INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TLAXC TLAXCAL ALA A Ingeniería en Sistemas Sistemas Computacionales Computacionales
“Teorema “Teorema del Binomio de Newton para números reales y un caso especial”
Ponentes: Ana Laura Mora Sánchez
Reimer Reimer Alder Luna !rez Eu"enio Serrano Morale#
Asesor:
Lic$ %imi &aino# Cua'io
() de *unio del +,(, INDICE (
Introducción--------------------------------------------------------------------- 3 Serie ----------------------------------------------------------------------------- 3 Algunos tipos de series ------------------------------------------------------ 3 Teorema del binomio de newton ------------------------------------------ 4 Antecedentes ------------------------------------------------------------------ 5 inomio de newton para n!meros reales ------------------------------ " Aplicación del binomio de newton ---------------------------------------- " Serie binomial ----------------------------------------------------------------- # Condiciones para la con$ergencia de la serie ------------------------ %& Aplicaciones de la serie binomial ---------------------------------------- %& Conclusión ---------------------------------------------------------------------- %' ibliogra()a ---------------------------------------------------------------------- %3 *e(erencias electrónicas ---------------------------------------------------- %3
Introducción +
SERIE En matem+ticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesión. Se representa una serie con trminos
como
donde n es el )ndice (inal de la serie. /as series infinitas son a0uellas donde i toma
el $alor de absolutamente todos los n!meros naturales, es decir,
.
/as series convergen o divergen. En c+lculo, una serie diverge si a in(inito2 converge si
para alg!n
no e1iste o si tiende
.
Algunos tipos de series na serie geomtrica es una serie en la cual cada trmino se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada raón
/a serie armónica
na serie alternada es una serie donde los trminos alternan el signo. Eemplo6
na serie telescópica es la suma manera6
- donde
$ Se representa de la siguiente
TE7*E8A DE/ IN78I7 DE NE9T7N .
Si a : b son n!meros reales : n es un entero positi$o, entonces
7 e1presado de otra (orma
donde recibe el nombre de coe(iciente binomial : representa el n!mero de (ormas de escoger ; elementos a partir de un conunto con n elementos
sando la (órmula para calcular el $alor de
obtenemos otra representación
Eemplos Desarrollar
E#cri/a a0u1 la ecuaci2n$
donde
0ue para este caso n<3, ;<&, %,',3
As) tenemos 0ue para n<', 3,4
=a: 0ue notar 0ue los e1ponentes de las $ariables $an aumentando : disminu:endo constantemente. As) por eemplo, para , el e1ponente de 1 empiea en ' : termina en &, : el e1ponente de : comiena en & : termina en ' 3
Tambin, se puede notar 0ue el n!mero de trminos de un desarrollo ser+ ma:or en uno 0ue el e1ponente al 0ue se ele$ara la e1presión Tomando como base de nue$a cuenta el eemplo anterior, para n<', el numero de trminos ser+n 3. >ara n<4, obtendremos 5 trminos. A?ora bien, >ara obtener la e1pansión de las potencias de una resta, basta con tomar -: en lugar de : en el caso anterior, lo 0ue nos resultar)a En este caso, cuando ?a: una resta, el desarrollo ser+ el mismo 0ue si (uese una suma, solo con la di(erencia de 0ue los signos de cada termino ir+n altern+ndose, es decir, para n< @par, el primer termino tendr+ signo positi$o, el segundo signo negati$o, el tercero signo positi$o, el cuarto signo negati$o, : as) sucesi$amente ?asta llegar al !ltimo trmino 0u e tendr+ signo positi$o Esto est+ en base a 0ue cual0uier n!mero ele$ado a un e1ponente par, siempre resultara positi$o, e1cepto en los n!meros compleos. >or lo tanto, en caso de 0ue n< @ impar, el signo del primer trmino ser+ positi$o, el del segundo ser+ negati$o : de igual (orma esta secuencia continuara ?asta el !ltimo termino 0ue tendr+ signo negati$o El coe(iciente binomial podemos calcular de la siguiente (orma6
Antecedentes El teorema del binomio, descubierto ?acia %4-%5, (ue comunicado por primera $e en dos cartas dirigidas en %" a =enr: 7ldenburg B?acia %%5-%"", secretario de la *o:al Societ: 0ue (a$orec)a los intercambios de correspondencia entre los cient)(icos de su poca. En la primera carta, (ec?ada el %3 de unio de %", en respuesta a una petición de /eibni 0ue 0uer)a conocer los trabaos de matem+ticos ingleses sobre series in(initas, Newton presenta el enunciado de su teorema : un eemplo 0ue lo ilustra, : menciona eemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. /eibni responde, en una carta (ec?ada el %" de agosto del mismo ao, 0ue est+ en posesión de un mtodo general 0ue le permite obtener di(erentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., : menciona algunos de sus resultados. Interesado por las in$estigaciones de /eibni, Newton le responde tambin con una carta (ec?ada el '4 de octubre en la 0ue e1plica en detalle cómo ?a descubierto la serie binómica. Aplicando los mtodos de 9allis de interpolación : e1trapolación a nue$os problemas, Newton utilió los conceptos de e1ponentes generaliados mediante los cuales una e1presión polinómica se trans(ormaba en una serie in(inita. As) estu$o en condiciones de demostrar 0ue un buen n!mero de series :a e1istentes eran casos particulares, bien directamente, bien por di(erenciación o integración. El descubrimiento de la generaliación de la serie binómica es un resultado importante de por s)2 sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tu$o la intuición de 0ue se pod)a operar con series in(initas de la misma manera 0ue con e1presiones polinómicas (initas. El an+lisis mediante las series in(initas parec)a posible, por0ue a?ora resultaban ser una (orma e0ui$alente para e1presar las (unciones 0ue representaban. 4
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. /o ?io 9allis por primera $e en %5 en su Algebra, atribu:endo a Newton este descubrimiento. /os primeros resultados relati$os a la serie binomial para distintos e1ponentes enteros positi$os (ueron dados por Sir Isaac Newton en el estudio de onas delimitadas en $irtud de ciertas cur$as. E1tender el trabao de Fo?n 9allis, 0ue calculó las citadas onas de : < B% - 1' n con n < &, %, ', 3, l consideraba e1ponentes (raccionarios. Encontró para m e1ponente tal 0ue Ben la (ormulación moderna los coe(icientes c ; sucesi$os de B- 1' ; se obtiene multiplicando el anterior por el coe(iciente de. BComo en el caso de los e1ponentes enteros, lo 0ue impl)citamente signi(ica dar una (órmula para estos coe(icientes. Gl escribe de (orma e1pl)cita los siguientes casos
/a serie binomial es a $eces conocido como Teorema binomial de Newton. Newton da ninguna prueba : no es e1pl)cita acerca de la naturalea de la serie2 m+s probable es 0ue el tratamiento de los casos $eri(icados de la serie como Bde nue$o en la terminolog)a moderna en serie de potencias (ormal. 8+s tarde, Niels =enri; Abel tratado el tema en un libro de memorias, en particular el tratamiento de las cuestiones de con$ergencia. /os n!meros reales inclu:en tanto a los n!meros racionales Bcomo6 3%, 3"H'', '5,4 como a los n!meros irracionales, a0uellos 0ue no se pueden e1presar de manera (raccionaria : tienen in(initas ci(ras decimales no periódicas, tales como6 . N!meros reales, son a0uellos 0ue poseen una e1presión decimal. >ueden ser descritos de $arias (ormas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propósitos (ormales de matem+ticas. Durante los siglos JKI : JKII el c+lculo a$anó muc?o aun0ue carec)a de una base rigurosa, puesto 0ue en el momento no se consideraba necesario el (ormalismo de la actualidad, usando e1presiones como Lpe0ueoM, Ll)miteM, Lse acercaM sin una de(inición precisa. Esto lle$ó (inalmente a una serie de paradoas : problemas lógicos 0ue ?icieron e$idente la necesidad de crear una base rigurosa a la nue$a matem+tica, la cual inclu:ó de(iniciones (ormales : rigurosas Baun0ue ciertamente tcnicas del concepto de n!mero real.%O 8+s adelante se describir+n algunas de las de(iniciones m+s usuales actualmente6 clases de e0ui$alencia de sucesiones de Cauc?: de n!meros racionales El triangulo de >ascal (ue redescubierto por laise >ascal en el siglo JKII, era conocido por otras ci$iliaciones muc?o antes6 El documento m+s antiguo 0ue lo menciona es el libro del matem+tico c?ino P?u S?iie, LEl espeo de ade de los cuatro elementosM B%3&3 donde describe un mtodo para resol$er ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas Blos elementos. En l el autor a(irma 0ue el tri+ngulo era conocido desde m+s de dos siglos2 es decir cinco siglos antes de >ascal. /os matem+ticos persas Al-Qarai B#53 - %&'# : 7mar Fa::am Bsiglo JI tambin lo mencionaron en sus escritos BINOMIO DE NEWTON PARA NÚMEROS REALES Isaac Newton generalió la (órmula para tomar otros e1ponentes, considerando una serie in(inita6 5
En donde r puede ser cual0uier n!mero real positi$o, negati$o o un numero (raccionario, : los coe(icientes binomiales se encuentran mediante
con ; tiene 0ue ser siempre un entero :a 0ue de otra (orma no se podr)a encontrar el (actorial na (orma !til pero no ob$ia para la potencia rec)proca6
/a suma con$erge : la igualdad es $erdadera siempre 0ue los n!meros reales o compleos 1 e : sean su(icientemente cercanos, en el sentido de 0ue el $alor absoluto R 1H: R sea menor a uno.
APLICACIÓN DEL BINOMIO DE NEWTON n ?ec?o (amoso de la electricidad : el magnetismo, dice 0ue una carga genera un campo elctrico cu:a (uera es in$ersamente proporcional al cuadrado de la distancia de la carga. Es decir, a una distancia r leos de la carga, el campo elctrico es donde ; es una constante de proporcionalidad A menudo una carga se acompaa de una carga igual : opuesta. Este tipo de obeto se llama dipolo elctrico. >ara describir esto, $amos a poner una carga 0 en el punto : una carga 0 en
A lo largo del ee 1, la (uera de los campos elctricos es la suma de los campos elctricos en las dos cargas. En particular,
)
Si estamos interesados en el campo elctrico leos del dipolo, podemos considerar lo 0ue ocurre para $alores de 1 muc?o ma:ores 0ue d. utiliaremos una serie de Ta:lor para estudiar el comportamiento en esta región
*ecordar 0ue la serie geomtrica tiene la (orma
Si di(erenciamos esta serie, obtenemos
En esta e1presión, podemos sustituir
para obtener
De la misma manera, si sustituimos
, tenemos
A?ora, untando todo nos da
En otras palabras, leos del dipolo, donde 1 es mu: grande, $emos 0ue la intensidad de campo elctrico es proporcional al cubo de la distancia in$ersa. /as dos cargas parcialmente se neutralian rec)procamente, para producir un campo elctrico dbil a corta distancia
SERIE BINOMIAL 6
/a serie binomial se desprende del teorema del binomio de Newton, el cual nos dice6
donde
donde6 a<%, b<1, : : el e1ponente a?ora es un numero real, adem+s de cumplir con las siguientes condiciones6 es un n!mero real, es un entero positi$o : pertenece al inter$alo abierto B-%,%2 /a serie binomial se e1presa de la siguiente (orma6
donde6
Eemplo =allar la serie binomial para
con un orden 3
Esta e1presión la podemos escribir tambin como6 U de lo anterior decimos 0ue6 < , >or lo tanto6
7
Algunas identidades importantes
Condiciones p!r! l! con"ergenci! de l! serie
/a serie binomial con$erge en los puntos e1tremos
, es decir,
/a serie con$erge si
Vinalmente, si es un entero positi$o : cuando W&
la serie es (inita : se reduce al Teorema del inomio
Aplic!ciones de l!s series #ino$i!les /as series binomiales pueden ser aplicadas en di$ersas +reas como pueden ser la ()sica, la 0u)mica, la biolog)a, la estad)stica, entro otras ciencias. Keamos un eemplo de una aplicación al c+lculo integral
%Pro#le$!& Determina los 4 primeros términos distintos de cero para
e intégralos de 0 a x
(,
Solución:
>artiendo de la relación6 >or T.V.C.
,
x
0
>ara 1<&.5, tenemos6
Conclusiones ((
/as serie binomiales son de gran importancia :a 0ue tienen aplicaciones en di$ersas areas de las di$ersas ciencias, : a:udan a resol$er ciertos problemas 0ue por mtodos con$encionales ser)a mu: di()cil ?acerlos, sobre todo cuando las cantidades 0ue se manean son mu: pe0ueas. El binomio de Newton tambin es de suma importancia :a 0ue nos permite encontrar $alores 0ue sin l, se ?ar)a un proceso mu: largo : utiliando N es un proceso mu: corto :a 0ue basta aplicar la (ormula sustituir $alores, resol$er : obtener el resultado deseado. Es por ello 0ue es importante conocer ambas cosas de (orma correcta, para 0ue as) puedan ser aplicadas sin errores, :a 0ue a $eces una pe0uea $ariación o error puede cambiar un resultado de (orma notable /a serie binomial es un caso especial de las serie de 8aclaurin. Como :a se menciono, la serie binomial es $+lida para los $alores reales en . >or lo tanto2 si es un entero positi$o, la serie se reduce a un simple desarrollo binomial /a con$ergencia a 1
ibliogra()a (+
-/arson, =ostetler, Edwards2 Calculo % octa$a edición2 8cYraw-=ill. Capitulo #6 Series in(initas2 >ag.6 %-' - Swo;ows;i Earl 9, Cole Fe((er: A.2 Algebra : trigonometr)a con geometr)a anal)tica2 T?ompson editores. Capitulo %&6 Sucesiones, serie : probabilidad2 >+g.6 "%-"
RE'ERENCIAS ELECTRÓNICAS ?ttp6HHes.wi;ipedia.orgHwi;iHTeoremaZdelZbinomio ?ttp6HH%4.'&'.%4.5HcursosHmt'&HmatediscHunidad'Htem'.5.?tm ?ttp6HHmat?world.wol(ram.comHinomialSeries.?tml ?ttp6HHwww.ucl.ac.u;H8at?ematicsHgeomat?Hle$el'HseriesHser.?tml ?ttp6HHwww.e(unda.comHmat?HbinomialHseriesZe1amples.c(m ?ttp6HHwww.mat?s.abdn.ac.u;H[igcHtc?Heg%&&HnotesHnode%5&.?tml ?ttp6HHwww.imlo:.comHalgebraHseries.?tm
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