Asesor: Moisés Moisés Sila !onz"lez. !onz"lez. Uniersidad #a$ional Aut%no&a de Mé'i$o. (s$uela #a$ional )re*aratoria no.+ ,(ras&o -astellanos Quinto Resumen (l bino&io de #e/ton $onsiste $onsiste en una 0%r&ula 0%r&ula 1ue nos *ro*or$ion *ro*or$iona a la *oten$ia *oten$ia n-ésima de un bino&io. Así2 si n
∈
N, se tiene 1ue:
() ()
()
()
( )
()
( x + a )n= n x n + n x n−1 a + n x n−2 a2+ n x n−3 a 3+ … + n xa n−1+ n an o n−1 n 1 2 3
(l desarrollo desarrollo del bino&io
(a + b)n
*osee una singular singular i&*orta i&*ortan$ia n$ia ya 1ue a*are$e a*are$e $on &u$3a &u$3a
0re$uen$ia en Mate&"ti$as y *osee diersas a*li$a$iones en otras "reas del $ono$i&iento. Así &is&o2 es*e$i0i$a la e'*ansi%n e'*ansi%n de $ual1uier $ual1uier *oten$ia de un bino&io2 es de$ir2 la e'*ansi%n e'*ansi%n de
(a + b)n
. De a$uerdo a este teore&a2 el *ri&er tér&ino es
n
a
2 el segundo es
n
na
45
b2 y en
$ada tér&ino adi$ional la *oten$ia de a dis&inuye en 5 y la de b au&enta en 5. (l bino&io de #e/ton es una $onse$uen$ia de la regla distributia y se *uede de&ostrar *or el &étodo de indu$$i%n. 6a regla de e'*ansi%n 1ue se sigue del teore&a es: el $oe0i$iente del tér&ino siguiente se $al$ula a *artir del a$tual a$tual &ulti*li &ulti*li$and $ando o el $oe0i$ie $oe0i$iente nte *or el e'*onen e'*onente te de a2 y diidi diidiend endo o el resul resultad tado o entre entre la *osi$i%n. 6os 6os $oe0i$ $oe0i$ien ientes tes ta&b ta&bién ién *ued *ueden en leerse leerse en el 7ri"n 7ri"ngu gulo lo de )as$a )as$al. l. 6a i&*ort i&*ortan an$ia $ia *ara *ara la $o&bin $o&binat atori oria a es 1ue 1ue los los $oe0i $oe0i$ie $iente ntes s $uenta $uentan n el n8&er n8&ero o de sub$o sub$on9u n9unto ntos s de ta&a ta&ao o ;
Binomio de Newton Introducción (l *resente do$u&ento 0ue elaborado $on la inten$i%n de dar a $ono$er la i&*ortan$ia 1ue tiene el bino&io de #e/ton en la resolu$i%n de *lantea&ientos de e$ua$iones &ediante la a*li$a$i%n de la 0%r&ula 1ue *er&ite $al$ular las *oten$ias de un bino&io utilizando n8&eros $o&binatorios. A*oy"ndonos en el teore&a resolere&os algunos e9er$i$ios $on e'*onentes negatios *ara obserar $%&o se da el desarrollo. Justificación del trabajo: Se desarroll% esta inestiga$i%n *ara re0orzar los $ono$i&ientos 1ue *oseía&os sobre el te&a2 di$3o re0orza&iento se realiz% &ediante la resolu$i%n de *roble&as en los 1ue utiliza&os el teore&a. Así &is&o2 in$lui&os un e9er$i$io en el $ual el e'*onente era negatio <
n <0
=2 lo $ual no es algo &uy
$o&8n en los e9er$i$ios del bino&io de #e/ton ya 1ue la su&a es in0inita. Marco Teórico: (l teore&a del bino&io2 des$ubierto 3a$ia 5>>?@5>>2 0ue $o&uni$ado *or *ri&era ez en dos $artas dirigidas en 5>> a Cenry ldenburg2 se$retario de la Royal So$iety 1ue 0aore$ía los inter$a&bios de $orres*onden$ia entre los $ientí0i$os de su é*o$a. (n la *ri&era $arta2 0e$3ada el 5E de 9unio de 5>>2 #e/ton *resenta el enun$iado de su teore&a y un e9e&*lo 1ue lo ilustra2 y &en$iona e9e&*los $ono$idos en los $uales se a*li$a el teore&a. 6eibniz res*onde2 en una $arta 0e$3ada el 5 de agosto del &is&o ao2 1ue est" en *osesi%n de un &étodo general 1ue le *er&ite obtener di0erentes resultados sobre las $uadraturas2 las series2 et$.2 y &en$iona algunos de sus resultados. Interesado *or las inestiga$iones de 6eibniz2 #e/ton le res*onde ta&bién $on una $arta 0e$3ada el +? de o$tubre en la 1ue e'*li$a en detalle $%&o 3a des$ubierto la serie bin%&i$a. A*li$ando los &étodos de Fallis de inter*ola$i%n y e'tra*ola$i%n a nueos *roble&as2 #e/ton utiliz% los $on$e*tos de e'*onentes generalizados &ediante los $uales una e'*resi%n *olin%&i$a se trans0or&aba en una serie in0inita. Así estuo en $ondi$iones de de&ostrar 1ue un buen n8&ero de series ya e'istentes eran $asos *arti$ulares2 bien dire$ta&ente2 bien *or di0eren$ia$i%n o integra$i%n. A *artir del des$ubri&iento de la generaliza$i%n de la serie bin%&i$a #e/ton tuo la intui$i%n de 1ue se *odía o*erar $on series in0initas de la &is&a &anera 1ue $on e'*resiones *olin%&i$as 0initas. (l an"lisis &ediante las series in0initas *are$ía *osible2 *or1ue a3ora resultaban ser una 0or&a e1uialente *ara e'*resar las 0un$iones 1ue re*resentaban. #e/ton no *ubli$% nun$a el teore&a del
bino&io. 6o 3izo Fallis *or *ri&era ez en 5>G en su Algebra2 atribuyendo a #e/ton este des$ubri&iento. 7e&as b"si$os: #8&eros $o&binatorios. (l bino&io de #e/ton De0ini$iones: H Se de0ine el 0a$torial de un n8&ero natural n 5 $o&o el *rodu$to de todos los n8&eros naturales no nulos &enores o iguales 1ue di$3o n8&ero: n!=n·( n−1)· ...·3·2·1 y el de $ero $o&o: J L 5. H Dados dos n8&eros naturales n & J se de0ine el n8&ero $o&binatorio n sobre m $o&o
() n
m
=
n!
(
)
m ! n −m !
=
(
)
n n − 1 … ( n −m+ 1) m!
Inter*reta$i%n y a*li$a$iones H (l 0a$torial de n es el n8&ero de ordena$iones distintas 1ue se *ueden 3a$er $on
H (l n8&ero $o&binatorio
n
m
sobre
n
ele&entos.
es el n8&ero de ele$$iones distintas de & ele&entos 1ue
se *ueden 3a$er de entre un $on9unto de n ele&entos. (n otras *alabras2 es el n8&ero de sub$on9untos de
n
ele&entos 1ue tiene un $on9unto de
n
ele&entos.
)ro*iedades. (l tri"ngulo de 7artaglia
5. )ara $ual1uier n8&ero natural
)ara 2 .
n
() () n
:
$uales1uiera n8&eros naturales
E. )ara $uales1uiera n8&eros naturales
0
() ( )
= n =1, y si n ≥ 1 : n = n =n 1 n n−1
n≥m
:
n>m :
( )=( − ) n m
n
n m
( )+( + )=( ++ ) n m
n m 1
n 1 m 1
?. Usando la *ro*iedad anterior2 se $onstruye el tri"ngulo de 7artaglia2 donde $ada n8&ero es la su&a de los dos 1ue est"n in&ediata&ente *or en$i&a2 $uyas 0or&as $o&binatoria y nu&éri$a a*are$en a $ontinua$i%n:
() 0 0
( )( ) 1 1 0 1
( )( )( ) 2 2 2 0 1 2
( )( )( )( ) 3
3
3
3
0
1
2
3
…
)ara 3allar *oten$ias naturales de un bino&io se usa la siguiente 0%r&ula: n
() () ()
( a + b) =
n a n+ n an−1 + n a n−1 b2 + … + 0
1
2
(−) n
n 1
ab
n− 1
+
n
()
∑(
)
n b n= n a n−k b k n k = 0 k
)ro*iedades
( x + a )n
5= (l tér&ino general del desarrollo bin%&i$o
() n
x
n− k
iene dado *or
a
k
k
Si es$ribi&os n 4 ; en lugar de ; obtene&os
(−) n
n
k
k
n− k
x a
.
bsérese 1ue los dos tér&inos e1uidistantes de los e'tre&os del desarrollo tienen $oe0i$ientes iguales ya 1ue
( )=( − ) n k
n
n
k
+= 6os $oe0i$ientes bin%&i$os del desarrollo
( x + a )n
son
( )( )( )( ) ( ) n
0
,
n
1
,
n
2
,
n
3
n n
,…
es de$ir2 $oin$iden $on los n8&eros de 0ila nNési&a del tri"ngulo de 7artaglia. E= 6a su&a de los $oe0i$ientes del desarrollo de la *oten$ia nNési&a de un bino&io es igual a
n
2
.
(n e0e$to2 si en el bino&io 3a$e&os ' L a L 5 tene&os 1ue 2
n
()()()() ()
=( 1+ 1)n = n + n + n + n + … + n 0
1
2
3
n
?= 6a su&a de los $oe0i$ientes 1ue o$u*an el lugar *ar es igual a la su&a de los 1ue o$u*an el lugar i&*ar. Así es si 3a$e&os ' L 5 y a L 45 enton$es 0
n
() ()() ()
=( 1−1 )n= n − n + n − n + … 0
1
2
3
Objetivos: (l *resente traba9o tiene $o&o 0inalidad de&ostrar la i&*ortan$ia e i&*a$to 1ue 3a tenido el bino&io de #e/ton en el $a&*o de las &ate&"ti$as2 ya 1ue el &is&o nos *er&ite resoler una a&*lia ariedad de *roble&as. Desarrollo: -
(9e&*lo de un $aso donde n es negatio. A1uí to&are&os 'L. 7raba9are&os 8ni$a&ente $on do$e tér&inos.
A3ora2 si sustitui&os en la *oten$ia original del bino&io2 sabiendo 1ue 'L: 1 (( 7 )− 3 )− = 4− = =0.25 1
1
4
-on esta tabla *retende&os obtener $on $u"ntos tér&inos el resultado es el &"s *r%'i&o2 y $u"l es el &argen de error de di$3o ter&ino $on el resultado original. #8&ero de tér&inos2 su&a. 1
>.@
7 1
.@
7 1
G.@ 7 1
O.@ 7 1
5J.@ 7 1
55.@
7
+ ... +
243
+ ... +
729 7
J.+?OEE
.JJJ>
J.+?O5
.JJJ+O
J.+?OG
.JJJ5E
J.+?OOE
.JJJJ
J.+?OO
.JJJJ
7
+ ... +
2187
+ ... +
6561
+ ... +
19683
+ ... +
59049
7
Margen de error. .JJ5>
6
7
7
Valor de la su&a *ar$ial. J.+?G?
8
9
10
7
11
7
1
5+.@
+ ... +
7
J.+?OOO
177147
.JJJJ5
12
7
-o&o *ode&os obserar2 &ientras &"s tér&inos desarrolla&os2 &"s e'a$to es el resultado. A $ontinua$i%n dos de&ostra$iones 1ue $ree&os *ertinentes *ara este traba9o. Seg8n las leyes de e'*onentes2 tene&os 1ue: a
m
b
m
L
5 si aLb &PJ
2
m m∗m = =m=m2−1 conn=2 m m Su*onga&os 1ue el resultado es "lido *ara nL;+2 es de$ir: k
m
m
= m − k
1
k + 1
m m
)or de&ostrar 1ue k + 1
m
m
=
m
=mk +1−1=mk
k
∗m
m
=m
k
Segunda de&ostra$i%n: a
a
1 m m = b −a a = b −a b m ( m )( m ) m
Conclusión: (l do$u&ento elaborado *er&ite er satis0a$toria&ente la 0or&a en 1ue el bino&io de #e/ton 0a$ilita la resolu$i%n de *lantea&ientos en rela$i%n a en$ontrar la n@ési&a *oten$ia de un bino&io. a 1ue *osee una gran i&*ortan$ia al a*li$arse $on &u$3a 0re$uen$ia en Mate&"ti$as y en otras "reas del $ono$i&iento. -on$luyendo 1ue el bino&io de #e/ton es una $onse$uen$ia de la regla distributia y se *uede de&ostrar *or indu$$i%n. Referencias:
