Sim ul aci ón de Propi edades F ísicas de M ateriales mediante mediante Comsol Comsol M ultyphysics
FACULTADDE CIENCIASEXACTAS Y N NATUR ALES
INFORMÁTICA III
Potencial Electrostático Juan Fernando Jaramillo Jorge Andrés Chavarría Rubio, Angélica María Benítez Castro, Rafael Felipe Gonzalez Fecha de presentación: 04/06/2013 _______________________ _________________________________ ______________________ ________________________ ________________________ _______________________ _______________________ ________________________ ______________________ ___________________ _________
Resumen El problema expone la determinación de potencial de la región dentro de un tanque rectangular de longitud transversal a=b=1m, siendo uno de los lados V 0=100V y y los otros tres V=0. Haciendo uso de programa COMSOL se realiza el modelamiento del sistema para observar el comportamiento de las líneas de campo y de contorno que inducirá un campo eléctrico ocasionado por el voltaje V 0. Es por esto que se podría hallar la distribución de campo y el potencial eléctrico dentro de él en cualquier posición. Palabras Clave: Potencial eléctrico o electrostático, Malla, Elementos finitos, Líneas de Campo, Condiciones límites, Líneas de
contorno. _______________________ _________________________________ ______________________ ________________________ ________________________ _______________________ _______________________ ________________________ ______________________ ____________________ __________ _______________________ ___________ ______________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________________ ______________________ _______________________ _______________________ ______________________ ___________ _ 2
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1.
V
Introducción
V x
2
2
V y
2
0 (3)
El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto es
Esta ecuación debe reso.verse en sujeción a las siguientes
el trabajo el trabajo que debe realizar un campo un campo electrostático para electrostático para mover
condiciones de frontera:
una carga una carga positiva positiva q desde el punto de referencia, dividido por
V x 0, 0 y a 0
unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga
V x b, 0 y a 0
unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en
V 0 x b, y 0 0
contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:
V
W
q
(1)
V 0 x b, y a V0 La ecuación (3), se resuelve por el método de separación de
V : Potencial W:Trabajo q : Carga eléctrica
variables, es decir, se busca una solución de producto de V. Después de un desarrollo matemático se obtiene que la solución de la ecuación (3) es:
El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del
V x, y
espacio. La definición del problema la da el programa en términos de ecuaciones diferenciales, para hallar el potencial V(x,y) en un
4V 0
n 1,2,3...
sen
n x b
senh
nsen
n a
n y b (4)
b
a=b=1m. En este caso la
Con este trabajo usted podrá obtener después de modelado, el
función de potencial V depende de x y y. La ecuación de
valor preciso de diferentes variables, como lo es la diferencia
Laplace se convierte en
de potencial V dentro del cuadrado para puntos específicos.
tanque conductor rectangular de lados
Por ejemplo, para el valor de x = 0,5 y y = 0,25 obtendremos un potencial V=9,541137. Lo cual coincidirá con el valor
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encontrado por el método matemático utilizando la ecuación (4).
2.
Modelamiento
El problema determina el comportamiento electrostático dentro de un tanque conductor (cuadrado) de un metro de lado, donde tres de sus lados poseen potencial igual a 0V y el restante a 100V, por lo que es evidente se inducirá un campo eléctrico. Es por esto que se podría hallar la distribución de campo y el potencial eléctrico dentro de él en cualquier posición. Para esto, hacemos uso del programa COMSOL en modo de aplicación Electrostática. El primer paso para el modelamiento es dibujar un cuadrado de un metro de lado, tal como lo muestra la Fig.1, haciendo uso de la herramienta Rectangle/Square de la opción Draw objects dentro del menú Draw.
Fig.3 Boundary Settings, COMSOL Una vez los datos de las condiciones son aceptadas, visualizamos en el espacio de trabajo la siguiente geometría:
Fig.4 Boundary mode 3.
Fig.1 Geometría1 El paso siguiente, es ingresar las condiciones límites
Resultados
Para obtener los resultados del modelamiento, hacemos uso de la herramienta Mesh Generation que inicializa la malla. Se obtuvo los siguientes resultados:
Fig.2 Condiciones límites, Boundary settings para lo cual accedemos a través del menú Physics a Boundary Settings (Fig.3) y en la parte izquierda del cuadro de diálogo y nos ubícamos en Boundary selection para elegir con la tecla Ctrl pulsada los números 1, 2 y 4, les asignamos la opción ground en Boundary condition. Luego seleccionamos el número restante de la lista (3) y escogemos para éste la opción Electric Potencial de Boundary condition, finalmente ingresamos el valor de 100V en V 0. Hacemos click en Ok para confirmar los datos ingresados.
Fig. 5 Mesh Statics
Tabla 1 Mesh Statics El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos
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llamados «nodos». Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla». En nuestros resultados de enmallado se obtuvo un número finito de elementos de 590.
4. Conclusiones El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades, presiones (mecánica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagnético y en nuestro caso el cálculo de la diferencia de potencial electrostático entre dos puntos. Bibliografía: Internet
Fig.6 Potencial eléctrico (contorno), líneas de campo eléctrico. En la gráfica anterior, Fig.6, se puede apreciar una combinación de una gráfica de contorno y líneas de campo. Las líneas de contorno representan la distribución de potencial eléctrico y presenta diferentes asignaciones de color para disímiles valores de potencial. Las líneas de campo, como se aprecia se expanden desde el lado de mayor potencial hacia los demás lados y de igual forma presentan asignaciones de colores para los diferentes valores acorde a la escala que se muestra al lado derecho de la imagen.
Wikipedia, Método de los elementos finitos, 28 de Mayo de 2013, http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tod o_de_los_elementos_finitos Wikipedia, Potencial eléctrico, 3 de Junio de 2013, http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C 3%A9ctrico
Los resultados de distribución de potencial teóricamente se presentan a continuación:
Fig.7 Cálculo de V(x,y) en algunos puntos. Haciendo una comparación entre el diagrama de la Fig.7 con los resultados obtenidos después del modelamiento (Fig.6) podemos observar efectivamente la distribución del potencial electrostático a través del tanque.
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