigidez para ovaloides análogo al que hemos presentado para la esfera, cuya demostración excede las pretensiones de este libro, y que se conoce como teorema de Cohn-Vossen (1927, véase [42]). No obstante, y en relación con los ovaloides, s´ı podemos estudiar el siguiente resultado de unicidad en términos de la curvatura media; su demostración es muy sencilla utilizando las técnicas de la rigidez de la esfera. Corolario 7.3.4. Si S es una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss K > 0 (no necesariamente constante) y curvatura media H constante, entonces S es una esfera. En otras palabras, todo ovaloide con curvatura media constante es una esfera. Demostración. Recordemos que 2c ≡ 2H = k1 + k2 , y podemos suponer, cambiando la orientación si es necesario, que H ≡ c ≥ 0. Por otra parte, c > 0, ya que si c = 0, entonces k1 = −k2 y K ≤ 0, lo que contradice nuestra hipótesis. De nuevo, la compacidad de S nos asegura la existencia de un punto p donde k2 alcanza un máximo y, por tanto, k1 un m´ınimo (pues k1 + k2 = 2c > 0). Como K(p) > 0 el lema 7.3.2 nos asegura que k1 (p) = k2 (p), y un razonamiento análogo al desarrollado en la demostración del teorema de Liebmann 7.3.1 nos permite concluir que S es una esfera. En relación a este u´ ltimo resultado obsérvese que, si S es un ovaloide, el teorema de Gauss-Bonnet asegura que Z

0<

278

S

K dA = 2π χ (S).


Por tanto, χ (S) > 0, y la u´ nica posibilidad es χ (S) = 2, de donde se deduce que S es homeomorfa a la esfera. Evidentemente, el rec´ıproco no es cierto, pues existen superficies homeomorfas a la esfera que no son ovaloides (véase la figura 6.10). Algunos resultados que generalizan el teorema para ovaloides con curvatura media constante, a un tipo de superficies más generales, son los siguientes: Teorema 7.3.5 (Hopf, 1951). Una superficie ((regular)) homeomorfa a la esfera y con curvatura media constante es una esfera. Este resultado es mucho más profundo de lo que podemos reflejar con la teor´ıa desarrollada en este texto. Hopf [19] trabaja con ((superficies abstractas)), esto es, espacios topológicos localmente homeomorfos a abiertos del plano. Tales superficies abstractas están ((inmersas)) (contenidas) en el espacio eucl´ıdeo v´ıa una cierta aplicación (una ((inmersión))), que es un homeomorfismo local sobre la imagen. Sin embargo, la topolog´ıa de la superficie abstracta no coincide, en general, con la topolog´ıa de la imagen como subconjunto del espacio eucl´ıdeo. Pues bien, lo que afirma Hopf es que una superficie abstracta homeomorfa a una esfera, que además está inmersa en el espacio eucl´ıdeo, y cuya inmersión (cuya superficie imagen) tiene curvatura media constante en todos sus puntos, es necesariamente una esfera propiamente dicha. La demostración del teorema de Hopf introduce herramientas y técnicas realmente audaces, que han supuesto avances muy importantes en la Teor´ıa de Superficies con curvatura media constante, as´ı como en otras clases más amplias de superficies. Un resultado similar al de Hopf, pero que versa sobre superficies regulares como las que estudiamos en este libro, es el siguiente: Teorema 7.3.6 (Aleksandrov, 1955). Una superficie regular, conexa, compacta y con curvatura media constante es una esfera. El teorema de Aleksandrov (véanse [2, 19]) no es ni una generalización ni un caso especial del teorema de Hopf anterior, ya que las hipótesis de partida son diferentes. As´ı, este resultado no impone ninguna condición sobre el tipo topológico5 de superficie, aunque s´ı exige (en contraste con el resultado anterior de Hopf) que e´ sta sea una superficie regular. Es evidente que la prueba de Aleksandrov, siendo como es un teorema distinto al de Hopf, necesita técnicas muy diferentes. De hecho, Aleksandrov inventa su ((método de reflexión)), de resultados sorprendentes y aplicaciones diversas, con el que demuestra que una superficie, en las hipótesis del enunciado, tiene infinitos planos de simetr´ıa, con lo que necesariamente es una esfera (esta propiedad caracteriza las esferas). Al igual que el resultado de Hopf, el teorema de Aleksandrov se caracteriza, no por ser un ((punto de llegada)) a un resultado más o menos esperado, sino por constituirse en el lugar de partida de algunas de las ramas más sobresalientes y fruct´ıferas de la Geometr´ıa Diferencial moderna. 5

279

Sólo exige compacidad. La conexión es una hipótesis trivialmente necesaria.


Observación 7.10. El teorema de Aleksandrov puede enunciarse en los siguientes términos: las pompas de jabón siempre son redondas. Una pompa de jabón no es otra cosa que una superficie (formada por el l´ıquido jabonoso) cuya consistencia se debe a las fuerzas de tensión superficial presentes en cualquier sustancia l´ıquida. La pompa encierra dentro aire a una cierta presión p1 , mientras que en el exterior de la misma el aire se encuentra a la presión atmosférica p0 . Precisamente porque hemos soplado para hacer la pompa, ocurre que p1 > p0 . Más aún, la fórmula de Laplace demuestra que, en cada punto de la superficie jabonosa, p1 − p0 µ H. Como las presiones en el interior y en el exterior son constantes (los gases se reparten de forma homogénea, y no hay perturbaciones dinámicas o térmicas), entonces la pel´ıcula jabonosa tiene curvatura media constante. Por lo tanto, toda pompa de jabón tiene curvatura media constante, además de presentar la topolog´ıa de la esfera. As´ı pues, el teorema de Aleksandrov obliga a que dicha pompa tenga forma esférica (hecho que, experimentalmente, está más que comprobado). ♦

280


EJERCICIOS Ejercicio 7.1. Sea S una superficie regular. Dados p ∈ S y v ∈ D p , demostrar que la ¡ ¢ distancia intr´ınseca d p, exp p (v) ≤ |v|. ¿Bajo qué hipótesis se puede asegurar que ¡ ¢ d p, exp p (v) = |v|? Ejercicio 7.2. Dados p0 ∈ S y un disco geodésico D(p0 , R), demostrar que existe r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R). Ejercicio 7.3. Sean S una superficie regular, p, q ∈ S y α ∈ Ω(p, q) una curva uniendo p = α (a) con q = α (b). Demostrar que si α es minimizante (entre p y q), entonces α |[t0 ,t1 ] es minimizante entre α (t0 ) y α (t1 ), para cualesquiera t0 ,t1 ∈ [a, b]. Ejercicio 7.4. Sea d la distancia intr´ınseca en la esfera S2 (r). Demostrar que, para cada par de puntos p1 , p2 ∈ S2 (r), se verifica que d(p1 , p2 ) ≤ π r, dándose la igualdad si, y sólo si, p1 y p2 son puntos antipodales. Ejercicio 7.5. Dados dos puntos no antipodales p, q ∈ S2 , demostrar que existe un u´ nico m ∈ S2 tal que d(p, q) = 2d(p, m) = 2d(q, m), llamado punto medio de p y q. Probar que la rotación Rπ de π radianes alrededor de m, lleva p a q y q a p. Ejercicio 7.6. Sea f : W −→ R una función diferenciable, donde W ⊂ R3 es un abierto. Estudiar la completitud de la superficie de nivel S = f −1 (c), c ∈ R. Ejercicio 7.7 (Curvas divergentes). Una curva divergente en una superficie regular S es una curva diferenciable α : [0, ∞) −→ S que ((se sale de los compactos)), es decir, tal que, para cada conjunto compacto A ⊂ S, existe un instante t0 < ∞ para el cual α (t) ∈ / A si t > t0 . Se define entonces la longitud de α como Z t¯ ¯ L(α ) = l´ım ¯α 0 (s)¯ ds ≤ ∞. t→∞ 0

Demostrar que S es completa si, y sólo si, toda curva divergente tiene longitud infinita. ´ Esta fue, de hecho, la definición original de completitud dada por Hopf y Rinow en su art´ıculo [20]. Ejercicio 7.8 (Rayos). Se dice que una geodésica γ : [0, ∞) −→ S es un rayo que sale de p = γ (0) si γ realiza la distancia entre p y γ (t), para todo t ∈ [0, ∞). Demostrar que si S es una superficie completa y no compacta, y p ∈ S es un punto cualquiera de S, entonces existe un rayo que sale de p. Ejercicio 7.9. i) Sea φ : S1 −→ S2 un difeomorfismo entre dos superficies regulares. Probar que si S2 es completa y existe una constante c > 0 tal que ¯ ¯ c¯d φ p (v)¯ ≤ |v|, para todo p ∈ S1 y todo v ∈ Tp S1 , entonces S1 es completa. ´ es un difeomorii) Sea π : S2 \{N} −→ R2 la proyección estereográfica. Esta fismo entre la esfera menos un punto y el plano, que es además una aplicación conforme (véase el ejemplo 3.23). Por tanto verifica, en particular, que ¯ ¯ ¯d π p (v)¯ = c|v| para todo p ∈ S2 y todo v ∈ Tp S2 . Como el plano R2 es completo, entonces por el apartado i) se tiene que S2 \{N} es completa. ¿Dónde está el error? 281


Ejercicio 7.10. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre dos superficies regulares y conexas S1 y S2 . Supongamos que S1 es completa y que S2 cumple la siguiente propiedad: dos puntos cualesquiera de S2 se pueden unir mediante un u´ nico segmento de geodésica. Demostrar que φ es una isometr´ıa global. Ejercicio 7.11 (El funcional energ´ıa). Sea α : [a, b] −→ S una curva regular en una superficie S con α (a) = p y α (b) = q (no necesariamente p.p.a.). Se define la energ´ıa de α como Z b¯ ¯ ¯α 0 (t)¯2 dt. E(α ) = a

i) Demostrar que Lab (α )2 ≤ (b − a)E(α ), dándose la igualdad si, y sólo si, α está parametrizada proporcional al arco. ii) Demostrar que si γ : [a, b] −→ S es un segmento de geodésica minimizante (p.p.a.) con γ (a) = p y γ (b) = q, entonces E(γ ) ≤ E(α ), dándose la igualdad si, y sólo si, α es a su vez un segmento de geodésica minimizante. iii) Sean φ : [a, b] × (−ε , ε ) −→ S una variación de α , Z(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) el campo variacional asociado y αt (s) = φ (s,t). Sea E(t) = E(αt ). Probar que ¯ ®¯b Z b ® 1 0 0 E (0) = Z(s), α (s) ¯¯ − Z(s), α 00 (s) ds. 2 a a Concluir que si α es un segmento de geodésica, entonces E 0 (0) = 0 para toda variación propia de α . Ejercicio 7.12 (Campos de Jacobi). Sean γ : [0, `] −→ S un segmento de geodésica p.p.a. en una superficie S completa y φ : [0, `] × (−ε , ε ) −→ S una variación de γ tal que γt (s) = φ (s,t) es también geodésica para todo t ∈ (−ε , ε ). En tal caso se dice que el campo variacional J(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) es un campo de Jacobi. i) Sea v(t) una curva parametrizada en Tp S, p = γ (0), con v(0) = γ 0 (0) = v ¡ ¢ y v0 (0) = w, y considérese la aplicación φ (s,t) = expp sv(t) . Justificar que φ (s,t) es una variación de γ y demostrar que el campo J(s) = s d(expp )sv (w) es de Jacobi, verificando J(0) = 0 y (DJ/ds)(0) = w. ¯ ¯ ¢ ¡ ii) Comprobar que L` γt (s) = L` (γ )¯v(t)¯, para todo t ∈ (−ε , ε ). 0

0

iii) Demostrar que el campo velocidad γ 0 (s) también es un campo de Jacobi. Ejercicio 7.13. ¿Qué se puede afirmar de una superficie compacta cuya aplicación de Gauss es una isometr´ıa? Ejercicio 7.14. i) Demostrar que si una superficie regular S, conexa y compacta, tiene curvatura de Gauss estrictamente positiva en todo punto y es tal que el cociente H/K permanece constante, entonces S es una esfera. ii) Sea S una superficie regular y conexa, con curvatura de Gauss K > 0. Demostrar que si S no tiene puntos umbilicales, entonces no puede existir ningún punto en S donde H alcance un máximo y K un m´ınimo.

282

´ Practicas con Mathematicar En este cap´ıtulo del libro presentamos una serie de prácticas (desarrolladas) para realizar con el conocido entorno Mathematicar . Un gran número de estos ejercicios son originales, desarrollados por los propios autores, mientras que el resto se han obtenido de la página web http://mathworld.wolfram.com/ que a su vez es parte del sitio oficial del software Mathematicar . Finalmente, unos pocos ejercicios han sido extra´ıdos del excelente libro de Gray [17]. Evidentemente, y debido a las caracter´ısticas de un entorno tan potente y sofisticado como es Mathematicar , no pretendemos enseñar a utilizar este software, ya ´ que para ello está disponible el libro de Gray [17] (véase también [18]). Unicamente pretendemos que el estudiante disponga de una eficaz herramienta para visualizar, profundizar y comprender algunos de los conceptos y ejemplos que hemos presentado a lo largo del curso. En este sentido podemos, tanto encontrar ejercicios en los que descubrimos curvas que han jugado un papel decisivo a lo largo de la historia, como visualizar superficies cuyas ecuaciones son tan complicadas que apenas nos atrever´ıamos a empezar los cálculos. Pensamos que es muy importante en Geometr´ıa Diferencial saber distinguir entre lo que es verdaderamente decisivo (los conceptos, las definiciones, los resultados) y lo que, en ocasiones, es más accesorio (las cuentas largas y engorrosas), por lo que la utilización de una herramienta informática que aligere la parte computacional puede revelarse como la más eficaz de las armas para lograr una comprensión global del curso.

283

´ Apendice A

´ Curvas. Practicas con Mathematicar A.1. A.1.1.

GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS PLANAS La curvatura de una curva plana y la longitud de arco

Práctica A.1. Definir la estructura compleja J en R2 y escribir un programa que calcule la curvatura de una curva plana α . J[{p1 ,p2 }]:={-p2,p1} Kappa[a ][t ]:=∂{tt,2} a[tt].J[∂tt a[tt]]/Simplify[∂tt a[tt].∂tt a[tt]]ˆ(3/2)/.{tt->t}

Práctica A.2. Calcular la curvatura de la figura ocho y representar su gráfica. Obsérvense los máximos, los m´ınimos y los puntos en los que se anula la curvatura. ocho[t ]:={Sin[t],Sin[t] Cos[t]} Kappa[ocho][t]; Simplify[ %] Plot[Evaluate[Kappa[ocho][t],{t,0,8}]]

Práctica A.3. Calcular la curvatura del c´ırculo y representar gráficamente dicha función. ¿No deber´ıa ser constante? circulo[t ]:={Sin[t],Cos[t]} Kappa[circulo][t]; Simplify[ %] Plot[Evaluate[Kappa[circulo][t],{t,0,10}]]

Práctica A.4. Definir la función que expresa el módulo del vector velocidad de una curva, y escribir la función longitud de arco como la integral indefinida de dicha función. Finalmente, definir la función longitud, entre dos valores del parámetro, como la integral definida del módulo del vector velocidad de la curva. √ arcd[alpha ][t ]:= Simplify[∂tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]]/.{tt->t} R arclength[alpha ][t ]:= arcd[alpha][tt]dltt/.{tt ->t} length[a ,b ][alpha ]:=NIntegrate[arcd[alpha][u],{u,a,b}]

Práctica A.5. Calcular la función longitud de arco de la parábola semicúbica (t 2 ,t 3 ). Calcular su longitud entre los valores 1 y 2 del parámetro. sc[t ]:={tˆ2,tˆ3}; arclength[sc][t] length[1,2][sc] o también N[arclength[sc][2]-arclength[sc][1]]

285


Práctica A.6. Calcular la longitud de la cicloide desde el valor 0 al valor 2π del parámetro, as´ı como su función longitud de arco. cicloide[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]} length[0,2Pi][cicloide] arclength[cicloide][t]

A.1.2.

´ ´ grafica de curvas Representacion

Práctica A.7 (Formas expl´ıcita y paramétrica). Representar gráficamente la catenaria, la elipse de semiejes 1 y 2, y la circunferencia de radio 1. La gráfica resultante, ¿es la de una circunferencia? Añadir la opción AspectRatio->Automatic. Plot[Cosh[t],{t,-2,2}] ParametricPlot[{Cos[t],2Sin[t]},{t,0,2Pi}] ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}] ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.8 (Visualización simultánea de varias gráficas). Definir en código Mathematicar una función que represente una familia de circunferencias de centro (p, q) y radio a. Dibujar, usando la definición anterior, una circunferencia de radio 2 centrada en el punto (1, 2). Dibujar, usando dicha definición, una circunferencia de radio 3 centrada en el punto (2, 0). Superponer ambos dibujos. circunfer[a ][p ,q ][t ]:={a*Cos[t]+p,a*Sin[t]+q} ParametricPlot[Evaluate[circunfer[2][1,2][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[Evaluate[circunfer[3][2,0][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

A.1.3.

´ Algunos ejemplos de curvas planas clasicas

Práctica A.9. Representar la llamada lemniscata de Bernoulli, cuya parametrización ¡ ¢ es α (t) = a cost/(1 + sen2 t), a sent cost/(1 + sen2 t) , para t ∈ (0, 2π ). Cos[t] ,a Sin[t]Cos[t] lemn[a ][t ]:={a 1+Sin[t]ˆ2 1+Sin[t]ˆ2 } ParametricPlot[Evaluate[lemn[1][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.10. Definir la función cicloide α (t) = (t − sent, 1 − cost) y representar la gráfica de dicha curva para t ∈ [0, 6π ]. Cicl[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]} ParametricPlot[Evaluate[Cicl[t]],{t,0,6Pi},AspectRatio->Automatic]

286

Apéndice A: Curvas. Prácticas con Mathematicar

Práctica A.11. De la misma familia que la cicloide nos encontramos con las llamadas trocoides: un c´ırculo de radio 1 en el plano gira sin deslizarse sobre el eje x; las figuras descritas por un punto interior (trocoide de tipo 1) y por un punto exterior (trocoide de tipo 2) del c´ırculo son las curvas trocoides. troc1[t ]:={2t-Sin[t],2-Cos[t]}; ParametricPlot[Evaluate[troc1[t]],{t,0,4Pi},AspectRatio->Automatic,AxesOrigin->{0,0}] troc2[t ]:={t/2-Sin[t],1/2-Cos[t]}; ParametricPlot[Evaluate[troc2[t]],{t,0,6Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.12. Las epicicloides e hipocicloides se generan de forma similar a la cicloide, pero ahora, un c´ırculo gira sobre otro c´ırculo ((base)) de mayor radio, bien por el exterior (epicicloide), bien por el interior (hipocicloide). En la expresión siguiente, a es el radio del c´ırculo base y b el radio del c´ırculo que genera la curva. a+b Epic[a ,b ][t ]:={(a+b)Cos[t]-b*Cos[ a+b b t],(a+b)Sin[t]-b*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Epic[6,1][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Modificar el valor del radio de la circunferencia pequeña, b, y comprobar la diferencia entre las curvas que se generan. Probar con los valores b = 0.5, 2, 3, 4. En el u´ ltimo caso, b = 4, el parámetro t debe moverse en un intervalo mayor (en caso contrario no se llega a definir la curva completa); probar con t ∈ (0, 5π ). a-b Hipoc[a ,b ][t ]:={(a-b)Cos[t]+b*Cos[ a-b b t],(a-b)Sin[t]-b*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Hipoc[6,1][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Existen dos tipos de hipocicloides especialmente importantes: la deltoide y la ´ astroide. Estas se obtienen cuando el cociente a/b vale, respectivamente, 3 y 4. Deltoide=ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Hipoc[6,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic] Astroide=ParametricPlot[{{8Cos[t],8Sin[t]},Evaluate[Hipoc[8,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Dependiendo del cociente a/b, pueden obtenerse curvas espectaculares. Práctica A.13. Las epitrocoides e hipotrocoides son la ((mezcla)) de las trocoides con las epicicloides y las hipocicloides: el c´ırculo de radio 1 gira sobre otro c´ırculo ((base)) de radio mayor, bien por el exterior (lo que generará la epitrocoide), bien por el interior (lo que generará la hipotrocoide); las figuras descritas por un punto interior (epitrocoide o hipotrocoide de tipo 1) y por un punto exterior (epitrocoide o hipotrocoide de tipo 2) del c´ırculo son las curvas buscadas. En la expresión siguiente, a representa el radio de la circunferencia base, b el radio de la que gira y h es la distancia del punto (exterior o interior) que genera la curva propiamente dicha, al centro de la circunferencia pequeña. 287


a-b Htroc[a ,b ,h ][t ]:={(a-b)Cos[t]+h*Cos[ a-b b t],(a-b)Sin[t]-h*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{5Cos[t],5Sin[t]},Evaluate[Htroc[5,1,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic,Axes->False] a+b Etroc[a ,b ,h ][t ]:={(a+b)Cos[t]-h*Cos[ a+b b t],(a+b)Sin[t]-h*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{5Cos[t],5Sin[t]},Evaluate[Etroc[5,1,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

¡ ¢ Práctica A.14. Representar la cisoide de Diocles, α (t) = 2t 2/(1+ t 2 ), 2t 3/(1+ t 2 ) . 2tˆ3 2tˆ2 , 1+tˆ2 } cisoide[t ]:={ 1+tˆ2 ParametricPlot[Evaluate[cisoide[t]],{t,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.15. Representar la curva tractriz. tract[t ]:={Sin[t],Cos[t]+Log[Tan[t/2]]} ParametricPlot[Evaluate[tract[t]],{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.16. Definir una función que represente una familia de elipses centradas en el origen de coordenadas y de semiejes a y b. Representar, usando dicha definición, la elipse de semiejes 3 y 2. el[a ,b ][t ]:={a*Sin[t],b*Cos[t]} ParametricPlot[Evaluate[el[3,2][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.17. Representar algunas de las espirales más conocidas: la espiral logar´ıtmica α (t) = (ebt cost, ebt sent), con b = 0.08 y t ∈ (0, 12π ); la espiral de Arqu´ımedes, cuya ecuación en polares es ρ = aθ ; la espiral hiperbólica, ρ = a/θ ; la espiral de Fermat, ρ 2 = a2 θ ; y la espiral de Cornú. esplog[b ][t ]:={Eb*t Cos[t],Eb*t Sin[t]} ParametricPlot[Evaluate[esplog[0.08][t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] espArq[t ]:={t*Cos[t],t*Sin[t]} ParametricPlot[Evaluate[espArq[t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] esphip[t ]:={Cos[t]/t,Sin[t]/t} ParametricPlot[Evaluate[esphip[t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] espFer[t ]:={t*Cos[tˆ2],t*Sin[tˆ2]} ParametricPlot[Evaluate[espFer[t]],{t,-4Pi/3,4Pi/3},AspectRatio->Automatic] R R espCor[t ]:={ 0t Cos[uˆ2]dlu, 0t Sin[uˆ2]dlu} ParametricPlot[Evaluate[espCor[t]],{t,-2Pi,2Pi},AspectRatio->Automatic]

¡ ¢ Práctica A.18. La unión de la curva α (t) = 3at/(1+t 3 ), 3at 2 /(1+t 3 ) y su simétrica se denomina folium de Descartes. Representarla para a = 1. Obsérvese que esta curva tiene como as´ıntota la recta y = −x − a (en nuestro caso, y = −x − 1). 288


tˆ2 t t tˆ2 ,3 1+tˆ3 }; foli2[t ]:={3 1+tˆ3 ,3 1+tˆ3 } foli[t ]:={3 1+tˆ3 ParametricPlot[Evaluate[foli[t]],{t,-1,100},AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[Evaluate[foli2[t]],{t,-1,100},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %] ParametricPlot[{t,-t-1},{t,-30,30},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

Práctica A.19. Representar la bruja de Agnesi (véase la práctica A.38). 27 ParametricPlot[{t, 9+t 2 },{t,-10,10},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.20. Representar la cardioide. t 1-tˆ2 ,4 (1+tˆ2)ˆ2 } card[t ]:={2 (1+tˆ2)ˆ2 ParametricPlot[Evaluate[card[t]],{t,-20,20},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.21. Representar la curva de Plateau. Sin[(m+n)t] , 2a Sin[m*t]Sin[n*t] } plateau[a ,m ,n ][t ]:={a Sin[(m-n)t] Sin[(m-n)t] ParametricPlot[Evaluate[plateau[1,5,3][t]],{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-3.5,4},{-4,4}}]

Práctica A.22. Representar la curva de Kilroy. Plot[Log[Abs[Sin[x]/x]],{x,-20,20},PlotPoints->200,PlotRange->{-7,.2}]

Práctica A.23. Representar la cicloide de Ceva. ParametricPlot[(1+2Cos[2t]){Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.24. Representar la cornoide. ParametricPlot[{Cos[t](1-2Sin[t]ˆ2),Sin[t](1+2Cos[t]ˆ2)},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Práctica A.25. Representar el trifolium. ParametricPlot[4/3{Cos[t]-Cos[2t],Sin[t]+Sin[2t]},{t,0,2Pi},Ticks->None, AspectRatio->Automatic]

´ Práctica A.26. Representar los Ovalos de Cassini. Para representar curvas cuya ecuación viene dada de forma impl´ıcita, hay que cargar el paquete ImplicitPlot. 289


<#],{x,-5,5}, PlotPoints->50,Ticks->None]&/@({1,#}&/@{1.5,1.05,1,.95})]]]

Práctica A.27. Representar las concoides de Nicomedes. Para utilizar distintos colores en las representaciones gráficas es necesario cargar el paquete Colors. <None,DisplayFunction->Identity,AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-1.1,3.1},{-2,2}},PlotStyle->Red],{a,0,2,1/2}]], GraphicsSpacing->-.05]

Práctica A.28. Representar la curva de Dumbbell. ImplicitPlot[yˆ2==(xˆ4-xˆ6),{x,-5,5},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.29. Representar la curva nudo. ImplicitPlot[(xˆ2-1)ˆ2==yˆ2(3+2y),{x,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.30. Representar las rosáceas, curvas cuya ecuación en coordenadas polares es r = cos(nθ ). Obsérvese que, si n ∈ Z es impar, la rosa tiene n pétalos, mientras que si n ∈ Z es par, la rosa presenta 2n pétalos. <TraditionalForm[HoldForm[n]==n],Ticks->None,PlotStyle->Red, DisplayFunction->Identity],{n,2,5}]]]

Ahora bien, si n = p/q es un número racional, entonces la rosa se cierra en el a´ ngulo θ = π qε , donde ε = 1 si p es impar y ε = 2 si p es par. Pi Denominator[#]If[EvenQ[#/.Rational[x ,y ]:->x*y],2,1]&/@ {1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5} Show[GraphicsArray[Partition[PolarPlot[Cos[#t], {t,0,Pi Denominator[#]If[EvenQ[#/.Rational[x ,y ]:->x*y],2,1]}, PlotLabel->TraditionalForm[n==InputForm[#]],PlotPoints->100, DisplayFunction->Identity,Ticks->None,PlotStyle->Red] &/@{1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5},4,4,{1,1},{}]]]

Finalmente, si n es irracional, la rosa, más espectacular, tiene infinitos pétalos. Show[GraphicsArray[PolarPlot[Cos[#t],{t,0,30Pi},PlotLabel->TraditionalForm[n==#], PlotPoints->100,DisplayFunction->Identity,Ticks->None, √ PlotStyle->Red]&/@{E,Pi, 2}]]

290


A.1.4.

´ Graficas de funciones definidas a trozos

Práctica A.31. Representar gráficamente un triángulo. triangulo[t ]:=If[t<1,t{1,0}, √ √ √ If[t< 2,{1,0}+(t-1){-1/2, 3/2},{1/2, 3/2} +(t-2){-1/2,- 3/2}]] ParametricPlot[triangulo[t],{t,0,3},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.32. Representar gráficamente un cuadrado. cuadrado[t ]:=If[t<1,t{1,0},If[t< 2,{1,0}+(t-1){0,1}, If[t<3,{1,1}+(t-2){-1,0},{0,1}+(t-3){0,-1}]]] ParametricPlot[Evaluate[cuadrado[t]],{t,0,4},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.33. Representar gráficamente un rombo que tenga una diagonal horizontal y otra vertical. rombo[t ]:=If[t<3,{0,-3}+t{1,1},If[t<6,{3,0}+(t-3){-1,1}, If[t<9,{0,3}+(t-6){-1,-1},{-3,0}+(t-9){1,-1}]]] ParametricPlot[Evaluate[rombo[t]],{t,0,12},AspectRatio->Automatic]

A.1.5.

´ ´ dinamica de algunas curvas Generacion

Práctica A.34. Con los comandos siguientes podemos definir y dibujar puntos, rectas, pol´ıgonos, discos y c´ırculos. Point[{1,2}]; Show[Graphics[ %]] Line[{{0,0},{1,1},{0.5,1}}]; Show[Graphics[ %]] triangulo=Line[{{0,0},{1,1},{0.5,1},{0,0}}]; Show[Graphics[triangulo]] Disk[{2,3},1]; Show[Graphics[ %],AspectRatio->Automatic] Circle[{2,3},1]; Show[Graphics[ %],AspectRatio->Automatic]

Práctica A.35. El siguiente programa produce una animación que permite visualizar cómo se genera la cicloide. cicloide[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]}; lineabase=Line[{{-2,0},{10.5,0}}]; puntos={PointSize[.006]}; Do[AppendTo[puntos,Point[cicloide[t]]];Show[Graphics[ {{GrayLevel[.8],Disk[{t,1},1]},Line[{{t,1},cicloide[t]}],lineabase,puntos}], 2Pi AspectRatio->Automatic,PlotRange->All],{t,0, 59∗2Pi 40 , 40 }]

Práctica A.36. Construir una animación que genere los dos tipos de trocoides (véase la práctica A.11). 291


trocoide1[t ]:={2t-Sin[t],2-Cos[t]}; lineabase=Line[{{-2,0},{21,0}}]; puntos={PointSize[.006]}; Do[AppendTo[puntos,Point[trocoide1[t]]];Show[Graphics[{Circle[{2t,2},2], {GrayLevel[.8],Disk[{2t,2},1]},Line[{{2t,2},trocoide1[t]}],lineabase,puntos}], 2Pi AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{-2.5,21},{-.5,5}}],{t,0, 59∗2Pi 40 , 40 }] trocoide2[t ]:={t/2-Sin[t],1/2-Cos[t]}; lineabase=Line[{{-2,0},{10,0}}]; puntos={PointSize[.006]}; Do[AppendTo[puntos,Point[trocoide2[t]]];Show[Graphics[{{GrayLevel[.9], Disk[{t/2,1/2},1]},Circle[{t/2,1/2},1/2],Line[{{t/2,1/2},trocoide2[t]}], lineabase,puntos}],AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{-2.5,21},{-.5,5}}], , 2Pi {t,0, 100∗2Pi 40 40 }]

Práctica A.37. Construir una animación que genere la astroide. Hacer lo mismo para una hipotrocoide y una epitrocoide. astroide[t ]:={6Cos[t]+2Cos[3t],6Sin[t]-2Sin[3t]}; circulobase=Circle[{0,0},8]; puntos={PointSize[.01]}; Do[AppendTo[puntos,Point[astroide[t]]];Show[Graphics[{Circle[{6Cos[t],6Sin[t]},2], Line[{{6Cos[t],6Sin[t]},astroide[t]}],circulobase,puntos}], AspectRatio->Automatic,PlotRange->All],{t,0,2Pi,.05}]

´ Práctica A.38. Construir una animación que genere la bruja de Agnesi. Esta puede obtenerse de la siguiente forma: tómese una circunferencia de radio r, con centro en el punto (0, r); trácese una recta desde el origen de coordenadas, y sean P y Q los puntos de corte de la misma con la circunferencia y con la recta y = 2r, respectivamente. El correspondiente punto de la curva es aquel que tiene como coordenada x la abscisa de Q y como coordenada y la ordenada de P. f1=ParametricPlot[{Cos[t],1+Sin[t]},{t,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; f2=ParametricPlot[{t,0},{t,-6,6},DisplayFunction->Identity]; 2 },{t,0,i-0.001}, For[i=0,i<=2.1,i+=0.1,f3=ParametricPlot[{2t, 1+tˆ2 DisplayFunction->Identity,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; 2 },{t,0,i-0.001}, f4=ParametricPlot[{-2t, 1+tˆ2 DisplayFunction->Identity,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; Show[{f1,f2,f3,f4,Graphics[Line[{{0,0},{2i,2}}]], 2 2i 2 2 }}]], Graphics[Line[{{2i, 1+iˆ2 },{ 1+iˆ2 , 1+iˆ2 }}]], Graphics[Line[{{2i,2},{2i, 1+iˆ2 2 Graphics[Line[{{0,0},{-2i,2}}]], Graphics[Line[{{-2i,2},{-2i, 1+iˆ2 }}]], 2 2 2i },{- 1+iˆ2 , 1+iˆ2 }}]]}, Graphics[Line[{{-2i, 1+iˆ2 DisplayFunction->$DisplayFunction,AspectRatio->Automatic,Axes->False, PlotRange->All]]

Práctica A.39. La siguiente animación muestra cómo se transforman los o´ valos de Cassini cuando var´ıa el parámetro (véase la práctica A.26). Table[ImplicitPlot[(xˆ2+yˆ2+1)ˆ2-4xˆ2==bˆ4,{x,-5,5},PlotPoints->50, Ticks->None,AspectRatio->Automatic],{b,0.9,1.5,.02}]

292


A.1.6.

Evolutas y curvas paralelas

Práctica A.40. Definir en código Mathematicar una función que represente la evoluta de una curva regular plana α (t) (véase la definición 1.2.6). J[{p1 ,p2 }]:={-p2,p1} evoluta[alpha ][t ]:=alpha[tt]+

∂tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]J[∂tt alpha[tt]] /.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt].J[∂tt alpha[tt]]

Práctica A.41. Calcular, usando la definición anterior, una parametrización de la evoluta de una elipse de semiejes a y b. Representar gráficamente la elipse de semiejes 1.5 y 1, as´ı como su evoluta. elipse[a ,b ][t ]:={a*Cos[t],b*Sin[t]}; Simplify[evoluta[elipse[a,b]][t]] ParametricPlot[Evaluate[{elipse[1.5,1][t],evoluta[elipse[1.5,1]][t]}],{t,0,2Pi]}, AspectRatio->Automatic]

Práctica A.42. Calcular una parametrización de la evoluta de la cisoide de parámetro a. Representar gráficamente la cisoide de parámetro 1, as´ı como su evoluta. 2a*tˆ3 cisoide[a ][t ]:={ 2a*tˆ2 Simplify[evoluta[cisoide[a]][t]] 1+tˆ2 , 1+tˆ2 }; ParametricPlot[Evaluate[{cisoide[1][t],evoluta[cisoide[1]][t]}],{t,-2,2}, AspectRatio->Automatic]

Práctica A.43. Calcular una parametrización de la evoluta de la tractriz. Representar gráficamente la tractriz, as´ı como su evoluta. tractriz[t ]:={Sin[t],Cos[t]+Log[Tan[t/2]]}; Simplify[evoluta[tractriz][t]] ParametricPlot[Evaluate[{tractriz[t],evoluta[tractriz][t]}],{t,0,Pi}, AspectRatio->Automatic]

Práctica A.44. Calcular una parametrización de la evoluta de la cicloide. Representar gráficamente la cicloide, as´ı como su evoluta. Obsérvese que e´ sta también es una cicloide (véase el ejercicio 1.12). cicloide[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]}; Simplify[evoluta[cicloide][t]] ParametricPlot[Evaluate[{cicloide[t],evoluta[cicloide][t]}],{t,0,6Pi}, AspectRatio->Automatic]

Práctica A.45. Diseñar un programa que defina la función curva paralela a distancia s de una curva dada α (t) (véase la definición 1.2.8). J[∂tt alpha[tt]] tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]

curvapar[alpha ][s ][t ]:=alpha[tt]+ √∂

/.{tt->t}

Práctica A.46. Representar la elipse de semiejes 2 y 1 y cuatro curvas paralelas a dicha elipse para valores de s comprendidos entre 0 y 1.

293


ParametricPlot[Evaluate[elipse[2,1][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic, PlotStyle->RGBColor[1,0,0]] ParametricPlot[Evaluate[{curvapar[elipse[2,1]][0.2][t], curvapar[elipse[2,1]][0.5][t],curvapar[elipse[2,1]][0.7][t], curvapar[elipse[2,1]][0.9][t]}],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

Práctica A.47. Representar, en una sola figura, cuatro curvas paralelas a una lemniscata (véase la práctica A.9). Hágase lo mismo para una cardioide (práctica A.20) y una deltoide (práctica A.12). GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS EN EL ESPACIO

A.2. A.2.1.

´ grafica ´ Representacion de curvas alabeadas

Práctica A.48. Representar la hélice cil´ındrica α (t) = (a cost, a sent, bt) (véase el ejemplo 1.10), para t entre 0 y 15. hc[a ,b ][t ]:={a*Cos[t],a*Sin[t],b*t} ParametricPlot3D[Evaluate[hc[1,1][t]],{t,0,15},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.49. Representar la cúbica torcida, α (t) = (t,t 2 ,t 3 ). ct[t ]:={t,tˆ2,tˆ3} ParametricPlot3D[Evaluate[ct[t]],{t,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Práctica A.50. Algunas de las espirales no planas más famosas son las siguientes: La espiral concha: α (t) = (abt cost, abt sent, cbt ). ¡ La espiral cónica: α (t) = (h − t)/h r cos(at), (h − t)/h r sen(at),t). La espiral esférica: α (t)=(cost cosλ, sent cosλ, ± senλ ), con λ =arc tg eb(t+c) . ´ es la loxodroma de la esfera (véase el ejercicio 2.8). Esta La espiral helicoidal o slinky (es una espiral que se enrolla alrededor de una ¡ £ ¤ £ ¤ ¢ hélice): α (t) = cost 1 + a cos(wt) , sent 1 + a cos(wt) , ht + a sen(wt) . spiral3d[a ,b ,c ][t ]:={a*bˆt*Cos[t],a*bˆt*Sin[t],c*bˆt} ParametricPlot3D[Evaluate[spiral3d[1,1.08,1][t]],{t,-10,30},PlotPoints->150, ViewPoint->{2,0,.5}] spiralconica[h ,r ,a ][t ]:={(h-t)/h*r*Cos[a*t],(h-t)/h*r*Sin[a*t],t} ParametricPlot3D[Evaluate[spiralconica[1,0.8,1.5][t]],{t,0,70}, PlotPoints->500,ViewPoint->{2,0,.5}] Sphs[t ]:=Module[{x=ArcTan[e`0.15t+2 ]},{Cos[t]Cos[x],Sin[t]Cos[x],±Sin[x]}] ParametricPlot3D[Evaluate[Sphs[t]],{t,-10Pi,10Pi},PlotPoints->500] Slinky[a ,w ,h ][,t ]:={Cos[t](1+a*Cos[w*t]),Sin[t](1+a*Cos[w*t]),h*t+a*Sin[w*t]} ParametricPlot3D[Evaluate[Slinky[.4,40,.3][t]],{t,0,5Pi]},PlotPoints->1000]

294


¡ ¢ Práctica A.51. Representar la curva de Viviani, α (t) = a 1 + cost, sent, 2 sen(2t) . Esta curva puede obtenerse como la intersección de un cilindro y una esfera. viviani[a ][t ]:=a{1+Cos[t],Sin[t],2Sin[t/2]} ParametricPlot3D[Evaluate[viviani[1][t]],{t,0,4Pi}] , Sin[u] ,v- Pi ParametricPlot3D[{{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{ 1+Cos[u] 2 2 2 }}, {u,0,2Pi},{v,0,Pi},Boxed->False,Axes->False]

Práctica A.52. Representar la cardioide espacial, cuya parametrización viene dada ¡ ¢ por α (t) = (1 + cost) cost, (1 + cost) sent, sent . card3D[t ]:={(1+Cos[t])Cos[t],(1+Cos[t])Sin[t],Sin[t]} ParametricPlot3D[Evaluate[card3D[t]],{t,0,2Pi}]

A.2.2.

´ El triedro de Frenet, la curvatura y la torsion

Práctica A.53. Escribir un programa que calcule el triedro de Frenet de una curva α en R3 p.p.a. vtang[alpha ][t ]:=∂tt alpha[tt]/.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt] vnormal[alpha ][t ]:= √

∂{tt,2} alpha[tt].∂{tt,2} alpha[tt]

vbinor[alpha ][t ]:=Cross[∂tt alpha[tt], √∂

/.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt]

{tt,2} alpha[tt].∂{tt,2} alpha[tt]

/.{tt->t}

Simplify[{vtang[alpha][t],vnormal[alpha][t],vbinorm[alpha][t]}]

Práctica A.54. Escribir un programa que calcule la curvatura y la torsión de una curva cualquiera α en R3 . Utilizarlo para calcular la curvatura y la torsión de la hélice cil´ındrica. Norm[Cross[∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt]]] /.{tt->t} Norm[∂tt alpha[tt]]ˆ3 Det[{∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt],∂{tt,3} alpha[tt]}] /.{tt->t} ]:= Norm[Cross[∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt]]]

curvat[alpha ][t ]:= torsion[alpha ][t

helice[t ]:={Cos[t],Sin[t],t} Simplify[triedro[helice][t]] Simplify[curvat[helice][t]] Simplify[torsion[helice][t]]

Práctica A.55. Aplicar el ejercicio anterior a las curvas alabeadas recogidas en las prácticas anteriores.

295

´ Apendice B

´ Superficies. Practicas con Mathematicar B.1.

EJEMPLOS DE SUPERFICIES

Práctica B.1. Representar gráficamente el plano, utilizando distintas parametrizaciones del mismo (obsérvese la diferencia entre las curvas coordenadas). ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],0},{u,0,20},{v,0,2Pi}] ParametricPlot3D[{u+v,v,0},{u,0,20},{v,0,20}] ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,0,20},{v,0,20}]

Práctica B.2. Representar gráficamente la esfera, utilizando la parametrización de las coordenadas geográficas y la de la proyección estereográfica (obsérvese de nuevo la diferencia entre las curvas coordenadas), y el elipsoide. ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}] 2v uˆ2+vˆ2-1 2u , 1+uˆ2+vˆ2 , 1+uˆ2+vˆ2 },{u,-8,8},{v,-8,8},PlotRange->All, ParametricPlot3D[{ 1+uˆ2+vˆ2 PlotPoints->100] ParametricPlot3D[{2Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]

La elipse que genera el elipsoide se puede observar fácilmente si efectuamos la rotación sólo entre 0 y π : ParametricPlot3D[{2Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,Pi}]

Práctica B.3. Representar gráficamente el cilindro y el cono de dos hojas. ParametricPlot3D[{Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,-3,3}] ParametricPlot3D[{v*Cos[u],v*Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,-3,3}]

Práctica B.4. Representar gráficamente el paraboloide de revolución. ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],uˆ2},{u,-2,2},{v,0,2Pi}]

Práctica B.5. Representar gráficamente el toro de revolución, dependiendo de la distancia, a, al eje, de la circunferencia que lo genera. Toro[a ][u ,v ]:={(a+Cos[u])Cos[v],(a+Cos[u])Sin[v],Sin[u]} ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[2][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[0.5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40]

Para visualizar mejor lo que ocurre en los dos u´ ltimos casos, evaluar la rotación sólo entre 0 y π . Como puede verse, estas superficies tienen puntos singulares, y por tanto, no son superficies regulares. 297


ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[0.5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},PlotPoints->40]

Práctica B.6. Representar gráficamente los hiperboloides de una y dos hojas. ParametricPlot3D[{Cosh[v]Cos[u],Cosh[v]Sin[u],Sinh[v]},{u,0,2Pi},{v,-2,2}] √ √ ParametricPlot3D[{{u,v, uˆ2+vˆ2+1},{u,v,- uˆ2+vˆ2+1}},{u,-2,2},{v,-2,2}]

Práctica B.7. Representar con una animación la deformación del cilindro en el cono de dos hojas por una familia uniparamétrica de hiperboloides de una hoja. t*Pi Table[ParametricPlot3D[{Cos[u]+v(Cos[u+ t*Pi 20 ]-Cos[u]),Sin[u]+v(Sin[u+ 20 ]-Sin[u]), -2+4v},{u,0,2Pi},{v,0,1},Axes->False,Boxed->False, PlotRange->{{-1,1},{-1,1},{-2,2}}],{t,0,20}]

Práctica B.8. Representar gráficamente el paraboloide hiperbólico, o silla de montar, y la silla de montar del mono. Plot3D[uˆ2-vˆ2,{u,-3,3},{v,-3,3},BoxRatios->Automatic] Plot3D[uˆ3-3u*vˆ2,{u,-1,1},{v,-1,1},BoxRatios->Automatic]

Práctica B.9. Representar gráficamente la pseudoesfera. ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]+Log[Tan[u/2]]}, {u,0.01,1},{v,0,2Pi}]

Práctica B.10. Representar el grafo de la función z = sen(x + sen y), x, y ∈ [0, 4π ]. Construir una animación que muestre la rotación de dicha superficie. Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,0,4Pi},{y,0,4Pi},PlotPoints->30] Do[Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,0,4Pi},{y,0,4Pi},PlotPoints->30,SphericalRegion->True, Axes->None,ViewPoint->{2Cos[t],2Sin[t],1.3}],{t,0,Pi,Pi/20}]

Práctica B.11. Mostrar el paraguas de Whitney, X(u, v) = (uv, u, v2 ). Obsérvese que no es una superficie regular en todo su rango, pues presenta autointersecciones. ParametricPlot3D[{u*v,u,vˆ2},{u,-3,3},{v,-3,3},PlotPoints->30]

B.1.1.

´ Superficies de revolucion

Práctica B.12. Mostrar las superficies de revolución obtenidas al rotar, alrededor del ´ eje z, algunas de las curvas definidas en el apartado A.1.3. Estas deben escribirse en ¡ ¢ la forma α (v) = f (v), 0, g(v) para que estén contenidas en el plano y = 0. revol[u ,v ]:={f[v]Cos[u],f[v]Sin[u],g[v]}

298

Apéndice B: Superficies. Prácticas con Mathematicar

a) La circunferencia (genera la esfera). f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

b) La elipse (genera el elipsoide). f[v ]:=2Sin[v]; g[v ]:=Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

c) La tractriz (genera la pseudoesfera). f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Cos[v]+Log[Tan[v/2]] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0.01,Pi/2}]

d) La parábola (genera el paraboloide de revolución). f[v ]:=v; g[v ]:=vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,4}]

f) La cisoide de Diocles. 2vˆ2 2vˆ3 ; g[v ]:= 1+vˆ2 f[v ]:= 1+vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,-2,2}]

g) La bruja de Agnesi. 27 f[v ]:=v; g[v ]:= 9+vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,10}]

h) La figura ocho. f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Sin[v]Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

Mostrar la gráfica anterior, pero evaluando la rotación sólo entre 0 y π . Ahora puede distinguirse claramente la figura ocho. B.1.2.

Superficies no orientables

Práctica B.13. Representar la banda de Möbius (véase el ejemplo 3.1) parametrizada ¡ ¢ por X(u, v) = cos u + v cos(au/2) cos u, sen u + v cos(au/2) sen u, v sen(au/2) , con u ∈ (0, 2π ), para distintos valores del parámetro a, y obsérvese lo que representa dicho parámetro en la construcción de la superficie. 299


Mobius[a ][u ,v ]:={Cos[u]+v*Cos[a*u/2]*Cos[u],Sin[u]+v*Cos[a*u/2]*Sin[u],v*Sin[a*u/2]} ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[2][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[3][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}]

Práctica B.14. Representar la botella de Klein. kleinb[a ][u ,v ]:={(a+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Cos[u], (a+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Sin[u],Sin[u/2]Sin[v]+Cos[u/2]Sin[2v]} ParametricPlot3D[Evaluate[kleinb[2][u,v]],{v,0,2Pi},{u,-Pi/4,3Pi/2}, PlotPoints->32,Axes->None,Boxed->False]

Cambiar los valores del parámetro a en la parametrización anterior de la botella de Klein, y obsérvese cómo var´ıa la superficie. ParametricPlot3D[Evaluate[kleinb[4][u,v]],{v,0,2Pi},{u,-Pi/4,3Pi/2}, PlotPoints->32,Axes->None,Boxed->False]

Práctica B.15. Sin embargo, las representaciones de la botella de Klein más conocidas no corresponden a ninguna parametrización real: se construyen a trozos, uniendo de forma adecuada diversas superficies parametrizadas. Representar las ((botellas de Klein)) más usuales. a) Primera representación: bottom[u ,v ]:={(2.5+1.5Cos[v])Cos[u],(2.5+1.5Cos[v])Sin[u],-2.5Sin[v]} fondo=ParametricPlot3D[Evaluate[bottom[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] middle[u ,v ]:={(2.5+1.5Cos[v])Cos[u],(2.5+1.5Cos[v])Sin[u],3v} medio=ParametricPlot3D[Evaluate[middle[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] handle[u ,v ]:={2-2Cos[v]+Sin[u],Cos[u],3v} mango=ParametricPlot3D[Evaluate[handle[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] thetop[u ,v ]:={2+(2+Cos[u])Cos[v],Sin[u],3Pi+(2+Cos[u])Sin[v]} techo=ParametricPlot3D[Evaluate[thetop[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] all=Show[mango,techo,medio,fondo]

b) Segunda representación: bx=6Cos[u](1+Sin[u]); by=16Sin[u]; rad=4(1-Cos[u]/2); X=If[Pi32, Axes->False,Boxed->False,ViewPoint->{1.4,-2.6,-1.7}]

Práctica B.16. Considerar la siguiente familia de superficies (no orientables) dependiente del parámetro a. Esta familia determina una homotop´ıa (deformación diferenciable) de la llamada superficie romana (caso a = 0) en la superficie del niño (caso a = 1), para a entre 0 y 1. Representar la animación. 300


BoyR[u ,v ,a ]:={

√ √ 2Cos[2u]Cos[v]ˆ2+Cos[u]Sin[2v] 2Sin[2u]Cos[v]ˆ2-Sin[u]Sin[2v] 3Cos[v]ˆ2 √ √ , , 2-a√2Sin[3u]Sin[2v] } 2-a 2Sin[3u]Sin[2v] 2-a 2Sin[3u]Sin[2v]

BR[a ]:=ParametricPlot3D[Evaluate[BoyR[u,v,a]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,Pi}, PlotPoints->25,ViewPoint->{1,1,1}] BR[0]; BR[1]; Table[BR[a],{a,0,1,1/8}]

B.1.3.

Superficies minimales

Práctica B.17. Representar el helicoide, X(u, v) = (v cos u, v sen u, u), y el catenoide, X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v). ParametricPlot3D[{v*Cos[u],v*Sin[u],u},{u,0,4Pi},{v,-4,4}] ParametricPlot3D[{Cos[u]Cosh[v],Sin[u]Cosh[v],v},{u,0,2Pi},{v,-1.5,1.5}

Práctica B.18. Considerar la siguiente familia de superficies (minimales) dependiente del parámetro a. Esta familia determina una deformación isométrica del catenoide en el helicoide para a entre 0 y π /2. Representar la animación. , Sin[t-a]+rˆ2Sin[t+a] X[r ,t ,a ]:={- Cos[t-a]+r(-2Cos[a]+r*Cos[t+a]) 2r 2r √ ,Cos[a]Log[r]-t*Sin[a]} √ gr[a ]:=ParametricPlot3D[Evaluate[X[rˆ2,t,a]],{r,1/ 6, 6},{t,0,2Pi}, PlotPoints->35,Axes->False,ViewPoint->{-1.481,2.293,2.000}] gr[0]; gr[Pi/2]; Table[gr[a],{a,0,Pi/2,(Pi/2)/6}]

Práctica B.19. Representar la primera superficie de Scherck. scherck[u ,v ]:={u,v,Log[Cos[v]/Cos[u]]} ParametricPlot3D[Evaluate[scherck[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-Pi/2,Pi/2}]

La primera superficie de Scherck es una superficie periódica, y usualmente suele representarse del siguiente modo: scherckgen[d ,e ][u ,v ]:={u,v,Log[Cos[v+d]/Cos[u+e]]} Show[Table[ParametricPlot3D[Evaluate[scherckgen[3d,3e][u,v]], {u,-Pi/2-3e,Pi/2-3e},{v,-Pi/2-3d,Pi/2-3d}],{e,0,2},{d,0,2}]]

Práctica B.20. Representar la segunda superficie de Scherck. scherck2[u ,v ]:={u,v,ArcSin[Sinh[u]Sinh[v]]} ParametricPlot3D[Evaluate[scherck2[u,v]],{u,-0.8,0.8},{v,-0.8,0.8}]

Práctica B.21. Representar la superficie de Enneper. enneper[u ,v ]:={u-uˆ3/3+u*vˆ2,v-vˆ3/3+uˆ2v,uˆ2-vˆ2} ParametricPlot3D[Evaluate[enneper[u,v]],{u,-3,3},{v,-3,3}]

301


Como puede verse, tiene autointersecciones, por lo que no es una superficie regular en todo su rango. Si, por ejemplo, U = (−1.5, 1.5) × (−1.5, 1.5), entonces s´ı lo es. ParametricPlot3D[Evaluate[enneper[u,v]],{u,-1.5,1.5},{v,-1.5,1.5}]

Práctica B.22. Representar la superficie de Catalan. Catal[u ,v ]:={1-Cos[u]Cosh[v],4Sin[u/2]Sinh[v/2],u-Sin[u]Sinh[v]} ParametricPlot3D[Evaluate[Catal[u,v]],{u,0,2Pi},{v,-5,5},ViewPoint->{2,1,1}]

Práctica B.23. Representar la superficie de Riemann. x[t ,s ]:={a[t]+r[t]Cos[s],b[t]+r[t]Sin[s],t} solu=NDSolve[{1+2r[t]ˆ4+r’[t]ˆ2-r[t]r’’[t]==0,h’[t]==r[t]ˆ2,r[0]==1, r’[0]==0.5,h[0]==0},{r[t],h[t]},{t,-2,1},MaxSteps->2000] ParametricPlot3D[Evaluate[{h[t]+r[t]Cos[s],h[t]+r[t]Sin[s],t}/.solu], {t,-1,0.65},{s,0,2Pi},ViewPoint->{1,-6,2},PlotRange->All]

B.2.

LA CURVATURA DE GAUSS Y LA CURVATURA MEDIA

Práctica B.24. Definir funciones que calculen los coeficientes de la primera forma fundamental de una superficie parametrizada por X. EE[X ][u ,v ]:=Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v} FF[X ][u ,v ]:=Simplify[∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v} GG[X ][u ,v ]:=Simplify[∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v}

Práctica B.25. Definir funciones que calculen los coeficientes de la segunda forma fundamental de una superficie parametrizada por X. ee[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{uu,uu} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v} ff[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{uu,vv} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v} gg[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{vv,vv} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v}

Práctica B.26. Definir funciones que representen la curvatura de Gauss y la curvatura media de una superficie parametrizada por X. ee[X][u,v]gg[X][u,v]-ff[X][u,v]ˆ2 ] gauss[X ][u ,v ]:=Simplify[ EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2

] media[X ][u ,v ]:=Simplify[ 21 ee[X][u,v]GG[X][u,v]+EE[X][u,v]gg[X][u,v]-2FF[X][u,v]ff[X][u,v] EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2

302


Práctica B.27. Calcular los coeficientes de la primera y segunda forma fundamentales de algunas de las superficies estudiadas en la sección anterior: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. esfera[r ][u ,v ]:=r{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]} {EE[esfera[r]][u,v],FF[esfera[r]][u,v],GG[esfera[r]][u,v]} {ee[esfera[r]][u,v],ff[esfera[r]][u,v],gg[esfera[r]][u,v]} toro[a ,r ][u ,v ]:={(a+r*Cos[v])Cos[u],(a+r*Cos[v])Sin[u],r*Sin[v]} {EE[toro[a,r]][u,v],FF[toro[a,r]][u,v],GG[toro[a,r]][u,v]} {ee[toro[a,r]][u,v],ff[toro[a,r]][u,v],gg[toro[a,r]][u,v]} parabel[u ,v ]:={u,v,uˆ2+vˆ2} {EE[parabel][u,v],FF[parabel][u,v],GG[parabel][u,v]} {ee[parabel][u,v],ff[parabel][u,v],gg[parabel][u,v]}

Práctica B.28. Calcular la curvatura de Gauss y la curvatura media de las superficies anteriores: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. gauss[esfera[r]][u,v]; gauss[toro[a,r]][u,v]; gauss[parabel][u,v] media[esfera[r]][u,v]; media[toro[a,r]][u,v]; media[parabel][u,v]

Práctica B.29. Representar la gráfica de la curvatura de Gauss y de la curvatura media de las superficies anteriores: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. Plot3D[Evaluate[gauss[esfera[1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[esfera[1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[gauss[toro[3,1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[toro[3,1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[gauss[parabel][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[parabel][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}]

Práctica B.30. Ejecutar los siguientes comandos, con los que se representan el paraboloide el´ıptico y el toro; el degradado del color muestra los puntos de mayor curvatura (azul) a menor curvatura (rojo). pe=gauss[parabel][u,v] Plot3D[{uˆ2+vˆ2,Hue[Evaluate[pe/6]]},{u,-1,1},{v,-1,1}] to=gauss[toro[3,1]][u,v] ParametricPlot3D[{(3+Cos[v])Cos[u],(3+Cos[v])Sin[u],Sin[v],Hue[to]}, {u,0,2Pi},{v,0,2Pi},Lighting->False]

B.3.

´ GEODESICAS

Práctica B.31. Definir los s´ımbolos de Christoffel para una parametrización X. W[X ][u ,v ]:=Simplify[EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2] G111[X ][u ,v ]:=Simplify[(GG[X][uu,vv]∂uu EE[X][uu,vv]-2FF[X][uu,vv]∂uu FF[X][uu,vv] +FF[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}]

303


G121[X ][u ,v ]:=Simplify[(GG[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G221[X ][u ,v ]:=Simplify[(2GG[X][uu,vv]∂vv FF[X][uu,vv]-GG[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂vv GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G112[X ][u ,v ]:=Simplify[(2EE[X][uu,vv]∂uu FF[X][uu,vv]-EE[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂uu EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G122[X ][u ,v ]:=Simplify[(EE[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G222[X ][u ,v ]:=Simplify[(EE[X][uu,v]∂vv GG[X][uu,vv]-2FF[X][uu,vv]∂vv FF[X][uu,vv] +FF[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}]

Práctica B.32. Representar las geodésicas de la esfera. X[u ,v ]:={Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]} s1=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2G111[X][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[X][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[X][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[X][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[X][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[X][u[s],v[s]]==0, u[0]==Pi/2,v[0]==Pi/2,u’[0]==1,v’[0]==1},{u[s],v[s]},{s,-4,4}] d1=ParametricPlot3D[Evaluate[X[u[s],v[s]]/.s1],{s,-4,4}] d2=ParametricPlot3D[Evaluate[X[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,2Pi}]; Show[d1,d2]

Práctica B.33. Representar las geodésicas del cilindro. Y[u ,v ]:={Cos[v],Sin[v],u} s2=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2 G111[Y][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[Y][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[Y][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[Y][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[Y][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[Y][u[s],v[s]]==0,u[0]==0,v[0]==0,u’[0]==1,v’[0]==5}, {u[s],v[s]},{s,-4,4}] d3=ParametricPlot3D[Evaluate[Y[u[s],v[s]]/.s2],{s,-2,2},PlotPoints->100] d4=ParametricPlot3D[Evaluate[Y[u,v]],{u,-2,2},{v,0,2Pi}] Show[d3,d4]

Práctica B.34. Representar las geodésicas del elipsoide. Z[u ,v ]:={2Cos[u]Cos[v],Cos[u]Sin[v],Sin[u]} s3=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2 G111[Z][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[Z][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[Z][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[Z][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[Z][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[Z][u[s],v[s]]==0,u[0]==0,v[0]==0,u’[0]==1,v’[0]==1}, {u[s],v[s]},{s,-5,5}] d5=ParametricPlot3D[Evaluate[Z[u[s],v[s]]/.s3],{s,-5,5},PlotRange->All] d6=ParametricPlot3D[Evaluate[Z[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,2Pi}]; Show[d5,d6]

304

´ Apendice C

Soluciones a los ejercicios SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I √ ¯ ¯ Solución al ejercicio 1.1. Un sencillo cálculo muestra que ¯α 0 (t)¯ = aebt 1 + b2 , por lo que la función longitud de arco es Z t¯ ³ ´ p ¯ ¯α 0 (u)¯ du = a 1 + b2 ebt − ebt0 . s(t) = b t0 ³ √ ´ As´ı pues, t = (1/b) log λ (s), con λ (s) = ebt0 + b/ a 1 + b2 s, de donde la reparametrización de α por la longitud de arco toma la forma ¶ µ log λ (s) log λ (s) , sen . β (s) = aλ (s) cos b b Solución al ejercicio 1.2. Un rápido cálculo muestra que el vector velocidad de α ¡ ¢ es α 0 (t) = cost, − sent + 1/ sent , y su recta tangente en un punto α (t), ¶ µ t cos2 t 0 . α (t) + λ α (t) = sent + λ cost, cost + log tg + λ 2 sent ¡ ¢ Esta recta corta al eje y cuando λ = − tgt, es decir, en el punto pt = 0, log tg(t/2) . ¯ ¯ √ As´ı, la distancia entre pt y α (t) vale ¯α (t) − pt ¯ = sen2 t + cos2 t = 1 constante. ¯ ¯ Calculemos su reparametrización por la longitud de arco. Como ¯α 0 (t)¯ = cotgt, s(t) =

Z t¯ t0

¯ ¯α 0 (u)¯ du = log sent − log sent0 .

As´ı pues, t = arc sen es+log sent0 , de donde la reparametrización de α por la longitud de arco toma la forma ¶ µ p arc sen es+log sent0 s+log sent0 s+log sent 0 . β (s) = e , 1−e + log tg 2 Solución al ejercicio 1.3. Claramente, ¯ ¯ 0 ¯2 0 ® ® ¯ ¯β (s)¯ = β (s), β 0 (s) = Aα 0 (s), Aα 0 (s) = ¯α 0 (s)¯2 = 1, luego β está p.p.a. Observemos que, entonces, Lab (β ) = 305

Z b¯ a

Z b¯ Z b¯ ¯ ¯ ¯ ¯(M ◦ α )0 (s)¯ ds = ¯Aα 0 (s)¯ ds = ¯α 0 (s)¯ ds = Lab (α ). a

a


Finalmente, como β está p.p.a., ® ® ® kβ (s) = β 00 (s), Jβ 0 (s) = Aα 00 (s), (J ◦ A)α 0 (s) = Aα 00 (s), ±(A ◦ J)α 0 (s) ® = ± α 00 (s), Jα 0 (s) = kα (s), pues J ◦ A = ±A ◦ J, como fácilmente puede comprobarse, dependiendo de que el movimiento r´ıgido sea directo o inverso. Solución al ejercicio 1.4. Basta aplicar la fórmula (1.7). As´ı se obtiene que, para s0 > 0 arbitrario, ϕ (s) = log(s/s0 ), de donde µ ¶ s s s s0 s s s0 cos log + sen log − , sen log − cos log + . α (s) = 2 s0 s0 s s0 s0 s Solución al ejercicio 1.5. Claramente, si α (s) = p + sv es un segmento de recta o ¡ ¢ α (s) = r cos(s/r), sen(s/r) es un arco de circunferencia, entonces un rápido cálculo muestra que k ≡ 0 o k ≡ 1/r, respectivamente, en ambos casos, constante. Rec´ıprocamente, si la curvatura k ≡ 0, entonces α 00 (s) = 0, de donde se deduce que α 0 (s) = v constante, y por tanto, que α (s) = p + sv es una recta. Si ahora suponemos que k ≡ k0 6= 0, definimos la función f (s) = α (s) + (1/k0 )n(s). Es fácil ver, utilizando las fórmulas de Frenet (1.5) que f 0 (s) = 0 para todo s ∈ I, es decir, f (s) = p constante. Luego p − α (s) = (1/k0 )n(s) y, tomando módulos, se obtiene ¯ ¯ ¯α (s) − p¯2 = 1/k2 , que es la ecuación de una circunferencia (con centro p y radio 0 1/k0 ). Obsérvese que esta implicación puede demostrarse también fácilmente utilizando la fórmula (1.7). Solución al ejercicio 1.6. Si α es una recta, la implicación directa es trivial, por lo que probaremos el rec´ıproco. El hecho de que todas las rectas tangentes sean paralelas equivale a que t0 ≡ 0. Como t0 (s) = k(s)n(s) = 0, entonces k(s) = 0 para todo s ∈ I, y el ejercicio 1.5 nos asegura que α es un segmento de recta. Si α es un arco de circunferencia, de nuevo la implicación directa es trivial. Supongamos por tanto que todas las rectas normales pasan por un punto común, digamos p. Esto se traduce en que p = α (s) + λ (s)n(s), para todo s ∈ I, donde la función ® λ (s) = p − α (s), n(s) es diferenciable. Derivando esta expresión obtenemos que ¢ © ª ¡ 1 − λ (s)k(s) t(s) + λ 0 (s)n(s) = 0, de donde se deduce, por ser t(s), n(s) vectores linealmente independientes, que 1 − λ (s)k(s) = λ 0 (s) = 0. En consecuencia, λ es constante y k(s) = 1/λ constante y no nula (obsérvese que si λ = 0 entonces α (s) ≡ p y el resultado ser´ıa trivial). De nuevo, el ejercicio 1.5 nos asegura que α es un arco de circunferencia. Solución al ejercicio 1.7. La implicación directa es trivial. Supongamos por tanto que todas las rectas tangentes equidistan de un punto p, lo que se traduce en que ® α (s) − p, n(s) = c constante. Derivando esta expresión y utilizando las fórmulas de Frenet (1.5) obtenemos que ® −k(s) α (s) − p, t(s) = 0. 306

Soluciones a los ejercicios

Llegados a este punto, debemos distinguir dos casos, y llevar cierto cuidado. Claramente, si k(s) = 0 para todo s ∈ I, el ejercicio 1.5 nos dice que esto es equivalente a que α sea un segmento de recta. As´ı pues, suponemos que existe s0 ∈ I tal que k(s0 ) 6= 0. Como k es conti¡ ¢ S nua, k−1 R\{0} = I ⊂ I es un abierto, luego tendremos I = i∈Λ Ii (para un cierto conjunto de ´ındices Λ). Obsérvese que Ii es abierto para todo i ∈ Λ y además, k(s) 6= 0 para todo s ∈ Ii y todo i ∈ Λ. Supongamos que I ⊂ I estrictamente, y consi® deremos uno de tales subintervalos, digamos I0 . Entonces, α (s) − p, t(s) = 0 para todo s ∈ I0 . Si expresamos α (s) − p en función de la base de Frenet, obtenemos ® ® α (s) − p = α (s) − p, t(s) t(s) + α (s) − p, n(s) n(s) = c n(s), y tomando módu¯2 ¯ los, ¯α (s) − p¯ = c2 para todo s ∈ I0 : la ecuación de una circunferencia. Obsérvese que lo que se ha probado es que el ((trozo)) de curva α |I0 es un arco de circunferencia con curvatura es k(s) ≡ 1/c 6= 0. Razonando de modo análogo para cualquier Ii se obtendr´ıa finalmente que α |I es un arco de circunferencia, cuya curvatura es k(s) ≡ 1/c 6= 0, constante (c es fijo para cualquier i ∈ Λ). En consecuencia, como I ⊂ I estrictamente, es decir, existen valores s ∈ I\I donde k(s) = 0, obtenemos que la función curvatura en I es localmente constante pero no continua, lo que contradice nuestra definición de curva regular. As´ı pues, I = I, por lo que α : I −→ R2 es un arco de circunferencia. ¯ ¯ Solución al ejercicio 1.8. Claramente ¯α (s0 )¯ > 0, pues en caso contrario la curva ¯2 ¯ ser´ıa constante. Definimos la función f (s) = ¯α (s)¯ . Como f (s) ≤ f (s0 ) para todo s ∈ I, la función tiene un máximo relativo en s0 . Por tanto, f 0 (s0 ) = 0 y f 00 (s0 ) ≤ 0, lo ® ® que se traduce en t(s0 ), α (s0 ) = 0 y t0 (s0 ), α (s0 ) ≤ −1, respectivamente. Dado que t(s0 ) ⊥ α (s0 ), y t0 (s0 ) = k(s0 )n(s0 ) ⊥ t(s0 ), existe λ ∈ R tal que t0 (s0 ) = λ α (s0 ). Despejando λ de la igualdad anterior obtenemos 0 ® t (s0 ), α (s0 ) 1 ≤ −¯ λ= ¯2 ¯ . ¯ ¯α (s0 )¯ ¯α (s0 )¯2 Por otro lado, como n(s0 ) y t0 (s0 ) = λ α (s0 ) son vectores colineales y n(s0 ) es unita¯ ¯ rio, entonces n(s0 ) = ±α (s0 )/ ¯α (s0 )¯, de donde se tiene que 0 ® ® k(s0 )n(s0 ), α (s0 ) t (s0 ), α (s0 ) k(s0 ) 1 ¯. = = ± ¯¯ −¯ ¯ ≥λ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α (s0 )¯2 ¯α (s0 )¯2 ¯α (s0 )¯2 α (s0 )¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Esto demuestra que ¯k(s0 )¯ ≥ 1/ ¯α (s0 )¯. Solución al ejercicio 1.9. Supongamos en primer lugar que todas las rectas normales equidistan de p ∈ R2 . El vector ortogonal a la recta normal a α (s) es t(s), y la distan® cia de dicha recta a p viene dada por α (s) − p, t(s) . Por tanto, nuestra hipótesis se ® traduce en α (s) − p, t(s) = c constante. Derivando y usando las fórmulas de Frenet ® (1.5) se tiene k(s) α (s) − p, n(s) = −1, y derivando esta expresión llegamos a que ® ® k0 (s) − ck(s)2 , 0 = k0 (s) α (s) − p, n(s) − k(s)2 α (s) − p, t(s) = − k(s) 307


¡ ¢ una ecuación diferencial cuya solución viene dada por k(s)2 = 1/ 2(cs + d) , con √ d ∈ R. En definitiva, escribiendo a = 2c, b = 2d, se obtiene k(s) = ±1/ as + b. √ Rec´ıprocamente, supongamos que existen a, b ∈ R tales que k(s) = ±1/ as + b para todo s ∈ I. Entonces as + b = 1/k(s)2 , y derivando, a = −2k0 (s)/k(s)3 . Definimos la función a 1 n(s). f (s) = α (s) − t(s) + 2 k(s) ¡ ¢ Un sencillo cálculo muestra que f 0 (s) = −k0 (s)/k(s)2 − ak(s)/2 n(s) = 0, luego f (s) ≡ p constante. En consecuencia, α (s) − p = (a/2)t(s) − 1/k(s) n(s), de donde ® ® se concluye que α (s) − p, t(s) = (a/2) t(s), t(s) = a/2 ≡ constante. Solución al ejercicio 1.10. Sea α : I −→ R2 una curva parametrizada regular con parámetro t, y sea β (s) = (α ◦ h)(s) una reparametrización de α . Tenemos que de¡ ¢ mostrar que αE h(s) = βE (s). Claramente, ¡ ¢ β 0 (s) = α 0 h(s) h0 (s), ¡ ¢ Jβ 0 (s) = Jα 0 h(s) h0 (s).

¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 + α 0 h(s) h00 (s),

Obsérvese que ¡ 00 ® ¢ ¡ ¢® ¡ ¢ h0 (s)3 α 00 h(s) , Jα 0 h(s) β (s), Jβ 0 (s) = = ±kα h(s) , kβ (s) = ¯3 ¯ ¯ ¯3 ¯ ¡ ¢¯3 ¯β 0 (s)¯ ¯h0 (s)¯ ¯α 0 h(s) ¯ dependiendo de que el cambio de parámetro conserve o invierta la orientación. As´ı, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Jα 0 h(s) h0 (s) 1 Jβ 0 (s) 1 ¯ = α h(s) + ¯ = αE h(s) . ¯ ¢¯ ¯ ¡ ¢¯ ¡ βE (s) = β (s) + 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kβ (s) β (s) ±kα h(s) α h(s) h (s) En el caso de la curva paralela a β a distancia ρ , ¡ ¢ 0 h(s) h0 (s) 0 (s) ¡ ¢ ¡ ¢ J α J β ¯ = ±αρP h(s) , ¢¯ ¯ βρP (s) = β (s) + ρ ¯¯ 0 ¯¯ = α h(s) + ρ ¯¯ 0 ¡ β (s) α h(s) ¯ ¯h0 (s)¯ dependiendo de que h conserve o invierta la orientación. ¡ ¢ Solución al ejercicio 1.11. Como α está p.p.a., β (s) = α (s) + 1/k(s) n(s). Al ser ¯ ¯ k0 (s) ≥ 0 un rápido cálculo muestra que ¯β 0 (s)¯ = k0 (s)/k(s)2 , luego Las (β ) =

Z s¯ a

Z ¯ ¯β 0 (t)¯ dt =

a

s

1 k0 (t) 1 dt = − + . 2 k(t) k(s) k(a)

Observación. Si en un entorno k0 (s) = 0, entonces Las (β ) = 0, es decir, β es un punto. Además, la evoluta de una curva regular es también regular si k0 6= 0. Solución al ejercicio 1.12. La evoluta de la cicloide es la curva parametrizada ¡ ¢ αE (t) = t + sent, −1 + cost . Obsérvese que αE (t) = α (t − π ) + (π , 2), es decir, αE es también una cicloide. 308


Solución al ejercicio 1.13. La evoluta de la espiral logar´ıtmica es la curva parametrizada αE (t) = ab ebt (− sent, cost), que es también una espiral logar´ıtmica. Solución al ejercicio 1.14. α (s) = p + sv es un segmento de recta si, y sólo si, α 00 (s) = 0 para todo s ∈ I, lo que equivale a que k ≡ 0. Si α es un arco de circunferencia, es claro que k > 0 y constante y τ ≡ 0. Rec´ıprocamente, si τ ≡ 0, α es plana por la proposición 1.3.4; el ejercicio 1.5 nos asegura que toda curva plana con curvatura constante no nula es un arco de circunferencia. Solución al ejercicio 1.15. i) La implicación directa es evidente. Supongamos pues ¯ ¯2 que la curvatura k > 0 es constante y que α (I) ⊂ S2 (r). En tal caso, ¯α (s)¯ = r2 . ® Si derivamos esta expresión obtenemos que t(s), α (s) = 0, y derivando de nue® vo, n(s), α (s) = −1/k. Una tercera y u´ ltima derivada permite obtener la relación ® τ (s) b(s), α (s) = 0. Si τ (s) = 0 para todo s ∈ I, la proposición 1.3.4 nos asegura que α es una curva plana. Como además k > 0 y es constante, el ejercicio 1.5 permite concluir que α es un arco de circunferencia. Supongamos por tanto que existe s0 ∈ I tal que τ (s0 ) 6= 0. Entonces, podemos encontrar un entorno I0 (s0 ) ⊂ I de modo que τ |I0 6= 0, en cuyo caso se tendrá que ® b(s), α (s) = 0 para todo s ∈ I0 . Expresando α (s) en función de la base dada por el triedro de Frenet, y utilizando las igualdades obtenidas, ® ® 1 α (s) = α (s), t(s) t(s) + hα (s), n(s)i n(s) + α (s), b(s) b(s) = − n(s), k ¢ ¡ para todo s ∈ I0 . Luego t(s) = α 0 (s) = −(1/k)n0 (s) = t(s) + τ (s)/k b(s), es decir, τ (s) = 0 para todo s ∈ I0 , una contradicción. ii) En el caso de la curva α (t) = (2 cost, 2 sent,t), que no está parametrizada por la ¯ ¯ ¯3 ¯ longitud de arco, su curvatura vale k(s) = ¯α 0 (t) ∧ α 00 (s)¯ / ¯α 0 (t)¯ = 2/5, constante. Sin embargo, α no es un arco de circunferencia, pues su traza no está contenida ¯2 ¯ en una esfera: ¯α (t)¯ = 4 + t 2 que no es constante. Obsérvese que α es la hélice cil´ındrica de paso 2π construida sobre el cilindro circular recto de radio 2. Solución al ejercicio 1.16. i) Veamos la primera parte. Como α (I) ⊂ S2 (r) sabemos ¯2 ¯ que ¯α (s)¯ = r2 (suponemos 0 el centro de la esfera). Derivando esta expresión ® ® obtenemos t(s), α (s) = 0, y de aqu´ı, derivando de nuevo, k(s) n(s), α (s) = −1. ¡ ¢ ® Sea θ (s) = a´ ng n(s), α (s) . Como n(s), α (s) 6= 0 y k(s) > 0, 1 1 1 −1 ¯¯ ¯= ¯ ¯≥ . ®=¯ k(s) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r α (s) cos θ (s) r cos θ (s) n(s), α (s) ii) Demostremos ahora la segunda parte. De nuevo, como α (I) ⊂ S2 (r) sabemos ¯2 ¯ ® ® que ¯α (s)¯ = r2 , de donde, derivando, t(s), α (s) = 0 y k(s) n(s), α (s) = −1 (en particular, k(s) 6= 0). Por otro lado, al ser b(s) tangente a S2 (r) en α (s) para todo ® s ∈ I, entonces b(s), α (s) = 0. Expresando α (s) en función de la base de Frenet, ® ® ® 1 n(s), α (s) = t(s), α (s) t(s) + n(s), α (s) n(s) + b(s), α (s) b(s) = − k(s) 309


¯2 ¯ y tomando módulos, r2 = ¯α (s)¯ = 1/k(s)2 . Por lo tanto, k(s) = 1/r constante. ® ® Además, derivando la relación b(s), α (s) = 0 se llega a que τ (s) n(s), α (s) = 0; ® como n(s), α (s) 6= 0, entonces τ (s) = 0, para todo s ∈ I. El ejercicio 1.14 nos asegura que α es un arco de circunferencia, que además es máxima pues tiene radio r. Solución al ejercicio 1.17. Supongamos primero que α es una hélice generali ® zada. Entonces existe u ∈ Rn unitario tal que t(s), u ≡ constante. Si escribimos ¡ ¢ ® ¯ ¯ θ (s) = a´ ng t(s), u , se tiene que t(s), u = ¯t(s)¯ |u| cos θ (s) = cos θ (s) constante; ® luego θ (s) ≡ θ constante. En definitiva, t(s), u = cos θ . Derivando esta expresión ® obtenemos, por ser k 6= 0, que n(s), u = 0. Finalmente, derivando de nuevo y uti ® ® lizando las fórmulas de Frenet (1.13), se tiene −k(s) t(s), u − τ (s) b(s), u = 0, ¡ ®¢ es decir, τ (s) = − cos θ / b(s), u k(s). Para ver la implicación directa sólo resta ® comprobar que b(s), u ≡ constante. Pero es claro que ® ®0 ® b(s), u = b0 (s), u = τ (s) n(s), u = 0, como quer´ıamos probar. Obsérvese además que, expresando u en la base de Frenet, ® ® ® ® u = t(s), u t(s) + n(s), u n(s) + b(s), u b(s) = cos θ t(s) + b(s), u b(s), ® √ de donde, tomando módulos, se obtiene b(s), u = 1 − cos2 θ = sen θ . As´ı pues, ¡ ¢ τ (s) = − cos θ / sen θ k(s) = − cotg θ k(s). Veamos el rec´ıproco. Supongamos que τ (s) = ck(s) para un cierto c ∈ R. Sea θ = arc cotg(−c), es decir, τ (s) = − cotg θ k(s). Hay que encontrar un vector unitario ® y constante u tal que t(s), u ≡ constante. Sea u(s) = cos θ t(s) + sen θ b(s), que claramente es unitario. Veamos en primer lugar que u(s) ≡ u constante: en efecto, ¡ ¢ u0 (s) = cos θ t0 (s) + sen θ b0 (s) = cos θ k(s) + sen θ τ (s) n(s) ¶ µ cos θ k(s) n(s) = 0. = cos θ k(s) − sen θ sen θ ® ® Finalmente, t(s), u = t(s), cos θ t(s) + sen θ b(s) = cos θ , constante. Solución al ejercicio 1.18. i) Por definición, α es una hélice generalizada si, y sólo ® si, existe u ∈ Rn unitario tal que t(s), u ≡ constante, lo cual es equivalente a que ®0 ® ® 0 = t(s), u = k(s) n(s), u . En definitiva, si, y sólo si, n(s), u = 0 (pues estamos suponiendo que k(s) 6= 0, para todo s ∈ I). ¯ ¯ ii) Claramente, β 0 (s) = b(s), luego ¯β 0 (s)¯ = 1, es decir, β está p.p.a. Por tanto, su ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ curvatura es kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯b0 (s)¯ = ¯τ (s)n(s)¯ = ¯τ (s)¯, y su triedro de Frenet tβ (s) = b(s),

β 00 (s) τ (s)n(s) ¯ = ±n(s), nβ (s) = ¯¯ 00 ¯¯ = ¯¯ β (s) τ (s)¯

bβ (s) = tβ (s) ∧ nβ (s) = ±b(s) ∧ n(s) = ∓t(s). D E ® Finalmente, τβ (s) = bβ0 (s), nβ (s) = ∓ t0 (s), ±n(s) = −k(s). ® ® iii) Por i), α es una hélice generalizada si, y sólo si, 0 = n(s), u = ± nβ (s), u , es decir, si, y sólo si, β también lo es. 310


Solución al ejercicio 1.19. Si α (I) ⊂ S2 (r) (esfera que suponemos centrada en el ¯2 ¯ origen, por simplicidad), entonces ¯α (s)¯ = r2 . Derivando dos veces obtenemos las ® ® relaciones t(s), α (s) = 0 y k(s) n(s), α (s) = −1. Finalmente, si derivamos de nuevo esta segunda expresión y operamos, llegamos a que ³ ® ® ®´ 0 = k0 (s) n(s), α (s) + k(s) n0 (s), α (s) + n(s), t(s) ® ® k0 (s) k0 (s) + k(s) − k(s)t(s) − τ (s)b(s), α (s) = − − k(s)τ (s) b(s), α (s) . k(s) k(s) ® ¡ ¢ As´ı pues, b(s), α (s) = −k0 (s)/ k(s)2 τ (s) , lo que tiene perfecto sentido pues, por hipótesis, ambas k(s), τ (s) 6= 0. Expresando α (s) en función de la base de Frenet, obtenemos que ® ® ® α (s) = t(s), α (s) t(s) + n(s), α (s) n(s) + b(s), α (s) b(s) =−

=

k0 (s) −1 n(s) − b(s) k(s) k(s)2 τ (s)

y tomando módulos se tiene la relación buscada: µ 0 ¶2 ¯2 ¯ k (s) 1 2 ¯ ¯ + . r = α (s) = k(s)2 k(s)2 τ (s) ¢ ¡ Y rec´ıprocamente. Supongamos que r2 = 1/k(s)2 + k0 (s)2 / k(s)4 τ (s)2 . Derivando esta expresión obtenemos ¶0 µ 0 τ (s) k (s) = . k(s)2 τ (s) k(s) Definimos ahora la función 1 k0 (s) n(s) + b(s). k(s) k(s)2 τ (s)

f (s) = α (s) +

Utilizando la relación anterior, un rápido cálculo permite comprobar que ¶0 ¸ ·µ 0 τ (s) k (s) 0 − b(s) = 0, f (s) = k(s)2 τ (s) k(s) es decir, f (s) ≡ a constante. En consecuencia,

α (s) − a = −

k0 (s) 1 n(s) − b(s), k(s) k(s)2 τ (s)

y tomando módulos, ¯ ¯ ¯α (s) − a¯2 =

k0 (s)2 1 + = r2 , k(s)2 k(s)4 τ (s)2

es decir, α verifica la ecuación de una esfera, con centro a y radio r. Solución al ejercicio 1.20. Supongamos que α (I) ⊂ S2 (r). El ejercicio 1.19 nos asegura entonces que k0 (s)2 1 + = r2 , k(s)2 k(s)4 τ02 311


donde ahora, la torsión es constante. Tenemos en definitiva una ecuación diferencial p 0 2 (en variables separadas), k (s) = τ0 k(s) r k(s)2 − 1, cuya solución es k(s) =

1 1 ¢ = ¡ r cos(τ0 s + c) r cos(τ0 s) cos c − sen(τ0 s) sen c

para c ∈ R. Tomando a = r cos c, b = −r sen c obtenemos el resultado. ¢ ¡ Rec´ıprocamente, si k(s) = 1/ a cos(τ0 s)+ b sen(τ0 s) , es sencillo comprobar que ¡ ¢2 ¡ ¢2 1 k0 (s)2 = a sen( + τ τ τ τ s) − b cos( s) + a cos( s) + b sen( s) = a2 + b2 . 0 0 0 0 τ02 k(s)4 k(s)2 Por tanto, aplicando de nuevo el ejercicio 1.19, concluimos que α está contenida en √ una esfera de radio r = a2 + b2 . Solución al ejercicio 1.21. Supongamos que ω (s) se expresa, en función de la base de Frenet, como ω (s) = ω1 (s)t(s) + ω2 (s)n(s) + ω3 (s)b(s), verificando además t0 (s) = ω (s) ∧ t(s), n0 (s) = ω (s) ∧ n(s) y b0 (s) = ω (s) ∧ b(s). Tenemos que encontrar (si existen) las funciones ω1 , ω2 , ω3 : I −→ R que satisfacen las condiciones anteriores. Por un lado, ¡ ¢ k(s)n(s) = t0 (s) = ω (s) ∧ t(s) = ω1 (s)t(s) + ω2 (s)n(s) + ω3 (s)b(s) ∧ t(s) = ω2 (s)n(s) ∧ t(s) + ω3 (s)b(s) ∧ t(s) = −ω2 (s)b(s) + ω3 (s)n(s). En consecuencia, ω2 (s) = 0 y ω3 (s) = k(s). Análogamente, dado que

τ (s)n(s) = b0 (s) = ω (s) ∧ b(s) = −ω1 (s)n(s) + ω2 (s)t(s), volvemos a obtener ω2 (s) = 0 y, además, ω1 (s) = −τ (s). Esto permite ya escribir la curva buscada ω : I −→ R3 como la dada por ω (s) = −τ (s)t(s) + k(s)b(s). Debemos probar, para finalizar la demostración, que en efecto la curva ω existe, en el sentido de que también debe verificar la tercera condición, n0 (s) = ω (s) ∧ n(s):

ω (s) ∧ n(s) = −τ (s)b(s) − k(s)t(s) = n0 (s). Obsérvese que la velocidad angular ω (s) es constante si, y sólo si, τ (s), k(s) lo son.

γ

α B

A

β Figura C.1: El problema ´ isoperimetrico.

Solución al ejercicio 1.22. Sea α una curva plana cualquiera uniendo A y B de longitud `. Tomemos una circunferencia de modo que el segmento AB sea una cuerda de la misma, y tal que uno de los dos arcos de circunferencia que este segmento determina tenga longitud `. Sean γ la curva que parametriza dicho arco, y β la correspondiente al arco opuesto. Consideremos ahora la curva cerrada formada por la yuxtaposición de α y β , α ∧ β . Obsérvese que β es una curva fija, mientras que α var´ıa entre todas las curvas que unen A y B y que tienen longitud `. La desigualdad isoperimétrica nos asegura que la curva que encierra a´ rea máxima es la circunferencia, esto es, γ ∧ β . Dado que β está fijada, y por tanto el a´ rea encerrada por e´ sta y el segmento AB es un valor fijo, la porción de a´ rea encerrada por α será máxima cuando α ≡ γ ; es decir, cuando α sea un arco de circunferencia. 312


SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO II ¡ ¢ Solución al ejercicio 2.1. Vamos a ver que X(u, v) = f (v) cos u, f (v) sen u, g(v) es una parametrización para S, con (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × I. Dado que quedar´ıa un meridiano sin cubrir, se necesitar´ıa una segunda carta para demostrar que S es una superficie regular, lo que dejamos como ejercicio al lector. La propiedad S1) se verifica trivialmente, pues f y g son diferenciables. Veamos pues S3). Obsérvese que, como α no toca al eje z, entonces f (v) 6= 0 para todo v ∈ I; as´ı, podemos suponer sin pérdida de generalidad que f (v) > 0 siempre (véase la figura 2.23). Un rápido cálculo muestra que ¡ ¢ Xu ∧ Xv = f (v)g0 (v) cos u, f (v)g0 (v) sen u, f (v) f 0 (v) , p luego |Xu ∧ Xv | = f (v) f 0 (v)2 + g0 (v)2 . Además, al ser α una curva regular, ¯ 0 ¯ q ¯α (v)¯ = f 0 (v)2 + g0 (v)2 6= 0, y en consecuencia, |Xu ∧ Xv | 6= 0, lo que demuestra que Xu y Xv son linealmente independientes; es decir, dX(u,v) es inyectiva. Para poder concluir que X es una parametrización, utilizaremos la proposición 2.1.7, y probaremos que X es inyectiva. En efecto, si existen (u, v), (u0 , v0 ) ∈ U tales que X(u, v) = X(u0 , v0 ), entonces se tiene, en particular, que f (v) = f (v0 ). Como α no presenta autointersecciones, f debe ser inyectiva, de donde se deduce que v = v0 . Esto permite concluir finalmente que u = u0 . Un rápido cálculo muestra que los coeficientes de la primera forma fundamental de X son E = f (v)2 , F = 0 y G = f 0 (v)2 + g0 (v)2 . Parametrizando α por la longitud ¯2 ¯ de arco, se tendr´ıa que ¯α 0 (v)¯ = f 0 (v)2 + g0 (v)2 = 1, lo que prueba el resultado. Observación. Si se permite que α toque al eje z, esto es, si en algún punto f (v) = 0, no siempre se obtiene una superficie regular. Por ejemplo, si la circunferencia que genera el toro de revolución al rotar e´ sta alrededor del eje z es tangente al eje (véase la práctica B.5), la figura obtenida no es una superficie; por el contrario, la esfera, el plano, el paraboloide de revolución (véase el ejemplo 3.17 para su definición)... son superficies de revolución para las cuales, la curva α que las genera (semic´ırculo, recta, semi-parábola...) corta al eje. De hecho, se puede probar que si α corta al eje ortogonalmente, entonces la figura obtenida es siempre una superficie regular. Solución al ejercicio 2.2. Sabemos que la función distancia no es diferenciable en S si p0 ∈ S (véase el ejemplo 2.12). As´ı pues, supongamos que p0 6∈ S, y sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ q ® hv, p − p0 i d ¯¯ d ¯¯ . α (t) − p0 , α (t) − p0 = d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ |p − p0 | dt t=0 dt t=0 Solución al ejercicio 2.3. i) La aplicación ant´ıpoda A es diferenciable, pues i ◦ A es la restricción a S2 de la función F : R3 −→ R3 , F(x, y, z) = (−x, −y, −z), que es 313


diferenciable. Como A−1 = A (inversa diferenciable), A es un difeomorfismo. Sean p ∈ S2 , v ∈ Tp S2 y α : I −→ S2 una curva tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ dA p (v) = ¯ (A ◦ α )(t) = − ¯ α (t) = −v, dt t=0 dt t=0 es decir, dA p = −1Tp S2 . ii) La aplicación F es diferenciable, pues la composición i ◦ F es la restricción al √ ¢ ¡√ 1 + z2 x, 1 + z2 y, z , que es cilindro C de la función G : R3 −→ R3 , G(x, y, z) = diferenciable. Es sencillo comprobar que su inversa F −1 : H −→ C viene dada por ¶ µ v u ,√ ,w , F −1 (u, v, w) = √ 1 + w2 1 + w2 que es diferenciable razonando de modo análogo. Luego F es un difeomorfismo. Observación. También puede demostrarse que F es diferenciable viendo que su expresión en coordenadas lo es: basta tomar las parametrizaciones p ¢ ¡p 1 + v2 cos u, 1 + v2 sen u, v X(u, v) = (cos u, sen u, v) e Y (u, v) = del cilindro y del hiperboloide, respectivamente; dado que la expresión en coordenadas de F (respecto a X e Y ) es Fe = Y −1 ◦ F ◦ X = 1(0,2π )×R , entonces F es diferenciable (y análogamente para su inversa). iii) Es sencillo comprobar que la aplicación F : S2 \{N, S} −→ H del enunciado viene dada por la expresión   s s 2 2 1 + z 1 + z ,y , z . F(x, y, z) = x 1 − z2 1 − z2 Para probar que F es diferenciable, consideremos la aplicación G : W −→ R3 definida sobre el abierto © ª W = (x, y, z) ∈ R3 : −1 < z < 1 ⊂ R3 , ´ ³ p p dada por G(x, y, z) = x (1 + z2 )/(1 − z2 ), y (1 + z2 )/(1 − z2 ), z . Claramente, G es diferenciable (en el sentido ordinario) sobre W , y además S2 \{N, S} ⊂ W . Por tanto, la composición i ◦ F : S2 \{N, S} −→ R3 es la restricción a S2 \{N, S} de la aplicación diferenciable G, lo que demuestra que F es diferenciable. Solución al ejercicio 2.4. F es diferenciable pues la composición i ◦ F : S −→ R3 es la restricción a la superficie S de la aplicación f : R3 \{p0 } −→ R3 dada por f (p) = (p − p0 )/ |p − p0 |, que es diferenciable en sentido ordinario, y S ⊂ R3 \{p0 }. As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ d ¯¯ α (t) − p0 d ¯¯ dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 α (t) − p0 , α (t) − p0 ®1/2 hv, p − p0 i v (p − p0 ). − = |p − p0 | |p − p0 |3 314


Supongamos en primer lugar que v ∈ Tp S, v 6= 0, está en el núcleo de dFp . Entonces dFp (v) = 0, es decir, hv, p − p0 i v (p − p0 ) = 0. − |p − p0 | |p − p0 |3 En definitiva, v=

hv, p − p0 i |p − p0 |2

(p − p0 ) = λ (p − p0 ).

Y rec´ıprocamente, si v = λ (p − p0 ) para un cierto λ ∈ R, entonces ! Ã ¢ ¡ |p − p0 |2 p − p0 (p − p0 ) = 0. − dFp (v) = dFp λ (p− p0 ) = λ dFp (p− p0 ) = λ |p − p0 | |p − p0 |3 Obsérvese finalmente que F es un difeomorfismo local si, y sólo si, dFp es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S, lo que equivale a que su núcleo ker(dFp ) = {0}. Ahora bien, por lo demostrado anteriormente, ker(dFp ) = {0} si, y sólo si, no existe ningún vector tangente a la superficie de la forma v = λ (p − p0 ), lo que nos asegura que no es posible trazar una recta tangente a S desde el punto p0 . ¡ ¢ Solución al ejercicio 2.5. i) Claramente F S2 \{N, S} ⊂ C, pues si tomamos un punto (x, y, z) ∈ S2 \{N, S}, entonces x2 + y2 + z2 = 1, de donde se deduce que su imagen F(x, y, z) verifica la ecuación del cilindro C: ¶2 µ ¶2 µ y x2 + y2 x √ + √ = = 1. 1 − z2 1 − z2 1 − z2 Para demostrar que F es diferenciable, consideremos la aplicación G : W −→ R3 , √ ¢ ¡ √ dada por G(x, y, z) = x/ 1 − z2 , y/ 1 − z2 , z , pero definida sobre el abierto de R3 © ª W = (x, y, z) ∈ R3 : −1 < z < 1 . Claramente, G es diferenciable (en el sentido ordinario) sobre W , y además se tiene que S2 \{N, S} ⊂ W . Por tanto, la composición i ◦ F : S2 \{N, S} −→ R3 es la restricción a S2 \{N, S} de la aplicación diferenciable G, lo que demuestra que F es diferenciable. ii) Sean p = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S, v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ Tp S y α : I −→ S una curva en S tal que ¡ ¢ α (0) = p y α 0 (0) = v. Escribimos α (t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces ! ¯ ¯ Ã y(t) d ¯¯ d ¯¯ x(t) p ,p , z(t) dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 1 − z(t)2 1 − z(t)2 ¶ µ v1 (1 − z20 ) + x0 z0 v3 v2 (1 − z20 ) + y0 z0 v3 , , v = 3 . (1 − z20 )3/2 (1 − z20 )3/2 ¡ ¢ Ahora, p es punto cr´ıtico de F si, y sólo si, dFp (v) = 0 para todo v ∈ Tp S2 \{N, S} , es decir, si, y sólo si, las tres coordenadas en la expresión anterior se anulan: v1 (1 − z20 ) + x0 z0 v3 = 0,

v2 (1 − z20 ) + y0 z0 v3 = 0,

v3 = 0.

Dado que el u´ nico vector v = (v1 , v2 , v3 ) que satisface las ecuaciones anteriores es el (0, 0, 0), podemos concluir que F no tiene puntos cr´ıticos. 315


Solución al ejercicio 2.6. Para demostrar que f es diferenciable, consideremos la © ª aplicación F : W −→ R definida sobre el abierto W = R3 \ (0, 0, z) : z ∈ R de R3 , ¯ ¯ dada por F(p) = 1/ ¯ p ∧ (0, 0, 1)¯, que, claramente, es diferenciable en el sentido ¯ ordinario. Como S no corta al eje z, S ⊂ W y, además f = F ¯S . Luego f es diferenciable. As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Escribimos e3 = (0, 0, 1) para mayor brevedad. Entonces ¯ ¯ hv ∧ e3 , p ∧ e3 i d ¯¯ d ¯¯ 1 =− . d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 α (t) ∧ e3 , α (t) ∧ e3 ®1/2 |p ∧ e3 |3 Obsérvese que p es un punto cr´ıtico de f si, y sólo si, d f p ≡ 0, es decir si, y sólo si, hv ∧ e3 , p ∧ e3 i = 0, para todo v ∈ Tp S, lo que es equivalente a su vez a que hv, pi = 0 para todo v ∈ Tp S. As´ı pues, p es un punto cr´ıtico de f si, y sólo si, p es ortogonal al plano tangente Tp S, esto es, si, y sólo si, el normal N(p) está en la dirección de p. Solución al ejercicio 2.7. i) Sea (U, X) una parametrización de S, y supongamos que L = span{a}, |a| = 1. Entonces, N(u, v) ≡ a, para todo (u, v) ∈ U (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que N(u, v) = a y no −a). Sea p0 = X(u0 , v0 ) ∈ U y consideremos el plano Π ≡ p0 + span{a}⊥ . Queremos demostrar que X(u, v) ∈ Π ® para todo (u, v) ∈ U o, equivalentemente, que X(u, v) − p0 , a = 0. ® ® Sea entonces f (u, v) = X(u, v) − p0 , a . Claramente, fu (u, v) = Xu (u, v), a = 0 ® y fv (u, v) = Xv (u, v), a = 0, de donde se deduce, por ser S conexa (podemos tomar U conexo), que f es constante. Como f (u0 , v0 ) = hp0 − p0 , ai = 0, entonces f ≡ 0. Obsérvese que esto no demuestra el resultado deseado, pues hemos llegado a que X(U), y no S, está contenido en el plano Π. Si tomamos otra parametrización (U, X), un argumento análogo muestra que X(U) ⊂ Π ≡ p0 + span{a}⊥ , es decir, X(U) está contenido en un plano paralelo al anterior. Para ver que ambos planos coinciden, utilizamos la conexión de S. Esta propiedad implica, en particular, que S es conexa por arcos, lo que nos asegura la existencia de una curva α : [0, 1] −→ S ¡ ¢ continua uniendo p0 = α (0) y p0 = α (1). Por ser α [0, 1] compacto, podemos cu© ª brirla con un número finito de entornos coordenados Xi (Ui ) : i = 1, . . . , n (suponemos, por ejemplo, que X1 (U1 ) = X(U), Xn (Un ) = X(U)), cada uno de los cuales verifica que Xi (Ui ) ⊂ Πi ≡ pi0 + span{a}⊥ , para ciertos pi0 ∈ Xi (Ui ). Además, dado i ∈ {1, . . . , n} cualquiera, existe j ∈ {1, . . . , n}, j 6= i, tal que Xi (Ui ) ∩ X j (U j ) 6= 0/ (véase la figura C.2). En consecuencia, podemos encontrar un punto pi ∈ Πi ∩ Π j , planos que son paralelos; luego Πi ≡ Π j , lo que permite concluir que Π ≡ Π. X (U ) p0

X5 (U5)

X4 (U4 ) p4

p1 Figura C.2: Cubriendo

X3 (U3 )

X2 (U2 ) p2

p3

X6 (U6) X(U)

p5 p6

una curva con entornos coordenados.

316

p0


El rec´ıproco es evidente. Observación. Este resultado puede demostrarse sin utilizar parametrizaciones, lo que reduce notablemente la prueba. Consideremos la función altura h : S −→ R respecto al plano Π ≡ 0 + span{a}⊥ (véase el ejemplo 2.13). Ya sabemos (ejemplo 2.15) que dh p = h ·, ai, luego p ∈ S es un punto cr´ıtico de h si, y sólo si, a ⊥ Tp S. Dado que todas las rectas normales a la superficie S son paralelas a L = span{a}, el vector a es ortogonal a todos los planos tangentes Tp S, para todo p ∈ S. En consecuencia, cualquier p ∈ S es un punto cr´ıtico de h, lo que implica que dh p ≡ 0 para todo p ∈ S. Por ser S conexa, concluimos que h ≡ c constante. As´ı pues, h(p) = hp, ai = c para © ª todo p ∈ S, lo que demuestra que S ⊂ p ∈ R3 : hp, ai = c , un plano paralelo a Π y, por tanto, perpendicular a L. ii) Sea (U, X) una parametrización de S. Como las rectas normales son perpendicu ® lares al eje z, entonces N(u, v), e3 = 0, donde e3 = (0, 0, 1). Por otro lado, dado X(u, v) ∈ X(U), existen λ (u, v), µ (u, v) ∈ R con X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = µ (u, v)e3 , ya que, también por hipótesis, todas las rectas normales a S cortan al eje z. Multipli ® cando ahora esta expresión por el vector e3 obtenemos µ (u, v) = X(u, v), e3 , luego ® X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = X(u, v), e3 e3 . Derivando respecto a u se tiene ® Xu (u, v) + λ (u, v)Nu (u, v) + λu (u, v)N(u, v) = Xu (u, v), e3 e3 , y multiplicando ahora por el vector normal N(u, v), obtenemos λu (u, v) = 0. Análogamente se llega a que λv (u, v) = 0, de donde se deduce, por ser S conexa (podemos to ® mar U conexo), que λ ≡ constante. As´ı pues, X(u, v) − X(u, v), e3 e3 = −λ N(u, v), y tomando módulos, ¯ ® ¯¯2 ¯ ¯X(u, v) − X(u, v), e3 e3 ¯ = λ 2 . Obsérvese que esto no es más que la ecuación de un cilindro: en efecto, si escribi® ¡ ¢ ¡ ¢ mos X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , entonces X(u, v), e3 e3 = 0, 0, z(u, v) , por lo que la ecuación anterior se reescribe como la más conocida x(u, v)2 +y(u, v)2 = λ 2 . De nuevo, hemos demostrado que el entorno coordenado X(U), y no S, está contenido en el cilindro recto de radio |λ |. Un argumento análogo al desarrollado en el apartado i) permite concluir el resultado buscado. Rec´ıprocamente, consideremos la parametrización X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) del cilindro. Un sencillo cálculo muestra que el vector normal en un punto X(u, v) es N(u, v) = (cos u, sen u, 0). As´ı, la recta que pasa por X(u, v) en la dirección de N(u, v) es L ≡ X(u, v) + λ N(u, v) = (r cos u + λ cos u, r sen u + λ sen u, v). Es fácil ver que L corta al eje z ortogonalmente.6 iii) Sea (U, X) una parametrización de S. Como todas las rectas normales pasan por un punto fijo p0 , entonces, para cada X(u, v) ∈ X(U), existirá λ (u, v) ∈ R de forma 6

Al igual que en el caso del plano (apartado i)), el resultado puede probarse sin utilizar parametrizaciones; basta rehacer dicho argumento considerando ahora la función h(p) = |p|2 − hp, e3 i. En el caso de la esfera que vemos a continuación (apartado iii)), el uso de parametrizaciones puede de nuevo evitarse argumentando de forma análoga con la función h(p) = |p − p0 |2 .

317


que X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = p0 . Derivando esta igualdad respecto a u obtenemos Xu (u, v) + λu (u, v)N(u, v) + λ (u, v)Nu (u, v) = 0, y multiplicando de nuevo por el vector normal se tiene λu (u, v) = 0. Análogamente se deduce que λv (u, v) = 0, lo que implica, por ser S conexa (podemos tomar U conexo), que λ ≡ constante. Luego ¯ ¯2 X(u, v) − p0 = −λ N(u, v) y, tomando módulos, ¯X(u, v) − p0 ¯ = λ 2 , que es la ecuación de una esfera. Hemos probado as´ı que el entorno coordenado X(U) (y no S) está contenido en la esfera de radio |λ |. Un argumento análogo al desarrollado en el apartado i) permite concluir el resultado buscado. El rec´ıproco es evidente. Solución al ejercicio 2.8. Consideremos la parametrización de la esfera dada por las coordenadas geográficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), siendo los coeficientes de la primera forma fundamental E = 1, F = 0 y G = sen2 θ . Sea ahora α : I −→ S2 la curva buscada, que forma un a´ ngulo constante con los meridianos, ¡ ¢ y, como viene siendo usual, escribimos α (t) = X θ (t), ϕ (t) . As´ı pues, en un punto ¢ ¡ X θ (t), ϕ (t) , donde la curva α (t) corta al meridiano ϕ ≡ constante, se tendrá que ® ® Xθ , θ 0 (t)Xθ + ϕ 0 (t)Xϕ Xθ , α 0 (t) θ 0 (t) ¯ ¯ = ¯ ¯¯ ¯=p cos β = |Xθ | ¯α 0 (t)¯ ¯Xθ ¯ ¯θ 0 (t)Xθ + ϕ 0 (t)Xϕ ¯ θ 0 (t)2 + ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t) ¤ £ (β constante), o lo que es lo mismo, θ 0 (t)2 = cos2 β θ 0 (t)2 + ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t) . Reescribiendo esta expresión obtenemos tg2 β θ 0 (t)2 = ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t), que es una sencilla ecuación diferencial en variables separadas, cuya solución viene dada por ¶ µ θ = ± cotg β (ϕ + c). log tg 2 Solución al ejercicio 2.9. Parametrizamos la catenaria por α (v) = (cosh v, 0, v), siendo X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v), (u, v) ∈ (0, 2π ) × (−∞, ∞), una parametrización del catenoide. Un sencillo cálculo muestra que los coeficientes de su primera forma fundamental son E = cosh2 v, F = 0 y G = cosh2 v. Obsérvese que esta carta ¢ ¡ no cubre todo R, pues el meridiano u = 0 no se encuentra en X (0, 2π ) × (−∞, ∞) . As´ı pues, podemos recurrir al ((truco)) que ya empleamos en el ejemplo 2.21, es decir, ¡ ¢ calcular el a´ rea de la región más pequeña Rε = X [ε , 2π − ε ] × [−1, 1] : A(Rε ) =

Z 2π −εZ 1 p ε

−1

EG − F 2 dudv =

Z 2π −εZ 1 ε

−1

cosh2 v dudv = (2+senh 2)(π − ε ).

Tomando l´ımites cuando ε → 0 obtenemos A(R) = l´ım A(Rε ) = l´ım (2 + senh 2)(π − ε ) = π (2 + senh 2). ε →0

ε →0

Observación. El conjunto de puntos de R que queda sin cubrir por la parametrización tiene medida nula, por lo que no va a tener influencia alguna en el resultado final de la integral. Por tanto, en la práctica, no es realmente necesario argumentar de este modo, pudiéndose calcular la integral directamente entre los valores −1, 1 y 0, 2π ; en los siguientes ejercicios omitiremos por brevedad este argumento. 318


Solución al ejercicio 2.10. i) Un sencillo cálculo muestra que ¶ µ cos2 u , Xu (u, v) = cos u cos v, cos u sen v, sen u Xv (u, v) = (− sen u sen v, sen u cos v, 0) , de donde E = cotg2 u, F = 0 y G = sen2 u. ii) Sea ε > 0. Como la pseudoesfera no es compacta, vamos a calcular el a´ rea de la ¡ ¢ región Rε = X (ε , π /2) × (0, 2π ) . As´ı, es sencillo comprobar que Z π /2 Z 2π p Z π /2 Z 2π 2 cos u dvdu = 2π (1 − sen ε ). EG − F dvdu = A(Rε ) = ε

ε

0

0

Entonces, el a´ rea (total) de la pseudoesfera es ´ Area = l´ım A(Rε ) = l´ım = 2π (1 − sen ε ) = 2π . ε →0

ε →0

Solución al ejercicio 2.11. i) Un sencillo cálculo muestra que ¡ ¢ Xs (s, θ ) = 1 − rk(s) cos θ t(s) + rτ (s) sen θ n(s) − rτ (s) cos θ b(s), Xθ (s, θ ) = −r sen θ n(s) + r cos θ b(s), ¢2 ¡ de donde E = 1 − rk(s) cos θ + r2 τ (s)2 , F = −r2 τ (s) y G = r2 . ii) Sea ` la longitud de la curva α . As´ı pues, podemos suponer que α está p.p.a. y que su intervalo de definición es [0, `]. Entonces, Z ` Z 2π ¡ Z ` Z 2π p ¢ ´ r 1 − rk(s) cos θ d θ ds = 2π r`. EG − F 2 d θ ds = Area = 0

0

0

0

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO III Solución al ejercicio 3.1. Dado que ambas superficies juegan el mismo papel, supondremos, por ejemplo, que S1 es orientable. Entonces, existe una familia de parametrizaciones (Ui , Xi ) cubriendo S2 de modo que, siempre que dos de ellas se corten, el jacobiano del cambio de coordenadas tiene determinante positivo. Sea φ : S1 −→ S2 el difeomorfismo entre ambas superficies, y consideremos la familia (Ui , X i = φ ◦ Xi ). Ya sabemos que X i es una parametrización de S2 y supongamos, por ejemplo, que −1 (U1 , X 1 ) y (U2 , X 2 ) tienen intersección no vac´ıa. Claramente, X 2 ◦ X 1 = X2−1 ◦ X1 , −1 de donde se deduce que el jacobiano del cambio X 2 ◦ X 1 es el mismo que el de X2−1 ◦ X1 . Como el segundo es positivo por hipótesis, el primero también lo es. Solución al ejercicio 3.2. Sea {e1 , e2 } la base de direcciones principales en Tp S. Si v = v1 e1 + v2 e2 , w = w1 e1 + w2 e2 ∈ Tp S, entonces ® III p (v, w) = hA p v, A p wi = v1 k1 (p)e1 + v2 k2 (p)e2 , w1 k1 (p)e1 + w2 k2 (p)e2 = v1 w1 k1 (p)2 + v2 w2 k2 (p)2 ,

II p (v, w) = hA p v, wi = v1 w1 k1 (p) + v2 w2 k2 (p), I p (v, w) = hv, wi = v1 w1 + v2 w2 . 319


Utilizando estas expresiones, un sencillo cálculo muestra que ¡ ¢ 2H(p)II p (v, w) − K(p)I p (v, w) = k1 + k2 (p)II p (v, w) − (k1 k2 )(p)I p (v, w) = III p (v, w). Observación. Puede probarse como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton.7 El polinomio caracter´ıstico de A p es t 2 − (tr A p )t + det A p = t 2 − 2H(p)t + K(p), por lo que el citado teorema nos asegura que A2p − 2H(p)A p + K(p)1Tp S ≡ 0, es decir, A2p ≡ 2H(p)A p − K(p)1Tp S . Luego ® III p (v, w) = hA p v, A p wi = A2p v, w = 2H(p) hA p v, wi − K(p) hv, wi = 2H(p)II p (v, w) − K(p)I p (v, w). Solución al ejercicio 3.3. E SFERA: K = 1/r2 , H = −1/r. C ILINDRO X(u, v) = (r cos u, r sen u, v): K = 0, H = −1/(2r). √ C ONO X(u, v) = (v cos u, v sen u, v): K = 0, H = − 2/(4v). H ELICOIDE X(u, v) = (v cos u, v sen u, au): K = −a2 /(v2 + a2 )2 , H = 0. C ATENOIDE X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v): K = − sech4 v, H = 0 Observación. Los resultados obtenidos para el helicoide y el catenoide (superficies localmente isométricas) no contradicen el teorema Egregium de Gauss: en los puntos correspondientes, la curvatura de Gauss coincide (basta hacer el cambio de variable u = u, v = a senh v en la parametrización del helicoide para darnos cuenta). ¡ ¢ T ORO X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u : 2r cos u + a cos u , H =− . r(r cos u + a) 2r(r cos u + a) ¡ ¢ P SEUDOESFERA X(u, v) = sen u cos v, sen u sen v, cos u + log tg(u/2) : K=

K = −1,

1 H = (cotg u − tg u). 2

PARABOLOIDE ELÍ PTICO X(u, v) = (u, v, u2 + v2 ): K=

4 , 2 (1 + 4u + 4v2 )2

H=

2 + 4u2 + 4v2 . (1 + 4u2 + 4v2 )3/2

´ PARABOLOIDE HIPERB OLICO X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ): K=−

4 , 2 (1 + 4u + 4v2 )2

H=

4(u2 − v2 ) . (1 + 4u2 + 4v2 )3/2

H IPERBOLOIDE DE UNA HOJA X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, senh v): K = − sech2 (2v), 7

H =−

senh2 v . cosh(2v)3/2

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su polinomio caracter´ıstico (véanse [10] o [40]).

320


H IPERBOLOIDE DE DOS HOJAS X(u, v) = (senh v cos u, senh v sen u, cosh v): K = sech2 (2v),

H =−

cosh2 v . cosh(2v)3/2

S ILLA DE MONTAR DEL MONO X(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2 ): 36(u2 + v2 ) K = −¡ ¢2 , 1 + 9(u2 + v2 )

27u(u4 − v4 − 4u2 v2 ) H =− ¡ ¢3/2 . 1 + 9(u2 + v2 )

Solución al ejercicio 3.4. Si H(p) = 0, entonces k1 (p) = −k2 (p). Representamos por e1 , e2 ∈ Tp S las direcciones principales asociadas a k1 (p) y k2 (p), respectivamente, que forman una base ortonormal del tangente Tp S. Si k1 (p) = k2 (p) = 0, entonces los propios vectores e1 , e2 son direcciones asintóticas (en realidad, por ser p plano, todas las direcciones son asintóticas, véase el ejercicio 3.5). As´ı, supongamos que k1 (p) = −k2 (p) 6= 0. Sea vθ = cos θ e1 + sen θ e2 ∈ Tp S un vector unitario cualquiera. Su curvatura normal vale ® kn (vθ , p) = A p vθ , vθ = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p)(cos2 θ − sen2 θ ) = k1 (p) cos(2θ ). Luego kn (vθ , p) = 0 si, y sólo si, θ = π /4 o´ θ = 3π /4. Esto es, los vectores vπ /4 y v3π /4 son dos direcciones asintóticas y ortogonales de Tp S. Rec´ıprocamente, sean v1 , v2 ∈ Tp S dos direcciones asintóticas y ortogonales, y sea {e1 , e2 } una base de direcciones principales con la misma orientación que {v1 , v2 } y θ = a´ ng(e1 , v1 ). Entonces v1 = cos θ e1 + sen θ e2 , ³ ³ π´ π´ e1 + sen θ + e2 = − sen θ e1 + cos θ e2 . v2 = cos θ + 2 2 Como son direcciones asintóticas, se tiene que 0 = kn (v1 , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ , 0 = kn (v2 , p) = k1 (p) sen2 θ + k2 (p) cos2 θ , de donde se deduce que k1 (p) + k2 (p) = 0, esto es, H(p) = 0. Solución al ejercicio 3.5. Si p ∈ S es un punto hiperbólico, entonces K(p) < 0 y, por tanto, k1 (p) < 0 y k2 (p) > 0. Tomemos {e1 , e2 } la base ortonormal de direcciones principales y sea vθ = cos θ e1 + sen θ e2 ∈ Tp S un vector unitario cualquiera. Como kn (e1 , p) < 0 y kn (e2 , p) > 0, existe θ ∈ (0, 2π ) tal que kn (vθ , p) = 0, y claramente, ¡ ¢ 0 = kn (vθ , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p) + k2 (p) − k1 (p) sen2 θ ³ p ´ p si, y sólo si, θ = arc sen k1 /(k1 − k2 )(p) o´ θ = arc sen − k1 /(k1 − k2 )(p) . Si representamos por θ1 y θ2 = −θ1 estos dos a´ ngulos, entonces los vectores vθ1 , vθ2 son direcciones asintóticas, linealmente independientes, bisectadas por e1 (y e2 ). 321


Si p es un punto el´ıptico, entonces K(p) > 0, y por tanto, o bien k1 (p), k2 (p) > 0 o bien k1 (p), k2 (p) < 0. Si k1 (p), k2 (p) > 0 (respectivamente, k1 (p), k2 (p) < 0), entonces, kn (v, p) ≥ k1 (p) > 0 (respectivamente, kn (v, p) ≤ k2 (p) < 0); en cualquier caso, kn (v, p) 6= 0 para todo v ∈ Tp S, es decir, no existen direcciones asintóticas. Si p es umbilical, entonces k1 (p) = k2 (p). En el caso de que k1 (p) = k2 (p) = 0, esto es, si el punto fuese plano, entonces kn (v, p) = 0 para todo vector v ∈ Tp S, pues k1 (p) ≤ kn (v, p) ≤ k2 (p); en definitiva, todas las direcciones ser´ıan asintóticas. Si por el contrario k1 (p) = k2 (p) 6= 0, no existir´ıan direcciones asintóticas. Solución al ejercicio 3.6. Como S es compacta, en particular está acotada. Luego existe r > 0 tal que S ⊂ S2 (r). Además, si disminuimos el radio de la esfera de forma continua, existirá un r0 > 0 de forma que S2 (r0 ) toca a la superficie en un punto p. Vamos a demostrar que p es el´ıptico. Como S y S2 (r0 ) se tocan en p, es sencillo ver que Tp S ≡ Tp S2 (r0 ). En efecto, si consideramos la función f : S −→ R que da el cuadrado de la distancia al origen, f (p) = |p|2 , claramente d f p (v) = 2 hv, pi para todo v ∈ Tp S, y al ser p un máximo relativo de f , entonces 2 hv, pi = d f p (v) = 0 para todo v ∈ Tp S (véase la proposición 2.4.6). Luego p es ortogonal a Tp S. Pero, dado que p ∈ S2 (r0 ) y en la esfera el vector posición es siempre ortogonal al tangente, se deduce que el normal N(p) = ±p/|p| es el mismo para ambas superficies; o equivalentemente, que Tp S ≡ Tp S2 (r0 ). Sin pérdida alguna de generalidad, elegimos el (común) vector normal N(p) ((apuntando)) hacia el interior. Dado v ∈ Tp S ≡ Tp S2 (r0 ), y siguiendo la notación © ª de la sección 3.3.3, representamos por Πv = span v, N(p) , y por Cv1 = Πv ∩ S y Cv2 = Πv ∩ S2 (r0 ) las correspondientes secciones normales. Sean α1 : I −→ Cv1 y α2 : I −→ Cv2 parametrizaciones (por el arco) de dichas secciones normales, con α1 (0) = α2 (0) = p y α10 (0) = α20 (0) = v. Como S ⊂ S2 (r0 ), entonces α1 está por encima de α2 (proposición 1.2.11) y, en consecuencia, kα1 (0) ≥ kα2 (0). Además, kα2 (0) = kn (v, p) = 1/r0 (kn medida en la esfera), mientras que kα1 (0) = kn (v, p) medida en S. En definitiva, llegamos a que, en la superficie, kn (v, p) ≥ 1/r0 . Como esto es válido para todo v ∈ Tp S, en particular k1 (p), k2 (p) ≥ 1/r0 y, por tanto, K(p) ≥ 1/r02 > 0: el punto es el´ıptico. Solución al ejercicio 3.7. Si α (s) es una recta, k(s) = 0 para todo s ∈ I. Como k(s)2 = kg (s)2 + kn (s)2 (relación (3.3)), en particular, kn (s) = 0 para todo s ∈ I. Luego ¢ ¡ ¢ ¡ las curvaturas principales verifican k1 α (s) ≤ kn (s) = 0 ≤ k2 α (s) en el punto α (s) y, por tanto, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ K α (s) = k1 α (s) k2 α (s) ≤ 0. Supongamos ahora que α : I −→ S es una curva p.p.a. en S tal que Tα (s) S ≡ Π, ¡ ¢ ¢ ¡ es decir, el vector normal N α (s) ≡ constante. Entonces, dNα (s) α 0 (s) = 0, de donde se deduce que α 0 (s) es una dirección principal de Tα (s) S con valor propio 0. Por lo tanto, al menos una de las curvaturas principales se anula. En consecuencia, ¢ ¡ K α (s) = 0 y los puntos pueden ser parabólicos o planos. 322


Solución al ejercicio 3.8. Sean q = (u, v) ∈ U y p = X(q). El hecho de que p sea hiperbólico nos permite hablar de dos (únicas) direcciones asintóticas en p (véase el ejercicio 3.5). As´ı, las curvas coordenadas α (u) = X(u, v), β (v) = X(u, v) van a ser asintóticas si, y sólo si, α 0 (u) = Xu (u, v) y β 0 (v) = Xv (u, v) son direcciones asintóticas en p (lo cual tiene sentido, como ya hemos dicho, por ser p hiperbólico). Es decir, si, ¡ ¢ ¡ ¢ y sólo si, II p Xu (q) = 0 y II p Xv (q) = 0. Obsérvese además que las coordenadas de los vectores Xu (q) y Xv (q) en función de la base {Xu (q), Xv (q)} son (1, 0) y (0, 1), respectivamente, de donde se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ II p Xu (q) = e y II¡p Xv (q) = g. Luego Xu (q) y Xv (q) son direcciones asintóticas ¢ ¡ ¢ si, y sólo si, e = II p Xu (q) = 0 y g = II p Xv (q) = 0. Solución al ejercicio 3.9. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que α está p.p.a. Como α es una curva asintótica, entonces α 0 (s) es una dirección asintótica para todo s ∈ I, es decir, ¢ ¢® ¡ ¢® ¡ ¡ 0 = kn α 0 (s), α (s) = α 00 (s), N α (s) = k(s) n(s), N α (s) . ¢® ¡ ¢® ¡ En particular, por ser k 6= 0, n(s), N α (s) = 0. Además, t(s), N α (s) = 0, ¢ ¡ ¢ ¡ luego N α (s) = ±b(s) para todo s ∈ I. As´ı, ±τ (s)n(s) = ±b0 (s) = dNα (s) t(s) y, ¯ ¡ ¢¯2 tomando módulos, τ (s)2 = ¯dNα (s) t(s) ¯ . © ª Por otro lado, si e1 (s), e2 (s) es la base de direcciones principales en Tα (s) S para cada s ∈ I, podemos escribir α 0 (s) = t(s) = cos θ (s)e1 (s) + sen θ (s)e2 (s), y ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ dNα (s) t(s) = cos θ (s)dNα (s) e1 (s) + sen θ (s)dNα (s) e2 (s) = −k1 (s) cos θ (s)e1 (s) − k2 (s) sen θ (s)e2 (s), ¢ ¡ donde estamos abreviando ki (s) := ki α (s) . Luego ¯ ¡ ¢¯2 τ (s)2 = ¯dNα (s) t(s) ¯ = k1 (s)2 cos2 θ (s) + k2 (s)2 sen2 θ (s).

(C.1)

Además, el hecho de que α 0 (s) sea una dirección asintótica se traduce también en ® 0 = Aα (s) t(s), t(s) = k1 (s) cos2 θ (s) + k2 (s) sen2 θ (s). Multiplicando esta relación por k1 (s) + k2 (s) y utilizando (C.1), podemos concluir ¡ ¢ que τ (s)2 = −k1 (s)k2 (s) = −K α (s) . Solución al ejercicio 3.10. α es l´ınea de curvatura si, y sólo si, α 0 (t) es dirección principal para todo t ∈ I, es decir si, y sólo si, α 0 (t) es un vector propio del operador forma o, equivalentemente, de dNα (t) ; en definitiva, α es l´ınea de curvatura si, y sólo ¡ ¢ si, (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t) para todo t ∈ I. Obsérvese que ¡ ¢ ® dNα (t) α 0 (t) , α 0 (t) , λ (t) = ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯2 por lo que λ : I −→ R es una función diferenciable. 323


Solución al ejercicio 3.11. Supongamos en primer lugar que α es una l´ınea de curvatura de S2 . En tal caso, por ser también l´ınea de curvatura de S1 se tiene que ¡ ¡ ¢ ¢ d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t) y d(N2 )α (t) α 0 (t) = λ2 (t)α 0 (t). Entonces, ¡ ¡ ¢ ¡ ¢®0 ¢® ¡ ¢ ¢ ¡ ¢® ¡ N1 α (t) , N2 α (t) = d(N1 )α (t) α 0 (t) , N2 α (t) + N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) ¢® ¢ ¡ ¡ ® = λ1 (t) α 0 (t), N2 α (t) + λ2 (t) N1 α (t) , α 0 (t) = 0. ¡ ¢ ¡ ¢® Por tanto, cos θ (t) = N1 α (t) , N2 α (t) es constante, y θ (t) también lo es. ¡ ¢ ¡ ¢® Rec´ıprocamente, si θ (t) es constante, entonces N1 α (t) , N2 α (t) = cos θ (t) también es constante, por lo que su derivada se anula: ¡ ¡ ¢® ¡ ¢ ¢ ¡ ¢® d(N1 )α (t) α 0 (t) , N2 α (t) + N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0. ¡ ¢ Como por hipótesis, α es l´ınea de curvatura de S1 , d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t), y ¡ ¢® ¢ ¡ sustituyendo en la identidad anterior obtenemos N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0; ¡ 0 ¢ es decir, d(N2 )α (t) α (t) ∈ Tα (t) S1 . Por otro lado, al ser N2 unitario, se tiene que ¯ ¡ ¡ ¢ ¢¯2 ¢® ¡ N2 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0, sin más que derivar la expresión ¯N2 α (t) ¯ = 1. ¡ 0 ¢ En consecuencia, d(N2 )α (t) α (t) ∈ Tα (t) S2 . As´ı, ¡ ¢ d(N2 )α (t) α 0 (t) ∈ Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 , para todo t ∈ I. ¢ ¡ ¢ ¡ Si Tα (t) S1 ≡ Tα (t) S2 para todo t ∈ I, entonces N1 α (t) ≡ N2 α (t) en todo t y, por tanto, ¡ ¡ ¢ ¢ d(N2 )α (t) α 0 (t) = d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t); luego α es l´ınea de curvatura de S2 . Si, por el contrario, los planos tangentes no coinciden, su intersección Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 es una recta, precisamente la generada por el vector tangente α 0 (t). Entonces ¡ © ¢ ª d(N2 )α (t) α 0 (t) ∈ Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 = span α 0 (t) , ¡ ¢ lo cual implica que d(N2 )α (t) α 0 (t) = λ2 (t)α 0 (t); es decir, α es también una l´ınea de curvatura de S2 , tal y como se quer´ıa demostrar. Solución al ejercicio 3.12. Consideremos la superficie de revolución S generada por ¡ ¢ la curva α (v) = h(v), 0, ϕ (v) contenida en el plano y = 0, con h, ϕ : I −→ R, que suponemos p.p.a., y que no corta al eje z. Una parametrización de esta superficie es ¢ ¡ X(u, v) = h(v) cos u, h(v) sen u, ϕ (v) , donde h(v) > 0 y (u, v) ∈ (0, 2π ) × I. Es sencillo comprobar (véase el ejercicio 2.1) que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = h(v)2 , F = 0, G = h0 (v)2 + ϕ 0 (v)2 = 1 (pues α está p.p.a.) y e = −h(v)ϕ 0 (v), f = 0, g = h00 (v)ϕ 0 (v)−h0 (v)ϕ 00 (v), respectivamente. Por lo tanto ¤ h00 (v) ϕ 0 (v) £ 00 h (v)ϕ 0 (v) − h0 (v)ϕ 00 (v) = − K=− h(v) h(v) ya que (C.2) h0 (v)h00 (v) + ϕ 0 (v)ϕ 00 (v) = 0, 324


sin más que derivar la relación h0 (v)2 + ϕ 0 (v)2 = 1; además, · ¸ ϕ 0 (v) 1 00 0 0 00 h (v)ϕ (v) − h (v)ϕ (v) − , H= 2 h(v) ϕ 0 (v) , k2 = h00 (v)ϕ 0 (v) − h0 (v)ϕ 00 (v). k1 = − h(v) Los paralelos y los meridianos de S son las curvas coordenadas X(u, v0 ) y X(u0 , v), respectivamente. Luego e´ stas serán l´ıneas de curvatura de la superficie si, y sólo si, Nu = λ (u)Xu y Nv = µ (v)Xv , para ciertas funciones diferenciables λ (u) y µ (v). Un ¢ ¡ rápido cálculo muestra que N = ϕ 0 (v) cos u, ϕ 0 (v) sen u, −h0 (v) , por lo que: En el caso de los paralelos, como ¢ ϕ 0 (v) ¢ ϕ 0 (v) ¡ ¡ −h(v) sen u, h(v) cos u, 0 = Xu Nu = −ϕ 0 (v) sen u, ϕ 0 (v) cos u, 0 = h(v) h(v) y h(v) > 0, la función λ (u) = ϕ 0 (v)/h(v) (constante en u) es diferenciable, lo que demuestra que los paralelos son siempre l´ıneas de curvatura. En el caso de los meridianos, Nv = µ (v)Xv , es decir, ¡ ¢ ¢ ¡ 00 ϕ (v) cos u, ϕ 00 (v) sen u, −h00 (v) = µ (v) h0 (v) cos u, h0 (v) sen u, ϕ 0 (v) , si, y sólo si,

ϕ 00 (v) = µ (v)h0 (v)

y

− h00 (v) = µ (v)ϕ 0 (v).

(C.3)

Si en v ∈ I se tiene ϕ 0 (v) 6= 0, tomamos µ (v) = −h00 (v)/ϕ 0 (v), que verifica las dos igualdades en (C.3) sin más que utilizar (C.2). Si v0 ∈ I es tal que ϕ 0 (v0 ) = 0, entonces h0 (v0 ) 6= 0 (pues h0 (v0 )2 + ϕ 0 (v0 )2 = 1) y h00 (v0 ) = 0 (por (C.2)). En tal caso, tomamos µ (v0 ) = ϕ 00 (v0 )/h0 (v0 ), verificándose de nuevo ambas relaciones en (C.3). La función µ : I −→ R as´ı definida es diferenciable, y demuestra que los meridianos también son l´ıneas de curvatura. Obsérvese que, una vez comprobado que los paralelos (respectivamente, los meridianos) son l´ıneas de curvatura, el hecho de que paralelos y meridianos de una superficie de revolución se corten ortogonalmente (F = 0) implica automáticamente que los meridianos (respectivamente, paralelos) también lo son. Solución al ejercicio 3.13. Para la implicación directa véase la observación 3.16. Supongamos ahora que F = f ≡ 0. La curva coordenada α (u) = X(u, v) (por ejemplo) es l´ınea de curvatura si, y sólo si, (N ◦ α )0 (u) = λ (u)α 0 (u) para una función escalar diferenciable λ ; es decir, si, y sólo si, Nu (u, v) = λ (u)Xu (u, v). Como Nu (u, v) ∈ TX(u,v) S, podemos expresarlo en función de la base, Nu (u, v) = a(u, v)Xu (u, v)+b(u, v)Xv (u, v). ¡ ¢ Además, por ser F = hXu , Xv i = 0, es evidente que a(u, v) = hNu , Xu i /E (u, v) y ¡ ¢ b(u, v) = hNu , Xv i /G (u, v). En consecuencia, hNu , Xu i hNu , Xv i (u, v)Xu (u, v) + (u, v)Xv (u, v) E G hNu , Xu i hNu , Xu i f (u, v)Xu (u, v) − (u, v)Xv (u, v) = (u, v)Xu (u, v). = E G E

Nu (u, v) =

325


Solución al ejercicio 3.14. α es l´ınea de curvatura de S si, y sólo si, existe una ¡ ¢ función diferenciable λ : I −→ R tal que dNα (t) α 0 (t) = (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t), para todo t ∈ I, lo que, en forma matricial, se escribe como Ã ! Ã !Ã ! u0 (t) a11 a12 u0 (t) , = λ (t) v0 (t) a21 a22 v0 (t) donde los ai j vienen dados por (3.14). En definitiva, u0 (t), v0 (t) deben verificar f F − eG 0 gF − f G 0 u (t) + v (t) = λ (t)u0 (t) 2 EG − F EG − F 2 eF − f E 0 f F − gE 0 u (t) + v (t) = λ (t)v0 (t). EG − F 2 EG − F 2 Eliminando λ (t) de las ecuaciones anteriores, el sistema queda reducido a ( f E − eF)u0 (t)2 + (gE − eG)u0 (t)v0 (t) + (gF − f G)v0 (t)2 = 0, que no es más que el desarrollo del determinante (3.21). Solución al ejercicio 3.15. Es sencillo comprobar que los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales son E = (1 + u2 + v2 )2 , F = 0, G = (1 + u2 + v2 ) y e = 2, f = 0, g = −2, respectivamente. Luego K=

−4 , (1 + u2 + v2 )4

H = 0,

k1 =

−2 , (1 + u2 + v2 )2

k2 =

2 . (1 + u2 + v2 )2

Claramente, todos los puntos son hiperbólicos y, por tanto, no existen puntos umbilicales. Por otro lado, como F = f = 0, las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura (véase el ejercicio 3.13); obsérvese que son las u´ nicas, pues la superficie no tiene pun¡ ¢ tos umbilicales. Finalmente, α es una curva asintótica si, y sólo si, IIα (t) α 0 (t) = 0. ¡ 0 ¢ Si representamos por u (t), v0 (t) las coordenadas de α 0 (t) en la base {Xu , Xv }, esto se traduce en que ¡ ¢ 0 = IIα (t) α 0 (t) = u0 (t)2 e + 2u0 (t)v0 (t) f + v0 (t)2 g = 2u0 (t)2 − 2v0 (t)2 . Es sencillo ver que las soluciones de esta ecuación diferencial son v(t) = u(t) + c1 y v(t) = −u(t) + c2 , con c1 , c2 ∈ R; las curvas asintóticas son curvas de la forma X(u, u + c1 ) y X(u, −u + c2 ). Solución al ejercicio 3.16. Tomamos X(u, v) = (u, v2 − u, v). Es sencillo ver que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = 2, F = −2v, √ G = 1 + 4v2 y e = 0, f = 0, g = −2/ 2 + 4v2 , respectivamente. Luego K = 0,

H=

−2 , (2 + 4v2 )3/2

k1 =

−4 , (2 + 4v2 )3/2

k2 = 0.

Como k1 6= k2 siempre, todos los puntos son parabólicos (luego no hay puntos um¡ ¢ bilicales ni planos). α es una curva asintótica si, y sólo si, IIα (t) α 0 (t) = 0. Si ¡ ¢ escribimos α 0 (t) = u0 (t), v0 (t) (en la base {Xu , Xv }), esto se traduce en que ¡ ¢ −2 v0 (t)2 . 0 = IIα (t) α 0 (t) = u0 (t)2 e + 2u0 (t)v0 (t) f + v0 (t)2 g = p 2 2 + 4v(t) 326


La u´ nica solución de esta ecuación diferencial es v(t) = v0 constante. Luego las curvas asintóticas son las curvas coordenadas X(u, v0 ) (obsérvese que no hay más, pues todos los puntos son parabólicos). Sabemos que α es una l´ınea de curvatura si, y sólo si, satisface (3.21), lo que, en nuestro caso, se traduce en ¯ ¯ 0 2 ¯ v (t) −u0 (t)v0 (t) u0 (t)2 ¯¯ ¯ 4 ¯ −2v(t) 1 + 4v(t)2 ¯¯ = p 4v(t) v0 (t)2 − p u0 (t)v0 (t). 0=¯ 2 2 2 ¯ ¯ 2 + 4v(t) 2 + 4v(t) √ −2 2 ¯ 0 ¯ 0 2+4v(t)

Las soluciones de esta ecuación diferencial son, por un lado, v(t) = v0 constante y, por otro, las soluciones de la más sencilla v(t)v0 (t) − u0 (t) = 0: u(t) = v(t)2 /2 + c, con c ∈ R. As´ı pues, las l´ıneas de curvatura son las curvas coordenadas X(u, v0 ) y las curvas de la forma X(v2 /2 + c, v). Obsérvese que α (t) = (t 2 , 0,t) no es más que α (t) = X(t 2 ,t). Consideremos el √ ¯ ¯ vector (unitario) vt = α 0 (t)/ ¯α 0 (t)¯ = (2t, 0, 1)/ 1 + 4t 2 . Sus coordenadas (vt1 , vt2 ) √ © ª respecto a la base Xu (t 2 ,t) = (1, −1, 0), Xv (t 2 ,t) = (0, 2t, 1) son vt1 = 2t/ 1 + 4t 2 √ y vt2 = 1/ 1 + 4t 2 . Luego la curvatura normal vale ¢ ¡ kn vt , α (t) = IIα (t) (vt ) = (vt1 )2 e + 2vt1 vt2 f + (vt2 )2 g =

−2 √ . 2 + 4t 2

(1 + 4t 2 )

Solución al ejercicio 3.17. Como α (I) ⊂ R2 , su torsión se anula, τ (s) = 0, y b(s) es constante. Entonces, los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales ¢2 ¡ ¢ ¡ son E = 1 − rk(s) cos θ , F = 0, G = r2 y e = −k(s) cos θ 1 − rk(s) cos θ , f = 0, g = r, respectivamente. Luego 1 − 2rk(s) cos θ −k(s) cos θ 1 − cos θ k(s) ¢, H = ¡ ¢ , k1 = , k2 = . K= ¡ 1 − rk(s) θ r cos r 1 − rk(s) cos θ 2r 1 − rk(s) cos θ Obsérvese que K = 0 si, y sólo si, o bien k(s) = 0, o θ = π /2, o´ θ = 3π /2. Luego: Para todo s ∈ I tal que k(s) = 0, al ser k2 > 0, X(s, θ ) es un punto parabólico. Análogamente, los puntos de las curvas X(s, π /2), X(s, 3π /2) son parabólicos. Si k(s) 6= 0 y π /2 < θ < 3π /2 (cos θ < 0), X(s, θ ) es un punto el´ıptico. Si k(s) 6= 0 y θ < π /2 o θ > 3π /2 (cos θ > 0), X(s, θ ) es un punto hiperbólico. No hay puntos planos (k2 > 0) ni umbilicales, pues k1 6= k2 siempre. © ª Solución al ejercicio 3.18. i) Al ser t(s), n(s), a una base ortonormal positiva¯ ¯ ¡ mente orientada de R3 , N = (Xs ∧ Xv )/ |Xs ∧ Xv | = t(s) ∧ a)/ ¯t(s) ∧ a¯ = −n(s). Es sencillo comprobar que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = 1, F = 0, G = 1 y e = −k(s), f = 0, g = 0, respectivamente. Luego K = 0, H = −k(s)/2, k1 = −k(s) y k2 = 0. As´ı, aquellos puntos X(s, v) para los que k(s) 6= 0 serán parabólicos, mientras que si X(s, v) es tal que k(s) = 0, entonces el punto será plano y, por tanto, umbilical. 327


ii) Como N(s, v) = −n(s), entonces (N ◦ α )0 (s) = −n0 (s) = k(s)α 0 (s). Luego s´ı es l´ınea de curvatura. Sin embargo, α no es curva asintótica, pues ¢ ® ® ¡ kn α 0 (s), α (s) = − (N ◦ α )0 (s), α 0 (s) = − k(s)α 0 (s), α 0 (s) = −k(s) 6≡ 0. iii) S es localmente isométrica al plano, pues existen parametrizaciones de ambas superficies con los mismos coeficientes de la primera forma fundamental: E = 1, F = 0, G = 1 (véase el ejemplo 2.18). Solución al ejercicio 3.19. Si α es a la vez l´ınea de curvatura y curva asintóti¡ ¢ ca, entonces dNα (s) α 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para una cierta función diferenciable λ (s) y ¢ ¡ 0 kn α (s), α (s) = 0. Por tanto, ¢ ® ® ¡ 0 = kn α 0 (s), α (s) = Aα (s) α 0 (s), α 0 (s) = − λ (s)α 0 (s), α 0 (s) = −λ (s) ¡ ¢ para todo s ∈ I, lo cual implica que (N ◦ α )0 (s) = dNα (s) α 0 (s) = 0. En definitiva, ¢ ¡ N α (s) ≡ constante, o equivalentemente, el plano tangente Tα (s) S ≡ Π es el mismo a lo largo de todos los puntos de la curva. Solución al ejercicio 3.20. i) Sean {e1 , e2 } direcciones principales en Tp S (que son ® ® ® ortogonales). Entonces dNp (e1 ), e2 = − k1 (p)e1 , e2 = 0 y e1 , dN p (e2 ) = 0. Si v es una dirección asintótica, ® dNp (v), v = −II p (v) = −kn (v, p) = 0. ii) Sean p ∈ S umbilical y v1 , v2 ∈ Tp S ortogonales. Como en un punto umbilical ® ® todas las direcciones son principales, dNp (v1 ), v2 = − k1 (p)v1 , v2 = 0 y, análo ® gamente, v1 , dN p (v2 ) = 0. iii) Al ser v1 = cos θ e1 + sen θ e2 y v2 = cos ϕ e1 + sen ϕ e2 vectores conjugados, se tiene que ® ® 0 = dNp (v1 ), v2 = − k1 (p) cos θ e1 − k2 (p) sen θ e2 , cos ϕ e1 + sen ϕ e2 = −k1 (p) cos θ cos ϕ − k2 (p) sen θ sen ϕ . Solución al ejercicio 3.21. i) Los vectores tangentes tα y tN α son ortogonales si, y ¡ ¢ ¢® ¡ sólo si, 0 = α 0 (t), dNα (t) α 0 (t) = kn α 0 (t), α (t) , esto es, si, y sólo si α es una curva asintótica. Por otro lado, tα y tN α son colineales si, y sólo si, existe λ (t) tal que ¡ ¢ dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t) (obsérvese que la función λ (t) es diferenciable), lo que equivale a que α sea una l´ınea de curvatura. ii) Si α es una l´ınea de curvatura, entonces existe una función diferenciable λ (t) tal ¡ ¢ que (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t). Además, como la curva no pasa por ningún punto plano o parabólico, λ (t) 6= 0 para todo t ∈ I. Por tanto, ¯ £ ¤¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯(N ◦ α )0 (t) ∧ (N ◦ α )00 (t)¯ ¯λ (t)α 0 (t) ∧ λ 0 (t)α 0 (t) + λ (t)α 00 (t) ¯ = kN α (t) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(N ◦ α )0 (t)¯3 ¯λ (t)¯3 ¯α 0 (t)¯3 kα (t) ¯. = ¯¯ λ (t)¯ 328


® Tan solo resta determinar la función λ . Claramente, como (N ◦ α )(t), α 0 (t) = 0, ® ® derivando se tiene que (N ◦ α )0 (t), α 0 (t) + (N ◦ α )(t), α 00 (t) = 0, y por tanto, ® ® λ (t) = (N ◦ α )0 (t), α 0 (t) = − (N ◦ α )(t), α 00 (t) = −kn (t). iii) Para ver que N ◦ α es un circunferencia, basta demostrar que es una curva plana, ya que su traza está contenida en S2 . Como α es plana, existe a ∈ R3 constante tal ® que α 0 (t), a ≡ 0. Además, por ser l´ınea de curvatura, ¡ ® ¢ ® ® (N ◦ α )0 (t), a = dNα (t) α 0 (t) , a = λ (t)α 0 (t), a = 0. Luego N ◦ α es una curva plana. iv) Fijada una base de direcciones principales {e1 , e2 } de Tp S, consideremos dos vectores ortogonales cualesquiera vθ , vθ +π /2 ∈ Tp S. Entonces kn (vθ , p) + kn (vθ +π /2 , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ ³ ³ π´ π´ + k2 (p) sen2 θ + + k1 (p) cos2 θ + 2 2 = k1 (p) + k2 (p), constante (respecto al a´ ngulo θ , es decir, no depende de las direcciones elegidas en el plano tangente Tp S). Solución al ejercicio 3.22. Aplicando la fórmula de Euler (3.4), Z 2π 0

kn (θ ) d θ =

Z 2π £ 0

¤ k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ d θ = k1 (p)π + k2 (p)π = 2π H(p).

Solución al ejercicio 3.23. i) Una parametrización del hiperboloide de una hoja es X(t, s) = (cost, sent, 0) + s(− sent, cost, 1) = (cost − s sent, sent + s cost, s), pues verifica que x2 + y2 − z2 = 1. Por tanto es reglada. La parametrización usual del cilindro demuestra que e´ sta es una superficie reglada: X(t, s) = (cost, sent, s) = (cost, sent, 0) + s(0, 0, 1). ¡ X(t, s) = (cost, sent, 1)+s(cost, sent, 1) = cost(1+s), sent(1+s), 1+s) es una parametrización para el cono, pues x2 + y2 = z2 , lo que prueba que es reglada. ii) Como β (t) ∈ S, existe una función real s(t) tal que β (t) = α (t) + s(t)ω (t). As´ı, ® ® 0 = β 0 (t), ω 0 (t) = α 0 (t) + s0 (t)ω (t) + s(t)ω 0 (t), ω 0 (t) ¯ ¯2 ® = α 0 (t), ω 0 (t) + s(t) ¯ω 0 (t)¯ y, al ser ω 0 (t) 6= 0,

® 0 α (t), ω 0 (t) s(t) = − ¯ ¯ ¯ω 0 (t)¯2

es una función diferenciable. Por tanto, la curva buscada es 0 ® α (t), ω 0 (t) β (t) = α (t) − ¯ ω (t). ¯ ¯ω 0 (t)¯2 329


® ® iii) Como β 0 (t), ω 0 (t) = 0 y ω (t), ω 0 (t) = 0, entonces ω 0 (t) es colineal al vector β 0 (t) ∧ ω (t) 6= 0, es decir, existe una función (diferenciable) λ : R −→ R de forma que λ (t)ω 0 (t) = β 0 (t) ∧ ω (t). Un rápido cálculo muestra entonces que ¡ ¢ ¢ ¡ Xt ∧ Xs = β 0 (t) ∧ ω (t) + s ω 0 (t) ∧ ω (t) = λ (t)ω 0 (t) + s ω 0 (t) ∧ ω (t) . ¯p ¯ los coeficientes de la segunda forLuego |Xt ∧ Xs | = ¯ω 0 (t)¯ λ (t)2 + s2 . Respecto ap ¯ ¯ ma fundamental, se obtiene que f = λ (t) ¯ω 0 (t)¯ / λ (t)2 + s2 y g = 0 (por lo que se ¡ ¢2 hace innecesario calcular e). As´ı pues, K = −λ (t)2 / λ (t)2 + s2 ≤ 0. Si λ (t) 6= 0, entonces los puntos son hiperbólicos. Si λ (t) = 0 (y s 6= 0), los puntos ser´ıan parabólicos o planos. Pero, ¿puede ¯2 ® ¯ darse este caso? Obsérvese que λ (t) = β 0 (t) ∧ ω (t), ω 0 (t) / ¯ω 0 (t)¯ = 0 si, ® y sólo si, β 0 (t) ∧ ω (t), ω 0 (t) = 0, lo cual es imposible ya que son vectores colineales (y no nulos). As´ı pues, todos los puntos son hiperbólicos. Solución al ejercicio 3.24. En una superficie reglada X(t, s) = α (t) + sω (t) el coeficiente g = 0. Entonces, K = 0 si, y sólo si, f = 0. Un rápido cálculo muestra que ¢ ¡ det ω 0 (t), α 0 (t), ω (t) , f= |Xt ∧ Xs | luego f = 0 (y por tanto K) si, y solo si, la superficie es desarrollable. Solución al ejercicio 3.25. Como en una superficie reglada se verifica que Xss = 0, entonces hXs , Ns i = − hXss , Ni = 0. Por otro lado, À ¿ ® ¡ ¢ −1 0 Xt ∧ Xs hXt , Ns i = − hXts , Ni = − Xts , = ω (t), α 0 (t) + sω 0 (t) ∧ ω (t) |Xt ∧ Xs | |Xt ∧ Xs | ¡ ® ¢ −1 −1 det ω 0 (t), α 0 (t), ω (t) = 0. ω 0 (t), α 0 (t) ∧ ω (t) = = |Xt ∧ Xs | |Xt ∧ Xs | Obsérvese que Ns (t, s) ∈ TX(t,s) S. Por tanto, al ser hXs , Ns i = hXt , Ns i = 0, se deduce que Ns (t, s) ≡ 0. Es decir, N(t, s) ≡ N(t) es constante respecto a s, o lo que es lo mismo, es constante a lo largo de los puntos (regulares) de una generatriz. Esto equivale a decir que el plano tangente es constante a lo largo de dichos puntos. Solución al ejercicio 3.26. Si α es una l´ınea de curvatura de S, entonces existe una función diferenciable λ (t) tal que (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t). En consecuencia, ¢ ¡ ¢ ¡ det α 0 (t), N(t), N 0 (t) = det α 0 (t), N(t), λ (t)α 0 (t) = 0, lo que demuestra que la superficie parametrizada X(t, s) es desarrollable. ¢ ¡ Rec´ıprocamente, supongamos que det α 0 (t), N(t), N 0 (t) = 0. Entonces se verifica, en particular, que N 0 (t) = λ (t)α 0 (t) + µ (t)N(t). Si demostramos que µ (t) ≡ 0, 330


podremos concluir que α es una l´ınea de curvatura. Pero claramente, despejando µ (t) ® ® de la relación anterior, µ (t) = N 0 (t), N(t) − λ (t) α 0 (t), N(t) = 0. Solución al ejercicio 3.27. Sean q ∈ U y p = X(q) ∈ S1 , y tomemos B, B bases ortonormales de Tp S1 y Tφ (p) S2 , respectivamente. Por brevedad, representamos por MBB la matriz de la aplicación lineal d φ p : Tp S1 −→ Tφ (p) S2 respecto a las bases ¡ ¢ ¡ ¢ B, B. Como X u (q) = d φ p Xu (q) y X v (q) = d φ p Xv (q) , si escribimos Xu (q) = (u1 , u2 ), Xv (q) = (v1 , v2 )

respecto a la base B, y

X u (q) = (u1 , u2 ), X v (q) = (v1 , v2 ) respecto a la base B, entonces (u1 , u2 )> = MBB (u1 , u2 )> y (v1 , v2 )> = MBB (v1 , v2 )> , de donde ! Ã ! Ã u1 v1 u1 v1 = det MBB det . det u2 v2 u2 v2 Además, por ser B (respectivamente, B) una base ortonormal de Tp S1 (Tφ (p) S2 ), el conjunto {B, N1 } ({B, N2 }) es una base ortonormal de R3 , donde N1 y N2 representan los vectores normales a las superficies S1 y S2 , respectivamente. Entonces, es un sencillo cálculo comprobar que ¯ Ã ¯ Ã !¯ !¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ u v u v ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯X u (q) ∧ X v (q)¯ = ¯det ¯ y ¯Xu (q) ∧ Xv (q)¯ = ¯det ¯. ¯ ¯ u2 v2 ¯ u2 v2 ¯ Dado que det(d φ p ) = det MBB no depende de las bases B, B elegidas, el resultado queda probado. Solución al ejercicio 3.28. Dado p ∈ S, la diferencial dN p : Tp S −→ Tp S verifica det(dNp ) = K(p) 6= 0. Por tanto, dN p es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S; en definitiva, la aplicación de Gauss N es un difeomorfismo local. Tenemos que demostrar que es también un difeomorfismo global, para lo cual hay que probar que N es biyectiva, lo que haremos utilizando argumentos puramente topológicos. En realidad, vamos a demostrar que N es una aplicación recubridora;8 en tal caso, al ser N : S −→ S2 recubridora, S conexa y S2 simplemente conexa, podemos concluir finalmente que N es un homeomorfismo (véase [30]). Por un lado, como N es un difeomorfismo local, en particular es un homeomorfismo local, luego (localmente) lleva abiertos a abiertos. Dado que cualquier abierto es unión (arbitraria) de abiertos, podemos concluir que N es una aplicación abierta. Por otro lado, al ser S compacta, N(S) es un compacto contenido en S2 que es Hausdorff; luego N es cerrada. As´ı, tenemos N : S −→ S2 abierta y cerrada, con S2 conexo, lo que implica que N(S) = S2 . En definitiva, N es sobreyectiva y, claramente N es continua. Por tanto, sólo queda verificar la u´ ltima propiedad que define a una aplicación recubridora, lo que demostraremos en dos pasos: 8

Sea f : X −→ Y una aplicación continua y sobreyectiva entre espacios topológicos. Se dice que S f es recubridora si, para todo q ∈ Y , existe un entorno V (q) tal que f −1 (V ) = i∈I Ui , unión disjunta, con Ui ⊂ X tales que f |Ui : Ui −→ V es un homeomorfismo para todo i ∈ I.

331


i) Veamos que N −1 (q) es un conjunto finito de puntos para todo q ∈ S2 . Supongamos, por reducción al absurdo, que {pn : n ∈ N} ⊂ N −1 (q), con pn 6= pm , para todo n 6= m. Tenemos por tanto una sucesión {pn }n∈N ⊂ S compacta, lo que implica la existencia de una subsucesión convergente. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la propia sucesión {pn }n∈N es convergente, es decir, existe l´ımn→∞ pn = p ∈ N −1 (q) (ya que N −1 (q) es un cerrado). Entonces, para cualquier entorno U(p) ⊂ S, existe m ∈ N tal que pn ∈ U para todo n ≥ m; luego N(pn ) = N(p) = q para todo n ≥ m, lo que contradice el que N sea un difeomorfismo local. ii) Por (i), supongamos que N −1 (q) = {p1 , . . . , pn }. Como N es un difeomorfismo ei (pi ) ⊂ S mutuamente disjunlocal, para todo i = 1, . . . , n podemos encontrar U ej ∩U ek = 0/ para cualesquiera j 6= k, j, k ∈ {1, . . . , n}), de tos (es decir, tales que U ei −→ N(U ei ) = Vi es un homeomorfismo local. Sea entonces modo que N|Uei : U ¡ ¢−1 Tn V = i=1 Vi , que es un abierto en S2 , y sean Ui = N|Uei (V ), i = 1, . . . , n. Es sencillo verificar que los abiertos Ui ⊂ S son disjuntos, y cumplen, para N, la condición de aplicación recubridora. Solución al ejercicio 3.29. i) f es diferenciable por ser la restricción a S de una función diferenciable en todo R3 . As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ ¡ ¢® ® d ¯¯ d ¯¯ α (t) − p0 , N α (t) = p − p0 , dNp (v) . d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0 ii) Si p es el´ıptico o hiperbólico, entonces K(p) = det(dN p ) 6= 0. Luego dN p es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S. Ahora bien, d f p = 0 si, y sólo si, ® p − p0 , dN p (v) = 0 para todo v ∈ Tp S (ya que p 6= p0 por ser p0 6∈ S). Como dNp es un isomorfismo lineal, esto es equivalente a que hp − p0 , vi = 0 para todo v ∈ Tp S, es decir, a que la recta pp0 esté en la dirección del vector normal N(p). Solución al ejercicio 3.30. i) La diferencial de ψλ0 : S −→ R3 es ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d(ψλ0 ) p (v) = ¯ (ψλ0 ◦ α )(t) = α 0 (0) + λ0 dNα (0) α 0 (0) = v + λ0 dN p (v) dt t=0 = v − λ0 A p v, donde α : I −→ S es una curva en S con condiciones iniciales α (0) = p, α 0 (0) = v, para todo v ∈ Tp S. As´ı, d(ψλ0 ) p no será inyectiva si, y sólo si, existe v ∈ Tp S, v 6= 0, tal que d(ψλ0 ) p (v) = 0, es decir si, y sólo si A p v = (1/λ0 )v. En definitiva, v debe ser un vector propio de A p , lo que equivale a que 1/λ0 = ki (p), para i = 1 o´ i = 2. Luego ¡ ¢ q ∈ ` p es un punto focal de S si, y sólo si, q = p + 1/ki (p) N(p). Si p es hiperbólico, k1 (p) < 0 y k2 (p) > 0 (y no nulas): hay dos puntos focales. Si p es parabólico, k1 (p) = 0 y k2 (p) 6= 0: hay un u´ nico punto focal. 332


Observación. Si p es plano, no existen puntos focales en ` p , pues k1 (p) = k2 (p) = 0; si es el´ıptico, como k1 (p), k2 (p) tienen el mismo signo (positivo o negativo, pero nunca se anulan), podr´ıa haber dos puntos focales si k1 (p) 6= k2 (p), o sólo uno si k1 (p) = k2 (p). ii) El lugar focal depende de la orientación elegida en la superficie, pues al cambiar la orientación las curvaturas principales cambian de signo. Plano: el lugar focal es el vac´ıo, pues no hay puntos focales al ser todos los puntos planos (véase la observación anterior). ¡ ¢ Esfera: si q es focal, q = p + 1/ki (p) N(p) = p − r(1/r)p = 0. El centro es el u´ nico punto focal. Cilindro: consideremos la parametrización X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) y un punto cualquiera p = (r cos u, r sen u, v). El normal es N(p) = (cos u, sen u, 0) y las curvaturas principales son k1 (p) = −1/r, k2 (p) = 0. Luego un punto focal es de la forma q = (r cos u, r sen u, v) − r(cos u, sen u, 0) = (0, 0, v). El lugar focal es el eje del cilindro. Solución al ejercicio 3.31. Como F = 0, es sencillo calcular los s´ımbolos de Christoffel utilizando el sistema (3.16): Γ111 =

1 Ev 1 1 Ev 2 1 Gu 1 1 Gu 2 1 Gv 1 Eu 2 , Γ11 = − , Γ12 = , Γ12 = , Γ22 = − , Γ22 = . 2E 2G 2E 2 G 2 E 2 G

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Gauss (3.17) se obtiene i 1 h 2 2 EK = + E G ) + E(E G + G ) − 2EG(E + G ) . G(E u u v v vv uu v u 4EG2 Desarrollando por otro lado la expresión (3.22) es fácil comprobar que se llega también a la fórmula anterior. Solución al ejercicio 3.32. La implicación directa es evidente: Lab ( f

◦ α) =

Z b¯ a

Z b¯ Z b¯ ¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯( f ◦ α )0 (t)¯ dt = ¯d fα (t) α 0 (t) ¯ dt = ¯α 0 (t)¯ dt = Lab (α ) a

a

para cualquier curva α : [a, b] −→ S. Rec´ıprocamente, si v ∈ Tp S, entonces existe una curva α : I −→ S con α (0) = p y α 0 (0) = v. Por hipótesis, Lt−ε ( f ◦ α ) = Lt−ε (α ), o lo que es lo mismo, Z ¯ ¯( f ◦ α )0 (s)¯ ds =

Z t ¯

t

−ε

−ε

¯ 0 ¯ ¯α (s)¯ ds.

¯ ¯ ¯ ¯ Derivando obtenemos que ¯( f ◦ α )0 (t)¯ = ¯α 0 (t)¯ y, en particular, evaluando en t = 0, ¯ ¯ se tiene que ¯d f p (v)¯ = |v|. Luego f es una isometr´ıa local. Solución al ejercicio 3.33. i) φ : Π −→ S es diferenciable pues la composición i ◦ φ : Π −→ R3 es la restricción al plano Π de la aplicación Φ : R3 −→ R3 dada 333


¡ ¢ por Φ(x, y, z) = x, y, f (x, y) , que es diferenciable en el sentido ordinario. Además, la aplicación inversa φ −1 no es más que la proyección ortogonal sobre el plano z = 0, que es diferenciable. As´ı pues, φ es un difeomorfismo. ii) Sean p = (p1 , p2 , 0) ∈ Π, v = (v1 , v2 , 0) ∈ Tp Π ≡ Π y α : I −→ Π una curva de la ¢ ¡ forma α (t) = α1 (t), α2 (t), 0 , tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces, ¯ ¡ ¢´ ¡ ¢ d ¯¯ ³ α1 (t), α2 (t), f α1 (t), α2 (t) = v1 , v2 , fx (p)v1 + fy (p)v2 . d φ p (v) = ¯ dt t=0 Un rápido cálculo muestra que ¯2 ¡ ¢2 ¯ v21 + v22 + fx (p)v1 + fy (p)v2 = ¯d φ p (v)¯ = |v|2 = v21 + v22 , para todo v ∈ Π, si, y sólo si, fx (p) = fy (p) = 0. Luego φ será isometr´ıa local si, y sólo si, fx (p) = fy (p) = 0 para todo p ∈ Π, esto es, si, y sólo si, f ≡ constante, lo que equivale a decir que S es un plano paralelo a Π. iii) No se puede asegurar. Si no se verificase fx (p) = fy (p) = 0, entonces podr´ıamos afirmar que la aplicación φ no es una isometr´ıa local, pero esto no implica que no pueda existir otra isometr´ıa local entre Π y el grafo S. Solución al ejercicio 3.34. Como las parametrizaciones son ortogonales, podemos calcular las curvaturas de Gauss utilizando la fórmula (3.22): K = −1/(1+u2 )2 < 0 y K = 8/(1 + 4u2 )3 > 0. Al ser la primera estrictamente positiva siempre, y la segunda estrictamente negativa, el teorema Egregium de Gauss 3.8.1 nos asegura que nunca ¡ ¢ podrá encontrarse una isometr´ıa φ : S −→ S de modo que K φ (p) = K(p). Solución al ejercicio 3.35. Por el teorema 3.7.4, es suficiente encontrar parametrizaciones del helicoide y el catenoide de forma que los coeficientes de la primera forma fundamental coincidan. Basta tomar la parametrización usual del catenoide (como superficie de revolución), X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sen u, av), y para el helicoide la dada por X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au) (que se obtiene sin más que efectuar el cambio de variable u = u y v = a senh v en la parametrización ya conocida Y (u, v) = (v cos u, v sen u, au), véase el ejemplo 2.20). Un rápido cálculo muestra que E = a2 cosh2 v = E, F = 0 = F y G = a2 cosh2 v = G. Solución al ejercicio 3.36. i) Obsérvese que K = (eg − f 2 )/(EG − F 2 ) = −1; sin embargo, utilizando la ecuación de Gauss (3.17) se obtiene K = 0, ya que todos los s´ımbolos de Christoffel se anulan. Luego no puede existir. ii) En este caso, K = (eg − f 2 )/(EG − F 2 ) = 1. Por el teorema de Bonnet 3.8.2 tenemos que comprobar si se verifican las ecuaciones de compatibilidad. Usando el sistema (3.16) obtenemos los s´ımbolos de Christoffel: Γ111 = Γ211 = Γ112 = Γ222 = 0, Γ212 = − tg u y Γ122 = cos u sen u. Es sencillo ver que se cumple la ecuación de Gauss (3.17), as´ı como la primera ecuación de Mainardi-Codazzi (3.18). Sin embargo, no sucede lo mismo con la segunda ecuación de Mainardi-Codazzi (3.19): e´ sta se traduce en que (sen u/ cos u)(1 + cos4 u) = 0, lo cual no puede darse (para todo u). 334


Solución al ejercicio 3.37. Por ser las parametrizaciones X y X difeomorfismos, es claro que la aplicación ϕ también es un difeomorfismo (local) entre superficies. Por tanto, sólo resta demostrar que se trata de una aplicación conforme. Consideremos p = X(u0 , v0 ) ∈ S y Xu (u0 , v0 ) ∈ Tp S. Entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d ϕ p Xu (u0 , v0 ) = (ϕ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 ¯ d ¯¯ = (X ◦ X −1 ◦ X)(u + u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ). du ¯u=0 ¡ ¢ Análogamente, d ϕ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ). Por tanto (suprimimos el par (u0 , v0 ) por brevedad), ® ® d ϕ p (Xu ), d φ p (Xu ) = X u , X u = E = λ 2 E = λ 2 hXu , Xu i . Utilizando F = λ 2 F y G = λ 2 G, se demuestra que ® ® d ϕ p (Xv ), d ϕ p (Xv ) = λ 2 hXv , Xv i . d ϕ p (Xu ), d ϕ p (Xv ) = λ 2 hXu , Xv i y De estas tres igualdades, y por ser {Xu , Xv } una base, se deduce que ® d ϕ p (v), d ϕ p (v) = λ 2 hv, vi para todo v ∈ Tp S; esto es, ϕ es una aplicación conforme. Solución al ejercicio 3.38. La composición X = φ ◦ X de la proyección φ con la parametrización X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) toma la forma µ ¶ 1 + cos θ 1 X(θ , ϕ ) = ϕ , log ,0 . 2 1 − cos θ Luego los coeficientes de su primera forma fundamental son E = 1/ sen2 θ , F = 0 y ¢ ¡ G = 1. El corolario 3.9.3 aplicado a la función λ (p) = λ X(θ , ϕ ) = 1/ sen θ (que es diferenciable y nunca se anula, pues θ ∈ (0, π )) nos asegura que la proyección de Mercator φ es una aplicación conforme. Solución al ejercicio 3.39. Consideremos la parametrización X = N ◦ X de la esfera S2 . Utilizando la relación (3.13) es sencillo ver que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯dNX(u,v) (Xu ) ∧ dNX(u,v) (Xv )¯ = |K| |Xu ∧ Xv | . ¯ ¯ Supongamos que existe un punto p ∈ S tal que K(p) 6= ±1, es decir, ¯K(p)¯ 6= 1. ¯ ¯ Podemos suponer, por ejemplo, que ¯K(p)¯ > 1. Entonces, existe un entorno V (p) ¯ ¯ ¢ −1 ¡ N(V ) . Como, por donde ¯K(q)¯ > 1 para todo q ∈ V . Claramente, X −1 (V ) = X ¡ ¢ hipótesis, N es una aplicación isoareal, A(V ) = A N(V ) , y por tanto, Z Z Z ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ dudv = |Xu ∧ Xv | dudv = −1 |K| |Xu ∧ Xv | dudv X

X −1 (V )

Z

>

(N(V ))

X −1 (V )

una contradicción. Luego K ≡ ±1. 335

|Xu ∧ Xv | dudv,

X −1 (V )


Solución al ejercicio 3.40. i) Supongamos primero que φ es isoareal y que existe p = X(θ0 , ϕ0 ) ∈ S2 con (EG − F 2 )(θ0 , ϕ0 ) 6= sen2 θ0 = (EG − F 2 )(θ0 , ϕ0 ). Podemos suponer, por ejemplo, que (EG − F 2 )(θ0 , ϕ0 ) > sen2 θ0 . Entonces, existe un entorno V (p) donde (EG − F 2 )(θ , ϕ ) > sen2 θ , para todo X(θ , ϕ ) ∈ V . Claramente, ¢ ¡ ¢ −1 ¡ φ (V ) . Como φ es isoareal, A(V ) = A φ (V ) , y por tanto, X −1 (V ) = X Z Z Z p 2 2 EG − F d θ d ϕ > sen2 θ d θ d ϕ , sen θ d θ d ϕ = −1 X

X −1 (V )

(φ (V ))

X −1 (V )

una contradicción. Luego EG − F 2 = sen2 θ . Rec´ıprocamente, si EG−F 2 = sen2 θ = EG−F 2 , entonces, para cualquier región ¢ ¡ ¢ ¡ R ⊂ X U = (0, π ) × (0, 2π ) , es evidente que A(R) = A φ (R) . ii) La composición X = φ ◦ X de la proyección φ con la parametrización dada por las coordenadas geográficas X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) toma la forma X(θ , ϕ ) = (ϕ , cos θ , 0). As´ı pues, los coeficientes de su primera forma fundamental son E = sen2 θ , F = 0 y G = 1, de donde EG − F 2 = sen2 θ . El apartado i) nos asegura que la proyección de Lambert φ es una aplicación isoareal. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO IV Solución al ejercicio 4.1. Para la parametrización de la esfera en coordenadas geográficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), con U = (0, π )×(0, 2π ), los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1, F = 0, G = sen2 θ ; luego Z

ZZ

S2

f dA =

U

Z p ( f ◦X)(θ , ϕ ) EG − F 2 (θ , ϕ ) d θ d ϕ =

2πZ π

0

0

cos θ sen θ d θ d ϕ = 0.

Solución al ejercicio 4.2. Un sencillo cálculo muestra que los coeficientes de la primera forma fundamental de X son E = 1 + 4u2 , F = 0 y G = u2 . Luego Z √ S

1 + 4z dA =

ZZ p U

1 + 4u2

Z p 2 EG − F dudv =

0

2π Z 1 0

u(1 + 4u2 ) dudv = 3π .

Solución al ejercicio 4.3. Considerando la parametrización del catenoide dada por X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sen u, av), un rápido cálculo muestra que F = 0 y E = G = a2 cosh2 v; luego es isoterma. Además Xuu + Xvv = 0, lo que demuestra que es una superficie minimal. Para el helicoide, tomamos X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au), que es isoterma (F = 0, E = G = a2 cosh2 v) y verifica Xuu + Xvv = 0. Luego es minimal. Parametrizamos la primera superficie de Scherk de la forma natural mediante ¡ ¢ X(u, v) = u, v, log(cos v/ cos u) . En este caso la parametrización no es isoterma. Calculando entonces su curvatura media se obtiene H = 0. 336


En el caso de la segunda superficie de Scherk, los cálculos son mucho más labo¡ ¢ riosos. La parametrización X(u, v) = u, v, arc sen(senh u senh v) no es isoterma, y el cómputo de H se complica en extremo. Como estamos viendo la superficie como el grafo de la función diferenciable f (u, v) = arc sen(senh u senh v), entonces, S es minimal si, y sólo si, f verifica la ecuación de Euler-Lagrange (4.6). No es dif´ıcil ver que, en efecto, esta relación se satisface. En el caso de la superficie de Enneper, la parametrización X(u, v) es isoterma (E = G = (1 + u2 + v2 )2 , F = 0) y verifica Xuu + Xvv = 0. Luego es minimal. Solución al ejercicio 4.4. i) Una curva de nivel de f es una l´ınea recta si, y sólo si, su curvatura k = 0, es decir, si, y sólo si, − fxx fy2 + 2 fxy fx fy − fyy fx2 = 0. Dado que f verifica (4.6), es decir, fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0, la relación anterior es equivalente a fxx + fyy = 0. Por tanto, una curva de nivel de f es una l´ınea recta si, y sólo si, f es armónica. ii) Las derivadas parciales primeras y segundas de f son x − x0 y − y0 , fy = a , fx = −a 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (x − x0 )(y − y0 ) (x − x0 )(y − y0 ) fxx = 2a ¡ ¢2 , fyy = −2a ¡ ¢2 , (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (y − y0 )2 − (x − x0 )2 fxy = a ¡ ¢2 , (x − x0 )2 + (y − y0 )2 lo que permite comprobar que ∆ f = fxx + fyy = 0 y que f verifica (4.6). El apartado i) y el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales demuestra el resultado. Solución al ejercicio 4.5. Como S es compacta, existe al menos un punto el´ıptico p (véase el ejercicio 3.6). Luego K(p) = k1 (p)k2 (p) > 0, de donde se deduce que ¡ ¢ H(p) = k1 (p) + k2 (p) /2 6= 0 (ambas curvaturas principales tienen igual signo). Solución al ejercicio 4.6. Si S es minimal, entonces H(p) = 0, y por tanto, las curvaturas principales verifican k2 (p) = −k1 (p). Luego K(p) = k1 (p)k2 (p) ≤ 0. Si K(p) = 0 entonces p es parabólico o plano. En el primer caso, tendr´ıamos k1 (p) = 0 y k2 (p) 6= 0 (por ejemplo) y, en consecuencia H(p) = k2 (p)/2 6= 0: S no ser´ıa minimal. En definitiva, si K(p) = 0 entonces el punto p es plano. Una superficie minimal sólo tiene puntos hiperbólicos o planos. Solución al ejercicio 4.7. No. Basta considerar el plano (minimal) y el cilindro (no minimal), que son superficies localmente isométricas. La curvatura media no se conserva por isometr´ıas locales. 337


Solución al ejercicio 4.8. Como las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, entonces f = 0 (véase el ejercicio 3.13). Las ecuaciones de Mainardi-Codazzi en el caso particular en que F = f = 0 se traducen en (ejemplo 3.22) ev = Ev H y gu = Gu H. Por ser e, g constantes, tenemos Ev H = 0 y Gu H = 0, pudiéndose distinguir dos casos: si H = 0 en todo punto entonces X(U) es minimal; si existe un punto p ∈ X(U) tal que H(p) 6= 0, podemos encontrar un entorno V (p) ⊂ X(U) con H(q) 6= 0 para todo q ∈ V . Entonces, ambos Ev = Gu = 0 en dicho entorno, de donde se deduce, utilizando la fórmula (3.22) para la curvatura de Gauss en una parametrización ortogonal, que K = 0 en V ; el teorema de Minding 5.3.11 nos asegura entonces que V es isométrico al plano (superficie regular con K = 0). Solución al ejercicio 4.9. Sabemos que III p = 2H(p)II p − K(p)I p (ejercicio 3.2). Si S es minimal, H(p) = 0 para todo p ∈ S, por lo que III p = −K(p)I p . Rec´ıprocamente, supongamos que existe una función diferenciable λ : S −→ R tal que III p = λ (p)I p , para todo p ∈ S. Entonces, ¢ ¡ 2H(p)II p = III p + K(p)I p = λ (p) + K(p) I p . ¢ ¡ ¢ ¡ Supongamos que H(p) 6= 0. En tal caso, escribiendo c(p) = λ (p)+K(p) / 2H(p) , se tendr´ıa II p = c(p)I p , o lo que es lo mismo, hA p v, wi = c(p) hv, wi, para cuales ® quiera v, w ∈ Tp S. En consecuencia, A p v − c(p)v, w = 0 para todo w ∈ Tp S y todo v ∈ Tp S, es decir, A p v − c(p)v = 0 para cualquier v ∈ Tp S. As´ı pues, Ã ! c(p) 0 A p = c(p)1Tp S ≡ , 0 c(p) y p ser´ıa un punto umbilical, lo que contradice nuestra hipótesis. Solución al ejercicio 4.10. Consideremos la parametrización usual del catenoide X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v), con U = (0, 2π ) × R. Obsérvese que X cubre todo el catenoide excepto el meridiano u = 0. Un rápido cálculo muestra que

−→

2 ¶ µS senh v cos u sen u (u, v) ; cosh v , cosh v , − cosh v . ¢ ¡ Vamos a demostrar que (N ◦ X) (0, 2π ) × R = S2 \M, donde M representa el me© ª ridiano M = (x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≥ 0 . Para ello, consideramos las coordenadas geográficas en la esfera,9 Y (θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), donde, recorde¡ ¢ mos, (θ , ϕ ) ∈ (0, π ) × (0, 2π ). Claramente, Y (0, π ) × (0, 2π ) = S2 \M, por lo que tenemos que probar que ¢ ¡ ¢ ¡ (N ◦ X) (0, 2π ) × R = Y (0, π ) × (0, 2π ) .

N ◦ X : (0, 2π ) × R

9

Esto no es necesario; el resultado puede demostrarse igualmente utilizando coordenadas cartesianas, pero los cálculos son más laboriosos.

338


¡ ¢ As´ı, fijado un punto (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) ∈ Y (0, π ) × (0, 2π ) , vamos a ¢ ¡ ver que existe un u´ nico par u(θ , ϕ ), v(θ , ϕ ) tal que ¶ µ ¡ ¢ senh v cos u sen u , ,− = sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ (C.4) cosh v cosh v cosh v (por brevedad, escribimos simplemente u = u(θ , ϕ ), v = v(θ , ϕ )). Es evidente que v = arc tgh(− cos θ ) de modo u´ nico, pues θ ∈ (0, π ) y tgh v es un difeomorfismo. Además, como − senh v = cosh v cos θ , entonces cosh2 v cos2 θ = senh2 v, o equivalentemente, cosh2 v sen2 θ = 1. Obsérvese que θ ∈ (0, π ), por lo que sen θ > 0, y al ser cosh v > 0 siempre, se tiene que cosh v sen θ = 1. Igualando ahora las dos primeras coordenadas en (C.4) y usando esta expresión, obtenemos que ( cos u = cosh v sen θ cos ϕ = cos ϕ , sen u = cosh v sen θ sen ϕ = sen ϕ simultáneamente, y dado que ambos u, ϕ ∈ (0, 2π ) podemos concluir que u = ϕ . ¢ ¡ Análogamente, fijado (1/ cosh v)(cos u, sen u, − senh v) ∈ (N ◦ X) (0, 2π ) × R , en¢ ¡ tonces el par θ (u, v) = arc cos(− tgh v), ϕ (u, v) = u verificando (C.4) queda determinado de modo u´ nico. ¢ ¡ Tomando ahora X(u, v) = cosh v cos(u + π ), cosh v sen(u + π ), v como parametrización del catenoide, con U = (0, 2π ) × R, se demuestra de forma análoga que ¡ ¢ © ª (N ◦ X) (0, 2π ) × R = S2 \M, donde M = (x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≤ 0 . Dado que las parametrizaciones X y X cubren todo el catenoide, su imagen esférica es S2 \(M ∩ M) = S2 \{N, S}. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO V ® Solución al ejercicio 5.1. Como V,V = 1, entonces À À ¿ ¿ 0 ® DV DV 0 ⊥ + (V ) ,V = ,V . 0 = V ,V = dt dt Luego (DV /dt) ⊥ V . Dado que, además, (DV /dt) ⊥ N, podemos concluir que DV /dt está en la dirección de N ∧ V , lo que demuestra la existencia de una función diferenciable λ tal que DV /dt = λ (N ∧ V ). Finalmente obsérvese que, si V = α 0 , en ® ® tonces λ (s) = (Dα 0 /ds)(s), N(s) ∧ α 0 (s) = α 00 (s), N(s) ∧ α 0 (s) = kg (s), ya que ¯ ¯ ¯N(s) ∧ α 0 (s)¯ = 1 por estar α p.p.a. Solución al ejercicio 5.2. Como hV,W i = 0 y V es paralelo, entonces ¿ À ¿ À ¿ À DV DW DW 0= ,W + V, = V, . dt dt dt Por otro lado, al ser |W | = 1 se tiene que hDW /dt,W i = 0. As´ı pues, (DW /dt)(t) es © ª ortogonal a V (t) y W (t) para todo t. Como V (t),W (t) es una base (ortonormal) del tangente, esto implica que (DW /dt)(t) = 0 para todo t; es decir, W es paralelo. 339


Observación. Obsérvese que, para que un campo sea paralelo, necesariamente debe tener módulo constante. Solución al ejercicio 5.3. Consideremos como S1 = S2 la esfera (unidad) centrada en el origen de coordenadas y como S2 = Π el plano z = 0, que pasa por su ecuador. Sea α = (cost, sent, 0) la curva dada por el ecuador de la esfera, que está contenida en S1 ∩ S2 , y sea V = α 0 su campo velocidad. Claramente V es un campo paralelo en la esfera (véase el ejemplo 5.3), pero no lo es en el plano: en efecto, si representamos por NΠ (t) = (0, 0, 1) el vector normal al plano Π, entonces ® Dα 0 (t) = α 00 (t) − α 00 (t), NΠ (t) NΠ (t) = α 00 (t) = (− cost, − sent, 0) 6= 0. dt Observación. La proposición 5.1.10 asegura que el transporte paralelo es independiente de la superficie, pero siempre y cuando e´ stas sean tangentes; en nuestro caso, u´ nicamente se cortan. Solución al ejercicio 5.4. Si expresamos el campo V de la forma ¡ ¢ ¡ ¢ V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) ,

(C.5)

para una cierta parametrización (U, X) de S1 , entonces la composición X = φ ◦ X es una parametrización de S2 y es claro que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ d φα (t) V (t) = a(t)d φα (t) Xu (t) + b(t)d φα (t) Xv (t) = a(t)X u (t) + b(t)X v (t), ¡ ¢ donde estamos escribiendo, por brevedad, Xu (t) = Xu u(t), v(t) , y análogamente pa¡ ¢ ra los demás funcionales. As´ı pues, d φα (·) V (·) es un campo paralelo si, y sólo si, verifica las ecuaciones   a0 + au0 Γ1 + (av0 + bu0 )Γ1 + bv0 Γ1 = 0, 11 12 22  b0 + au0 Γ2 + (av0 + bu0 )Γ2 + bv0 Γ2 = 0, 11

12

22

donde con Γkij estamos representando los s´ımbolos de Christoffel asociados a la parametrización X. Ahora bien, por ser φ una isometr´ıa local, los s´ımbolos de Christoffel de X y X coinciden, Γkij = Γkij . Luego el sistema de ecuaciones diferenciales anterior es, precisamente, el correspondiente al campo V para la parametrización original X (véase (C.5)), que se verifica por ser V paralelo. Solución al ejercicio 5.5. i) Es un rápido cálculo demostrar que ¸> · · ¸ · ¸ Dγ 0 > d(Jγ 0 ) > d D(Jγ 0 ) 0 0 0 = = (N ∧ γ ) = (N ∧ γ ) + N ∧ dt dt dt dt · µ 0¶ ³ Dγ 0 ´¸> Dγ = (N 0 ∧ γ 0 ) + J =J , dt dt pues al ser N 0 (s), γ 0 (s) ∈ Tγ (s) S para todo s ∈ I, el producto vectorial N 0 ∧ γ 0 se encuentra en la dirección del normal a la superficie, por lo que (N 0 ∧ γ 0 )> = 0. 340


ii) La implicación directa es evidente por ser V , γ 0 paralelos (proposición 5.1.5). Para demostrar el rec´ıproco, obsérvese, por un lado, que hV, γ 0 i ≡ constante, ya que ¡ ¢ a´ ng(γ 0 ,V ) = hV, γ 0 i / |V | |γ 0 | lo es por hipótesis, as´ı como |V | y |γ 0 |. Derivando, À ¿ À ¿ À ¿ Dγ 0 DV 0 DV 0 0= , γ + V, = ,γ . dt dt dt ª © Por otro lado, γ 0 (s), Jγ 0 (s) es una base del plano tangente Tγ (s) S, para todo s ∈ I; as´ı pues, como a´ ng(γ 0 ,V ) es constante, a´ ng(Jγ 0 ,V ) también lo es, de donde se deduce que hV, Jγ 0 i ≡ constante. Derivando ahora esta expresión y utilizando el apartado i), À ¿ À ¿ ³ 0 ´À ¿ À ¿ À ¿ D(Jγ 0 ) Dγ DV DV DV 0 0 0 0= , Jγ + V, = , Jγ + V, J = , Jγ . dt dt dt dt dt En consecuencia, por ser hDV /dt, γ 0 i = hDV /dt, Jγ 0 i = 0 y dado que {γ 0 , Jγ 0 } es una base, se tiene que DV /dt ≡ 0, es decir, V es paralelo. Solución al ejercicio 5.6. i) Por ser α una geodésica (que suponemos p.p.a.), los vectores N y n son colineales; luego N(s) = ±n(s) para todo s, ya que ambos son unitarios. Como α es además una l´ınea de curvatura, existe una función diferenciable λ tal que N 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para todo s. As´ı pues, ¤ £ λ (s)t(s) = λ (s)α 0 (s) = N 0 (s) = ±n0 (s) = ± −k(s)t(s) − τ (s)b(s) , de donde se deduce que τ (s) = 0 para todo s. Por tanto, α es una curva plana. ii) Como α es una geodésica (que suponemos p.p.a.), N(s) = ±n(s) para todo s. En¤ £ tonces, N 0 (s) = ±n0 (s) = ± −k(s)t(s) − τ (s)b(s) . Al ser α una curva plana, τ ≡ 0, y por tanto, N 0 (s) = ∓k(s)t(s); esto demuestra que α es l´ınea de curvatura. iii) Cualquier paralelo de una esfera distinto del ecuador es una l´ınea de curvatura plana; sin embargo, no es una geodésica. Solución al ejercicio 5.7. Sean p ∈ S y v ∈ Tp S, y consideremos la geodésica maximal γv : Iv −→ S con γv (0) = p y γv0 (0) = v. Como por hipótesis γv es una curva plana, el ejercicio 5.6 ii) nos asegura que γv es, además, una l´ınea de curvatura de S y, en consecuencia, γv0 (t) es dirección principal en γv (t), para todo t ∈ Iv . En particular, v = γv0 (0) es una dirección principal en p = γv (0). Como esto se verifica para todo vector v ∈ Tp S, podemos afirmar que p es un punto umbilical de S. Hemos demostrado que cualquier p ∈ S es umbilical; por ser S conexa, el teorema 3.4.7 permite concluir que S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Solución al ejercicio 5.8. Cualquier recta es trivialmente una geodésica y una curva asintótica. Demostremos por tanto la implicación directa. Si γ es curva asintótica, ¢ ¡ kn (t) = kn γ 0 (t), γ (t) = 0, para todo t ∈ I, y por ser geodésica, kg (t) = 0. En consecuencia, k(t)2 = kg (t)2 + kn (t)2 = 0, es decir, γ es un segmento de recta. Solución al ejercicio 5.9. Como α (I) ⊂ Π ≡ Tα (t) S, para todo t ∈ I, entonces el ¢ ¡ vector normal n(t) ∈ Π, lo cual implica que n(t) ⊥ N α (t) , para todo t ∈ I. Luego α nunca será una geodésica, a no ser, claro está, que α sea una recta. 341


Solución al ejercicio 5.10. Consideremos la superficie de revolución S generada ¡ ¢ por la rotación de la curva α (v) = f (v), 0, g(v) (que suponemos p.p.a.), f (v) > 0, ¡ ¢ alrededor del eje z, y sea X(u, v) = f (v) cos u, f (v) sen u, g(v) una parametrización de la misma. En tal caso, E = f (v)2 , F = 0 y G = f 0 (v)2 + g0 (v)2 = 1. Un rápido cálculo permite obtener los s´ımbolos de Christoffel, Γ111 = Γ212 = Γ122 = Γ222 = 0,

Γ211 = − f (v) f 0 (v),

Γ112 =

por lo que las ecuaciones de las geodésicas (5.9) se traducen en  0   u00 + 2u0 v0 f (v) = 0, f (v)   v00 − (u0 )2 f (v) f 0 (v) = 0.

f 0 (v) , f (v)

(C.6)

i) Los meridianos de la superficie de revolución S son de la forma u = u0 constante. ¡ ¢ As´ı, si γe(s) = u0 , v(s) es la expresión en coordenadas de un meridiano, la primera ecuación en (C.6) se verifica trivialmente. La segunda se reduce a v00 (s) = 0, es ¡ ¢ decir, v(s) = cs + v0 , con c 6= 0. Por lo tanto, los meridianos γ (s) = X u0 , v(s) son geodésicas (siempre y cuando estén parametrizados con velocidad constante). ii) Los paralelos de la superficie de revolución son de la forma v = v0 constante. Si ¡ ¢ γe(s) = u(s), v0 es la expresión en coordenadas de un paralelo, la primera ecuación en (C.6) se escribe u00 (s) = 0, es decir, u(s) = cs + u0 , c 6= 0; esto nos dice de nuevo que la curva debe estar parametrizada con velocidad constante. La segunda ecuación, por el contrario, no se reduce a una expresión trivial, obteniéndose que −u0 (s)2 f (v0 ) f 0 (v0 ) = 0, de donde −c2 f (v0 ) f 0 (v0 ) = 0. Como c2 , f (v0 ) > 0, entonces f 0 (v0 ) = 0. As´ı pues, un paralelo es geodésica cuando f 0 (v0 ) = 0, es decir, si en el punto α (v0 ) que genera dicho paralelo, la recta tangente a la curva α (v) es paralela al eje de revolución. iii) Vamos a calcular finalmente todas las geodésicas de una superficie de revolución. ¡ ¢ Sea γe(s) = u(s), v(s) la expresión en coordenadas de una geodésica p.p.a. que no es ni un meridiano ni un paralelo (luego u0 (s), v0 (s) no se anulan). Para mayor brevedad, suprimiremos el parámetro s de las fórmulas que siguen. Es sencillo comprobar que ¡ ¢0 la primera ecuación de (C.6) se verifica si, y sólo si, f (v)2 u0 = 0, es decir si, y sólo si, f (v)2 u0 = c 6= 0 constante. Como γ está p.p.a., 1 = (u0 )2 E + 2u0 v0 F + (v0 )2 G = (u0 )2 f (v)2 + (v0 )2 ,

(C.7)

y utilizando la relación f (v)2 u0 = c se tiene que 1 − c2 / f (v)2 = (v0 )2 . Derivando esta expresión respecto a s obtenemos c2 f 0 (v)/ f (v)3 = v00 , y utilizando de nuevo que f (v)2 u0 = c, deducimos que v00 = f (v) f 0 (v)(u0 )2 , es decir, la segunda ecuación en el sistema (C.6). Esto demuestra que ambas relaciones son equivalentes. Por otro lado, al ser u0 6= 0, podemos considerar su inversa s(u), y expresar entonces v = v(u) como una función de u. Multiplicando (C.7) por s0 (u)2 y simplificando se llega a que s0 (u)2 = f (v)2 + v0 (u)2 . Ahora bien, dado que f (v)2 u0 (s) = c, es evidente 342


que s0 (u) = f (v)2 /c, plo cual, unido a la expresión anterior, permite deducir finalmen0 te que v (u) = f (v) f (v)2 − c2 /c (obsérvese que f (v)2 − c2 6= 0 pues v0 (u) 6= 0). La solución de esta ecuación diferencial nos dice cuáles son todas las geodésicas de la superficie de revolución generada por la rotación de la curva α (v), distintas de los ¡ ¢ meridianos y los paralelos: γ (v) = X u(v), v , donde Z

u(v) = c

1 p dv + constante. f (v) f (v)2 − c2

Solución al ejercicio 5.11. Los paralelos máximo y m´ınimo son geodésicas, pues los planos tangentes en cada punto son paralelos al eje z de revolución; no son curvas asintóticas ya que, si lo fuesen, al ser geodésicas deber´ıan ser segmentos de recta (ejercicio 5.8); los paralelos siempre son l´ıneas de curvatura en una superficie de revolución (ejercicio 3.12; esto también se puede argumentar utilizando el hecho de que son geodésicas y curvas planas, ejercicio 5.6). El paralelo superior no es una geodésica, pues el plano tangente en cualquier punto de la curva no es paralelo al eje z; es una curva asintótica, ya que el vector normal a la curva es ortogonal al vector normal a la superficie, lo que implica que kn ≡ 0; es una l´ınea de curvatura (ejercicio 3.12). Solución al ejercicio 5.12. Sea α : I −→ T2 una parametrización del paralelo superior del toro T2 , que es una circunferencia, y sea R su radio. Obsérvese que α (I) está totalmente contenida en el plano tangente Tα (t) S ≡ Π, que es constante. Luego el normal N(t) ≡ N también es constante en todos los puntos de la curva. Claramente, k(t) = 1/R y n(t) ∈ Π para todo t, ya que α es plana. As´ı pues, ® ® kn (t) = α 00 (t), N = k(t) n(t), N = 0 (estamos suponiendo α p.p.a.). En consecuencia, kg (t)2 = k(t)2 − kn (t)2 = 1/R2 , es decir, la curvatura geodésica vale kg (t) = ±1/R, donde el signo dependerá de las orientaciones elegidas. Solución al ejercicio 5.13. Por ser α l´ınea de curvatura, N 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para ¡ ¢ una función diferenciable λ . As´ı pues, Xs = 1 + vλ (s) α 0 (s) y Xv = N(s), por lo ¢ ¡ que los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1 + vλ (s) 2 , F = 0 y G = 1. Si β1 (s) = X(s, v) es una curva coordenada, β10 (s) = Xs y β100 (s) = Xss . Además, ª © √ Xs / E, Xv es una base ortonormal de TX(s,v) S (considerando S con la orientación √ ¡ √ ¢ √ inducida por {Xs , Xv }), por lo que JXs = E J Xs / E = EXv , donde J representa la estructura compleja en dicho plano tangente. Luego √ ® ® 00 0 (s) X , β β EX (s), J hXss , Xv i ss v 1 1 = , = kg1 (s) = ¯3 ¯ ¯√ ¯3 0 E ¯β (s)¯ ¯ E¯ 1 ¡ ¢ y un rápido cálculo muestra que kg1 (s) = −λ (s)/ 1 + vλ (s) . Razonando de modo análogo se obtiene que la curva coordenada β2 (v) = X(s, v) tiene curvatura geodésica kg2 (v) = − hXs , Xvv i /G = 0. 343


Obsérvese que las curvas coordenadas de la forma β2 (v) = X(s, v) siempre son geodésicas (son además las directrices de una superficie reglada, véase el ejercicio 3.23), mientras que β1 (s) = X(s, v) lo es si, y sólo si, λ ≡ 0, lo que equivale a que N 0 (s) = 0. As´ı, β1 es geodésica si, y sólo si, N es constante a lo largo de la curva α , o lo que es lo mismo, si, y sólo si, el plano tangente Tα (s) S es constante a lo largo de α ; esto equivale a su vez a que α sea curva asintótica de S. Solución al ejercicio 5.14. Una parametrización de S es X(u, v) = (u, cosh u, v), U = R × R. Sin embargo, e´ sta no va a servir a nuestros propósitos, como veremos en breve. Consideremos la parametrización por la longitud de arco de la catenaria, ³ ´ ³ ¡ p ´ p ¢p β (s) = arg senh s, 1 + s2 = log s + 1 + s2 , 1 + s2 (véase el ejemplo y la correspondiente parametrización de nuestra superficie, ´ ³ ¡ 1.4), √ ¢√ 2 2 X(u, v) = log u + 1 + u , 1 + u , v . Entonces: © ª La aplicación φ : Π = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 −→ S, dada por ³ ¡ ´ p ¢p φ (x, y, 0) = log x + 1 + x2 , 1 + x2 , y , es una isometr´ıa local entre el plano Π y el cilindro S (de ah´ı la necesidad de reparametrizar por la longitud de arco la catenaria, para que la propia parametrización de la superficie sea la isometr´ıa buscada): Claramente φ es diferenciable. Dado p = (x, y, 0) ∈ Π, como Tp Π ≡ Π, entonces cualquier vector v ∈ Tp Π es de la forma v = (v1 , v2 , 0); tomando como curva α : I −→ Π la recta α (t) = p + tv (que verifica α (0) = p, α 0 (0) = v), la diferencial d φ p : Π −→ Tφ (p) S viene dada por ¯ d ¯¯ d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) dt t=0 ¯ µ ¶ q ¡ ¢q d ¯¯ 2 2 = ¯ log x + tv1 + 1 + (x + tv1 ) , 1 + (x + tv1 ) , y + tv2 dt ¶ µ t=0 v1 x v1 ,√ , v2 . = √ x 2 + 1 x2 + 1 Luego

v21 x2 v21 + + v22 = v21 + v22 = |v|2 , x 2 + 1 x2 + 1 lo que demuestra que φ es una isometr´ıa local. ¯ ¯ ¯d φ p (v)¯2 =

Como las geodésicas se conservan por isometr´ıas locales, las geodésicas de S serán las imágenes mediante φ de las geodésicas del plano Π (rectas), es decir, serán las curvas ³ ¡ ´ p ¢p γ (s) = φ (as, bs, 0) = log as + 1 + a2 s2 , 1 + a2 s2 , bs , para a, b ∈ R. 344


Solución al ejercicio 5.15. Como α (I) ⊂ Π, entonces t(s), n(s) ∈ Π, para todo s ∈ I. Si demostramos que N(s) ∈ Π para todo s ∈ I, podremos concluir que n(s) y N(s) son colineales, ya que tendr´ıamos tres vectores t(s), n(s), N(s) contenidos en el mismo plano, Π, tales que n(s) ⊥ t(s) y N(s) ⊥ t(s); en consecuencia, α será una geodésica. Veamos pues que N(s) ∈ Π para todo s ∈ I. Si Tα (s) S y Π no fuesen ortogonales en un cierto punto α (s), por ser Π un plano de simetr´ıa, es sencillo ver que el simétrico de Tα (s) S respecto a Π también ser´ıa un plano tangente a S en α (s), lo que contradir´ıa la unicidad del plano tangente en una superficie regular. As´ı pues, Tα (s) S ⊥ Π, lo que prueba que N(s) ∈ Π, para todo s ∈ I. El rec´ıproco no es cierto, tal y como demuestra el siguiente contraejemplo: tómese el cilindro C y un plano Π paralelo al eje del mismo, que no lo contenga. Π corta a C en dos rectas (que son geodésicas), pero no es un plano de simetr´ıa. Solución al ejercicio 5.16. Claramente, ® ® ® t0 (s) = α 00 (s) = α 00 (s), t(s) t(s) + α 00 (s), Jt(s) Jt(s) + α 00 (s), N(s) N(s) = kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s). ® ® Por otro lado, N 0 (s) = N 0 (s), t(s) t(s) + N 0 (s), Jt(s) Jt(s). Obsérvese además que, ® ® ® derivando N(s), t(s) = 0, se obtiene N 0 (s), t(s) = − N(s), t0 (s) = −kn (s), y que ¡ ¢ N 0 (s) = dNα (s) α 0 (s) = −Aα (s) α 0 (s). As´ı pues, ® N 0 (s) = −kn (s)t(s) + − Aα (s) α 0 (s), Jt(s) Jt(s) = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s). Finalmente, un rápido cálculo muestra que (Jt)0 (s) = (N ∧ t)0 (s) = N 0 (s) ∧ t(s) + N(s) ∧ t0 (s) ¤ £ ¤ £ = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s) ∧ t(s) + N(s) ∧ kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s) = −τg (s)Jt(s) ∧ t(s) + kg (s)N(s) ∧ Jt(s) = τg (s)N(s) − kg (s)t(s). Solución al ejercicio 5.17. i) Claramente t(s) = cos ϕ (s)e1 (s) + sen ϕ (s)e2 (s), de donde se obtiene Jt(s) = − sen ϕ (s)e1 (s) + cos ϕ (s)e2 (s). As´ı pues, ® ¡ ¢ ¡ ¢ τg (s) = Aα (s) t(s), Jt(s) =−k1 α (s) cos ϕ (s) sen ϕ (s)+k2 α (s) cos ϕ (s) sen ϕ (s). ® ii) Derivando la relación cos θ (s) = N(s), n(s) , obtenemos (véanse (5.22), (1.13)) ® ® − sen θ (s)θ 0 (s) = N 0 (s), n(s) + N(s), n0 (s) ® ® = − kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s), n(s) + N(s), −k(s)t(s) − τ (s)b(s) ® ® = −τg (s) Jt(s), n(s) − τ (s) N(s), b(s) . Calculemos, por tanto, el valor de estos productos escalares. En primer lugar, si expresamos el vector normal N(s) en función de la base dada ® por el triedro de Frenet, obtenemos que N(s) = cos θ (s)n(s) + N(s), b(s) b(s); to ® p mando módulos, N(s), b(s) = 1 − cos2 θ (s) = sen θ (s). Por otro lado, si expresa ® mos n(s) en función del triedro de Darboux, n(s) = n(s), Jt(s) Jt(s)+cos θ (s)N(s), 345


® y de nuevo tomando módulos, n(s), Jt(s) = sen θ (s). As´ı pues, £ ¤ − sen θ (s)θ 0 (s) = −τg (s) sen θ (s) − τ (s) sen θ (s) = − τg (s) + τ (s) sen θ (s), de donde se obtiene el resultado: θ 0 (s) = τg (s) + τ (s). iii) Esta propiedad se deduce directamente de las fórmulas de Darboux (5.22): α es l´ınea de curvatura si, y sólo si, N 0 (s) = λ (s)t(s), por lo que τg (s) = 0. iv) Por ser α geodésica, los vectores n(s) y N(s) son colineales para todo s ∈ I; es más, N(s) = ±n(s), dependiendo de la orientación, pues ambos son unitarios. Su ® pongamos, por ejemplo, que N(s) = n(s). Entonces, cos θ (s) = N(s), n(s) = 1 para todo s ∈ I (apartado ii)), es decir, θ (s) ≡ 0 (si suponemos N(s) = −n(s) obtenemos θ (s) ≡ π ). Por tanto, θ 0 (s) = 0, de donde se deduce que τ (s) + τg (s) = 0. Solución al ejercicio 5.18. i) e1 es un campo paralelo pues γ es una geodésica, mientras que e2 lo es por ser ortogonal a e1 (que es paralelo) y tener módulo constante (ejercicio 5.2). As´ı pues, los productos hV, e1 i , hV, e2 i son constantes (proposición 5.1.5). Y rec´ıprocamente, como hV, e1 i, hV, e2 i son constantes y podemos expresar V de la forma V = hV, e1 i e1 + hV, e2 i e2 , entonces DV De1 De2 = hV, e1 i + hV, e2 i = 0. dt dt dt ii) La curva z = 0 no es más que la circunferencia x2 + y2 = 1, que parametrizamos de la forma α (s) = (cos s, sen s, 0). En primer lugar, debemos encontrar el campo paralelo V que va a definir el transporte paralelo. Consideremos los campos de vectores (paralelos y unitarios) e1 = α 0 y e2 = N ∧ e1 . Es sencillo comprobar que, en los puntos de la curva α , N(s) = (− cos s, − sen s, 0), luego e2 ≡ (0, 0, −1). As´ı pues, el campo paralelo buscado debe ser de la forma V (s) = ae1 (s) + be2 (s), verificando la condición inicial V (0) = v = (0, 1, 1) (ya que p = (1, 0, 0) = α (0)). Un rápido cálculo permite obtener los valores a = 1 y b = −1, de donde se deduce que V (s) = e1 (s) − e2 (s) = (− sen s, cos s, 1). Finalmente, como α (π /2) = (0, 1, 0), enπ /2 tonces P0 (α )(v) = V (π /2) = (−1, 0, 1). Solución al ejercicio 5.19. La esfera tiene curvatura de Gauss K = 1/R2 constante, por lo que, para la parametrización X(r, θ ) de las coordenadas geodésicas polares se obtiene E = 1, F = 0 y G = R2 sen2 (r/R). Luego la circunferencia geodésica ¡ ¢ S(p, r) = expp S(0, r) es la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ) y as´ı, Z ¡ ¢ L S(p, r) = L02π (α ) =

Z ¯ ¯α 0 (θ )¯ d θ =

2π ¯

2π

Z 2π √

r G d θ = 2π R sen , R 0 0 0 Z 2π Z r √ ´ ³ ¡ ¢ Z 2π Z r p r . EG − F 2 drd θ = G drd θ = 2π R2 1 − cos A D(p, r) = R 0 0 0 0 |Xθ | d θ =

Solución al ejercicio 5.20. Utilizando el lema de Gauss 5.3.6 se obtiene que ¯2 ¯ ¡ ¢¯2 ¯ E = ¯d(expp )t α (s) α (s) ¯ = ¯α (s)¯ = r02 , ¢ ¡ ¡ ¢® F = d(expp )t α (s) α (s) ,t d(expp )t α (s) α 0 (s) = 0, ¯ ¡ ¢¯2 G = t 2 ¯d(expp )t α (s) α 0 (s) ¯ . 346


Finalmente, como se trata de una parametrización ortogonal, podemos utilizar la expresión (3.22) para la curvatura de Gauss, obteniéndose que µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 2 |Xs | |Xs |t Gt −1 −|Xs |tt −1 √ √ (t, s) = 2 (t, s). (t, s) = 2 K X(t, s) = |Xs | 2r0 |Xs | r0 |Xs | 2r0 G r0 G t t Solución al ejercicio 5.21. i) Claramente X es diferenciable y, por hipótesis, un ¡ ¢ homeomorfismo. Además, las derivadas parciales de X, Xu = d(expp )uV (t) V (t) y ¡ 0 ¢ Xt = d(expp )uV (t) uV (t) son ortogonales (lema de Gauss 5.3.6), siempre y cuando, ¯ ¯ claro está, Xu , Xt 6= 0. Es evidente que Xu 6= 0, pues ¯V (t)¯ = 1, lo que implica que V (t) 6= 0. En el caso de la parcial respecto a t, Xt = 0 si, y sólo si, V 0 (t) = 0 para todo t (pues u 6= 0, ya que, en caso contrario, X no ser´ıa un homeomorfismo), es decir si, y sólo si, V (t) es constante. ii) Si X(u,t) es una parametrización, el lema de Gauss permite asegurar que E = 1 ¯ ¡ ¢¯2 (pues |V | = 1), F = 0 (V,V 0 son ortogonales) y G = u2 ¯d(expp )uV (t) V 0 (t) ¯ . iii) Utilizando el lema de Gauss 5.3.6, como ¡ ¢ α 0 (t) = d(expp )u(t)V (t) u0 (t)V (t) + u(t)V 0 (t) ¡ ¢ ¡ ¢ = u0 (t)d(expp )u(t)V (t) V (t) + u(t)d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) , entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯2 ¯ 0 ¯2 ¯ ¡ ¢¯ ¯α (t)¯ = ¯u (t)¯ + ¯u(t)¯2 ¯d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) ¯2 ≥ ¯u0 (t)¯2 , de donde

¯ ¯ Z b¯ ¯ (1) Z b ¯ 0 ¯ (2) ¯Z b 0 ¯ ¯ ¯ ¯u (t)¯ dt ≥ ¯ u (t) dt ¯ = ¯u(b) − u(a)¯ . ¯α 0 (t)¯ dt ≥ ¯ ¯ a

a

a

La igualdad se tendrá si, y sólo si, las dos desigualdades anteriores, (1) y (2), son igualdades. Claramente, (2) es una igualdad si, y sólo si, u(t) es monótona (creciente o decreciente). Como, por hipótesis, u(t) > 0, la igualdad en (1) se dará si, y sólo si, ¯ ¡ ¢¯ ¡ ¢ ¯d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) ¯ = 0, o lo que es lo mismo, d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) = 0. Pero esto es equivalente a que V 0 (t) = 0, es decir, V (t) es constante. Como hemos visto en el apartado i), en este caso X no es una parametrización de S. Solución al ejercicio 5.22. i) Derivando la identidad (5.18) se obtiene la relación √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ Kr G + K G r + G rrr = 0; tomando l´ımites cuando r → 0 y utilizando las propiedades de las coordenadas geodésicas polares (proposición 5.3.10) concluimos ¡√ ¢ que K(p) + l´ımr→0 G rrr = 0. √ ii) Como G y sus parciales sucesivas respecto a r son funciones continuas (y acotadas), definimos su valor en r = 0 como √ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G(0, θ ) = l´ım G(r, θ ) = 0, G r (0, θ ) = l´ım G r (r, θ ) = 1, r→0 r→0 √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G rr (0, θ ) = l´ım G rr (r, θ ) = −K(p) l´ım G(r, θ ) = 0, r→0 r→0 ¡√ ¢ ¡√ ¢ G rrr (0, θ ) = l´ım G rrr (r, θ ) = −K(p), r→0

347


utilizando el apartado i) anterior, la relación (5.18) y las propiedades de las coordenadas geodésicas polares (proposición 5.3.10). As´ı, podemos tomar el desarrollo de √ Taylor de la función G en r = 0, √ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ r2 ¡√ ¢ r3 G(r, θ ) = G(0, θ ) + G r (0, θ )r + G rr (0, θ ) + G rrr (0, θ ) + R 2 6 r3 = r − K(p) + R, 6 donde R es una función que sólo depende de r, y tal que l´ımr→0 R/r3 = 0. ¡ ¢ iii) La circunferencia geodésica S(p, r) = expp S(0, r) no es más que la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ), de donde ¶ Z 2π Z 2π √ Z 2π µ Z 2π ¯ ¯ r3 ¯α 0 (θ )¯ d θ = |Xθ | d θ = r − K(p) + R d θ G dθ = L= 6 0 0 0 0 3 r = 2π r − π K(p) + 2π R. 3 Despejando la curvatura de Gauss de la expresión anterior y tomando l´ımites, ¶ µ 3 2π r − L 2π R 2π r − L 3 + 3 = l´ım . K(p) = l´ım 3 r→0 r→0 π r r π r3 Solución al ejercicio 5.23. Usando un argumento análogo al del ejercicio 5.22, ¶ Z 2πZ r √ Z 2πZ r µ Z 2πZ r p r3 r − K(p) + R drd θ EG − F 2 drd θ = G drd θ = A= 6 0 0 0 0 0 0 ¶ µ 2 4 r r − K(p) + R = 2π 2 24 donde, ahora, l´ımr→0 R/r4 = 0. Despejando la curvatura de Gauss de la expresión anterior y tomando l´ımites, ¶ µ 2 12 π r − A 2π R π r2 − A 12 + = . l´ım l´ ı m K(p) = π r→0 r4 r4 π r→0 r4 Solución al ejercicio 5.24. Utilizando las expresiones para la longitud de una circunferencia geodésica y el a´ rea del correspondiente disco geodésico obtenidas en los ejercicios 5.22 y 5.23, es un sencillo cálculo comprobar que e L2 − 4π A = −π 2 K(p)r4 + R, e 4 = 0. As´ı pues, donde Re es una función que verifica l´ımr→0 R/r L2 − 4π A = −π 2 K(p), r→0 r4 l´ım

y si p es el´ıptico, −π 2 K(p) < 0. Por tanto, tomando r > 0 suficientemente pequeño, e 4 es despreciable en comparación a −π 2 K(p), obteniéndose as´ı que el valor de R/r para discos geodésicos de radio suficientemente pequeño, el déficit isoperimétrico L2 − 4π A es estrictamente negativo: la desigualdad isoperimétrica no se verifica. 348


¡ ¢ Solución al ejercicio 5.25. La circunferencia geodésica S(p, r) = expp S(0, r) es la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ) de la parametrización dada por las coordenadas √ ª © geodésicas polares. As´ı, α 0 (θ ) = Xθ y α 00 (θ ) = Xθ θ . Además, Xr , Xθ / G es una √ ¡ √ ¢ √ base ortonormal de TX(r,θ ) S, por lo que JXθ = G J Xθ / G = − GXr , donde J representa la estructura compleja en dicho plano tangente. Luego √ 00 ® ® Xθ θ , − GXr α (θ ), Jα 0 (θ ) hXθ θ , JXθ i = . = kg (θ ) = ¯ ¯ ¯√ ¯3 ¯α 0 (θ )¯3 ¯ G¯ |Xθ |3 Por otro lado, derivando las expresiones hXr , Xθ i = F = 0 y hXθ , Xθ i = G, y combinándolas adecuadamente, se obtiene que hXr , Xθ θ i = −Gr /2; as´ı pues, √ Gr G Gr . kg (θ ) = ¯√ ¯3 = 2G 2¯ G¯ Como la superficie tiene curvatura de Gauss constante, ya sabemos que el coeficiente G sólo depende de r (ejemplo 5.11), por lo que la curvatura geodésica es constante respecto al parámetro, θ , de la curva. Solución al ejercicio 5.26. Sea {e1 , e2 } la base ortonormal de Tp S que define el sistema de coordenadas normales en p = X(0, 0). Dado v = v1 e1 + v2 e2 ∈ Tp S, el punto X(v1 , v2 ) = expp (v1 e1 + v2 e2 ) = γv (1), siendo

γv (t) = expp (tv) = expp (tv1 e1 + tv2 e2 ) la geodésica maximal con condiciones iniciales γv (0) = p, γv0 (0) = v. As´ı pues, la ¡ ¢ expresión en coordenadas (respecto a X) de γv es γev (t) = u(t), v(t) = (v1t, v2t). Como γv es una geodésica, γev verifica las ecuaciones (5.9), es decir, ( ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v21 Γ111 v1t, v2t + 2v1 v2 Γ112 v1t, v2t + v22 Γ122 v1t, v2t = 0, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v21 Γ211 v1t, v2t + 2v1 v2 Γ212 v1t, v2t + v22 Γ222 v1t, v2t = 0. Obsérvese que estas ecuaciones se satisfacen para todo v ∈ Tp S; en particular, si v = e1 = (1, 0), obtenemos Γ111 (0, 0) = Γ211 (0, 0) = 0; para v = e2 = (0, 1), se deduce que Γ122 (0, 0) = Γ222 (0, 0) = 0; finalmente, sustituyendo los valores ya obtenidos para los s´ımbolos de Christoffel y tomando v = (v1 , v2 ) con v1 , v2 6= 0, se tiene que Γ112 (0, 0) = Γ212 (0, 0) = 0. En consecuencia, Γkij (0, 0) = 0, para todo i, j, k ∈ {1, 2}, en la parametrización dada por las coordenadas normales. Esto implica a su vez, utilizando el sistema (3.16), que todas las derivadas parciales primeras de los coeficientes E, F, G se anulan en (0, 0). Solución al ejercicio 5.27. Supongamos que γ es una hélice generalizada. Por el teorema de Lancret (ejercicio 1.17), existe una constante c tal que τ (s) = ck(s), para todo s ∈ I. Sea Π un plano cualquiera de R3 con normal unitario a, y tomemos la curva plana α : I −→ Π, p.p.a, cuya curvatura es kα (s) = −(1 + c2 )k(s), que sabemos u´ nica (salvo movimientos r´ıgidos en Π) y viene dada por (1.7). Finalmente, construyamos el cilindro recto Cα sobre dicha curva α , siendo X(s,t) = α (s) + ta, con (s,t) ∈ I × R, una parametrización para dicha superficie. Obsérvese que: 349


¥

β (u) = X(u, cu) = α (u) + cua es una geodésica de Cα :

Obsérvese que β 0 (u) = α 0 (u) + ca = tα (u) + ca y β 00 (u) = tα0 (u) = kα (u)nα (u). ª © Como tα (s), nα (s), a es una base ortonormal de R3 positivamente orientada, entonces N(s,t) = (Xs ∧ Xt )/ |Xs ∧ Xt | = tα (s) ∧ a = −nα (s), de donde se obtiene que ¡ ¢ N(u) ∧ β 0 (u) = −nα (u) ∧ tα (u) + ca = a − ctα (u). As´ı, 00 ® ® kα (u)nα (u), a − ctα (u) β (u), N(u) ∧ β 0 (u) β = 0. = kg (u) = ¯ ¯ ¯β 0 (u)¯3 (1 + c2 )3/2 La curvatura y la torsión de β valen ¯ 0 ¯¡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ ¯β (u) ∧ β 00 (u)¯ ¯ ¯ ¯ tα (u) + ca ∧ nα (u)¯ ¯ ¯ ¯a − ctα (u)¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = kα (u) = kα (u) kβ (u) = ¯ ¯ ¯β 0 (u)¯3 (1 + c2 )3/2 (1 + c2 )3/2 √ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 + c2 ¯kα (u)¯ = k(u), ¯ ¯ = = kα (u) 2 3/2 2 (1 + c ) (1 + c ) 0 ® ® a− ctα (u), kα0 (u)nα (u)− kα (u)2 tα (u) β (u) ∧ β 00 (u), β 000 (u) =−kα (u) τβ (u) = − ¯ ¯ (1 + c2 )kα (u)2 ¯β 0 (u) ∧ β 00 (u)¯2 c kα (u) = ck(u) = τ (u). =− (1 + c2 )

¥

En consecuencia, γ ≡ β , salvo movimientos r´ıgidos (teorema fundamental de curvas en R3 1.3.7) y, por tanto, γ es una geodésica de Cα . Y rec´ıprocamente, supongamos que γ es una geodésica del cilindro Cα construido sobre una curva plana α : I −→ Π, y sea a el normal unitario al plano Π (es decir, el eje del cilindro). Tomamos de nuevo la parametrización X(s,t) = α (s) + ta de Cα . ® Vamos a probar que γ 0 (s), a ≡ constante, lo que demostrará que γ es una hélice generalizada. Para ello, calculamos simplemente su derivada: ¿ 0 À D E ® ®0 00 ® 0 Dγ 00 ⊥ γ (s), a = γ (s), a = (s) + γ (s) , a = γ 00 (s)⊥ , a = λ (s)N(s), a ds ® = −λ (s) nα (s), a = 0, pues nα (s) ∈ Π, para todo s ∈ I.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO VI Solución al ejercicio 6.1. Dado que e1 (s) = cos λ (s)e1 (s) + sen λ (s)e2 (s)

y

e2 (s) = − sen λ (s)e1 (s) + cos λ (s)e2 (s), entonces e01 (s) = −λ 0 (s) sen λ (s)e1 (s) + cos λ (s)e01 (s) + λ 0 (s) cos λ (s)e2 (s) + sen λ (s)e02 (s), 350


de donde se deduce que ® ω (s) = e01 (s), e2 (s)

® ® = λ 0 (s) sen2 λ (s) − sen2 λ (s) e1 (s), e02 (s) + cos2 λ (s) e01 (s), e2 (s)

+ λ 0 (s) cos2 λ (s) ® = λ 0 (s) + e01 (s), e2 (s) = λ 0 (s) + ω (s), ® ® pues se tiene que e01 (s), e2 (s) = − e1 (s), e02 (s) sin más que derivar la relación ® © ª e1 (s), e2 (s) = 0 (por hipótesis e1 (s), e2 (s) es un referencial ortonormal). © ª La holonom´ıa a lo largo de α respecto a la base ortonormal e1 (s), e2 (s) es Hs0 (s) = −

Z s s0

Z s¡

ω (t) dt = −

s0

Z s ¢ λ 0 (t) + ω (t) dt = λ (s0 ) − λ (s) − ω (t) dt; s0

en particular, si la curva α : [0, `] −→ S es cerrada, se tiene que, para algún k ∈ N, H0 (`) = λ (0) − λ (`) −

Z ` 0

ω (t) dt = H0 (`) − 2π k.

Solución al ejercicio 6.2. El error radica en afirmar que Z

Z

bd R1

kg ds =

bd R2

kg ds,

pues la curvatura geodésica depende de la orientación de la frontera de la región. En este caso concreto, bd R1 = bd R2 , pero la curva está orientada de modo distinto según se vea como frontera de R1 o de R2 . As´ı pues, con las orientaciones adecuadas, lo que realmente se deduce es que A(R1 ) + A(R2 ) = 4π , lo cual s´ı es cierto. Solución al ejercicio 6.3. Como la superficie es compacta, sabemos que existe un punto el´ıptico (ejercicio 3.6). Luego, por continuidad, hay un abierto donde K > 0. Representamos por E = {p ∈ S : K(p) > 0},

H = {p ∈ S : K(p) < 0} y P = {p ∈ S : K(p) = 0}.

Por otro lado, como S no es homeomorfa a la esfera, su caracter´ıstica de EulerPoincaré χ (S) 6= χ (S2 ) = 2, es decir, χ (S) ≤ 0. Entonces, Z

0 ≥ 2π χ (S) =

S

Z

K dA =

E

Z

K dA +

H

Z

K dA +

P

K dA.

Dado que E 6= 0, / la primera integral del lado derecho en la desigualdad es estrictamente positiva, por lo que, necesariamente, la integral sobre H es negativa y no nula; luego H 6= 0. / Finalmente, por continuidad, existen puntos con K = 0. Solución al ejercicio 6.4. Orientamos la esfera de forma compatible con la parametrización X de las coordenadas geográficas, es decir, {Xu , Xv } es una base positivamente orientada del tangente, siendo el normal ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v) = (sen u cos v, sen u sen v, cos u). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv | 351


Con esta orientación, el paralelo y los meridianos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como α (v) = X(u0 , v) con 0 ≤ v ≤ π /4, β0 (u) = X(u, 0) con 0 ≤ u ≤ u0 , y βπ /4 (u) = X(−u, π /4) con −u0 ≤ u ≤ 0 (véase el ejemplo 6.4). Sabemos que β0 y βπ /4 (los meridianos) son geodésicas, por lo que kg = 0 en ambas, y un rápido cálculo muestra que 00 ¢ ¡ ® α (v), N α (v) ∧ α 0 (v) 1 α = cotg u0 . kg (v) = ¯ ¯ r ¯α 0 (v)¯3 Los paralelos y los meridianos de la esfera se cortan ortogonalmente, y por la orientación elegida, dos de los a´ ngulos externos valen ε1 , ε2 = π /2; el tercer a´ ngulo es ε3 = π − π /4 = 3π /4. Además, R es una región simple (χ (R) = 1). Es sencillo comprobar entonces que Z

Z

R

K dA +

4

bd R

kg ds + ∑ εi i=1

Z π /4 Z u0 p 1

Z π /4 cotg u0 ¯

¯ ¯α 0 (v)¯ dv + 7π r 4 0 0 0 Z π /4 Z π /4 Z u0 π 7π 7π = + = 2π χ (R). sen u dudv + cos u0 dv + = 4 4 4 0 0 0 =

r2

EG − F 2 dudv +

Solución al ejercicio 6.5. Suponemos el toro orientado de forma compatible con la parametrización X, es decir, el normal viene dado por ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v) = (− cos u cos v, − cos u sen v, − sen u). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv | Con tal orientación, los paralelos y los meridianos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como αS (v) = X(π /2, v) con 0 ≤ v ≤ π /2 (el paralelo superior), αM (v) = X(0, −v) con −π /2 ≤ v ≤ 0 (el paralelo máximo), β0 (u) = X(u, 0) con 0 ≤ u ≤ π /2 y βπ /2 (u) = X(−u, π /2) con −π /2 ≤ v ≤ 0. Sabemos que β0 , βπ /2 (los meridianos) y αM son geodésicas, por lo ¢ ¡ que kg = 0 para todas ellas. Claramente N αS (v) = (0, 0, −1), de donde ¢ ¡ ® 00 αS (v), N αS (v) ∧ αS0 (v) 1 S =− . kg (v) = ¯3 ¯ a ¯α 0 (v)¯ S

Los paralelos y los meridianos de una superficie de revolución se cortan ortogonalmente, por lo que los a´ ngulos externos εi = π /2, para i = 1, . . . , 4. Además, R es una región simple, luego χ (R) = 1. Es sencillo comprobar entonces que Z R

352

Z

K dA +

bd R

4

kg ds + ∑ εi

Z π /2 Z π /2

i=1

Z π /2 ¯ p cos u 1 ¯ 0 ¯¯ 2 EG − F dudv − α (v) dv + 2π = r(a + r cos u) a S 0 0 0 Z π /2 Z π /2 Z π /2 π π = cos u dudv − dv + 2π = − + 2π = 2π χ (R). 2 2 0 0 0


Solución al ejercicio 6.6. Obsérvese que, dado que el cono no contiene el vértice, la región R delimitada por el paralelo u = 1 no es simple: tiene un ((agujero)). Para poder realizar los cálculos correctamente, consideraremos otro paralelo, u = ε , con 0 < ε < 1, valor que haremos tender a cero. Suponemos el cono orientado de forma compatible con la parametrización X, es decir, el normal viene dado por ¡ ¢ Xu ∧ Xv 1 (u, v) = √ (− cos v, − sen v, 1). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv | 2 Con esta orientación, los dos paralelos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como α1 (v) = X(1, v) con 0 ≤ v ≤ 2π y αε (v) = X(ε , −v) con −2π ≤ v ≤ 0. Un rápido cálculo muestra que ¢ ¡ ® 00 0 (v) α α α (v) ∧ (v), N 1 1 1 1 1 y kgε (v) = − √ . =√ kg1 (v) = ¯3 ¯ 0 ¯α (v)¯ 2 2ε 1 Como el cono es una superficie regular isométrica al plano, entonces K ≡ 0. Además, las curvas que delimitan la región no tienen vértices (luego no hay a´ ngulos); finalmente, χ (R) = 0. As´ı pues, Z R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi = =

i=1 Z 2π

Z 2π Z 0 ¯ ¯ 1 ¯ 1 ¯ √ ¯α10 (v)¯ dv − √ ¯αε0 (v)¯ dv

2

0

1 √ dv − 2

0

2ε 2π 1 2π √ dv = √ − √ = 0 = 2π χ (R). 2 2 2 −2π

Z 0 −2π

Solución al ejercicio 6.7. Como P es un pol´ıgono geodésico, la curvatura geodésica de cada una de las curvas regulares que componen su frontera es cero. Luego Z

1 dA + 2π = 2 Pr

Z

n

bd R

kg ds + ∑ εi =

de donde finalmente se deduce que Ã

i=1

!

n

A(P) = r2 2π − nπ + ∑ φi i=1

n 1 A(P) + (π − φi ), ∑ r2 i=1

Ã = r2

!

n

∑ φi − (n − 2)π

.

i=1

Solución al ejercicio 6.8. Como expp : D p −→ S es una isometr´ıa local, la curvatura de Gauss de S es K ≡ 0. Además, por ser α una curva regular (no tiene vértices) cerrada y simple, no hay a´ ngulos externos y χ (R) = 1. En consecuencia, Z

2π = 2π χ (R) =

R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi = i=1

Solución al ejercicio 6.9. Por el teorema de Gauss-Bonnet, Z T2

353

K dA = 2π χ (T2 ) = 0.

Z bd R

kg ds.


Solución al ejercicio 6.10. i) Suponemos S orientada de forma compatible con la parametrización X. Claramente, Xt = b(s) y Xs = t(s)+t τ (s)n(s), de donde se obtiene E = 1, F = 0 y G = 1 +t 2 τ (s)2 . Como la parametrización es ortogonal, las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas valen (véase la sección 6.1.3) −Es √ (t, s0 ) = 0, 2E G

kg1 (t) =

kg2 (s) =

Gt t τ (s)2 √ (t0 , s) = 0 2 . 1 + t0 τ (s)2 2G E

ii) Obsérvese que las curvas coordenadas s = 0, s = s0 y t = 0 son geodésicas. Además, las curvas coordenadas se cortan ortogonalmente (F = 0), por lo que Z

Z R

K dA = 2π χ (R) − =−

Z s0 0

bd R

4

kg ds − ∑ εi = 2π −

Z s0

i=1

τ2

τ2

0

¯ t0 τ 2 ¯¯ Xs (t0 , s)¯ ds − 2π 2 2 1 + t0 τ

s0t0 t q 0 ds = − q . 1 + t02 τ 2 1 + t02 τ 2

Solución al ejercicio 6.11. i) Xs = t(s) + vk(s)n(s) y Xv = t(s), de donde se tiene E = 1 + v2 k(s)2 , F = G = 1. Además, N(s, v) = −b(s). Un rápido cálculo muestra finalmente que e = vk(s)τ (s), f = g = 0, de donde se deduce que K ≡ 0. ii) Por ser α (s) = (cos s, sen s, 1) una curva plana, S es un trozo del plano z = 1, que parametrizamos con X(s, v) = (cos s − v sen s, sen s + v cos s, 1); de forma preci© ª sa, S = (x, y, 1) ∈ R3 : x2 + y2 > 1 . Suponemos S orientada de forma compatible con la parametrización X, es decir, N(s, v) ≡ −b. Con esta orientación, la frontera de R está determinada por las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como ´ α0 (s) = X(s, v0 ) con 0 ≤ v ≤ 2π y α1 (s) = X(−s, v1 ) con ≤ 0. Estas son dos q−2π ≤ v q

circunferencias concéntricas (a x2 + y2 = 1) de radios 1 + v20 y 1 + v21 , respectivamente, que determinan una corona circular (χ (R) = 0). Un rápido cálculo muestra que las curvaturas geodésicas de estas circunferencias son 1 1 . y kg1 (s) = q kg0 (s) = − q 1 + v20 1 + v21 Teniendo en cuenta que bd R no tiene vértices (no hay a´ ngulos), Z R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi = i=1

Z 2π 0

=−

q 1 + v20

Z 2π 0

−1

ds +

Z ¯ 0 ¯ ¯α0 (s)¯ ds +

Z 0 −2π

0

−2π

¯ 0 ¯ 1 ¯α1 (s)¯ ds q 2 1 + v1

ds = −2π + 2π = 0 = 2π χ (R).

Solución al ejercicio 6.12. i) Es sencillo comprobar (véase el ejercicio 2.11) que N(s, θ ) = − cos θ n(s) − sen θ b(s). Entones un rápido cálculo muestra que Ns (s, θ ) = k(s) cos θ t(s) − τ (s) sen θ n(s) + τ (s) cos θ b(s)

τ (s) k(s) cos θ ¢ Xθ (s, θ ), Xs (s, θ ) + ¡ 1 − rk(s) cos θ r 1 − rk(s) cos θ 1 Nθ (s, θ ) = sen θ n(s) − cos θ b(s) = − Xθ (s, θ ). r =

354


En consecuencia,  k(s) cos θ −  1 − rk(s) cos θ AX(s,θ ) ↔   τ (s) ¢ − ¡ r 1 − rk(s) cos θ

 0

 ¡ ¢  y K = det AX(s,θ ) = ¡ −k(s) cos θ ¢ . 1  r 1 − rk(s) cos θ r

Consideremos ahora la curva coordenada s = s0 parametrizada por β (θ ) = X(s0 , θ ). Es un sencillo cálculo comprobar que ¡ ¢ ¡ ¢ N(s0 , θ ) ∧ β 0 (θ ) = − cos θ n(s0 ) − sen θ b(s0 ) ∧ −r sen θ n(s0 ) + r cos θ b(s0 ) = −r t(s0 ), ® β de donde se deduce que β 00 (θ ), N(s0 , θ ) ∧ β 0 (θ ) = 0; es decir, kg (θ ) = 0. Si α : I −→ R2 es una curva plana, entonces τ ≡ 0 y el vector binormal b es constante. Representando por β (s) = X(s, θ0 ), es sencillo comprobar que ¢ ¡ 0 β (s) = 1 − rk(s) cos θ0 t(s), ¡ ¢ 00 β (s) = −r cos θ0 k0 (s)t(s) + 1 − rk(s) cos θ0 k(s)n(s), ¡ ¢ ¡ ¢ 0 N(s, θ0 ) ∧ β (s) = cos θ0 1 − rk(s) cos θ0 b − sen θ0 1 − rk(s) cos θ0 n(s), de donde se deduce que kgβ (s) =

00 ® 0 β (s), N(s, θ0 ) ∧ β (s) − sen θ0 k(s) . = ¯ 0 ¯3 1 − rk(s) cos θ0 ¯β (s)¯

Por tanto, las curvas coordenadas θ = θ0 serán siempre geodésicas si, y sólo si, k ≡ 0, es decir si, y sólo si α es una recta (y por tanto, el tubo X(s, θ ) un cilindro). Si k 6≡ 0, sólo X(s, π ) es geodésica. ii) Suponemos el tubo orientado de forma compatible con la parametrización X. Las curvas coordenadas s = 0 y s = s0 son dos circunferencias de radio r centradas en α (0) y α (s0 ), respectivamente, que son geodésicas (apartado i)), no tienen vértices (no hay a´ ngulos), y determinan una corona circular (χ (R) = 0). Luego Z R

Z

p

Z s0 Z 2π

−k(s) cos θ p ¡ ¢ EG − F 2 d θ ds r 1 − rk(s) θ cos 0 0 bd R i=1 Z s0 Z s0 Z 2π h i2π k(s) cos θ d θ ds = − ds = 0 = 2π χ (R). k(s) sen θ =−

K dA +

kg ds + ∑ εi =

0

0

0

0

Solución al ejercicio 6.13. Como S es compacta, conexa y orientada, con K 6= 0 en todo punto, el teorema de Hadamard (véase el ejercicio 3.28) nos asegura que la aplicación de Gauss N : S −→ S2 es un difeomorfismo. As´ı pues, las regiones R1 y R2 son simples, y además S2 = N(R1 ) ∪ N(R2 ), siendo la unión disjunta. El teorema de Gauss-Bonnet nos asegura entonces que Z

Z R1

355

K dA = 2π

y

R2

K dA = 2π .


Ahora bien,

Z ¡ ¢ Z |K| dA ≥ A N(R1 ) = K dA = 2π R1

R1

¡ ¢ y, análogamente, A N(R2 ) ≥ 2π . Dado que ¡ ¢ ¡ ¢ 4π = A(S2 ) = A N(R1 ) + A N(R2 ) ≥ 2π + 2π = 4π , ¡ ¢ ¡ ¢ podemos concluir que A N(R1 ) = A N(R2 ) = 2π . Solución al ejercicio 6.14. Supongamos que γ , γe son dos geodésicas cerradas y simples en S. Como S es homeomorfa al cilindro, S es homeomorfa al plano menos un punto (digamos q). Representemos por ϕ dicho homeomorfismo. Entonces, las imágenes ϕ ◦ γ , ϕ ◦ γe son curvas cerradas y simples en el plano agujereado, de forma que las regiones que determinan contienen a q en su interior: en efecto, si no fuese as´ı, ϕ ◦ γ (por ejemplo) ser´ıa homotópicamente nula, propiedad que se conservar´ıa por el homeomorfismo ϕ −1 y que deber´ıa verificar γ ; luego tendr´ıamos una geodésica γ en una superficie con K < 0 encerrando una región simple, una contradicción (consecuencia 3). Un razonamiento análogo permite ver que las curvas ϕ ◦ γ y ϕ ◦ γe (y, por tanto, las geodésicas γ , γe) no pueden cortarse, delimitando una corona circular R cuya caracter´ıstica de Euler-Poincaré es χ (R) = 0. As´ı, Z

0>

R

K dA = 2π χ (R) = 0,

un absurdo que demuestra el resultado. Solución al ejercicio 6.15. R es una región simple (χ (R) = 1) cuya frontera está formada por dos arcos de geodésica (kg = 0 en ambas). Además, la curvatura de Gauss es K = 1. Luego Z

2π = 2π χ (R) =

R

Z

K dA+

bd R

2

kg ds+ ∑ εi =

Z

i=1

R

2

1 dA+ ∑ (π − θ ) = A(R)+2π −2θ , i=1

es decir, A(R) = 2θ . Solución al ejercicio 6.16. Tomando X(u, v) = (cos u, sen u, v) como parametriza¢ ¡ ción del cilindro, es sencillo ver que N α (t) = (cost, sent, 0). Además, ¡ ¢ ¡ ¢ α 0 (t) = − sent, cost, z0 (t) , α 00 (t) = − cost, − sent, z00 (t) y ¢ ¡ ¢ ¡ N α (t) ∧ α 0 (t) = z0 (t) sent, −z0 (t) cost, 1 , de donde se deduce que

¢ ¡ ® 00 α (t), N α (t) ∧ α 0 (t) z00 (t) =¡ kg (t) = ¯3 ¯ ¢3/2 . ¯α 0 (t)¯ 1 + z0 (t)2

Utilizando que z es 2π -periódica, se obtiene finalmente que Z α

356

kg ds =

Z 2π 0

z00 (t)

¡ 1 + z0 (t)2

Z ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¢3/2 α (t) dt =

0

2π

i2π h z00 (t) 0 dt = 0. tg z (t) = arc 1 + z0 (t)2 0


Solución al ejercicio 6.17. Intentar calcular el a´ ngulo que determinan dos loxodromas arbitrarias que se cortan puede ser complicado. Sin embargo, sabemos que la proyección de Mercator φ : S2 \{N, S} −→ R2 es una aplicación conforme (véase el ejercicio 3.38), por lo que las curvas imagen por dicha proyección se cortan formando los mismos a´ ngulos; obsérvese que el hecho de que las loxodromas no pasen por los polos asegura que podemos tomar sus imágenes por φ y que e´ stas, en efecto, se van a cortar. Por otro lado, hemos probado (página 147) que las loxodromas se proyectan en segmentos de recta. En consecuencia, la imagen por φ de R no es más que un triángulo T = φ (R) en el plano, la suma de cuyos a´ ngulos interiores es φ1T + φ2T + φ3T = π . Podemos concluir, por tanto, que la suma de los a´ ngulos interiores en R es

φ1 + φ2 + φ3 = φ1T + φ2T + φ3T = π , de donde

3

3

3

i=1

i=1

i=1

∑ εi = ∑ (π − φi ) = 3π − ∑ φi = 3π − π = 2π .

Aplicando entonces el teorema de Gauss-Bonnet se tiene que Z

Z

R

K dA +

3

bd R

kg ds = 2π − ∑ εi = 0, i=1

y al ser K ≡ 1, obtenemos finalmente que

¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ A(R) = − kg ds = ¯ kg ds¯¯ . bd R bd R Z

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO VII Solución al ejercicio 7.1. Sea γv la geodésica maximal con γv (0) = p, γv0 (0) = v, para la cual se tiene que γv (1) = expp (v). Entonces, Z 1 ¢ Z 1¯ 0 ¯ ¡ ¢ ¡ 1 ¯ ¯ |v| dt = |v| . γv (t) dt = d p, expp (v) ≤ L0 γv (t) = 0

0

La igualdad se alcanzará si, y sólo si, la geodésica γv es minimizante; por ejemplo, cuando expp (v) = γv (1) esté contenido en un entorno normal centrado en p. Solución al ejercicio 7.2. Supongamos que Bd (p0 , r) 6⊂ D(p0 , R) para todo r > 0, y vamos a llegar a una contradicción. Sea 0 < R0 < R de forma que D(p0 , R0 ) ⊂ D(p0 , R) estrictamente y D(p0 , R0 ) es entorno normal de p0 . Entonces, también se tendrá que Bd (p0 , r) 6⊂ D(p0 , R0 ) para todo r > 0, por lo que existirá un punto qn ∈ Bd (p0 , 1/n) tal que qn 6∈ D(p0 , R0 ) para todo n ∈ N. Esto determina una sucesión de puntos (qn )n∈N que converge a p0 en la distancia intr´ınseca,10 esto es, l´ımn→∞ d(qn , p0 ) = 0. 10

Un argumento topológico podr´ıa ser el siguiente. Consideremos la parametrización X (en p0 ) ¡ ¢ ¡ ¢ dada por las coordenadas normales (5.16), para la cual D(p0 , R) = expp0 D(0, R) = X D(0, R) es un entorno coordenado de X, y por tanto, un abierto en la superficie con la topolog´ıa inducida. Como |qn − p0 | ≤ d(qn , p0 ) → 0, cuando n → ∞, la sucesión (qn )n∈N converge a p0 en la distancia eucl´ıdea. Por tanto, existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N, qn ∈ D(p0 , R), una contradicción.

357


© ª Sea εn = R0 /n. Dado que d(qn , p0 ) = inf L01 (α ) : α ∈ Ω(qn , p0 ) , para cada qn existe una curva αn ∈ Ω(qn , p0 ) con longitud L01 (αn ) ≤ d(qn , p0 ) + εn (sin pérdida de generalidad podemos suponer las curvas parametrizadas en el intervalo [0, 1]). Ahora bien, como qn 6∈ D(p0 , R0 ), la curva αn corta a la frontera del disco en algún punto, es decir, existe tn ∈ (0, 1) tal que αn (tn ) ∈ S(p0 , R0 ). Esto implica la existencia de un vector vn ∈ D p0 , con |vn | = R0 , de forma que αn (tn ) = expp0 (vn ) = γαn (tn ) (1) para todo n ∈ N, donde, como es usual, γαn (tn ) representa la geodésica radial que une p0 con αn (tn ). Obsérvese que, como D(p0 , R0 ) es un disco geodésico que es también entorno normal, la geodésica radial γαn (tn ) es minimizante entre p0 y αn (tn ). Entonces, d(qn , p0 ) + εn ≥ L01 (αn ) = Lt0n (αn ) + Lt1n (αn ) ¢ ¡ ≥ Lt0n γαn (tn ) + Lt1n (αn ) = R0 + Lt1n (αn ) ≥ R0 , y tomando l´ımites cuando n → ∞ llegamos a que R0 ≤ 0, una contradicción. Solución al ejercicio 7.3. Supongamos que existen t0 ,t1 ∈ [a, b] tales que α |[t0 ,t1 ] no es minimizante entre α (t0 ) y α (t1 ). En tal caso, existir´ıa una curva β uniendo α (t0 ) ¡ ¢ y α (t1 ), con L(β ) < L α |[t0 ,t1 ] . Claramente, α = α |[a,t0 ] ∧ α |[t0 ,t1 ] ∧ α |[t1 ,b] . Consideremos la yuxtaposición α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ L α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] = L α |[a,t0 ] + L(β ) + L α |[t1 ,b] ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ < L α |[a,t0 ] + L α |[t0 ,t1 ] + L α |[t1 ,b] = L α |[a,t0 ] ∧ α |[t0 ,t1 ] ∧ α |[t1 ,b] = L(α ), lo que probar´ıa la existencia de otra curva uniendo p y q, α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] , con menor longitud que α , una contradicción. Solución al ejercicio 7.4. Dados p1 , p2 ∈ S2 (r), consideremos el u´ nico plano Π que pasa por dichos puntos y el centro de la esfera. Entonces, Π ∩ S2 (r) es una circunferencia máxima (geodésica), la u´ nica además que pasa por p1 y p2 . Tenemos, por tanto, dos segmentos de geodésica uniendo ambos puntos, siendo el de menor longitud el que determina la distancia intr´ınseca entre p1 y p2 . Como la longitud de cualquier circunferencia máxima es 2π r, entonces d(p1 , p2 ) ≤ (1/2)2π r = π r. La igualdad se alcanzará si, y sólo si, los dos segmentos de geodésica tienen la misma longitud, es decir si, y sólo si, p1 = −p2 . Solución al ejercicio 7.5. Como p, q ∈ S2 no son antipodales, existe un u´ nico arco de geodésica minimizante uniendo ambos puntos (pues q, por ejemplo, está contenido en un disco geodésico, que es también entorno normal, centrado en p). Sean δ = d(p, q) y γ : [0, δ ] −→ S2 dicho segmento de geodésica. Entonces, γ (0) = p, γ (δ ) = q y L0δ (γ ) = d(p, q) = δ . Tomamos m = γ (δ /2), para el que, claramente, δ /2 d(p, m) = L0 (γ ) = d(p, q)/2. Análogamente, d(q, m) = d(p, q)/2. Para demostrar la unicidad, supongamos que existe otro m0 ∈ S2 , m0 6= m, tal que d(p, q) = 2d(p, m0 ) = 2d(q, m0 ). Sean γ1 , γ2 segmentos de geodésica minimizante que realizan la distancia entre p, m0 y q, m0 , respectivamente. Entonces, d(p, q) = d(p, m0 ) + d(m0 , q) = L(γ1 ) + L(γ2 ) = L(γ1 ∧ γ2 ), 358


por lo que γ1 ∧ γ2 es otra curva (geodésica a trozos) uniendo p y q, que es minimizante, lo que contradice la unicidad de γ . Tomamos ahora β = Rπ ◦ γ : [0, δ ] −→ S2 que, claramente, es una geodésica, pues la rotación Rπ es una isometr´ıa. Además, β (δ /2) = Rπ (m) = m (el centro de la rotación queda fijo), y µ ³ ´¶ µ ³ ´¶ µ ¶ µ ¶ 0 δ 0 δ 0 δ 0 δ = d(Rπ )γ (δ /2) γ = d(Rπ )m γ = −γ β 2 2 2 2 (al ser Rπ una aplicación lineal, su diferencial es ella misma: d(Rπ )m es la rotación de π radianes en el plano tangente). Si consideramos la reparametrización de γ dada por γe(t) = γ (δ − t), para t ∈ [0, δ ], claramente γe es un segmento de geodésica el cual verifica que γe(δ /2) = m y γe0 (δ /2) = −γ 0 (δ /2). Por la unicidad de las geodésicas, β (t) = γe(t) = γ (δ −t); luego Rπ (p) = β (0) = γ (δ ) = q y Rπ (q) = β (δ ) = γ (0) = p, como se quer´ıa demostrar. Solución al ejercicio 7.6. Obsérvese que, si W = R3 , entonces S = f −1 (c) es cerrada en R3 y, por tanto, completa (proposición 7.2.8). Si W ⊂ R3 estrictamente, S = f −1 (c) no tiene por qué ser completa: basta considerar, por ejemplo, la semiesfera superior p ª © S = (x, y, z) ∈ R3 : z = r2 − x2 − y2 ; e´ sta puede verse como la superficie de nivel S = f −1 (0) para la aplicación diferenciable f : W −→ R definida p sobre el abierto © ª 2 2 2 2 3 W = (x, y) ∈ R : x + y < r × R de R , dada por f (x, y, z) = r2 − x2 − y2 − z. Solución al ejercicio 7.7. Supongamos, en primer lugar, que S es completa. Sea ¡ ¢ α : [0, ∞) −→ S una curva divergente, y definimos Bn := cl Bd α (0), n , n ∈ N. Claramente Bn es cerrado en S y acotado (en la distancia intr´ınseca). Como S es completa, el teorema de Hopf-Rinow nos asegura que Bn es un compacto y, por ser α una curva divergente, podemos deducir que, para todo n ∈ N, existe tn ∈ [0, ∞) tal que, si ¡ ¢ t > tn , entonces α (t) 6∈ Bn , es decir, d α (t), α (0) > n. En consecuencia, se tiene que ¢ ¡ n < d α (t), α (0) ≤ Lt0 (α ) y, tomando l´ımites, L(α ) = l´ım

Z t¯

t→∞ 0

¯ ¯α 0 (s)¯ ds = l´ım Lt0 (α ) = l´ım Lt0 (α ) > l´ım n = ∞. t→∞

n→∞

n→∞

Luego α tiene longitud infinita. Para probar el rec´ıproco, supongamos que cualquier curva divergente tiene longitud infinita, y asumamos que S no es completa. Entonces, existen p0 ∈ S y v ∈ Tp0 S tales que la geodésica maximal γv que parte de p0 = γv (0) no está definida en, digamos, t = 1, no pudiéndose extender a 1. As´ı pues, suponemos que γv : [0, 1) −→ S y que no existe el l´ımite l´ımt→1− γv (t) (si existiese, podr´ıamos extender γv de forma continua a t = 1 y, en consecuencia, también se extender´ıa como geodésica –véase la prueba del teorema de Hopf-Rinow). Claramente, Z t¯ ¯ L(γv ) = l´ım− ¯γv0 (s)¯ ds = |v| < ∞. t→1

0

Si demostramos que γv (o, de forma más precisa, una reparametrización de la misma) es una curva divergente, habremos obtenido la contradicción deseada. 359


γv se sale de los compactos: Supongamos que no es as´ı. Entonces, existir´ıa A compacto tal que γv (t) ∈ A, para todo t ∈ [0, 1). Sea {tn }n∈N una sucesión en [0, 1) con l´ımn→∞ tn = 1. Como ª © ª © γv (tn ) : n ∈ N ⊂ A compacto, existe una subsucesión γv (tnk ) k∈N convergente. Por otro lado, por ser {tn }n∈N convergente, en particular es de Cauchy, luego dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces |tm − tn | < ε . Ahora bien (suponiendo, por ejemplo, tn < tm ), ¢ ¡ ¢ Z tm ¯ 0 ¯ ¡ ¯γv (t)¯ dt = |v| (tm − tn ) < ε |v| . d γv (tn ), γv (tm ) ≤ Lttnm γv |[tn ,tm ] = tn

ª © En consecuencia, γv (tn ) n∈N es una sucesión de Cauchy; dado que tiene una ª © subsucesión γv (tnk ) k∈N convergente, podemos concluir finalmente que la ª © propia γv (tn ) n∈N es convergente. As´ı, existe p = l´ımn→∞ γv (tn ). Vamos a probar que p = l´ımt→1− γv (t), una contradicción. Para ello, sea {sn }n∈N una sucesión cualquiera en [0, 1) con l´ımn→∞ sn = 1. Con un razonamiento ª © análogo al anterior deducimos de nuevo que γv (sn ) n∈N es también de Cauchy, y por tanto convergente. Sea p0 = l´ımn→∞ γv (sn ). Dado que ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ≤ d γv (sn ), γv (tn ) ≤ Ltsnn γv |[sn ,tn ] = |v| |tn − sn | , tomando l´ımites con n → ∞ se tiene 0 ≤ d(p0 , p) ≤ |v| l´ımn→∞ |tn − sn | = 0, de donde d(p0 , p) = 0, es decir, p0 = p. Esto prueba que l´ımt→1− γv (t) = p. Hemos encontrado una curva γv diferenciable que se sale de los compactos. Para que sea una curva divergente propiamente dicha, debe estar definida en la ¡ ¢ semirrecta [0, ∞): basta tomar la reparametrización α (t) = γv h(arc tgt) , para un difeomorfismo h : [0, π /2) −→ [0, 1). Solución al ejercicio 7.8. Sea p ∈ S. Como S no es compacta, S 6⊂ Bd (p, n) para cualquier n ∈ N, por lo que existe qn ∈ S con d(qn , p) > n, para todo n ∈ N. Sea dn := d(qn , p) que, claramente, verifica l´ımn→∞ dn = ∞, y sea γn : [0, dn ] −→ S un segmento de geodésica minimizante uniendo p = γn (0) y qn = γn (dn ) (lema 7.2.5). Finalmente, sea vn = γn0 (0) ∈ Tp S (unitario). Como S es completa, γn : R −→ S está definida en todo R, aunque sólo podemos afirmar que es minimizante en el intervalo [0, dn ]. Construimos entonces la siguiente geodésica: por estar la sucesión de vectores {vn }n∈N ⊂ S1 , que es un compacto, existe una subsucesión convergente, digamos l´ımk→∞ vnk = v, con |v| = 1; tomamos la geodésica maximal γ = γv : R −→ S con condiciones iniciales γ (0) = p y γ 0 (0) = v. Vamos a probar que γ es el rayo buscado:

γ es una geodésica por definición y γ (0) = p. γ realiza la distancia entre p y γ (t): Sea t ∈ [0, ∞) fijo. Como l´ımn→∞ dn = ∞, existe N > 0 tal que, para todo n ≥ N, t ∈ [0, dn ]. Además, γn es una geodésica minimizante en [0, dn ], luego ¢ ¡ ¢ Z t¯ 0 ¯ ¡ ¯γn (s)¯ ds = |vn |t = t, d p, γn (t) = Lt0 γn |[0,t] = 0

360


para todo n ≥ N. Por otro lado, dado que la aplicación exponencial expp es una función continua y t está fijo, l´ım γn (t) = l´ım expp (tvn ) = expp (tv) = γ (t); n→∞

n→∞

en consecuencia, Z t¯ ¯ ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¡ ¯γ 0 (s)¯ ds = Lt0 γ |[0,t] . d p, γ (t) = l´ım d p, γn (t) = l´ım t = t = |v|t = n→∞

n→∞

0

Solución al ejercicio 7.9. i) Representamos por d1 y d2 las distancias intr´ınsecas en S1 y S2 , respectivamente. Vamos a probar que (S1 , d1 ) es completa como espacio métrico. Veamos en primer lugar cuál es la relación existente, mediante el difeomorfismo φ , entre ambas distancias. As´ı, si p, q ∈ S1 y α ∈ Ω(p, q) es una curva cualquiera en S1 uniendo α (a) = p, ¡ ¢ α (b) = q, entonces φ ◦ α ∈ Ω φ (p), φ (q) en la superficie S2 y Z b¯ Z b¯ ¯ ¡ ¢ ¢¯ ¡ ¯(φ ◦ α )0 (t)¯ dt = ¯d φα (t) α 0 (t) ¯ dt d2 φ (p), φ (q) ≤ Lab (φ ◦ α ) = a

Z b ¯ 1 1 ¯ 0 ¯¯ α (t) dt = Lab (α ), ≤ a

c

a

c

de donde se deduce que ¢ ¡ d1 (p, q) ≥ cd2 φ (p), φ (q) .

(C.8)

Sea ahora {pn }n∈N una sucesión de Cauchy en (S1 , d1 ). Entonces, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, se tiene que d(pn , pm ) < ε . Consideremos ª © la sucesión φ (pn ) n∈N en S2 . Por (C.8), ¢ 1 ¡ ε d2 φ (pn ), φ (pm ) ≤ d1 (pn , pm ) < ; c c

ª © luego φ (pn ) n∈N es una sucesión de Cauchy en (S2 , d2 ), espacio que es completo. ª © En consecuencia φ (pn ) n∈N es convergente: existe l´ımn→∞ φ (pn ) = q2 = φ (q1 ) ∈ S2 (por ser φ difeomorfismo). Podemos concluir, por tanto, que l´ımn→∞ pn = q1 ∈ S1 , es decir, {pn }n∈N es convergente. Observación. Una demostración alternativa a este hecho puede desarrollarse utilizando la caracterización de completitud por curvas divergentes dada en el ejercicio 7.7. Tomando una curva divergente α : [0, ∞) −→ S1 , es sencillo comprobar que su imagen por el difeomorfismo, φ ◦ α : [0, ∞) −→ S2 , también es divergente; como S2 es completa, L(φ ◦ α ) = ∞, de donde se obtiene que la longitud de α también es infinita. ii) El hecho de que la proyección estereográfica sea una aplicación conforme implica ® que d π p (v), d π p (w) = λ (p) hv, wi, para todo punto p ∈ S2 \{N} y cualesquiera ¯ ¯ ¡ ¢ v, w ∈ Tp S2 \{N} y, en particular, que ¯d π p (v)¯ = λ (p) |v| para todo p ∈ S2 \{N} ¡ ¢ y todo v ∈ Tp S2 \{N} , siendo λ : S2 \{N} −→ R diferenciable y no constante. El resultado del apartado anterior no puede, por tanto, aplicarse en este caso. 361


Solución al ejercicio 7.10. Tenemos que demostrar que φ es biyectiva. Veamos primero la inyectividad. Si suponemos que φ no es inyectiva, existirán p1 , q1 ∈ S1 , p1 6= q1 , tales que φ (p1 ) = φ (q1 ) = p ∈ S2 . Como S1 es conexa y completa, sabemos (lema 7.2.5) que existe un segmento de geodésica minimizante γ uniendo γ (a) = p1 y γ (b) = q1 . Además, por ser φ isometr´ıa local, φ ◦ γ es una geodésica (no trivial) en S2 , que es cerrada, pues (φ ◦ γ )(a) = φ (p1 ) = p = φ (q1 ) = (φ ◦ γ )(b). En consecuencia, tomando cualquier punto q = (φ ◦ γ )(t), con a < t < b, obtenemos dos segmentos de geodésica uniendo p y q en S2 , una contradicción. Demostremos finalmente que φ es sobreyectiva: φ (S1 ) = S2 . Vamos a representar por d1 y d2 las distancias intr´ınsecas en S1 y S2 , respectivamente. Como φ es un difeomorfismo local, en particular es un homeomorfismo local, luego (localmente) lleva abiertos a abiertos. Dado que cualquier abierto es unión (arbitraria) de abiertos, podemos concluir que φ es una aplicación abierta. As´ı pues, φ (S1 ) ⊂ S2 es abierto. Si probamos que φ (S1 ) es cerrado, por ser S2 conexa podremos concluir que φ (S1 ) = S2 . Sea entonces {pn }n∈N una sucesión convergente en φ (S1 ), y sea p = l´ımn→∞ pn ∈ S2 . Tenemos que ver que p ∈ φ (S1 ). Como {pn }n∈N es convergente, en particular es de Cauchy; luego dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, se tiene d2 (pn , pm ) < ε . Consideremos la sucesión ª © qn = φ −1 (pn ) n∈N en S1 . Al ser φ una isometr´ıa local, la distancia (intr´ınseca) se conserva localmente, esto es, en entornos suficientemente pequeños (de p); as´ı pues, ¢ ¡ existirá un N 0 > 0 tal que para cualesquiera n, m ≥ N 0 , d1 (qn , qm ) = d2 φ (qn ), φ (qm ) . En definitiva, dado ε > 0, para todo n, m ≥ máx{N, N 0 } se tiene que ¢ ¡ d1 (qn , qm ) = d2 φ (qn ), φ (qm ) = d2 (pn , pm ) < ε , es decir, {qn }n∈N es una sucesión de Cauchy en S1 , que es completa por hipótesis. Luego {qn }n∈N es convergente. Por lo tanto, existe el l´ımite, q = l´ımn→∞ qn ∈ S1 , de donde podemos concluir que ³ ´ p = l´ım pn = l´ım φ (qn ) = φ l´ım qn = φ (q). n→∞

n→∞

n→∞

Hemos demostrado as´ı que l´ımn→∞ pn = p ∈ φ (S1 ), esto es, φ (S1 ) es un cerrado, lo que concluye la prueba. Solución al ejercicio 7.11. i) Es consecuencia de la desigualdad de Schwarz:11 ·Z b ¸2 Z b Z b¯ ¯ 0 ¯ ¯ 2 b ¯α (t)¯ dt ≤ ¯α 0 (t)¯2 dt = (b − a)E(α ). 1 dt La (α ) = a

a

a

¯ ¯ La igualdad se alcanza si, y sólo si, existe una constante c tal que ¯α 0 (t)¯ = c, es decir si, y sólo si, α está parametrizada proporcional al arco. 11

La desigualdad de Schwarz asegura que

³Z

y sólo si, existe una constante c tal que g = c f .

362

a

b

f g dt

´2

≤

Z b a

f 2 dt

Z b a

g2 dt, dándose la igualdad si,


ii) Si γ es un segmento de geodésica minimizante, Lab (γ ) ≤ Lab (α ); como además γ está p.p.a., el apartado i) nos asegura que Lab (γ )2 = (b − a)E(γ ). En consecuencia, (b − a)E(γ ) = Lab (γ )2 ≤ Lab (α )2 ≤ (b − a)E(α ), es decir, E(γ ) ≤ E(α ). La igualdad se alcanza si, y sólo si, Lab (γ ) = Lab (α ), es decir, cuando α es también un segmento de geodésica minimizante. iii) Por trabajar con curvas regulares, la función E : (−ε , ε ) −→ R, ¯2 À Z b¿ Z b ¯¯ Z b¯ ¯ ¯2 ∂φ ∂φ ∂φ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ , (s,t) ds, αt (s) ds = E(t) = ¯ ∂ s (s,t)¯ ds = a ∂s ∂s a a que da la energ´ıa de la curva αt , es diferenciable. As´ı pues, podemos calcular su derivada: como À ¿ 2 À ¿ À ¿ ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ d ∂φ ∂φ , (s,t) = , (s,t) + , (s,t), ds ∂ t ∂ s ∂ t∂ s ∂ s ∂ t ∂ s2 utilizando que las segundas derivadas conmutan, se deduce que À À ¿ À¸ Z b· ¿ Z b¿ 2 d ∂φ ∂φ ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ 0 , (s,t) ds = 2 , − , (s,t) ds. E (t) = 2 ∂ s∂ t ∂ s ds ∂ t ∂ s ∂ t ∂ s2 a a Ahora, sustituyendo en t = 0, 1 0 E (0) = 2

¸ ® ® 00 Z(s), α (s) − Z(s), α (s) ds

Z b· d

0

ds a h ®ib Z b ® Z(s), α 00 (s) ds. = Z(s), α 0 (s) − a

a

Si α es geodésica, entonces ¿ À D E ® Dα 0 00 00 ⊥ = Z(s), α 00 (s)⊥ = 0, Z(s), α (s) = Z(s), (s) + α (s) ds pues Z ∈ X (α ); por ser la variación propia, Z(b) = Z(a). Luego E 0 (0) = 0 para toda variación propia de una geodésica α . ¡ ¢ Solución al ejercicio 7.12. i) Claramente, φ (s,t) = expp sv(t) es diferenciable, y φ (s, 0) = expp (sv) = γv (s) = γ (s); luego φ es una variación de γ . Por otro lado, para ¡ ¢ cada t ∈ (−ε , ε ), γt (s) = expp sv(t) = γv(t) (s) es una geodésica. Además, ¡ ¢ ¡ ¢ ∂φ (s,t) = d(expp )sv(t) sv0 (t) = sd(expp )sv(t) v0 (t) ∂t y, sustituyendo en t = 0, (∂ φ /∂ t)(s, 0) = sd(expp )sv (w) = J(s). Por tanto J(s) es un campo de Jacobi. Finalmente, es evidente que J(0) = 0, y además, · ´¸¯¯ DJ D³ (0) = d(expp )sv (w) + s d(expp )sv (w) ¯¯ = d(expp )0 (w) = w. ds ds s=0 363


ii) Un rápido cálculo muestra que L0`

Z `¯ Z `¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ Z `¯ 0 ¯ ¡ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯v(t)¯ ds = ` ¯v(t)¯ = L0` (γ ) ¯v(t)¯ . γt (s) = γt (s) ds = γt (0) ds = 0

0

0

iii) Tomamos φ (s,t) = γ (s + t), que es claramente diferenciable, con φ (s, 0) = γ (s); luego φ es una variación de γ . Además, γt (s) = φ (s,t) = γ (s + t) es una geodésica para todo t, siendo (∂ φ /∂ t)(s,t) = γ 0 (s + t). Luego J(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) = γ 0 (s), lo que demuestra que J(s) = γ 0 (s) es un campo de Jacobi. Solución al ejercicio 7.13. Si N : S −→ S2 (1) es una isometr´ıa, el teorema de rigidez de la esfera (corolario 7.3.3) nos asegura que S es la esfera S2 (1). Solución al ejercicio 7.14. i) Por ser k2 una función continua definida en S compacta, existe p ∈ S donde k2 alcanza el máximo (suponemos, como viene siendo usual, k1 ≤ k2 ). Ahora bien, como 2H/K = (k1 + k2 )/(k1 k2 ) ≡ c constante, entonces k1 =

k2 . ck2 − 1

Obsérvese que k2 6= 1/c y que la función f (x) = x/(cx − 1) es estrictamente decreciente, por lo que podemos deducir que k1 alcanza el m´ınimo en p. Luego se cumplen las tres hipótesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que p es umbilical, es decir, k1 (p) = k2 (p). Además, para todo p0 ∈ S, al ser p el máximo y el m´ınimo de k2 y k1 , respectivamente, se tiene que k2 (p) ≥ k2 (p0 ) ≥ k1 (p0 ) ≥ k1 (p), y como los extremos de esta cadena de desigualdades coinciden, k1 (p0 ) = k2 (p0 ) para todo p0 ∈ S. En consecuencia, S es totalmente umbilical. Sabemos (teorema 3.4.7) que las u´ nicas superficies totalmente umbilicales son las formadas exclusivamente por trozos de planos o trozos de esferas. Del hecho de que ¡ √ ¢ K > 0 y de que S sea conexa, se tiene que S ⊂ S2 1/ K . Finalmente observemos ¡ √ ¢ que, al ser S compacta, entonces S es cerrada (en S2 1/ K ), y que al ser S superficie √ ¢ ¡ ¡ √ ¢ regular, S es abierta (en S2 1/ K ); luego S es toda la esfera S2 1/ K . ii) Supongamos que existe p0 ∈ S donde H alcanza el máximo y K el m´ınimo; es decir, tal que H(p0 ) ≥ H(p) y K(p0 ) ≤ K(p), para todo p ∈ S. Entonces, k1 (p0 ) + k2 (p0 ) ≥ k1 (p) + k2 (p),

(C.9)

k1 (p0 )k2 (p0 ) ≤ k1 (p)k2 (p).

(C.10)

Como K > 0, podemos suponer que 0 < k1 (p) ≤ k2 (p) para todo p ∈ S (si ambas curvaturas fuesen negativas el razonamiento ser´ıa análogo). Entonces, multiplicando (C.9) por k2 (p0 ) y utilizando a continuación (C.10), obtenemos que £ ¤ k2 (p0 ) k1 (p) + k2 (p) ≤ k1 (p0 )k2 (p0 ) + k2 (p0 )2 ≤ k1 (p)k2 (p) + k2 (p0 )2 , o lo que es lo mismo, £ ¤ k2 (p0 )2 − k1 (p) + k2 (p) k2 (p0 ) + k1 (p)k2 (p) ≥ 0. 364

(C.11)


£ ¤ Es sencillo ver que las ra´ıces del polinomio x2 − k1 (p) + k2 (p) x + k1 (p)k2 (p) son, precisamente, k1 (p) y k2 (p), por lo que la desigualdad (C.11) se verifica si, y sólo si, k2 (p0 ) ≤ k1 (p) o k2 (p0 ) ≥ k2 (p). En el primer caso, si k2 (p0 ) ≤ k1 (p) para todo p ∈ S, en particular se tendr´ıa que k2 (p0 ) ≤ k1 (p0 ) ≤ k2 (p0 ), es decir, p0 ser´ıa un punto umbilical, lo que contradir´ıa nuestra hipótesis. As´ı pues, k2 (p0 ) ≥ k2 (p), es decir, p0 es un máximo para k2 . Entonces, utilizando (C.10), k2 (p) k1 (p0 ) ≤ ≤ 1, k1 (p) k2 (p0 ) esto es, k1 (p0 ) ≤ k1 (p) para todo p ∈ S. Luego p0 es un m´ınimo para k1 . Por lo tanto, se cumplen las tres hipótesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que p es umbilical, de nuevo una contradicción.

365

Bibliograf´ıa [1] L. V. Ahlfors y L. Sario: Riemann surfaces, Princeton Mathematical Series, No. 26, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1960. MR 0114911 (22 #5729) [2] A. D. Alexandrov: A characteristic property of spheres, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 58 (1962), 303-315. MR 0143162 (26 #722) [3] T. M. Apostol: Calculus. Vol. I: One-variable calculus, with an introduction to linear algebra, Second edition, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., Waltham, Mass.-Toronto, Ont.-London, 1967. MR 0214705 (35 #5554) [4] —– : Calculus. Vol. II: Multi-variable calculus and linear algebra, with applications to differential equations and probability, Second edition, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., Waltham, Mass.-Toronto, Ont.-London, 1969. MR 0248290 (40 #1542) [5] M. Braun: Differential equations and their applications, fourth ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993, An introduction to applied mathematics. MR 1195529 (93h:34001) [6] S.-S. Chern: Some new characterizations of the Euclidean sphere, Duke Math. J. 12 (1945), 279-290. MR 0012492 (7,29f) [7] —– : An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 771-782. MR 0074856 (17,657g) [8] L. A. Cordero, M. Fernández y A. Gray: Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies con Mathematica, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995. [9] W. D. Curtis y F. R. Miller: Differential manifolds and theoretical physics, Pure and Applied Mathematics, vol. 116, Academic Press Inc., Orlando, FL, 1985. MR 793015 (87c:58001) [10] J. de Burgos Román: Curso de a´ lgebra y geometr´ıa, Alhambra Longman, Madrid, 1994. [11] M. P. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, PrenticeHall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976, Translated from the Portuguese. MR 0394451 (52 #15253) [12] —– : Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, Alianza Editorial, Madrid, 1992. 367


[13] J. Douglas: Solution of the problem of Plateau, Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1931), no. 1, 263-321. MR 1501590 [14] J. A. Fernández Viña: Análisis matemático II: topolog´ıa y cálculo diferencial, Tecnos, Madrid, 1983. [15] H. Fujimoto: On the number of exceptional values of the Gauss maps of minimal surfaces, J. Math. Soc. Japan 40 (1988), no. 2, 235-247. MR 930599 (89b:53013) [16] K. F. Gauss: Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen, Dieterich, 1828. [17] A. Gray: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, second ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 1998. MR 1688379 (2000i:53001) [18] A. Gray, E. Abbena y S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematicar , third ed., Studies in Advanced Mathematics, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006. MR 2253203 (2007d:53001) [19] H. Hopf: Differential geometry in the large, second ed., Lecture Notes in Mathematics, vol. 1000, Springer-Verlag, Berlin, 1989, Notes taken by Peter Lax and John W. Gray, With a preface by S. S. Chern, With a preface by K. Voss. MR 1013786 (90f:53001) [20] H. Hopf y W. Rinow: Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche, Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209-225. MR 1509435 [21] C.-C. Hsiung: A first course in differential geometry, International Press, Cambridge, MA, 1997. MR 1471206 (98e:53001) [22] V. Jiménez López: Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas, Universidad de Murcia, Murcia, 2000. [23] W. Klingenberg: Curso de geometr´ıa diferencial, Alhambra, Madrid, 1978, Translated from the 1973 German edition. [24] D. Martin: Manifold theory, Horwood Publishing Series in Mathematics & Applications, Horwood Publishing Limited, Chichester, 2002, Introduction for mathematical physicists, Revised reprint of the 1991 edition. MR 1915967 (2003e:53002) [25] W. S. Massey: Algebraic topology: an introduction, Springer-Verlag, New York, 1977, Reprint of the 1967 edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. MR 0448331 (56 #6638) [26] J. McCleary: Geometry from a differentiable viewpoint, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. MR 1314819 (95m:53001) 368

Bibliograf´ıa

´ [27] L. M. Merino y E. Santos: Algebra lineal con métodos elementales, Segunda edición, Thomson-Paraninfo, Madrid, 2006. [28] S. Montiel y A. Ros: Curvas y superficies, Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997. MR 2165790 (2006g:53006) [29] —– : Curves and surfaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 69, American Mathematical Society, Providence, RI, 2005, Translated and updated from the 1997 Spanish edition by the authors. MR 2165790 (2006g:53006) [30] J. R. Munkres: Topology: a first course, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975. MR 0464128 (57 #4063) [31] B. O’Neill: Elementary differential geometry, second ed., Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2006. MR 2351345 (2008k:53001) [32] R. Osserman: A survey of minimal surfaces, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1969. MR 0256278 (41 #934) [33] —– : The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), no. 6, 1182-1238. MR 0500557 (58 #18161) [34] —– : Curvature in the eighties, Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 8, 731-756. MR 1072814 (91i:53001) [35] A. V. Pogorélov: Geometr´ıa diferencial, Editorial Mir, Moscow, 1977, Translated from the Russian by Carlos Vega. MR 0467543 (57 #7399) [36] T. Radó: On the functional of Mr. Douglas, Ann. of Math. (2) 32 (1931), no. 4, 785-803. MR 1503031 ¨ [37] E. Schmidt: Uber das isoperimetrische Problem in Raum von n Dimensionen, Math. Z. 44 (1939), 689-788. [38] I. M. Singer y J. A. Thorpe: Lecture notes on elementary topology and geometry, Springer-Verlag, New York, 1976, Reprint of the 1967 edition, Undergraduate Texts in Mathematics. MR 0413152 (54 #1273) [39] J. Sotomayor: Liço˜ es de equaço˜ es diferenciais ordinárias, Projeto Euclides [Euclid Project], vol. 11, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979. MR 651910 (83m:34001) [40] K. Spindler: Abstract algebra with applications. Vol. I, Marcel Dekker Inc., New York, 1994, Vector spaces and groups. MR 1243416 (94i:00002a) [41] M. Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1965. MR 0209411 (35 #309)

369


[42] —– : A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. I, II, III, IV, V, second ed., Publish or Perish Inc., Wilmington, Del., 1979. MR 532834 [43] J. A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1994, Corrected reprint of the 1979 original. MR 1329997 (95m:53002) [44] V. A. Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2006, A concise guide, With the editorial assistance of Vladimir Y. Rovenski. MR 2208981 (2006m:53001)

370

Índice terminologico ´ A

αE , véase evoluta αρP , véase curva paralela a distancia ρ a´ ng(v, w), 21 A p , véase operador forma A(R), véase a´ rea de una región aceleración normal, extr´ınseca, 113 tangencial, intr´ınseca, 113 anchura, 47 a´ ngulo de rotación, 218 total, 219 externo, 219 orientado, 21 aplicación ant´ıpoda, 95 cambio de coordenadas, 72 conforme, 142 de Gauss, 109 diferenciable entre superficies, 75, 76 exponencial, 192 Dominio de, 192 isoareal, 144 que conserva la orientación, 130 que invierte la orientación, 130 recubridora, 331 a´ rea de una región, 91, 160 de una superficie compacta, 160 Elemento de, 156 encerrada por una curva, 47 arista, 232 exterior, 233 interior, 233 asintótica Curva, 149 Dirección, 149

371

astroide, 287 autointersección, 27 B b(s), véase vector binormal bd M, 22 Bd (p, r), 259 banda de Möbius, 101, 299 base de Tp S negativamente orientada, 107 positivamente orientada, 107 binormal Recta, 57 Vector, 41 botella de Klein, 102, 300 braquistocrona, 57 bruja de Agnesi, 289 C cl M, 22 campo de Jacobi, 282 de vectores, 102 a lo largo de una curva, 178 diferenciable, 102 normal, 102 paralelo, 180 tangente, 102 unitario, 102 variacional, 249 cara, 232 caracter´ıstica de Euler-Poincaré, 232 cardioide, 289 espacial, 295 carta, 60 catenaria, 30 catenoide, 96


centro de curvatura, 36 del entorno normal, 195 cicloide, 57 de Ceva, 289 cilindro, 89 circunferencia geodésica, 199 osculatriz, 36 cisoide de Diocles, 288 colatitud, 63 completitud, 267 concoide de Nicomedes, 290 conjugados(as) Direcciones, 151 Funciones armónicas, 171 Superficies minimales, 171 Vectores, 151 cono, 69 convexo(a) Conjunto, 47 Curva, 47 coordenadas Cambio de, 72 Curvas, 91 Expresión en de una aplicación, 75 de una curva, 79 de una función, 73 geodésicas polares, 205 geográficas, 63 normales, 204 polares tangenciales, 48 Sistema de, 60 cornoide, 289 cr´ıtico Punto, 64, 87 Valor, 64 curva alabeada, 26 asintótica, 149 cerrada, 46 convexa, 47

372

coordenada, 91 de la variación, 249 de nivel, 174 de persecución, 56 diferenciable en una superficie, 79 divergente, 281 esférica, 57 Exterior de, 47 Interior de, 47 minimizante, 260 paralela a distancia ρ , 37 parametrizada diferenciable, 26 por la longitud de arco, 29 periódica, 46 p.p.a., 30 regular, 27 a trozos, 217 simple, 27, 46 curvatura(s) Centro de, 36 de Gauss, 120 Interpretación geométrica, 131 de una curva en R3 , 42 p.p.a., 40 de una curva plana, 34 Interpretación geométrica, 36 p.p.a., 33 geodésica, 192 de una curva p.p.a., 114, 191 L´ınea de, 119 media, 120 normal, 115 Interpretación geométrica, 115 principales, 118 Radio de, 33 total, 162 cúspide, 219 D d, véase distancia intr´ınseca dA(p), véase elemento de a´ rea

´ Indice terminológico

∆, 22 D p , véase dominio de expp D(p, r), véase disco geodésico D , véase derivada covariante dt Darboux Fórmulas de, 212 Triedro de, 114 deltoide, 287 derivada covariante, 179 desigualdad isodiamétrica, 53 isoperimétrica, 51 diámetro de una curva, 47 de una superficie compacta, 271 difeomorfismo, 78 diferencial de una aplicación, 83 de una función, 81 de una parametrización, 62 dirección(es) asintótica, 149 conjugadas, 151 principal, 118 directriz, 151 disco geodésico, 199 distancia intr´ınseca, 257 orientada, 38 E E, F, G, véase coeficientes de la primera forma fundamental e, f , g, véase coeficientes de la segunda forma fundamental εi , véase a´ ngulo externo expp , véase aplicación exponencial ecuación(es) de Cauchy-Riemann, 171 de compatibilidad, 140 de Euler-Lagrange, 164

373

de Gauss, 139 de Mainardi-Codazzi, 140 elemento de a´ rea, 156 de l´ınea, 90 elipse, 286 elipsoide, 65 endomorfismo de Weingarten, 111 energ´ıa, 282 entorno coordenado, 60 estrellado, 196 normal, 195 Centro de, 195 epicicloide, 287 epitrocoide, 287 esfera, 62 espiral concha, 294 cónica, 294 de Arqu´ımedes, 55 de Cornú, 288 de Fermat, 288 esférica, 294 helicoidal, 294 hiperbólica, 288 logar´ıtmica, 55 estructura compleja de una superficie, 107 en R2 , 32 evoluta, 37 exterior de una curva, 47 F figura ocho, 46 focal Lugar, 152 Punto, 152 folium de Descartes, 288 forma fundamental Primera, 88 Coeficientes de la, 89


Segunda, 112 Coeficientes de la, 125 Tercera, 149 fórmula(s) de Blaschke, 48 de Cauchy, 48 de Euler, 120 de Gauss, 137 de Laplace, 165 de Liouville, 228 de Steiner, 49 de variación Primera, 250 Segunda, 253 de Weingarten, 137 Frenet Diedro de, 32 Fórmulas de en R2 , 33 en R3 , 41 Referencia de intr´ınseca, 213 Triedro de, 41 función(es) altura, 75 armónicas conjugadas, 171 diferenciable en superficies, 73 meseta, 166 G Γkij , véase s´ımbolos de Christoffel

γ p , véase geodésica radial γv , véase geodésica maximal Gauss Aplicación de, 109 Curvatura de, 120 Ecuación de, 139 Fórmulas de, 137 Teorema Egregium de, 139 generatriz, 151 geodésica, 185 Curvatura, 191 374

maximal, 189 Propiedad minimizante, 200 radial, 196 geometr´ıa esférica, 241 eucl´ıdea, 241 hiperbólica, 242 H H(p), véase curvatura media Ht0 (t), véase holonom´ıa hélice, 26 generalizada, 58 helicoide, 89 hiperboloide de dos hojas, 66 de una hoja, 66 hipocicloide, 287 hipotrocoide, 287 holonom´ıa, 223 I int M, 22 I p (v), véase 1a forma fundamental II p (v), véase 2a forma fundamental III p (v), véase 3a forma fundamental Iv , véase intervalo maximal identidad de polarización, 112 imagen esférica, 109 indicatriz normal, 239 ´ındice de rotación, 219 integral sobre una superficie, 158, 159 interior de una curva, 47 intervalo maximal, 189 involuta, 37 isometr´ıa global, 133 local, 133 J J, J p , véase estructura compleja


K K(p), véase curvatura de Gauss k(s), véase curvatura de una curva ker, 315 kg (s), véase curvatura geodésica k1 (p), k2 (p), véase curvaturas principales kn (v, p), véase curvatura normal L Lab (α ), véase longitud de una curva L(t), 249 latitud, 143 lema de Gauss, 197 versión geométrica, 199 de homogeneidad de las geodésicas, 193 lemniscata de Bernoulli, 286 l´ınea de curvatura, 119 de estricción, 151 longitud, 63 de una curva, 28 loxodroma, 96 M meridiano, 95 minimizante Curva, 260 Geodésica, 263 movimiento r´ıgido directo, 23 inverso, 23 N N, polo norte, 21

N, véase aplicación de Gauss N(p), véase vector normal a una superficie 375

N(t), 178 N(u, v), 105 n(s), véase vector normal a una curva, véase indicatriz normal nivel Curva de, 174 Superficie de, 65 normal Campo de vectores, 102 Indicatriz, 239 Recta, 81 Vector a una curva de R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 81 O Ω(p, q), 257 operador forma, 111 orientación, 102 Aplicación que conserva la, 130 Aplicación que invierte la, 130 ovaloide, 278 o´ valos de Cassini, 289 P ¡ ¢ P [a, b] , 28

Π, véase plano paraboloide de revolución, 122 hiperbólico, 112 paralelo Campo de vectores, 180 de una superficie de revolución, 95 parametrización, 60 doblemente ortogonal, 125 en coordenadas geodésicas polares, 205 en coordenadas normales, 204 isoterma, 165, 170 ortogonal, 91


positivamente orientada de una curva, 219 de una superficie, 136 parámetro Cambio de, 27 que conserva la orientación, 28 que invierte la orientación, 28 de una curva, 26 partición diferenciable de la unidad, 159 subordinada a cubrimiento, 159 periodo, 46 plano, 62 osculador, 41 tangente, 80 Plateau Curva de, 289 Problema de, 165 pol´ıgono curvado, 219 de Reuleaux, 47 geodésico, 244 problema de tipo Dido, 51 isoperimétrico, 50 proyección, 141 azimutal, 147 central, 147 cil´ındrica, 145 de Lambert, 145, 154 de Mercator, 146, 153 cónica, 147 estereográfica, 64 pseudoesfera, 96 punto cr´ıtico, 64, 87 el´ıptico, 121 hiperbólico, 121 parabólico, 121 plano, 121 regular, 151 singular, 27 umbilical, 121

376

R Rot, véase a´ ngulo de rotación total Rθ , véase rotación radio de curvatura, 33 geodésico, 199 rayo, 281 recta normal a una superficie, 81 tangente a una curva, 27 región, 91 simple, 229 regla de la cadena, 85 reparametrización, 27 por la longitud de arco, 30 rosáceas, 290 rotación ´ Angulo de, 218 3 en R , 85 en Tp S, 107 Índice de, 219 S S, polo sur, 21

S2 , S2 (r), véase esfera S(p, r), véase circunferencia geodésica SO(n), 22 sop, véase soporte span, 21 sección normal, 116 semiplano de Poincaré, 242 silla de montar, 112 del mono, 129 s´ımbolos de Christoffel, 137 soporte, 157 superficie(s) completa, 267 de Catalan, 302 de dos caras, 103 de Enneper, 150, 174, 301 de nivel, 65 de revolución, 95


de Riemann, 302 de Scherk, 164 desarrollable, 152 difeomorfas, 78 extendible, 270 geodésicamente completa, 191 en un punto, 191 homogénea, 117 isótropa, 117 isométricas globalmente, 133 localmente, 133 llana, 256 minimal, 163, 164 minimales conjugadas, 171 orientable, 102, 104 orientada, 102 parametrizada, 60 reglada, 151 regular, 60 tangente, 245 totalmente umbilical, 121 T T, véase triangulación T2 , véase toro T2 #T2 , véase 2-toro t(s), véase vector tangente/velocidad a una curva τ (s), véase torsión de una curva en R3 Tp S, véase plano tangente tangente Plano, 80 Recta, 27 Vector, 32 tautocrona, 57 teorema de Aleksandrov, 279 de Barbier, 49 de Beltrami-Enneper, 149 de Bieberbach, 54 de Bonnet, 140, 271 377

de caracterización de las superficies totalmente umbilicales, 122 variacional de las geodésicas, 252, 263 de existencia y unicidad de campos paralelos, 182 de geodésicas maximales, 189 de geodésicas radiales, 196 de Gauss-Bonnet versión global, 234 versión local, 229 de Green, 229 de Hadamard, 152 de Hopf, 279 de Hopf-Rinow, 267 de Jacobi, 239 de Joachimsthahl, 150 de la curva de Jordan, 47 de la función inversa, 68, 86 de Lancret, 58 de Liebmann, 274 de Minding, 208 de Olinde-Rodrigues, 149 de rigidez de la esfera, 277 de Rosenthal y Szasz, 49 de rotación de las tangentes, 220 de Thales, 241 del cambio de variable, 161 Egregium de Gauss, 139 fundamental de curvas en R3 , 44 planas, 35 toro, 67 2-toro, 234 torsión de una curva en R3 , 42 p.p.a., 41 geodésica, 212 tractriz, 56 transporte paralelo, 183 traza, 26 triangulación, 232


triángulo, 232 esférico, 241 hiperbólico, 242 triedro de Darboux, 114 de Frenet, 41 trifolium, 289 trocoide, 287 tubo regular, 97 V V (p), 22 valor cr´ıtico, 64 regular, 64 variación Curva de la, 249 de una curva, 248 normal, 166 de una curva, 253 Primera fórmula de, 250 propia, 249 Segunda fórmula de, 253 vector(es) aceleración, 33 binormal, 41 conjugados, 151

378

normal a una curva en R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 81 tangente a una curva, 26 a una curva en R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 79 velocidad, 26 angular, 58 vértice, 217 externo, 235 interno, 235 W Weingarten Endomorfismo de, 111 Fórmulas de, 137 X

χ (T), véase caract. de Euler-Poincaré X (α ), véase campo de vectores tangente a lo largo de una curva (S), v´ e ase campo de vectores tangente X ⊥ X (S) , véase campo de vectores normal

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CSIC

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Petro Plancio, Orbis terrarum de integro multis in locis emendatus, 1594.

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