Formulario Binomio de Newton

ALGEBRA SEMANA 07- Ciclo 2012-I AULA INTENSIVA

BINOMIO DE NEWTON 1.

Factorial de un número natural

PROPIEDAD DEGRADATIVA: n!! = n(n-2)!!

n! = n(n-1) (n-2) (n- 3) … x 1

n N 1!! = 1

0!! = 1

Ejemplos:      

FÓRMULAS DE CONVERSIÓN:

2! = 2x1 = 2 3! = 3x2x1 = 6 4! = 4x3x2x1 = 24 5! = 5x4x3x2x1 = 120 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040

(2n)!!  2 n n!



8!!



7!!

4





Si n = 1

2 4!

384



COMBINACIONES 1! = 1

Se llama Combinación de “n” en “k”, a las diferentes maneras que se pueden escoger “k” elementos de un total de “n” elementos, sin

0! = 1

Nota: No están definidos los factoriales de

números negativos, fraccionarios o radicales como (-2)! ; (2/3)!;

2 n n!

 284!4!  105

n! = n(n-1)!



( 2 n )!

Ejemplos:

PROPIEDAD DEGRADATIVA:

Si n = 2

(2n  1)!! 

tener en cuenta el orden (ab = ba) n Ck  

Fórmula:

n! k !(n  k )!

5 !, etc.

Donde n, k  N; n  k Ejemplos: 



8!



Además: =8

7! 7! 10! 10x9x8! 8!

2.

8x7!



8!

= 90

CO-FACTORIAL DE UN NÚMERO

El CO-FACTORIAL de un número natural “n” , llamado también SEMIFACTORIAL se denota por n!! y se define como:

   

C36 

6! 3!(6  3)!



6! 3! 3!



6x5x 4x3! 3x 2x1x3!

 20

NÚMERO COMBINATORIO Es una combinación más amplia, donde el índice superior puede ser un número real

2x4x6x…..(n), si n es par

Si n Є R, k Є N, se se tiene:

Ejemplos:



Ejemplo:

1x3x5x….x(n), si n es impar

n!!



n = Índice superior o base K = Índice inferior u orden

3!! = 1x3 = 3 4!! = 2x4 = 8 5!! = 1x3x5 = 15 6!! = 2x4x6 = 48 7!! = 1x3x5x7 = 105 8!! = 2x4x6x8 = 384

 n  n(n 1)(n  2)(n  3)....(n  k 1)     1x 2x3x 4x....xk   k  

Donde: n = índice superior, k = índice inferior Además: Si: n  N y k  N, entonces:

 n   C k n    k  

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TEOREMA DEL BINOMIO

Ejemplos: 





El desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio (a+b), está dado por:

 9  9x8x 7x6   126  4  1x 2x3x 4    

 n   0 

 3  (3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) = -36   7 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7    

 1  1   1   1   1      1  2   3   4  1 / 2      2  2   2   2   2     1  x 2  x 3  x 4 x 5   5  

Para el caso del binomio (a-b), los signos son alternadamente positivos y negativos. TÉRMINO GENERAL El término que ocupa el lugar “k+1” en el

 n    n       k   n  k  (Índices inferiores        

desarrollo de ( a  b) n  está dado por:

 n    n    n 1             k    k 1   k 1 

T ( k   1)   (Índices

inferiores

consecutivos)

3.

 n   n 

  ()   ()   ()   ()   () 

complementarios) 2.

 n   2 

Ejemplo:

PROPIEDADES:

1.

 n   1 

(a  b) n   a n   a n 1b   a n  2b 2  ...   b n

 n   n  n 1    k     k    k 1 

(Degradación de ambos

 a  b n k 

n k 

REGLA PARA DETERMINAR EL SIGNO: 

( a  b) n



n

( a  b)

 todos los



términos son (+)

 ,  si k  es impar   ,  si k  es  par 

índices) n     4.     k  

n 1 n       (Degradación superior) n  k     k   

5.

        k  

    (Degradación inferior)    k 1 

6.

 n   n    1 

7.

  n    n    n 1 

8.

 n    1    n 

9.

 n    1    0 

k 

TÉRMINO AL REVÉS

T  ( k   1)



  k n a k b n k 

TÉRMINO CENTRAL (n= par) n

 0   

n  k 1 k 

n

T ( c )  

 a n n/2

n/2

bn

TÉRMINOS CENTRALES (n= impar)

 n   n21 n21 T (c1 )   n1 a b   2  

 n  n21 n21 T (c2 )    n1  a b  2  OTRAS FÓRMULAS IMPORTANTES 1. En (a  b) n →

Coeficient es

2n

/2